Research Collection

Doctoral Thesis

Ueber eine Formel von Frobenius zur Berechnung derCharaktere endlicher Gruppen

Author(s): Prokop, Wilfried

Publication Date: 1948

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000103816

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ETH Library

Über eine Formel von Frobenius

zur Berechnungder Charaktere endlicher Gruppen

Von der

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE

IN ZÜRICH

zur Erlangung der Würde eines Doktors der Mathematik

genehmigte

PROMOTIONSARBEIT

vorgelegt von

WILFRIED PROKOP

von Zürich

Referent: Herr Prof. Dr. E. Stiefel

Korreferent: Herr Prof. Dr. H. Hopf

1948

BUCHDRUCKEREI PROKOP & CO., ZÜRICH

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MEINEN ELTEEN

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Einleitung

Aus der klassischen Darstellungstheorie ist bekannt, daß eine

endliche Gruppe nur eine endliche Anzahl von einfachen Charak¬

teren besitzt, und zwar ebenso viele wie Ähnlichkeitsklassen. Die

einfachen Charaktere können bestimmt werden, indem man die

reguläre Darstellung der Gruppe ausreduziert, denn man erhält so

sämtliche irreduzibeln Darstellungen und damit die einfachen

Charaktere. Das Verfahren ist aber sehr mühsam, und für die

Durchführung der Ausreduktion besteht keine allgemeine Methode.

Von andern Ansätzen zur Bestimmung der einfachen Charak¬

tere, die allerdings von stärkeren Voraussetzungen ausgehen, nen¬

nen wir die folgenden zwei:

1. Man versucht, die Charaktere der Gruppe aus bekannten

Charakteren von Untergruppen zu berechnen. Als wesentliches

Hilfsmittel tritt dabei ein von Frobenius angegebener Zusammen¬

hang zwischen Charakteren der Gruppe und solchen der Unter¬

gruppen auf (I)1). Die Absicht bei diesem Vorgehen ist, auf induk¬

tivem Weg die Charaktere aller endlichen Gruppen zu bestimmen.

2. Jede endliche Gruppe kann als Untergruppe einer symmetri¬schen Gruppe aufgefaßt werden. Jeder einfache Charakter einer

endlichen Gruppe ist also (i. a. zusammengesetzter) Charakter

einer symmetrischen Gruppe. Daraus ergibt sich das Problem,

unter den Charakteren einer symmetrischen Gruppe diejenigen zu

finden, die einfache Charaktere einer bestimmten Untergruppesind. Untersuchungen in dieser Richtung hat Lütlewood durchge¬führt (II). Wie man die dabei benötigten Charaktere der symme¬

trischen Gruppen berechnen kann, hat Frobenius angegeben (III).

l) Römische Zahlen in Klammern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis

am Schluß der Arbeit.

5

Besonderes Interesse fand die zuerst genannte Methode, die wir

kurz die Methode von Frobenius nennen. Ihre Durchführung ge¬

schieht in zwei Schritten :

Erster Schritt : Berechnung der verallgemeinerten Charaktere

der Gruppe, d. h. desjenigen Moduls, der von den Charakteren

der Gruppe erzeugt wird.

Zweiter Schritt : Bestimmung der einfachen Charaktere als

Basiselemente dieses Moduls.

Mit Hilfe der Formel von Frobenius erhält man einen Modul,der im gesuchten enthalten ist und sich ihm je nach den verwende¬

ten Untergruppen mehr oder weniger nähert. Es ist erwünscht,ein Kriterium zu besitzen, das entscheidet, ob die beiden Moduln

zusammenfallen oder nicht, bevor ein eventuell zweckloser Ver¬

such zur Durchführung des zweiten Schrittes unternommen wird.

Die Herleitung eines solchen Kriteriums ist ein Gegenstand dieser

Arbeit.

In neueren Arbeiten hat Brauer (IV, V) gezeigt, daß in sehr

vielen endlichen Gruppen echte Untergruppen so ausgewählt wer¬

den können, daß die Methode von Frobenius den Modul aller Cha¬

raktere liefert2). Da die Fragestellung von Brauer aber nicht genaudie unsrige ist, liefert sein Auswahlprinzip unter Umständen mehr

Untergruppen als zur Berechnung des Moduls der Charaktere

nötig wären. Das Kriterium, das wir angeben werden, kann dazu

beitragen, die Anzahl der für unsern Zweck notwendigen Unter¬

gruppen zu reduzieren. Es ist in § 2, Nr. 1 formuliert. Zu seiner

Anwendung muß ein Determinantenteiler einer gewissen Matrix

berechnet werden ; in speziellen Fällen genügt die Berechnungeiner Determinante (Spezialfall § 2, Nr. 2).Wie sich zeigen wird, sind bei unsern Überlegungen Sylowgrup-

pen von besonderer Wichtigkeit. Diese spielen überhaupt in der

Darstellungstheorie der endlichen Gruppen eine ähnliche Rolle wie

2) Der Satz gilt für alle endlichen Gruppen, die nicht zyklisch, keine p- Gruppeund auch nicht direktes Produkt einer zyklischen und einer p- Gruppe sind. Die

Untergruppen, die Brauer benützt, sind gewisse direkte Produkte der eben ge¬nannten Art.

6

die maximalen abelsohen Untergruppen in der Theorie der ge¬

schlossenen Lie'schen Gruppen. Bekanntlich kann man die Berech¬

nung der Charaktere einer solchen mit Hilfe jener maximalen

abelschen Untergruppen explizit durchführen. (Vgl. die Arbeiten

VI, VII.)In der vorliegenden Arbeit geben wir in § 1 die Herleitung der

Formel von Frobenius in geeigneter Form, die Grundidee der

Methode und erste Folgerungen über ihre Anwendbarkeit. § 2

bringt ein allgemeines Kriterium zur Entscheidung der Frage, ob

sich die einfachen Charaktere einer Gruppe aus gewissen gegebenenCharakteren ganzzahlig-linear kombinieren lassen, und die Anwen¬

dung auf die in § 1 beschriebene Methode. In § 3 wird untersucht,

welchen Beitrag zur Bestimmung des Moduls aller Charaktere die

Methode dann noch liefert, wenn dieser Modul nicht mit dem aus

den gewählten Untergruppen erhaltenen zusammenfällt. § 4 ent¬

hält eine kurze Zusammenstellung der Resultate.

Die Anregung zur Untersuchung dieser Fragen erhielt ich von

Herrn Prof. Dr. E. Stiefel. Für sie und für sein weiteres reges

Interesse an der Bearbeitung der Probleme spreche ich ihm meinen

besten Dank aus.

7

§ 1. Die Grundlagen der Methode

1. Die Formel von Frobenius

Wir leiten diese Formel hier in der für uns zweckmäßigen Form

nochmals ab.

Es sei G eine endliche Gruppe mit der Ordnung g und der Klassen¬

zahl k. Ihre Klassen Ca (« = 1, 2,..., k) seien bekannt und zur

Unterscheidung von Klassen von Untergruppen (x-Klassen genannt.Die unbekannten einfachen Charaktere von G werden mit %x

(x = 1, 2,..., k) bezeichnet.

Ferner sei H1 eine Untergruppe von G mit der Ordnung ht und

der Klassenzahl k±. Ihre einfachen Charaktere a>"3) ( v = 1, 2,..., kx)

sowie ihre Klassen Dß (ß = 1, 2,..., &, ) — kurz i/-Klassen ge¬nannt — seien bekannt.

Jede Darstellung von G erzeugt nun eine solche von H1, die

i. a. reduzibel sein wird, auch wenn die Darstellung von G irreduzi-

bel ist. Jeder einfache Charakter von G ist daher — als Funktion

auf H1 genommen — ein (i. a. zusammengesetzter) Charakter von

H1. Ist also x ein Element von Hlt so bestehen Gleichungen der

Form

**(*) = ix «>'(*) t=2\2,""k) (i)v=l ^x e al) >

worin die Koeffizienten avx reelle nicht-negative ganze Zahlen sind,die nur von x und v abhangen, nicht aber von x.

Da wir es noch häufig mit reellen ganzen Zahlen zu tun haben

werden, setzen wir fest : Kleine lateinische Buchstaben bedeuten

immer solche Zahlen. Griechische kleine Lettern stehen — ab¬

gesehen von ihrer Verwendung als Indizes — für Zahlen, die nicht

notwendig reell-ganzzahlig sind.

3) Der Grund für die Hochstellung der Indizes wird später angegeben.

