rezumat jakab katalin - unitbv.roold.unitbv.ro/portals/31/sustineri de...

Universitatea Transilvania din Braşov Şcoala Doctorală Interdisciplinară

Departamentul de Inginerie Mecanică

Ing. JAKAB A. Katalin

Contribuţii la determinarea, prin metode nedistructive, a caracteristicilor mecanice la materialele ortotrope

Contributions to evaluate the mechanical characteristics

of orthotropic materials by Non-Destructive Methods

Rezumatul tezei de doctorat PhD Thesis Summary

Conducător ştiinţific Prof.univ.dr.ing. SZÁVA Ioan

Braşov, 2013

MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOV

Bd. Eroilor 29, 500036 Braşov, Romania, Tel/Fax: +40 268 413000, +40 268 410525 RECTORAT

_________________________________________________________________________ D-lui (D-ei) .......................................................................................................

COMPONENŢA Comisiei de doctorat

numită prin ordinul Rectorului Universităţii „Transilvania” din Braşov Nr. 6105 din 25.10.2013

PREŞEDINTE: - Prof. univ. dr. ing. Ioan Călin ROŞCA

DECAN – Facultatea de Inginerie Mecanică Universitatea „Transilvania” din Braşov

CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFIC:

- Prof. univ. dr. ing. Ioan SZÁVA Universitatea „Transilvania” din Braşov

REFERENŢI: - Prof. univ. dr. ing. Polidor BRATU Universitatea „Dunărea de Jos” din Galaţi

- Prof. univ. dr. ing. Iuliu NEGREAN Universitatea Tehnică Cluj-Napoca

- Prof. univ. dr. ing. mat. Sorin VLASE Universitatea „Transilvania” din Braşov

Data, ora şi locul susţinerii publice a tezei de doctorat: 11 decembrie 2013, ora 1400, Colina Universităţii, sala C.P.8, corp C. În cazul în care doriţi să faceţi aprecieri sau observaţii asupra conţinutului lucrării, vă rugăm să le transmiteţi în timp util pe adresa [email protected]. Totodată vă invităm să luaţi parte la şedinţa publică de susţinere a tezei de doctorat. Vă mulţumim.

JAKAB Katalin– Contribuţii la determinarea, prin metode nedistructive, a caracteristicilor mecanice la materialele ortotrope

3

CUPRINS

Pagină Pagină teză rezumat Consideraţii generale .........................................................................................5 9 Capitolul 1 – Sinteză privind ecuaţiile generale ale elasticităţii corpurilor ortotrope...........................................................................................8 12

1.1. Ecuaţiile fundamentale ............................................................................8 - 1.1.1. Ecuaţiile aspectului geometric (ecuaţiile geometrice).........................8 - 1.1.2. Ecuaţiile aspectului static (ecuaţiile de echilibru)...............................9 - 1.1.3. Ecuaţiile aspectului fizic (ecuaţiile constitutive sau de material) ......10 -

1.2. Starea plană de tensiune ........................................................................13 - 1.3. Starea plană de deformare .....................................................................14 - 1.4. Rotirea axelor în starea plană.................................................................15 12

1.4.1. Transformarea tensiunilor ................................................................15 12 1.4.2. Transformarea deformaţiilor specifice .............................................17 14 1.4.3. Transformarea matricei de elasticitate .............................................19 15

1.5. Concluzii...............................................................................................22 - Capitolul 2 - Analiza critică a stadiului actual privind determinarea prin metode nedistructive a caracteristicilor mecanice la materialele ortotrope ...................................................................................23 18

2.1. Generalităţi privind elasticitatea materialelor ortotrope, cu privire la lemnul masiv ............................................................................23 18

2.1.1. Caracteristici generale ale lemnului .................................................24 - 2.1.2. Elasticitatea lemnului ca material anizotrop-ortotrop .......................25 - 2.1.3. Relaţii dintre tensiuni şi deformaţii ..................................................26 -

2.2. Factorii care influenţează elasticitatea lemnului .....................................28 18 2.3. Cercetări teoretice privind caracteristicile mecanice ale materialelor lemnoase .............................................................................30 19 2.4. Metode experimentale utilizate în determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor lemnoase .............................................................35 22

2.4.1. Metoda tensometriei electrice rezistive ............................................36 - 2.4.2. Fotoelasticitatea...............................................................................39 - 2.4.3. Interferometria Holografică .............................................................40 - 2.4.4. Metode optice..................................................................................42 - 2.4.5. Tehnici pentru măsurarea modulului de elasticitate ..........................43 -

2.5. Concluzii ..............................................................................................46 - Capitolul 3 - Obiectivele principale ale tezei de doctorat ...............................47 23 Capitolul 4 - Cercetări experimentale privind determinarea caracteristicilor mecanice prin metode nedistructive.....................................48 25

4.1. Alegerea principiului şi a metodelor de măsurare ..................................48 - 4.2. Noţiuni sumare privind Tensometria Electrică Rezistivă .......................49 -

4.2.1. Rozete tensometrice ........................................................................51 - 4.2.2. Cercul lui Mohr pentru starea plană de deformaţie ...........................52 -

4.3. Dispozitivul conceput şi tipul de epruvetă .............................................54 25

Universitatea Transilvania din Braşov – Facultatea de Inginerie Mecanică, Departamentul de Inginerie Mecanică

4

4.4. Descrierea standului original ................................................................56 26 4.5. Aspectele teoretice de bază ale metodei Corelării Digitale a Imaginilor .57 27

4.5.1. Modele de deformare.......................................................................57 28 4.5.1.1. Transformările geometrice inspirate de modele fizice .............58 - 4.5.1.2. Transformările geometrice inspirate de teoria interpolării........61 - 4.5.1.3. Transformări geometrice bazate pe informaţii .........................64 - 4.5.1.4. Probleme specifice de constrângeri .........................................64 -

4.5.2. Funcţii obiective .............................................................................65 - 4.5.2.1. Metodele imagistice ................................................................65 - 4.5.2.2. Metodele geometrice...............................................................66 - 4.5.2.3. Metodele hibride .....................................................................66 -

4.5.3. Strategii de optimizare .....................................................................66 - 4.5.3.1. Optimizarea continuă .............................................................67 - 4.5.3.2. Optimizarea discretă ...............................................................68 -

4.6. Concluzii...............................................................................................70 - Capitolul 5 – Rezultatele experimentale proprii.............................................71 29

5.1. Strategia de măsurare la Tensometria Electrică Rezistivă.......................71 29 5.2. Rezultate obţinute prin Tensometrie Electrică Rezistivă ........................73 30 5.3. Strategia de măsurare la Corelarea Digitală a Imaginilor........................75 31 5.4. Rezultate obţinute prin Corelarea Digitală a Imaginilor .........................80 35 5.5. Efectul rotirii direcţiei de aplicare a forţei faţă de direcţia fibrelor asupra mărimii caracteristicilor mecanice ........................................83 36 5.6. Concluzie ..............................................................................................86 -

Capitolul 6 – Modelarea materialelor ortotrope prin metoda diferenţelor finite ........................................................................87 38

6.1. Aproximaţia cu diferenţe finite pentru prima derivată ............................87 - 6.2. Aproximarea cu diferenţe finite a derivatelor funcţiei cu două variabile.89 - 6.3. Rezolvarea problemelor de stare plană prin metoda diferenţelor finite ...92 -

6.3.1. Compatibilitatea deformaţiilor specifice ..........................................92 - 6.3.2. Compatibilitatea tensiunilor.............................................................92 - 6.3.3. Funcţia potenţial a deplasărilor când direcţiile ortotropiei coincid cu direcţiile principale...................................................................94 38 6.3.4. Funcţia potenţial a deplasărilor când direcţiile ortotropiei nu coincid cu direcţiile principale ..............................................................96 39

6.4. Metoda diferenţelor finite în problema plană .........................................98 41 6.5. Condiţii de contur sub forma deplasărilor prescrise..............................101 44 6.6. Condiţiile de contur sub forma încărcării .............................................104 46 6.7. Stabilirea şi rezolvarea sistemului de ecuaţii ........................................109 - 6.8. Postprocesarea.....................................................................................111 - 6.9. Criterii energetice................................................................................117 48 6.10. Concluzii...........................................................................................118 -

Capitolul 7 – Rezultatele modelării numerice proprii ..................................118 54 7.1 Modelul numeric propus.......................................................................118 54 7.2. Rezultate preliminare obţinute prin modelul numeric propus ...............119 55 7.3. Concluzii.............................................................................................132 -

Capitolul 8 – Concluzii finale ........................................................................133 56


5

Capitolul 9 – Contribuţii la problematica abordată .....................................135 57 Capitolul 10 – Perspectivele de utilizare ale rezultatelor obţinute...............136 58 Bibliografie.....................................................................................................137 59 Anexa 1 – Rezumat ........................................................................................144 62 Anexa 2 – Curriculum Vitae..........................................................................146 63


