richard courant_calculo diferencial e integral

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CÁLCULO
D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L
Vol. I
R .
P r o f e s s o r
cie
M a t e m á t i c a
da
U n i v e r s i d a d e
de New
Y o r k
C Á L C U L O D I F E R E N C I A L
E
I
•
Tradução de
A L B E R T O N U N E S
S E R R Ã O
E n g e n h e i r o
C i v i l
D o c e n t e í iv r e da
cad e i r a
de C á l c u l o
I n f i n i t e s i m a l , G e o m e t r i a A n a
l ítica e N o ç õ e s de
N o m o g r a f i a
da
E s c o l a N a c i o n a l
de
E n g e n h a r i a
P r o f e s s o r de
Ma temá ti c a
do
E
E n g e n h e i r o
C i v i l
l .
a
EDIÇÃO
3.
a
impressão
G L O B O
R io
-
P o r t o A l e g r e
- São
8/17/2019 Richard Courant_Calculo Diferencial e Integral
a lemão;
V o r l e s o u n g e n
ü b e r
D i f f e r e n t i a l
- u n d
I n t e g r a l r e c h n u n g
Título da edi ção
b ra s i l e i ra :
D i f f e r e n c i a l a n d I n t e gr a l C a l c u l u s
•* E D I Ç J L O
1 . * i m p r e s s ã o —
a b r i l
d e 1 9 5 1
2 .

" — a b r i l d e 1 9 5 S
8 0 0 2 5
>|
1 9 6 3
S- A . PÔBTO
P R E F Á C I O D A E D I Ç ÃO I N G L E S A
Q u a n d o
c o l e g a s a m e r i c a n o s
i n s i s t i r a m
c o m i g o p a r a q u e p u b l i c a s s e
um
da s
m i n h a s
l i ç ões de c á l c ul o
d i f e r e n c i a l
e i n t e g r a l ,
h e s i t e i a p r i n c í p i o .
V e r i f i q u e i
q u e , d e v i d o à s d i f e r e n ç a s e n t r e o s m é t o
d o s d e e n s i n o d o C á l c u l o n a A l e m a n h a , I n g l a t e rr a e A m é r i c a , u m a
s i m p l e s
t r a d u ç ã o e s t a v a
f o r a
d e c o g i t a ç ã o , e q u e
s e r i a m
p r e c i s a s
a l t e r a ç õ e s
f u n d a m e n t a i s
a f i m d e a t e n d e r à s n e c e s s i d a d e s d o s
e st u
i d i o m a
i ngl ês.
M i n h a s d ú v i d a s , c o n t u d o , f o r a m r e s o l v i d a s qu a n d o e n c o n t r e i o
c o m p e t e n t e c o l e g a , p r o f e s s o r E . J .
M c S h a n e ,
d a
U n i v e r s i d a d e
da
V i r g í n i a , q u e e s t a v a à
a l t u r a
n ã o s ó d e f a z e r a t r a d u ç ã o , m a s t a m b é m
— a p ó s e n t e n d i m e n t o p e s s o a l q u e c o m e l e
m a n t i v e
— d e e f e t u a r a s
a l t e r a ç õ e s e m e l h o r a m e n t o s n e c e s s á r io s p a r a a edi ç ã o
i n g l e s a .
A f o r a
m u i t a s
q u e s t õ e s d e m i n ú c i a s , a s p r i n c i p a i s a l t e r a ç õ e s f o r a m
a s s e g u i n t e s : ( 1) a e d i ç ã o
i n g l e s a
c o n t ê m u m g r a n d e n ú m e r o d e e x e m
p l o s c l a s s i f i c a d o s ; ( 2 ) a d i v i s ã o d a m a t é r i a d o s d o i s v o l u m e s d i f e r e
a l g o d a q u e s e e n c o n t r a n o o r i g i n a l a l e m ã o . A l é m d a e x p o s i ç ã o
d e t a
d a
t e o r i a
d a s f u n ç õ e s d e u m a v a r i á v e l , o p r e s e n t e v o l u m e
a p r e
s e n t a
( n o c a p í t u l o X ) u m b o s q u e j o d a d i f e r e n c i a ç ão c i n t e g r a ç ã o d a s
f u n ç õ e s d e d i v e r s a s v a r i á v e i s . 0 s e g u n d o v o l u m e
t r a t a i n t e i r a m e n t e
d a s f u n ç õ e s d e d i v e r s a s v a r i á v e i s i n d e p e n d e n t e s e i n c l u i e l e m e n t o s
d e c á l c u l o v e c t o r i a l . H á , t a m b é m , d i s c u s s ã o m a i s s i s t e m á t i c a d a s
e q u a ç õ e s
d i f e r e n c i a i s
e u m a p ê n d i c e s o b r e o s f u n d a m e n t o s d a
t e o r i a
d o s n ú m e r o s r e a i s .
O
p r i m e i r o
v o l u m e c o n t ê m a m a t ér i a p a r a u m c u r s o d e c á l c u l o
e l e m e n t a r ,
e n q u a n t o o s e g u n d o ê
m a i s
a v a n ç a d o . N o
p r i m e i r o
v o l u m e ,
e n t r e t a n t o , h á m u i t o s a s s u n t o s q u e p o d e m s e r o m i t i d o s n u m c u r s o
i n i c i a l .
E s t a s
s e ç õ e s ,
d e s t i n a d a s ,
a o s e s t u d a n t e s q u e d e s e j a m
p e n e t r ar
m a i s
p r o f u n d a m e n t e ' n a t e o r i a , f o r a m
r e u n i d a s
n o s a p ê n d i c e s d o s d i
v e r s o s
c a p í t u l o s , d e m o d o q u e o
p r i n c i p i a n t e
p o d e r á e s t u d a r a m a t é
r i a ,
o m i t i n d o o u d e i x a n d o p a r a
m a i s t a r d e ,
s e m i n c o n v e n i e n t e a l g u m ,
a l e i t u r a d e s t e s a p ê n d i c e s .
ix
X
P R E F Á C I O D A E D I Ç Ã O I N G L E S A
A pub l i c a ç ã o deste l i v r o e m i n g l ê s s o m e n t e f o i p o s s í v e l g r a ç a s à
g e n e r o s i d a d e d o e d i t o r a l e m ã o
J u l i u s S p r i n g e r ,
de
a q u e m
desej o
o s m e u s
m a i s c o r d i a i s
a g r a d e c i m e n t o s . I g u a l m e n t e
a gra deç o a B l a c k i e a n d S o n , L t d . , q u e , a d e s p e i t o d a s
d i f i c u l d a d e s
at u ai s ,
e m p r e e n d e r a m a p u bl i c a ç ã o d e s t a e d i ç ã o . A o s c o m p o n e n t e s
da
sua a dmi ni stra ç ã o téc ni c a , pel o exc el ente
t r a b a l h o
seu, e a os e d i
t o r e s d e m a t e m á t i c a , e s p e c i a l m e n t e a
M i s s
qu e
o
P r o f . M c S h a n e
e a m i m m e s m o d e g r a n d e
p a r t e
d a r e s p o n s a b i l i d a d e
da
prepa ra ç ã o dos
m a n u s c r i t o s p a r a
i mpressã o e q ue fez a revi sã o da s
p r o v a s ,
a
m i n h a
g r a t i d ã o . S o u ,
i g u a l m e n t e ,
g r a t o a m u i t o s a m i g o s e
c ol ega s,
p r i n c i p a l m e n t e
a o P r o f e s s o r
M c C l e n o n ,
do
G r i n n e l
C o l l e g e ,
d e I o w a , a c u j o e n c o r a j a m e n t o s e d e v e e s t a e d i ç ã o ; a
M i s s M a r g a r e t
K e n n e d y , do
N e w n h a m
C o l l e g e d e C a m b r i d g e , e a o D r . F r i t z J o h n ,
q u e c o o p e r a r a m c o m o s e d i t o r e s n a r e v i s ã o d a s p r o v a s .
R .
CAMBRIDGE,
INGLATERRA.
d e 1 9 3 4 .
P R E F Á C I O D A S E G U N D A E D I Ç Ã O I N G L E S A
E s t a s e g u n d a e d i çã o d i f e r e d a p r i m e i r a ,
p r i n c i p a l m e n t e , p e l a
m e
lh o r
e s c o l h a e d i s p o s i ç ã o d o s e x e m p l o s , p e l o a c r é s c im o d e m u i t o s
e x e r cí c io s n o v o s n o f i m d o
l i v r o ,
e
i nc l usã o de ma tér i a
s u p l e m e n t a r
sob re eq ua ç ões
d i f e r e n ci ai s .
R . C O U R A N T .
N
E W R O C H E L L E ,
N . Y .
d e 1 9 3 7 .
Pá gi na
O B S E R V A Ç Õ E S
I N I C I A I S 1
C A P Í T U L O
I
I N T R O D U Ç Ã O
1 . A c o n t i n u i d a d e d o s n ú m e r o s 5
2 . C o n c e i t o d e f u n ç ã o 1 4
3.