8

Da die Funktionen %K und mv #-Klassenfunktionen sind, be¬

finden sich unter den \ Gleichungen in (1), die zu einem bestimmten

x gehören, nur kx verschiedene. Bedeuten %x(Dß), cov (Dß) die

Werte der betreffenden Funktionen auf der #-Klasse Dß, so sind

die verschiedenen Gleichungen von (1) gegeben durch :

^=î>>"<^> £:!J;::::2>. (1,)

Auf diese Gleichungen werden wir später zurückgreifen.Mit Frobenius gehen wir nun in (1) zu den konjugiert komplexen

Werten über, multiplizieren jede Gleichung mit dem Wert ^{x)

eines beliebigen einfachen Charakters von Ht und addieren dann

die erhaltenen Gleichungen bei festem x und /i

ieHi v = l xtHi V/* — x> ^>- • •' Kl) •

Da nach den Orthogonalitätsrelationen erster Art für die u>v die

innere Summe der rechten Seite für v = fi den Wert hx hat, wäh¬

rend sie für »^/j verschwindet, ergibt sich :

Ï^JÏ)«nx) = K-< t-l'22""k\xeUi vr

— 'i ^ «-l) •

Nun sei Ca eine beliebige G-Klasse. Wir multiplizieren jede der

obigen Gleichungen mit %x(Ga) und addieren dann bei festem «

und ^ :k t

S œHx) E lx (*) Xx (Ca) = \-Zax%x (Ca)xeHl x=i x=i

(oc = 1, 2,..., k ; /i = 1, 2,..., kj) .

Bedeutet ca die Anzahl der Elemente der (r-Klasse Ga, so hat

nach den Orthogonalitätsrelationen zweiter Art für die %x die

innere Summe der linken Seite für xeCa den Wert gjca, wäh¬

rend sie sonst verschwindet. Es ergibt sich daher :

Tl-. S »"(*) = £afi*„(Cj t-l'l'""?)9

Die rechte Seite zeigt, daß wir auf diese Weise kx Charaktere

Je

r = z<%* c«= 1,2,...,^) (2)

von G erhalten, deren Werte nach den Gleichungen

f(Q=yV' Z m^x) !a==!'9'""M (3)

berechnet werden. (3) ist die Formel von Frobenius.

2. Verwertung der Formel von Frobenius

Im folgenden verstehen wir unter einem Charakter von G eine

beliebige ganzzahlige Linearkombination der einfachen Charaktere

von G, in der also auch negative Koeffizienten auftreten dürfen.

(In der Darstellungstheorie werden diese Funktionen gewöhnlichverallgemeinerte Charaktere genannt.) Die Menge aller Charaktere

von G ist dann der Modul, der von den einfachen Charakteren

erzeugt wird. Wir bezeichnen ihn mit Mx. Er ist &-gliedrig.Mit Hilfe von (3) lassen sich nun aus bekannten einfachen

Charakteren von Untergruppen Charaktere von G berechnen und die

Grundidee der Methode ist die, zu versuchen, echte UntergruppenHa (o = 1, 2,..., s) so zu finden, daß die aus ihnen gewonnenen

Charaktere von G den Modul Mx erzeugen.

Bei Verwendung mehrerer Untergruppen gebrauchen wir fol¬

gende Bezeichnungen : Die Ordnungen seien hx, h2,..., hs, die

Klassenzahlen klt k2,..., lcs. Die einfachen Charaktere <ov und

die .H-Klassen D$ werden fortlaufend durchnumeriert, so daß sie

•also in Hl die Nummern 1,2,...,^, in H2 die Nummern kx + 1,

&! + 2,. ..,&! + k2 usw. tragen. Dabei ist zu beachten, daß eine

#-Klasse zwar — als Komplex von G betrachtet — mehrmals

auftreten kann, daß aber die Numerierung darauf keine Rücksicht

nimmt. So kommt etwa die Klasse der Gruppen-Eins s-mal vor,

aber jedesmal mit einer andern Nummer. Diese besondere Art der

Numerierung wird durch die hochgestellten Indizes betont. Wir

bereichnen ferner noch di» Summe k^ + k2 + • • • + ks aller H-

Klassenzahlen mit v.

10

Im Sinne der obigen Numerierung bedeute nun w" (Dß) nur

dann den Wert von w" auf dem Komplex Dß, wenn Dß seiner

Nummer nach zur gleichen Untergruppe gehört wie wv; sonst sei

cov(Dß) = 0.

Analog zu (1*) gilt dann:

^i<"^ 5HJ:::::i). ^

Ferner lassen sich aus den n Funktionen co" nach Frobenius n

Charaktere von G berechnen [vergl. (2) und (3)] :

k

<^ = Za£Xx {p= 1,2,...,») ; (2a)

r{Ca) = --1-. E a*{x) {fl=1'l"'"l] (3a)n>o • Ca xeBa(\Ca (<X = 1, 2,. . ., k) ,

wobei Ha diejenige Untergruppe ist, von welcher w^ einfacher

Charakter ist.

Die Menge aller ganzzahligen Linearkombinationen der n Cha¬

raktere <pp bildet einen Teilmodul Mv von Mx, und es ist nun zu

untersuchen, wie die Untergruppen Ha gewählt werden müssen,

damit M9 mit Mx zusammenfällt.

3. Notwendige Bedingungen für die Untergruppen Ha

Notwendig für Mg, = Mx ist, daß Mv fe-gliedrig sei. Nun zeigt

(3a), daß jeder Charakter q>^ auf denjenigen ff-Klassen den Wert 0

hat, die mit der Untergruppe Ha leeren Durchschnitt haben. Gibt

es also eine G-Klasse, die mit keiner der Untergruppen H0 gemein¬

same Elemente besitzt, so haben auf dieser Ö-Klasse sämtliche

Charaktere y^ den Wert 0. Dann ist aber M9 höchstens (k—1)-

gliedrig. Wir erhalten daher :

Erste Auswahlbedingung : Damit M9 = Mx sein kann, muß jede

G-Klasse in mindestens einer der Untergruppe Ha vertreten sein (d. h.

mit ihr nicht-leeren Durchschnitt haben).

Wir erhalten gleich noch eine zweite notwendige Bedingung,

wenn wir ausnützen, daß im Falle Mv = Mx der Eins-Charakter

11

Xi(%) = 1 von G eine ganzzahlige Linearkombination der Charak¬

tere y?- sein muß. Speziell muß dann die Zahl %x{e) = 1 (e = Eins-

Element von G) eine ganzzahlige Linearkombination der (als Grade

von Darstellungen) ganzen Zahlen cpf1 (e) sein, die nach (3 a) die

Werte

^(e) = TT' °*(e) Q*=i,2,...,n)

haben. Da auch die Zahlen (»^{e) als Grade von Darstellungenund die Zahlen g/ha als Indizes von Untergruppen ganz sind, mußder größte gemeinsame Teiler der letztern 1 sein. Wir erhalten also :

Zweite Auswahlbedingung : Damit Mv = Mx sein kann, muß der

größte gemeinsame Teiler der Indizes der Untergruppen Ha denWert 1 haben.

Die Auswahlbedingungen sind, wie zu erwarten ist, nicht hin¬

reichend. Dies läßt sich etwa am Beispiel des direkten Produktesder Vierergruppe mit der zyklischen Gruppe der Ordnung 3 nach¬

weisen. Es ist hier zwar auf verschiedene Weise möglich, Unter¬

gruppen zu wählen, die die beiden Auswahlbedingungen erfüllen.

Die Anwendung des Kriteriums, das wir angeben werden, zeigtaber, daß nie Mv mit Mx zusammenfällt.

4. Erste Folgerungen über die Tragweite der Methode

Die beiden Auswahlbedingungen erlauben bereits einige Schlüsseüber die Tragweite der Methode. Wir fragen etwa, ob sich die erste

Auswahlbedingung immer erfüllen lasse. Wählt man in G aus jeder6r-Klasse ein Element und bildet dann die von diesen Elementen

erzeugten zyklischen Untergruppen, so ist jede Cr-Klasse in minde¬

stens einer dieser Untergruppen vertreten. Die Untergruppen sind

genau dann alle echt, wenn G keine Elemente der Ordnung g ent¬

hält, d. h. wenn G nicht zyklisch ist. In diesem Fall kann also die

erste Auswahlbedingung immer erfüllt werden. Bei zyklischenGruppen dagegen wird der Modul Mv höchstens (k—l)-gliedrig.Natürlich ist man nicht an die obige Auswahlart der Unter¬

gruppen gebunden. Im allgemeinen wird man mit weniger, aber

umfassenderen Untergruppen arbeiten können.