6

CONTENTS

Page Page thesis abstract Introduction ......................................................................................................5 9 Chapter 1 – Synthesis of orthotropic bodies general equations of elasticity..........................................................................................................8 12

1.1. Basic equations........................................................................................8 - 1.1.1. Geometric aspect equations ...............................................................8 - 1.1.2. Static echilibrium aspect equations ...................................................9 - 1.1.3. Physical aspect equations ................................................................10 -

1.2. Plane stress state....................................................................................13 - 1.3. Plane strain state ...................................................................................14 - 1.4. Axis rotation in plane state ....................................................................15 12

1.4.1. Stress transformation .......................................................................15 12 1.4.2. Strain transformation .......................................................................17 14 1.4.3. Stiffness matrix transformation .......................................................19 15

1.5. Conclusions ..........................................................................................22 - Chapter 2 - Critical analysis of the actual state for determination of orthotropic materials mechanical characteristics by nondestructive methods ..............................................................................23 18

2.1. Generalities about orthotropic materials elasticity in case of solid wood....................................................................................23 18

2.1.1. General characteristics of wood .......................................................24 - 2.1.2. Wood elasticity as anisotropic-orthotropic material..........................25 - 2.1.3. Relations between stress and strain ..................................................26 -

2.2. Factors that infulence wood elasticity ....................................................28 18 2.3. Theoretical reserch regarding wood materials mechanical characteristics ............................................................................30 19 2.4. Experimantal methods used in determination of wood materials mechanical characteristics ...............................................35 21

2.4.1. Strain transformation and Rosette Gage Theory ...............................36 - 2.4.2. Photoelasticity .................................................................................39 - 2.4.3. Holographic Interferometry ............................................................40 - 2.4.4. Optical methods ..............................................................................42 - 2.4.5. Techniques for measuring the elastic modulus ................................43 -

2.5. Conclusions...........................................................................................46 - Chapter 3 - Objectives and reserch directions of the thesis ...........................47 23 Chapter 4 - Experimental researches regarding mechanicals characteristics determination by NDT method...............................................48 25

4.1. The objectives of experimental research ...............................................48 - 4.2. Basic notions regarding Strain Gage Theory (TER) ..............................49 -

4.2.1. Strain gage rosettes..........................................................................51 - 4.2.2. Mohr’s Circle for plane strain state transformation .........................52 -


7

4.3. Testing device and type of specimens ....................................................54 25 4.4. The original stand description................................................................56 26 4.5. Basic theoretical aspects of Digital Image Correlation Method (DIC) ....57 27

4.5.1. Deformation models .......................................................................57 28 4.5.1.1. Geometrical transformations based on physical models...........58 - 4.5.1.2. Geometrical transformations based on interpolation theory .....61 - 4.5.1.3. Geometrical transformations based on knowledge...................64 - 4.5.1.4. Constrains specifical problems ...............................................64 -

4.5.2. Objective functions..........................................................................65 - 4.5.2.1. Iconic methods........................................................................65 - 4.5.2.2. Geometric methods .................................................................66 - 4.5.2.3. Hybrid methods ......................................................................66 -

4.5.3. Optimization strategies ....................................................................66 - 4.5.3.1. Continuous optimization .........................................................67 - 4.5.3.2. Discrete optimization .............................................................68 -

4.6. Conclusions...........................................................................................70 - Chapter 5 – The experimental results .............................................................71 29

5.1. Measurement strategy by TER ..............................................................71 29 5.2. Results obtained by TER .......................................................................73 30 5.3. Measurement strategy by DIC ...............................................................75 31 5.4. Results obtained by DIC........................................................................80 35 5.5. Effect on dimensions of mechanical caracteristics of the rotation of the applied force direction opposite the fiber direction .............................83 36 5.6. Conclusions...........................................................................................86 -

Chapter 6 – The orthotropic materials modeling with finite difference method...........................................................................87 38

6.1. Finite difference approximation of first-order derivatives .....................87 - 6.2. Finite difference approximation of second-order derivatives..................89 - 6.3. Solving plane state problems by finite difference method ......................92 -

6.3.1. Compatibility of specific strains ......................................................92 - 6.3.2. Compatibility of stresses .................................................................92 - 6.3.3. Potential function of the displacement when the orthotropic direction coincid with the principal direction .....................94 38 6.3.4. Potential function of the displacement when the orthotropic direction not coincid with the principal direction ...............96 39

6.4. Formulation for finite-diference solution ...............................................98 41 6.5. The boundary conditions in the form of prescribed displacement.........101 44 6.6. The boundary conditions in the form of loading...................................104 46 6.7. Stabilirea şi rezolvarea sistemului de ecuaţii ........................................109 - 6.8. Postprocessing.....................................................................................111 - 6.9. Energy criteria.....................................................................................117 48 6.10. Conclusions.......................................................................................118 -

Chapter 7 – Results of munerical modeling ..................................................118 54 7.1 The numerical model proposed.............................................................118 54 7.2. Preliminary results obtained by the numerical model proposed............119 55 7.3. Conclusions.........................................................................................132 -

Chapter 8 – General conclusions...................................................................133 56


8

Chapter 9 – Original contributions ...............................................................135 57 Chapter 10 – Future research directions ......................................................136 58 References ......................................................................................................137 59 Appendix 1 – Summary .................................................................................144 62 Appendix 2 – Curriculum Vitae ....................................................................146 63


9

CONSIDERAȚII GENERALE

Teza de doctorat intitulată „Contribuţii la determinarea, prin metode

nedistructive, a caracteristicilor mecanice la materialele ortotrope” îşi propune să realizeze cercetări teoretice şi experimentale în domeniul vast al măsurărilor prin metode nedistructive.

Capitolul 1 este o sinteză privind ecuaţiile generale ale elasticităţii corpurilor ortotrope şi oferă o scurtă trecere în revistă a ecuaţiilor de bază din Teoria Elasticităţii. Acest capitol prezintă cadrul teoretic general privind determinarea stării de tensiuni, deformaţii şi deplasări dintr-un corp elastic, în funcţie de caracteristicile materialului corpului, supus la diferite încărcări. Se evidenţiază acele formule care descriu proprietăţile mecanice a materialului sub diferite unghiuri de orientare faţă de cele principale.

Capitolul 2 al tezei prezintă stadiul actual al cercetărilor teoretice şi experimentale privind stabilirea caracteristicilor mecanice la materialele utilizate în inginerie. După prezentarea noţiunilor fundamentale privind materialele ortotrope, cu referire la lemnul masiv, sunt atent analizate rezultatele analitice şi numerice obţinute pe plan mondial. Se trage concluzia, că în literatura de specialitate, când planul de ortotropie închide diferite unghiuri cu direcţia fundamentală, nu prea sunt referinţe pentru variaţia modulului de elasticitate E şi coeficientului de contracţie transversală µ , iar referiri la modul schimbării direcţiilor principale ale tensiunilor şi deformaţiilor specifice nu s-au găsit.

În baza celor expuse în partea de stadiul actual, în Capitolul 3 se formulează obiectivele tezei, care sunt aduse la îndeplinire în capitolele următoare, după cum urmează:

Capitolele 4 şi 5 sunt dedicate modurilor de investigare experimentale. Astfel, în Capitolul 4 sunt prezentate aspectele de bază a celor două metode nedistructive în determinarea caracteristicilor mecanice ale lemnului masiv, şi anume Metoda Tensometriei Electrice Rezistive (TER), respectiv Metoda Corelării Digitale a Imaginilor (DIC). Un subcapitol este dedicat prezentării standului de încercare conceput şi realizat, şi a epruvetelor folosite. La prelevarea probelor s-a ţinut cont, ca secţiunea transversală a epruvetei să corespundă planului L R− .

În Capitolul 5 sunt prezentate strategiile de măsurare cu cele două metode de investigare, precum şi rezultatele obţinute. În evaluarea epruvetelor de lemn pe o parte au fost lipite rozete dreptunghiulare cu traductoare, iar pe partea cealaltă au fost vopsite în prealabil cu un strat de vopsea albă, peste care au fost dispuse aleatoriu puncte de vopsea neagră. Cu metoda TER au fost evaluate deplasările suferite de epruvetă pe direcţia sarcinii aplicate; au fost calculate deformaţiile principale, respectiv orientarea axelor principale în funcţie de forţa aplicată faţă de direcţia fibrelor, au fost trasate curbele forţă-deformaţii principale. Pentru metodologia de investigare DIC a fost elaborat un program de concepţie proprie. Programul se bazează pe prelucrarea înregistrării imaginii prin corelare digitală. Cu ajutorul programului au devenit posibile efectuarea unor teste pentru verificarea şi validarea măsurătorilor prin TER. Din cercetările experimentale a rezultat, că nu numai mărimile modulului de elasticitate E şi coeficientului de contracţie transversală µ se schimbă în cazul rotirii epruvetei de lemn, ci şi în direcţiile principale ale tensiunilor şi deformaţiilor specifice au loc schimbări când direcţia de aplicare a forţei de compresiune face diferite unghiuri cu direcţia fibrelor. Din această modificare a direcţiei rezultă că relaţia liniară între tensiuni şi deformaţii specifice îşi pierde valabilitatea, descriind astfel o comportare neliniară. Pentru a păstra forma liniară, adică valabilitatea legii lui Hooke, s-a


10

introdus un factor de corecţie. Acest factor are rolul de a corecta direcţiile principale a tensiunilor cu acele valori care s-au determinat pe cale experimentală.

