ricerca operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · ricerca operativa...
TRANSCRIPT
![Page 1: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/1.jpg)
Ricerca Operativa
Ricerca Operativa – p. 1/67
![Page 2: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/2.jpg)
Ricerca Operativa
Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzionetramite strumenti automatici di problemi di decisionecomplessi.
In tali problemi la complessità è determinata dall’ampiezzadello spazio delle scelte possibili.
Ricerca Operativa – p. 2/67
![Page 3: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/3.jpg)
Problema di decisione : componenti
Dati - tutto ciò che è noto a priori e non è sotto ilcontrollo del decisore
Variabili - le quantità sotto il diretto controllo del decisore
Vincoli - condizioni che limitano le possibili scelte deldecisore
Obiettivo - criterio attraverso cui le scelte del decisorevengono confrontate
Ricerca Operativa – p. 3/67
![Page 4: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/4.jpg)
Un (banale) esempio
In casa con voi avete:
una borsa del valore di 25 Euro
una macchina fotografica del valore di 100 Euro
un libro del valore di 10 Euro
Potete portare fuori di casa al massimo un oggetto. Voleteportare con voi il massimo valore possibile
Ricerca Operativa – p. 4/67
![Page 5: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/5.jpg)
Un (banale) esempio - continua
Dati - i valori dei tre oggetti
Variabili - per ogni oggetto dovete decidere se portarlocon voi oppure no
Vincolo - potete portare con voi al massimo uno dei treoggetti
Obiettivo - il valore che portate con voi, da massimizzare
Ricerca Operativa – p. 5/67
![Page 6: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/6.jpg)
Variabili
Borsa =
{
NO non porto la borsa con meSI porto la borsa con me
Simile per Macchina Foto e per Libro.
Ricerca Operativa – p. 6/67
![Page 7: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/7.jpg)
Scelte possibili
Borsa Macchina Foto Libro
NO NO NO
SI NO NO
NO SI NO
NO NO SI
SI SI NO
SI NO SI
NO SI SI
SI SI SI
Ricerca Operativa – p. 7/67
![Page 8: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/8.jpg)
Scelte accettabili
Borsa Macchina Foto Libro V alore
NO NO NO 0
SI NO NO 25
NO SI NO 100
NO NO SI 10
Ricerca Operativa – p. 8/67
![Page 9: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/9.jpg)
Un esempio più complesso
Farina Acqua Medicinali UtilitàTIPO I 10 10 30 14TIPO II 30 20 10 5TIPO III 20 40 5 4
Disp.max 5100 8000 1805
Problema: individuare quanti pacchi di ciascun tiporealizzare, tenuto conto delle disponibilità massime dirisorse, in modo da massimizzare l’utilità totale dei pacchirealizzati.
Ricerca Operativa – p. 9/67
![Page 10: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/10.jpg)
Un esempio più complesso - continua
Dati - i valori nella tabella
Variabili - per ogni tipo di pacco dovete decidere quantipacchi di quel tipo realizzare
Vincoli - non superare la disponibilità massima di risorsedisponibili
Obiettivo - il valore di utilità totale, da massimizzare
Ricerca Operativa – p. 10/67
![Page 11: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/11.jpg)
La programmazione matematica
Problemi di decisione come quello precedentementedescritto possono essere riformulati in modelli diProgrammazione Matematica. Un modello diProgrammazione Matematica è una traduzione delproblema di decisione in linguaggio matematico
Variabili - ad ogni variabile viene associata una variabilematematica (ad esempio x1, x2, . . . , xn se abbiamo n
variabili)
Vincoli - I vincoli vengono espressi tramite equazioni edisequazioni in cui compaiono variabili e dati delproblema
Obiettivo - L’obiettivo viene tradotto in una funzionematematica delle variabili del problema
Ricerca Operativa – p. 11/67
![Page 12: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/12.jpg)
Prog. Matematica : il problema generico
max (o min) f(x1, . . . , xn)
gi(x1, . . . , xn) ≤ 0 i ∈ I1
gi(x1, . . . , xn) ≥ 0 i ∈ I2
gi(x1, . . . , xn) = 0 i ∈ I3
Ricerca Operativa – p. 12/67
