richard courant_calculo diferencial e integral

622
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Vol. I

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CÁLCULO
D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L
Vol. I
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 2/621
R .
P r o f e s s o r
  cie
  M a t e m á t i c a
  da
  U n i v e r s i d a d e
  de New
  Y o r k
C Á L C U L O   D I F E R E N C I A L
E
I

  Tradução de
A L B E R T O  N U N E S
  S E R R Ã O
E n g e n h e i r o
  C i v i l
D o c e n t e í iv r e   da
cad e i r a
  de  C á l c u l o
  I n f i n i t e s i m a l , G e o m e t r i a   A n a
l ítica   e  N o ç õ e s  de
  N o m o g r a f i a
  da
E s c o l a N a c i o n a l
  de
  E n g e n h a r i a
P r o f e s s o r  de
  Ma temá ti c a
  do
E
E n g e n h e i r o
  C i v i l
l .
a
  EDIÇÃO
3.
a
  impressão
  G L O B O
R io
  -
  P o r t o A l e g r e
  - São
8/17/2019 Richard Courant_Calculo Diferencial e Integral
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 3/621
  a lemão;
V o r l e s o u n g e n
  ü b e r
  D i f f e r e n t i a l
  - u n d
  I n t e g r a l r e c h n u n g
Título da edi ção
  b ra s i l e i ra :
D i f f e r e n c i a l   a n d  I n t e gr a l C a l c u l u s
•*   E D I Ç J L O
1 . * i m p r e s s ã o —
  a b r i l
  d e 1 9 5 1
2 .
 
" —   a b r i l  d e 1 9 5 S
8 0 0 2 5
>|
1 9 6 3
  S- A . PÔBTO
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 4/621
P R E F Á C I O D A E D I Ç ÃO   I N G L E S A
Q u a n d o
  c o l e g a s a m e r i c a n o s
  i n s i s t i r a m
  c o m i g o  p a r a  q u e p u b l i c a s s e
um
  da s
  m i n h a s
  l i ç ões de c á l c ul o
  d i f e r e n c i a l
  e  i n t e g r a l ,
h e s i t e i  a p r i n c í p i o .
  V e r i f i q u e i
  q u e , d e v i d o à s d i f e r e n ç a s e n t r e o s m é t o
d o s d e e n s i n o d o C á l c u l o n a   A l e m a n h a , I n g l a t e rr a  e A m é r i c a , u m a
s i m p l e s
  t r a d u ç ã o e s t a v a
  f o r a
  d e c o g i t a ç ã o , e q u e
  s e r i a m
  p r e c i s a s
a l t e r a ç õ e s
  f u n d a m e n t a i s
  a f i m d e a t e n d e r à s n e c e s s i d a d e s d o s
  e st u
  i d i o m a
  i ngl ês.
M i n h a s  d ú v i d a s , c o n t u d o , f o r a m r e s o l v i d a s qu a n d o e n c o n t r e i o
c o m p e t e n t e c o l e g a , p r o f e s s o r E . J .
  M c S h a n e ,
  d a
  U n i v e r s i d a d e
  da
V i r g í n i a , q u e e s t a v a à
  a l t u r a
  n ã o s ó d e f a z e r a t r a d u ç ã o , m a s t a m b é m
— a p ó s e n t e n d i m e n t o p e s s o a l q u e c o m e l e
  m a n t i v e
  — d e e f e t u a r a s
a l t e r a ç õ e s e m e l h o r a m e n t o s n e c e s s á r io s   p a r a  a edi ç ã o
  i n g l e s a .
A f o r a
  m u i t a s
  q u e s t õ e s d e m i n ú c i a s , a s   p r i n c i p a i s  a l t e r a ç õ e s f o r a m
a s s e g u i n t e s : ( 1) a e d i ç ã o
  i n g l e s a
  c o n t ê m u m g r a n d e n ú m e r o d e e x e m
p l o s  c l a s s i f i c a d o s ; ( 2 ) a d i v i s ã o d a m a t é r i a d o s d o i s v o l u m e s d i f e r e
a l g o d a q u e s e e n c o n t r a n o   o r i g i n a l  a l e m ã o . A l é m d a e x p o s i ç ã o
  d e t a
  d a
  t e o r i a
  d a s f u n ç õ e s d e u m a v a r i á v e l , o p r e s e n t e v o l u m e
  a p r e
s e n t a
  ( n o c a p í t u l o X ) u m b o s q u e j o d a d i f e r e n c i a ç ão c i n t e g r a ç ã o d a s
f u n ç õ e s d e d i v e r s a s v a r i á v e i s . 0 s e g u n d o v o l u m e
  t r a t a  i n t e i r a m e n t e
d a s f u n ç õ e s d e d i v e r s a s v a r i á v e i s i n d e p e n d e n t e s e   i n c l u i  e l e m e n t o s
d e c á l c u l o   v e c t o r i a l .  H á , t a m b é m , d i s c u s s ã o   m a i s  s i s t e m á t i c a d a s
e q u a ç õ e s
  d i f e r e n c i a i s
  e u m a p ê n d i c e s o b r e o s f u n d a m e n t o s d a
  t e o r i a
d o s n ú m e r o s   r e a i s .
O
  p r i m e i r o
  v o l u m e c o n t ê m a m a t ér i a  p a r a  u m c u r s o d e c á l c u l o
e l e m e n t a r ,
  e n q u a n t o o s e g u n d o ê
  m a i s
  a v a n ç a d o . N o
  p r i m e i r o
  v o l u m e ,
e n t r e t a n t o ,   h á m u i t o s a s s u n t o s q u e p o d e m s e r o m i t i d o s n u m c u r s o
i n i c i a l .
  E s t a s
  s e ç õ e s ,
  d e s t i n a d a s ,
  a o s e s t u d a n t e s q u e d e s e j a m
  p e n e t r ar
m a i s
  p r o f u n d a m e n t e '  n a  t e o r i a ,  f o r a m
  r e u n i d a s
  n o s a p ê n d i c e s d o s d i
v e r s o s
  c a p í t u l o s , d e m o d o q u e o
  p r i n c i p i a n t e
  p o d e r á e s t u d a r a m a t é
r i a ,
  o m i t i n d o o u d e i x a n d o  p a r a
  m a i s t a r d e ,
  s e m i n c o n v e n i e n t e a l g u m ,
a l e i t u r a  d e s t e s a p ê n d i c e s .
ix
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X
P R E F Á C I O D A E D I Ç Ã O   I N G L E S A
A   pub l i c a ç ã o deste  l i v r o  e m i n g l ê s s o m e n t e f o i p o s s í v e l g r a ç a s à
g e n e r o s i d a d e d o e d i t o r a l e m ã o
  J u l i u s  S p r i n g e r ,
  de
  a q u e m
desej o
  o s m e u s
  m a i s c o r d i a i s
  a g r a d e c i m e n t o s . I g u a l m e n t e
a gra deç o a   B l a c k i e  a n d S o n , L t d . , q u e , a d e s p e i t o d a s
  d i f i c u l d a d e s
at u ai s ,
  e m p r e e n d e r a m a p u bl i c a ç ã o d e s t a e d i ç ã o . A o s c o m p o n e n t e s
da
  sua a dmi ni stra ç ã o téc ni c a , pel o exc el ente
  t r a b a l h o
  seu, e a os  e d i
t o r e s d e m a t e m á t i c a , e s p e c i a l m e n t e a
  M i s s
  qu e
o
  P r o f . M c S h a n e
  e a m i m m e s m o d e g r a n d e
  p a r t e
  d a r e s p o n s a b i l i d a d e
da
  prepa ra ç ã o dos
  m a n u s c r i t o s p a r a
  i mpressã o e q ue fez a revi sã o da s
p r o v a s ,
  a
  m i n h a
  g r a t i d ã o . S o u ,
  i g u a l m e n t e ,
  g r a t o a m u i t o s a m i g o s e
c ol ega s,
  p r i n c i p a l m e n t e
  a o P r o f e s s o r
  M c C l e n o n ,
  do
  G r i n n e l
  C o l l e g e ,
d e I o w a , a c u j o e n c o r a j a m e n t o s e d e v e e s t a e d i ç ã o ; a
  M i s s  M a r g a r e t
K e n n e d y ,  do
  N e w n h a m
  C o l l e g e d e  C a m b r i d g e ,  e a o D r .  F r i t z  J o h n ,
q u e c o o p e r a r a m c o m o s e d i t o r e s n a r e v i s ã o d a s p r o v a s .
R .
CAMBRIDGE,
  INGLATERRA.
 d e 1 9 3 4 .
P R E F Á C I O  D A   S E G U N D A  E D I Ç Ã O   I N G L E S A
E s t a  s e g u n d a e d i çã o d i f e r e d a   p r i m e i r a ,
  p r i n c i p a l m e n t e , p e l a
  m e
lh o r
  e s c o l h a e d i s p o s i ç ã o d o s e x e m p l o s , p e l o a c r é s c im o d e m u i t o s
e x e r cí c io s n o v o s n o f i m d o
  l i v r o ,
  e
  i nc l usã o de ma tér i a
  s u p l e m e n t a r
sob re eq ua ç ões
  d i f e r e n ci ai s .
R .  C O U R A N T .
N
E W   R O C H E L L E ,
  N . Y .
 d e 1 9 3 7 .
8/17/2019 Richard Courant_Calculo Diferencial e Integral
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Pá gi na
O B S E R V A Ç Õ E S
  I N I C I A I S 1
C A P Í T U L O
  I
I N T R O D U Ç Ã O
1 . A c o n t i n u i d a d e d o s n ú m e r o s 5
2 . C o n c e i t o d e f u n ç ã o 1 4
3.
  E s t u d o m a i s
  p o r m e n o r i z a d o d a s f u n ç õe s e l e m e n t a r e s 2 2
4 . F u n ç õ e s d e v a r i áv e i s
  i n t e i r a s .
