Research Collection

Doctoral Thesis

Wärmewiderstand durch SpinwellenSpinwellenstreuung in einem Ferromagnetikum

Author(s): Quattropani, Antonio

Publication Date: 1963

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000087554

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ETH Library

Prom. Nr. 3265

Wärmewiderstand durch

Spinwellen — Spinwellenstreuungin einem Ferromagnetikum

Von der

EIDGENOSSISCHEN TECHNISCHEN

HOCHSCHULE IN ZÜRICH

zur Erlangung

der Würde eines Doktors der

Naturwissenschaften

genehmigte

PROMOTIONSARBEIT

vorgelegt von

ANTONIO QUATTROPANIDipl. Phys. E.T.H.

von Arzo (TI)

Referent: Herr Prof. Dr. M. Fierz

Korreferent: Herr P. D. Dr. W. Baltensperger

1963

Druck: Konrad Triltsch, Graphischer Großbetrieb, Wiirzburg

Sonderdruck

aus „Physik der kondensierten Materie", Bd. 1, Heft 2, S. 125-142 (1963)

Springer-Verlag, Berlin • Göttingen • Heidelberg

Die Wärmeleitung durch Spinwellen wird mit Hilfe der Boltzmanngleichung behandelt. Es

wird dabei nur Magnon-Magnonstreuung berücksichtigt. Im Gegensatz zum Fall der Phononen

mit einem linearen Dispersionsgesetz wird der Stoßterm der Boltzmanngleichung auch ohne

Hinzunahme der Umklappprozesse von Null verschieden.

In einem Spinsystem, dessen Hamiltonfunktion aus Austausch- und Anisotropieenergiebesteht, hat der thermische Widerstand in der Spinwellennäherung die folgende Temperatur¬

abhängigkeit :a _|_ fe J7312

_

La conduction thermique par ondes de spin est traitée à l'aide de l'équation de Boltzmann,en considérant seulement la diffusion magnons-magnons.

Contrairement au cas des phonons avec une dispersion linéaire le terme de collision dans

l'équation de Boltzmann pour les magnons est différent de zéro, même sans considération des

processus Umklapp.Dans un système de spin dont l'Hamiltonien contient l'énergie d'échange et l'énergie

d'anisotropie, la dependence de la résistence thermique en fonction de la température est

donnée, dans l'approximation des ondes de spin, par la relation suivante :

0 + 6JT3/2.

The heat conduction by spin waves is obtained using the Boltzmann equation and con¬

sidering only magnon-magnon scattering. In contrast to the case of phonons with a linear

energy-momentum relationship, Umklapp processes need not be considered to obtain a non-

vanishing collision-term in the Boltzmann equation for magnons.

In a spin system with a Hamiltonian consisting of exchange and anisotropy energies the

temperature dependence of the thermal resistivity is

within the spin wave approximation.

1. Einleitung

Der Wärmewiderstand eines dielektrischen Ferromagnetikums wurde durch

Akhiesbr und Shishkin [1] zum ersten Mal untersucht. Für ein Phononen-Spin¬

wellensystem in einem Temperaturgradienten lösen diese Autoren eine Boltzmann¬

gleichung, deren Stoßterm Wechselwirkungen (W.W.) zwischen Spinwellen und

zwischen Spinwellen und Phononen enthält. Das Resultat der Untersuchung ist

ein thermischer Widerstand, der bei fallender Temperatur exponentiell ver¬

schwindet. In Analogie zur Wärmeleitung durch Phononen werden nur Umklapp¬

prozesse (U.P.) betrachtet. In einem Phononensystem mit linearem Dispersions¬

gesetz ergibt sich bekanntlich ohne U.P. kein thermischer Widerstand, weil jeder

beliebige Stoß zwischen Phononen den Wärmefluß unverändert läßt, wenn En¬

ergie- und Impulssatz erfüllt sind.

126 Antonio Qttattropani :

Thellung [2] bemerkte, daß Normalprozesse (N.P.) zwischen longitudinalenund transversalen Phononen mit verschiedenen linearen Dispersionsgesetzen den

Energiefluß ändern. Ein ähnliches Verhalten zeigen Stöße zwischen Spinwellenmit quadratischem Dispersionsgesetz: et = PA;2.

In der Tabelle wird für verschiedene Prozesse angegeben, ob sie den Energie¬

transport zu ändern vermögen.Wir berechnen [3] den Wärmewiderstand der Spinwellen ohne U.P. in einem

dielektrischen Ferromagnetikum für tiefe Temperaturen.