12

Die zweite Auswahlbedingung zeigt zuerst einmal, daß bei Ver¬

wendung einer einzigen Untergruppe Mv nie mit Mx zusammen¬

fällt. Denn dann ist der größte gemeinsame Teiler der Indizes der

Index dieser einen echten Untergruppe, also ^ 1. M9 kann also

nur dann mit Mx identisch werden, wenn mindestens zwei Unter¬

gruppen verwendet werden.

Ferner kann man aus der zweiten Auswahlbedingung folgern,

daß auch in p-Gruppen die Untergruppen nicht so gewählt werden

können, daß M9 = Mx wird. Denn in diesem Fall ist der Index

jeder echten Untergruppe eine Potenz ^ 1 von p, also auch der

größte gemeinsame Teiler solcher Indizes. Daher kann zwar M9

&-gliedrig werden, wird aber nie mit Mx zusammenfallen.

Andererseits läßt sich in einer endlichen Gruppe, die keine

p-Gruppe ist, die zweite Auswahlbedingung immer erfüllen. Es

existieren in diesem Fall nämlich mindestens zwei Sylowgruppen,

die zu ungleichen Primfaktoren der Ordnung g von G gehören, also

teilerfremde Indizes haben. Nimmt man diese beiden unter die

Untergruppen Ha auf, so ist die zweite Auswahlbedingung erfüllt.

Die Sylowgruppen von G sind daher bevorzugte Kandidaten für

die auszuwählenden Untergruppen. Allerdings genügen sie allein

i. a. der ersten Auswahlbedingung nicht, wie etwa das Beispiel der

symmetrischen Gruppe von 5 Objekten zeigt. Diese enthält Ele¬

mente der Ordnung 6, deren Klasse also in keiner Sylowgruppe

vertreten sein kann. Es wird sich dagegen später noch zeigen, daß

die Sylowgruppen auch vom rein praktischen Standpunkt aus

(Einfachheit der Rechnungen) günstige Eigenschaften haben.

Zusammenfassend halten wir fest :

Satz 1: Bei zyklischen und bei p-Oruppen ist es nicht möglich,

die Untergruppen Ha so zu wählen, daß M^ = Mx wird. Bei allen

andern Gruppen lassen sich wenigstens die beiden (notwendigen)

Auswahlbedingungen erfüllen.

Zu späterer Verwendung ziehen wir noch folgenden Schluß über

die Summe n aller iï-Klassenzahlen ka : Da jede #-Klasse in genau

einer G-Klasse liegt und ferner die Klasse der Gruppen-Eins in

allen s Untergruppen auftritt, muß, sobald die erste Auswahl-

13

bedingung erfüllt ist, &3 + k2 + • • • + ks = n > k + s — 1 sein. We¬

gen s 2; 1 folgt dann n^ k. Ist auch die zweite Auswahlbedin¬

gung erfüllt, so ist sogar s 2g 2 und daher n>k. Berücksichtigtman also beide Auswahlbedingungen, so erhält man mehr als k

Charaktere <pp und daher linear abhängige Elemente des von ihnen

erzeugten Moduls Mv.

§ 2. Kriterien für die Identität des

von beliebigen Charakteren von G erzeugten Moduls

mit dem Modul aller Charaktere

Da diese Kriterien mit der Formel von Frobenius nicht in direk¬

tem Zusammenhang stehen, formulieren wir sie auch unabhängigdavon.

1. Ein allgemeines Kriterium

Es seien

k

yrf4 = E K Xx (n=\,2,...,m; 6£ reell-ganzzahlig) (4)«=1

m beliebige Charaktere von 0. Der von ihnen erzeugte Teilmodul

von Mx sei mit My bezeichnet, und wir fragen nach einem Krite¬

rium für das Zusammenfallen von My mit Mx. Notwendig dafür

ist natürlich m >k.

Wir führen als Hilfsmittel den Modul V aller &-dimensionalen

Vektoren mit ganzzahligen Komponenten und den von den Zeilen¬

vektoren der Matrix, t t t,

"1 "2 • • "k

B =b2 b2 b2

k

&bf. ..6

erzeugten Teilmodul VB ein. Offensichtlich fällt My genau dann

mit Mx zusammen, wenn VB =V ist.

Es gilt nun der

Hilfssatz : VB ist dann und nur dann mit V identisch (und damit

My = Mx), wenn die Matrix B modulo jeder Primzahl den Bang k

hat.

14

Beweis : Die Notwendigkeit der Bedingung ist trivial. Daß sie

hinreichend ist, beweisen wir in der Form : Wenn VB ^ V ist,

dann ist der Rang von B modulo einer gewissen Primzahl kleiner

als k. In diesem Fall gibt es nämlich einen Grundvektor e, der

nicht zu VB gehört. Ist auch kein Vielfaches von e in VB enthalten,

so ist die Dimension von VB und damit auch der Rang der Matrix B

kleiner als k. Im andern Fall sei etwa / e das kleinste Vielfache,das in VB liegt. Rechnet man'nun die Komponenten modulo einem

Primteiler p von /, so werden sämtliche in VB enthaltenen Viel¬

fache von e mod. p dem Nullvektor kongruent. Das bedeutet aber,

daß der Rang der Matrix B mod. p kleiner als k ist. Damit ist der

Hilfssatz bewiesen. Es ist noch zu bemerken, daß die in ihm an¬

gegebene Bedingung sich auch so formulieren läßt : Der größte ge¬

meinsame Teiler aller k-reihigen Unterdeterminanten von B, d. h. der

k-te Determinantenteiler von ß, muß 1 sein.

Da sich diese Bedingung auf die Matrix B bezieht, ist sie un¬

brauchbar, wenn die %x unbekannt sind. Für diesen Fall formen

wir sie wie folgt um : Wir bilden die „normierten Hermiteschen

skalaren Produkte"

(yj^,yjv) = ~ E Cay*1 (G*)yv(Ca) (ii,v= 1,2,. . .,m)ff a=l

und setzen hier (4) ein. Es ergibt sich :

X = l X=l

- Zc*X*(GJXi(c<x)if a=l

(ß,v= 1,2,...,m) .

Wegen der Orthogonalitätsrelationen erster Art für die %K hat

die eckige Klammer den Wert 1, wenn A = k ist, während sie

sonst verschwindet. Somit vereinfacht sich die obige Gleichung zu :

h

W,'r)= ZU*K (fi,v=l,2,...,m) .

X=l

15

Die Zahlen auf den rechten Seiten dieser Gleichungen sind die

Elemente der Matrix BB', die also gleich der „normierten Gram¬

schen Matrix" der Funktionen yi1 ist. Sie ist quadratisch, m-reihigund symmetrisch.

Nun sind die &-reihigen Hauptminoren der Matrix BB' die

Quadrate der k-reihigen Unterdeterminanten von B. Ihr größtergemeinsamer Teiler ist daher genau dann 1, wenn der k-te Deter¬

minantenteiler von B diesen Wert hat. Da BB' symmetrisch ist,stimmt ferner der größte gemeinsame Teiler ihrer &-reihigen Haupt-

minoren mit ihrem k-ten Determinantenteiler überein. Daher er¬

gibt sich : Entweder sind die h-ten Determinantenteiler der Matrizen

B und BB' beide 1 oder keiner hat diesen Wert.

Wie wir weiter oben gesehen haben, kommt es nur darauf an,

ob der k-te Determinantenteiler von B den Wert 1 hat oder nicht,so daß nun also an Stelle von B auch die Matrix BB' untersucht

werden kann, die sich ohne Kenntnis der %x berechnen läßt.

Daher können wir nun festhalten :

Kriterium 1 : Sind yi1, ip2,..., yjm beliebige Charaktere der end¬

lichen Gruppe G mit der Klassenzahl k, so ist dann und nur dann jedereinfache Charakter von G ganzzahlige Linearkombination der ip^,wenn der k-te Determinantenteiler der normierten Gramschen Matrix

der yjP den Wert 1 hat.

Ob dieser Determinantenteiler 1 ist oder nicht, kann entweder

durch Umformung der Matrix auf Elementarteilergestalt entschie¬

den werden oder durch direkte Berechnung des größten gemein¬samen Teilers der k-reihigen Hauptminoren.

2. Ein Kriterium für einen Spezialfall

Im Falle daß unter den Charakteren rp1, y>2,..., y>m sich k un¬

abhängige befinden und diese eine Basis von M,;j bilden (so daß

My den gleichen Rang hat wie Mx), läßt sich ein einfacheres

Kriterium angeben.