În Capitolul 6, intitulat “Modelarea materialelor ortotrope prin Metoda

Diferenţelor Finite”, se prezintă o metodă de calcul cu diferenţe finite pentru integrarea ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope. Problema plană este formulată în tensiuni, ajungându-se la funcţia Airy, a cărei derivate parţiale de ordinul doi descriu câmpul de tensiuni. Cu ajutorul tensiunilor şi cu ecuaţiile de material se determină deformaţiile specifice. Prin analogie cu funcţia Airy, s-a utilizat o „funcţie potenţial” a deplasărilor, care face posibilă scrierea condiţiilor de contur mixte. Derivatele parţiale ale acestei funcţii dau deplasările în direcţia axelor de coordonate. Derivatele deplasărilor dau deformaţiile specifice, iar prin utilizarea ecuaţiilor de material, aceste derivate de ordin superior conduc la câmpul de tensiuni. Astfel devine posibilă scrierea condiţiilor de contur sub forma tensiunilor prescrise, existând o relaţie directă între deplasări şi tensiuni, care se aproximează cu diferenţe finite. Ultimul subcapitol prezintă o alternativă de rezolvare numerică bazată pe criteriile energetice.

Capitolul 7 prezintă rezultatele obţinute prin modelul numeric propus. Metoda de calcul cu diferenţe finite de la capitolul anterior a fost dezvoltată în sensul aplicării unei proceduri de calcul neliniar iterativ pentru modelarea comportării materialelor ortotrope, la care parametrii elastici variază în funcţie de direcţia solicitării. Astfel, s-au calculat factorii de corecţie la rotirea epruvetei cu câte 150, şi s-au introdus în programul cu metoda diferenţelor finite sub varianta iterativă neliniară.

Modelul numeric de calcul a fost validat prin compararea rezultatelor obţinute pe cale experimentală. Sunt prezentate rezultatele calculelor neliniare în paralel cu rezultatele obţinute pentru un calcul liniar, fără corecţia coeficienţilor elastici.

În Capitol 8 intitulat „Concluzii finale”, în Capitol 9 intitulat „Contribuţiile la problematica abordată” şi în Capitol 10 intitulat „Perspectivele de utilizare ale rezultatelor obţinute” sunt evidenţiate elementele de originalitate, respectiv contribuţiile aduse de către autoare. Se prezintă concluziile generale ale rezultatelor obţinute în urma studiului şi desfăşurării experimentelor ţinând cont de toate cunoştinţele noi introduse în această teză. Valorificarea rezultatelor şi direcţiile viitoare de cercetare încheie acest capitol.

Bibliografia de la sfârşitul tezei de doctorat indică titlurile cărţilor şi articolele de referinţă consultate din literatura de specialitate, respectiv lucrările proprii publicate în legătura cu tema tezei. Documentarea în cazul bibliografiei studiate acoperă cunoştinţe dintr-un spectru larg, şi anume: rezistenţa materialelor, teoria elasticităţii, metode numerice (metoda elementelor finite, metoda diferenţelor finite), informatică, prelucrarea digitală a imaginilor, tehnici de măsurare, etc.

Teza de doctorat reprezintă rezultatul cercetărilor întreprinse pe parcursul studiilor

doctorale, cu sprijinul ştiinţific şi logistic al unui număr important de persoane şi instituţii, cărora le datorez toată recunoştinţa mea şi cărora doresc să le mulţumesc.

Doresc să adresez cele mai sincere mulţumiri domnului profesor dr. ing. Ioan SZÁVA, în calitate de conducător ştiinţific, pentru îndrumările competente şi recomandările făcute cu înalt profesionalism, pentru contribuţia la formarea mea pe plan ştiinţific. De asemenea, vreau să-i mulţumesc pentru înţelegerea şi încrederea pe care mi-a acordat-o pe parcursul perioadei de doctorat.


11

Mulţumesc conducerii Universităţii Transilvania din Braşov, Facultăţii de Inginerie Mecanică, conducerii şi tuturor colegilor din cadrul Departamentului de Inginerie Mecanică şi în special domnului prof. dr. ing. mat. Sorin VLASE pentru sprijinul acordat în finalizarea prezentei tezei de doctorat.

Adresez întreaga mea recunoştinţă domnului conf. dr. ing. KAKUCS András pentru sugestiile şi observaţiile atente formulate pe parcursul cercetărilor în elaborarea tezei, pentru încurajarea şi sprijinul acordat în îndrumarea, structurarea si elaborarea acestei lucrări.

În acelaşi timp doresc să exprim cele mai sincere mulţumiri domnului conf. dr. ing. SZILÁGYI László de la Universitate „Sapientia”, Facultatea de Ştiinţe Tehnice şi Umaniste din Târgu Mureş pentru timpul şi sprijinul acordat în elaborarea programului bazată pe corelarea digitală a imaginilor.

Mulţumesc în mod deosebit referenţilor ştiinţifici: domnului prof. dr. ing. Polidor BRATU, domnului prof. dr. ing. Iuliu NEGREAN pentru onoarea pe care mi-au făcut-o acceptând să citească lucrarea, pentru timpul pe care l-au dedicat analizei acestei lucrări, şi pentru amabilitatea de a participa la susţinerea publică a tezei.

Mulţumiri doresc să adresez domnului dr. ing. GÁLFI Botond-Pál pentru aportul adus în cadrul pregătirii epruvetelor în vederea efectuării măsurătorilor prin metoda TER.

De asemenea aşi dori să mulţumesc domnului ing. LŐRINCZ András pentru ajutorul acordat în prelevarea şi pregătirea epruvetelor, respectiv domnului drd. fiz. JAKAB-FARKAS László pentru ajutorul acordat în partea experimentală.

Doresc să mulţumesc şi conducerii Şcolii Doctorale Interdisciplinare pentru modul în care au condus acest proiect.

Doresc să mai mulţumesc pe această cale şi colegilor care m-au ajutat într-un fel sau altul pe perioada de timp afectată elaborării lucrării.

Nu în ultimul rând, doresc să mulţumesc în mod deosebit familiei mele pentru răbdarea, înţelegerea şi sprijinul moral acordat pe durata activităţii doctorale.

JAKAB Katalin


12

CAPITOLUL 1

SINTEZĂ PRIVIND ECUAȚIILE GENERALE ALE ELASTICITĂȚII CORPURILOR ORTOTROPE

1.4. Rotirea axelor în starea plană 1.4.1. Transformarea tensiunilor În figura 1.2 sunt reprezentate două sisteme de coordonate ( xy şi 12 ), în care 12

este rotit faţă xy cu unghiul θ , măsurat în direcţia trigonometrică. Considerând elementele marcate în stare de echilibru, se pot determina tensiunile din planul 12 în raport de cele definite în sistemul xy .

