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Richiami di algebradelle matrici
A. Iodice
Operazioni di basesui vettori
Operazioni di basesulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Richiami di algebra delle matriciAnalisi statistica e matematico-finanziaria II
Alfonso Iodice D’[email protected]
Universita degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale
Richiami di algebradelle matrici
A. Iodice
Operazioni di basesui vettori
Operazioni di basesulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Outline
1 Operazioni di base sui vettori
2 Operazioni di base sulle matrici
3 matrici particolari
4 Alcune proprieta delle operazioni tra matrici
5 Interpretazione geometrica di vettori
6 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza
7 Il coefficiente di correlazione
Richiami di algebradelle matrici
A. Iodice
Operazioni di basesui vettori
Operazioni di basesulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Vettori riga e vettori colonna
vettore colonna
a(5×1) =
13420
vettore riga
b(1×5) =(10 3 8 7 1
)
trasposizione di un vettore
a(5×1) =
13420
−→ aT(1×5) =
(1 3 4 2 0
)
b(1×5) =(
10 3 8 7 1)−→ bT
(5×1) =
103871
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Operazioni di basesui vettori
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matrici particolari
Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Somma vettoriale
L’operazione somma e definita solo tra vettori aventi le stesse dimensioni, ovvero i vettori addendodevono essere entrambi riga (o entrambi colonna) ed avere lo stesso numero di elementi. Poiche a hadimensioni (5× 1) e b ha dimensioni (1× 5), la somma a + b non puo essere eseguita.
somma di vettori colonnaE possibile effettuare la somma tra i vettori a e
bT, che hanno entrambi dimensioni (5× 1).
a + bT =
13420
+
103871
=
1161291
somma di vettori rigaE possibile effettuare la somma tra i vettori b e
aT, che hanno entrambi dimensioni (1× 5).
b + aT =(10 3 8 7 1)+(1 3 4 2 0) =(11 6 12 9 1)
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matrici particolari
Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
prodotto vettoriale
Dato un vettore colonna c avente per elementi {6, 4, 1}, sidefinisce prodotto vettoriale
a ∗ cT =
13420
× ( 6 4 1)=
6 4 118 12 324 16 418 8 20 0 0
Concetto di MatriceLa struttura che risulta dal prodotto vettoriale di a per c si definisce matrice di dimensione 5× 3,ovvero e caratterizzata da un numero di righe (5) pari al numero di elementi del primo vettore e ilnumero di colonne (3) pari al numero di elementi del secondo vettore.In generale una matrice di dimensioni n× p e una struttura definita da n vettori riga di p elementiincolonnati, o equivalentemente da p vettori di n elementi affiancati.
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Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
prodotto scalare
Il prodotto vettoriale determina una matrice, il prodotto tragli elementi di due vettori che ha per risultato un singolovalore (scalare) si definisce prodotto scalare. Il prodottoscalare non puo essere applicato a vettori che abbiano unnumero di elementi diverso. Si consideri un vettore colonnad con elementi {1, 8, 2} si definisce prodotto scalare cT ∗ d:
cT ∗ d =(6 4 1
)×
182
=
(6× 1) + (4× 8) + (1× 2) = 40
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Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Somma tra matrici
L’operazione di somma e definita solo tra matrici cheabbiano le stesse dimensioni (stesso numero di righe ecolonna). Il risultato della somma di due matrici A e B didimensioni n× p e una matrice delle stesse dimensioni i cuielementi sono la somma degli elementi di postocorrispondente in A e B.
A + B =
6 4 118 12 324 16 418 8 20 0 0
+
19 15 125 9 1612 0 1810 16 1518 9 4
=
25 19 1323 21 1936 16 2228 24 1718 9 4
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Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Prodotto tra matrici
Il prodotto tra due matrici e possibile solo se il numero dicolonne della prima matrice corrisponde al numero di righedella seconda: poiche A e B sono di dimensioni 5× 3, ilprodotto A ∗B non e possibile; utilizzando l’operatoretrasposizione, si possono effettuare i prodotti AT ∗B eA ∗BT
AT ∗B =
6 18 24 12 04 12 16 8 01 3 4 2 0
∗
19 15 125 9 1612 0 1810 16 1518 9 4
=
612 444 972408 296 648102 74 162
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Il coefficiente dicorrelazione
Matrici rettangolari e matrici quadrate
Matrice rettangolare
Xn×p =
x1,1 x1,2 . . . x1,px2,1 x2,2 . . . x2,p. . . . . . . . . . . .xn,1 xn,2 . . . xn,p
Matrice quadrata
Xp×p =
x1,1 . . . x1,px2,1 . . . x2,p. . . . . . . . .xp,1 . . . xp,p
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Il coefficiente dicorrelazione
Matrici diagonali e matrici scalari
Matrice diagonaleUna matrice quadrata che ha elementi nullieccetto la diagonale principale si definiscematrice diagonaleDp×p =
d1,1 0 . . . 00 d2,2 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . dp,p
Esempio matricediagonale
Dp×p =
3 0 . . . 00 4 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 2
Matrice scalareUna matrice diagonale che ha tutti gli elementiuguali ad una costante K si definsce matricescalare
Kp×p =
K 0 . . . 00 K . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . K
Esempio matrice scalareSi consideri K = 8
Kp×p =
8 0 . . . 00 8 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 8
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Il coefficiente dicorrelazione
Matrice identita e matrice unitaria
Matrice identitaLa matrice identita I e una matrice scalare con K = 1.