  S e q ü ê n c i a s d e n ú m e r o s 2 7
5 . C o n c e i t o d e
  l i m i t e
  d e u m a s e q ü ê n c i a 2 9
6 . D i s c u s s ã o
  u l t e r i o r
  d o c o n c e i t o d e
  l i m i t e
  3 8
7 . C o n c e i t o d e
  l i m i t e
  q u a n d o a v a r i á v e l é c o n t í n u a 4 6
8 . C o n c e i t o d e   c o n t i n u i d a d e
  0
  49
A P Ê N D I C E I
O b s e r v a ç õ e s
  p r e l i m i n a r e s
  56
1 . P r i n c í p i o d o p o n t o d e a c u m u l a ç ã o e s u a s a p l i c a ç õe s 5 8
2 . T e o r e m a s s o b r e a s f u n ç õ e s c o n t í n u a s 6 3
3 . O b s e r v a ç õ e s s o b r e a s f u n ç õ e s e l e m e n t a r e s 6 8
A P Ê N D I C E I I
1 . C o o r d e n a d a s p o l a r e s 7 1
2 . O b s e r v a ç õ e s s o b r e o s n ú m e r o s c o m p l e x o s 7 3
C A P Í T U L O
  I I
I D É I A S
  F U N D A M E N T A I S S O B R E
  0 C Á L C U L O
  I N T E G R A L
E   D I F E R E N C I A L
1.
  I n t e g r a l d e f i n i d a
  7 6
2.   E x e m p l o s  . 8 2
3.
  8 8
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Página
4.   I n t e g r a l i n d e f i n i d a ,  funç ã o
  p r i m i t i v a
  e t e o r e m a s
  f u n d a m e n t a i s
  do c á l c ul o
d i f e r e n ci al
  e i n t e g r a l  109
5 . M é t o d o s
  s i m p l e s
  de i ntegra ç ã o grá f i c a 1 1 9
6 . O b s e r v a ç õ e s s o b r e a s r e l a ç õe s e x i s t e n t e s e n t r e i n t e g r a l  e
  d e r i v a d a
  . . . 121
7 . A v a l i a ç ã o d e
  i n t e g r ai s
  e t e o r e m a do
  v a l o r
  m é d i o d o c á l c u l o  i n t e g r a l  . . 1 26
A P Ê N D I C E
1 . E xi stênc i a da
  i n t e g r a l
  d e f i n i d a
  de um a funç ã o c ontínua . . . 7 . 1 31
2.   R e l a ç ã o e n t r e o s t e o r e m a s d o
  v a l o r
  m é d i o d o c á l c u l o
  d i f e r e n ci al
  e do
c á l c ul o  i n t e g r a l  134
C A P Í T U L O
  I I J
D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O D A S F U N Ç Õ E S   E L E M E N T A R E S
1 . R e g r a s
  s i m p l e s  p a r a
  der i v a ç ã o e sua s a pl i c a ç ões 1 36
2.   F órm ul a s c orresp onde ntes de i ntegra ç ã o . . . . . . . . . . 1 4 1 -
3 . F u n ç õ e s
  i n v e r s a s
  e s u a s d e r i v a d a s  114
4 . D e r i v a ç ã o d e u m a f u n ç ã o d e f u n ç ã o 1 53
5 . Má xi m os e míni m os 1 5 8 -
6 . F u n ç õ e s e x p o n e n c i a l e l o g a r í t m i c a 1 6 7
7. A pl i c a ç ões da funç ã o expon enc i a l 1 78
8. F unç õe s hi perb ól i c a s 1 83
9.
  O r d e m
  de gra n dez a da s funç ões 1 89
A P Ê N D I C E
1.
  funç ões espec i a i s 1 9 6
2.   O b s e r v a ç õ e s s o b r e a
  d e r i v a b i l i d a d e
  da s funç ões 1 9 9
3.
  fórmul a s espec i a i s 201
C A P Í T U L O  I V
D E S E N V O L V I M E N T O C O M P L E M E N T A R
  D O C Á L C U L O
  I N T E G R A L
1.
  I n t e g r a i s
  e l e m e n t a r e s 2 0 5
2.
  Méto do de sub sti tui ç ã o 207
3 . E x e m p l o s d o m é t o d o d e s u b s t i t u iç ã o 2 1 4
4 . I n t e g r a ç ã o p o r p a r t e s 2 1 8
5 . I n t e g r a ç ã o d e f u n ç õ e s   r aci o n ai s  . 226
6 . I n t e g r a ç ã o d e o u t r a s c l a s s e s d e f u n ç õ e s 2 3 4
7 . O b s e r v a ç õ e s s o b r e a s f u n ç õe s n ã o i n t e g r á v e i s p e l a s f u n ç õ e s e l e m e n t a r e s 2 4 2
8 . E x t e n s ã o d o c o n c e i t o d e   i n t e g r a l .
  I n t e g r a i s
  i mprópri a ? . . . . . . 24 5
8/17/2019 Richard Courant_Calculo Diferencial e Integral
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  j
£iii-
Página
S e g u n d o t e o r e m a d o
  v a l o r
  m é d i o d o c á l c u l o
  i n t e g r a l
  . . . . . . 2 56
A P L I C A Ç Õ E S
1 . R e p r e s e n t a ç ã o d a s c u r v a s 2 5 8
2. A pl i c a ç ões à
  t e o r i a
  d a s c u r v a s p l a n a s  2 6 7
3 . E x e m p l o s 2 8 7
4 . P r o b l e m a s
 s i m p l e s
  s ob re a m e câ ni ca d as p ar tí cu la s . . . . . . 2 92
5.   O u t r a s  a p l i c a ç õ e s . P a r t íc u l a s d e s l i z a n d o a o l o n g o d e u m a
  c u r v a
  . . . 299
6.
  304
A P Ê N D I C E
1 . P r o p r i e d a d e s d a e v o l u í a 3 0 7
2.
  A r e a s
  l i m i t a d a s  p o r c u r v a s f e c h a d a s 3 1 1
C A P Í T U L O   V I
T E O R E M A
  D E   T A Y L O R   E R E P R E S E N T A Ç Ã O   A P R O X I M A D A
D A S
  F U N Ç Õ E S P O R   M E I O   D E P O L I N Ó M I O S
1.
  L o g a r i t m o
  e funç ã o  i n v e r s a  d a t a n g e n t e 3 1 5
2 . T e o r e m a de   T a y l o r  3 2 0
3 . A p li ca çõ es . D e s e n v ol v i m en t o d as f un çõ es e le m en ta re s . . . . . . . 3 2 6
4 . A p l i c a ç õ e s g e o m é t r i c a s 3 3 1
A P Ê N D I C E
1.
  E x e m p l o
  de funç ões q ue nã o
  a d m i t e m
  d e s e n v o l v i m e n t o s e g u n d o a s é r ie d e
T a y l o r
  3 3 6
2 . D e m o n s t r a ç ã o d e q u e o n ú m e r o e é
  i r r a c i o n a l
  3 3 6
3 . D e m o n s t r a ç ã o d a c o n v e r g ê n c i a d a sé r i e  b i n o m i a l  . . . . . . . . 3 3 7
4 . Zeros e   i n f i n i t o s  d a s f u n ç õ e s . S í m b o l o s  i n d e t e r m i n a d o s  3 3 8
C A P Í T U L O   V I I
M É T O D O S N U M É R I C O S
O b s e r v a ç õ e s
  p r e l i m i n a r e s
  3 4 2
1 . Integ ra ç ã o numéri c a 34 2
2 . A p l i c a ç õ e s d o s t e o r e m a s d o
  v a l o r
  m é d i o e d e   T a y l o r .  C á l c u l o d o s e r r o s 3 4 9
3. R es ol uç ã o numéri c a de eq ua ç ões 35 5
8/17/2019 Richard Courant_Calculo Diferencial e Integral
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A P Ê N D I C E
Página
F ó r m u l a d e   S t i r l i n g  3 6 1
C A P Í T U L O
  V I I I
  I N F I N I T A S
  E
  O U T R O S P R O C E S S O S - L I M I T E S
O b s e r v a ç õ e s  p r e l i m i n a r e s . . . . . .  . 3 6 5
1.
  C o n c e i t o s
  d e c o n v e r g ê n c i a e d e d i v e r g ê n c i a 3 6 6
2 . C r i t é r i o s d e c o n v e r g ê n c i a e d e d i v e r g ê n c i a 3 7 7
3 . S e q ü ê n c i a s e s é r i e s d e f u n ç õ e s 3 8 3
4.
  C o n v e r g ê n c i a
  u n i f o r m e
  e c o n v e r g ê n c i a n ã o
  u n i f o r m o
  . . . . . . . 3 8 6
5.  S é r i e s d e p o t ê n c i a s . . 3 9 8
6.
  D e s e n v o l v i m e n t o
  de
  c e r t a s
  f u n ç õ e s e m s é r i e s d e p o t ê n c i a s . M é t o d o d o s
c o e f i c i e n t e s  i n d e t e r m i n a d o s . E x e m p l o s  4 04
7 . S é r i e s d e p o t ê n c i a s c o m   t e r m o s  c o m p l e x o s 4 1 0
A P Ê N D I C E
1 . M u l t i p l i c a ç ã o e d i v i s ã o d e s é r i e s 4 1 5
2. S ér i es
  i n f i n i t a s
  e
  i n t e g r a i s
  i m p r ó p r i a s 4 1 7
3.
  P r o d u t o s
  i n f i n i t o s  4 1 9
4 . S ér i es
  i m p l i c a n d o
  o s n ú m e r o s d e   B e r n o u i l l '  4 2 2
C A P Í T U L O   [ X
S É R I E S D E   F O U R I E R
1 . F u n ç õ e s p e r i ó d i c a s 4 2 5
2.   E m p r e g o  d a n o t a ç ã o  c o m p l e x a  4 3 3
3. S ér i es de
  F o u r i e r
  4 37
  E x e m p l o s
  s o b r e s é r i e s d e  F o u r i e r  4 4 0
5.
