riješeni zadaci s pismenih ispita

40
UNIVERZITET U BIHAĆU TEHNIČKI FAKULTET MATEMATIKA 1 i 2 Zadaci s pismenih ispita priredio Aladin Crnkić Bihać, 2011.

Upload: kamel-dizdarevic

Post on 30-Sep-2014

721 views

Category:

Documents


24 download

TRANSCRIPT

Page 1: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

MATEMATIKA 1 i 2 Zadaci s pismenih ispita

priredio

Aladin Crnkić

Bihać, 2011.

Page 2: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

GRAðEVINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

23.11.2010.

I KOLOKVIJ

1. Izračunati: ������� � � � ��� � ���� � ����� ����� ����� � ����� � ����� � ���� � ��� � ��� � ����� � ��� �� ��� ����

2. Koeficijent drugog člana u razvoju binoma � ��� � ��� �� odnosi se prema koeficijentu trećeg

člana kao �� . Odrediti peti član.

3. Dokazati da za �� � � izraz �� � � � �� � � djeljiv sa 6.

4. Riješiti jednačinu u skupu kompleksnih brojeva:

�� !� � "#$$ � � � "�%&�� � "��

Page 3: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1.

1

2. ��� � ���� �� ''' ( ''' �% �' ) ' �$ � *&%$ � � � +, � -.$

3. � / � �01% � � � �01% � 01% � � �0 � � � � � �0 � � 0

� � ��0 � � � �0 � 0� � � � � � �0 � �� � 0 ' � � � � 2 � �� � �0 � �� � 0

� � �� � 2 � � � �0 � � � 0�

4. � � " � 3 �456 78 � " 69: 78� � " �� 3 �456 ;7, � " 69: ;7, � � � " �� 3 �456 &7, � " 69: &7, � �� �$< 3 �456 %&;78 � " 69: %&;78 � �$< 3 �456 ���= � 78� � " 69: ���= � 78��

'�$< 3 �456 78 � " 69: 78� �01% ��$<> � ?456 @A1$07� � "' 69: @A1$07� B �'''/ ����C

Page 4: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

MAŠINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

22.11.2010.

I KOLOKVIJ

1. Izračunati: ������� � � � ��� � ���� � ����� ����� ����� � ����� � ����� � ���� � ��� � ��� � ����� � ��� �� ��� ����

2. Dokazati tabelarno ili analitički, da za neprazne skupove A, B, C vrijedi: D E �FGH� �D E F�G�HGD�

3. Dokazati da za �� � � vrijedi jednakost: � � � � � � � � � � I� ���� � ���� � ���� � � � � �� � �� � ��� � ���� � �

4. Riješiti jednačinu u skupu kompleksnih brojeva: �8 � �, � �$ � �

Page 5: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1.

1

2. + � D E �FGH� J + � D' K + � FGH J + � D K �+ � F' ) '+ L H� J ' �+ � D' K '+ � F� ) �+ � D' K '+ L H� 'J' + � �D E F�') 'M�+ L D' ) '+ � H� 'J '+ � �D E F�') 'M�+ � HGD� 'J' + � �D E F�G�HGD�.

3. � / � 0��01%�$��$01%���$01��� 01%�$01%���$01����$01&� 01%�$01%���$01�� � �0$ � %$01&� '

01%�$01%���$01�� � $0N1&01$$��$01&�

01%�$01%� ��$01�� � �01$� �$01%�$��$01&�

�01%���01$�$��$01����$01&�.

4. �$ � ��, � � � � ��, � � � ��, � � � ��$ � � �''' ( ''' �, �' ) '�$ � �, � 456 = � " 69: = �01% 456 71$07, � "' 69: 71$07, �'''/ �����C �$ �''' ( ''' �& ��"' ) '�8 �"C'

Page 6: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

GRAðEVINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

09.12.2010.

I KOLOKVIJ

1. (35 bodova) U izrazu O!�+# PPQRSTU � �+PN V�odrediti x tako da je odnos binomnih

koeficijenata uz treći i četvrti član 3:4 i da je četvrti član u razvoju binoma jednak 200.

2. (35 bodova) Dokazati da za svaki prirodan broj vrijedi: � � � � � � � �� � � � I� ��$ � �� � � � �� � � � � ��� � �� �

3. (30 bodova) Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva:

� !� � "#&� � "�;� � "�&! � �"#;

Page 7: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1. ���� � ��� � �''' ( ''' � �

*,8 ��� O�+ PRSTUQPV� 3 ! �+PN #� ���''' ( ''' +% � ') ' +$ �., '.