Ecuaţiile de echilibru după coordonatele 1 şi 2 , pentru elementul marcat în figura 1.2,a sunt:

1 1 20 : d d cos d sin d cos d sin 0x y xy yxF s y x x yσ σ θ σ θ τ θ τ θ= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =∑ , (1.21,a)

2 21 20 : d d sin d cos d sin d cos 0x y xy yxF s y x x yτ σ θ σ θ τ θ τ θ= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =∑ , (1.21,b)

iar pentru elementul în figura 1.2,b sunt:

1 21 10 : d d cos d sin d cos d sin 0x y xy yxF s y x x yτ σ θ σ θ τ θ τ θ= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =∑ , (1.21,c)

2 2 10 : d d sin d cos d sin d cos 0x y xy yxF s y x x yσ σ θ σ θ τ θ τ θ= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =∑ . (1.21,d)

În figura 1.2,a avem 2d d sinx s θ= ⋅ şi 2d d cosy s θ= ⋅ care se înlocuiesc în

ecuaţiile (1.21,a) şi (1.21,b). Tot aşa, în figura 1.2,b 1d d cosx s θ= ⋅ şi 1d d siny s θ= ⋅ care se înlocuiesc în ecuaţiile (1.21,c) şi (1.21,d). După simplificare din formula (1.21,a) se obţine:

2 21 cos sin 2 sin cosx y xyσ σ θ σ θ τ θ θ= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ , (1.22,a)

din formula (1.21,d):

2 22 sin cos 2 sin cosx y xyσ σ θ σ θ τ θ θ= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ , (1.22,b)

iar din formulele (1.21,b) şi (1.21,c):

2 212 21 ( ) sin cos (sin cos )y x xyτ τ σ σ θ θ τ θ θ= = − ⋅ ⋅ − ⋅ − . (1.22,c)

Aceste formule se pot scrie şi sub forma matriceală:

2 21

2 22

2 212

cos sin 2 sin cos

sin cos 2 sin cos

sin cos sin cos cos sin

x

y

xy

σ θ θ θ θ σ

σ θ θ θ θ σ

τ θ θ θ θ θ θ τ

⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

, (1.23,a)


13

sau

1,2 , [ ] x y= ⋅Tσ σσ σσ σσ σ . (1.23,b)

Fig. 1.2. Modificarea tensiunilor în cazul rotirii sistemului de coordonate Transformarea în direcţia inversă se obţine prin inversarea matricei, însă obţinem

acelaşi rezultat şi dacă în formulele de mai sus înlocuim θ cu θ− (rotire în sens invers):

1, 1,2 [ ] x y

−= ⋅Tσ σσ σσ σσ σ , (1.24,b)

2 21

2 22

2 212

cos sin 2 sin cos

sin cos 2 sin cos

sin cos sin cos cos sin

x

y

xy

σ θ θ θ θ σ

σ θ θ θ θ σ

τ θ θ θ θ θ θ τ

− ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −

. (1.24,a)

a.

b. dy

dx yxτ

xσ

yσ

2σ

12τ

xyτ

1ds

y

x

1

2

θ

dy

dx

yxτ

xσ

yσ

1σ 21τ

xyτ

2ds

y

x

1

2

θ


14

1.4.2. Transformarea deformaţiilor specifice Se consider două sisteme de coordonate, a căror origine coincide cu poziţia unui

punct dinaintea deformării. Coordonatele punctului după deformare sunt proiecţiile u şi v a vectorului de deplasare d în cele două sisteme de coordonate. Astfel se poate scrie

' cos sinu u vθ θ= ⋅ + ⋅ , (1.25,a)

' cos sinv v uθ θ= ⋅ − ⋅ , (1.25,b)

la fel

' cos sinx x yθ θ= ⋅ + ⋅ , (1.26,a)

' cos siny y xθ θ= ⋅ − ⋅ . (1.26,b)

Din ultimele două relaţii (dacă înlocuim θ− ), ecuaţiile transformării inverse:

' cos ' sinx x yθ θ= ⋅ − ⋅ , (1.27,a)

' cos ' siny y xθ θ= ⋅ + ⋅ . (1.27,b)

Cu ecuaţiile transformării inverse sunt date de derivatele parţiale, din care este formată matricea Jacobiană

cos , sin ,' '

cos , sin .' '

x x

x y

y y

x y

θ θ

θ θ

∂ ∂= = −

∂ ∂

∂ ∂= =

∂ ∂

(1.28)

Aplicând regula lanţului de derivare deplasărilor transformate (1.25), cu derivatele coordonatelor (1.28), se obţine:

1

2 2

2 2

' ' '

' ' '

cos sin cos cos sin sin

cos sin sin cos

cos sin sin cos ,x y xy

u u x u y

x x x y x

u v u v

x x y y

u v u v

x y y x

ε

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

ε θ ε θ γ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

(1.29,a)


15

2

2 2

2 2

' ' '

' ' '

cos sin ( sin ) cos sin cos

sin cos sin cos

sin cos sin cos ,x y xy

v v x v y

y x x y x

v u v u

x x y y

u v u v

x y y x

ε

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

ε θ ε θ γ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅

(1.29,b)

12

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

cos sin ( sin ) cos sin cos

cos sin cos cos sin sin

2

u v u x u y v x v y

y x x y y y x x y x

u v u v

x x y y

v u v u

x x y y

γ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂= − ⋅ 2 2

2 2

sin cos 2 sin cos (cos sin )

2 ( ) sin cos (cos sin ).x y xy

u v u v

x y y xθ θ θ θ θ θ

ε ε θ θ γ θ θ

∂ ∂ ∂⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − =

∂ ∂ ∂ ∂

= − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

(1.29,c)

În formă matricială putem scrie:

2 21

2 22

2 212

cos sin sin cos

sin cos sin cos

2 sin cos 2 sin cos cos sin

x

y

xy

ε θ θ θ θ ε

ε θ θ θ θ ε

γ θ θ θ θ θ θ γ

⋅

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

; (1.30,a)

sau:

1,2 , [ '] x y= ⋅Tε εε εε εε ε . (1.30,b)

Transformarea inversă este:

1, 1,2 [ '] x y

−= ⋅Tε εε εε εε ε , (1.31,b)

2 21

2 22

2 212

cos sin sin cos

sin cos sin cos

2 sin cos 2 sin cos cos sin

x

y

xy

ε θ θ θ θ ε

ε θ θ θ θ ε

γ θ θ θ θ θ θ γ

− ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

. (1.31,a)

1.4.3. Transformarea matricei de elasticitate Să fie ecuaţia de material , , , [ ] x y x y x y= ⋅σ εσ εσ εσ εE , definită de-a lungul axelor x şi

y . Dacă în sistemul de coordonate 12 transcriem tensiunile cu ajutorul relaţiei (1.24,b) şi


16

deformaţiile specifice cu relaţia (1.31,b), atunci ajungem la ecuaţia 1 1

1,2 , 1,2[ ] [ ] [ '] x y

− −⋅ = ⋅ ⋅σ εσ εσ εσ εT E T . Înmulţind din stânga cu matricea [ ]T , rezultă:

11,2 , 1,2 [ ] [ ] [ '] x y

−= ⋅ ⋅ ⋅σ εσ εσ εσ εT E T . (1.34)

În această ecuaţie produsul

11,2 ,[ ] [ ] [ ] [ ']x y

−= ⋅ ⋅E T E T (1.35)

este matricea de elasticitate în sistemul de coordonate 12 , iar relaţia (1.35) este relaţia de transformare a matricei de elasticitate.

De obicei avem nevoie de inversa ecuaţiei de mai sus, când axele 1 şi 2 reprezintă direcţiile ortotropiei, iar x şi y sunt axele de coordonate a unui sistem arbitrar.

Ajungem la această ecuaţie înmulţind relaţia (1.35) din stânga cu 1[ ]−T , iar din dreapta cu

[ ']T :

1, 1,2[ ] [ ] [ ] [ ']x y

−= ⋅ ⋅E T E T . (1.36)

Notăm cu

11 12

12 21 22

33

0

[ ] 0

0 0

E E

E E

E

=

E (1.37)

termenii matricei de elasticitate după direcţiile ortotropiei (în cazul stării plane de tensiuni, respectiv de deformaţie, acesta fiind matricea din ecuaţiile (1.18), respectiv (1.19,a). Într-un sistem de coordonate xy ales arbitrar, cu ajutorul ecuaţiilor (1.36), (1.24,a) şi (1.32), ajungem la următoarele expresii:

4 4 2 211 11 22 12 21 33

4 4 2 212 12 21 11 22 33

3 313 11 12 33 21 22 33

4 421 12 21 11 22 33

cos sin ( 4 ) sin cos ,

cos sin ( 4 ) sin cos ,

( 2 ) sin cos ( 2 ) sin cos ,

sin cos ( 4

E E E E E E

E E E E E E

E E E E E E E

E E E E E E

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

= ⋅ + ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ⋅ ⋅

= − − ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ 2 2

4 4 2 222 11 22 21 12 33

3 323 11 12 33 21 22 33

3 331 11 21 33 12 22 33

32 11 21 33

) sin cos ,

sin cos ( 4 ) sin cos ,



( 2

E E E E E E

E E E E E E E

E E E E E E E

E E E E

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅

= − − ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅

= − − ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅

= − − ⋅ 3 312 22 33

2 2 4 433 11 12 21 22 33 33

) sin cos ( 2 ) sin cos ,

( 2 ) sin cos (sin cos ).