  C o n v e r g ê n c i a d a s s ér i e s d e
  F o u r i e r
  4 4 7
A P Ê N D I C E
I n t e g r a ç ã o d e s é r i e s d e
  F o u r i e r  455
C A P Í T U L O   X
E S B O Ç O D A
  T E O R I A
  D A S F U N Ç Õ E S D E
  D I V E R S A S
  V A R I Á V E I S
1.   C o n c e i t o  d e f u n ç ã o n o c a s o d e  d i v e r s a s  v ar i á v ei s . . . . . . . . 4 5 8
2-
  C o n t i n u i d a d e
  4 6 3
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 10/621
  X V
  D eriv ad as  de uma função de   diversas  variáveis
  466
4.
C A P Í T U L O   X I
E Q U A Ç Õ E S   D I F E R E N C I A I S PA R A   O S  T I P O S  M A I S  S I M P L E S
D E   V I B R A Ç Õ E S
1 .
  Problemas
  sobre vibrações em Mecânica e em Física 5 0 2
2 .
  l ivres
4 .
  Observações
  adicionais
  O E
  E
  F Ó R M U L A S I M P O R T A N T E S
  5 2 9
  5
19
R E S P O S T A S  E   S U G E S T Õ E S  5 7 1
Í N D I C E   A L F A B É T I C O
  . . . , , . 6 1 1
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 11/621
O B S E R V A Ç Õ E S I N I C I A I S
Q u a n d o   o e s t u d a n t e  e n t r a ,
  p e l a
  p r i m e i r a  v e z , e m c o n t a t o c o m a
m a t e m á t i c a c h a m a d a
  su p e r i o r ,
  p o d e  i m a g i n a r  q u e e x i s t e
  c e r t a  des
c o n t i n u i d a d e
  e n t r e a m a t e m á t i c a s e cu n d á r i a e a u n i v e r s i t á r i a .
  Este
s e n t i m e n t o
  r e p o u s a , e m ú l t i m a i n s t â n c ia , s o b r e a l g o
  m a i s
  d o q u e a s
c i rc unstâ nc i a s hi stór i c a s q ue
  f i z e r a m
  c o m q u e o e n s i n o u n i v e r s i t á r i o
d i f e r i sse
  t ã o p r o f u n d a m e n t e d o e n s i n o   g i n a s i a l .  A
  v e r d a d e i r a
  natureza
da
  m a t e m á t i c a
  su p e r i o r ,
  o u m e l h o r , d a m a t e m á t ic a m o d e r n a , q u e s e
d e s e n v o l v e u d u r a n t e
  os úl t i mos três séc ul os,
  d i s t i n g u e - a
  d a m a t e m á
t i c a  e l e m e n t a r , c u j a m a t é r i a d e e n s i n o , t o m a d a q u a s e d i r e t a m e n t e
da
  m a t e m á t i c a d o s a n t i g o s g r e g o s ,
  d o m i n a v a i n t e i r a m e n t e ,
  a té há
p o u c o , o s p r o g r a m a s e s c o l a r e s .
A
  m a i s
  n o t á v e l d a m a t e m á t i c a e l e m e n t a r é a s u a
í n t i m a a s s o c i a ç ão c o m a   geometria.  M e s m o q u a n d o a m a t é r i a t r a n s p õ e
as
  f r o n t e i r a s
  d a g e o m e t r i a e  e n t r a  n o r e i n o d a a r i t m é t i c a , as
  i d e i a s
f u n d a m e n t a i s
  a i n d a  p e r m a n e c e m g e o m é t r i c a s .
  O u t r o
  a s p e c t o d a m a
t e m á t i c a d o s a n t i g o s é ,
  t a l v e z ,
  a s u a t e n d ê n c i a
  p a r a
  c o n c e n t r a r - s e n o s
c a s o s  p a r t i c u l a r e s .
  F a t o s
  q u e h o j e e m d i a c o n s i d e r a m o s  como c a sos
e sp e ci ai s   d e f e n ô m e n o s
  g e r a i s ,
  s ã o e x p o s t o s , c o n f u s a m e n t e , s e m   q u a l
q u e r
  r e l a ç ã o v i s í v e l e n t r e s i . A a s s o c i a ç ão í n t i m a c o m a s i d é i a s  geo
m é t r i c a s e a im p o r t â n c i a q u e e m p r e s t a a
  s u t i l e z a s p a r t i c u l a r e s
  c o n
f e r e ,  à m a t e m á t i c a d o s a n t i g o s , u m e n c a n t o t o d o   p a r t i c u l a r .  N o i n í ci o
da
  i d a d e m o d e r n a , t e n d ê n c i a s d i v e r s a s i m p r i m i r a m  u m p r o g r e s s o  d e f i
n i t i v o . à m a t e m á t i c a , a t u a n d o   como estímul o   p a r a  u m a g r a n d e e x
pa nsã o da ma tér i a , a
  q u a l ,
  a d e s p e i t o d o s p r o g r e s s o s f e i t o s n o s
  d e t a
l h e s , m a r c a r a
  p a s s o , e m o u t r o s e n t i d o ,
  d u r a n t e
  séc ul os.
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2
O B S E R V A Ç Õ E S   I N I C I A I S
A   t e n d ê n c i a
  f u n d a m e n t a l
  d e t o d a a m a t e m á t i c a m o d e r n a c o n s i s t e
na   s u b s t i t u i ç ã o d a s d i s c u s s õ e s i s o l a d a s d o s c a s o s
  p a r t i c u l a r e s
  p o r
m é todos  g e r a i s c a d a v e z
  m a i s
  s i s t e m á t i c o s . É p o s s í v e l q u e t a l p r o ce s s o
ne m   s e m p r e c o n s i d e r e c o m  i n t e i r a  j u s t i ç a o s a s p e c t o s  i n d i v i d u a i s  d o s
c a sos   p a r t i c u l a r e s ,  m a s , g r a ç a s à s u a e x t e n s ã o e g e n e r a l i d a d e , s u g e r e
g r a n d e   a b u n d â n c i a d e n o v o s
  r e s u l t a d o s .
  A l e m  d i s s o , o c o n c e i t o d e
n ú m e r o e o s m é t o d o s a n a l í t i c o s o c u p a m p o s i ç õ e s c a d a v e z
  m a i s i n d e
p e n d e n t e s ,  s o b r e p u j a n d o  i n t e i r a m e n t e  a s , i d é i a s g e o m é t r i c a s .  E s t a
n o v a  or i enta ç ã o  p a r a  o d e s e n v o l v i m e n t o d a m a t e m á t ic a , s o b d i v e r s o s
a spec tos, é
  m a i s
  c l a r a  n o s u r g i m e n t o d a g e o m e
t r i a
  a n a l í t i c a , c u j o p r o g r e s s o s e d e v e ,
  p r i n c i p a l m e n t e ,
  a  F e r m a t  e a
D e s c a r t e s ,   e do c á l c u l o
  d i f e r e n c i a l
  e  i n t e g r a l ,  q u e g e r a l m e n t e s e
c o n s i d e r a  como c r i a d o p o r
  N e w t o n
  e  L e i b n i t z .
O s
  t r ê s s é c u l o s d e e x i s t ê n c i a d a m a t e m á t i c a m o d e r n a   v i r a m  p r o
gressos tã o
  i m p o r t a n t e s ,
  n ã o s ó n a m a t e m á t i c a
  p u r a ,
na   i m e n s a
  v a r i e d a d e d e s u a s a p l i c a ç õe s à c i ê n c i a e à
  e n g e n h a r i a ,
  q ue
a s sua s i déi a s   f u n d a m e n t a i s  e , s o b r e t u d o , o c o n c e i t o d e f u n ç ã o , s e
t o r n a r a m
  g r a d u a l m e n t e c o n h e c i d o s e , e v e n t u a l m e n t e , f o r a m i n c l u í d o s
nos própr i os
  p r o g r a m a s
 • s e c u n d á r i o s .
O
  m e u o b j e t i v o , a o e s c r e v e r e s t e
  l i v r o ,
  f o i a p r e s e n t a r e d e se n v o l v e r
o s p o n t o s
  m a i s
  i m p o r t a n t e s d o c á l c u l o
  d i f e r e n c i a l
  e  i n t e g r a l  d e t a l
m a n e i r a ,  q ue, a o c onc l uí- l o , o   l e i t o r ,  e m b o r a n ã o
  t e n h a t i d o
  a n t e s
q u a l q u e r
  c o n h e c i m e n t o d e m a t e m á t i c a
  s u p e r i o r ,
  e s t e j a b e m
  p r e p a
r a d o ,
  p a r a
  o e s t u d o d o s f u n d a m e n t o s d a m a t é r i a e d o s
seus
  m a i s
  a d i a n t a d o s r a m o s , e, p o r o u t r o , p a r a  a m a n i p u l a ç ã o d o c á l
c u l o   n o s v á r i o s d o m í n i o s o n d e o m e s m o t e m a p l i c a ç ã o .