E s t u d o m a i s
p o r m e n o r i z a d o d a s f u n ç õe s e l e m e n t a r e s 2 2
4 . F u n ç õ e s d e v a r i áv e i s
i n t e i r a s .
S e q ü ê n c i a s d e n ú m e r o s 2 7
5 . C o n c e i t o d e
l i m i t e
d e u m a s e q ü ê n c i a 2 9
6 . D i s c u s s ã o
u l t e r i o r
d o c o n c e i t o d e
l i m i t e
3 8
7 . C o n c e i t o d e
l i m i t e
q u a n d o a v a r i á v e l é c o n t í n u a 4 6
8 . C o n c e i t o d e c o n t i n u i d a d e
0
49
A P Ê N D I C E I
O b s e r v a ç õ e s
p r e l i m i n a r e s
56
1 . P r i n c í p i o d o p o n t o d e a c u m u l a ç ã o e s u a s a p l i c a ç õe s 5 8
2 . T e o r e m a s s o b r e a s f u n ç õ e s c o n t í n u a s 6 3
3 . O b s e r v a ç õ e s s o b r e a s f u n ç õ e s e l e m e n t a r e s 6 8
A P Ê N D I C E I I
1 . C o o r d e n a d a s p o l a r e s 7 1
2 . O b s e r v a ç õ e s s o b r e o s n ú m e r o s c o m p l e x o s 7 3
C A P Í T U L O
I I
I D É I A S
F U N D A M E N T A I S S O B R E
0 C Á L C U L O
I N T E G R A L
E D I F E R E N C I A L
1.
I n t e g r a l d e f i n i d a
7 6
2. E x e m p l o s . 8 2
3.
8 8
Página
4. I n t e g r a l i n d e f i n i d a , funç ã o
p r i m i t i v a
e t e o r e m a s
do c á l c ul o
d i f e r e n ci al
e i n t e g r a l 109
5 . M é t o d o s
s i m p l e s
de i ntegra ç ã o grá f i c a 1 1 9
6 . O b s e r v a ç õ e s s o b r e a s r e l a ç õe s e x i s t e n t e s e n t r e i n t e g r a l e
d e r i v a d a
. . . 121
7 . A v a l i a ç ã o d e
i n t e g r ai s
e t e o r e m a do
v a l o r
m é d i o d o c á l c u l o i n t e g r a l . . 1 26
A P Ê N D I C E
1 . E xi stênc i a da
i n t e g r a l
d e f i n i d a
de um a funç ã o c ontínua . . . 7 . 1 31
2. R e l a ç ã o e n t r e o s t e o r e m a s d o
v a l o r
m é d i o d o c á l c u l o
d i f e r e n ci al
e do
c á l c ul o i n t e g r a l 134
C A P Í T U L O
I I J
D E R I V A Ç Ã O E I N T E G R A Ç Ã O D A S F U N Ç Õ E S E L E M E N T A R E S
1 . R e g r a s
s i m p l e s p a r a
der i v a ç ã o e sua s a pl i c a ç ões 1 36
2. F órm ul a s c orresp onde ntes de i ntegra ç ã o . . . . . . . . . . 1 4 1 -
3 . F u n ç õ e s
i n v e r s a s
e s u a s d e r i v a d a s 114
4 . D e r i v a ç ã o d e u m a f u n ç ã o d e f u n ç ã o 1 53
5 . Má xi m os e míni m os 1 5 8 -
6 . F u n ç õ e s e x p o n e n c i a l e l o g a r í t m i c a 1 6 7
7. A pl i c a ç ões da funç ã o expon enc i a l 1 78
8. F unç õe s hi perb ól i c a s 1 83
9.
O r d e m
de gra n dez a da s funç ões 1 89
A P Ê N D I C E
1.
funç ões espec i a i s 1 9 6
2. O b s e r v a ç õ e s s o b r e a
d e r i v a b i l i d a d e
da s funç ões 1 9 9
3.
fórmul a s espec i a i s 201
C A P Í T U L O I V
D E S E N V O L V I M E N T O C O M P L E M E N T A R
D O C Á L C U L O
I N T E G R A L
1.
I n t e g r a i s
e l e m e n t a r e s 2 0 5
2.
Méto do de sub sti tui ç ã o 207
3 . E x e m p l o s d o m é t o d o d e s u b s t i t u iç ã o 2 1 4
4 . I n t e g r a ç ã o p o r p a r t e s 2 1 8
5 . I n t e g r a ç ã o d e f u n ç õ e s r aci o n ai s . 226
6 . I n t e g r a ç ã o d e o u t r a s c l a s s e s d e f u n ç õ e s 2 3 4
7 . O b s e r v a ç õ e s s o b r e a s f u n ç õe s n ã o i n t e g r á v e i s p e l a s f u n ç õ e s e l e m e n t a r e s 2 4 2
8 . E x t e n s ã o d o c o n c e i t o d e i n t e g r a l .
I n t e g r a i s
i mprópri a ? . . . . . . 24 5
j
£iii-
Página
S e g u n d o t e o r e m a d o
v a l o r
m é d i o d o c á l c u l o
i n t e g r a l
. . . . . . 2 56
A P L I C A Ç Õ E S
1 . R e p r e s e n t a ç ã o d a s c u r v a s 2 5 8
2. A pl i c a ç ões à
t e o r i a
d a s c u r v a s p l a n a s 2 6 7
3 . E x e m p l o s 2 8 7
4 . P r o b l e m a s
s i m p l e s
s ob re a m e câ ni ca d as p ar tí cu la s . . . . . . 2 92
5. O u t r a s a p l i c a ç õ e s . P a r t íc u l a s d e s l i z a n d o a o l o n g o d e u m a
c u r v a
. . . 299
6.
304
A P Ê N D I C E
1 . P r o p r i e d a d e s d a e v o l u í a 3 0 7
2.
A r e a s
l i m i t a d a s p o r c u r v a s f e c h a d a s 3 1 1
C A P Í T U L O V I
T E O R E M A
D E T A Y L O R E R E P R E S E N T A Ç Ã O A P R O X I M A D A
D A S
F U N Ç Õ E S P O R M E I O D E P O L I N Ó M I O S
1.
L o g a r i t m o
e funç ã o i n v e r s a d a t a n g e n t e 3 1 5
2 . T e o r e m a de T a y l o r 3 2 0
3 . A p li ca çõ es . D e s e n v ol v i m en t o d as f un çõ es e le m en ta re s . . . . . . . 3 2 6
4 . A p l i c a ç õ e s g e o m é t r i c a s 3 3 1
A P Ê N D I C E
1.
E x e m p l o
de funç ões q ue nã o
a d m i t e m
d e s e n v o l v i m e n t o s e g u n d o a s é r ie d e
T a y l o r
3 3 6
2 . D e m o n s t r a ç ã o d e q u e o n ú m e r o e é
i r r a c i o n a l
3 3 6
3 . D e m o n s t r a ç ã o d a c o n v e r g ê n c i a d a sé r i e b i n o m i a l . . . . . . . . 3 3 7
4 . Zeros e i n f i n i t o s d a s f u n ç õ e s . S í m b o l o s i n d e t e r m i n a d o s 3 3 8
C A P Í T U L O V I I
M É T O D O S N U M É R I C O S
O b s e r v a ç õ e s
p r e l i m i n a r e s
3 4 2
1 . Integ ra ç ã o numéri c a 34 2
2 . A p l i c a ç õ e s d o s t e o r e m a s d o
v a l o r
m é d i o e d e T a y l o r . C á l c u l o d o s e r r o s 3 4 9
3. R es ol uç ã o numéri c a de eq ua ç ões 35 5
A P Ê N D I C E
Página
F ó r m u l a d e S t i r l i n g 3 6 1
C A P Í T U L O
V I I I
I N F I N I T A S
E
O U T R O S P R O C E S S O S - L I M I T E S
O b s e r v a ç õ e s p r e l i m i n a r e s . . . . . . . 3 6 5
1.
C o n c e i t o s
d e c o n v e r g ê n c i a e d e d i v e r g ê n c i a 3 6 6
2 . C r i t é r i o s d e c o n v e r g ê n c i a e d e d i v e r g ê n c i a 3 7 7
3 . S e q ü ê n c i a s e s é r i e s d e f u n ç õ e s 3 8 3
4.
C o n v e r g ê n c i a
u n i f o r m e
e c o n v e r g ê n c i a n ã o
u n i f o r m o
. . . . . . . 3 8 6
5. S é r i e s d e p o t ê n c i a s . . 3 9 8
6.
D e s e n v o l v i m e n t o
de
c e r t a s
f u n ç õ e s e m s é r i e s d e p o t ê n c i a s . M é t o d o d o s
c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s . E x e m p l o s 4 04
7 . S é r i e s d e p o t ê n c i a s c o m t e r m o s c o m p l e x o s 4 1 0
A P Ê N D I C E
1 . M u l t i p l i c a ç ã o e d i v i s ã o d e s é r i e s 4 1 5
2. S ér i es
i n f i n i t a s
e
i n t e g r a i s
i m p r ó p r i a s 4 1 7
3.