16

Wir denken uns die gegebenen Charaktere so numeriert, daß die

ersten k, d. h.

r=Z%Xx (p=l,2,...,k) , (5)

eine Basis bilden. Mit (yt1), (%„) seien dann diejenigen quadrati¬

schen, &-reihigen Matrizen bezeichnet, deren Zeilen die Je Funk¬

tionswerte der Charaktere ip1, f2,.. ., fk resp. Xi> X2>- • •> Xk sind,

mit dettyp), det(%x), deren Determinanten und D bedeute die

Determinante der Koeffizienten in (5). Nach (5) gilt dann folgende

Gleichung zwischen absoluten Beträgen :

\det{r)\ = \D\ \det(Xx)\ • (6)

Nun behaupten wir, daß | D | der Index von M,p im Modul M

aller Charaktere von 0 sei. Geht man nämlich in Mip resp. Mx zu

andern Basen über, so geschieht dies durch ganzzahlige unimodu-

lare Transformationen der ipp resp. der %x. Der Proportionalitäts¬

faktor zwischen den Beträgen der Determinanten der neuen Basen

hat also noch immer den Wert \D\. Nach einem bekannten Satz

aus der Theorie der Moduln4) gibt es aber in Mx eine Basis mit der

Eigenschaft, daß gewisse ganzzahlige Vielfache ihrer Elemente eine

Basis von M^ bilden. Geht man nun zu diesen beiden Basen über,

so ist klar, daß der Proportionalitätsfaktor ihrer Determinanten¬

beträge der Index von M^ in M% ist.

Gleichung (6) ermöglicht nun, diesen Index zu berechnen. Denn

die Zahl | det(%p>1) | läßt sich ohne Kenntnis der %x ausrechnen

und für | det(xx) | gelingt dies ebenfalls. Bedeutet nämlich (xxY

die Transponierte von (xx), so gilt :

I det(Xx) |2 = det(XxY det(Xx) = det(Xx)' det(x~x) = da [(Xxï'(xZ)]

Die Elemente der Matrix (XxY'(Xx) sm(i aDer

Z xACa)-'x~JPß) (*,£ = 1, 2,...,k) ,

X=l

*) Vgl. etwa: v. d. Waerden, Moderne Algebra, 2. Teil, § 106.

17

verschwinden also nach den Orthogonalitätsrelationen zweiter Artfür die %x, wenn « 7^ ß ist ; für x = ß haben sie den Wert g/ca.Wir erhalten daher :

du (Xx) I = + |/_£_r C}C2... «

Damit läßt sich aus (6) der Index von My in Mx berechnen undes ergibt sich :

Satz 2: Die endliche Gruppe G habe die Ordnung g, die Klassen¬zahl k und ihre Klassen mögen c,, c2,. . ., ck Elemente enthalten. Sinddann y)1, f2,..., %pk linear unabhängige Charaktere von G, so ist derIndex des von ihnen erzeugten Teilmoduls M^ c Mx die Zahl

Y-gKdet (ff1) :

Korollar. Kriterium 2 : Aus den linear unabhängigen Charakteren

y)1,^,. . . ,y>k lassen sich genau dann alle einfachen Charaktere ganz¬zahlig linear kombinieren, wenn

det{yp) : \ -

= 1.

3. Anwendung dieser Kriterien auf die Methode von Frobenius

In § 1 haben wir gezeigt, wie man aus einfachen Charakteren von

Untergruppen Charaktere von G berechnen kann. Kriterium 1 gibtnun die Möglichkeit, zu entscheiden, ob sich alle einfachen Charak¬tere von G aus den berechneten ganzzahlig linear kombinierenlassen oder nicht.

Für die verwendeten Untergruppen Hlt H2,..., Hs haben wirals erste notwendige Bedingung gefunden, daß jede (r-Klasse inmindestens einer der Untergruppen Ha vertreten sein muß. Diese

Bedingung ist nicht hinreichend dafür, daß der Modul Mv, dendiese Untergruppen liefern, mit dem Modul Mx aller Charakterezusammenfällt. Wir werden aber später beweisen, daß, wenn diese

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Bedingung erfüllt ist, der Modul Mv &-gliedrig wird. Wenn sich

unter den berechneten Charakteren q>^ eine Basis von Mç befindet,

kann also die Entscheidung auch mit Hilfe des einfachem Krite¬

riums 2 gefällt werden. Die Beantwortung der Frage, ob eine solche

Basis vorhanden sei, wird durch Zusammenhänge erleichtert, die

wir in § 3 angeben werden.

Zur Anwendung von Kriterium 1 geben wir ein Beispiel ; ein

solches zum Kriterium 2, resp. zum Satz 2, folgt später in anderem

Zusammenhang.

Beispiel :

Die symmetrische Gruppe S4 von 4 Objekten (Oktaedergruppe)

Wenn wir die Objekte mit 1, 2, 3, 4 bezeichnen, so sind die

Klassen von St mit ihren Elementzahlen :

C1 = (e), 1 Element,

C2 = Klasse des Elementes (1234), 6 Elemente,

C3 = Klasse des Elementes (12) (34), 3 Elemente,

C4 = Klasse des Elementes (12), 6 Elemente,

C5 = Klasse des Elementes (123), 8 Elemente .

Zuerst müssen wir nun die Untergruppen Ha auswählen. Wir

prüfen, ob Sylowgruppen die erste Auswahlbedingung erfüllen.

Die Ordnung von St ist 24 = 23 • 3. Die Sylowgruppen sind Grup¬

pen vom Typus der Diedergruppe des Quadrates und der zykli¬

schen Gruppe der Ordnung 3. Wir wählen etwa folgende zwei :

H,: {e; (1234), (4321); (13)(24); (12)(34), (14)(23); (13), (24)},

H2: {e; (123); (132)}.

Die Strichpunkte trennen dabei die i?-Klassen. Man stellt leicht

fest, daß jede Ö-Klasse in einer der beiden Untergruppen vertreten

ist. Auch die zweite Auswahlbedingung ist erfüllt, da die Indizes 3

und 8 teilerfremd sind. Die einfachen Charaktere dieser Unter¬

gruppen sind :

19

Klasse : X»1 z»2 7>3 £>* X»5

Elemente : e (1234)(4321)

(13)(24) (12)(34)(14)(23)

(13)(24)

CO1 1 1 1 1 1

m2 1 1 1 -1 — 1

CO3 1 — 1 l 1 — 1

CO4 1 — 1 L -1 1

a>5 2 0 — 2 0 0

Klasse : D« V Ds

Elemente : e (123) (132)

CO6 1 1 1

W1 1 £ £2

CO8 1 £2 S

Dabei bedeutet £ eine primitive 3. Einheitswurzel.Ferner stellt man fest :

Cx = Dl = Z>6,

C2 3 D2,

G3 3 Ds, C3 3 D*

,

Damit erhalten wir nach Frobenius die Charaktere :

Klasse : Ci G2 ^3 ^4 CsAnzahl der

Elemente : 1 6 3 6 8

V1 3 1 3 1 0

(pz 3 1 -1 — 1 0

(p3 3 — 1 3 — 1 0

Ç54 3 — 1 -1 1 0

Ç95 6 0 -2 0 0

(p6 8 0 0 0 2

<P7 8 0 0 0 -1

cps 8 0 0 0 -1

20

Die normierte Gramsche Matrix dieser Funktionen ist :

f2 0 1 0 0 1 1 O

0 1 0 0 1 1 1 1

1 0 2 0 0 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 2 2 2 2

1 1 1 1 2 4 2 2

1 1 1 1 2 2 3 3

L1 1 1 1 2 2 3 3>

Die Rechnung zeigt, daß ihr k-ter Determinantenteiler 1 ist, so daß

also der von den Charakteren <pv- erzeugte Modul Mv mit dem Mo¬

dul Mz aller Charaktere zusammenfällt.

Das Einfachheitskriterium erlaubt hier, leicht aus den Charakte¬

ren (pf1 die einfachen Charaktere %x zu finden. Es lautet bekannt¬

lich : Der Charakter cp von 0 ist genau dann einfach, wenn

- X cacp(Ca)^(Cäj = l

9 <x=i

und 99(e) >0 ist.

Benützt man dies, so erhält man z. B.

Klasse : c1 c2 c3 c4 C5

Xi = 91 + <f + <P* — <PB 1 1 1 1 1

Xi= 9J2 + 993 + 99* ~ 9?8 1 — 1 1 — 1 1

X3 =— 9?2 —991 + 998 2 0 2 0 -1

Xi= <f 3 1 — 1 — 1 0

Xo= ^ 3 — 1 — 1 1 0

§ 3. Verfeinerungen der Methode

In diesem Paragraphen wird untersucht, welchen Beitrag die

Methode von Frobenius zur Charakterenbestimmung noch liefert,

wenn die Moduln Mv und M% nicht zusammenfallen.