2. � / � 0��$01��01% � $�01%�N1$�01%�1%�01%��01$� 0��$01��01% � $0N1,01$1$01$1%�01%��01$�

0��$01��01% � $0N1801&�01%��01$�

%01% � �!$0N1�0#�01$�1$0N1801&01$ �

%01% � $0>1�0N1,0N1801$0N1801&01$

%01% � $0>1W0N1%$01&01$ XY9Z[\:5Z']5Y:\Y5^\'6_\Z\ %01% � $��01N���01%�N01$

�$01&��01%�01$ C

3. � � " � 3 �456 78 � " 69: 78� � " �� 3 �456 7, � " 69: 7,� � " �� 3 �456 �� 7,� � " 69: �� 7,�� � �" � 3 �456 �� 7�� � " 69: �� 7��� � %$ 3 �456 78 � " 69: 78� %$ � ���$ � a$�

Page 8: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

MAŠINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

09.12.2010.

I KOLOKVIJ

1. (35 bodova) Deveti član u razvijenom obliku izraza b �%c!��#` RSTU � ��NdefU�gP h%cjednak je

450. Odrediti x.

2. (30 bodova) Dokazati da za svaki prirodan broj vrijedi: � � � � � � � � � � � �I� �� � ��� � �� ���� � �� 3. (35 bodova) Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva:

� !� � "#&;�� � �"�$�! � �"#%�

Page 9: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1. *W%c ��� � ? �%c��` RSTUB$ �+ � �+N RSTU �< ���''' ( ''' +% �� ') ' +$ %�%cc` .

2. � / � 0,�01,�� %�01,��01&� %01, � 0N1&01,,�01&�

%01, � 0N101,01,,�01&�

%01, � �01%� �01,�,�01&�

01%,�01&�C

3. � � " � 3 �456 �� 78� � " 69: �� 78�� � � �" ��� 3 �456 7, � " 69: 7,� � �" � 3 �456 �� 7�� � " 69: �� 7��� � �;<�� 3 �456 ;7%$ � " 69: ;7%$�C

Page 10: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

GRAðEVINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

30.12.2010.

I KOLOKVIJ

1. Odnos binomnih koeficijenata petog i trećeg člana u razvoju binoma ?+�+.% � i %�N��` B�

jednak je �� . Odrediti sedmi član razvoja.

2. Dokazati da za �� � � izraz ��1& � ,� � ���1% djeljiv sa 37.

3. Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva:

� j � "�" � k$c

II KOLOKVIJ

1. Izvrši naznačene operacije:

D.% � F, gdje su D l � �� � � � m i F l � � � �m

2. Riješi sistem: + � �- � � � n ��

�+ � -''''''' � �n'

��- � �� � n �

+'''''''' � � � �n

3. Tačke D��������� F�������� H�� ����'"'o��� ��� su vrhovi tetraedra. Izračunati

zapreminu ovog tetraedra i njegovu visinu povučenu iz vrha C.

Page 11: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1. ���� � ���� �� ''' ( ''' �% ��' ) ' �$ �

*;%c ��� � 3 +

2. � / � �01%1& � ,�01%� � ���01%�1% � � �01& � , � ,0 � �� 3 ��01%

'� � �01& � � � ,0 � �� 3 ��01%

�� � �01& � ,0 � �� 3 ��01%

�� � ��01& � ,0 � ��01%� � � � �01& � ,0

�� � �2 � � � �01& � ,0

� � ���2 � �01& � ,0�.

3. � �" � 3 �456 7� � " 69: 7�� " � �� 3 �456 �7, � " 69: �7, � � �%c 3 �456 7� � " 69: 7�� �%c � �%$� " ��$ �.

II KOLOKVIJ

1.

D.% � F %$ l'''� � ��� ''' �� � '''�m � l � � � �m %$ l�� �� '''�'''�� '' ��'''� '''� ��m

2.

I način: o � o� � � o� �� op ��oq + rUr �� - rsr �� � rtr �� n rur .

II način:

v �� � � � '''' � ��� � w� � w�''�'''''�''''''�'''''' w� x '' w�y '''( '''n � � �� - �'"'+ �.