P r o d u t o s
i n f i n i t o s 4 1 9
4 . S ér i es
i m p l i c a n d o
o s n ú m e r o s d e B e r n o u i l l ' 4 2 2
C A P Í T U L O [ X
S É R I E S D E F O U R I E R
1 . F u n ç õ e s p e r i ó d i c a s 4 2 5
2. E m p r e g o d a n o t a ç ã o c o m p l e x a 4 3 3
3. S ér i es de
F o u r i e r
4 37
E x e m p l o s
s o b r e s é r i e s d e F o u r i e r 4 4 0
5.
C o n v e r g ê n c i a d a s s ér i e s d e
F o u r i e r
4 4 7
A P Ê N D I C E
I n t e g r a ç ã o d e s é r i e s d e
F o u r i e r 455
C A P Í T U L O X
E S B O Ç O D A
T E O R I A
D A S F U N Ç Õ E S D E
D I V E R S A S
V A R I Á V E I S
1. C o n c e i t o d e f u n ç ã o n o c a s o d e d i v e r s a s v ar i á v ei s . . . . . . . . 4 5 8
2-
C o n t i n u i d a d e
4 6 3
X V
D eriv ad as de uma função de diversas variáveis
466
4.
C A P Í T U L O X I
E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S PA R A O S T I P O S M A I S S I M P L E S
D E V I B R A Ç Õ E S
1 .
Problemas
sobre vibrações em Mecânica e em Física 5 0 2
2 .
l ivres
4 .
Observações
adicionais
O E
E
F Ó R M U L A S I M P O R T A N T E S
5 2 9
5
19
R E S P O S T A S E S U G E S T Õ E S 5 7 1
Í N D I C E A L F A B É T I C O
. . . , , . 6 1 1
O B S E R V A Ç Õ E S I N I C I A I S
Q u a n d o o e s t u d a n t e e n t r a ,
p e l a
p r i m e i r a v e z , e m c o n t a t o c o m a
m a t e m á t i c a c h a m a d a
su p e r i o r ,
p o d e i m a g i n a r q u e e x i s t e
c e r t a des
c o n t i n u i d a d e
e n t r e a m a t e m á t i c a s e cu n d á r i a e a u n i v e r s i t á r i a .
Este
s e n t i m e n t o
r e p o u s a , e m ú l t i m a i n s t â n c ia , s o b r e a l g o
m a i s
d o q u e a s
c i rc unstâ nc i a s hi stór i c a s q ue
f i z e r a m
c o m q u e o e n s i n o u n i v e r s i t á r i o
d i f e r i sse
t ã o p r o f u n d a m e n t e d o e n s i n o g i n a s i a l . A
v e r d a d e i r a
natureza
da
m a t e m á t i c a
su p e r i o r ,
o u m e l h o r , d a m a t e m á t ic a m o d e r n a , q u e s e
d e s e n v o l v e u d u r a n t e
os úl t i mos três séc ul os,
d i s t i n g u e - a
d a m a t e m á
t i c a e l e m e n t a r , c u j a m a t é r i a d e e n s i n o , t o m a d a q u a s e d i r e t a m e n t e
da
m a t e m á t i c a d o s a n t i g o s g r e g o s ,
d o m i n a v a i n t e i r a m e n t e ,
a té há
p o u c o , o s p r o g r a m a s e s c o l a r e s .
A
m a i s
n o t á v e l d a m a t e m á t i c a e l e m e n t a r é a s u a
í n t i m a a s s o c i a ç ão c o m a geometria. M e s m o q u a n d o a m a t é r i a t r a n s p õ e
as
f r o n t e i r a s
d a g e o m e t r i a e e n t r a n o r e i n o d a a r i t m é t i c a , as
i d e i a s
a i n d a p e r m a n e c e m g e o m é t r i c a s .
O u t r o
a s p e c t o d a m a
t e m á t i c a d o s a n t i g o s é ,
t a l v e z ,
a s u a t e n d ê n c i a
p a r a
c o n c e n t r a r - s e n o s
c a s o s p a r t i c u l a r e s .
F a t o s
q u e h o j e e m d i a c o n s i d e r a m o s como c a sos
e sp e ci ai s d e f e n ô m e n o s
g e r a i s ,
s ã o e x p o s t o s , c o n f u s a m e n t e , s e m q u a l
q u e r
r e l a ç ã o v i s í v e l e n t r e s i . A a s s o c i a ç ão í n t i m a c o m a s i d é i a s geo
m é t r i c a s e a im p o r t â n c i a q u e e m p r e s t a a
s u t i l e z a s p a r t i c u l a r e s
c o n
f e r e , à m a t e m á t i c a d o s a n t i g o s , u m e n c a n t o t o d o p a r t i c u l a r . N o i n í ci o
da
i d a d e m o d e r n a , t e n d ê n c i a s d i v e r s a s i m p r i m i r a m u m p r o g r e s s o d e f i
n i t i v o . à m a t e m á t i c a , a t u a n d o como estímul o p a r a u m a g r a n d e e x
pa nsã o da ma tér i a , a
q u a l ,
a d e s p e i t o d o s p r o g r e s s o s f e i t o s n o s
d e t a
l h e s , m a r c a r a
p a s s o , e m o u t r o s e n t i d o ,
d u r a n t e
séc ul os.
2
A t e n d ê n c i a
f u n d a m e n t a l
d e t o d a a m a t e m á t i c a m o d e r n a c o n s i s t e
na s u b s t i t u i ç ã o d a s d i s c u s s õ e s i s o l a d a s d o s c a s o s
p a r t i c u l a r e s
p o r
m é todos g e r a i s c a d a v e z
m a i s
s i s t e m á t i c o s . É p o s s í v e l q u e t a l p r o ce s s o
ne m s e m p r e c o n s i d e r e c o m i n t e i r a j u s t i ç a o s a s p e c t o s i n d i v i d u a i s d o s
c a sos p a r t i c u l a r e s , m a s , g r a ç a s à s u a e x t e n s ã o e g e n e r a l i d a d e , s u g e r e
g r a n d e a b u n d â n c i a d e n o v o s
r e s u l t a d o s .
A l e m d i s s o , o c o n c e i t o d e
n ú m e r o e o s m é t o d o s a n a l í t i c o s o c u p a m p o s i ç õ e s c a d a v e z
m a i s i n d e
p e n d e n t e s , s o b r e p u j a n d o i n t e i r a m e n t e a s , i d é i a s g e o m é t r i c a s . E s t a
n o v a or i enta ç ã o p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d a m a t e m á t ic a , s o b d i v e r s o s
a spec tos, é
m a i s
c l a r a n o s u r g i m e n t o d a g e o m e
t r i a
a n a l í t i c a , c u j o p r o g r e s s o s e d e v e ,
p r i n c i p a l m e n t e ,
a F e r m a t e a
D e s c a r t e s , e do c á l c u l o
e i n t e g r a l , q u e g e r a l m e n t e s e
c o n s i d e r a como c r i a d o p o r
N e w t o n
e L e i b n i t z .
O s
t r ê s s é c u l o s d e e x i s t ê n c i a d a m a t e m á t i c a m o d e r n a v i r a m p r o
gressos tã o
i m p o r t a n t e s ,
n ã o s ó n a m a t e m á t i c a
p u r a ,
na i m e n s a
v a r i e d a d e d e s u a s a p l i c a ç õe s à c i ê n c i a e à
e n g e n h a r i a ,
q ue
a s sua s i déi a s f u n d a m e n t a i s e , s o b r e t u d o , o c o n c e i t o d e f u n ç ã o , s e
t o r n a r a m
g r a d u a l m e n t e c o n h e c i d o s e , e v e n t u a l m e n t e , f o r a m i n c l u í d o s
nos própr i os
p r o g r a m a s
• s e c u n d á r i o s .
O
m e u o b j e t i v o , a o e s c r e v e r e s t e
l i v r o ,
f o i a p r e s e n t a r e d e se n v o l v e r
o s p o n t o s
m a i s
i m p o r t a n t e s d o c á l c u l o
e i n t e g r a l d e t a l
m a n e i r a , q ue, a o c onc l uí- l o , o l e i t o r , e m b o r a n ã o
t e n h a t i d o
a n t e s
q u a l q u e r
c o n h e c i m e n t o d e m a t e m á t i c a
s u p e r i o r ,
e s t e j a b e m
p r e p a
r a d o ,
p a r a
o e s t u d o d o s f u n d a m e n t o s d a m a t é r i a e d o s
seus
m a i s
a d i a n t a d o s r a m o s , e, p o r o u t r o , p a r a a m a n i p u l a ç ã o d o c á l
c u l o n o s v á r i o s d o m í n i o s o n d e o m e s m o t e m a p l i c a ç ã o .