Ip×p =
1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1
La matrice identita e tale che
AI = IA = A
Matrice unitariaLa matrice unitaria ha tutti gli elementi uguali ad 1.
Un×p =
1 . . . 11 . . . 1. . . . . . . . .1 . . . 11 . . . 1
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Il coefficiente dicorrelazione
Trasposizione del prodotto tra matrici
(AB)T = BTAT
Esempio trasposizione prodotto tra matriciSi considerino le matrici A e B
(A2×3B3×2)T =
( 4 7 18 6 7
) 2 47 19 9
T
=
(66 12132 101
)
BT3×2AT
2×3 =
(2 7 94 1 9
) 4 87 61 7
=
(66 12132 101
)
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Il coefficiente dicorrelazione
Prodotto tra una matrice uno scalare
Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determinauna matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicatiper λ
λA = Aλ
Esempio
Sia λ = 2.
λA2×3 = A2×3λ =
(4 7 18 6 7
)× 2 =
(8 14 216 12 14
)
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Il coefficiente dicorrelazione
Prodotto tra matrici
Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi diA moltiplicati per λ
An×pBp×n = Pn×n
(A2×3B3×2) =
(4 7 18 6 7
) 2 47 19 9
=
(66 32121 101
)
Proprieta del prodotto tra matrici
Siano A =
(4 7 18 6 7
),B =
2 47 19 9
,C =
(3 82 18
)
AB 6= BA
ABC = (AB)C = A(BC)
(AT + B)C = (ATC) + (BC)
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Il coefficiente dicorrelazione
Traccia di una matrice
La traccia di una matrice quadrata e la somma degli elementi della diagonale principale
tr(Xp×p) =
p∑i=1
xii
tr(P2×2) =
(66 32121 101
)= 66 + 101 = 167
Proprieta della tracciatr(A + B) = tr(A) + tr(B)
tr(A) = tr(AT)
tr(AB) = tr(BA)
tr(AAT) = tr(ATA) =∑n
i=1
∑mj=1 a2
ij
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Il coefficiente dicorrelazione
Determinante di una matrice
Ciascuna matrice quadrata e identificabile attraverso un singolo valore detto determinante
Determinante di unamatrice 2× 2
det(X2×2) = det
(x11 x12x21 x22
)=
x11x22 − x21x12
Determinante di unamatrice 2× 2
det
(66 32121 101
)=
(66∗101)−(121∗32) = 6666−3873 = 2794
Determinante per matrice 3× 3
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Il coefficiente dicorrelazione
Inversa di una matrice
TeoremaSia A una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora esiste ed e unica la matrice B taleche
AB = BA = I
La matrice B rappresenta la matrice inversa si A e si indica con B = A−1
Proprieta della matrice inversa(k ∗A)−1 = k−1 ∗A−1
(AB)−1 = B−1A−1
det(A) = det(A)−1
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Il coefficiente dicorrelazione
Interpretazione geometrica di vettori
Un vettore v = [x,y] avente punto di applicazione nell’origine degli assi O, e un segmento orientatoavente per estremi O ed il punto P di coordinate (x, y).
Caratteristiche di vettoriLe caratteristiche distintive di un vettore sono
intensita (norma): ovvero la lunghezza delvettore
direzione: individuata dalla retta passanteper gli estremi (OP ) del vettore
verso: la semiretta con origine in O epassante per P
Rappresentazione di vettoriin R2
Si considerino i seguenti vettori: v1 = [7, 3],v2 = [5, 5] e v3 = [3, 7].