Tabelle. Einfluß der Normalproeesse zwischen Quasiteilchen auf den Energietransport

Stoßende Quasiteilchen Einfluß der Stöße

1. Phonon — Phonon Nein

(lineare Dispersion, nur eine

Polarisation)2. Phonon — Phonon Ja

(lineare Dispersion,verschiedene Polarisationen)

3. Magnon — Magnon Ja

(quadratische Dispersion,Ferromagnetikum)

4. Magnon — Magnon Nein

(lineare Dispersion, Antiferro-

magnetikum, H = 0, keine

magnetische W.W.)5. Magnon (Ferromagnetikum) — Ja

Phonon

6. Magnon (Antiferromagnetikum) — Ja

Phonon

Die Bechnung, die wir ausführen werden, gilt nicht für ein Elektronen-System.Bei der Behandlung der Wärmeleitung durch Elektronen wird verlangt, daß kein

Strom fließt. Eine solche Bedingung tritt für Quasiteilchen, die keine Ladungtransportieren, nicht auf.

2. Formelle Umformung der Boltzmanngleichung

a) Die Verteilungsfunktion nk genügt der Boltzmanngleichung :

nk\ Stöße = w*|äußere Kräfte •

Den Ausführungen von Ziman [4] folgend, wollen wir die linke Seite (Stoßterm)der Boltzmanngleichung umformen.

Die Hamiltonfunktion des betrachteten Systems habe in einer Quasiteilchen-

Darstellung folgende Form :

H = ]?Ekaiah + H1 (1)k

Hi = 2 \A (fci fc2 • • fcjv) «k«*, • a-uN + n-c-] •

ftj*,,...*^

Das Folgende gilt auch für Systeme mit verschiedenen Quasiteilchen, zwischen

welchen W.W. bestehen.

Warmewiderstand durch Spinwellen 127

Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit zwischen zwei Zuständen ist :

b = 2£-\M{Hi)\*d{AE)mit

M (Hi) = Matrixelement von Hx

ô(AE) = Energiesatz

ô(AI) = Impulssatz.

Der Stoßterm nimmt folgende Form an :

'nKIstoße = jdk2dk3 ... dkNb ô(AI)

Das Integral erstreckt sich über 3(N — 1) Variablen, wobei die ^-Funktionen die

Integrationen über 4 Variablen eliminieren.

Nach der Erfüllung des Impulssatzes erhält man :

<|stoß. = ^T 2 J" dh • • • dkN Ô (AE) | M (Hi) \ *.

Die Summe erstreckt sich über alle Matrixelemente von Hi. Der Integrand ist nur

auf der Energiefläche der Dimension (3iV — 7) von Null verschieden.

Nach der Einführung des vektoriellen Oberflächenelementes drv der Energie-flache hat man :

dk% ... dkjsf — drv • dfiv = drdjjL (2)mit

v = Einheitsvektor normal zur Energiefläche,

d/j, = Differential längs v.

Die Änderung der Funktion AE in Richtung v ist:

d(AE)\, = &sA(AE)'Vàp,

so daß das Volumenelement (2) von folgender Form wird:

dk3dk4...dkN = dr-d(AE)gTSüä{AE).v

Somit wird

nkilstoae = ^\dTd(AE)\M(Hi)\2 gJd\A/J}.vAuf der Fläche AE = 0 ist gmd(AE) parallel zu v, so daß

grad(AE)-v = \gr&d(AE)\.

b) Wir werden voraussetzen, daß von außen nur ein Temperaturgradient (in

z-Richtung) auf das System wirkt.

Die Verteilungsfunktion erfährt infolge des Temperaturgradienten die Ände¬

rung

_

dnk dT_(M)t|gradT — gy

Xgz

X vz •

128 Aktonio Qtjatteopani:

Zur Lösung der Boltzmanngleichung schreiben wir die gestörte Verteilungs¬funktion als

nk = n°k + ^-X(T;gdT;k), (3)

wobei n°k die Verteilungsfunktion im Temperaturgleichgewicht ist.

Mit dem Temperaturgradienten längs der z-Achse ist diese Richtung aus-

/ BT \

gezeichnet und wir setzen %(T; grad T\ h) als %\T\-5—; k; kzI an.

Wir benützen die folgende Entwicklung von ^:

c) Die Hamiltonfunktion (1) kann allgemeiner aussehen:

H = 2 ekatak + 2 [-4*,«»,«*,«*, + h.c]K Äj 1^2 "3

+ 2[c'**a*ia*ia*3a*« + û-c-n—.«j «2 *3 *4

so daß die Boltzmanngleichung von folgender Form wird:

nk\ stoße= Z, tra*lStößel* = w*|grad T •

1

t»1*! stoße]* i8* der Stoßterm, der vom ».-Summanden der W.W. herrührt.