G o s t a r i a de p r e v e n i r o l e i t o r , e s p e c i a l m e n t e , c o n t r a o p e r i g o q u e
se o r i g i n a d a d e s c o n t i n u i d a d e m e n c i o n a d a n o p a r ág r a fo i n i c i a l . O
p o n t o d e
v i s t a
d a m a t e m á t i c a s e c u n d á r i a p o d e
t e n t a r
a l g u é m a d e t e r -
s e n o s d e t a l h e s , p e r d e n d o ,
a s s i m ,
a v i s ã o d a s r e l a ç õ e s g e r a i s e d o s m é
t o d o s s i s t e m á t i c o s . P o r o u t r o l a d o , d o p o n t o d e v i s t a " s u p e r i o r " , há
o p e r i g o o p o s t o , q u e c o n s i s t e e m p ô r d e l a d o a s m i n ú c ia s c o n c r e t a s
3
f i c a n d o -s e c o m p l e t a m e n t e d e s a m p a r a d o q u a n d o s e d e f r o n t a m o s c a s o s
m a i s s i m p l e s d e d i f i c u l d a d e i n d i v i d u a l , p o r q u e n o m u n d o s u b j e t i v o
d a s id é i a s g e r a i s e s q u e c e m o - n o s d e
como
a j u s t a r - n o s f i r m e m e n t e à
r e a l i d a d e o b j e t i v a . 0 l e i t o r d e v e e n c o n t r a r o c a m i n h o p o r s i m e s m o
p a r a
s a i r
deste d i l e m a . E
s o m e n t e s er á b e m s u c e d i d o e x c o g i t a n d o ,
r e p e t i d a m e n t e , c a s o s p a r t i c u l a r e s , e a d q u i r i n d o s e g u r a n ç a n a a p l i c a
ç ã o d o s p r i n c í p i o s g e r a i s à s o c o r r ê n c i a s i n d i v i d u a i s q u e s u r g i r e m . N i s t o
c o n s i s t e a t a r e f a
p r i n c i p a l
d e q u e m d e s e j a p r o g r e d i r n o e s t u d o d a
C i ê n c i a .
í
A l é m
o
c á lc u lo d i f e r e n c i a l
e
é ba
em
d o i s c o n c e i to s f u n d a m e n t a i s
de
im p o r t â n ci a d e c i s i v a .
São
eles
os
de função e de limite. Na
v e r d a d e ,
t a i s
p o d e m
ser
r e c o n h e c i d o s
a q u i
m a t e m á t i c a
dos
mas
fo i s o m e n t e a m a t e m á t i c a m o d e r n a que e x p ôs c o m p l e t a m e n t e o seu
s i g n i f i c a d o
e o teu
ca r á te r e s s e n c i a l . N e s t e c a p í t u l o
i n i c i a l
p r o c u r a
r e mo s e xpo r e st e s c o nc e it o s
da
m a n e i r a m a i s s i m p l e s
e
p o s s í v e l .
1. A C O N T I N U I D A D E DOS
N Ú M E R O S
A
q u e st ã o r e fe r e nt e
à
n a t u r e z a r e a l
dos
é das que
do que aos
m a t e m á t i c o s ,
e
já se
p a r a m m u i t o
com
e l a . F e l i z m e n t e ,
os
e s t u d a n t e s
de
m a t e m á t i c a p o d e m
di p e n s a r
os
e st u do s p r e l i m i n a r e s s o b r e
a
n a t u r e z a e s s e n c i a l
do
do
de v i s t a da
t e o r i a
do
c o n h e c i m e n t o ,
e
i s t o
c o n c o r r e p a r a
que a
m a t e m á t ic a s e j a c o n s e r v a d a c u i d a d o s a m e n t e
a f a s t a d a
dos
c o n f l i t o s e n t r e
as
o piniõ e s f i l o só f ic as.
A d m i t i r e m o s ,
p o i s ,
os
e, em
p r i m e i r o l u g a r ,
os
n ú m e r o s n a t u r a i s
1, 2, 3, .. ., ass im como c o n s i d e r a r e m o s c o n h e c i d a s as r e g r a s com
a s q u a i s o p e r a m o s s o b r e e s te s n ú m e r o s L e m b r a r e m o s a p e n a s ,
e m
b r e v e s l i n h a s ,
a
que
o
d e s e n v o l v i m e n t o
do
c o n c e i t o
d e n ú m e r o
i n t e i r o e
p o s i t i v o ( n ú m e r o s
n aturais ) .
r e g r a s s S o :
P r i m e i r a : (a + 6) 4- c =* a + (i + c).
I s t o
é, se
a d i c i o n a r m o s
à
c,
o
m e s m o
r e s u l t a d o que se
s o m a r m o s
a à
e c. ( E s t a é a
d e n o m i n a d a l e i
asso ci at i v a
da
S e g u n d a :
a + b = b + a (lei
c o m u t a t i v a
da
T e r c e i t a :
(ab)c =•
a(6c) (lei a s s o c i a t i v a d a
mul t i pl i c a ç ã o) . Q u a r t a :
ah = ba (lei
t iv a da
mul t i pl i c a ç ã o) .
Q u i n t a : a(b + c) = ab
•+•
ac (lei dis t r ib ut iv a da
mul t i pl i c a ç ã o) .
5
6 I N T R O D U Ç Ã O
[CAP.
1.
O
c o n j u n t o dos n ú m e r o s
r a c i o n a i s
e a n e c e s s i d a d e de sua
a m p l i a ç ã o .
N o domín i o dos números
na tu ra i s ,
as operações f un d am en tais de
adição
ser
sem
restrição;
isto
ê, a s oma ou o p r o d u t o de do i s n úmeros n aturais é sempre um
número
das precedentes, subtração e
di v i s ão , porém, nem s empre podem ser e fetuadas no domínio dos
números
na tu ra i s .
D e v i d o a i s to , os matem áti cos, há
m u i t o
tempo já,
foram obri gados a i n v e n t a r o n úmero 0, os n úmeros n egat i v os e as
frações
n e g a t i v a s .
A t o t a l i d a d e de
todos estes números
é
u su alme nt e d e n o m i n a d a a classe dos números
racionais, v i s t o
todos
u n i d a d e ,
pe lo emprego das "operações
racionais
de cálculo" , adi ção , mult i p l i cação , s ubtração e divisão.
E m gera l , os n úmeros são
repre-
rí|
K
s en tados , graf i cam en te , pe los pon tos
F i
l i nha re ta ,
d e n o m i n a d a "e i x o
d o s n ú m e r o s " , t o m a n d o - s e um pon to
arbitrário da l i nha como o r i g e m o u pon to z ero , e u m outro pon to ,
igualmente
arbitrário, como p o n t o um. A distância entre estes dois
pon tos (compri men to do intervalo
unitário)
como
escala,
p o n t o
para
o
E
m a r c a r os nú
meros positivos para a
d i re i ta
e os n e g a t i v o s p a r a a es querda da o r i
ge m
d e f i n i r m o s
o
abs o luto (também
v a l o r
numérico ou m ó d u l o ) | a | de u m n ú m e r o a, como sendo
o próprio a q u a n d o a ^ 0 e s e n d o - a q u a n d o a < 0, | a |
i ndi c a
a distância, sobre o eixo dos n úmeros , do pon to con s i derado à or i gem.
A representação geométrica
r a c i o n a i s por
mei o
pontos sobre o eixo dos n úmeros , s ugere uma
i m p o r t a n t e
propri edade
da s egui n te
f o r m a :
o c o n j u n t o dos números
racionais ê
q u a l q u e r
i n t e r v a l o do eixo
•numérico, tão pequeno quanto se queira , há s empre n úmeros racion ais .
Ge o me t r ic ame nt e , quer dizer que no s egmen to do eixo numérico l i m i
t ado por
se
desejar, há
s e m p r e p o n t o s '
c o r r e spo nde nt e s a
n úmeros
racion ais . A
(*) O siaal S indica que deve ser usado o sinal > ou o sinal =* O mes mo fica estabelecido
para os sinais =±= e == que serão empregados posteriorm ente.
A C O N T I N U I D A D E
D O S N Ú M E R O S 7
n o ç ã o d e d e n s i d a d e d o s n ú m e r o s
r a c i o n a i s
t o r n a - s e c l a r a se
p a r t i r m o s
1 1 1 1
d o f a t o d e q u e o s n ú m e r o s - , r j , . . . , — , . . .
f i c a m
c a d a v e z m e -
n o r e s e a p r o x i m a m - s e d e z e r o à
m e d i d a
qu e n c r e s c e . S e
d i v i d i r m o s
o
e i x o
d o s n ú m e r o s e m p a r t e s
i g u a i s
d e c o m p r i m e n t o 1 /2 " , c o m e ç a n d o n a
1 2 3
.
o r i g e m , o s p o n t o s e x t r e m o s — , — , — , . . . d e s t e s
i n t e r v a l o s
r e p r e
s e n t a m
n ú m e r o s
r a c i o n a i s
d a
m/2
n
a i n d a ,
t e m o s o
n ú m e r o n à n o s s a d i s p o s i ç ã o . S e a g o r a f i x a r m o s u m
i n t e r v a l o
t ã o
p e q u e n o q u a n t o q u i s e r m o s , s o b r e o e ix o d o s n ú m e r o s , s o m e n t e p r e c i
s a m o s e s c o l l i e r n t ã o g r a n d e q u e 1 / 2 " s e j a m e n o r q u e o c o m p r i m e n t o
do i n t e r v a l o .