![Page 13: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/13.jpg)
Il modello dell’esempio
Dati - i valori numerici nella tabella
Variabili - xi =quantità di pacchi di tipo i che decidete direalizzare (i = 1, 2, 3)
Vincoli -
10x1 + 30x2 + 20x3 ≤ 5100 (disp. max farina)
10x1 + 20x2 + 40x3 ≤ 8000 (disp. max acqua)
30x1 + 10x2 + 5x3 ≤ 1805 (disp. max medicinali)
x1, x2, x3 ≥ 0 quantità di pacchi non negativa
Obiettivo -
14x1 + 5x2 + 4x3
Ricerca Operativa – p. 13/67
![Page 14: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/14.jpg)
Modello matematico dell’esempio
max 14x1 + 5x2 + 4x3
tenuto conto che10x1 + 30x2 + 20x3 ≤ 5100
10x1 + 20x2 + 40x3 ≤ 8000
30x1 + 10x2 + 5x3 ≤ 1805
x1, x2, x3 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 14/67
![Page 15: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/15.jpg)
La Programmazione Lineare
La generica forma dei problemi di ProgrammazioneMatematica comprende una grande varietà di problemi acui corrispondono livelli di difficoltà molto diversi e anchetecniche risolutive molto diverse. Qui ci concentreremo suuna importante sottoclasse di problemi di programmazionematematica che si incontra in molte applicazioni pratiche, laclasse dei problemi di Programmazione Lineare (abbreviatacon PL nel seguito).
max (o min)∑n
j=1cjxj
∑nj=1
aijxj ≤ bi i ∈ I1
∑nj=1
aijxj ≥ bi i ∈ I2
∑nj=1
aijxj = bi i ∈ I3
Ricerca Operativa – p. 15/67
![Page 16: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/16.jpg)
Caratteristiche dei modelli di PL
Proporzionalit a Il contributo di ogni variabile xj
nell’obiettivo e nei vincoli è direttamente proporzionaleal valore della variabile.
Additivit a I contributi delle diverse variabili si sommanotra loro sia nell’obiettivo che nei vincoli
Continuit a Le variabili xj possono assumere tutti i valorireali.
Ricerca Operativa – p. 16/67
![Page 17: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/17.jpg)
Importanza della PL
I programmi lineari sono molto importanti per almeno treragioni:
molti problemi reali (tra cui, come abbiamo visto, quellointrodotto in precedenza) hanno come modellomatematico proprio un programma lineare;
sono più semplici da risolvere rispetto ad altri modellidove compaiono termini non lineari. Per i programmilineari esistono delle procedure molto efficienti dirisoluzione (come l’algoritmo del simplesso chedescriveremo in seguito).
Le tecniche di risoluzione di problemi più difficili sibasano spesso sulla risoluzione di sottoproblemi di PL(lo vedremo bene nella Programmazione LineareIntera).
Ricerca Operativa – p. 17/67
![Page 18: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/18.jpg)
I problemi di PL in forma canonica
In forma scalare:
max∑n
j=1cjxj
∑nj=1
aijxj ≤ bi i = 1, . . . ,m
xj ≥ 0 j = 1, . . . , n
Ricerca Operativa – p. 18/67
![Page 19: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/19.jpg)
Prodotto scalare tra vettori
Vettore di dimensione n
p = (p1 · · · pn)
Dato un altro vettore di dimensione n
q = (q1 · · · qn)
Il prodotto scalare tra i due vettori è un valore scalare:
pq =n∑
j=1
pjqj
Esempio:
p = (2 3 6) q = (3 8 7) pq = 2 ∗ 3 + 3 ∗ 8 + 6 ∗ 7 = 72Ricerca Operativa – p. 19/67
![Page 20: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/20.jpg)
Proprietà
Siano p,q1,q2 ∈ Rn e α, β ∈ R. Allora:
p(αq1 + βq2) = α(pq1) + β(pq2)
Esempio:
p = (2 3 6) q1 = (1 2 5) q2 = (6 0 3) α = 2 β = 3
αq1 + βq2 = 2(1 2 5) + 3(6 0 3) = (2 4 10) + (18 0 9) = (20 4 19)
p(αq1 + βq2) = 2 ∗ 20 + 3 ∗ 4 + 6 ∗ 19 = 166
pq1 = 2 ∗ 1 + 3 ∗ 2 + 6 ∗ 5 = 38 pq2 = 2 ∗ 6 + 3 ∗ 0 + 6 ∗ 3 = 30
α(pq1) + β(pq2) = 2 ∗ 38 + 3 ∗ 30 = 166Ricerca Operativa – p. 20/67
![Page 21: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/21.jpg)
Generalizzazione della proprietà
Dati i vettori p,q1,q2, . . . ,qt ∈ Rn e gli scalariα1, α2, . . . , αt ∈ R, si ha che
p[α1q1 + α2q2 + · · · + αtqt] = p
[t∑
i=1
αiqi
]
=t∑
i=1
αi(pqi)
Ricerca Operativa – p. 21/67
![Page 22: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/22.jpg)
Prodotto matrice-vettore
Data una matrice A di ordine m × n (m righe e n colonne)
a11 . . . a1n
......