Es sei ^ die Lösung der Boltzmanngleichung, wenn nur der i.-Summand der

W.W. von Null verschieden ist. Der Wärmewiderstand sei in diesem Fall q1.Wir werden voraussetzen, daß der gesamte Wärmewiderstand q von folgender

Form ist :

(vgl. z. B. Ziman [4], Seite 285).I dT \

d) Es scheint uns hoffnungslos, WT1;-^— ; k; kz\ explizit angeben zu wollen

(z. B. aus dem bekannten Variationsprinzip für die Boltzmanngleichung). Wir

wollen jedoch zeigen, daß unter Voraussetzung der quadratischen Dispersion der

folgende Produktansatz gilt :

Die gestörte Verteilungsfunktion schreiben wir als

c,

dn% I dT

e£*faf 1 „

; (k*)l~

ef*'*B2,_,"

kBT ZPl (*)1,1

nk soll nicht negativ sein. Mit ek = Pk2 und für l — i < 2 existiert immer ein

endliches Gebiet, in welchem nk < 0 ist. Folglich reduziert sich die Summe auf

folgende Terme :

X = fkn+^p[(^1n = 0 l-i = n + 2

v

Wärmewiderstand durch Spinwellen 129

In dieser Summe dominieren für kleine k die Terme

Da die einzige Länge, die in der Theorie vorkommt, der Gitterabstand ist, giltdiese Näherung für kr <<; 1 (r: Gitterabstand). Dies wird für die quadratischeDispersion der Spinwellen ohnehin vorausgesetzt.

Wir führen den gewonnenen Ausdruck für nk in die integrierte linearisierte

Boltzmanngleichung ein

J dk-y (Wi|St0ße) = J dk -j- («i|grad T>

j ««k (»tigradT; — % ~dV T\ P ) '

Es ist

wobei G eine reine Zahl ist (11).

Analog wird der integrierte Stoßterm

f dk ~ K|Stoße) = T* L2 l\n, m)& T<- m)/2

wobei cp und /"(», m) reine Zahlen sind und L temperaturunabhängig ist.

Mit der Entwicklung

H)-^'\HI

wird die integrierte Boltzmanngleichung somit

axdz-1 ^ ^-p v ' ; PK

"-1

dza,ß '

n — m— 1

Sie ist erfüllt, falls

nn,m n,m s,

s

so daß

BT7)"=——

T-<Pn"'m

Pm — dz "1> —V

Somit spaltet die unbekannte Funktion (4) in ein Produkt auf

mit

3. Wärmeleitung eines dielektrischen Ferromagnetikums

a) Die Hamiltonfunktion. Wir werden folgende Hamiltonfunktion benützen [5]

H=-2J2Si-Sj + K^{S( S} - 3i^2(S* • Rt,) («r ««)}•N.N. N.N.

Beide Summationen erstrecken sich über nächste Nachbarn.

130 Antonio Qtjatteopani:

Das erste Glied stellt die Austauschenergie, das zweite die Anisotropieenergie

dar.

Rij = Abstand zwischen Atom i und j,

Rij = Ri — R}, R(j = (Xij, Yij, Zij),

J — Austauschintegral,

K = Anisotropiekonstante.

b) Die Spinwellen. Nach der Holstein-Primakoff-Transformation

,Sf = (2S)i/2(l_4f-)1/2aj,Sr = (2S)i/2Œ*(i_i£jL)1/2,S+ = S* + iSv, S- = Sx-iS«,

Sz = S — a* ai,

[ai, <]- = am

nimmt H folgende Form an:

N.N. N.N.

wobei r der Abstand zwischen nächsten Nachbarn ist.

Dabei ist

A^ = 2Sa?(l - 4^)1/2 f1 - -%L)a« + S2 - 2Sa*ai + «*«<<«»>

Af2, = Zfm (S2 — 2Saf ai + af <n «£«»,) +

J_ 7?+ H~ Vn*(l o,fa,\v^U a*am\V2~r nimnimliai y- 2~S~) \ 28 ) m

+ Zlm i?,+ (2 S) (S - af at) a* (l - -~f-)

+ Zlm Rfm (2 S)i/a (S -afai)[l- -ff-) am

.-p+vo'S */, a,*a,\V2 */, a*am\l/2

T- 1-";; 2"a; l^1 2S-/ a"*\ %8~j

i

fj?-\28(i a?a,\U2 I at am \V2+ (-«*/») 2^1 2S~~] "H1 2S~~j am>

fym = -^Jm + * YIm, Rim = Xim — i Yim .

An dieser Stelle werden wir die übliche Näherung ansetzen:

,afa, U/2 af a,

1 —'

n p

^ 1

28

~ x

48'

Wir werden alle Terme in A^ und ^4^, die höher als vierter Ordnung in ai und af

sind, vernachlässigen.