21

1. Einführung des Charakterenraumes

Für die folgenden Untersuchungen setzen wir voraus, daß die

erste Auswahlbedingung erfüllt sei, d. h. daß jede Cr-Klasse in

mindestens einer der verwendeten Untergruppen Ha vertreten sei.

Wir werden zeigen, daß in diesem Fall der Modul Mv immer i-glied-

rig ist, und seinen Index im Modul Mx berechnen. Das letztere

wäre bereits durch Verschärfung der Überlegungen, die zum Krite¬

rium 1 führten, möglich. Wir haben darauf verzichtet, weil der

Weg, den wir jetzt einschlagen, uns gleichzeitig noch gestatten

wird, einen dritten Modul M'm anzugeben, der Mx enthält, und

zwar so, daß die Indizes von Mv in Mx und von Mx in M'w gleichsind.

Wir gehen zu den einfachen Charakteren co" der Untergruppen

Ha zurück und bilden die quadratischen ßCT-reihigen Matrizen Qa,in deren Zeilen die Funktionswerte der einfachen Charaktere der

Untergruppe Ha stehen. Q1 etwa hat also die Form :

/wHD1) œ1(D2) co1^*1) \

o _/ ^(D1) œ2(D2) œ2(Dkl) \

V«»*1^1) o)fcl(Z>2) a>ki{Dki)J

Aus diesen Matrizen bilden wir eine quadratische %-reihige Ma¬

trix Q, indem wir die Matrizen Qa in der Reihenfolge ihrer Num¬

mern längs der Hauptdiagonalen als Kästchen aneinanderreihen

und dann die leeren Stellen mit Nullen füllen.

Dann spannen wir durch die n (w-dimensionalen) Vektoren

(1,0,...,0), (0, 1, 0,..., 0),.. .,(0,..., 0, 1) einen w-dimensiona-

len Raum auf und fassen die in der v-ten Zeile von Q stehenden

Zahlen als Komponenten eines Vektors mv auf. Sie sind entweder

Null oder dann Werte des Charakters cov. Aus der Unabhängigkeitder einfachen Charaktere jeder Untergruppe Ha folgt, daß auch

die Vektoren w linear unabhängig sind. Auch sie bilden also eine

Basis des eben eingeführten Raumes, den wir aus diesem Grunde

den Charakterenraum nennen, der zu den Untergruppen Ha gehört.

22

Weil die Komponenten des Vektors mv entweder Null oder

Werte eines einfachen Charakters einer einzigen Untergruppe sind,

hat gemäß (la), § 1, Nr. 2, der Vektor

% = Zax%* (x= 1,2,...,£) (7)v=l

als Komponenten die Werte von %x auf den H-Klassen. Jeder dieser

Werte %x (Dß) ist aber gleich einer der Zahlen %x (Cj), %x (C2),.. .,

%x{Ch). Anderseits tritt jede dieser Zahlen auch mindestens ein¬

mal als Wert einer Komponente von %x auf, weil nach Voraus¬

setzung jede G-Klasse in mindestens einer Untergruppe Ha ver¬

treten ist. Aus den k Funktionswerten von %x können also alle n

Komponenten von %x berechnet werden und umgekehrt. Auf diese

Weise ist jedem einfachen Charakter %x von G ein Vektor %x des

Charakterenraumes zugeordnet, und zwar vermöge der Vorschrift :

Wenn die H-Klasse Dß in der G-Klasse Ca enthalten ist, so hat die

ß-te Komponente von ~%x den Wert %x (Ca).Nach dieser Vorschrift werden nun allen Charakteren von G

Vektoren des Charakterenraumes zugeordnet. Da die Zuordnung

eineindeutig und additionstreu ist, ergibt sich so eine (einstufig)

isomorphe Abbildung des Moduls Mx aller Charaktere von G auf

die Menge aller ganzzahligen Linearkombinationen der Vektoren

%x, die wir deren Gitter Fx nennen. Wegen der linearen Unab¬

hängigkeit der Charaktere %x sind auch die Vektoren %x linear

unabhängig. rx ist also ^-dimensional und daher hat die Matrix

A

der Koeffizienten von (7) den Rang k.

Das Bild des Moduls Mv c Mx, der von den Charakteren g?^

erzeugt wird, ist in dieser Abbildung Mv -> Fx ein Gitter rv c rx,

23

das wegen (2a), § 1, Nr. 2, aus den ganzzahligen Linearkombina¬

tionen der Vektoren

V'l=Za%tx (f*=l,2,...,n) (8)

besteht. In § 1, Nr. 4 haben wir gezeigt, daß n 5: k ist, wenn —

wie es hier vorausgesetzt ist — die erste Auswahlbedingung erfüllt

ist. I. a. bilden daher die n Vektoren q>v keine Basis von rv. Da¬

gegen kann man aus (8) schließen, daß rv ^-dimensional ist, weil

die Matrix der Koeffizienten in (8) die Transponierte A' der Matrix

A in (7) ist und daher auch den Rang k hat.

Es erscheint vielleicht zunächst unnatürlich, von den i-gliedrigenModuln zu Gittern in einem w-dimensionalen Raum überzugehen.Der Sinn dieses Schrittes liegt darin, daß der Zusammenhang

zwischen den Vektoren <p p und m" übersichtlicher ist als derjenige

zwischen den Funktionen <p^ und w". Während der letztere durch

die Gleichungen (3a), § 1, Nr. 2, gegeben wird, erhält man durch

Einsetzen von (7) in (8) die viel übersichtlichem Gleichungen

<pP=Za£ZavMo}'' {fi=l,2,...,n) ,

K=\ V=l

respektive

yi* = S ( Z < o*) mv {n = 1,2,...,») . (9)

Die Matrix der Koeffizienten ist A'-A.

2. Berechnung des Indexes von Mv in Mx

Wir führen noch das w-dimensionale Gitter rw ein, das aus allen

ganzzahligen Linearkombinationen der Vektoren wv besteht und

nach (7) und (8) die &-dimensionalen Gitter rx und rv enthält.

Wegen rv c rx liegen die beiden in der gleichen &-dimensionalen

Ebene des Charakterenraumes, die aus rw ein Teilgitter r^ heraus¬

schneidet.

24

Den weiteren Überlegungen stellen wir zwei Hilfssätze voran :

Hilfssatz 1 : Die drei Gitter rv c Fx c 7"^ haben alle die Di¬

mension k. Faßt man sie als additive Gruppen auf, so sind die

Indizes von rv in Fx, von rx in 7"^ und von rv in 7^ endliche

Zahlen, die die Anzahlen von Restklassen angeben. Da nun alle

Restklassen von F^ nach rx in je so viele Restklassen von 7"^

nach Fv zerfallen, wie der Index von 7^, in rx angibt, folgt :

Der Index von F^ in 7^ ist das Produkt der Indizes von rv in rx

und von Fx in F^.-> ->•

Hilfssatz 2 : a1,a2,.. .,ad seien d linear unabhängige Vektoren

irgendeines Raumes, dessen Dimension natürlich größer als d,

sonst aber beliebig ist. Das von ihnen aufgespannte Gitter wird ya

-> ->

genannt. b1,b1,.. .,bt seien t Vektoren aus ya :

%=ZbtSas (r=l,2,...,t) .

8=1

Die Maximalzahl von linear unabhängigen unter ihnen, d. h.

der Rang der Matrix

B =

bnK bw

"21 ^22 "id

btlbtî btd

sei r. Es ist also r ^ d, r ^ t, aber d jg t.

Die Menge aller ganzzahligen Linearkombinationen der Vektoren->

bt ist ein r-dimensionales Teilgitter yb von ya. Es liegt in einer

r-dimensionalen Gitterebene von ya, die aus diesem ein Teilgitter

y'a herausschneidet.

Nach einem bereits einmal zitierten Satz aus der Theorie der

Moduln endlichen Ranges gibt es nun in ya eine Basis a[, a'z,..., a'd

so, daß gewisse ganzzahlige Vielfache e1 a[, e2 a2,..., ed a'd eine

Basis von yb bilden. Dabei sind die Faktoren es die Elementarteiler

der Matrix B, unter denen genau r nicht verschwinden. Die zu

25

diesen gehörenden Vektoren a8' spannen dann das oben definierte

Gitter y'a auf und es gilt daher :

Der Index von yb in y'a ist das Produkt aller von 0 verschiedenen

Elementarteiler der Matrix B, d. h. deren r-ter Determinantenteiler.