G o s t a r i a  de   p r e v e n i r  o  l e i t o r ,  e s p e c i a l m e n t e ,  c o n t r a  o p e r i g o q u e
se   o r i g i n a  d a d e s c o n t i n u i d a d e m e n c i o n a d a n o p a r ág r a fo  i n i c i a l .  O
p o n t o d e
  v i s t a
  d a m a t e m á t i c a s e c u n d á r i a p o d e
  t e n t a r
  a l g u é m a d e t e r -
s e n o s d e t a l h e s , p e r d e n d o ,
  a s s i m ,
  a v i s ã o d a s r e l a ç õ e s g e r a i s e d o s m é
t o d o s s i s t e m á t i c o s . P o r o u t r o l a d o , d o p o n t o d e   v i s t a  " s u p e r i o r " ,  há
o p e r i g o o p o s t o , q u e c o n s i s t e e m p ô r d e l a d o a s m i n ú c ia s c o n c r e t a s
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O B S E R V A Ç Õ E S   I N I C I A I S
3
f i c a n d o -s e c o m p l e t a m e n t e d e s a m p a r a d o q u a n d o s e d e f r o n t a m o s c a s o s
m a i s s i m p l e s d e d i f i c u l d a d e   i n d i v i d u a l ,  p o r q u e n o m u n d o s u b j e t i v o
d a s id é i a s g e r a i s e s q u e c e m o - n o s d e
  como
a j u s t a r - n o s f i r m e m e n t e à
r e a l i d a d e o b j e t i v a . 0 l e i t o r d e v e e n c o n t r a r o c a m i n h o p o r s i m e s m o
p a r a
  s a i r
  deste  d i l e m a .  E
  s o m e n t e s er á b e m s u c e d i d o e x c o g i t a n d o ,
r e p e t i d a m e n t e , c a s o s p a r t i c u l a r e s , e a d q u i r i n d o s e g u r a n ç a n a   a p l i c a
ç ã o d o s p r i n c í p i o s g e r a i s à s o c o r r ê n c i a s  i n d i v i d u a i s  q u e s u r g i r e m .  N i s t o
c o n s i s t e a t a r e f a
  p r i n c i p a l
  d e q u e m d e s e j a p r o g r e d i r n o e s t u d o d a
C i ê n c i a .
8/17/2019 Richard Courant_Calculo Diferencial e Integral
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  í
I N T R O D U Ç Ã O
A l é m
  o
  c á lc u lo  d i f e r e n c i a l
  e
  é ba
  em
  d o i s c o n c e i to s f u n d a m e n t a i s
  de
  im p o r t â n ci a d e c i s i v a .
 São
eles
  os
  de  função  e de  limite.  Na
  v e r d a d e ,
  t a i s
p o d e m
  ser
  r e c o n h e c i d o s
  a q u i
  m a t e m á t i c a
  dos
 mas
fo i  s o m e n t e  a  m a t e m á t i c a m o d e r n a  que  e x p ôs c o m p l e t a m e n t e  o seu
s i g n i f i c a d o
  e o teu
  ca r á te r e s s e n c i a l . N e s t e c a p í t u l o
  i n i c i a l
  p r o c u r a
r e mo s e xpo r e st e s c o nc e it o s
  da
  m a n e i r a  m a i s s i m p l e s
  e
  p o s s í v e l .
1. A C O N T I N U I D A D E   DOS
  N Ú M E R O S
A
  q u e st ã o r e fe r e nt e
  à
  n a t u r e z a  r e a l
  dos
  é das que
  do que aos
 m a t e m á t i c o s ,
  e
  já se
p a r a m   m u i t o
 com
 e l a .  F e l i z m e n t e ,
  os
  e s t u d a n t e s
 de
  m a t e m á t i c a p o d e m
di   p e n s a r
 os
  e st u do s  p r e l i m i n a r e s  s o b r e
  a
  n a t u r e z a  e s s e n c i a l
  do
  do
  de  v i s t a  da
  t e o r i a
 do
  c o n h e c i m e n t o ,
  e
  i s t o
c o n c o r r e  p a r a
  que a
  m a t e m á t ic a s e j a c o n s e r v a d a c u i d a d o s a m e n t e
a f a s t a d a
  dos
  c o n f l i t o s e n t r e
 as
  o piniõ e s f i l o só f ic as.
  A d m i t i r e m o s ,
  p o i s ,
  os
  e, em
  p r i m e i r o l u g a r ,
  os
  n ú m e r o s  n a t u r a i s
1,  2, 3, .. .,  ass im  como  c o n s i d e r a r e m o s c o n h e c i d a s  as  r e g r a s  com
a s q u a i s o p e r a m o s s o b r e e s te s n ú m e r o s L e m b r a r e m o s a p e n a s ,
 e m
b r e v e s   l i n h a s ,
  a
  que
  o
  d e s e n v o l v i m e n t o
  do
  c o n c e i t o
d e n ú m e r o
  i n t e i r o  e
  p o s i t i v o ( n ú m e r o s
  n aturais ) .
  r e g r a s s S o :
  P r i m e i r a :  (a + 6) 4- c =* a + (i +  c).
  I s t o
  é, se
  a d i c i o n a r m o s
 à
 c,
 o
  m e s m o
 r e s u l t a d o que se
 s o m a r m o s
 a à
 e c.  ( E s t a é a
  d e n o m i n a d a l e i
  asso ci at i v a
 da
  S e g u n d a :
 a + b = b + a (lei
  c o m u t a t i v a
da
  T e r c e i t a :
  (ab)c =•
 a(6c) (lei a s s o c i a t i v a d a
  mul t i pl i c a ç ã o) .  Q u a r t a :
 ah = ba (lei
t iv a  da
  mul t i pl i c a ç ã o) .
  Q u i n t a :  a(b + c) =  ab
 •+•
 ac  (lei  dis t r ib ut iv a  da
  mul t i pl i c a ç ã o) .
5
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6 I N T R O D U Ç Ã O
  [CAP.
1.
  O
  c o n j u n t o  dos  n ú m e r o s
  r a c i o n a i s
  e a  n e c e s s i d a d e  de sua
a m p l i a ç ã o .
N o  domín i o  dos  números
  na tu ra i s ,
  as  operações  f un d am en tais de
adição
 ser
 sem
  restrição;
isto
  ê, a  s oma  ou o  p r o d u t o de  do i s n úmeros  n aturais  é  sempre  um
número
  das  precedentes, subtração  e
di v i s ão , porém,  nem  s empre podem   ser  e fetuadas  no  domínio  dos
números
  na tu ra i s .
  D e v i d o a  i s to ,  os matem áti cos,  há
 m u i t o
  tempo já,
foram   obri gados  a  i n v e n t a r  o  n úmero  0, os  n úmeros n egat i v os e as
frações
  n e g a t i v a s .
 A  t o t a l i d a d e  de
  todos estes números
 é
u su alme nt e  d e n o m i n a d a a  classe  dos números
 racionais,  v i s t o
  todos
  u n i d a d e ,
  pe lo emprego  das  "operações
racionais
  de  cálculo" , adi ção , mult i p l i cação , s ubtração  e  divisão.
E m   gera l ,  os  n úmeros  são
  repre-
rí|
K
  s en tados , graf i cam en te , pe los pon tos
F i
 l i nha re ta ,
  d e n o m i n a d a "e i x o
d o s n ú m e r o s " , t o m a n d o - s e  um pon to
arbitrário  da  l i nha  como  o r i g e m o u  pon to z ero ,  e u m  outro pon to ,
igualmente
  arbitrário,  como  p o n t o um. A  distância entre estes dois
pon tos (compri men to do  intervalo
  unitário)
  como
  escala,
  p o n t o
  para
  o
 E
  m a r c a r  os nú
meros positivos  para  a
 d i re i ta
  e os  n e g a t i v o s  p a r a  a  es querda da  o r i
ge m
  d e f i n i r m o s
  o
  abs o luto (também
 v a l o r
  numérico ou  m ó d u l o )  |  a | de u m n ú m e r o a, como  sendo
o  próprio  a  q u a n d o  a ^ 0 e  s e n d o  -  a  q u a n d o  a <  0,  | a |
  i ndi c a
a  distância, sobre o  eixo dos  n úmeros , do  pon to con s i derado à  or i gem.
A   representação geométrica
  r a c i o n a i s  por
  mei o
pontos sobre o  eixo dos  n úmeros , s ugere uma
  i m p o r t a n t e
 propri edade
 da s egui n te
 f o r m a :
 o  c o n j u n t o dos números
racionais  ê
  q u a l q u e r
  i n t e r v a l o  do  eixo
•numérico, tão pequeno quanto  se queira , há s empre n úmeros racion ais .
Ge o me t r ic ame nt e ,  quer  dizer que no s egmen to do  eixo numérico  l i m i
t ado  por
 se
desejar,  há
  s e m p r e p o n t o s '
 c o r r e spo nde nt e s  a
  n úmeros
  racion ais .  A
(*) O siaal  S  indica  que deve ser usado  o   sinal  > ou o  sinal  =* O  mes mo   fica  estabelecido
para  os  sinais  =±= e == que serão empregados posteriorm ente.
8/17/2019 Richard Courant_Calculo Diferencial e Integral
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A C O N T I N U I D A D E
  D O S N Ú M E R O S 7
n o ç ã o d e d e n s i d a d e d o s n ú m e r o s
  r a c i o n a i s
  t o r n a - s e  c l a r a  se
  p a r t i r m o s
1 1 1 1
d o f a t o d e q u e o s n ú m e r o s - , r j , . . . , — , . . .
  f i c a m
  c a d a v e z m e -
n o r e s e a p r o x i m a m - s e d e z e r o à
  m e d i d a
  qu e  n  c r e s c e . S e
  d i v i d i r m o s
  o
e i x o
  d o s n ú m e r o s e m p a r t e s
  i g u a i s
  d e c o m p r i m e n t o 1 /2 " , c o m e ç a n d o n a
1 2 3
  .
o r i g e m ,  o s p o n t o s e x t r e m o s — , — , — , . . . d e s t e s
  i n t e r v a l o s
  r e p r e
s e n t a m
  n ú m e r o s
  r a c i o n a i s
  d a
  m/2
n
  a i n d a ,
  t e m o s o
n ú m e r o   n  à n o s s a d i s p o s i ç ã o . S e a g o r a f i x a r m o s u m
  i n t e r v a l o
  t ã o
p e q u e n o q u a n t o q u i s e r m o s , s o b r e o e ix o d o s n ú m e r o s , s o m e n t e   p r e c i
s a m o s e s c o l l i e r  n  t ã o g r a n d e q u e 1 / 2 " s e j a m e n o r q u e o c o m p r i m e n t o
do   i n t e r v a l o .