Wärmewiderstand durch Spinwellen 131

Die Hamiltonfunktion hat im Impulsraum folgende Form :

H-=^Akatakk

k

"1 «2 «3

+ 2 (DktataiaKaK + h-°o*1*!*3*4

+ 2 (E*i at aK aK aK + ü- c).kjttk,ht

Die Impulsraumtransformation lautet :

ak = N-^^e-ih-R'aii

ai=N-u*2eik-*>af.i

N ist die Anzahl der Atome im Kristall.

Dabei ist [6]

Bk=-Zm^(Xh-iYh)2+ Z^f(Xh-iYh)*(l-e<'<-R»).h h

Durch die Einführung neuer Operatoren dk und dk nimmt die Hamiltonfunktion

folgende Form an :

H = 2 Bkdkdt + 2 (C^a**«*,«*, + h.c) H ,

k &i k2 k3

mit

e*=(M*|2+|-Bt|2)1/2, «» = «»^ + ^^4.

Wir werden die Wärmeleitung für folgende Fälle untersuchen:

Fall I: K = 0 : Wir vernachlässigen die Anisotropieenergie.Die Hamiltonfunktion hat nun die nachstehende Form:

H = 2 £*«*«* + 2 (-P^«*! «*,«*,«*. + h-c-)* *1 *2 *3 *4

mit

e*=P*2,

P=2SJr* (für kubische Gitter).

Dieses quadratische Dispersionsgesetz gilt für rk -4 1.

Pa/Z 77: ÜT 4= 0 : Wir vernachlässigen die Abweichung von der quadratischen

Dispersion, nicht aber jene W.W. zwischen Spinwellen, die eine Folge des Aniso¬

tropiefeldes sind. Die Rechnung ist analog wie im Fall I. Wir werden nur die

wesentlichen Schritte anführen.

132 Antonio Quattbopani :

Die Hamiltonfunktion hat folgende Form :

H = 2 £* «* «* + 2 (C*. a*a «*a «*, + h. c.)ft ftl ft2 *3

+ 2 (-0*, a*i a£ a*3 aK + h- c-)*1 *S *3 *»

+ 2(^4,ofxo4,afc,ofc, + h.o.) (7)&z fc2 k3 kt

mit

£t=PF,

Der erste Summand stammt aus der Austauschenergie, der zweite aus der Aniso¬

tropieenergie.

Falll

Die W.W. sind in diesem Falle von folgender Form :

Hi = J 2 (a* a* ai am + h. c) — J 2 («* «*%% + h. c.).NN NN.

Hi wird im Impulsraum :

Hi = JN'^è{AI)[{f{ki) - /(*2 - fc4)} ««*,«*, + h.c]tl Jlj *3 *,

mit

/] / = ä4 + A3 — k2 — &i,

/w = 2eîfcRA-h

Die Summation über ä erstreckt sich über die Nachbarn eines beliebigen Atoms.

Wir benotigen die Matrixelemente von H\ :

<(»*, + 1) (nu, + 1) («*3 — 1) {nK — 1) |#i| nkinkinKnkiy = Mi,

<(wii — 1) (wfca — 1) (nK + 1) {nK + 1) |.ö"i| nkinhnk3nKy = J^,

Jfi = JN-iô(AI)Fki ]/nK + 1) Ks + 1) »*,»*.exp[t(e4l+e4i-e4,-efct)«/Ä],

**. = 2/(Ä') - /(fe4 - &2) - /(*4 - fei) - /(*8 - *2) - /(*3 - *l) •

J = l

Es laßt sich damit die Boltzmanngleichung aufstellen :

<istoße = 4r^-22I^J2(^;*

2 fta ^i

Qkt = {(nki + 1) (wjt, + 1) nk3nK — nknK(nK + 1) (nK + 1)}

mit den Bedingungenzl/ = 0,

J£ = P(4? + kl - k\ - k\) = 0.

Warmewiderstand durch Spinwellen 133

Nach der Transformation der Summen in Integrale wird

r6 J2

»jystoße = (2^)5Ä J dk3dk4 | Fkt |2 Qkt d{AE).

Nach der Einführung von (3) und (6) ergibt sich

-

»jystoße = J-f jdk3dk4{qki + qK — qK — qk} x

X{noK+\){n0K+\)niyK0{T)\Fh\*6{AE)

A

(8)mit

r10J2'

(2n)*hm

Für kubische Gitter und r k <^ 1 ist :

/(fe) = -r2k2 + c,

wobei c die Anzahl nächster Nachbarn eines Atoms ist.