Page 12: Riješeni zadaci s pismenih ispita

3. DHzzzzz{ ����� Dozzzzz{ ���� ��� DFzzzzz{ ����� ��� | %8 }!DFzzzzz{ ~ Dozzzzz{# � DHzzzzz{} %&$ F %$ }DFzzzzz{ ~ Dozzzzz{} %&$ | ���� '''( '''� ��� .

Page 13: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

MAŠINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

30.12.2010.

I KOLOKVIJ

1. Odnos binomnih koeficijenata četvrtog i drugog člana u razvijenom obliku binoma ? %��N> � �����>� B� je ��. Koji član sadrži �8?

2. Dokazati da za �� � � vrijedi jednakost: � � � � � � � � � I� � � �� � �� � � �� � � � ��� � ���

3. Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva:

� � � � "456 =� � " 69: =�'�$<

II KOLOKVIJ

1. Riješiti matričnu jednačinu: �D.% � ��.% �.% � F � D, gdje su D �� ��� '' � i F � ''� � �

2. Riješi sistem: + � �- � � � n ��

�+ � -''''''' � �n'

��- � �� � n �

+'''''''' � � � �n

3. Tačke D��������� F�������� H�� ����'"'o��� ��� su vrhovi tetraedra. Izračunati

zapreminu ovog tetraedra i njegovu visinu povučenu iz vrha C.

Page 14: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1. ��� � ��� ��''' ( ''' �% ��' ) ' �$ �

*01%�& ��/ � 3 ��.N>��&.0 � ��� � �.>�� � $� �� � /� � 0, �''' ( ''' / � .

33 član sadrži �8.

2. � / � 0��01%���$01;�8 � �/ � ��/ � � �/ � � � $0N1;01801%<8

�01%�!$0N1%�01%<#8

�01%��01$��$01W�8 .

3. � � " � 3 �456 �� 78� � " 69: �� 78�� � �$< � �456 = � " 69: =� ��$<.

II KOLOKVIJ

1. � �D � F� � D.% � �� � '''�� �w� � � O �w� '''V.

Page 15: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

GRAðEVINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

17.01.2011.

I KOLOKVIJ

1. Odrediti peti član u razvoju binoma ��.% � �$�� ako je zbir binomnih koeficijenata prvog,

drugog i trećeg člana jednak 46.

2. Dokazati da za �� � � vrijedi jednakost: � � � � � � � � � � � I� �� � ���� � � �� �

3. Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva: � �� � "��&! � �"#%&$

II KOLOKVIJ

1. Izvršiti naznačene operacije:

a) �D� � F � �F.%�.%, gdje su D � �� ''� � i F �� �� '' � b) D � F � H, gdje su D � � �� �, F l � � � � �'''

��m i H � �� ''� ''�� '''��

2. U zavisnosti od parametra �, diskutirati i riješiti sistem: �+ � - � �� � ��� +''''''''''''''''''''' � �� +'' � ''�-'' � ''��''

3. Izvršiti naznačene operacije nad vektorima �{ �{� �{� �/z{, �z{ �{� /z{ i �{ ��{� ��{: a) �{ � �z{ � �{ b) !��{ � �z{# � ��{ � �{� c) ���{ � �{ ~ �{� � ���{ � �z{ d) ��� � !�{� �z{# e) | �

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost:

a) �9Z��1� �$�N.��.%$�N1% �`�NQ>>�gP b) �9Z��& �N.<�1%&�N.$&

2. Odrediti izvod datih složenih funkcija:

a) - �+ � ���+$ � b) - �� �NU�N1% 3. Ispitati i skicirati grafik funkcije:

- +$ � �+

Page 16: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1. ���� � ��� � ���� ��''' ( ''' �% ��' ) ' �$ *&W �� � ��.

2. � / � 0�01%� %��01%���01,� 0���01,�1%��01%���01,�

�0N1,01%��01%���01,�

�01%� ��01%���01%� ��01,�

01%�01,.

3. � � " �� 3 �456 �7, � " 69: �7, � � �" � 3 �456 �� 7�� � " 69: �� 7��� � �>>�N 3 �456 &7%$ � " 69: &7%$�

II KOLOKVIJ

1.

a) D� �''' �� �� F.% %8 �''' �� �� D� � F � �F.% �'''� ��� �� �D� � F � �F.%�.% �� � �� ��� '''�� b) DFH �� ''�� ��

2. o �� � ���� � ��

Page 17: Riješeni zadaci s pismenih ispita

o� �� � ���� � �� o� � � �� � �� op ��� � �� a) o   �� �   �' ) �   �� + rUr ,.�$.� - rsr $$.� + rtr %�.$ b) � ��

Sistem ima beskonačno mnogo rješenja.

c) � �

Sistem je nemoguć.