...am1 . . . amn
ed un vettore p di dimensione n
p = (p1 · · · pn)
Il prodotto matrice-vettore è un vettore di dimensione m lacui componente i è il prodotto scalare tra la i-esima riga diA e il vettore p:
n∑
j=1
aijpj
Ricerca Operativa – p. 22/67
![Page 23: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/23.jpg)
Prodotto vettore-matrice
Data una matrice A di ordine m × n (m righe e n colonne)
a11 . . . a1n
......
...am1 . . . amn
ed un vettore q di dimensione m
q = (q1 · · · qm)
Il prodotto vettore-matrice è un vettore di dimensione n lacui componente j è il prodotto scalare tra la j-esimacolonna di A e il vettore q:
m∑
i=1
aijqiRicerca Operativa – p. 23/67
![Page 24: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/24.jpg)
Esempi
A =
[
7 6 3
2 4 8
]
p = (3 8 7)
q = (4 5)
Ap = (7 ∗ 3 + 6 ∗ 8 + 3 ∗ 7 2 ∗ 3 + 4 ∗ 8 + 8 ∗ 7) = (90 94)
qA = (4 ∗ 7 + 5 ∗ 2 4 ∗ 6 + 5 ∗ 4 4 ∗ 3 + 5 ∗ 8) = (38 44 52)
Ricerca Operativa – p. 24/67
![Page 25: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/25.jpg)
PL in forma canonica
Introduciamo i seguenti vettori:
c ∈ Rn: vettore di dimensione n con componenti cj ,j = 1, . . . , n, ovvero:
c = (c1 c2 · · · cn);
x ∈ Rn: vettore di variabili di dimensione n concomponenti xj , j = 1, . . . , n, ovvero:
x = (x1 x2 · · · xn);
ai ∈ Rn, i = 1, . . . ,m: m vettori di dimensione n concomponenti aij, j = 1, . . . , n, ovvero:
ai = (ai1 ai2 · · · ain).
Ricerca Operativa – p. 25/67
![Page 26: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/26.jpg)
PL in forma canonica
Osservando che
cx =n∑
j=1
cjxj
e
aix =n∑
j=1
aijxj
abbiamo la seguente rappresentazione vettoriale per unproblema di PL in forma canonica:
max cx
aix ≤ bi i = 1, . . . ,m
x ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 26/67
![Page 27: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/27.jpg)
PL in forma canonica
Si consideri la matrice A ∈ Rm×n che ha tante righe quantisono i vincoli del problema (m) e la cui i-esima riga è ilvettore ai e del vettore b = (b1 · · · bm) ∈ Rm di dimensionem con componenti bi, i = 1, . . . ,m. Osservando che
Ax = (a1x . . . amx)
possiamo scrivere la rappresentazione matriciale del problemadi PL in forma canonica:
max cx
Ax ≤ b
x ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 27/67
![Page 28: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/28.jpg)
Esempio degli aiuti umanitari
Il vettore c = (14 5 4)Il vettore di variabili x = (x1 x2 x3)I vettori ai, i = 1, 2, 3
a1 = (10 30 20) a2 = (10 20 40) a3 = (30 10 5)
Il vettore b = (5100 8000 1805)La matrice A
10 30 20
10 20 40
30 10 5
Ricerca Operativa – p. 28/67
![Page 29: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/29.jpg)
PL canonici≡ PL generici
Osservazione Ogni problema di PL in forma generica puòessere trasformato in uno equivalente in forma canonica.