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Il coefficiente dicorrelazione
La norma di un vettore
La norma (lunghezza di un vettore v e data dalla radice quadrata della somma dei quadrati deglielementi di v )
‖v‖ = [v1, v2, . . . , vp] =
√√√√ p∑i=1
v2i
Calcolo della norma divettoriCon riferimento ai vettori v1 = [7, 3],v2 = [5, 5] e v3 = [3, 7] le norme sono
‖v1‖ =√
72 + 32 = 7.61
‖v2‖ =√
52 + 52 = 7.07
‖v3‖ =√
32 + 72 = 7.61
Rappresentazione di vettoriin R2
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Il coefficiente dicorrelazione
Vettori collineari
Due vettori si dicono collineari se sono caratterizzati dauguale direzione, anche se da intensita differente.Considerando i vettori v2 = [5, 5] e v4 = [8, 8]
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Vettori con norma unitaria
Vettore di norma unitariaIl verrore di lunghezza unitaria si definisce versore eidentifica una direzione. Una direzione identificainfiniti vettori, pertanto quello cui si fa riferimentoe il versore. Per ottenere il versore ucorrispondente al vettore v e necessario dividereciascuno degli elementi di v per ‖v‖.Con riferimento ai vettori v1 = [4, 1],v2 = [3, 3.5] e v3 = [1, 3.5], i corrispondentivettori unitari (versori sono)
u1 = [ 44.12
, 14.12
] = [0.97, 0.24]
u2 = [ 34.61
, 3.54.61
] = [0.65, 0.76]
u3 = [ 13.64
, 3.53.64
] = [0.27, 0.96]
Rappresentazione di vettoriin R2
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Il coefficiente dicorrelazione
Interpretazione geometrica della somma travettori
Somma travettoriDati due vettori vettoriv1 = [x1, y1] ev2 = [x2, y2] il vettorerisultante dalla sommav1 + v2 corrisponde alladiagonale maggiore delparallelogramma avente perlati v1 e v2.Con riferimento ai vettoriv1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] ev3 = [1, 3.5], i corrispondentivettori somma sono
v1 + v2 = [7, 4.5]
v2 + v3 = [4, 7]
Rappresentazione della somma divettori in R2
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Interpretazione geometrica della differenza travettori
Differenza travettoriDati due vettori vettoriv1 = [x1, y1] ev2 = [x2, y2] il vettorerisultante dalla sommav1 − v2 corrisponde alladiagonale minore delparallelogramma avente perlati v1 e v2.Con riferimento ai vettoriv1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] ev3 = [1, 3.5], i corrispondentivettori somma sono
v1 − v2 = [1,−2.5]
v2 − v3 = [2, 0]
Rappresentazione della differenza divettori in R2
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Il coefficiente dicorrelazione
Interpretazione geometrica del prodotto scalaretra vettori
Dati due vettori vettori v1 = [x1, y1] e v2 = [x2, y2] il prodotto scalare e proporzionale allaproiezione ortogonale del vettore v1 sul vettore v2
Il prodottoscalare travettori tra vettoriIl prodotto scalare eproporzionale al cosenodell’angolo θ formato tra i duevettori.
cos(θ) =vT1v2
‖v1‖‖v2‖
da cui
vT1v2 = cos(θ)‖v1‖‖v2‖
da cui deriva il fatto che, sev1 e v2 sono perpendicolari,θ = 90o, dunquecos(θ) = cos(90o) = 0
allora vT1v2 = 0
Rappresentazione della proiezione di v1su v2
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Proiezione ortogonale di un vettore
...graficamentesi consideri il vettore x = [5, 4]
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Proiezione ortogonale di un vettore
...graficamentesi vuole proiettare il vettore x sull’asse U passante per il punto (11, 1).
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Proiezione ortogonale di un vettore
...graficamenteper effettuare la proiezione di x sull’asse U occorre calcolare il versore v dell’asse U; il versore ev = [0.995, 0.0905]
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Proiezione ortogonale di un vettore
...graficamentecoordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore daproiettare per il versore v dell’asse U,
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Proiezione ortogonale di un vettore
...graficamentecoordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore daproiettare per il versore v dell’asse U,
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Proiezione ortogonale di un vettore
...graficamenteavendo ottenuto α, e ora possibile calcolare il vettore x che rappresenta l’ ‘immagine’ di x sull’asse U
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Proiezione ortogonale di un vettore
Ciascun asse individua una direzione nello spazio; poiche ciascuna direzione identifica infiniti vettori didiversa intensita si fa riferimento al versore che ha norma (intensita ) pari ad 1. Dunque tutti i punti chegiacciono su un asse U che ha per versore v avranno come coordinata un multiplo di v. Questo perchea ciascuno dei punti su U corrisponde un vettore di direzione identificata dall’asse U di versore v. Sia xla proiezione ortogonale del vettore x sull’asse U di versore v.