E E E

E E E E E E E

θ θ θ θ

θ θ θ θ

⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅

= − − + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

(1.38)

Aceste mărimi se pot aranja într-o matricea simetrică

11 12 13

21 22 23

31 32 33

[ ]xy

E E E

E E E

E E E

=

E . (1.39)


17

Se poate observa că, dacă unghiul θ nu este un multiplu întreg al unui unghi drept, această matricea de elasticitate nu are elemente nule (deci este o matrice plină). La fel şi matricea inversă 1

,[ ]x y

−E va fi o matrice simetrică fără componente nule:

11 12 131 1 1 1

12 12 21 22 23

31 32 33

[ ] [ ] [ '] [ ] [ ] [ '] [ ] [ ]xy xy

D D D

D D D

D D D

− − − −

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

D E T E T T D T , (1.40)

unde

11 12

12 21 22

33

0

[ ] 0

0 0

D D

D D

D

=

D (1.41)

este inversa matricei din relaţia (1.37). După efectuarea calculelor elementele matricei ecuaţiei (1.40) se obţin ca:

4 4 2 211 11 22 12 21 33

4 4 2 212 12 21 11 22 33

3 313 11 12 33 21 22 33

4 421 12 21 11 22 33

cos sin ( ) sin cos ,

cos sin ( ) sin cos ,

(2 2 ) sin cos (2 2 ) sin cos ,

sin cos ( )

D D D D D D

D D D D D D

D D D D D D D

D D D D D D

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

= ⋅ + ⋅ + + + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ 2 2

4 4 2 222 11 22 21 12 33

3 323 11 12 33 21 22 33

3 331 11 21 33 12 22 33

32 11

sin cos ,

sin cos ( ) sin cos ,

(2 2 ) sin cos (2 2 ) sin cos ,

(2 2 ) sin cos (2 2 ) sin cos ,

(2 2

D D D D D D

D D D D D D D

D D D D D D D

D D D

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

⋅

= ⋅ + ⋅ + + + ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ 3 321 33 12 22 33

2 2 4 433 11 12 21 22 33 33

) sin cos (2 2 ) sin cos ,

(4 4 4 4 2 ) sin cos (sin cos ).

D D D D

D D D D D D D

θ θ θ θ

θ θ θ θ

− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

(1.42)


18

CAPITOLUL 2

ANALIZA CRITICĂ A STADIULUI ACTUAL PRIVIND DETERMINAREA PRIN METODE NEDISTRUCTIVE A

CARACTERISTICILOR MECANICE LA MATERIALELE ORTOTROPE

2.1. Generalităţi privind elasticitatea materialelor ortotrope, cu privire la

lemnul masiv

Corpurile liniar elastice şi omogene pot fi izotrope sau anizotrope. Materialul se comportă elastic dacă legătura dintre tensorul de tensiune şi de deformaţie este dată de legea lui Hooke generalizată. La corpurile omogene şi izotrope proprietăţile fizico-mecanice sunt acelaşi în toate punctele şi pentru toate direcţiile, iar în legea lui Hooke generalizată intervin doar două constante elastice independente ( E şi ν ).

La corpurile omogene şi anizotrope proprietăţile fizico-mecanice sunt acelaşi în toate punctele situate pe o direcţie. Dacă prin fiecare punct al corpului trec trei plane ortogonale de simetrie elastică, corpul este considerat ortogonal anizotrop, iar planele respective sunt plane de ortotropie.

Comportarea elastică a unui material ortotrop, care prezintă două, respectiv trei plane de simetrie este descrisă în lucrarea [1].

2.2. Factorii care influenţează elasticitatea lemnului Cele 9 constante sau indici de elasticitate independente ai lemnului masiv, din

relaţia (2.5), se pot determina pe cale experimentală. Cercetările experimentale au demonstrat faptul că, aceşti indici de elasticitate depind de: tipul speciei lemnoase, modul de solicitare, unghiul de înclinare al fibrelor şi inelelor anuale faţă de direcţia sarcinilor aplicate, densitatea, umiditatea, temperatura şi nu în ultimul rând, de defectele lemnului.

Astfel spre exemplu, în lungul trunchiului unui arbore variaţia modului de elasticitate E este mai pronunţată spre vârful acesteia [35].

Influenţa naturii speciei lemnoase asupra valorilor indicelor de elasticitate sunt prezentate în lucrarea [24].

Dată fiind structura anizotropă a lemnului, în fiecare direcţie indicii proprietăţilor elastice se schimbă. Se poate observa, că datorită înclinării fibrelor odată cu creşterea înălţimii secţiunii, scade modulul de elasticitate.

Creşterea densităţii lemnului duce la creşterea valorii modulelor de elasticitate; cu o influenţă mai pronunţată asupra modulelor de elasticitate longitudinală şi mai mică asupra celor transversale şi de torsiune. Mărimea deformaţiilor şi valorile modulelor de elasticitate sunt puternic influenţate de mărimea inelelor anuale şi de creşterea cantităţii de lemn târziu din cuprinsul unui inel anual, care are drept efect creşterea rigidităţii lemnului, deci şi creşterea modulelor de elasticitate.


19

Influenţa umidităţii exercită o influenţă puternică asupra variaţiei modulelor de elasticitate şi coeficienţilor de contracţie transversale. Se observă, că la o umiditate peste punctul de saturaţie al fibrei, variaţia indicilor proprietăţilor elastice ai lemnului este neînsemnată. În practica încercărilor, elasticităţii lemnului se exprimă la 15%U = .

Cercetările efectuate de P.H. Sulzberg şi F. Kollman au stabilit faptul că, creşterea

temperaturii conduce la scăderea modulelor de elasticitate. Acest lucru se explică prin faptul că, o temperatură ridicată duce la scăderea viscozităţii apei din lemn, ceea ce determină creşterea elasticităţii lemnului. La temperaturi superioare de 0100 C , în lemn se produc modificări ireversibile, materialul căpătând proprietăţi elastice diferite de cele de la temperaturi mai mici.

Defectele lemnului influenţează iarăşi atât valoarea modulului de elasticitate, cât şi rezistenţa lemnului.

Neomogenitatea constantelor elastice şi interdependenţa. Se consideră două cuburi, unul din material izotrop, iar al doilea din material anizotrop, supuse fie unei solicitări de compresiune în mod egal pe feţele lor, fie la o forţă de forfecare pe câte din două din feţele lor.

2.3. Cercetări teoretice privind caracteristicile mecanice ale materialelor

lemnoase Utilizarea pe scară din ce în ce mai largă a unor materiale cunoscând diferite tipuri

de anizotropie, naturală sau artificială, a făcut ca problemele legate de mecanica materialelor anizotrope să se găsească în atenţia cercetătorilor, reprezentând un domeniu de investigare.

Primele calcule privitor la barele anizotrope şi omogene au fost efectuate de către Claude Barré de Saint Venant, care a studiat torsiunea şi întinderea barelor ortotrope şi a barelor cu un plan de simetrie elastică. Alte rezultate importante au fost obţinute de Woldemar Voigt (1850-1919). Studiul barelor omogene a căpătat o largă dezvoltare prin lucrările lui Lehniţki [73].

În lucrările [24], [108] sunt elaborate pe cele mai recente cunoştinţe teoretice şi experimentale din ultimele decenii. Autorii prezintă proprietăţile mecanice ale lemnului şi a materialelor pe bază de lemn, respectiv proprietăţile elastice, plastice şi de rezistentă care depind de un număr mare de factori datorită atât caracteristicilor sale structural şi fizice, cât şi mărimii direcţiei, naturii şi vitezei de variaţie a forţelor care îl solicită.

În lucrarea [35], după prezentarea noţiunilor fundamentale ale calculului de rezistenţă, rigiditate şi stabilitate sunt tratate aspecte legate de anizotropia proprietăţilor elastice şi de rezistenţă ale lemnului şi materialelor pe bază de lemn, precum şi a calculului pieselor din lemn şi îmbinărilor acestora. O atenţie deosebită se acordă studiului rezistenţelor şi rigidităţii pieselor realizate din materiale anizotrope având structura stratificată. Totodată, pentru a facilita efectuarea calculelor numerice, sunt prezentate numeroase tabele şi grafice ce redau caracteristicele elastice şi de rezistenţă ale pieselor din lemn şi materialelor pe bază de lemn supuse la solicitări simple şi compuse.

După abordarea calculelor se prezintă câteva elemente introductive cu privire la metoda elementelor finite. Concretizarea aspectelor teoretice este făcută printr-un număr mare de exemple numerice. Unele din aplicaţiile concrete ale calculelor numerice de rezistenţă şi rigiditate sunt transpuse în scheme logice şi programe de calculator.


20

Se argumentează faptul, că anizotropia lemnului este determinată de formaţia sa celulară, de structura macro-, micro- şi submicroscopică, de compoziţia chimică a pereţilor celulari. Relaţiile între tensiuni şi deformaţii sunt date atât în cazul solicitărilor după direcţiile principale elastice, cât şi cazul în care sunt rotite faţă de aceste direcţii. În lucrarea [108], aceste relaţii sunt scrise sub formă tensorială. Studiul variaţiei constantelor elastice cu rotirea sistemului de coordonate oferă de asemenea un bogat material celor interesaţi.