Nach den Ausführungen von Kapitel 2 läßt sich (8) als ein Integral über die

Energiefläche AE = 0 schreiben. Wir untersuchen die Energiefläche:Der Energiesatz

p= »3 T "'é *2 #1 = 0

wird nach der Elimination von &2 durch den Impulssatz :

y-p-= fei • fe4 + fei • fe3 — fe3 fe4 — k\ = 0.

Nach der Koordinatentransformation

fe4 = Z+fe1; Z =(Z2;Zi;Z6),

*s = Z' + fci, Z' = (Zi;Z8;Z5)erhalten wir:

/i ff1

—

Yp~= ZiZ2 + Z3Z4 + Z^Zq = 0.

Diese quadratische Form wird durch die orthogonale Transformation

i =

in Hauptachsenform gebracht :

AE

1 1 0 0 0 0

1 -1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 1 -1 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 -1

1/2

2P= — Vi vl-vt + vl + vi + vl = 0,

134 Antonio Quattropant:

wobei

*i = VÎ(»i-»a) + *î,

*? = V4(»s-«4) + iï,

kz3 = ]ß(v5-v6) + kl,

*ï = j/î(»8 + »4) + *ï,

—p-= 0 läßt sich in Hauptachsenform sehr einfach parametrisieren :

vi = cos ai• sin 0C2

•

0C3,

V3 = sin <xi• sin 1x2

•

ot.3,

V5 = COS <X2•

a3,

ü2 = cos a4• sin 0C5 •

a3,

^4 = sin 0C4• sin as

•

a?,

v6 = cos as•

a3,

mit

0^ai^27T,

0 ^ 0C2 ^ JI,

0 <| a3 < ex.,

0^a4^27r,

0 :£ as ^ n,

Für das Flächenelement dx ergibt sich:

dx = [Détone)]112 da.ida.2dv.zda:idtx5,

3d 3»

(Det (^jt) )1/2 = ]/2 a| sin a2 • sin 0C4.

Wir brauchen noch

|grad(zl#)| =2P(/2a3.

In den neuen Variablen wird

f kj . _J*B(T)r v (TkB\ai + n-m)l2

~\dk1-j^ nki]stme = 2kBp{27l)5h-j,X 2, -pH />, m) grm. (9)

Dabei ist r(n, m) folgende reine Zahl:

r(n,m) = jdwdtt —«Sanaa-anas |-F«,l8- (e[M(g_y)+„r _ 1}X

rfai rfa2 da4 dasX

(e-w2 - 1) (e[«(*+y) + "]* — 1) (e-[2«g+«>]2 — 1)

Wärmewiderstand durch Spinwellen 135

mit

w

U = 0C3

1

«3gn

\ kBT '

(vi;v3;v5) =tx3(gx;gy;gz).

ct3Y = -7~(v2;vi;v6) =<xz(yx;yv;yz),

A1 =

A4 =

(w*)"^2 =

(2itgr* + 102)"

(wz + u(gz — yz))n

(\w + u(g - y)\) '

(w* + u(gz + y2))"

(\w + u(g + y)\) '

Fk( = 4{[w(g - Y) + w] •[«(* + Y) + w] + » '(2m* + w)} • (10)

Analog wird das Integral über die rechte Seite der Hnearisierten Boltzmann-

gleichung :

CiL*' •

_

P dT 1 (TkB\2J Üftl

jfci W*i|grad T-J-fe-fl P j^

'

mit G = $2(wz)2lw2[e">2 — l]-*e«>2dw.Somit erhalten wir

G(T)(2nf2k-RP*G dT

J*r dZ

Die Wärmestromdichte $ ist :

Tfa(7+«-m)/2

<fm F{n, m)

(11)

(12)

mit

0* = ldk1nhleklT1ür= &(T) \dklkBTh{eßkJkBT _ 1)2

= 0(^)T ^V*5"] ß(m,m)Ä

ij(n,m) — Zjaw ^m_2^_ 1ja•

(13)

Wird (12) in (13) eingesetzt, so ergibt sich

&z =

S ß(n;m)qZ2ji52P3fcBG BT (TkB\-W «_m = 2

J2r10h dz«—m = 2

Die Temperaturabhängigkeit von @z hängt damit nicht mehr von der speziellenWahl von qk ab, welche nur den numerischen Zahlenfaktor beeinflußt.

(kz)3Für qk = —j— liefert eme Abschätzung, bei welcher die Integranden durch

geeignet erscheinende Mittelwerte ersetzt wurden, die Größenordnung

öß(3,1)

P(3, 1)10.

136 Antonio Qfattropani :

Damit wird der Wärmefluß

0Z = ^~ 108 y-3/2,

"i «a «3 "j

wobei </ = 10-3 eV und S = 1/2 angenommen wurden.