D e s t a
m a n e i r a os
i n t e r v a l o s
d a s u b d i v i s ã o e f e t u a d a s ã o
b a s t a n t e
p e q u e n o s p a r a q u e p o s s a m o s a f i r m a r q u e , n o m í n i m o , u m
d o s p o n t o s d a s u b d i v i s ã o m 2
n
e s t á c o n t i d o nele. .
T o d a v i a ,
a d e s p e i t o d e s s a p r o p r i e d a d e d e d e n s i d a d e , o s n ú m e r o s
r a c i o n a i s
n ã o s ã o s u f i c i e n t e s p a r a r e p r e s e n t a r iodos o s p o n t o s d o e i x o
d o s n ú m e r o s . O s m a t e m á t i c o s g r e g o s j á h a v i a m r e c o n h e c i d o q u e h á
i n t e r v a l o s
c u j o s c o m p r i m e n t o s n ã o p o d e m s e r r e p r e s e n t a d o s p o r n ú
m e r o s r a c i o n a i s ,
e m c o m p a r a ç ã o c o m u m s e g m e n t o
l i n e a r
d e
c o m p r i
m e n t o u n i t á r io ; s ã o o s c h a m a d o s s e g m e n t o s i n c o m e n s u r á v e i s c o m a
u n i d a d e .
A s s i m , p o r e x e m p l o a
h i p o t e n u s a
d e u m t r i â n g u l o r e t â n g u l o
i s ó s c e l e s , c o m c a t e t o s
i g u a i s
à u n i d a d e d e c o m p r i m e n t o , é i n c o m e n
s u r á v e l c o m a m e s m a u n i d a d e . P e l o t e o r e m a d e P i t á g o r a s , o q u a d r a d o
d e s te c o m p r i m e n t o
d e v e r i a
se r
i g u a l
a 2 . M a s , s e l fo s s e u m n ú m e r o
r a c i o n a l , p o r c o n s e q ü ê n c i a i g u a l a plq, o n d e p e q sã o
i n t e i r o s
e
d i f e
r e n t e s d e 0 , t e r í a m o s p
2
= 2q
2
A d m i t i m o s
qu e p e q n ã o t ê m f a t o r e s
c o m u n s ,
p o i s , s e o s
t i v e s s e m ,
e l e s p o d e r i a m s e r r e d u z i d o s d e i n í c i o .
D e
a c o r d o c o m a e q u a ç ã o
a c i m a ,
p
2
é u m n ú m e r o p a r e o p r ó p r i o p o
d e v e s e r ,
i s t o
é, p = 2 p ' .
S u b s t i t u i n d o
e s t e
t e r e m o s 4 p '
2
= 2q
2
2
; c o n s e q ü e n t e m e n t e q
2
é p a r , e q t a m b é m o d e v e s e r .
O s
n ú m e r o s p e q s e n d o a m b o s p a r e s , d e v e m t e r o f a t o r c o m u m 2 , o
qu e c o n t r a r i a a h i p ó t e s e d e s e r e m p r i m o s e n t r e s i .
A s s i m ,
a h i p ó t e s e
d e q u e a h i p o t e n u s a p u d e s s e s e r r e p r e s e n t a d a
p e l a
f r a ç ã o pjq l e v a a
c o n t r a d i ç ã o , s e n d o , p o r t a n t o ,
f a l s a .
O
r a c i o c í n i o
a c i m a ,
q u e ê u m e x e m p l o c a r a c t e r í s t i c o d e
" p r o v a
i n d i r e t a " ,
m o s t r a
q u e o s í m b o l o V 2 n ã o pode c o r r e s p o n d e r a
n e n h u m
n ú m e r o r a c i o n a l . V e m o s , p o i s , q u e s e i n s i s t i r m o s e m q u e c a d a p o n t o
d o e i x o d o s n ú m e r o s
t e n h a
u m n ú m e r o c o r r e s p o n d e n t e , u m a v e z f i x a d o
8
[ C A P .
i n t e r v a l o
un i tári o, s eremos forçados a ex pan di r o domín i o dos n ú
meros rac i on ai s
pe l a
i n trodução de n ov os n úmeros
" i r r a c i o n a i s " .
O
c o nj u nt o
d e n úm eros rac i on ai s e
i rracion ais ,
q u a l
a c a d a p o n t o d o
eixo corres pon de um s ó n úmero e a cada n úmero corres pon de um s ó
pon to s obre o e i x o , ê den omi n ado con j un to dos números reais
2. Números reais e decimais infin itas.
A
ex igên cia da corres pon dên ci a de u m pon to do e i x o a cada n ú
m e r o re a l n a d a i n d i c a , a priori,
s o b r e a p o s s i b i l i d a d e d e
ca l cul ar
com
es tes n úmeros , do mes mo modo que com os n úmeros
racion ais . E s t a
beleceremos o
demon s tran do que o que fo i
e xig ido é equi v a len te ao s egui n te fato : a tota l i d ade de todos os n úme
ro s reais
ê r e pr e se nt ada
p e l a t o t a l i d a d e
d e todos os n úmeros dec i mai s
f in itos
I n ic ia l m en te
recordaremos , o qu e ê con h eci do da matemáti ca e le
m e n t a r ,
que qualqu er n úmero r a c i o n a l
pode
s er repres en tado por uma
d e c i m a l
f i ni ta o u por um a díz ima peri ódi ca ; i n v ers am en te , toda a
d e c i m a l
des s e t i po repres en ta um n úmero r a c i o n a l . M o s t r a r e m o s q ue
a cada pon to do e i x o dos n úmeros podem os
a tr i b u i r
uma ún i ca dec i
m al
i n f i n i t a ) ,
d e m o d o a p o d e rm o s r e pr e
sentar
i rracion ais
p o r d e c i m a i s
i n f i
ni ta s .
(De acordo com es ta obs erv ação , os n úmeros
i rracion ais
i n f i n i t a s ,
n ão peri ódi cas , por ex emplo ,
0 , 1 0 1 1 0 1 1 1 0 . . . ) .
Su po nhamo s
in teiros
estejam
indic ado s s obre o e i x o dos n úmeros . T a i s p o n t o s s u b d i v i d e m o e ix o
em
in terv a l os
ou s egmen tos de com pri m en to 1. N a expos i ção que
s egue, di remos que um pon to do e i x o perten ce a um i n t e r v a l o , quan do
estiv er
no seu in terior ou for um dos s eus pon tos ex tremos . Sej a P
um
pon to arbi trári o do e i x o dos n úm eros . D e acordo com o que
d i s
i n t e r v a l o s ,
se fôr
um
pon to de di v i s ão . Se con v en ci on armos que n o s egun do cas o esco
lhe r e mo s o i n t e r v a l o que s e en con tra à d i re i ta , terem os , em qualquer
hipótese, um i n t e r v a l o com os pon tos ex tremos g e g 1, ao
q u a l
o
pon to P perten ce , s en do g u m n ú m e r o i n t e i r o . D i v i d i r e m o s , agora ,
este
in terv a l o
e m 1 0 s u b i n t e r v a l o s iguais , por mei o dos pon tos cor-
(i) Assim chamac-'S
para
s e distinguirem do conjunto dos números complexos, obtidos por meio
de uma outra extensão.
í]
A
C O N T I N U I D A D E
D O S N Ú M E R O S
9
1 2 9
r e s p o n d e n t e s a o s n ú m e r o s
9 + 9
n u m e r a r e
m os t a is s u b i n te r v a l o s 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , n a o r d e m
n a t u r a l ,
d a e s q u e r d a
p a r a a d i r e i t a . O s u b i n t e r v a l o
a
t e r á. e n t ão , o s p o n t o s e x t r e mo s
g
-f- :j~
e g + ^ + O p o n t o P d e v e r á e s t a r c o n t i d o n u m d e s s e s s u b i n t e r
v a l o s . ( S e P f ô r u m d o s n o v o s p o n t o s d e d i v i s ã o , p e r t e n c e r á a d o i s
i n t e r v a l o s c o n s e c u t i v o s ; como n o c a s o a n t e r i o r , e s c o l h e r e m o s o d a
d i r e i t a . )
D e n o m i n a r e m o s o i n t e r v a l o a s s im d e t e r m i n a d o , p o r
a\.
O s
se u s p o n t o s e x t r e m o s co r r e sp o n d e r ão ao s n ú me r o s
g + g-{-
P o d e m o s , n o v a m e n t e , d i v i d i r e s t e s u b i n t e r v a l o e m d e i s p a r t e s i g u a i s ,
d e t e r m i n a n d o a q u e l a q u e c o n t é m
P.
C o m o j á f iz e m o s a n t e s , s e
P
p e r t e n c e r a d o i s i n t e r v a l o s , a d o t a r e m o s o d a
d i r e i t a .