Tot în aceste lucrări [98], [35], [108] sunt explicate transformarea constantelor elastice când se rotesc axele sistemului de referinţă. Astfel, matricea constantelor elastice în legea generalizată a lui Hooke va fi o matricea 9 9× simetrică faţă de diagonală. Deci, pentru caracterizarea proprietăţilor elastice unui corp anizotrop sunt necesare 81 de constante elastice. Numărul acestor constante elastice, conform legii dualităţii tensiunilor tangenţiale ik kiτ τ= , se reduce la 36, iar dacă considerăm valabilă şi reciprocitatea

deformaţiilor, ele se reduc la 21. În cazul lemnului masiv, dacă direcţiile solicitării nu coincid cu direcţiile principale, aceste constante se reduc la 15. În cazul în care direcţiile de solicitare coincid cu cele principale elastice, se poate scrie legea lui Hooke în forma (2.5), în care apar 12 constante elastice ale materialului, între care există corelaţiile:

iklm kilm ikml kimlc c c c= = = (2.11.)

rămânând, prin urmare, numai 9 constante elastice independente. Indiciile elastici ai corpurilor anizotrope-ortotrope utilizate în practica inginerească şi cea teoretică le găsim în lucrările de specialitate din domeniu [35], [108].

Cunoscând aceste valori, determinate pe cale experimentală, se pot calcula valorile constantelor de elasticitate pentru direcţii care sunt rotite cu un anumit unghi. Astfel de formule foarte utile se găsesc în lucrările [35] şi [108].

În lucrările [39], [24], [35] sunt ilustrate grafic curbele sarcină-deformare la întindere şi compresiune paralelă cu fibrele (Fig. 2.5). În urma solicitării de tracţiune sau de compresiune, concomitent cu deformările produse în direcţia longitudinală, în secţiunea transversală se produc fenomene de contracţie sau umflare transversală.

Datorită raportului dintre lungirea specifică longitudinală şi cea transversală - constantei lui Poisson -, în majoritatea cazurilor curbele caracteristice care se obţin sunt curbe convenţionale Cc, care iniţial coincid cu curbele reale Cr, dar se depărtează între ele, spre limita de rupere [39].

Totodată, din diagramele caracteristice [23], [35] rezultă că deformaţia totală ε , după depăşirea limitei de elasticitate eσ , este alcătuită dintr-o parte elastică, reversibilă eε

şi dintr-o parte neelastică, ireversibilă, denumită deformaţia plastică pε .

Tot în aceste lucrări, analizând curbele ( )fσ ε= ale lemnului, sunt evidenţiate

cele trei faze ale deformaţiei: faza I., când în domeniul linear elastic este valabil legea lui Hooke, iar ( )0...6%ε ∈ ; faza a II-a curgerii plastice, cu tensiuni având valori relativ mici,

şi ( )6...40%ε ∈ ; faza a III-a, când deformaţia lemnului se poate realiza prin aplicarea unor

tensiuni mari. Histereza elastică, respectiv pierderea de energie la un ciclu de aplicare-

îndepărtare a sarcinii, caracteristic pentru corpurile elastoplastice este detaliată în lucrarea [100]. S-a constatat faptul că, după evoluţia consumului de energie, la aplicarea unei


21

sarcini de compresiune axială, corpurile solide se împart în două grupe. În prima grupă aparţin corpurile la care pierderea de energie, după un ciclu repetat de solicitare, este mai mare, ceea ce înseamnă că materialul devine plastic. În a doua grupă sunt corpuri la care pierderea de energie devine mai mică şi care potrivit acestui fenomen devin mai elastice.

Date importante despre rezistenţa la diferite tipuri de solicitări sunt prezentate în lucrările [23], [35], [39], [108], [100]. După direcţia sarcinilor faţă de direcţia fibrelor şi inelelor anuale ale lemnului se evidenţiază solicitări paralele cu fibre, când direcţia forţelor este paralelă cu acestea, şi solicitări perpendiculare pe fibre, când direcţia forţelor este perpendiculară pe fibre.

În cazul compresiunii paralele, materialul se opune prin stabilitatea elementelor sale anatomice, şi apare fenomenul de flambaj individual al fibrelor. Ruperea este precedată de o dislocare a elementelor anatomice. Ruperea materialului de regulă se produce în plane înclinate (400 - 600) pe feţele tangenţiale şi aproximativ perpendiculare pe feţele radiale conform lucrării [39].

În cazul compresiunii perpendiculare, prima oară apar deformări plastice, numai după aceea putem vorbi de strivire parţială sau totală a celulelor, când intervin şi ruperi în pereţii celulelor.

Un rol deosebit revine structurii lemnului târziu şi timpuriu şi proporţiei, cu modulele de elasticitate la încovoiere diferite. După unele experienţe [71], cu cât raportul între modulul de elasticitate al lemnului târziu şi timpuriu este mai mare, cu atât va fi mai mare tensiunea din lemnul târziu decât în lemnul timpuriu. În caz contrar, când acest raport este mic, în lemnul târziu intervin tensiuni critice [39].

Astfel, rezistenţa la compresiune este influenţat şi de mărimea inelelor anuale, care la rândul lor influenţează mărimea densităţii lemnului. Creşterea proporţiei de lemn târziu, rezultă o creştere a rezistenţei la compresiune paralelă cu fibrele.

Un mod analitic original de abordare a stabilirii caracteristicilor mecanice aferente celor două calităţi de lemn (târziu şi timpuriu) le găsim în lucrările [45], [48], [43], [44]. Autorul lucrărilor a considerat cele două calităţi de lemn a fi conectate în serie, respectiv în paralel, în funcţie de modul de prelevare al probei din lemnul masiv. Tot în aceste lucrări este elaborată modul analitic de stabilire a unor valori globale (module de elasticitate, coeficienţi de contracţie transversală), ce pot descrie comportamentul respectivului element, prin cunoaşterea prealabilă a raportului ariilor celor două calităţi de lemn.

2.4. Metode experimentale utilizate în determinarea caracteristicilor

mecanice ale materialelor lemnoase Pentru prelevarea probelor de obicei se utilizează două mari categorii de metode: • prelevarea unor probe mici, fără defecte (small, clear defect-free specimens

testing method), din analiza cărora se pot stabili caracteristicile ideale ale materialului, urmând corelarea datelor cu rata frecvenţei de apariţie a defectelor;

• prelevarea unor probe având dimensiuni relativ mari, incluzând şi defecte (full-

scale testing method), din analiza cărora vor rezulta date privind comportamentul materialului în condiţii reale de funcţionare.

Aceasta din urmă a căpătat o largă utilizare, mai ales după introducerea unor metode nedistructive de mare acurateţe. Printre altele, standardele elaborate cu ajutorul şi sub directa coordonare a ASTM (American Society for Testing and Materials) din S.U.A.,


22

specialiştii posedă la ora actuală indicaţii precise privind atât prelevarea probelor, modul lor de testare, precum şi metodica prelucrării statistice a datelor obţinute, detalii în lucrarea [10].

Modul de prelevare al probelor, pentru determinarea modului de elasticitate şi coeficientul lui Poisson la o bară prismatică, de secţiune dreptunghiulară, este ilustrată în lucrarea [108]. De menţionat, că respectarea exactă a unghiurilor corespunzătoare orientării propuse este foarte esenţial din punctul de vedere a fiabilităţii rezultatelor obţinute.

Metodele experimentale utilizate în practica inginerească se pot grupa în metode experimentale nedistructive, semi-destructive şi destructive. După cum spune şi denumirea acestora, unele metode nu conduc la deteriorarea epruvetelor, altele produc doar o distrugere parţială, pe când cele distructive deteriorează epruvetele utilizate. Soluţia clasică de utilizare a metodelor distructive oferă o serie de date, care de obicei reprezintă valori medii pe materialul epruvetei încercate.

În utilizarea diferitelor metode experimentale, mai ales ale celor nedistructive, pentru determinarea caracteristicilor mecanice la lemn şi la materialele pe bază de lemn, există o bogată literatură de specialitate.

Printre acestea putem aminti metode clasice, cum ar fi Tensometria Electrică Rezistivă şi Fotoelasticimetria Plană şi metode moderne, cum ar fi Interferometria Holografică, Franjele Moiré, Emisia Acustică, Emisia Ultrasonică, Termografia, Metoda Radiografiei, etc. O clasificare a metodelor nedistructive este prezentată în lucrarea [24].