Fall II

Die Anisotropieenergie liefert die folgenden W.W. :

Hz + H3 + H4.

a) #2 ist von ähnlicher Struktur wie H\ :

#2 = 2 §Va*«*«m+ 2 ^^(tfafa^ + h.c.).N.N. N.K".

Nach der Impulsraumtransformation ist

2(^T^B* - ge«*-(*.-».)) • «5(zl/)«at3ati + h.c.

Der Zusatz von B.% zu #1 modifiziert nur Fk.. Es soll in (7) Fh. durch

ersetzt werden.

i^> = /'(*l) + /'(*2) + /'(*s) + /'(*4) - /"(*4 - *2) - /"(*4 - *l)

- /"(*S - *2) - /"(*a - *l) ,

Ä

/"(*) = 2 §e*H*»A

/'(fc) - /"(*) = F .2 j 2C0S #A^ - 2C0S H §-LI. A A J

ß) Wir betrachten die W.W., die dritter Ordnung in ak und a* ist:

#3 =2 ^{ZimR^af ata* +h.c).

*"N.N.

Die Impulsraumtransformation liefert :

Der in (7) eingeführte Koeffizient Ck. ist also

Ch = tf-i/2 3 Ä"(2/8)i/a <5(zl/) 2 ^leik'-R^,

A*"

ZH = Ä1 + Ä3-Ä2.

Wärmewiderstand durch Spinwellen 137

H3 hat folgende nicht verschwindende Matrixelemente :

<K + 1) K - 1) K + 1) |Hs\ nkinknk3} = **£W!Lf%> x

X |/(nAl + 1) (»fcj + ljra^exp [*(£*,-£*,+fi*,)*/^'

jPJJ) = 2^{e*-K" - crt'-H»}. (14)

Für das andere, nicht verschwindende Matrixelement

<(»*, - 1) (w*a + 1) («*, + 1) \H3\nKnknky

findet man einen ähnlichen Ausdruck.

Nach dem bereits skizzierten Schema wollen wir die Boltzmanngleichunglösen.

In den betrachteten Stößen

*i — kt + fe3 = 0

spielt Ä2 eine andere Rolle als fei oder £3. Infolgedessen müssen hki und hk ge¬

trennt behandelt werden.

1.

»^=I^I^^Xkk

hN

<h(T){<fi>-<fi>-q%}X

(e^kJ^T - 1) (e-«fc,/*Bir - 1) (e^fer - 1)'

Impulssatz : &i + fe3 — k% = 0

Energiesatz : P(&f — Jfe| + &t) = °

Energiefläche : g• x = 0

mit

g = fei, x = g— fe2,

Parameterdarstellung der Energiefläche :

xï = gyh + gzh = g«.i,

xv = —gxti =goLZ,

Kz=—gxh =ga-3,

|(grad^E)| =g.

Flächenelement :

\Pet(ga)]mdtidtt = g*da,

da = (ßl + ßl)(ßl + ßl)~ißlßl1/2

7 7

dt\dfa,

Phys. kondens. Materie, Bd. 1 10

138 Antonio Qtjattbopani :

Fty entspricht Fty in (10), wir werden es nicht explizit angeben. Es folgt unmittel¬

bar aus (14) durch Entwickeln der Exponentialfunktion.

0(T)(3K)2(2S)riK ^ „ , , m.

- «JMStöße = kÎTPH(2„)* 95 IVn~mNl^ m)$ '

_

(ßz - «3)" .„

_

(ßa + aa)"

N,(n m)~[ (ß-a)m+ W*>

(ß + a)m IKDI2A,

*bT - lj \e ^bT - 1) \e *bT - 1

'*,|Stößeff»y—

P5ä(2ji)2

J»»,|8«.B.-7dfl, =

f»»(2WV X2^l(»>)' '"

»—m = 2

mit

I\ (n, m) = j yi-n-m Nx (n, m) dy,

>Vt£tWir erhalten somit

U^1I~(2S)(3K)*kBrl dz

J

\n-m = 2m\ P ' I '

2.

_T 2 n (3 g)»2 g (1) 02(D {gg - g',2,' - gg}

*,|Stoße Z* Äjy^ I *i I ^

(e.jt/*B2']-l)(e-»*,/*B2'-l)(ee*./*B2,_l)-

Impulssatz : &i — k% -\- k$ = 0.

Energiesatz : &f — if + fc§ = 0.

Energiefläche : x:2 — -j- gr2 = 0

mit

x = äi — y g l3 = yg-)t &2 = g.

Flächenelement :

g2da, da = -r sin&d<pd&.

(. gz , (3K)20(T)kjT3(2S)r^

-

J »».IStößeydcr -

P5Ä(2W)2

r2(m, m) = j2/7+»-mdyi^2(w, m).