Trasformazione da min a max
min cx = −max −cx
Trasformazione vincolo ≥ in vincolo ≤
aix ≥ bi ⇔ −aix ≤ −bi
Trasformazione vincolo = in due vincoli ≤
aix = bi ⇔ aix ≤ bi, aix ≥ bi ⇔ aix ≤ bi, −aix ≤ −bi
Ricerca Operativa – p. 29/67
![Page 30: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/30.jpg)
PL canonici≡ PL generici
Sostituzione variabile ≤ 0 con variabile ≥ 0 Data xi ≤ 0,effettuare il cambio di variabile xi = −x′
i, dove x′i ≥ 0
Sostituzione variabile libera in segno con due variabili ≥ 0Data xi libera in segno, effettuare il cambio di variabilexi = x
′′
i − x′i, dove x′
i, x′′
i ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 30/67
![Page 31: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/31.jpg)
Un esempio
Si trasformi il seguente problema di PL in forma generica inun problema di PL in forma canonica
min x1 + x2 + x3
x1 + 2x2 − x3 ≤ 3
x1 + 4x2 + 5x3 = 5
x1 − 2x2 + x3 ≥ 3
x1 ≥ 0
x2 ≤ 0
x3 libera in segno
Ricerca Operativa – p. 31/67
![Page 32: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/32.jpg)
Insiemi convessi
Un insieme C ⊆ Rn si dice convesso se
∀ x1,x2 ∈ C ∀ λ ∈ [0, 1] : λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C,
ovvero se dati due punti qualsiasi in C, il segmento che licongiunge è anch’esso completamente contenuto in C.
Ricerca Operativa – p. 32/67
![Page 33: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/33.jpg)
Insiemi limitati e chiusi
Un insieme C si dice limitato se esiste una sfera di raggiofinito R che lo contiene.
Un insieme C si dice chiuso se contiene la sua frontiera.
Ricerca Operativa – p. 33/67
![Page 34: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/34.jpg)
Semispazi e iperpiani
Si definisce semispazio in Rn l’insieme di punti che soddisfauna disequazione lineare in Rn:
n∑
j=1
wjxj ≤ v
(in forma vettoriale: wx ≤ v).
Si definisce iperpiano in Rn l’insieme di punti che soddisfaun’equazione lineare in Rn:
n∑
j=1
wjxj = v
(in forma vettoriale: wx = v).Ricerca Operativa – p. 34/67
![Page 35: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/35.jpg)
Poliedri e politopi
Si definisce poliedro l’intersezione di un numero finito disemispazi e/o iperpiani. Se il poliedro è limitato esso vienechiamato politopo.
Ricerca Operativa – p. 35/67
![Page 36: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/36.jpg)
La regione ammissibileSa
La regione ammissibile Sa di un problema di PL in formacanonica
Sa = {x ∈ Rn : aix ≤ bi, i = 1, . . . ,m, x ≥ 0}.
è un poliedro.
Semispazi e iperpiani sono insiemi chiusi
L’intersezione di un numero finito di insiemi chiusi è uninsieme chiuso
⇓
I poliedri (e quindi Sa) sono insiemi chiusi
Ricerca Operativa – p. 36/67
![Page 37: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/37.jpg)
Convessità
Siano x,y ∈ Sa, ovvero
aix ≤ bi i = 1, . . . ,m x ≥ 0,
eaiy ≤ bi i = 1, . . . ,m y ≥ 0.
Per ogni λ ∈ (0, 1) e per ogni i ∈ {1, . . . ,m} avremo:
ai[λx + (1 − λ)y] =
= λ︸︷︷︸
>0
aix︸︷︷︸
≤bi
+(1 − λ)︸ ︷︷ ︸
>0
aiy︸︷︷︸
≤bi
≤
λbi + (1 − λ)bi = bi.