23

CAPITOLUL 3

OBIECTIVELE PRINCIPALE ALE TEZEI DE DOCTORAT

Ţinând cont de analiza critică a stadiului actual privind determinarea prin metode

nedistructive a caracteristicilor mecanice la materialele ortotrope, s-au conturat obiectivele principale ale tezei de doctorat, după cum urmează:

1. Realizarea unui studiu complex asupra ecuaţiilor în care intervin caracteristicile ale materialului ortorop:

- sinteza ecuaţiilor fundamentale ale elasticităţii liniare; - analiza problemei plane a teoriei elasticităţii; - analiza transformării tensiunilor, deformaţiilor specifice, respectiv matricei de

elasticitate în cazul rotirii axelor de coordonate. 2. Efectuarea unui studiu complex asupra metodelor nedistructive de investigare a

stării de deformaţie a materialelor ortotrope, în special cu privire la lemnul masiv: - investigarea proprietăţilor elastice a lemnului, ca material anizotrop-ortotrop; - determinarea factorilor care influenţează indicii de elasticitate ai lemnului; - cercetări teoretice şi experimentale privind posibilităţile determinării

caracteristicilor mecanice la materialele ortotrope. 3. Realizarea cercetărilor şi a măsurărilor experimentale prin două metode

nedistructive: metoda Tensometriei Electrice Rezistive (TER) şi metoda Corelării Digitale a Imaginilor (DIC):

- crearea unui stand de încercare şi alegerea tipului epruvetei; - sinteza metodei TER şi determinarea strategiei de măsurare; - studiul aspectelor de bază ale metodei DIC, şi crearea unui program de

prelucrare a imaginilor pentru analiza câmpului de deformare; - analiza efectului rotirii direcţiei de aplicare a forţei faţă de direcţia fibrelor

asupra mărimii caracteristicelor mecanice; - compararea rezultatelor obţinute experimental cu cele calculate pe cale

teoretică, stabilirea unori factori de corecţie care conduc la descrierea neliniarităţilor (dacă există).

4. Modelarea materialelor ortorope prin metoda diferenţelor finite: - analiza formulărilor metodei diferenţelor finite aplicate la probleme de

elasticitate plană; - alegerea formulării ce se poate aplica în cazul materialelor ortotrope, având în

vedere şi posibilitatea apariţiei unor neliniarităţi în ecuaţia constitutivă a materialului;

- stabilirea condiţiilor de contur mixte, sub forma încărcărilor şi a deplasărilor prescrise;

- stabilirea sistemului de ecuaţii liniare sau liniarizate, cu satisfacerea condiţiilor de contur;

- adaptarea unei metode de rezolvare numerică (iterativă în cazul apariţiei neliniarităţilor).


24

5. Crearea unui program de calcul care să permite efectuarea unor analize numerice cu metoda diferenţelor finite conform celor enumerate de la pct. 4.

6. Simularea efectului rotirii direcţiei de aplicare a forţei faţă de direcţia fibrelor, asupra mărimii caracteristicelor mecanice, prin intermediul modelului numeric propus.

7. Validarea modelului numeric propus prin compararea rezultatelor obţinute pe cale experimentală.

8. Enunţarea concluziilor finale, valorificarea rezultatelor teoretice şi experimentale, precizarea direcţiilor de cercetare viitoare.


25

CAPITOLUL 4

CERCETĂRI EXPERIMENTALE PRIVIND DETERMINAREA CARACTERISTICILOR MECANICE PRIN METODE

NEDISTRUCTIVE 4.3. Dispozitivul conceput şi tipul de epruvetă Pentru efectuarea cercetărilor experimentale s-a conceput instalaţia experimentală

din figura 4.7, care se compune din următoarele echipamente: - standul de încercare 1, care permite măsurarea forţelor aplicate pe epruvetă; - sursă de lumină 2; - aparat Foto Digital Fuji FinePix 3, având 14 megapixeli şi 6,7x zoom optic, care

captează imaginea epruvetei solicitată la fiecare forţă de compresiune aplicată. - un calculator 4, care prin intermediul unei punţi tensometrice tip ESAM

Traveller 5 asigură achiziţia datelor măsurătorilor transmise de mărcile tensometrice rezistive;

Fig. 4.7. Instalaţia experimentală

Avantajul acestei instalaţie experimentală constă în efectuarea unor analize

simultane pe acelaşi specimen. Pentru determinarea cât mai precisă a caracteristicilor mecanice la solicitare de

compresiune, principiul alegerii formei şi dimensiunii epruvetelor a fost ca pe acelaşi eşantion să se poate efectua multiple măsurători. Astfel, la analiza epruvetelor, în care


26

direcţia fibrelor închid pe rând cu direcţia axei de coordonate unghiuri între 0 00 90− , prin rotirea cu câte 015 rezultatele măsurătorilor nu sunt influenţate de diferitele poziţii de prelevare a epruvetei din buştean şi prin urmare de diferite grade de umiditate, densitate, proporţii de lemn târziu/lemn timpuriu, etc.

Fig. 4.8. Forma şi dimensiunea epruvetei

Ţinând cont de acest principiu, la pregătirea probelor s-au confecţionat epruvete identice din diferite specii lemnoase: stejar, brad, cireş, fag, plop, paltin şi tei. Seturi de mostre, au fost tăiate paralel cu fibrele lemnului si debitate în epruvete având forma unui disc cu diametrul de 80 mm şi grosimea de 10 mm. Din acelaşi material lemnos a fost prelevat un număr suficient de epruvete (cu aceeaşi formă şi dimensiuni) pentru a efectua prelucrări statistice ulterioare ale datelor măsurătorilor.

4.4. Descrierea standului original

Pentru determinarea cât mai exactă pe cale experimentală a caracteristicilor mecanice ale materialelor ortotrope pe bază de lemn a fost conceput şi realizat standul de încercare din figura 4.9, destinat în mod exclusiv monitorizării deformaţiilor epruvetelor solicitate la compresiune.

Instalaţia experimentală se compune din placa de bază 1, pe care sunt montate coloanele dispozitivului de încercare. Pe coloanele de oţel 2 printr-un montaj vertical sunt prinse două şine de ghidare cu bile, pe care rulează două cărucioare de ghidare 5. Pe aceste cărucioare este montată o placă, care se deplasează paralel cu coloanele aparatului.

Pentru determinarea cu precizie a forţelor de compresiune, pe această placă este fixat un dinamometru 3 de 500N . Prin intermediul arborelui filetat 4 sunt exercitate forţele de compresiune F asupra piesei analizate.

Epruveta de lemn 6 este aşezată între două bacuri 7, care urmăresc forma sferică a epruvetei. Aceste bacuri la rândul lor sunt fixate între două şine 8, care împiedică mişcarea lor pe orizontală (Fig. 4.10).

Dinamometrul este în contact cu bacul de prindere superior printr-un senzor de mare acurateţe 5, prin care sunt măsurate forţele de compresiune, care la rândul lor sunt vizualizate pe ecranul dinamometrului.


27

Fig. 4.10. Modul de prindere a epruvetei

Fig. 4.9. Standul de investigare

4.5. Aspectele teoretice de bază ale metodei Corelării Digitale a Imaginilor În general, metoda de corelarea digitală a imaginilor implică două variante: una,

de obicei, se referă la imaginea sursă şi se notează cu RRSd

S ⊂Ω: , iar cealaltă se

referă la imaginea ţintă şi se notează cu : , 2,3d

TT R R dΩ ⊂ = . În timpul

transformării imaginea ţintă trece printr-o transformare d

S RF Ω: .

Scopul înregistrării este de a estima transformarea optimă. Acest lucru este adesea realizat prin intermediul unei probleme de minimizare a energiei:

))(())(,(minarg θθθ

FRFSTM + . (4.10)

Ecuaţia (1) cuprinde doi termeni. Primul termen M cuantifică nivelul de reglare între imaginea ţintă T şi imaginea sursă S sub influenţa transformării F parametrizat de θ . Notaţia FS va fi utilizat alternativ cu uS pentru a indica faptul că mişcând imaginea aceasta se deformează. Al doilea termen R regularizează transformarea şi


28

evaluarea greşită a problemei. În general, în fiecare poziţie Ω∈x ( Ω reprezintă domeniul imaginii) transformarea este dată ca )()( xuxxF += unde u este câmpul de deformare. Câmpul de viteză este notat cu v .

Prelucrarea imaginii este o metodă care a fost studiată şi dezvoltată în detaliu în ultimele decenii. Această metodă include trei componente principale:

1. un model de deformare, 2. o funcţie obiectivă, şi 3. o strategie de optimizare. Referitor la aceste trei aspecte principale au fost propuse multe idei inovatoare. 4.5.1. Modele de deformare Alegerea unui model de deformare adecvat este foarte important pentru procesul

de înregistrare, deoarece implică un compromis între prezentarea imaginilor şi eficienţa de calcul. Modelul de deformare, de asemenea, reflectă natura transformării, care este acceptabilă şi prin urmare limitează soluţia în mare măsură. Parametrii care înregistrează estimarea prin strategia de optimizare, corespund gradului de libertate a modelului de deformare. Numărul acestora variază foarte mult, de la zece în cazul transformărilor globale liniare, la milioane atunci când transformările sunt considerate neparametrice.

