régimes transitoires dans les circuits (rc), (rl) et...
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Régimes transitoires dans les circuits
(RC), (RL) et (RLC)
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
1ère partie
Charge et décharge d’un condensateur
Etude du circuit (R,C)
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Description d’un condensateur :
Un condensateur est assimilable à deux plaques disposées face à face. En règle générale, on pourra dire qu'un condensateur est constitué de deux conducteurs séparés par un isolant (appelé également diélectrique) ; cet isolant peut être l'air, du verre, du plastique … (tableau ci-dessous).
(relative)
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
L’intérieur d’un condensateur :
Ce modèle est représentatif de la structure de la plupart des condensateurs. Il est constitué d’armatures métallisées.
On augmente sa capacité en branchant en parallèle des plaques très rapprochées mais qui ne se touchent pas.
Dans ce condensateur, c’est l’air qui joue le rôle de diélectrique.
Utilisation des condensateurs :
Ils sont utilisés dans pratiquement tous les montages électroniques. Par exemple, on utilise des condensateurs variables dans les circuits d’accord de postes de radio.
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Soumis à une tension U, un condensateur possède la propriété de se charger et de conserver une charge électrique q, proportionnelle à U :
q = CU
C’est un réservoir d’énergie.
Cette énergie est restituée lors de la décharge du condensateur.
Ces phénomènes de charge et de décharge ne sont pas instantanés ; ce sont des phénomènes transitoires.
On peut comparer le condensateur à un réservoir qui se remplit et se vide, ou à un poumon qui se gonfle et se dégonfle...
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Condensateur plan :
Deux plaques métalliques planes (de surface S) en regard sont distantes de e. Un diélectrique remplit l’espace entre les deux plaques.
Diélectrique (ε =εε =εε =εε =ε0εεεεr)e
Surface en regard : S
ddp U
+ + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - -
+ q
- q
La charge q acquise par l’armature supérieure est :
q = CU
C est la capacité du condensateur plan (exprimée en Farad, F, ou mieux, en µµµµF ou nF) :
e
SC r
εε0=
εεεε0 : permittivité du vide
εεεεr : permittivité relative du diélectrique
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Tension, puissance et énergie :
Avec les notations de la figure ci-contre : q C
i
uC
qdt
dqi
C
quC &=== ;
La puissance reçue par le condensateur (de manière algébrique) est :
====
2
2
1.. C
CCCCC Cu
dt
d
dt
duCu
dt
dquiup
L’énergie EC emmagasinée par le condensateur s’en déduit :
C
qCuEsoit
dt
dEp CC
CC
22
2
1
2
1===
La charge portée par les armatures est une fonction continue du temps.
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Charge d’un condensateur par un échelon de tension :
A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :
q Ci
uCe(t) R uR
dt
duRCRiu
dt
dqi
C
qu CRC ==== ;;
Edt
duRCusoitEuu CCRC =+=+
)(111
RCEudt
duu
RCdt
duC
CC
C ==+=+ τττ
Si le condensateur est déchargé à t < 0 : ττ //
;)1(t
CRt
C EeuEueEu−− =−=−=
ττττ est la constante de temps du circuit (RC) : elle donne l’ordre de grandeur de la durée de charge du condensateur.
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
La charge est continue à t = 0 ; l’intensité est discontinue (passe de 0 à E/R de t = 0- à t = 0+)
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Aspect énergétique :
Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation de l’énergie, on va montrer que :
CRG EEE +=
Energie fournie par le générateur
Energie dissipée par effet Joule dans R
Energie emmagasinée par
C
CRGC
tR
tG
EEEoùdCEE
CER
Edte
R
EdttRiE
CER
Edte
R
EdttEiE
+==
====
====
∫∫
∫∫∞
−∞
∞−
∞
'2
1
2
1
2)(
)(
2
22
0
/22
0
2
22
0
/2
0
τ
τ
τ
τ
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Décharge du condensateur :
)(/τt
C Eeu−=
)(/τt
CR Eeuu−−=−= Continuité de la charge
Discontinuité du courant
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Condensateur soumis à une tension créneau :
Tension créneau E/-E :
Tension créneau E/0 :
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Associations de condensateurs :
En série :
En parallèle :
21 CCCuuu +=
qC
qCC
qC
qC
uéq
C
11111
2121
=
+=+=
21
111
CCCéq+=
q C1i
uc1
q C2
uc2uc
i
uc
q1 C1i1
q2 C2i2
2
2
1
1
11q
Cq
CuC ==
i
( )dt
duCC
dt
duC
dt
duCiiii CCC 212121 ; +=+=+=
21 CCCéq +=
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
2ème partie
Bobine d’auto-induction
Etude du circuit (R,L)
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Bobine d’auto-induction :
Le rôle d’une bobine d’auto-induction est de s’opposer à toute modification du courant dans un circuit (loi de Lenz). En particulier, l’intensité du courant dans une bobine est nécessairement continue.
Br
i
i
Tout bobinage parcouru par un courant crée un champ magnétique proportionnel à l’intensité i.
Lorsque l’intensité i dépend du temps, il apparaît aux bornes de la bobine une fém d’auto-induction (phénomène d’induction).
En convention récepteur, cette fém s’écrit (en supposant la bobine idéale, c’est-à-dire sans résistance) :
dt
diLe =
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Tension, puissance et énergie :
Avec les notations de la figure ci-contre :
L,ri
uLridt
diLuL +=
La puissance reçue par la bobine (de manière algébrique) est (bobine idéale ici, soit r = 0) :
====
2
2
1. Li
dt
di
dt
diLiup LL
L’énergie EL emmagasinée par la bobine s’en déduit :
2
2
1LiEsoit
dt
dEp L
LL ==
L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue du temps.