x = αvDeterminare α, la coordinata sull’asseLa proiezione di x su U deve essere ortogonale, quindi il vettore differenza (x− x) deve essereortogonale all’asse U, di conseguenza (x− x) deve essere ortogonale a v. Due vettori sono ortogonali
se il loro prodotto scalare e nullo, il vincolo e quindi (x− x)Tv = 0 da cui, facendo alcuni passaggi, siha
xTv − xTv = 0 poiche x = αv e xT = αvT allora
xTv − αvTv = 0 essendo v un versore, vTv = 1, quindi
xTv− α = 0 =⇒ α = xTv che rappresenta la coordinata di x sull’asse U di versore v.
dunque la coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando ilvettore da proiettare per il versore v dell’asse U.La coordinata α sara dunque una combinazione lineare (somma ponderata) di x
α = xTv = [5, 4]
[0.9950.905
]= 5× 0.995︸ ︷︷ ︸
peso
+4× 0.905︸ ︷︷ ︸peso
= 8.595
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la media aritmetica
media semplice:
µ =1
n
n∑i=1
xi
media per dati organizzati in frequenze:
µ =1
n
n∑i=1
xini
media per frequenze relative:
µ =
n∑i=1
xinin
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Definizione di varianza
La varianza un’indice che misura la variabilita di una variabile Xrispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ2 datadalla media dei quadrati degli scarti (delle modalita dalla media)
σ2 =(x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + . . .+ (xn − µ)2
n=
=1
n
n∑i=1
(xi − µ)2
per dati organizzati in frequenze
σ2 =(x1 − µ)2 × n1 + (x2 − µ)2 × n2 + . . .+ (xk − µ)2 × nk
n1 + n2 + . . .+ nk=
=1
n
k∑i=1
(xi − µ)2 × ni
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Misura del legame
Le componenti della variabile doppia X e Y possono esserecaratterizzate da diversa posizione e variabilita, risulta in genereche
µx 6= µy e σx 6= σy
Volendo misurare le variazioni congiunte delle modalita di X ed Y ,si fa riferimento alla versione standardizzata delle variabili, data da
Zx =X − µx
σxe Zy =
Y − µy
σy
questo per escludere dalla misura del legame gli effetti delladifferente media e varianza (essendo µx 6= µy e σx 6= σy)
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Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ
L’indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle modalitastandardizzate delle variabili si definiscecoefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ed dato da
ρxy =1
n
n∑i=1
(zx,izy,i) =1
n
n∑i=1
(xi − µx
σx×yi − µy
σy
)Con piccole trasformazioni si ottiene la presente formalizzazione
ρxy =1n
∑ni=1(xi − µx)(yi − µy)
σxσy=
σxy
σxσy
La quantita al numeratore si definisce covarianza: essa corrisponde alla media
del prodotto degli scarti delle modalita di X e Y dalle rispettive medie. La
covarianza misura la contenporanea variazione di X e Y con riferimento alle
loro medie.
Richiami di algebradelle matrici
A. Iodice
Operazioni di basesui vettori
Operazioni di basesulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Tabella individui × variabili
Si considerino p variabili quantitative osservate su un collettivo din unita statistiche. La corrispondente matrice di dati A
An×p =
a1,1 a1,2 . . . a1,pa2,1 a2,2 . . . a2,p. . . . . . . . . . . .an,1 an,2 . . . an,p
esempio
A5×3 =
25 19 1323 21 1936 16 2222 24 1718 9 4
Richiami di algebradelle matrici
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Operazioni di basesui vettori
Operazioni di basesulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Calcolo del vettore delle medie delle p variabili
Utilizzando il prodotto vettoriale e possibile ottenere il vettore delle medie
m = ATp×n ∗ un×1 =
a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n. . . . . . . . . . . .ap,1 ap,2 . . . ap,n
×
1n1n. . .1n
=
=
1n(a1,1+ a1,2+ . . . a1,n)
1n(a2,1+ a2,2+ . . . a2,n). . . . . . . . . . . .