A'2(», w) hat eine ähnliche Struktur wie iVi(w, m).

n ,_(2n)2P4ö 3T „/

v JkBT\n-me*W=2SkB{3K)*rilTT I A(»,m) -p-) ^

y) Die Anisotropieenergie enthält schließlich noch die folgende W.W. :

N.N.

*t t, *, *, L A

„<2)n

Warmewiderstand durch Spinwellen 139

Die Matrixelemente von Ha sind :

<(»*, + 1) Ka + 1) (w*. + 1) {nK - 1) \Ht\ nKnksnKnk^O TT

„________

=

IT F% V(n*i + !) K + 1) K + l)»*.Xexp[»(e_1+e-1+e_.-e_.)'/Ä];

_F<f) __V (ffi)2

{e-»*i «ä _L e-»*2 Rh _|_ e-**3 «a\(

A4r-

und

1.

fc[ K2 «^

©a(3'){-2_1)-_if:-__1>+__j}~

(e*kJlBT - 1) (e^r - 1) (eekßBT - 1) (e-^4Mßr - 1)"

Impulssatz : &i + fe2 + &3 — &4 = 0.

Energiesatz • &f -f- &f -f- kl — k\ = 0.

Energieflache : k • x = gr2

mit

fc = *2 + g, X = &3 + g ,

g = fcl, &4 = fe + K — g .

Nach der Hauptachsentransformation L wird die Energiefläche :

z?+ _! + _i-_!-_ï-_§-«/* = 0

Parameterdarstellung •

_i = # cos ai• sin a2

• Ch a3 ,

%2 — g sin ai • sin a2 • Ch a3 ,

Z3 = g cos a2• Ch a3,

Zi = g cos a4• sin as

• Sh a3,

_>5 = g sin a4• sin as

• Sh a3 ,

Zg= g cos as• Sh a3 .

Flachenelement : g5 (Ch 2 a3)1/2 da,

da = Ch2 a3 Sh2 a3 sin a2 sin a4 don denz das dem das

|grad(__)l = g-(Ch2a3)1/2,

e3(T)i-W(3I)2w

(kBT)ni2 v _

^ ^(kBTyn-m)l2 (3)n

» —m = a

_T3 (n, m) = j ylO+n-m N3 (n> m) dy ,

_______? T-3/2__LriQ(3Z)2Ji;jt/!i 9z

@3(T) = /„„TN«»-)/2

S _T,(»,»)(B

n —m = 2 \ -^

10*

140 Antonio Qitattropani:

2.

<,Stöße = ^g?2- 2 \F^Ô(AE)hN2

M.*.

_

(e'kßüT — 1) (eekJkßT - 1) (eekßBT - 1) {e-^kßnT - 1)'

Impulssatz : ki + k% + A3 — fc4 = 0.

Energiesatz : k\ + &| + fc§ — k\ = 0.

¥

Energiefläche : A: • x + &2 + x2 = -5- gr2

mit

k = k2 — yg, x = fe3 — yg.

g = &4.

Nach der Hauptachsentransformation Z wird die Energiefläche :

Parameterdarstellung :

Flächenelement :

Zj\ = g cos ai• sin a2 sin a3

•

-y ,

1/2^3 = £7 sin ai

• sin a2 • sin a3•

-y ,

A = ö* cos a2 • sin a3 •

-y,

Zz = g cos a4• sin as

• cos a3• 1/ "3".

Z4 = <? sin a4• sin as

• cos a3• 1/y ,

Z6 = gr cos as• cos a3

• 1/y .

f 2 2)1/2g5<cos2a3- 32" + sin2a3-yJ- da,

rfff =-p-

sin2 a3 • cos2 a3 • sin a2• sin a4 X dai da2 da.3 don das

- ( 2 2 11/2

| grad (AE) \ =pg <j-^- cos2 a3 + ysin2 a3| ,

P"/2(2 7t)5g dT

riO(3Z)a^l2"är

S A(»,m)P^) -sä»"

Wärmewiderstand durch Spinwellen 141

Nachdem alle &i(T) bekannt sind, läßt sich der gesamte Wärmewiderstand q an¬

geben.Der Wärmefluß ist nach (13)

n— m = 2 '' ^ '

Mit q = 2 gw wird der gesamte Wärmewiderstand

BT 1

dz qM'

%2

P ^ A Pn—m --

TIct(n — m)f'Z

mit

Z-(2 nf 2 P11/2G

r(n,m),

rffm)

J (n,m) im

r(4) yJ

(n,m) \

r10J2pj2ZX =

(2ji)2P4(?

ri(ZK)2kB(2S) ' z3 =(2jr)5P11/20

r10(3JK)2*|/a '

«^=2 (^r-",,8-ri-û(»,»), ^=2 (^r-mw-e-û(».»).n-m=2 \ / »-m=2^ '

Für die üblichen Werte von J und if gilt :

Z 4Z1 und Z <§Z3.