O b t e r e m o s , a s s i m ,
u m i n t e r v a l o
c o m o s p o n t o s e x t r e m o s
g +
ao
é u m d o s d í g i to s 0 , 1 , . . . , 9 . S u b d i v i d i r e m o s este s u b i n t e r v a l o
e c o n t i n u a r e m o s r e p e t i n d o o p r o c e s s o . A p ó s
n
o pe r a ç õ e s , c h e g a r e m o s
a u m s u b i n t e r v a l o c on t e n d o P , c o m o c o m p r i m e n t o
1/10",
c uj o s p o n t o s
e x t r e m o s c o r r e s p o n d e m a o s n ú m e r o s
_ i
_ í
e x p r e ssão cad a
a
r e p r e se n t a alg u m d o s n ú me r o s 0 , 1 , . . . , 9 .
M a s
2
•' ' io«
é a fr a ç ã o d e c i m a l
0,a
L
a
2
. .. a
n
.
O s p o n t o s e x t re m o s d o i n t e r v a l o p o
d e m , p o r t a n t o , t a m b é m s e r e s c r i t o s s o b a f o r m a
9
2
. . . a „ + ~ .
S e i m a g i n a r m o s o p r o c e s s o a c i m a r e p e ti d o i n d e f i n i d a m e n t e , o b t e
r e m o s u m a
decimal
infinita
0,aia
2
. . . ,
q u e t e m o s e g u i n t e s i g n i f i c a d o .
I n t e r r om p e n d o a d e c i m a l e m u m a o r d e m q u a l q u e r , d i g a m o s n a e n e -
g é s i ma, o p o n t o
P
e s t a r á n o in t e r v a l o d e c o m p r i m e n t o ~ , c u j o s
p o n t o s e x t r e mo s ( p o n t o s d e ap r o x i mação ) são
g
+ O.ctiCfc. .
. a
n
e
g
10
[ C A P .
E m particular,
sufi
n
correspondente
propriedades dos números
admitir
basearemos todo o cálculo diferencial e integral.
I n s e r i m o s a q ui u m a o bs e r v a ç ã o s o b r e a
p o s s i b i l i d a d e
de, em c ertos c a sos,
p o d e r m o s e s c o l h e r o
i n t e r v a l o
d o e s q u e m a d o d e s e n v o l v i m e n t o
a c i m a ,
de duas
m a n e i r a s .
D a construç ã o deduz - se q ue os pontos de di vi sã o ob ti dos no proc esso
r e p e t i d o
d e s u b d i v i s ão , e s o m e n t e e s t e s p o n t o s , p o d e m s e r r e p r e s e n t a d o s p e l a s
f r a
ç ões dec i ma i s f in it a s g -f-
0 , a i a 2 . .
.a
a
. S u p o n h a m o s q u e o p o n t o P a pa reç a , p r i
m e i r a m e n t e , como p o n t o d e d i v i s ã o n a n s u b d i v i s ã o . D e a c o r d o c o m o q u e
e s t a
b e l e c e m o s , e s c o l h e m o s , n a f a s e d e o r d e m n d a s u b d i v i s ã o , o
i n t e r v a l o
à
dire it a
de P. N a s s u b d iv i s õ e s s e g u i n te s d e v e m o s e s c o l h e r u m
s u b i n t e r v a l o
d e s t e i n t e r v a l o .
U m i n t e r v a l o
de t al e s p é c i e , p o ré m , d e v e c o n t e r P como p o n t o e x t r e m o d a e s q u e r d a .
N e s t a s c ondi ç ões, em toda s a s fa ses sub seq üentes da sub di vi sã o, devemos esc ol her
o p r i me i r o su bi n t e r v alo , i s t o é , a q uel e
qu*i
c o m e ç a p o r 0 . E n t ã o , a d e c i m a l
in f in it a
q ue c orresponde a P ê g +
0,aiO2.
. .ctaOC/O. . . . S e , p o r o u t r o l a d o , t i v é s s e m o s
e s c o l h i d o n a f as e d e o r d e m n o
i n t e r v a l o
d a e s q u e r d a q u e c o n t é m P, entã o em
todos os outros está gi os poster i ores da sub di vi sã o, dever ía mos esc ol her os s u b i n -
t e r v a l o s m a i s
a f a s t a d o s
p a r a
qu ai s
t ê m 9 como p o n t o e x t r e m o d a
dire it a .
O b t e r í a m o s , a s s im , u m d e s e n v o l v i m e n t o
d e c i m a l
p a r a P em q ue todos os dígi tos,
a
p a r t i r
de ( n . + 1 ) , sã o noves. A d u p l a
p o s s i b i l i d a d e
d e esc ol ha na construç ã o q ue
i m a g i n a m o s c o r r e s p o n d e , p o r t a n t o , a o f a t o d e q u e , p o r e x e m p l o , o n ú m e r o M p o d e
se r
esc r i to 0 , 25 0 00 0. . . e 0 , 24 9 9 9 9
3,
Expressão dos núm eros em sistemas de base diferente da
decimal.
N a representação dos números reais atribuímos um papel especial
ao número 10,
iguais.
sistema decimal. Poderíamos, de modo análogo, ter considerado p
subintervalos
rior
à
unidade.
forma
I]
A C O N T I N U I D A D E
D O S
NÚMEROS
11
0 + ~ + ~
2
+ ..., onde ò é um d os números 0, 1, . . . , p - 1. N e s t e
caso,
n o v a m e n t e , o s
números
racion ais , e som en te e l es , têm d esen v o l v i
m e n t o s
periódicos
espécie.
C o m f i n a l i d a d e s
teóricas,
convém,
m uita s v ez es , esco l h er p = 2. Obtém-se a s s i m o d e s e n v o l v i
m e n t o binário do s números reais ,
9 + ^ + • •
onde c a d a b represen ta 0 ou 1
N o s cálculos numéricos é costum e ex prim ir- se o in teiro g que. por
s im pl ic id ad e, ad m itim os ser pos it iv o , n o s istem a d ecim al , i s to é , sob
f o r m a
a
m
lQ
m
v
dígitos
0, 1, 9. E m l ug a r de
g -p O.aiüo..., podemos, então, escrev er s im pl esm en te
A n a l o g a m e n t e , o número i n t e i r o p o s i t i v o g pode ser escrito d e um a
e s o m e n t e d e u m a m a n e i r a , n a f o r m a
0
k
pk
0
,
onde cad a um d os números / 3 represen ta a l gun s d os números 0, 1, . . . ,
p - l . i s t o , c o m a expressão que d eterm in am os , d á o seguin te re s u l
t a d o ;
todo
o
número
real e p o s i t i v o pode ser represen tad o sob a f orm a
(3
k
t
são números in teiros com preen d id os en tre 0 e p - 1.
A s s i m , p o r e x e m p l o , o d e s e n v o l v i m e n t o
binário
da
fração
+ 0 X 2+ 1 + £ +
(i) Mesmo para os cálculos numéricos, o sistema decimal aão ê o melhor. O sistema sexagesimal
(p » 60). com o qual os babilônios calculavam , apresenta a vantagem de que nele. uma proporção
relativamente grande de números racionais, cujas expressões decimais 3ão infinitas, possuem desen-
rolvimentos finitos,
12
[ C A P .
4. D e s i g u a l d a d e s .
O cálculo com as desigualdades desempenha papel muito mais
im portan te na matemática superior do que na matemática elemen
tar.
Re c apit u lar e mo s, por isso, brevemente, algumas das regras mais
simples
referentes às me smas.
Se a > b e c > d, segue-se que a + c >b + d, mas não que
a - c >b ~ d. Além disso, se a > b segue-se que ac >bc, desde que
c se j a po sit ivo . M u lt ipl ic ando - se uma desigualdade por um número
negativo, o seu sentido ê in v ertid o . Se a > ò >0e c>c ?>0 , segue-se
que ac > bd.
A s seguintes desigualdades são ve r i f ic adas par a os valores abso
lutos
\a±b\ £\a\+\b\, \a±b\£\a\-\b\.
0 quadrado de qualquer número r e a l é m a i o r que ou igual a zero.
Se ar e y forem números reais arbitrários, teremos, portanto,
(x - y)2 = a;2 4. y
2
5 .
D e s i g u a l d a d e de S c h w a r z .
Sejam ai, a
2
para i ~ 1, i — 2, . .., i — n su c e ssivame nt e e somemos as de sig u al
dades resultantes. A
( i t I
. . . + 5 „ V
Se div id ir mo s amb os os me mb r o s da desigualdade por 2, virá
i ai&i I + I a
2
n
2 =
6
I]
A C O N T I N U I D A D E D O S N Ú M E R O S
13
elevá-los ao quadrado e
E X E M P L O S
(0
1. D e mo n st r a r qu e o s n ú me r o s se g u i n t e s são
i r r a c i o n a i s : (a) V 3. ( è) Vn,
d e sd e
n
n ão se j a qu ad r a d o p e r f e i t o , (c) $ 3 . ( d )*
x
= V3 + V2~.
2 * O s p o n t o s q u e , n u m s i s t e m a u s u a l d e co o r d e n ad as
r e t an g u lar e s ,
t ê m a m b a s
as co o r d e n ad as r e p r e se n t ad as p o r n ú me r o s i n t e i r o s , são d e n o mi n a d o s pontos reti
culares.