Ricerca Operativa – p. 37/67
![Page 38: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/38.jpg)
Continua
Inoltre:λ
︸︷︷︸
>0
x︸︷︷︸
≥0
+(1 − λ)︸ ︷︷ ︸
>0
y︸︷︷︸
≥0
≥ 0.
Quindi:λx + (1 − λ)y ∈ Sa.
⇓
La regione ammissibile Sa è un insieme convesso.
Ricerca Operativa – p. 38/67
![Page 39: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/39.jpg)
Limitatezza e illimitatezza
La regione ammissibile Sa può essere:
= ∅
max x1 + x2
x1 ≤ −1
x1 + x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
un poliedro limitato (politopo)
max x1 + x2
x1 + x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 39/67
![Page 40: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/40.jpg)
Continua
un poliedro illimitato
max x1 + x2
x1 − x2 ≤ 0
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 40/67
![Page 41: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/41.jpg)
Ricapitolando ...
... la regione ammissibile Sa di un problema di PL è unpoliedro e come tale è un insieme chiuso e convesso.Inoltre, può essere un insieme vuoto, un insieme limitato(politopo) oppure un insieme illimitato.
Ricerca Operativa – p. 41/67
![Page 42: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/42.jpg)
Vertici di Sa
Si definisce vertice di Sa un punto x ∈ Sa tale che nonesistono due punti distinti x1,x2 ∈ Sa, x1 6= x2, tali che
x =1
2x1 +
1
2x2.
ovvero x è il punto medio del segmento che congiunge x1 ex2.
Ricerca Operativa – p. 42/67
![Page 43: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/43.jpg)
Alcuni risultati
Teorema
Dato un problema di PL in forma canonica, se Sa 6= ∅, alloraSa contiene almeno un vertice.
Osservazione
Sa ha sempre un numero finito di vertici.
Ricerca Operativa – p. 43/67
![Page 44: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/44.jpg)
Raggi
Nel caso Sa sia un poliedro illimitato possiamo ancheintrodurre le definizioni di raggio e raggio estremo.
Si definisce raggio di Sa un vettore r tale che
∀ x0 ∈ Sa ∀ λ ≥ 0 : x0 + λr ∈ Sa,
cioè la semiretta con origine in x0 e direzione r ècompletamente contenuta in Sa per qualsiasi punto x0 ∈ Sa.
Ricerca Operativa – p. 44/67
![Page 45: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/45.jpg)
Raggi estremi
Un raggio r di Sa si definisce raggio estremo di Sa se nonesistono altri due raggi r1 e r2 di Sa con direzioni distinte,ovvero
r1 6= µr2 ∀ µ ∈ R,
tali che
r =1
2r1 +
1
2r2.
Osservazione
Sa ha sempre un numero finito di raggi estremi.
Ricerca Operativa – p. 45/67
![Page 46: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/46.jpg)
Teorema di rappresentazione diSa
Teorema Sia dato un problema di PL in forma canonica conSa 6= ∅. Siano v1, . . . ,vk i vertici di Sa e, nel caso in cui Sa
sia un poliedro illimitato, siano r1, . . . , rh i raggi estremi diSa. Allora
x ∈ Sa
se e solo se
∃ λ1, . . . , λk ≥ 0,k∑
i=1
λi = 1, ∃ µ1, . . . , µh ≥ 0
tali che
x =k∑
i=1
λivi +h∑
j=1
µjrj .
Ricerca Operativa – p. 46/67
![Page 47: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/47.jpg)
Ovvero ...
... i punti in Sa sono tutti e soli i punti ottenibili come sommadi
una combinazione convessa dei vertici di Sa
una combinazione lineare con coefficienti non negatividei raggi estremi di Sa
Quindi un numero finito di oggetti (vertici e raggi estremi) mipermettono di rappresentare tutto l’insieme Sa.
Ricerca Operativa – p. 47/67
![Page 48: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/48.jpg)
L’insieme delle soluzioni ottimeSott
Insieme soluzioni ottime
Sott = {x∗ ∈ Sa : cx∗ ≥ cx ∀ x ∈ Sa},
Sott ⊆ Sa, quindi Sa = ∅ ⇒ Sott = ∅.