  D e s t a
  m a n e i r a  os
  i n t e r v a l o s
  d a s u b d i v i s ã o e f e t u a d a s ã o
b a s t a n t e
  p e q u e n o s  p a r a  q u e p o s s a m o s  a f i r m a r  q u e , n o m í n i m o , u m
d o s p o n t o s d a s u b d i v i s ã o   m 2
n
  e s t á c o n t i d o  nele. .
T o d a v i a ,
  a d e s p e i t o d e s s a p r o p r i e d a d e d e d e n s i d a d e , o s n ú m e r o s
r a c i o n a i s
  n ã o s ã o s u f i c i e n t e s  p a r a  r e p r e s e n t a r iodos  o s p o n t o s d o e i x o
d o s n ú m e r o s . O s m a t e m á t i c o s g r e g o s j á  h a v i a m   r e c o n h e c i d o q u e h á
i n t e r v a l o s
  c u j o s c o m p r i m e n t o s n ã o p o d e m s e r r e p r e s e n t a d o s p o r n ú
m e r o s  r a c i o n a i s ,
  e m c o m p a r a ç ã o c o m u m s e g m e n t o
  l i n e a r
  d e
  c o m p r i
m e n t o u n i t á r io ; s ã o o s c h a m a d o s s e g m e n t o s i n c o m e n s u r á v e i s c o m a
u n i d a d e .
  A s s i m ,  p o r e x e m p l o a
  h i p o t e n u s a
  d e u m t r i â n g u l o r e t â n g u l o
i s ó s c e l e s , c o m c a t e t o s
  i g u a i s
  à u n i d a d e d e c o m p r i m e n t o , é i n c o m e n
s u r á v e l c o m a m e s m a   u n i d a d e . P e l o  t e o r e m a d e P i t á g o r a s , o q u a d r a d o
d e s te c o m p r i m e n t o
  d e v e r i a
  se r
  i g u a l
  a 2 . M a s , s e  l  fo s s e u m n ú m e r o
r a c i o n a l ,  p o r c o n s e q ü ê n c i a  i g u a l  a  plq,  o n d e  p e q  sã o
  i n t e i r o s
  e
  d i f e
r e n t e s  d e 0 , t e r í a m o s  p
2
  = 2q
2
  A d m i t i m o s
  qu e  p  e  q  n ã o t ê m f a t o r e s
c o m u n s ,
  p o i s , s e o s
  t i v e s s e m ,
  e l e s p o d e r i a m s e r r e d u z i d o s d e i n í c i o .
D e
  a c o r d o c o m a e q u a ç ã o
  a c i m a ,
  p
2
  é u m n ú m e r o p a r e o p r ó p r i o  p  o
d e v e s e r ,
  i s t o
  é,  p  = 2 p ' .
  S u b s t i t u i n d o
  e s t e
  t e r e m o s 4 p '
2
  =  2q
2
2
; c o n s e q ü e n t e m e n t e   q
2
  é p a r , e  q  t a m b é m o d e v e s e r .
O s
  n ú m e r o s  p e q  s e n d o a m b o s p a r e s , d e v e m t e r o f a t o r c o m u m 2 , o
qu e   c o n t r a r i a  a h i p ó t e s e d e s e r e m p r i m o s e n t r e s i .
  A s s i m ,
  a h i p ó t e s e
d e q u e a   h i p o t e n u s a  p u d e s s e s e r r e p r e s e n t a d a
  p e l a
  f r a ç ã o  pjq   l e v a  a
c o n t r a d i ç ã o , s e n d o , p o r t a n t o ,
  f a l s a .
O
  r a c i o c í n i o
  a c i m a ,
  q u e ê u m e x e m p l o c a r a c t e r í s t i c o d e
  " p r o v a
i n d i r e t a " ,
  m o s t r a
  q u e o s í m b o l o V 2 n ã o  pode c o r r e s p o n d e r a
  n e n h u m
n ú m e r o   r a c i o n a l .  V e m o s , p o i s , q u e s e  i n s i s t i r m o s  e m q u e c a d a p o n t o
d o e i x o d o s n ú m e r o s
  t e n h a
  u m n ú m e r o c o r r e s p o n d e n t e , u m a v e z f i x a d o
8/17/2019 Richard Courant_Calculo Diferencial e Integral
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 17/621
8
I N T R O D U Ç Ã O
[ C A P .
  i n t e r v a l o
  un i tári o, s eremos forçados a ex pan di r o domín i o dos n ú
meros rac i on ai s
  pe l a
  i n trodução de n ov os n úmeros
  " i r r a c i o n a i s " .
  O
c o nj u nt o
  d e n úm eros rac i on ai s e
  i rracion ais ,
  q u a l
  a c a d a p o n t o d o
eixo   corres pon de um s ó n úmero e a cada n úmero corres pon de um s ó
pon to s obre o e i x o , ê den omi n ado con j un to dos  números  reais
2. Números reais e decimais infin itas.
A
  ex igên cia da corres pon dên ci a de u m pon to do e i x o a cada n ú
m e r o   re a l  n a d a  i n d i c a ,  a priori,
  s o b r e a p o s s i b i l i d a d e d e
  ca l cul ar
  com
es tes n úmeros , do mes mo modo que com os n úmeros
  racion ais .  E s t a
beleceremos o
  demon s tran do que o que fo i
e xig ido  é equi v a len te ao s egui n te fato : a tota l i d ade de todos os n úme
ro s   reais
  ê r e pr e se nt ada
  p e l a t o t a l i d a d e
  d e todos os n úmeros dec i mai s
f in itos
I n ic ia l m en te
  recordaremos , o qu e ê con h eci do da matemáti ca e le
m e n t a r ,
  que qualqu er n úmero  r a c i o n a l
 pode
  s er repres en tado por uma
d e c i m a l
  f i ni ta  o u por um a díz ima peri ódi ca ; i n v ers am en te , toda a
d e c i m a l
  des s e t i po repres en ta um n úmero  r a c i o n a l .  M o s t r a r e m o s q ue
a  cada pon to do e i x o dos n úmeros podem os
  a tr i b u i r
  uma ún i ca dec i
m al
  i n f i n i t a ) ,
  d e m o d o a p o d e rm o s r e pr e
sentar
  i rracion ais
  p o r d e c i m a i s
  i n f i
ni ta s .
  (De acordo com es ta obs erv ação , os n úmeros
  i rracion ais
  i n f i n i t a s ,
  n ão peri ódi cas , por ex emplo ,
0 , 1 0 1 1 0 1 1 1 0 . . . ) .
Su po nhamo s
  in teiros
  estejam
indic ado s  s obre o e i x o dos n úmeros .  T a i s  p o n t o s s u b d i v i d e m o e ix o
em
  in terv a l os
  ou s egmen tos de com pri m en to 1. N a expos i ção que
s egue, di remos que um pon to do e i x o perten ce a um   i n t e r v a l o ,  quan do
estiv er
  no seu  in terior  ou for um dos s eus pon tos ex tremos . Sej a P
um
  pon to arbi trári o do e i x o dos n úm eros . D e acordo com o que
  d i s
  i n t e r v a l o s ,
  se fôr
um
  pon to de di v i s ão . Se con v en ci on armos que n o s egun do cas o   esco
lhe r e mo s  o  i n t e r v a l o  que s e en con tra à  d i re i ta ,  terem os , em qualquer
hipótese, um   i n t e r v a l o  com os pon tos ex tremos  g  e  g  1, ao
  q u a l
  o
pon to   P  perten ce , s en do  g  u m n ú m e r o  i n t e i r o . D i v i d i r e m o s ,  agora ,
este
  in terv a l o
  e m 1 0 s u b i n t e r v a l o s iguais ,  por mei o dos pon tos cor-
(i) Assim chamac-'S
  para
 s e   distinguirem  do conjunto dos números complexos, obtidos por meio
de uma  outra extensão.
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 18/621
í]
A
  C O N T I N U I D A D E
  D O S N Ú M E R O S
9
1 2 9
r e s p o n d e n t e s a o s n ú m e r o s
  9 + 9
  n u m e r a r e
m os   t a is  s u b i n te r v a l o s 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , n a o r d e m
  n a t u r a l ,
  d a e s q u e r d a
p a r a   a  d i r e i t a .  O s u b i n t e r v a l o
 a
  t e r á. e n t ão , o s p o n t o s e x t r e mo s
  g
  -f- :j~
e g + ^ + O p o n t o P d e v e r á e s t a r c o n t i d o n u m d e s s e s s u b i n t e r
v a l o s . ( S e P f ô r u m d o s n o v o s p o n t o s d e d i v i s ã o , p e r t e n c e r á a d o i s
i n t e r v a l o s   c o n s e c u t i v o s ;  como n o c a s o a n t e r i o r , e s c o l h e r e m o s o d a
d i r e i t a . )
  D e n o m i n a r e m o s o i n t e r v a l o a s s im d e t e r m i n a d o , p o r
  a\.
  O s
se u s p o n t o s e x t r e m o s co r r e sp o n d e r ão ao s n ú me r o s
  g + g-{-
P o d e m o s , n o v a m e n t e ,  d i v i d i r  e s t e s u b i n t e r v a l o e m d e i s p a r t e s   i g u a i s ,
d e t e r m i n a n d o a q u e l a q u e c o n t é m
  P.
  C o m o j á f iz e m o s a n t e s , s e
  P
p e r t e n c e r a d o i s i n t e r v a l o s , a d o t a r e m o s o d a
  d i r e i t a .