Nun zitieren wir aus Nr. 1 dieses Paragraphen die Gleichungs¬systeme n

Xx = Z<*v (x=l,2,...,k) , (7)V=l

k

^=2X?* (fl=l,2,...,n) , (8)x=i

->" h

->

<P*=Z{Ea%avx)o>* (/* = 1,2,...,») . (9)

Jedes beschreibt eine Situation, wie sie dem Hilfssatz 2 zugrunde

liegt.Die Vektoren w" etwa spannen das Gitter rm auf, die Vektoren

%k tvgl- (7)] erzeugen darin das Teilgitter Tx, und die von diesem

bestimmte Gitterebene trägt das Teilgitter F^ c ra. Die Gitter

rx und r^ sind ^-dimensional. Nach dem Hilfssatz 2 folgt also :

Der Index von rx in 7^ ist gleich dem k-ten Determinantenteiler

der Matrix A = (a£ ).

Die Vektoren iH spannen rx auf, in dem durch die Vektoren q> /*

[vgl. (8)] das Teilgitter r9 erzeugt wird. Es hat die gleiche Dimen¬

sion k wie rx (vgl. Nr. 1 dieses Paragraphen). Die von ihm be¬

stimmte Gitterebene von rx enthält also das ganze Gitter rz.Ferner ist die Matrix der Koeffizienten von (8) die TransponierteA' von A, hat also die gleichen Determinantenteiler wie A. Damit

folgt nach Hilfssatz 2 :

Der Index von T^ in rx ist gleich groß wie derjenige von rx in r^.

Endlich erzeugen die Vektoren 9?^ [vgl. (9)] im Gitter rœ das

Teilgitter T9. Dessen Gitterebene enthält das Teilgitter i^ und

da die Matrix von (9) A' • A ist, gilt nach Hilfssatz 2 :

Der Index von rv in i"^ ist gleich dem k-ten Determinantenteiler

der Matrix A'-A.

26

Nun ist dieser letzte Index aber nach dem Hilfssatz 1 das Produkt

derjenigen von rv in Fx und von rx in r'm, so daß wir zusammen¬

fassen können :

Satz 3: Die Indizes von T^ in rx und von rx in r^ sind beide

gleich der (positiven) Quadratwurzel aus dem k-ten Determinanten¬

teiler der Matrix A'-A.

Von den in diesem Satz erwähnten Indizes interessiert uns vor¬

läufig nur der erste ; seine Gleichheit mit dem zweiten wird aber

später auch noch ausgenützt.Nun hatten wir in § 2, Nr. 1 gezeigt : Wenn m Charaktere

Vl=ZKXx (/<-l,2,...,m) (4)

gegeben sind und B die Matrix der Koeffizienten dieses Gleichungs¬

systems ist, dann ist die Matrix BB' gleich der „normierten Gram-

schen Matrix" der ^\ Vergleicht man nun (4) mit (2a), § 1, Nr. 2,

wo die Koeffizientenmatrix A' ist, so sieht man sofort, daß die

Matrix A'-A die normierte Gramsche Matrix der Charaktere cpi*

ist, d. h. die Matrix mit den Elementen

_ l *

Weiter ist nach Nr. 1 dieses Paragraphen der Modul Mx mit

dem Gitter rx isomorph und dem Teilmodul Mv entspricht dabei

das Teilgitter r9. Da dieses die Dimension k hat, ist Mv fc-gliedrig

und ferner ist der Index von Mv in Mx gleich demjenigen von JT9

in rx, so daß wir aus Satz 3 folgern können :

Hauptsatz : Die echten Untergruppen II1, H2,..., Hs der endlichen

Gruppe G mit der Klassenzihl k seien so ausgewählt, daß jede G-Klasse

in mindestens einer von ihnen vertreten ist. Berechnet man dann nach

Frobenius aus den einfachen Charakteren dieser Untergruppen die

Charaktere (p1, q>2,..., <pn von G, so ist der Modul M9, den sie er¬

zeugen, k-gliedrig, und sein Index im Modul Mx aller Charaktere von

G ist gleich der (positiven) Quadratwurzel aus dem k-ten Determinan¬

tenteiler der normierten Gramschen Matrix der Charaktere <j^.

27

Der Hauptsatz schließt das Resultat ein, das wir durch Anwen¬

dung des allgemeinen Kriteriums 1 auf die Methode von Frobenius

erhielten : Mv ist genau dann mit Mx identisch, wenn der k-te De¬

terminantenteiler der normierten Gramschen Matrix der Charak¬

tere q>P den Wert 1 hat.

Dazu sei noch bemerkt : In § 1, Nr. 3 hatten wir für die Unter¬

gruppen Ha noch eine zweite Auswahlbedingung gefunden :

Mv = Mx kann nur eintreten, wenn der größte gemeinsame Teiler

der Indizes der Ha den Wert 1 hat. Für die Herleitung des Haupt¬satzes haben wir aber nicht vorausgesetzt, daß diese Bedingung er¬

füllt sei. Der Hauptsatz ist von ihr unabhängig.

3. Konstruktion des Moduls M'^

Wir haben im vorigen Abschnitt die drei &-dimensionalen Gitter

rv c rz c r^ des Charakterenraumes betrachtet. Das erste wird von

den Vektoren 9?^ erzeugt, das zweite ist das Gitter der %K und das

dritte das in der durch die %x aufgespannten Ebene E des Charak¬

terenraumes liegende Teilgitter des Gitters rw der Vektoren co ".

Die Vektoren dieser Ebene bilden die Menge aller Linearkombi¬

nationen der Vektoren ^H. Ordnet man jedem von ihnen die

Linearkombination der Charaktere %x mit den gleichen Koeffi¬

zienten zu, so erhält man daher die Menge aller Linearkombina¬

tionen der einfachen Charaktere von 0, d. h. die Menge aller

Cr-Klassenfunktionen. Diese (isomorphe) Abbildung ist einfach eine

Erweiterung der früher eingeführten isomorphen Abbildung von

rx auf Mx. Speziell wird dabei das &-dimensionale Gitter r^ auf

einen &-gliedrigen Modul M'm von Ö-Klassenfunktionen abgebildet,der Mx enthält. Weil nun nach Satz 3 die Indizes von r9 in rxund von Fx in i"^ gleich sind, gilt diese Gleichheit auch für die

Indizes von Mv in Mx und von Mx in M'^.Wir geben noch an, wie man das zur Konstruktion von M'œ be¬

nötigte Gitter J^ erhalten kann. Die Komponenten jedes Vektors

der Ebene E sind Funktionswerte der ihm zugeordneten ö-Klassen-

funktion, und deshalb sind die ß^te und die ß2-te Komponente

28

gleich, wenn die i/-Klassen Dß1 und D& in der gleichen G-Klasse

liegen. Das bedeutet das Bestehen von n — k Gleichungen, die

notwendig und hinreichend dafür sind, daß der Vektor

"

->

des Charakterenraumes in E liege. Da die Klasseneinteilungen von

G und der Ha bekannt sind, kann man diese Bedingungen auf¬

stellen und erhält n — Je Gleichungenn

ZXynv=0 (j= 1,2,...,n- k) , (10)

worin die Zahlen AJ gewisse Werte von ^ cov oder 0 sind (alsonicht ganzzahlig zu sein brauchen). Die Gleichungen (10) sind die

Gleichungen der Ebene E in bezug auf die Vektoren mv als Basis

des Charakterenraumes5 ).

Nun ist das Gitter r^ Teilgitter des Gitters rw, das aus allen

ganzzahligen Linearkombinationen der Vektoren tu" besteht.

Andererseits liegt i~^ in E. Man erhält daher dieses Gitter, wenn

man alle Vektoren n

Z>" ü>v

v=l

bildet, deren Komponenten pv (bezüglich der Mv) reell-ganzzahligsind und die Gleichungen (10) der Ebene E, d. h.

n

Z%pv=Q (7 = 1,2,...,»-*) (11)erfüllen. v=1

4. Die Hilfsrelationen

Auch die Vektoren

%K = ZavKmv (x=l,2,...,i)v=l

5) Beim Aufstellen der Gleichungen (10) zeigt sich, daß die Verwendung von

Sylowgruppen gewisse Vorteile bietet. Denn es ergeben sich ja um so weniger Be¬

dingungen, je seltener es vorkommt, daß zwei Untergruppen in der gleichen O-

Klasse vertreten sind. Zwei Sylowgruppen mit teilerfremden Ordnungen sind aber

nur in der G-Klasse des Eins-Elementes gleichzeitig vertreten, so daß ihre Verwen¬

dung die Chance bietet, mit möglichst wenig Nebenbedingungen auszukommen.