3.

a) �{ � �z{ � �{ ������ b) !��{ � �z{# � ��{ � �{� �

c) ���{ � �{ ~ �{� � ���{ � �z{ ��� � ��

d) ��� � !�{� �z{# �%&8

e) | �

III KOLOKVIJ

1.

a) %��` b) %&

2.

a) -¡ $�N.$�1%��N1%

b) -¡ $�!�N.�1%#�N1%

3.

a) Df. �+ � ¢G£�¤ b) Asimptote

V.A. + �

Page 18: Riješeni zadaci s pismenih ispita

H.A. nema

K.A.

c) N.T.

d) Parnost i neparnost

funkcija je neparna

e) Znak

f) Tok i ekstremi

nema ekstrema

g) Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke

nema prevojnih tačaka

h) Graf

Parnost i neparnost

funkcija je neparna

Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke

nema prevojnih tačaka

Page 19: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

MAŠINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

17.01.2011.

I KOLOKVIJ

1. Odrediti � ako peti član u razvijenom obliku binoma ��+> � %��� ne zavisi od +.

2. Dokazati da za �� � � izraz �$� � �1$ � � djeljiv sa 11.

3. Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva: � �� � "��&! � �"#%&$

II KOLOKVIJ

1. Izvršiti naznačene operacije:

a) �D� � F � �F.%�.%, gdje su D � �� ''� � i F �� �� '' � b) D � F � H, gdje su D � � �� �, F l � � � � �'''

��m i H � �� ''� ''�� '''��

2. U zavisnosti od parametra �, diskutirati i riješiti sistem: �+ � - � �� � ��� +''''''''''''''''''''' � �� +'' � ''�-'' � ''��''

3. Izvršiti naznačene operacije nad vektorima �{ �{� �{� �/z{, �z{ �{� /z{ i �{ ��{� ��{: a) �{ � �z{ � �{ b) !��{ � �z{# � ��{ � �{� c) ���{ � �{ ~ �{� � ���{ � �z{ d) ��� � !�{� �z{# e) | �

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost:

a) �9Z��1� � $�N$�1�� %.��>��N1%� b) �9Z��.% ��1$�.%�1%

2. Odrediti izvod datih složenih funkcija:

a) - �+ � �$��+ � b) - �� $1�U$.�U

3. Ispitati i skicirati grafik funkcije:

- +$ � �+

Page 20: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1. *&� ���� � +�g�> ., � � � � � �'''' ( ''''� �C

2. � / � �$01$ � 01� � 01% � � �$0 � � 01� � � 0

' � � ��$0 � 01� � 0� � � 01� � � 0

� � 2 � � 01� � � 0

��2 � � 01� � � 0�

III KOLOKVIJ

1.

a) � �$ b)

1

2.

a) -¡ ��1%��&�.%��$�.%

b) -¡ �¥�� � ¥$�

Page 21: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

GRAðEVINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

27.01.2011.

I KOLOKVIJ

1. Odrediti � ako peti član u razvijenom obliku binoma ��+> � %��� ne zavisi od +.

2. Dokazati da za �� � � izraz �$� � �1$ � � djeljiv sa 11.

3. Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva: � �� � "��&! � �"#%&$

II KOLOKVIJ

1. Izvršiti naznačene operacije:

a) �D� � F � �F.%�.%, gdje su D � �� ''� � i F �� �� '' � b) D � F � H, gdje su D � � �� �, F l � � � � �'''

��m i H � �� ''� ''�� '''��

2. U zavisnosti od parametra �, diskutirati i riješiti sistem: �+ � - � �� � ��� +''''''''''''''''''''' � �� +'' � ''�-'' � ''��''

3. Izvršiti naznačene operacije nad vektorima �{ �{� �{� �/z{, �z{ �{� /z{ i �{ ��{� ��{: a) �{ � �z{ � �{ b) !��{ � �z{# � ��{ � �{� c) ���{ � �{ ~ �{� � ���{ � �z{ d) ��� � !�{� �z{# e) | �

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost:

a) �9Z��1� � $�N$�1�� %.��>��N1%� b) �9Z��.% ��1$�.%�1%

2. Odrediti izvod datih složenih funkcija:

a) - �+ � �$��+ � b) - �: �.%$�1;� �+$ � � � 69: �$

3. Ispitati i skicirati grafik funkcije:

- +$ � �+ � +$ �

Page 22: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

III KOLOKVIJ

2.

b)

-¡ W��.%��$�1;�� ���N.,� %$ 456 �$

3.

a) Df. �+ � ¢

b) Asimptote

V.A. nema

H.A. -

K.A. nema

c) N.T. +

d) Parnost i neparnost

funkcija nije ni parna ni neparna

e) Znak - ¦ �'��'�+ � ��§��§� f) Tok i ekstremi

Ekstremi su: D¨a����� i F¨������� - © '��'�+ � ��§��� E ���§� - ª '��'�+ � ���� g) Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke

Prevojne tačke su: «%����� «$!�� �C�#� «�!��� C���# - E '��'�+ � !�§���# E !�� �# - ¬ '��'�+ � !��� �# E !�� �§# h) Graf

Page 23: Riješeni zadaci s pismenih ispita
Page 24: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

MAŠINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

27.01.2011.

I KOLOKVIJ

1. Odrediti peti član u razvoju binoma ��.% � �$�� ako je zbir binomnih koeficijenata prvog,

drugog i trećeg člana jednak 46.

2. Dokazati da za �� � � vrijedi jednakost: � � � � � � � � � � � I� �� � ���� � � �� �

3. Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva: � �� � "��&! � �"#%&$

II KOLOKVIJ

1. Izvršiti naznačene operacije:

c) �D� � F � �F.%�.%, gdje su D � �� ''� � i F �� �� '' � d) D � F � H, gdje su D � � �� �, F l � � � � �'''

��m i H � �� ''� ''�� '''��

2. Riješi sistem: + � �- � � � n ��

�+ � -''''''' � �n'

��- � �� � n �

+'''''''' � � � �n

3. Izvršiti naznačene operacije nad vektorima �{ �{� �{� �/z{, �z{ �{� /z{ i �{ ��{� ��{: a) �{ � �z{ � �{ b) !��{ � �z{# � ��{ � �{� c) ���{ � �{ ~ �{� � ���{ � �z{ d) ��� � !�{� �z{# e) | �

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost:

a) �9Z��1� �$�N.��.%$�N1% �`�NQ>>�gP b) �9Z��& �N.<�1%&�N.$&

2. Odrediti izvod datih složenih funkcija:

a) - �+ � ���+$ � b) - �: �.%$�1;� �+$ � � � 69: �$

3. Ispitati i skicirati grafik funkcije:

- +�+$ �

Page 25: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

III KOLOKVIJ

3.

a) Df. �+ � ¢G£����¤ b) Asimptote

V.A. +% � i +$ ��

H.A. nema

K.A. - +

c) N.T. + �

d) Parnost i neparnost

funkcija je neparna

e) Znak - ¦ �'��'�+ � !��� �# E !���§# - ­ �'��'�+ � !�§���# E !�� �# f) Tok i ekstremi

Ekstremi su: D¨a� �� W$� i F¨�� ��� � W$� - © '��'�+ � ��§��� E ���§� - ª '��'�+ � ���� g) Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke

Prevojna tačka je: «����� - E '��'�+ � !��� �# E !�� �§# - ¬ '��'�+ � !�§��# E !�� �# h) Graf

Page 26: Riješeni zadaci s pismenih ispita
Page 27: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

GRAðEVINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

10.02.2011.

I KOLOKVIJ

1. Koeficijent drugog člana u razvoju binoma � ��� � ��� �� odnosi se prema koeficijentu trećeg

člana kao �� . Odrediti peti član.

2. Dokazati da za �� � � vrijedi jednakost: � � � � � � � � � � I� ���� � ���� � ���� � � � � �� � �� � ��� � ���� � � 3. Odrediti sve brojeve z takve da je ! � "�#�8 � � " �.

II KOLOKVIJ

1. Izračunati � �D � F�.% � �H � �F�, ako je

D l � � � �� � m, F l� � �� � �� � � m i H l

� � � �� � m 2. Riješi sistem: �+ � �- � �� � + � �- � � + � - � �� �

3. Izvršiti naznačene operacije nad vektorima �{ �{� �{� �/z{, �z{ �{� /z{ i �{ ��{� ��{: a) �{ � �z{ � �{ b) !��{ � �z{# � ��{ � �{� c) ���{ � �{ ~ �{� � ���{ � �z{ d) ��� � !�{� �z{# e) | �

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost:

a) �9Z��.�!+ � �+$ � + � # b) �9Z��c �%1®a��.�%.®a���

2. a) Odrediti izvod date složene funkcije - $�.%��N1%. b) Odrediti intervale monotonosti funkcije - �+$ � �+ � �.