  O b t e r e m o s , a s s i m ,
u m i n t e r v a l o
  c o m o s p o n t o s e x t r e m o s
  g +
  ao
  é u m d o s d í g i to s 0 , 1 , . . . , 9 . S u b d i v i d i r e m o s  este   s u b i n t e r v a l o
e c o n t i n u a r e m o s r e p e t i n d o o p r o c e s s o . A p ó s
  n
  o pe r a ç õ e s , c h e g a r e m o s
a   u m s u b i n t e r v a l o c on t e n d o P , c o m o c o m p r i m e n t o
  1/10",
  c uj o s p o n t o s
e x t r e m o s c o r r e s p o n d e m a o s n ú m e r o s
_ i
_ í
  e x p r e ssão cad a
  a
  r e p r e se n t a alg u m d o s n ú me r o s 0 , 1 , . . . , 9 .
M a s
2
  •' ' io«
é a fr a ç ã o d e c i m a l
  0,a
L
a
2
.  .. a
n
.
  O s p o n t o s e x t re m o s d o i n t e r v a l o p o
d e m , p o r t a n t o , t a m b é m s e r e s c r i t o s s o b a f o r m a
9
2
. . . a „ + ~ .
S e i m a g i n a r m o s o p r o c e s s o a c i m a r e p e ti d o i n d e f i n i d a m e n t e , o b t e
r e m o s u m a
  decimal
  infinita
  0,aia
2
. . . ,
  q u e t e m o s e g u i n t e s i g n i f i c a d o .
I n t e r r om p e n d o a d e c i m a l e m u m a o r d e m q u a l q u e r , d i g a m o s n a e n e -
g é s i ma, o p o n t o
  P
  e s t a r á n o in t e r v a l o d e c o m p r i m e n t o ~ , c u j o s
p o n t o s e x t r e mo s ( p o n t o s d e ap r o x i mação ) são
g
  + O.ctiCfc. .
 . a
n
  e
  g
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 19/621
10
I N T R O D U Ç Ã O
[ C A P .
E m   particular,
  sufi
n
  correspondente
propriedades  dos números
  admitir
  basearemos todo o cálculo  diferencial  e  integral.
I n s e r i m o s  a q ui  u m a o bs e r v a ç ã o s o b r e a
  p o s s i b i l i d a d e
  de, em c ertos c a sos,
p o d e r m o s e s c o l h e r o
  i n t e r v a l o
  d o e s q u e m a d o d e s e n v o l v i m e n t o
  a c i m a ,
  de   duas
m a n e i r a s .
  D a construç ã o deduz - se q ue os pontos de di vi sã o ob ti dos no proc esso
r e p e t i d o
  d e s u b d i v i s ão , e s o m e n t e e s t e s p o n t o s , p o d e m s e r r e p r e s e n t a d o s p e l a s
  f r a
ç ões dec i ma i s   f in it a s  g  -f-
  0 , a i a 2 . .
  .a
a
.   S u p o n h a m o s q u e o p o n t o  P  a pa reç a ,  p r i
m e i r a m e n t e ,  como p o n t o d e d i v i s ã o n a   n  s u b d i v i s ã o . D e a c o r d o c o m o q u e
  e s t a
b e l e c e m o s , e s c o l h e m o s , n a f a s e d e o r d e m   n  d a s u b d i v i s ã o , o
  i n t e r v a l o
  à
  dire it a
de   P.  N a s s u b d iv i s õ e s s e g u i n te s d e v e m o s e s c o l h e r u m
 s u b i n t e r v a l o
  d e s t e  i n t e r v a l o .
U m   i n t e r v a l o
  de  t al  e s p é c i e , p o ré m , d e v e c o n t e r P   como p o n t o e x t r e m o d a e s q u e r d a .
N e s t a s  c ondi ç ões, em toda s a s fa ses sub seq üentes da sub di vi sã o, devemos esc ol her
o   p r i me i r o su bi n t e r v alo , i s t o  é , a q uel e
  qu*i
  c o m e ç a p o r 0 . E n t ã o , a  d e c i m a l
  in f in it a
q ue c orresponde a   P ê g  +
  0,aiO2.
  . .ctaOC/O.  . . . S e , p o r o u t r o l a d o , t i v é s s e m o s
e s c o l h i d o n a f as e d e o r d e m   n  o
  i n t e r v a l o
  d a e s q u e r d a q u e c o n t é m  P,  entã o em
todos os outros está gi os poster i ores da sub di vi sã o, dever ía mos esc ol her os   s u b i n -
t e r v a l o s m a i s
 a f a s t a d o s
 p a r a
  qu ai s
  t ê m 9 como p o n t o e x t r e m o d a
  dire it a .
O b t e r í a m o s ,  a s s im ,  u m d e s e n v o l v i m e n t o
  d e c i m a l
  p a r a  P  em q ue todos os dígi tos,
a
  p a r t i r
  de ( n . + 1 ) , sã o noves. A   d u p l a
  p o s s i b i l i d a d e
  d e esc ol ha na construç ã o q ue
i m a g i n a m o s   c o r r e s p o n d e , p o r t a n t o , a o f a t o d e q u e , p o r e x e m p l o , o n ú m e r o M p o d e
se r
  esc r i to 0 , 25 0 00 0. . . e 0 , 24 9 9 9 9
3,
  Expressão dos núm eros em sistemas de base diferente da
decimal.
N a  representação dos números  reais  atribuímos um  papel especial
ao número 10,
iguais.
sistema decimal.  Poderíamos, de modo análogo, ter considerado  p
subintervalos
rior
  à
  unidade.
 forma
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 20/621
I]
A C O N T I N U I D A D E
  D O S
  NÚMEROS
11
0 +   ~  +  ~
2
  + ...,  onde  ò é um d os  números  0, 1, . . . ,  p  - 1.  N e s t e
caso,
  n o v a m e n t e , o s
  números
  racion ais , e som en te e l es , têm d esen v o l v i
m e n t o s
  periódicos
  espécie.
  C o m f i n a l i d a d e s
  teóricas,
convém,
  m uita s v ez es , esco l h er p =  2.  Obtém-se  a s s i m o d e s e n v o l v i
m e n t o   binário  do s  números  reais ,
9 + ^ +  • •
onde  c a d a  b  represen ta  0   ou   1
N o s  cálculos numéricos  é costum e ex prim ir- se o in teiro   g  que. por
s im pl ic id ad e, ad m itim os ser pos it iv o , n o s istem a d ecim al , i s to é , sob
f o r m a
a
m
lQ
m
v
  dígitos
  0, 1, 9.  E m l ug a r de
g  -p  O.aiüo...,   podemos,  então,  escrev er s im pl esm en te
A n a l o g a m e n t e , o  número  i n t e i r o p o s i t i v o  g pode  ser escrito d e um a
e s o m e n t e d e u m a m a n e i r a , n a f o r m a
0
k
pk
0
,
onde  cad a um d os  números  / 3 represen ta a l gun s d os  números  0, 1, . . . ,
p - l . i s t o , c o m a   expressão  que d eterm in am os , d á o seguin te  re s u l
t a d o ;
  todo
  o
  número
  real  e p o s i t i v o  pode  ser represen tad o sob a f orm a
(3
k
t
  são   números  in teiros com preen d id os en tre  0  e p -  1.
A s s i m ,  p o r e x e m p l o , o d e s e n v o l v i m e n t o
  binário
  da
 fração
  + 0  X  2+ 1 + £ +
(i) Mesmo para os cálculos numéricos, o sistema decimal aão ê o melhor. O sistema sexagesimal
(p » 60). com o qual os babilônios calculavam , apresenta a vantagem de que nele. uma proporção
relativamente grande de números racionais, cujas expressões decimais 3ão infinitas, possuem desen-
rolvimentos finitos,
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 21/621
12
I N T R O D U Ç Ã O
[ C A P .
4.  D e s i g u a l d a d e s .
O cálculo  com as  desigualdades desempenha papel muito mais
im portan te  na  matemática superior do que na  matemática elemen
tar.
  Re c apit u lar e mo s, por  isso, brevemente, algumas das  regras mais
simples
  referentes  às  me smas.
Se   a >  b  e  c >  d,  segue-se  que  a + c >b  +  d,  mas não que
a  - c >b ~  d.  Além disso,  se a > b  segue-se  que ac >bc,  desde  que
c  se j a po sit ivo . M u lt ipl ic ando - se uma  desigualdade por um  número
negativo,  o seu  sentido ê  in v ertid o . Se a > ò >0e c>c ?>0 ,  segue-se
que  ac > bd.
A s  seguintes desigualdades  são  ve r i f ic adas par a  os  valores abso
lutos
\a±b\ £\a\+\b\, \a±b\£\a\-\b\.
0 quadrado  de  qualquer número  r e a l  é  m a i o r que ou  igual  a  zero.
Se ar e y  forem números reais arbitrários, teremos, portanto,
(x - y)2 =  a;2 4. y
2
5 .
  D e s i g u a l d a d e  de  S c h w a r z .
Sejam ai, a
2
para  i ~  1,  i  — 2, . ..,  i —  n su c e ssivame nt e  e  somemos  as de sig u al
dades resultantes. A
(  i t I
  . . . + 5 „ V
Se div id ir mo s amb os  os  me mb r o s  da  desigualdade por 2,  virá
i   ai&i I +  I a
2
n
2 =
 6
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 22/621
I]
A C O N T I N U I D A D E   D O S N Ú M E R O S
13
elevá-los ao quadrado e
E X E M P L O S
  (0
1. D e mo n st r a r qu e o s n ú me r o s se g u i n t e s são
  i r r a c i o n a i s :  (a) V 3. ( è) Vn,
  d e sd e
  n
  n ão se j a qu ad r a d o p e r f e i t o , (c) $ 3 . ( d )*
  x
  = V3 + V2~.
2  * O s p o n t o s q u e , n u m s i s t e m a  u s u a l  d e co o r d e n ad as
  r e t an g u lar e s ,
  t ê m a m b a s
as co o r d e n ad as r e p r e se n t ad as p o r n ú me r o s i n t e i r o s , são d e n o mi n a d o s   pontos  reti
culares.