P r o v ar qu e u m t r i ân g u lo cu j o s v é r t i ce s são p o n t o s r e t i cu lar e s , n ao pode
se r e qu i lát e r o .
3.
V e r i f i c a r
a s d e s i g u a l d a d e s :
1 1
4= 0.
4 . D e m o n s t r a r q u e se
a >
203
-f - c ã 0 p ar a qu al qu e r v a lo r d e
x,
d e s d e q u e , u n i c a m e n t e , ò
2
- ac á 0.
5. V e r i f i c a r as d e s i g u ald ad e s se g u i n t e s :
(a) 2
+ 1 è 0.
6. V e r i f i c a r a d e s i g u ald ad e d e Sch w ar z, co n si d e r an d o a e x p r e ssão
(flxx + bj
,
r e u n i n d o o s te r m o s e a p l i c a n d o o E x . 4 .
7 . D e m o n s t r a r q ue o s i n a l d e i g u a l d a d e n a d e s i g u a l d a d e d e S c h w a r z s e v e r i
f ic a , e so me n t e n e st e caso , se o s
a
e o s ò f o r e m p r o p o r ci o n ai s , i s t o é , se cai-
-{-db
v
= 0
v
qu alqu e r , d e sd e qu e c e
d
s e j a m i n d e p e n d e n t e s d e
v
e n ã o s i m u l t a n e a m e n t e ,
n u lo s .
n = 2,
3 , ach ar a i n t e r p r e t ação g e o mé t r i ca d a d e s i g u ald ad e d e Sch w a r z.
9. O s n ú me r o s
71
e
72
co-senos
d i r e t o r e s d e u ma
l i n h a ,
i s t o é ,
7^ + T2
= 1-
D a m e s m a f o r m a ,
r ^
2
4- 77a = 1 . D e m o n s t r a r q u e a e q u a ç ã o 7^1 -f 7
3
T?
2
= 1 i m
p l i c a as e qu açõ e s 71 = 171 e 72 == »72
10 . * V e r i f i c a r a d e s i g u a l d a d e
e e st abe le ce r su a i n t e r p t e r ação g e o mé t r i ca.
Os exemplos mais difíceis são indicados por um asterisco.
11
INTRODUÇÃO
[ C A P .
2. C O N C E I T O D E P U N Ç Ã O
1 . E x e m p l o s .
( a ) S e u m g ás i d e a l f ôr c o m p r i m i d o e m u m r e c i p i e n t e p o r m e i o
d e u m p i s tã o , c o n s e r v a n d o - s e a t e m p e r a t u r a c o n s t a n t e , a
pressão p
v
s ã o l i g a d o s p e l a
relação
pv = C ,
onde C
é u m a c o n s t a n t e . E s t a f ó r m u l a , d e n o m i n a d a
lei de Boy le ,
n a d a
e s t a t ui r e l a t i v a m e n t e à s q u a n t i d a d e s
p
e
v
e m s i m e s m a s , m a s t e m
o se g u i n t e s i g n i f i cad o : se
p
t i v e r u m v a l o r d e f i n i d o , a r b i t r a r i a m e n t e
e s c o l h i d o e m u m a d e t e r m i n a d a
seqüência (seqüência
e s t a d e t e r m i n a d a
f í s i c a , m a s n ã o m a t e m a t i c a m e n t e ) ,
v
pode s e r d e t e r m i n a d o , e , i n v e r
s a m e n t e :
G C
D i z e m o s , e n t ã o , q u e
v
p
o u , n o caso i n v e r s o , q u e
p
v.
( ò ) S e a q u ec e r m o s u m a b a r r a d e m e t a l , d e c o m p r i m e n t o /
0
0
o
, a t é à t e m p e r a t u r a
S°,
o s e u c o m p r i m e n t o
l será
p e la
s e g u i n t e l e i , e m face da s hipóteses m a i s s i m p l e s d a física
l = lo
( 1 - f
(58).
N e s t a f ó r mu la, /? , o " co e f i c i e n t e d e d i lat a ção " d o me t al , ê co n st an t e .
D i r e m o s , n o v a m e n t e , q u e
l
é
função
de
8.
(c)
S u p o n h a m o s d a d o s o s c o m p r i m e n t o s d e d o i s l a d o s ,
a
e 6, de
u m t r i ân g u lo . Se at r i bu i r m o s ao
ângulo
y , co mp r e e n d i d o e n t r e e st e s
d o i s lad o s , u m v a lo r ar bi t r ár i o , i n f e r i o r a 18 0 °, o
triângulo
f i c a c o m
p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d o ; p a r t i c u l a r m e n t e , o te r c e i r o l a d o
c
pode ser
c a l c u l a d o . N e s t e
caso
d i r e m o s q u e , s e
a
e
b
f o r e m d a d o s , c é u m a f u n
ç ã o d o ângulo
y.
C o m o s a b e m o s d a t r i g o n o m e t r i a , e s t a função é r e
p r e s e n t a d a p e l a
fórmula
- 2ab co s 7.
2 . E s t a b e l e c i m e n t o d o c o n c e i t o d e f u n ç ã o .
C o m o f i t o d e d a r u m a
definição
g e r a l d o c o n c e i to
matemático
de
f u n ção , f i x ar e mo s
idéias
s o b r e u m i n t e r v a l o d e f i n i d o d o e i xo d o s n ú
m e r o s , d i g a m o s o i n t e r v a l o c o m p r e e n d i d o e n t r e os
números a
I]
15
c o n s i d e r e m o s a
t o t a l i d a d e
d o s n ú m e r o s x p e r t e n c e n t e s a e s t e i n t e r
v a l o , i s t o é , q ue s a t i s f a z e m a r e l a ç ã o
a Sx Sb .
Se
c o n s i d e r a r m o s o n ú m e r o x como d e s i g n a n d o , à v o n t a d e ,
q u a l
q u e r
d o s n ú m e r o s d e s t e i n t e r v a l o , c h a m á - l o - e m o s u m a variável (contí
nua) n o intervalo.
a c a d a
v a l o r
de x n e s t e i n t e r v a l o , c o r r e s p o n d e r u m ú n i c o
v a l o r
d e f i n i d o
p a r a y , e se x e y f o r e m l i g a d o s p o r u m a l e i
q u a l q u e r ,
d i r e
m o s q u e y ê uma função de x e e s c r e v e r e m o s , s i m b o l i c a m e n t e ,
y = / O ) , y = F(x), y = g(x),
o u o u t r a
e x p r e s s ã o s e m e l h a n t e . C h a m a r e m o s , e n t ã o , x d e variável inde
pendente e
a t r i b u i r e m o s
a y a d e n o m i n a ç ã o d e variável dependente, o u
d i r e m o s qu e x é o argumento d a f u n ç ã o y.
D e v e s e r o b s e r v a d o q u e , e m c e r t o s c a s o s , n ã o é
i n d i f e r e n t e i n c l u i r -
s e o s p o n t o s e x t r e m o s d o
i n t e r v a l o
e n t r e a e 6, como f i z e m o s
a c i m a ,
o u e x c l u í - l o s ; n a ú l t i m a h i p ó t e s e , a v a r i á v e l x ê c o n d i c i o n a d a p e l a s
d e s i g u a l d a d e s
a < x <b .
P a r a e v i t a r q u a l q u e r
e n g a n o , c h a m a r e m o s o
p r i m e i r o t i p o
d e i n
t e r v a l o s ( i n c l u i n d o
o s p o n t o s e x t r e m o s ) , d e intervalo fechado, e o s e
g u n d o
t i p o ,
de intervalo aberto. S e u n i c a m e n t e u m d o s e x t r e m o s f o r
i n c l u í d o ( p o r e x e m p l o , a < x ^ ò ) , d i z e m o s q u e s e t r a t a d e u m inter
valo aberto num
extremo
( n e s t e c a s o o e x t r e m o a ) .
F i n a l m e n t e ,
p o d e
m o s c o n s i d e r a r
i n t e r v a l o s
a b e r t o s q u e s e e s t e n d e m s e m
l i m i t e ,
em
um a
o u a m b a s a s d i r e ç õ e s .
D i r e m o s ,
e n t ã o , q u e a v a r i á v e l x p e r c o r r e
u m i n t e r v a l o
infinito ( a b e r to ) e e s c r e v e m o s , s i m b o l i c a m e n t e ,
a < X < « OU - oo < x < Ò OU - co < £ < co.
A o
n ad a
seja determinada,
uma vez c onhec i da a va r iá vel i ndependente. T a l re l a çã o pode
ser tão complicada quanto quisermos e, nas investigações teóricas, esta
generali
dade constitui uma va nta gem . Na s a pl i ca ç ões, porém, e em particular no cálculo
diferencial
e
integral,
v alo r
simplificadoras.
16
I N T R O D U Ç Ã O [ G A P .
3 . R e p r e s e n t a ç ã o g r á f i ca .
C o n t i n u i d a d e .
F u n ç õ e s m o n ó t o n a s .