3. a) Odrediti ekstreme funkcije - +$�+$ � �.

b) Odrediti intervale konveksnosti (konkavnosti) funkcije - ¯��� .

Page 28: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

3.

�8 %.a%1a�� � " �� 3 �456 ;7, � " 69: ;7, � '' � "� � 3 �456 7� � " 69: 7�� �01% %�$PN j456 P°@PN 1$078 � " 69: P°@PN 1$078 k �''''/ ���������C

II KOLOKVIJ

1.

D � F l� '''� '''�� �� '''�� '''� �m �D � F�.% � l '''� '''�� � ��� '''� ��m H � �F l� �� '''�� �� '''�� '''� �m � � l� �� �� '''� ''''�� '''� ''''� m

2. + �'''- �� i � �.

III KOLOKVIJ

1.

a) �$ b)

1

2.

a) -¡ + � ���+$ � ��

Page 29: Riješeni zadaci s pismenih ispita

b) - © '��'�+ � !� � ��� �§# - ª '��'�+ � !�§� � � ��#

3.

a) D¨a������ b) - E '��'�+ � ?¥�$� �§B

- ¬ '��'�+ � ?�� ¥�$B

Page 30: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

MAŠINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

11.02.2011.

I KOLOKVIJ

1. Odnos binomnih koeficijenata petog i trećeg člana u razvoju binoma ?+�+.% � i %�N��` B�

jednak je �� . Odrediti sedmi član razvoja.

2. Dokazati da za �� � � izraz �� � � � �� � � djeljiv sa 6.

3. Odrediti sve brojeve z takve da je ! � "�#�8 � � " �.

II KOLOKVIJ

1. Izračunati �D � F�.% � �H � �F�, ako je

D l � � � �� � m, F l� � �� � �� � � m i H l

� � � �� � m 2. Riješi sistem: �+ � �- � �� � + � �- � � + � - � �� �

3. Izvršiti naznačene operacije nad vektorima �{ �{� �{� �/z{, �z{ �{� /z{ i �{ ��{� ��{: a) �{ � �z{ � �{ b) !��{ � �z{# � ��{ � �{� c) ���{ � �{ ~ �{� � ���{ � �z{ d) ��� � !�{� �z{# e) | �

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost:

a) �9Z��.�!+ � �+$ � + � # b) �9Z��c �%1®a��.�%.®a���

2. a) Odrediti izvod date složene funkcije - $�.%��N1%. b) Odrediti intervale monotonosti funkcije - �+$ � �+ � �.

3. a) Odrediti ekstreme funkcije - +$�+$ � �.

b) Odrediti intervale konveksnosti (konkavnosti) funkcije - ¯��� .

Page 31: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

GRAðEVINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

16.06.2011.

I KOLOKVIJ

1. Odrediti koji član razvoja binoma ?��+` � ��>$ B� sadrži +$�+,` ako je zbir prva tri binomna

koeficijenta jednak ��.

2. Dokazati da za �� � � izraz �� � �� � djeljiv sa 9.

3. Ako je � %$� " ��$ , izračunati sve vrijednosti korijena i�� � %p � "�&>.

II KOLOKVIJ

1. Riješiti matrčnu jednačinu D � � � � ± ako je D l � '' '' �� '' �m.

2. U zavisnosti od parametra �, diskutirati i riješiti sistem:

+''' � ''''-'''''''''''' � ��

�� � �- � �� � �� �

�� � �+''''''''''''''''''– '�� � ��

3. Dati su vektori �{ �� � ³� � � � ³�, �z{ ��� � �� i �{ ��� �� ��. Odrediti parametar ³

tako da je � !�{� �z{# � ��{� �{�, pa za dobijenu vrijednost ³ odrediti veličinu ugla.

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost:

�9Z���j � � � �I� �� � �� � � ��k

2. Odrediti izvod date složene funkcije:

- �: �+ � ���+ � ��+ �

3. Odrediti ekstreme i intervale monotonosti sljedeće funkcije

- +$ � �+$ �

Page 32: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1. ���� � ��� � ���� ��''' ( ''' �% �' ) ' �$ �

*01%%c ��/ � �$c.�0+�c1$0%&

+$�+,` +$1,& �c1$0%& � � ,& '''( ''' / �

Sedmi član razvoja binoma sadrži +$�+,`.