1n(ap,1+ ap,2+ . . . ap,n)
=
µ1µ2. . .µp
esempio
25 23 36 22 1819 21 16 24 913 19 22 17 4
︸ ︷︷ ︸
AT3×5
×
1/51/51/51/51/5
︸ ︷︷ ︸
u5×1
=
(25+23+36+22+18)
5(19+21+16+24+9)
5(13+19+22+17+4)
5
=
24.817.815
︸ ︷︷ ︸
m3×1
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Operazioni di basesui vettori
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matrici particolari
Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Calcolo della matrice delle medie delle p variabili
A partire da m, vettore delle medie, si ottiene la matrice delle medie, utile alla successiva operazione dicentratura.
Mn×p = 1n×1 ∗mT1×p =
11. . .1
× ( µ1 µ2 . . . µp)=
=
µ1 µ2 . . . µpµ1 µ2 . . . µp. . . . . . . . . . . .µ1 µ2 . . . µp
esempio11111
︸ ︷︷ ︸
15×1
×(
24.8 17.8 15)︸ ︷︷ ︸
mT1×3
=
24.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 15
︸ ︷︷ ︸
M5×3
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Operazioni di basesui vettori
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matrici particolari
Alcune proprietadelle operazioni tramatrici
Interpretazionegeometrica divettori
Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Centratura della matrice
Sottraendo alla matrice dei dati di partenza A e la matrice delle medie M si ottiene la matrice dei daticentrati X.Xn×p = An×p −Mn×p =
=
a1,1 a1,2 . . . a1,pa2,1 a2,2 . . . a2,p. . . . . . . . . . . .an,1 an,2 . . . an,p
−
µ1 µ2 . . . µpµ1 µ2 . . . µp. . . . . . . . . . . .µ1 µ2 . . . µp
=
=
(a1,1 − µ1) (a1,2 − µ2) . . . (a1,p − µp)(a2,1 − µ1) (a2,2 − µ2) . . . (a2,p − µp)
. . . . . . . . . . . .(an,1 − µ1) (an,2 − µ2) . . . (an,p − µp)
esempio25 19 1323 21 1936 16 2222 24 1718 9 4
︸ ︷︷ ︸
A5×3
−
24.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 15
︸ ︷︷ ︸
M5×3
=
0.2 1.2 −2−1.8 3.2 411.2 −1.8 7−2.8 6.2 2−6.8 −8.8 −11
︸ ︷︷ ︸
X5×3
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Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Matrice di devianza e codevianza
Una volta ottenuta la matrice centrata X, e possibile, attraverso il prodotto di X per la sua trasposta,ottenere la matrice di devianza e codevianza .Tale matrice avra elementi della diagonale principale le
devianze); gli elementi extra-diagonale le codevianze. XTp×n ∗Xn×p =
x1,1 x1,2 . . . x1,nx2,1 x2,2 . . . x2,n. . . . . . . . . . . .xp,1 xp,2 . . . xp,n
×
x1,1 x1,2 . . . x1,px2,1 x2,2 . . . x2,p. . . . . . . . . . . .xn,1 xn,2 . . . xn,p
=
=
dev(X1) codev(X1, X2) . . . codev(X1, Xp)
codev(X2, X1) dev(X2) . . . codev(X2, Xp). . . . . . . . . . . .
codev(Xp, X1) codev(Xp, X2) . . . dev(Xp)
esempio
0.20 −1.80 11.20 −2.80 −6.801.20 3.20 −1.80 6.20 −8.80−2.00 4.00 7.00 2.00 −11.00
︸ ︷︷ ︸
XT3×5
×
0.2 1.2 −2−1.8 3.2 411.2 −1.8 7−2.8 6.2 2−6.8 −8.8 −11
︸ ︷︷ ︸
X5×3
=
182.8 16.8 14016.8 130.8 107140 107 194
︸ ︷︷ ︸
V3×3
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Il coefficiente dicorrelazione
Matrice di varianze e covarianze
A questo punto e immediato definire la matrice di varianze e covarianze Σ. Per fare questo si considerila matrice diagonale come una matrice quadrata (stesso numero di righe e di colonne) i cui elementiextradiagonali sono nulli. In particolare si faccia riferimento alla matrice U di dimensione (p× p) i cui
elementi diagonali siano tutti uguali a 1n
.
U =
1n
0 0 0
0 1n
. . . 0. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1n
Utilizzando la matrice U e possibile ricavare la matrice Σ di dimensioni p× p a partire da quella di
devianze e codevianze XTX precedentemente ottenuta.