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Réponse à un échelon de tension : (bobine idéale)
A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :
Li
uL
e(t) R uR
dt
du
R
L
dt
diLuRiu RLR === ;
Eudt
du
R
LsoitEuu R
RRL =+=+
)(1
R
LEu
dt
duu
L
R
dt
duR
RR
R ==+=+ ττ
Si l’intensité du courant est nulle à t < 0 :
ττ //;)1(
tRL
tR EeuEueEu
−− =−=−=
ττττ est la constante de temps du circuit (RL) : elle donne l’ordre de grandeur de la durée d’établissement du régime permanent (i=E/R). La bobine se comporte ensuite comme un simple fil.
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
L’intensité (et la tension uR) est continue à t = 0 ; la tension uL est discontinue (passe de 0 à E de t = 0- à t = 0+)
uR,uL,E
En bleu : la tension uLEn vert : la tension uR
En rouge (horizontal) : la tension E
RL
CR
uu
qi
uu
⇔
⇔
⇔
Circuit (RL)
Circuit (RC)
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Aspect énergétique :
Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation de l’énergie, on va montrer que :
G R LE E E= +
Energie fournie par le générateur
Energie dissipée par effet Joule dans R
Energie emmagasinée par L
+=+=+=+= 222
2
1Li
dt
dRi
dt
diLiRiEidonc
dt
diLRiuuE RL
)(2
1 2
0
2
0 R
EIavecLIdtRidtEi permperm =+= ∫∫
∞∞
En effet :
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Associations d’inductances :
En série :
En parallèle :
21 LLLuuu +=
( )dt
diL
dt
diLL
dt
diL
dt
diLu éqL =+=+= 2121
21 LLLéq +=
L1i
uL1
L2
uL2
uL
i
uL
L1i1
L2i2
dt
diL
dt
diLuL
22
11 ==
i
LLL uLL
uL
uLdt
diiii
+=+=+=
2121
21
1111;
21
111
LLLavec
dt
diLu
éq
éqL +==
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
3ème partie
Etude du circuit (R,L,C)
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Equation différentielle du circuit (RLC) :
qC
i
uC
e(t) R uR
L
uL
)(1
teqC
Ridt
diLuuu CRL =++=++
dt
duCidonc
C
quqi CC === ;&
)(2
2
teudt
duRC
dt
udLC C
CC =++
)(11
2
2
teLC
uLCdt
du
L
R
dt
udC
CC =++
L
Ret
LCavecteu
dt
du
dt
udC
CC ===++ 020
20
2002
2
21
)(2 σωωωωσω
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Les différents régimes : (voir cours sur les oscillateurs en mécanique)
On recherche des solutions de l’équation homogène de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :
02200
2 =++ ωσω rr
Dont le discriminant est : )1(4 220 −=∆ σω
),(:10
),(:10
),(:10
0
21
21
ωσ
σ
σ
−===∆
∈>>∆
∈−
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Réponse du circuit (RLC) à un échelon de tension :
[ ] EBtAeu
EBeAeeu
EtBtAeu
tC
tttC
tC
++==
+
+=>
+
−+−=<
−
−−−
−
0
20
200
0
:1
:1
)1sin()1cos(:1
)1()1(
20
20
ω
σωσωσω
σω
σ
σ
σωσωσ
La solution de l’équation différentielle précédente est alors :
Pour t>0 : Eudt
du
dt
udC
CC 20
2002
2
2 ωωσω =++
,5
0σω≈tAu bout de le régime permanent est atteint (uC = E)
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
C
LRc 2=
Simulation Java (JJ.Rousseau) :
Résistance critique
(σσσσ=1)
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
Aspect énergétique :
L’état final est : i=0 et uC=E (le condensateur est chargé). Montrons que le bilan final énergétique s’écrit :
CRG EEE +=
Energie fournie par le générateur
Energie dissipée par effet Joule dans R
Energie emmagasinée par C
En effet :
+
+=++= 2
22
2
1
2
1;
1Li
dt
dCu
dt
dRiEi
dt
diLq
CRiE C
CRG EEEsoitCEdtRiEidt +=++= ∫∫∞∞
02
1 2
0
2
0
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
On peut calculer l’énergie fournie par le générateur :
On en déduit que l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance R vaut :
[ ] 20
000. CEuCEdt
dt
duCEdtqEEidt C
C ==
==
∞∞∞∞
∫∫∫ &
222
2
1
2
1CECECEEEE CGR =−=−=
Par conséquent :
GCR ECEEE2
1
2
1 2 ===
La moitié de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule. On retrouve le même résultat que dans le cas du circuit (RC) : ce n’est pas surprenant puisque l’inductance n’a aucune influence sur les états initial et final du circuit.
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Réponse à une tension créneau :
Animation Java :
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Olivier GRANIER
Électricité - Électronique
� Analogies électromécaniques :
Oscillateurs mécaniques Oscillateurs électriques
0
0
2
2
2
2
1
2
1
1
ωσ
ω
h
m
k
kxE
xmE
hm
m
k
xv
x
P
C
=
=
=
=
=
&
&
0
0
2
2
2
1
2
1
2
1
ωσ
ω
L
R
LC
C
qE
LiE
R
L
C
qi
q
P
C
=
=
=
=
= &