2. � / � �01% � ��/ � � � � � �0 � �/ � � �

� � �0 � � � �/ � � � � � � �/ �

� � ��0 � �/ � � � � � ��/

� � 2 � � � ��/

��2 � � � �/�

3. � � � � � %p � " � " �� �456 7, � " 69: 7,� �� � %p � "�& !��#& �456 &7, � " 69: &7, � i�� � %p � "�&> ����> j456 `@� 1$07� � "' 69: `@� 1$07� k �''''/ ����C

II KOLOKVIJ

1. � �D � ±�.% D � ± l� � ''' '''� �� ''' ��m � l� '''�� �� �m

Page 33: Riješeni zadaci s pismenih ispita

2. o ��� � ��� � � o� ��� o� � � �� � � op ���� � � a) o   �� �   �' ) �   �' ) '�   + rUr .$��1%���.%� - rsr %�1% + rtr %%.�

b) � �

Sistem ima beskonačno mnogo rješenja.

c) � �

Sistem je nemoguć.

d) �

Sistem je nemoguć.

3. 456 ´!�{� �z{# 456 ´!�{� �z{# �z{��z{��z{��}�z{} �z{�µ{��z{���µ{� &W.;¶&�$ ;;.;;¶;�$ '''( ''' ³ �

456 ´!�{� �z{# �z{��z{��z{��}�z{} ��$ '''( '''´!�{� �z{# 78 'K '´!�{� �z{# %%78

III KOLOKVIJ

1.

-1

2. -¡ ��N.%8�1%W��.%���.$���.��

3.

Ekstremi su: D¨a�!��� ���# i F¨a�!�� ���# - © '��'�+ � !����# E !���§# - ª '��'�+ � !�§���# E !� �#

Page 34: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

MAŠINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

17.06.2011.

I KOLOKVIJ

1. Odrediti član u razvoju binoma ji����$> � �����>� k�&koji sadrži �8.

2. Dokazati da za �� � � vrijedi jednakost:

� � �� � � �I� �� �$�� � �$�

3. Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva:

� j�� � " �� k%; ?456 �=� � " 69: �=�B

II KOLOKVIJ

1. Riješiti matričnu jednačinu �DF H, gdje je

D l � � � m � F l �� �� m � H ·� � �¸.

2. U zavisnosti od parametra �, diskutirati i riješiti sistem:

+'' � ''''-'''' � ''�� � �

+'' � ''�-'''' � ''''� �

�+'' � ''''-'''' � ''''� ��

3. Odrediti parametar ³ tako da vektori �{ !��¶� ³� ³ � # i �z{ �³ � � ³ � �� �� imaju isti

intenzitet a zatim naći ugao izmeñu njih.

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost: �9Z��% �+> � � +

2. Odrediti izvod date složene funkcije:

- �+$ � � �: � �+$ � +

3. Odrediti ekstreme i intervale monotonosti sljedeće funkcije: - +�+$ � �

Page 35: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

1. *01%�& ��/ � �$���&.0�.�<�0,.$���&.0� 0, � $� �� � /� �''' ( ''' / �

33 član u razvoju binoma sadrži �8.

2. � / � 0N�01%�N, � �/ � �� �/ � �$ �0N, � / � �

�/ � �$ 0N1,01,,

�01%�N�01$�N,

3. � %$ � " ��$ 456 $7� � " 69: $7�

�� %$ � " ��$ �%; 456 ,7� � " 69: ,7� � 456 ;7, � " 69: ;7, �$$ � " �$$

II KOLOKVIJ

1. � H � �DF�.% DF l'''� � �''' � � � m �DF�.% �� l� �� ��� '''� �'''� �� �m � ·� ¸

2. o �� � �$�� � �� o� �� � �$��� � � o� �� � �$ op �� � �$� � �� a) o   �� �   �' ) '�   �

Page 36: Riješeni zadaci s pismenih ispita

+ rUr $�.���.$� - rsr %�.$ + rtr %.��.$ b) � �

Sistem ima beskonačno mnogo rješenja.

c) � �

Sistem je nemoguć.