Ricerca Operativa – p. 48/67
![Page 49: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/49.jpg)
Una, nessuna, infinite
Osservazione
Se Sott è un insieme finito e non vuoto, Sott contiene un solopunto.
Dimostrazione Per assurdo sia Sott un insieme finito econtenga più di un punto. Siano x1,x2 ∈ Sott, x1 6= x2, duepunti distinti di Sott.
Ricerca Operativa – p. 49/67
![Page 50: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/50.jpg)
Continua
Per l’ottimalità di x1 e x2 si deve avere cx1 = cx2.
Per la convessità di Sa e x1,x2 ∈ Sa:
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Sa ∀ λ ∈ (0, 1),
Per la linearità della funzione obiettivo ∀ λ ∈ (0, 1):
c[λx1+(1−λ)x2] = λcx1+(1−λ)cx2 = λcx1+(1−λ)cx1 = cx1.
Quindi:λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Sott ∀ λ ∈ (0, 1)
cioè tutto il segmento che congiunge x1 e x2 è contenuto inSott, il che contraddice la finitezza dell’insieme Sott.
Ricerca Operativa – p. 50/67
![Page 51: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/51.jpg)
Le diverse forme possibili diSott
Caso 1 Sa = ∅ ⇒ Sott = ∅.
Caso 2 Sa 6= ∅ e politopo.Politopo è insieme chiuso e limitato, funzione obiettivo èlineare e quindi continua ⇒ (Teorema di Weierstrass)Sott 6= ∅.Sono possibili due sottocasi.
Caso 2.1 Sott è costituito da un solo punto.
max 2x1 + x2
x1 + x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 51/67
![Page 52: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/52.jpg)
Continua
Caso 2.2 Sott è costituito da un insieme infinito e limitato dipunti.
max x1 + x2
x1 + x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 52/67
![Page 53: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/53.jpg)
Continua
Caso 3 Sa 6= ∅ e poliedro illimitato. Sono possibili quattrosottocasi.
Caso 3.1 Sott = ∅ in quanto l’obiettivo è illimitato, ovveroesiste una sequenza infinita di punti {xk} di Sa lungo cuila funzione obiettivo cresce a +∞. Formalmente:
∃ {xk} : xk ∈ Sa ∀ k e cxk → +∞ k → +∞.
max x1 + x2
−x1 + x2 ≤ 0
x1 − x2 ≤ 1
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0Ricerca Operativa – p. 53/67
![Page 54: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/54.jpg)
Continua
Caso 3.2 Sott è costituito da un solo punto.
max −x1
−x1 + x2 ≤ 0
x1 − x2 ≤ 1
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 54/67
![Page 55: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/55.jpg)
Continua
Caso 3.3 Sott è costituito da un insieme infinito e limitato dipunti.
max −x2
−x1 + x2 ≤ 0
x1 − x2 ≤ 1
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 55/67
![Page 56: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/56.jpg)
Continua
Caso 3.4 Sott è costituito da un insieme infinito e illimitato dipunti.
max x1 − x2
−x1 + x2 ≤ 0
x1 − x2 ≤ 1
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 56/67
![Page 57: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/57.jpg)
Un lemma
Lemma
Dato un problema di PL in forma canonica, se Sott 6= ∅,allora per ogni raggio estremo r di Sa si ha:
cr ≤ 0.
Ricerca Operativa – p. 57/67
![Page 58: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/58.jpg)
Dimostrazione
Per assurdo supponiamo esista un raggio estremo r taleche
cr > 0
Sott 6= ∅ ⇒ Sa 6= ∅.
Sia x0 ∈ Sa. Per definizione di raggio avremo che
∀ λ ≥ 0 : x0 + λr ∈ Sa.
Valore funzione obiettivo in punti x0 + λr:
c(x0 + λr) = cx0 + λ cr︸︷︷︸
>0
→︸︷︷︸
λ→+∞
+∞
Allora Sott = ∅ in quanto l’obiettivo è illimitato sulla regioneammissibile, il che contraddice Sott 6= ∅.