Q u a n d o
c o n s i d e r a m o s a r e l a ç ã o e x i s t e n t e e n t r e o c o n c e i t o
g e r a l
d e f u n ç ã o e a g e o m e t r i a , o c o r r e m r e s t r i ç õ e s n a t u r a i s s o b r e o m e s m o .
A
i déi a
f u n d a m e n t a l
d a g e o m e t r i a a n a l í t ic a é , e f e t i v a m e n t e , d a r u m a
r e p r e s e n t a ç ã o a n a l í t i c a c a r a c t e r í s t i c a d a s c u r v a s
d e f i n i d a s
po r
a l g u m a
p r o p r i e d a d e
g e o m é t r i c a ,
r e f e r i d a
a u m a d a s c o o r d e n a d a s
r e t a n g u l a r e s ,
d i g a m o s y, como u m a f un ç ã o y = j(x) de
o u t r a
c o o r d e n a d a x; p o r
e x e m p l o , a p a r á b o l a é r e p r e s e n t a d a
p e l a
f u n ç ã o y = x%, o c írc ul o d e
r a i o
1 , c o m c e n t r o n a o r i g e m , p e l a s d u a s f u n ç õ e s y = V i - x%e
y = - V l - a ? 2. N o
p r i m e i r o
e x e m p l o a f u n ç ã o é
d e f i n i d a
no i n t e r
v a l o
- & < x < c o ; n o s e g u n d o p o d e m o s n o s
r e s t r i n g i r
ao
f o r a
a
f u n ç ã o n ã o t e m s i g n i f i c a d o ( qu a n d o x e y
y f o r e m
r e ai s ) .
y ' \ I n v e r s a m e n t e , s e e m l u g a r de
p a r t i r m o s
\ d e u m a
c u r v a
g e o m e t r i ca m e n t e d e t e r m i n a d a ,
Q x
Y
x c o n s i d e r a r m o s u m a f u n ç ã o
d a d a ,
Fig. 2—E ixos retangulares
p o d e m o s r e p r e s e n t a r g r a f i c a m e n t e a d e p e n
d ê n c i a d e y e m r e l a ç ã o a x, e m p r e g a n d o u m
s i s t e m a
d e c o o r d e n a d a s
r e t a n g u l a r e s
d a
m a n e i r a u s u a l
( f i g . 2) . S e,
p a r a c a d a a b s c i s s a x,
d e t e r m i n a r m o s
a
o r d e n a d a
c o r r e s p o n d e n t e y
=f(x),
o b t e r e m o s a r e p r e s e n t a ç ã o g e o m é t r i c a d a f u n ç ã o . A r e s t r i ç ã o q u e
i m p o r e m o s a g o r a , a o c o n c e i t o d e f u n ç ã o , é : a r e p r e s e n t a ç ã o g e o m é
t r i c a d a f u n ç ã o d e v e
a s s u m i r
a f o r m a d e u m a
c u r v a
g e o m é t r i ca " p l a u
s í v e l " . E v e r d a d e q u e
i s t o i m p l i c a m a i s
e m u m a v a g a i d é ia
g e r a l
do
q u e ,
p r o p r i a m e n t e ,
e m u m a e s t r i t a c o n d i ç ã o m a t e m á t i c a . C e d o , p o
r é m ,
f o r m u l a r e m o s
t a is
c o n d i ç õ e s , como a
c o n t i n u i d a d e ,
a
l i d a d e
e
o u t r a s ,
q u e f a r ã o c o m q u e o g r á f i c o d a f u n ç ã o p o s s u a o c a r á t e r
de
p l a u s í v e l ,
v i s u a l m e n t e ,
d e r e p r e s e n t a ç ã o g e o m é t r i c a . D e
q u a l q u e r f o r m a ,
e x c l u i r e m o s f u n ç õe s como a s e g u i n t e : p a r a c a d a
v a l o r
r a c i o n a l de x, a f u n ç ã o t e m o
v a l o r
1; p a r a c a d a
v a l o r
i r r a c i o n a l de x,
o
de y ê 0 .
E s t a
a t r i b u i
a y u m
d e f i n i d o
p a r a
c a d a
v a l o r
de x, m a s , e m c a d a
i n t e r v a l o
d e c c , p o r m e n o r q u e s e j a ,
o
de y
v i c e - v e r s a ,
u m n ú m e r o
i n f i n i t o
d e v e z e s .
A n ã o s e r q u e o c o n t r á r i o s e j a e x p r e s s a m e n t e e n u n c i a d o , s u p o r e m o s ,
s e m p r e ,
q u e a l e i q u e
a t r i b u i
u m
v a l o r
d a f u n ç ão p a r a c a d a
v a l o r
de x,
a t r i b u i ,
t a m b é m , s o m e n t e u m
v a l o r
de y p a r a c a d a
v a l o r
de x
13
C O N C E I T O D E F U N Ç ÃO n
po r e x e m p l o , y = o u y = s e n x. Se i n i c i a r m o s c o m u m a c u r v a
geométri ca , pode acon tecer , como n o cas o do c írculo , x%
- j -
y
2
= 1,
q u e o d e s e n v o l v i m e n t o c o m p l e t o d a c u r v a n ã o s e j a d a d o p o r u m a
ún i ca fun ção (de um s ó
v a l o r ) ,
p o r é m
r e q u e i r a
d i v e r s a s f u n ç õ e s —
n o cas o do c írculo , as duas fun ções y — Vi - 2 : 2 e y = — 1 V l - a;2.
O m e s m o s e v e r i f i c a p a r a a h i pérbo le
y2 - #2
?
que é r e p r e s e n ta d a
p e l a s d u a s f u n ç õe s y = V l + #2 e y = - V 1 + 2:2. T a i s
c u r v a s ,
p o i s , n ão
d e t e r m i n a m
as fun ções corres pon den tes de
f o r m a
ún i ca .
C o n s e q ü e n t e m e n t e , d iz - se , a l g u m a s v e z e s, q u e a f u n ç ã o c o r r e s p o n
d e n t e
à c u r v a ê plurívoca. A s fun ções d ist in tas q u e r e p r e s e n t a m a
c u r v a
s ã o d e n o m i n a d a s
ramos unívocos r e l a t i v o s
à m e s m a . P o r u m a
Fig. 3
Funções plurívocas
ques tão de c l arez a , u s a r e m o s , d o r a v a n t e , a p a l a v r a função p a r a s i g n i
f icar u m a c u r v a u n í v o c a .
A s s i m ,
po i s , o s ím bolo V;r (para x è 0)
i n di cará, s empre , o n úmero não-negativo, c u j o q u a d r a d o é x.
Se a c u r v a for a repres en tação geométri ca de um a fun ção, e la
p o d e r á s e r c o r t a d a , p o r u m a p a r a l e l a a o e i x o d o s y , n o m á x i m o e m
u m
p o n t o ,
v i s t o
q u e , a c a d a p o n t o x, c o n t i d o n o
i n t e r v a l o
d a
d e f i n i
ç ã o , c o r r e s p o n d e u m v a l o r d e y . D e o u t ro m o d o , t a l
como
acon tece
n o cálculo , qu e é repres en tad o pe las duas fun ções
y = V l - £2 e y
- V l - x'-
ao e i x o dos y poderão
c o r t a r
a c u r v a em
m a i s
d e u m
p o n t o .
O s s e g m e n t o s d a
c u r v a
c o r r e s po n d e n t e s a d i f e r e n t e s r a m o s
u n í v o c o s , e s t ã o , a l g u m a s v e ze s , l i g a d o s d e t a l m o d o , q u e a c u r v a c o m
p l e t a
é u m a
s i m p l e s
que pode s er
d e s c r i t a
d e u m a s ó v e z , c o m o ,
18
( G A P .
po r
ex emplo , o c írculo ( f i g . 3) , ou podem
resul tar
completamen te
se par ado s, como n a h i pérbo le ( f i g . 4) .
A p r e s e n t a m o s a q u i a l g u n s e x e m p l o s s o b r e
a
(a)
y — ax.
y ê p r o p o r c i o n a l a x. O
gráfico
( f ig . 5 ) é
u m a l i n h a r e t a p a s s a n d o p e l a o r i g e m d o s i s t e m a
3 " d e c o o r d e n a d a s .
(6) y = ax + b.
função l i n e a r
d e x, O
gráfico
é
um a l i n h a r e t a q u e p a s s a p e l o p o n t o x = 0, y = b, a q u a l , se a 0 , p a s s a t a m
b é m p e l o p o n t o x = - bja e , s e a = 0 , é h o r i z o n t a l .
00
y =
F i g . 6 .— De s c o nt inuida de s inf initas
y ê i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a x. S e , e m p a r t i c u l a r , a «• 1, de modo q ue
X
a c h a m o s , p o r e x e m p l o , q u e
y = 1 p a r a » = 1; y = 2 p a r a x -
l
I ]
C O N C E I T O D E F U N Ç ÃO
19
O
grá f i c o ( f i g . 6) é uma c u r v a , um a hi pérb ol e eq ui l á tera , si métr i ca em rel a ç ã o
às
bissetrizes
dos â ngul os fo

richard courant_calculo diferencial e integral

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