Die Größenordnung von F(n, m) (W)-1, r<3> (n, m) {W<3))~1 und /W (», m) • (^(4))-idürfte die gleiche sein, so daß

r(n,m) rW{n;m) rW{n,m)>

Z3¥W zaywist.

Der Wärmewiderstand wird :

K2 1

6~

J3g2-Li ~T- J-

J5/2 $9/2^2

mit

^i=Zi=i 7Ηw = 2

2 fi(»,m)gg>»,/i —m = 2

(2jr)5|2ii/2 \^^{n,m)qm\ .

4. Gültigkeit der Theorie

Wir möchten einige Bemerkungen für die Gültigkeit der Theorie anführen :

1. Ein äußeres Magnetfeld wird in der Rechnung nicht betrachtet.

2. Wir haben uns auf kubische Kristalle beschränkt.

3. Die Spinwellennäherung gilt für tiefe Temperaturen T <^ TCurie.4. Der Beitrag der Phononen am Wärmeffuß wird nicht berücksichtigt, was für

Debyetemperaturen Tp > ^curie berechtigt ist.

142 Antonio Qitattropani: Wärmewiderstand durch Spinwellen

Messungen der Wärmeleitung durch Spinwellen liegen für Ferrite [7] und

Y.I.G. [8] vor. Unser System entspricht eher einem dielektrischen Ferromagnetenwie CrBr3 [9] und EuO [10]. Wünschenswert wären Messungen der Wärmeleitungan solchen Proben.

Zum Schluß möchte ich die Gelegenheit wahrnehmen, Herrn Prof. Dr. G. Busch, Vorsteher

des Laboratoriums für Festkörperphysik der E.T.H. für sein reges Interesse herzlichst zu

danken. Herrn Prof. Dr. M. Fibbz möchte ich für wertvolle Hinweise danken. Ganz besonders

bin ich Herrn P. D. Dr. W. Baltensperger für seine Anregungen und Hilfsbereitschaft ver¬

pflichtet. Ferner danke ich Herrn Dr. J. A. Sussmann für zahlreiche Diskussionen.

Die Arbeit wurde dank der finanziellen Unterstützung des schweizerischen Nationalfonds

ermöglicht.

Literatur

[2] Akchiezer, A. I., undL. A. Shishkin: Soviet Phys.-JETP 7, 875 (1958).

[2] Thellung, A. : Private Mitteilung.[3] Quattropani, A., und W. Baltensperger: Helv. Phys. Acta 34, 780 (1961).

[4] Ziman, J. M.: Electrons and Phonons. Oxford: Clarendon Press 1960, p. 136.

[5] van Vleck, J. H.: Ann. de l'Inst. H. Poincaré 10, 57 (1948).

[6] Holstein, T., und H. Pbimakoff: Phys. Rev. 58, 1098 (1940).

[7] Douthett, D., und S. A. Friedberg: Phys. Rev. 121,1662 (1961).

[8] Lüthi, B.: J. Phys. Chem. Solids 23, 35 (1962).

[9] Tsubokawa, I.: J. Phys. Soc. Japan 15, 1664 (1960).

[10] Matthias, B. T., R. M. Bozorth und J. H. van Vleck : Phys. Rev. Letters 7,160(1961).

Lebenslauf

Als Bürger von Arzo (TI), wurde ich am 25. Oktober 1936

in Mailand (Italien) geboren, wo ich die Primär- und Sekun¬

därschule besuchte. 1954 erwarb ich die Maturität Typus C

am Kollegium in Schwyz. Darauf studierte ich an der Ab¬

teilung für Mathematik und Physik der EidgenössischenTechnischen Hochschule. Im Herbst 1958 erwarb ich das

Diplom als Physiker und war zwei Jahre lang als Assistent

für Mathematik bei Herrn Prof. Dr. E. Spbcker und späterbei Herrn Prof. Dr. A. Huber tätig. Gleichzeitig fing ich

unter der Leitung von Herrn P. D. Dr. W. Baltensperger

die vorliegende Arbeit an. Im Herbst 1960 erhielt ich ein

Stipendium vom Schweizerischen Nationalfonds und war bis

zum Sommer 1962 am Laboratorium für Festkörperphysikbei Herrn Prof. Dr. G. Busch tätig.

Zur Zeit arbeite ich am Centre de Recherche sur les Très

Basses Températures bei Herrn Prof. Dr. L. Weil in Grenoble

(Prankreich).