3. ��{� }�z{} ����¶�$ � ³$ � �³ � �$ ��³ � �$ � �³ � ��$ '''''( '''' ³ � 456 ´!�{� �z{# �z{��z{��z{��}�z{} $& '''( '''´!�{� �z{# ¹Y4456 $&

III KOLOKVIJ

1. �

2.

-¡ �+$ � +

3.

Ekstremi su: D¨��!���� ��# i F¨a�!��� �# - © '��'�+ � !�§����# E !����§# - ª '��'�+ � !���� ��#G£����¤

Page 37: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

GRAðEVINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

30.06.2011.

I KOLOKVIJ

1. Odrediti član u razvoju binoma ji����$> � �����>� k�&koji sadrži �8.

2. Dokazati da za �� � � izraz � �$�1% � ���1% djeljiv sa 17.

3. Ako je � %$� " ��$ , izračunati sve vrijednosti korijena i�� � %p � "�&>.

II KOLOKVIJ

1. Riješiti matričnu jednačinu D� � �F � � D ako je

D l� �� � �� � �m i F l� � �''� ''� � m.

2. U zavisnosti od parametra �, diskutirati i riješiti sistem:

+''' � ''''-''''''''''' � ��

�� � �- � �� � �� �

�� � �+''''''''''''''''''– '�� � ��

3. Odrediti parametar ³ tako da vektori �{ !��¶� ³� ³ � # i �z{ �³ � � ³ � �� �� imaju isti

intenzitet a zatim naći ugao izmeñu njih.

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost:

�9Z��%+� � + � �+, � �+ �

2. Odrediti izvod date složene funkcije:

- �+$ � � �: � �+$ � +

3. Odrediti ekstreme i intervale monotonosti sljedeće funkcije

- +$ � �+$ �

Page 38: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

2.

� / �

� �$�01%�1% � ���01%�1% � �$01%1$ � ��01%1�

�� � � �$01% � � � ��01%

�� � �� � � �$01% � � � ��01%

� � � �$01% � �� � �$01% � ��01%�

�� � �$01% � �2�

II KOLOKVIJ

1. � �D � ±�.%�D � �F� D � ± l �� � �� � m �D � ±�.% � l� � '''�� ''' ��� '''� '''�m D � �F l� � �� �� � �m � � l'''�� � '''��� ' ���'''�� '''� '''��m

III KOLOKVIJ

1. �

Page 39: Riješeni zadaci s pismenih ispita

UNIVERZITET U BIHAĆU

TEHNIČKI FAKULTET

MAŠINSKI ODSJEK

Pismeni dio ispita iz predmeta MATEMATIKA 1

01.07.2011.

I KOLOKVIJ

1. Odrediti koji član razvoja binoma ?��+` � ��>$ B� sadrži +$�+,` ako je zbir prva tri binomna

koeficijenta jednak ��.

2. Dokazati da za �� � � vrijedi jednakost: � � � � � � � � � � I� ��� � � �$�� � � 3. Izračunati naznačene operacije u skupu kompleksnih brojeva:

� j�� � " �� k%; ?456 �=� � " 69: �=�B

II KOLOKVIJ

1. Riješiti matričnu jednačinu D�.%F FD, gdje je D � � � 9'F � � �. 2. U zavisnosti od parametra �, diskutirati i riješiti sistem:

+'' � ''''-'''' � ''�� � �

+'' � ''�-'''' � ''''� �

�+'' � ''''-'''' � ''''� ��

3. Dati su vektori �{ �� � ³� � � � ³�, �z{ ��� � �� i �{ ��� �� ��. Odrediti parametar ³

tako da je � !�{� �z{# � ��{� �{�, pa za dobijenu vrijednost ³ odrediti veličinu ugla.

III KOLOKVIJ

1. Odrediti graničnu vrijednost: �9Z��, � �� � + � �� � +

2. Odrediti izvod date složene funkcije: - �: �+ � ���+ � ��+ �

3. Odrediti ekstreme i intervale monotonosti sljedeće funkcije: - +�+$ � �

Page 40: Riješeni zadaci s pismenih ispita

RJEŠENJA:

I KOLOKVIJ

2. � / � /$�/ � � � �/ � ��/ � �� �/ � ��/$ � / � ��

�/ � �$�/ � ��

II KOLOKVIJ

1. � FD.%F.%D D.% � �� '''� F.% �''' �� � FD.% � � '''�� F.%D �''' � �� � �� �

III KOLOKVIJ

1. �