Ricerca Operativa – p. 58/67
![Page 59: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/59.jpg)
Teorema fondamentale della PL
Teorema
Dato un problema di PL in forma canonica, se Sott 6= ∅,allora Sott contiene almeno un vertice di Sa.
Ricerca Operativa – p. 59/67
![Page 60: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/60.jpg)
Dimostrazione
Siano v1, . . . ,vk i vertici di Sa e, nel caso in cui Sa sia unpoliedro illimitato, indichiamo con r1, . . . , rh i raggi estremi diSa.
Se Sott 6= ∅, sia x∗ ∈ Sott.
Per assurdo supponiamo che
v1, . . . ,vk 6∈ Sott
da cui:cvi < cx∗ i = 1, . . . , k
Ricerca Operativa – p. 60/67
![Page 61: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/61.jpg)
Continua
Per il teorema di rappresentazione di Sa, x∗ ∈ Sa implicache
∃ λ∗1, . . . , λ
∗k ≥ 0,
k∑
i=1
λ∗i = 1, ∃ µ∗
1, . . . , µ∗h ≥ 0
tali che
x∗ =k∑
i=1
λ∗i vi +
h∑
j=1
µ∗jrj .
Quindi:
cx∗ = c
k∑
i=1
λ∗i vi +
h∑
j=1
µ∗jrj
Ricerca Operativa – p. 61/67
![Page 62: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/62.jpg)
Continua
Per la linearità della funzione obiettivo
cx∗ =k∑
i=1
λ∗i (cvi) +
h∑
j=1
µ∗j(crj).
Dal lemma precedente:
crj ≤ 0 j = 1, . . . , h.
Ricerca Operativa – p. 62/67
![Page 63: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/63.jpg)
Continua
Quindi:
cx∗ =k∑
i=1
λ∗i (cvi) +
h∑
j=1
µ∗j
︸︷︷︸
≥0
(crj)︸ ︷︷ ︸
≤0
.
da cui:
cx∗ ≤k∑
i=1
λ∗i (cvi).
Ricerca Operativa – p. 63/67
![Page 64: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/64.jpg)
Continua
Da cvi < cx∗, ∀ i segue che:
cx∗ ≤k∑
i=1
λ∗i (cvi)︸ ︷︷ ︸
<cx∗
<
k∑
i=1
λ∗i (cx
∗).
NB: lo strettamente minore vale perchè almeno uno dei λ∗i è
strettamente positivo in quanto la loro somma deve esserepari a 1.
Quindi:
cx∗ < (cx∗)k∑
i=1
λ∗i = cx∗.
il che è assurdo.Ricerca Operativa – p. 64/67
![Page 65: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/65.jpg)
Un commento
Il teorema fondamentale della PL è alla base dellaprocedura di risoluzione che descriveremo, l’algoritmo delsimplesso.
Infatti, tale algoritmo ricerca la soluzione ottima cercando dispostarsi ad ogni iterazione in modo intelligente da unvertice all’altro di Sa. Per modo intelligente si intende chel’algoritmo tenta di spostarsi ad una data iterazione da unvertice a uno con valore della funzione obiettivo maggiore.
Ricerca Operativa – p. 65/67
![Page 66: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/66.jpg)
Problema 1
Sia dato il problema di PL in forma canonica
max cx
aix ≤ bi i = 1, . . . ,m
x ≥ 0
e sia x ∈ Sa tale che
aix < bi ∀ i, x > 0.
Si dimostri che
x ∈ Sott ⇔ Sa = Sott
Ricerca Operativa – p. 66/67
![Page 67: Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022022113/5c664f8c09d3f2e4308bff38/html5/thumbnails/67.jpg)
Problema 2
Siano vi, i = 1, . . . , k, i vertici della regione ammissibile Sa
di un problema di PL. Si supponga che Sott 6= ∅ e che tutti ivertici abbiano lo stesso valore dell’obiettivo, ovvero
cvi = cvj ∀ i 6= j
Si dimostri che:
a) Sa = Sott se Sa è un politopo;
b) può essere Sa 6= Sott nel caso Sa sia un poliedro illimitato.
Ricerca Operativa – p. 67/67