XTXU = VU = Σ =
σ2X1
σ(X1,X2) . . . σ(X1,Xp)
σ(X2,X1) σ2X2
. . . σ(X2,Xp)
. . . . . . . . . . . .
σ(Xn,X1) σ(Xn,X2) . . . σ2Xp
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Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Matrice di varianze e covarianze
esempio 182.8 16.8 14016.8 130.8 107140 107 194
︸ ︷︷ ︸
V3×3
1/5 0 00 1/5 00 0 1/5
︸ ︷︷ ︸
U3×3
=
36.56 3.36 283.36 26.16 21.428 21.40 38.8
︸ ︷︷ ︸
Σ3×3
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Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Matrice standardizzata
Per ottenere la matrice dei dati standardizzati Z di dimensione n× p i cui elemento generico
zij =aij−µjσj
, i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , p. Avendo gia ottenuto la matrice dei dati centrati X e
necessario moltiplicare ciascuno degli elementi di tale matrice per 1σj
. Si ricorre anche in questo caso
ad una matrice diagonale: la matrice e D di dimensione (p× p) i cui elementi diagonali sono tutti
uguali a 1σj
, j = 1, . . . , p.
D =
1σ1
0 . . . 0
0 1σ2
. . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1σp
Utilizzando la matrice D e possibile ricavare la matrice Z di dimensioni n× p: post-moltiplicando Dad X si ottiene
Z = XD =
a11−µ1σ1
a12−µ2σ2
. . .a1p−µpσp
a21−µ1σ1
a22−µ2σ2
. . .a2p−µpσp
. . . . . . . . . . . .an1−µ1σ1
an2−µ2σ2
. . .anp−µpσp
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Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Matrice standardizzata
esempio0.2 1.2 −2−1.8 3.2 411.2 −1.8 7−2.8 6.2 2−6.8 −8.8 −11
︸ ︷︷ ︸
X5×3
1√
36.560 0
0 1√26.16
0
0 0 1√38.8
︸ ︷︷ ︸
D3×3
=
0.03 0.23 −0.32−0.30 0.63 0.641.85 −0.35 1.12−0.46 1.21 0.32−1.12 −1.72 −1.77
︸ ︷︷ ︸
Z5×3
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Il coefficiente dicorrelazione
Matrice di correlazione
Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson che caratterizza una coppia di variabili e definito come lamedia aritmetica dei prodotti delle modalita standardizzate. Pertanto, avendo calcolato Z, matricestandardizzata, risulta agevole ottenere la matrice di correlazione:
R = ZTZU =
1 ρ1,2 . . . ρ1,pρ2,1 1 . . . ρ2,p. . . . . . . . . . . .ρp,1 ρp,2 . . . 1
In particolare gli elementi diagonali di tale matrice sono
rjj =1
n
[(a1,j − µj
σj
)2
+
(a2,j − µj
σj
)2
+ . . . +
(an,j − µj
σj
)2]=
1
n
n∑i=1
(aij − µj
)2︸ ︷︷ ︸
varianza σ2j
1
σ2j
=σ2j
σ2j
= 1
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Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Matrice di correlazione
Gli elementi extra-diagonali sono
rkj =1
n
[(a1,k − µk
σk
)×(a1,j − µj
σj
)+
(a2,k − µk
σk
)×(a2,j − µj
σj
)+ . . .+
+
(an,k − µk
σk
)×(an,j − µj
σj
)]=
covarianza σkj︷ ︸︸ ︷1
n
n∑i=1
(ai,k − µk
) (ai,j − µj
)σkσj
=
=σkj
σkσj= ρkj → coefficiente di correlazione lineare tra le variabili k e j
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Trasformazionimatriciali dei datidi partenza
Il coefficiente dicorrelazione
Matrice di correlazione
esempioR = 0.03 −0.30 1.85 −0.46 −1.12
0.23 0.63 −0.35 1.21 −1.72−0.32 0.64 1.12 0.32 −1.77
︸ ︷︷ ︸
ZT3×5
0.03 0.23 −0.32−0.30 0.63 0.641.85 −0.35 1.12−0.46 1.21 0.32−1.12 −1.72 −1.77
︸ ︷︷ ︸
Z5×3
U3×3 =
=
5 0.54 3.720.54 5 3.363.72 3.36 5
︸ ︷︷ ︸(
ZTZ)3×3
15
0 0
0 15
0
0 0 15
︸ ︷︷ ︸
U3×3
=
1 0.11 0.740.11 1 0.670.74 0.67 1
︸ ︷︷ ︸
R3×3