29

[(7), § 3, Nr. 1] gehören zum Gitter r^. Ihre Komponenten a£müssen daher ebenfalls den Bedingungen (11) genügen. Es be¬

stehen deshalb zwischen den w-Tupeln (aK, ax,..., ax) die Be¬

ziehungen :

n

Zl)avK = Ç> {j=l,2,...,n-k; x= l,2,...,k) .

v=l

Daraus ergeben sich mitk

<pP=Za£ Xx

[(2a), § 1, Nr. 2] die Gleichungen

n k n

Z % <PV = Z { Z 1) avx) Xx = 0 (j=l,2,...,n-k) . (12)v=l X=l v = l

Dies sind lineare Relationen zwischen den Charakteren ç?f*. Wegender linearen Unabhängigkeit der einfachen Charaktere %x erhält

man umgekehrt auch aus jeder linearen Beziehung der Charaktere

q>v- eine solche zwischen den w-Tupeln (a* , ax,..., a"). Da end¬

lich die Beziehungen (12) auch für die den <pP zugeordneten Vek¬

toren cpi1 gelten, bestehen zwischen diesen, den Charakteren <pP,

den w-Tupeln (ax, aH,. . ., aH) und, wegen (11), den Komponen¬

ten pv (bezüglich der a> ") der Vektoren des Gitters i"^ die gleichenlinearen Relationen.

Wir nennen diese Zusammenhänge die Hilfsrelationen. Durch

Aufstellen der Gleichungen (11), was ohne Kenntnis der Xx mög¬

lich ist, erhält man nämlich gleichzeitig alle linearen Abhängig¬keiten der Charaktere 9?^, und dies erleichtert die Entscheidung

der Frage, ob sich unter den n Charakteren yv- resp. Vektoren ç>f*eine Basis des Moduls Mv resp. des Gitters rv befinde. Das ist

deshalb interessant, weil beim Vorhandensein einer Basis der In¬

dex des Moduls Mv im Modul Mx statt mit dem Hauptsatz mit

dem einfachem Satz 2, § 2, Nr. 2, gefunden werden kann. Auch

für die Konstruktion des Moduls M£ (falls der erwähnte Index

^ 1 ist), ergibt sich für diesen Spezialfall eine Vereinfachung, die

im nächsten Abschnitt gezeigt sei.

30

5. Vereinfachte Konstruktion des Moduls M'a in einem Spezialfall

Unter den n Charakteren 9?^ befinde sich eine Basis des (&-gliedri-

gen) Moduls Mv. Es bedeutet keine Einschränkung, wenn wir an¬

nehmen, die Basis bestehe aus den ersten Je dieser Funktionen.

Das Gitter 7"^ besteht nach Nr. 3 dieses Paragraphen aus allen

Vektoren

n = E pv m " (pv reell-ganzzahlig) ,

deren Komponenten p" (bezüglich der co") den Bedingungen (11)

n

ZXvjpv = 0 (?' = 1,2,...,» — Je)v=l

genügen. Die Hilfsrelationen besagen, daß zwischen den Funk¬

tionen ç;** die gleichen Beziehungen bestehen. Da sich nun alle n

Charaktere 9?^ aus den ersten Je ganzzahlig linear kombinieren

lassen, gilt dasselbe für die Zahlen pv, so daß sich pk+1, pk+2,..., pn

ganzzahlig durch p1, p2,. .., pk ausdrücken lassen:

k

pv- = Xlv-v pV (fj, = k+ l,...,n) .

Führen wir die Elimination durch, so ergibt sich :

nfc n k_^

h= £ pv (o"= £ pv mv+ £ (£ lrvpv) mV.

v=l v=l n—k+1 v=l

Diese Summe wird noch nach p1,p2,...,pk geordnet:

->*

->"

->

x = £ pv[mv+ E l^coi1] .

Da die Elimination von pk+1,..., pn ganzzahlig erfolgte, die

Zahlen p1,..., pk also beliebige ganze Zahlen sind, bilden die in

eckigen Klammern stehenden Vektoren eine Basis von rœ. Jetzt

gehen wir zu den zugeordneten Cr-Klassenfunktionen über und er¬

halten so den Modul M'.

31

Beispiel: Die Diedergruppe Q des Quadrates

Sie hat die Ordnung 8, ist also p-Gruppe. Es ist daher nicht

möglich, die Untergruppen entsprechend der zweiten Auswahl-

bedingung so zu wählen, daß der größte gemeinschaftliche Teiler

ihrer Indizes den Wert 1 hat. Wir werden also einen Modul Mçerhalten, der nicht mit Mx zusammenfällt.

Wir fassen Q als Permutationsgruppe der 4 Objekte 1, 2, 3, 4

auf. Ihre Klassen bestehen dann aus folgenden Elementen :

C1 = {e} ,

Ct= {(1234), (4321)} ,

<73={(13)(24)},

Ci= {(12) (34), (14) (23)},

Cs= {(13), (24)}.

Als Untergruppen wählen wir :

Ht: {e, (1234), (13) (24), (4321)} ,

(zyklische Gruppe der Ordnung 4) ;

H2 : {e, (12) (34)} , (zyklische Gruppe der Ordnung 2);

H3 : {e,(13)}, (zyklische Gruppe der Ordnung 2) .

Sie erfassen alle (?-Klassen. Da sie abelsch sind, bildet jedes ihrer

Elemente eine iZ-Klasse für sich.

Ihre einfachen Charaktere sind

H,Klasse : Dl £>2 D3 Z>4

Elemente : e (1234) (13)(24) (4321)

ft)1 1 1 1 1

ft)2 1 i - 1 — i

«)3 1 — 1 1 — 1

ft)4 1 — i — 1 i

32

H9:

Hs:

Man stellt ferner fest

Klasse : £>5 D«

Elemente : e (12)(34)

0)s 1 1

CO9 1 — 1

Klasse : £>' Ds

Elemente : e (13)

m> 1 1

CÜ8 1 — 1

C, 3 £*

0, 3 D8.

Die Berechnung der Charaktere q>P nach Frobenius liefert :

c, D1

c2 3 Z>2

^ = Z>3

01 3 Z>6

Klasse : 01 C2 G3 c, c,Anzahl der

Elemente : 1 2 1 2 2

(p1 2 2 2 0 0

(p2 2 0 — 2 0 0

Ç93 2 — 2 2 0 0

Ç>4 2 0 — 2 0 0

Ç35 4 0 0 2 0

9?6 4 0 0 - 2 0

^ 4 0 0 0 2

Ç)8 4 0 0 0 - 2

(13)

Um die linearen Abhängigkeiten dieser Funktionen zu finden,

benützen wir die Hilfsrelationen. Die Komponenten des allgemei¬nen Vektors

_

x = E fv mv

des Gitters rw sind in der Reihenfolge ihrer Nummern :

33

p1 + p^ + p3 + ^4p1 -\- i p2 — p3 — i>4

pi __ pi _|_ p3 — pi

p1 — i p1 — p3 -+- ip*

?*5 + 2>6 >

j,5 _ j,6 ;

P7 + ϻ8 ,

p7 — y>8 .

(14)

Die Gleichungen (11), § 3, Nr. 3, die ausdrücken, daß dieser

Vektor im Gitter i~^ liegt, erhalten wir, wenn wir in (13) nach¬

sehen, welche iZ-Klassen in der gleichen ö-Klasse liegen und dann

die entsprechenden Komponenten einander gleich setzen. Das lie¬

fert etwa : 4_ ^ ;

p6 = p1 -f- 2p2 -f p3 — p5 , (15)ps = p1 -j- 2p2 -f- p3 — p7 .

Nach den Hilfsrelationen bestehen die gleichen Beziehungenzwischen den Charakteren cp^ mit den gleichen Nummern. Daher

bilden 9?1, y2, cp3, 9s5, 9s7 eine Basis von Mv. Die Matrix ihrer Funk¬

tionswerte ist :2 2 2 0 0

2 0 --2 0 0

2 --2 2 0 0

4 0 0 2 0

4 0 0 0 2

Nach Satz 2, § 2, Nr. 2, hat man den Betrag der Determinante

dieser Matrix, der 27 ist, durch die Zahl

r Wz. . . ck f 1 2-1-2.2= 26

zu dividieren und erhält damit den Index von Mv in Mx, der also

den Wert 2 hat. Mç ist daher nicht mit Mx identisch.

Wir konstruieren deshalb noch den Modul M'^ aus dem Gitter

r^, das wir erhalten, wenn wir die Relationen (15) in (14) ein¬

setzen. Wir gehen dann gleich zu den zugeordneten G-Klassen-Funk¬

tionen über und bekommen die allgemeine Funktion x(Ga) des

Moduls M'„. mit den Funktionswerten :

34

*(Ci) =

«(C,) =

«(Ca) =

*(C4) =

«(C8) =

j?1 -j- 2p2 + ^3 ,

p1 — p3 ,

p1 — 2p2 -\- p3 ,

p1 — 2p2 — p3 -\- 2p5

-pi — 2p2 — p3 -\- 2p7 .