  P r o v ar qu e u m t r i ân g u lo cu j o s v é r t i ce s são p o n t o s r e t i cu lar e s , n ao  pode
se r e qu i lát e r o .
3.
  V e r i f i c a r
  a s d e s i g u a l d a d e s :
1 1
  4= 0.
4 . D e m o n s t r a r q u e se
  a >
  203
  -f - c ã 0 p ar a qu al qu e r v a lo r d e
  x,
d e s d e q u e , u n i c a m e n t e , ò
2
  - ac á 0.
5.   V e r i f i c a r  as d e s i g u ald ad e s se g u i n t e s :
(a)   2
  + 1 è 0.
6.   V e r i f i c a r  a d e s i g u ald ad e d e Sch w ar z, co n si d e r an d o a e x p r e ssão
(flxx + bj
,
r e u n i n d o o s te r m o s e a p l i c a n d o o E x . 4 .
7 . D e m o n s t r a r q ue o  s i n a l  d e i g u a l d a d e n a d e s i g u a l d a d e d e S c h w a r z s e  v e r i
f ic a ,  e so me n t e n e st e caso , se o s
  a
  e o s ò f o r e m p r o p o r ci o n ai s , i s t o é , se  cai-
 -{-db
v
  = 0
  v
  qu alqu e r , d e sd e qu e c e
  d
  s e j a m i n d e p e n d e n t e s d e
  v
  e n ã o s i m u l t a n e a m e n t e ,
n u lo s .
 n =  2,
  3 , ach ar a i n t e r p r e t ação g e o mé t r i ca d a d e s i g u ald ad e d e Sch w a r z.
9. O s n ú me r o s
  71
 e
 72
  co-senos
d i r e t o r e s d e u ma
 l i n h a ,
  i s t o é ,
 7^ + T2
  = 1-
D a  m e s m a f o r m a ,
  r ^
2
  4- 77a  = 1 . D e m o n s t r a r q u e a e q u a ç ã o   7^1 -f  7
3
T?
2
=  1 i m
p l i c a  as e qu açõ e s  71 = 171 e   72 == »72
10 . *  V e r i f i c a r  a d e s i g u a l d a d e
e e st abe le ce r su a i n t e r p t e r ação g e o mé t r i ca.
Os   exemplos mais difíceis  são indicados por um asterisco.
8/17/2019 Richard Courant_Calculo Diferencial e Integral
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11
INTRODUÇÃO
[ C A P .
2.   C O N C E I T O   D E P U N Ç Ã O
1 . E x e m p l o s .
( a ) S e u m g ás i d e a l f ôr c o m p r i m i d o e m u m r e c i p i e n t e p o r m e i o
d e u m p i s tã o , c o n s e r v a n d o - s e a t e m p e r a t u r a c o n s t a n t e , a
  pressão  p
  v
  s ã o l i g a d o s p e l a
  relação
pv   = C ,
onde C
  é u m a c o n s t a n t e .  E s t a  f ó r m u l a , d e n o m i n a d a
  lei de  Boy le ,
  n a d a
e s t a t ui   r e l a t i v a m e n t e à s q u a n t i d a d e s
  p
  e
  v
  e m s i m e s m a s , m a s t e m
o se g u i n t e s i g n i f i cad o : se
  p
  t i v e r u m v a l o r d e f i n i d o , a r b i t r a r i a m e n t e
e s c o l h i d o e m u m a d e t e r m i n a d a
  seqüência (seqüência
  e s t a d e t e r m i n a d a
f í s i c a , m a s n ã o m a t e m a t i c a m e n t e ) ,
  v
  pode s e r d e t e r m i n a d o , e , i n v e r
s a m e n t e :
G C
D i z e m o s , e n t ã o , q u e
  v
  p
  o u , n o  caso i n v e r s o , q u e
  p
  v.
( ò ) S e a q u ec e r m o s u m a b a r r a d e m e t a l , d e c o m p r i m e n t o /
0
  0
o
, a t é à t e m p e r a t u r a
  S°,
  o s e u c o m p r i m e n t o
  l  será
p e la
  s e g u i n t e l e i , e m  face da s  hipóteses  m a i s s i m p l e s d a  física
l = lo
  ( 1 - f
  (58).
N e s t a   f ó r mu la, /? , o " co e f i c i e n t e d e d i lat a ção " d o me t al , ê co n st an t e .
D i r e m o s , n o v a m e n t e , q u e
  l
  é
  função
  de
  8.
(c)
  S u p o n h a m o s d a d o s o s c o m p r i m e n t o s d e d o i s l a d o s ,
  a
  e 6, de
u m t r i ân g u lo . Se at r i bu i r m o s ao
  ângulo
  y , co mp r e e n d i d o e n t r e e st e s
d o i s lad o s , u m v a lo r ar bi t r ár i o , i n f e r i o r a 18 0 °, o
  triângulo
  f i c a c o m
p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d o ; p a r t i c u l a r m e n t e , o te r c e i r o l a d o
  c
  pode ser
c a l c u l a d o . N e s t e
  caso
d i r e m o s q u e , s e
  a
  e
  b
  f o r e m d a d o s , c é u m a   f u n
ç ã o d o  ângulo
  y.
  C o m o s a b e m o s d a t r i g o n o m e t r i a , e s t a  função  é r e
p r e s e n t a d a p e l a
  fórmula
  -  2ab  co s 7.
2 . E s t a b e l e c i m e n t o d o c o n c e i t o d e f u n ç ã o .
C o m o f i t o d e d a r u m a
  definição
  g e r a l d o c o n c e i to
  matemático
  de
f u n ção , f i x ar e mo s
  idéias
  s o b r e u m i n t e r v a l o d e f i n i d o d o e i xo d o s n ú
m e r o s , d i g a m o s o i n t e r v a l o c o m p r e e n d i d o e n t r e os
  números  a
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 24/621
I]
15
c o n s i d e r e m o s a
  t o t a l i d a d e
  d o s n ú m e r o s  x  p e r t e n c e n t e s a e s t e  i n t e r
v a l o , i s t o   é , q ue  s a t i s f a z e m  a r e l a ç ã o
a  Sx Sb .
Se
  c o n s i d e r a r m o s o n ú m e r o  x  como d e s i g n a n d o , à v o n t a d e ,
  q u a l
q u e r
  d o s n ú m e r o s d e s t e  i n t e r v a l o ,  c h a m á - l o - e m o s u m a  variável (contí
nua)  n o  intervalo.
  a c a d a
  v a l o r
  de   x  n e s t e  i n t e r v a l o ,  c o r r e s p o n d e r u m ú n i c o
  v a l o r
d e f i n i d o
  p a r a  y , e se  x  e y f o r e m l i g a d o s p o r u m a l e i
  q u a l q u e r ,
  d i r e
m o s q u e   y ê uma função de x  e e s c r e v e r e m o s , s i m b o l i c a m e n t e ,
y  = / O ) , y =  F(x),  y =  g(x),
o u o u t r a
  e x p r e s s ã o s e m e l h a n t e . C h a m a r e m o s , e n t ã o ,  x d e  variável inde
pendente  e
  a t r i b u i r e m o s
  a  y  a d e n o m i n a ç ã o d e  variável  dependente,  o u
d i r e m o s   qu e  x é o argumento   d a f u n ç ã o  y.
D e v e   s e r o b s e r v a d o q u e , e m c e r t o s c a s o s , n ã o é
  i n d i f e r e n t e  i n c l u i r -
s e o s p o n t o s e x t r e m o s d o
  i n t e r v a l o
  e n t r e  a  e 6,   como f i z e m o s
  a c i m a ,
o u  e x c l u í - l o s ; n a ú l t i m a h i p ó t e s e , a v a r i á v e l   x ê  c o n d i c i o n a d a p e l a s
d e s i g u a l d a d e s
a < x <b .
P a r a e v i t a r  q u a l q u e r
  e n g a n o , c h a m a r e m o s o
  p r i m e i r o t i p o
  d e i n
t e r v a l o s ( i n c l u i n d o
  o s p o n t o s e x t r e m o s ) , d e  intervalo fechado,  e o s e
g u n d o
  t i p o ,
  de   intervalo  aberto.  S e u n i c a m e n t e u m d o s e x t r e m o s f o r
i n c l u í d o ( p o r e x e m p l o ,  a < x  ^ ò ) , d i z e m o s q u e s e  t r a t a  d e u m  inter
valo  aberto  num
  extremo
  ( n e s t e c a s o o e x t r e m o a ) .
  F i n a l m e n t e ,
  p o d e
m o s c o n s i d e r a r
  i n t e r v a l o s
  a b e r t o s q u e s e e s t e n d e m s e m
  l i m i t e ,
  em
um a
  o u a m b a s a s d i r e ç õ e s .
  D i r e m o s ,
  e n t ã o , q u e a v a r i á v e l  x  p e r c o r r e
u m i n t e r v a l o
  infinito  ( a b e r to ) e e s c r e v e m o s , s i m b o l i c a m e n t e ,
a < X  < « OU - oo < x <  Ò  OU - co < £ < co.
A o
  n ad a
seja determinada,
  uma vez c onhec i da a va r iá vel i ndependente. T a l re l a çã o pode
ser   tão complicada quanto quisermos e, nas investigações teóricas, esta
  generali
dade   constitui  uma va nta gem . Na s a pl i ca ç ões, porém, e em   particular  no cálculo
diferencial
  e
  integral,
  v alo r
  simplificadoras.
http://slidepdf.com/reader/full/richard-courantcalculo-diferencial-e-integral 25/621
16
I N T R O D U Ç Ã O [ G A P .
3 . R e p r e s e n t a ç ã o g r á f i ca .
  C o n t i n u i d a d e .
  F u n ç õ e s m o n ó t o n a s .