Dabei sind die Zahlen p1, p2, p3, p5, p7 beliebige ganze Zahlen.

M',» wird daher aufgespannt von denjenigen 5 Funktionen, die

man hieraus erhält, wenn man der Reihe nach eine der Zahlen p1,

p2, ps, p&, p7 gleich 1, die andern 0 setzt. Es sind dies :

Klasse : Gi G2 G3 G, G,

«1 1 1 1 - 1 — 1

«2 2 0 — 2 — 2 — 2

Ks 1 — 1 1 - 1 — 1

x4 0 0 0 2 0

«5 0 0 0 0 2

Im vorliegenden Beispiel läßt sich nun noch leicht eine Basis

von M'w mit der Eigenschaft angeben, daß gewisse ganzzahligeVielfache ihrer Elemente eine Basis von M9 bilden. Geht man

nämlich in M' zur Basis

Klasse : Ci G2 G3 C4 c5

4*

«1= «1 «3 0 2 0 0 0

«* = *2 + «4 + «5 2 0 -2 0 0

«3 == «3 ~r «4 1 — 1 1 1 — 1

^4 = ^4 Xj ~T~ «2 2 -2 —2 2 0

^5 == «5 "x T -^^2 -«J 2 0 — 2 -2 2

und in M9 zur Basis

Klasse : ^ c2 G, G, c5

Ç)1* = ÇJ1— (ps

Ç)2* = Ç32m3* = Ç)3-(-Ç)* —ç?5

Ç)5* = Ç54—ÇJ1*-}-^2*—Ç93*—Ç54*

0

2

2

2

2

4

0

— 2

-2

0 \

1

1

to

to

to

to

o

1 to

to

to

o

o

1

to

o

to

o

o

35

über, so stellt man fest :

(pl* = 2x*

Ç92* =*

*2

(f3* = 24

ǻ4* = *;

(p5* = <

Daher sind alle Funktionen von M'w modulo M9 einer der drei

Funktionen x*,x*

,x* +x* kongruent. Weil Mv c Mx nicht mit

Mx zusammenfällt, muß also mindestens eine dieser drei Funk¬

tionen zu Mx gehören. Mehr als eine darf aber nicht in Mx liegen,weil sonst Mx mit M'^ identisch wäre, was nicht der Fall ist. Da

weiter für alle diese drei Funktionen das normierte Hermitesche

skalare Produkt mit sich selbst den Wert 1 hat, muß nach dem

Einfachheitskriterium diejenige Funktion, die Charakter ist, sogar

einfacher Charakter sein. Die einzige, für die das skalare Produkt

mit dem Eins-Charakter ^= 1 den Wert 0 hat, ist x*

.Diese ist

also einfacher Charakter. Daher bilden die 5 Funktionen

Klasse : Ct c2 c. C*4 g,

(p1* 0 4 0 0 0

qpi* 2 0 — 2 0 0

x3 1 — 1 1 1 -1

Ç)4* 2 — 2 -2 2 0

Ç,5* 2 0 — 2 — 2 2

eine Basis von Mx und mit Hilfe des Einfachheitskriteriums findet

man leicht noch :

Klasse : °1 G, o3 G, G,

Xx = t* -2^*+^ + ^*+^* 1 1 1 1 1

Xz = y^+x* — ^* 1 1 1 -1 — 1

X3 =- <p2* + x* + ç>5* 1 — 1 1 -1 1

Xi = x3 1 — 1 1 1 — 1

X5 — <p2* 2 0 — 2 0 0

36

§ 4. Zusammenfassung der Resultate

Gegeben sei eine endliche Gruppe G. Gesucht wird der Modul

Mx, den ihre einfachen Charaktere erzeugen.

Das von uns „Methode von Frobenius" genannte Verfahren ge¬

staltet sich dann wie folgt :

a) Auswahl von s echten Untergruppen Hx, H.z,..., Hs, die den

Auswahlbedingungen genügen :

1. Jede ö-Klasse ist in mindestens einer der Untergruppen Havertreten.

2. Der größte gemeinsame Teiler der Indizes der UntergruppenHa ist 1.

.Die erste Bedingung kann dann und nur dann erfüllt werden,

wenn G keine zyklische, die zweite dann und nur dann, wenn G

keine p-Gruppe ist.

b) Berechnung der Charaktere cp1, (f,..., <pn von G aus den

(als bekannt vorausgesetzten) einfachen Charakteren der Unter¬

gruppen Ha nach der Formel (3 a) von Frobenius. Der Teilmodul

Mv c Mx, den diese Charaktere erzeugen, hat (bei nicht-zykli¬scher Gruppe G) den gleichen Rang wie Mx.

c) Entscheidung, ob Mv = Mx sei oder nicht. Sie wird ent¬

weder durch den Hauptsatz (§ 3, Nr. 2) geliefert oder, falls eine

Basis von Mv bekannt ist, durch den Satz 2 (§2, Nr. 2). Beide

Sätze liefern den Index von Mv in Mx. (Ist G eine p-Gruppe, so

wird dieser Index ^1, d.h. MV^MX.) Ob sich unter den

Charakteren yv- eine Basis von Mg, befindet, kann mit den Hilfs¬

relationen (§ 3, Nr. 4) abgeklärt werden.

d) Wenn M9 ^ Mx ist, so müssen im Rahmen der Methode

neue Untergruppen dazugenommen werden. Mit den vorhandenen

kann nur ein dritter Modul M'w gefunden werden, in welchem Mxmit dem gleichen Index enthalten ist, wie Mv in Mx. Die Konstruk¬

tion von M'w erfolgt nach § 3, Nr. 3 oder, falls eine Basis von Mçbekannt ist, nach dem einfachem Verfahren von § 3, Nr. 5.

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Literaturverzeichnis

(I) O. Frobenius, Über Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und

denen ihrer Untergruppe. Sitzungsber. der Berl. Akad. der Wiss. 1898,

S. 501.

(II) D. E. Littlewood, Group characters and the structure of groups. Proc. of

the London Math. Soc, Ser. II, Vol. 39. 1935, p. 150.

(III) G. Frobenius, Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. Sitzungsber.der Berl. Akad. der Wiss. 1900, S. 516.

(IV) R. Brauer, On Artin's i-series with general group characters. Ann. of Math.

Ser. 2, Vol. 48, 1947, p. 502.

(V) R. Brauer, Applications of induced characters. Amer. Journal of Math.,

Vol. LXIX, 1947, p. 709.

(VI) H. Weyl, Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen. Math. Zeit¬

schrift 24, 1925, S. 353.

(VII) E. Stiefel, Kristallographische Bestimmung der Charaktere der geschlosse¬nen Lie'schen Gruppen. Comm. Math. Helv., Vol. 17, 1944/45, S. 165.

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Curriculum vitae

Ich wurde am 30. Dezember 1917 als Sohn des Josef Prokop,Buchdrucker, und der Frieda, geb. Hunziker, in Zürich geboren,wo ich auch meine Kinderjahre verlebte. Während 6 Jahren be¬

suchte ich die Primarschule und absolvierte anschließend das Kan¬

tonale Realgymnasium in Zürich. Der vorzügliche Unterricht in

Mathematik, speziell derjenige von Herrn Prof. Dr. Max Egli in

den obern Klassen, weckte in mir die Freude an dieser Wissen¬

schaft. So entschloß ich mich, Mathematik zu studieren und im¬

matrikulierte mich, nachdem ich 1936 die Maturitätsprüfung Ty¬

pus B bestanden hatte, an der Eidgenössischen Technischen Hoch¬

schule. Im Jahre 1941 schloß ich das Studium mit dem Diplom als

Mathematiker ab. Bereits im Laufe des Studiums und unmittelbar

danach hatte ich Gelegenheit, am Kantonalen Lehrerseminar in

Küsnacht und an den Kantonalen Gymnasien von Zürich und

St. Gallen kürzere Vikariate zu übernehmen. Vom Herbst 1941 bis

im Frühjahr 1944 war ich dann Assistent bei Herrn Dr. Ziegler,Professor für Mechanik an der Eidgenössischen Technischen Hoch¬

schule. Nachdem ich schon im Jahre 1944 während einiger Wochen

am Technikum des Kantons Zürich in Winterthur als Vikar be¬

schäftigt gewesen war, kam ich 1945 als Hilfslehrer an diese Schule

und unterrichte hier, seit Frühjahr 1946 als Hauptlehrer, in Mathe¬

matik.

W. Prokop

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