Q u a n d o
  c o n s i d e r a m o s a r e l a ç ã o e x i s t e n t e e n t r e o c o n c e i t o
  g e r a l
d e f u n ç ã o e a g e o m e t r i a , o c o r r e m r e s t r i ç õ e s  n a t u r a i s  s o b r e o m e s m o .
A
  i déi a
  f u n d a m e n t a l
  d a g e o m e t r i a a n a l í t ic a é , e f e t i v a m e n t e , d a r u m a
r e p r e s e n t a ç ã o a n a l í t i c a c a r a c t e r í s t i c a d a s c u r v a s
  d e f i n i d a s
  po r
  a l g u m a
p r o p r i e d a d e
  g e o m é t r i c a ,
  r e f e r i d a
  a u m a d a s c o o r d e n a d a s
  r e t a n g u l a r e s ,
d i g a m o s   y,   como u m a f un ç ã o y =  j(x)  de
  o u t r a
  c o o r d e n a d a  x;  p o r
e x e m p l o ,  a p a r á b o l a é r e p r e s e n t a d a
 p e l a
  f u n ç ã o  y = x%,  o c írc ul o d e
r a i o
  1 , c o m c e n t r o n a o r i g e m , p e l a s d u a s f u n ç õ e s  y  = V i -  x%e
y  = - V l - a ? 2. N o
  p r i m e i r o
  e x e m p l o a f u n ç ã o é
  d e f i n i d a
  no   i n t e r
v a l o
  -  &  <  x  < c o ; n o s e g u n d o p o d e m o s n o s
  r e s t r i n g i r
  ao
  f o r a
a
  f u n ç ã o n ã o t e m s i g n i f i c a d o ( qu a n d o  x  e y
y  f o r e m
  r e ai s ) .
y '  \  I n v e r s a m e n t e , s e e m   l u g a r  de
  p a r t i r m o s
\ d e u m a
  c u r v a
  g e o m e t r i ca m e n t e d e t e r m i n a d a ,
Q x
  Y
x  c o n s i d e r a r m o s u m a f u n ç ã o
  d a d a ,
Fig. 2—E ixos retangulares
  p o d e m o s r e p r e s e n t a r g r a f i c a m e n t e a d e p e n
d ê n c i a d e y e m r e l a ç ã o a   x,  e m p r e g a n d o u m
s i s t e m a
  d e c o o r d e n a d a s
  r e t a n g u l a r e s
  d a
  m a n e i r a u s u a l
  ( f i g . 2) . S e,
p a r a   c a d a a b s c i s s a x,
  d e t e r m i n a r m o s
  a
 o r d e n a d a
 c o r r e s p o n d e n t e y
  =f(x),
o b t e r e m o s a r e p r e s e n t a ç ã o g e o m é t r i c a d a f u n ç ã o . A r e s t r i ç ã o q u e
i m p o r e m o s   a g o r a , a o c o n c e i t o d e f u n ç ã o , é : a r e p r e s e n t a ç ã o g e o m é
t r i c a  d a f u n ç ã o d e v e
  a s s u m i r
  a  f o r m a  d e u m a
  c u r v a
  g e o m é t r i ca  " p l a u
s í v e l " . E v e r d a d e q u e
  i s t o  i m p l i c a  m a i s
  e m u m a v a g a i d é ia
  g e r a l
  do
q u e ,
  p r o p r i a m e n t e ,
  e m u m a  e s t r i t a  c o n d i ç ã o m a t e m á t i c a . C e d o , p o
r é m ,
  f o r m u l a r e m o s
  t a is
  c o n d i ç õ e s ,  como a
  c o n t i n u i d a d e ,
  a
l i d a d e
  e
  o u t r a s ,
  q u e f a r ã o c o m q u e o g r á f i c o d a f u n ç ã o p o s s u a o c a r á t e r
de
  p l a u s í v e l ,
  v i s u a l m e n t e ,
  d e r e p r e s e n t a ç ã o g e o m é t r i c a . D e
q u a l q u e r f o r m a ,
  e x c l u i r e m o s f u n ç õe s  como a s e g u i n t e : p a r a  c a d a
  v a l o r
r a c i o n a l   de   x,  a f u n ç ã o t e m o
  v a l o r
  1;  p a r a  c a d a
  v a l o r
  i r r a c i o n a l  de   x,
o
  de y ê 0 .
  E s t a
  a t r i b u i
  a y u m
  d e f i n i d o
  p a r a
c a d a
  v a l o r
  de   x,  m a s , e m c a d a
  i n t e r v a l o
  d e c c , p o r m e n o r q u e s e j a ,
o
  de y
  v i c e - v e r s a ,
  u m n ú m e r o
  i n f i n i t o
  d e v e z e s .
A   n ã o s e r q u e o c o n t r á r i o s e j a  e x p r e s s a m e n t e e n u n c i a d o ,  s u p o r e m o s ,
s e m p r e ,
  q u e a l e i q u e
  a t r i b u i
  u m
  v a l o r
  d a f u n ç ão  p a r a  c a d a
 v a l o r
  de   x,
a t r i b u i ,
  t a m b é m , s o m e n t e u m
  v a l o r
  de y  p a r a  c a d a
  v a l o r
  de   x
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13
C O N C E I T O   D E F U N Ç ÃO n
po r   e x e m p l o , y = o u y = s e n x.  Se   i n i c i a r m o s  c o m u m a  c u r v a
geométri ca , pode acon tecer ,  como  n o cas o do c írculo ,  x%
- j -
  y
2
  = 1,
q u e o d e s e n v o l v i m e n t o c o m p l e t o d a   c u r v a  n ã o s e j a d a d o p o r u m a
ún i ca fun ção (de um s ó
  v a l o r ) ,
  p o r é m
  r e q u e i r a
  d i v e r s a s f u n ç õ e s —
n o cas o do c írculo , as duas fun ções y — Vi - 2 : 2  e y =  —  1 V l - a;2.
O   m e s m o s e  v e r i f i c a p a r a  a h i pérbo le
  y2 - #2
?
  que é  r e p r e s e n ta d a
p e l a s  d u a s f u n ç õe s y = V l +  #2  e y = - V 1 +  2:2.  T a i s
  c u r v a s ,
p o i s ,  n ão
  d e t e r m i n a m
  as fun ções corres pon den tes de
  f o r m a
  ún i ca .
C o n s e q ü e n t e m e n t e ,  d iz - se ,  a l g u m a s v e z e s, q u e a f u n ç ã o c o r r e s p o n
d e n t e
  à  c u r v a  ê  plurívoca.  A s fun ções  d ist in tas  q u e r e p r e s e n t a m a
c u r v a
  s ã o d e n o m i n a d a s
  ramos unívocos  r e l a t i v o s
  à m e s m a . P o r u m a
Fig. 3
Funções plurívocas
ques tão de  c l arez a ,  u s a r e m o s , d o r a v a n t e , a   p a l a v r a  função  p a r a  s i g n i
f icar  u m a  c u r v a  u n í v o c a .
  A s s i m ,
  po i s , o s ím bolo V;r (para   x  è 0)
i n di cará, s empre , o n úmero   não-negativo,  c u j o q u a d r a d o é  x.
Se   a  c u r v a  for a repres en tação geométri ca de  um a  fun ção, e la
p o d e r á s e r c o r t a d a , p o r u m a   p a r a l e l a  a o e i x o d o s y , n o m á x i m o e m
u m
  p o n t o ,
  v i s t o
  q u e , a c a d a p o n t o  x,  c o n t i d o n o
  i n t e r v a l o
  d a
  d e f i n i
ç ã o ,  c o r r e s p o n d e u m   v a l o r  d e y . D e o u t ro m o d o , t a l
 como
  acon tece
n o cálculo , qu e é repres en tad o pe las duas fun ções
y   = V l -  £2   e y
- V l -  x'-
  ao e i x o dos y poderão
  c o r t a r
  a  c u r v a  em
  m a i s
  d e u m
p o n t o .
  O s s e g m e n t o s d a
  c u r v a
  c o r r e s po n d e n t e s a d i f e r e n t e s r a m o s
u n í v o c o s , e s t ã o , a l g u m a s v e ze s , l i g a d o s d e t a l m o d o , q u e a   c u r v a  c o m
p l e t a
  é u m a
  s i m p l e s
  que pode s er
 d e s c r i t a
  d e u m a s ó v e z , c o m o ,
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18
I N T R O D U Ç Ã O
( G A P .
po r
  ex emplo , o c írculo ( f i g . 3) , ou podem
  resul tar
  completamen te
se par ado s,  como n a h i pérbo le ( f i g . 4) .
A p r e s e n t a m o s a q u i a l g u n s e x e m p l o s s o b r e
a
(a)
y   —   ax.
y ê  p r o p o r c i o n a l a  x.   O
  gráfico
( f ig . 5 ) é
u m a  l i n h a  r e t a p a s s a n d o p e l a o r i g e m d o s i s t e m a
3 " d e c o o r d e n a d a s .
(6)   y = ax + b.
  função l i n e a r
  d e  x,  O
  gráfico
é
um a   l i n h a  r e t a q u e p a s s a p e l o p o n t o   x =  0,   y = b,  a  q u a l ,  se   a  0 , p a s s a t a m
b é m p e l o p o n t o  x = - bja  e , s e  a  = 0 , é h o r i z o n t a l .
00
y =
F i g .  6 .— De s c o nt inuida de s  inf initas
y  ê  i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a  x.   S e , e m   p a r t i c u l a r ,  a  «• 1,  de   modo q ue
X
a c h a m o s , p o r e x e m p l o , q u e
y  = 1  p a r a » =  1;  y =  2  p a r a  x -
  l
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I ]
C O N C E I T O   D E F U N Ç ÃO
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O
  grá f i c o ( f i g . 6) é uma  c u r v a ,  um a hi pérb ol e eq ui l á tera , si métr i ca em rel a ç ã o
às
  bissetrizes
  dos â ngul os fo