În clasificarea modelelor de deformare, o categorie principală în transformarea formelor geometrice reprezintă modelele inspirate fie din teoria interpolării, fie din teoria aproximării. În teoria interpolării, deplasările considerate cunoscute într-o locaţie delimitată în imagine, se determină prin interpolare pentru întreaga imagine. În teoria aproximării se presupune că în estimarea deplasării există o eroare. Astfel, transformarea aproximează deplasările cunoscute mai uşor decât dacă s-ar lua în calcul valorile exacte ale acestora. Succesul acestor modele constă în faptul că acestea sunt suficient de elaborate pentru a descrie transformările care sunt prezente în problemele de înregistrare a imaginii cu grade de libertate scăzute, facilitând astfel deducerea parametrilor. Printre cele mai importante strategii de interpolare se pot menţiona deformaţiile „free-form”.


29

CAPITOLUL 5

REZULTATELE EXPERMENTALE PROPRII 5.1. Strategia de măsurare la Tensometria Electrică Rezistivă Cercetările experimentale în cadrul măsurărilor nedistructive s-au axat pe metoda

Tensometriei Electrice Rezistive.

Fig. 5.1. Epruveta cu rozetă

dreptunghiulară

În centrul epruvetelor au fost lipite traductoarele electrice rezistive sub formă de rozetă dreptunghiulară (Fig. 5.1), cu cablu de conectare la puntea Wheatstone de tip ESAM Traveller (aparat de măsură care are scopul de echilibrare a punţii). Achiziţia datelor s-a realizat cu ajutorul unui calculator.

În realizarea măsurătorilor s-a utilizat montajul în semipunte, dat fiind faptul că acest montaj asigură o stabilitate mai bună şi oferă un semnal de 1,3...2,0N = ori mai mare decât montajul în sfert de punte, asigurând şi o compensare termică a sistemului.

Dat fiind măsurarea a trei deformaţii independente din cele trei traductoare este

posibil să se calculeze deformaţiile principale şi orientarea lor în raport cu traductoarele rozetei. De asemenea, este posibilă calcularea stării de deformare faţă de orice sistem de axe xy folosind fie măsurătorile rozetei, fie deformaţiile principale şi orientarea lor. Pentru a ilustra acest lucru, se ia în considerare situaţia în care rozeta este orientată cu traductoarele ,A B şi C la unghiul de 045 (Fig. 5.2). Presupunem, de asemenea, că deformaţiile principale sunt orientate la un unghi ϕ între traductorul A şi abcisa. În cazul acesta, pentru a calcula deformaţiile în fiecare traductor, în termeni de deformaţiile principale şi unghiul ϕ , se pot utiliza ecuaţiile de transformare tensometrice (4.8) ( 1xε ε=

şi 2yε ε= şi calculăm xε ′ pentru unghiuri de rotire 0, 45ϕ ϕ + şi 090ϕ + ) pentru a obţine

ecuaţiile:

1 2 1 2 cos 22 2A

ε ε ε εε ϕ

+ −= + , (5.1,a)

( )01 2 1 2 cos 2 452 2B

ε ε ε εε ϕ

+ −= + + , (5.1,b)

( )01 2 1 2 cos 2 902 2C

ε ε ε εε ϕ

+ −= + + . (5.1,c)

Ecuaţiile (5.2) pot fi folosite pentru a calcula deformaţiile principale şi orientarea axelor principale din măsurătorile rozetei dreptunghiulare.


30

Fig. 5.2. Orientările traductoarelor din

rozeta dreptunghiulară.

Acestea sunt trei ecuaţii simultane raportând , ,A B Cε ε ε la 1 2, ,ε ε ϕ . Este un lucru relativ simplu să inversăm ecuaţiile şi să aflăm

1 2, ,ε ε ϕ în funcţie de , ,A B Cε ε ε :

( ) ( )2 2

1,2

1

2 2A C

A B B C

ε εε ε ε ε ε

+= ± − + − ,

(5.2,a,b)

21

2A B C

A C

arctgε ε ε

ϕε ε

− +=

−. (5.2,c)

5.2. Rezultate obţinute prin Tensometrie Electrică Rezistivă Epruvetele au fost supuse la o forţă de compresiune, care apoi a fost treptat mărită

cu câte 50N până la valoarea maximă de 500N . La prima încercare epruveta a fost supusă la compresiune perpendiculară pe direcţia fibrelor, după care discul a fost rotit pe rând cu câte 015 până la 090 , de fiecare dată efectuându-se compresiunea. Pentru fiecare încărcare au fost evaluate deformaţiile epruvetelor de lemn.

Aplicând metoda celor mai mici pătrate, a fost utilizată o aproximare liniară pentru curbele forţă-deformaţie. În modul acesta s-a calculat pentru fiecare traductor în parte deformaţia aferentă unghiurilor de rotire, prezentată în figurile 5.4,a.

Fig. 5.4,a. Deformaţiile aferente unghiurilor de rotire a epruvetelor

faţă de direcţia de aplicare a sarcinii (lemn de brad). După o serie de teste şi calcule efectuate pe diferite specii de lemn (stejar, brad,

cireş, fag, plop, paltin şi tei), a rezultat faptul, că prin rotirea epruvetelor de lemn, direcţiile deformaţiilor specifice şi prin urmare direcţiile principale ale tensiunilor deviază cu diferite unghiuri faţă de direcţiile ortotropiei, devierea cea mai mare fiind la epruveta rotită cu 450.


31

5.3. Strategia de măsurare la Corelarea Digitală a Imaginilor Obiectivul principal a cercetărilor experimentale, bazată pe metoda analizei

digitale a imaginilor, a fost crearea unui program de procesare a imaginilor pentru înregistrarea câmpului de deplasare a materialelor ortotrope, în cazul de faţă a lemnului masiv. Strategia de prelucrare a imaginii s-a bazat pe modelele deformaţiilor „free-form”.

Fig. 5.5. Epruveta utilizată la metoda DIC

Epruveta analizată, având forma unui disc prezentat în capitolul anterior, a fost vopsită în prealabil cu spray de culoare albă, peste care a fost aplicat spray de culoare neagră în vederea obţinerii unor pete cu dimensiuni, formă şi distribuţie aleatorie, care pe fundalul culorii iniţiale a corpului asigura un bun contrast şi o identificare ulterioară uşoară ale acestora (Fig. 5.5).

Pornind de la starea iniţială, nesolicitată, valoarea forţei de compresiune a fost

mărită cu câte 50N până la 500N . Când epruveta analizată a fost solicitată la diferite forţe de compresiune, o cameră foto capta câte o imagine cu starea iniţială, nesolicitată şi în timpul solicitării a corpului. După finalizarea ciclului de solicitare s-a efectuat prelucrarea imaginilor.

În cele ce urmează sunt prezentaţi etapele în care s-a realizat prelucrarea imaginilor pentru determinarea câmpului de deformare.

1. Crearea imaginilor Imaginile prelucrate s-a realizat prin fotografiere, cu un aparat Foto Digital Fuji

FinePix. Imaginile color astfel create au rezoluţia de 3648×2736 pixeli, numărul culorilor posibile fiind 242 . Imaginile de calitate redusă (cu zgomot, efecte blur, etc.) au fost create încă o dată, pentru a avea date de intrare de bună calitate. Distanţa dintre doi pixeli alăturaţi este aproximativ 0,05mm .

2. Conversie în alb-negru Prelucrarea acestor imagini nu necesită culori. Scopul prelucrării este localizarea

petelor întunecate asupra fundalului luminos şi identificarea deformaţiei obiectului prin testarea corelaţiei dintre imagini, corelaţia petelor corespunzătoare. S-a efectuat o operaţie de preprocesare a imaginilor care a constat din conversia imaginii RGB în imagini alb-negru având numai 256 nuanţe de gri: 0 fiind culoarea neagră, iar 255 cea albă. Această conversie se realizează prin formula:

)114.0587.0299.0( BGRroundgray ++= , (5.4)

unde ,R G şi B reprezintă intensitate componentei roşie, cea verde şi cea albastră a pixelului. Deci la sfârşitul acestei operaţii, fiecare pixel din fiecare imagine este caracterizată printr-o valoare scalară, un număr întreg între 0 şi 255. Astfel există numai

256L = nuanţe diferite. 3. Clusterizare fuzzy


32

Deoarece imaginile prelucrate nu s-au creat în acelaşi moment, pot apărea diferenţe între nuanţele de pe o imagine sau cealaltă. De aceea, s-a realizat o clasificare fuzzy a tuturor pixelilor de pe toate imaginile prelucrate.

Teoria mulţimilor fuzzy [137] ne acordă posibilitatea de a defini mulţimea fuzzy a pixelilor întunecate şi cea a pixelilor luminoase de pe imagini. Fiecare pixel va avea două funcţii de apartenenţă fuzzy, care arată cât de tare aparţine acel pixel în mulţimea întunecată sau luminoasă. În definiţia algoritmului de clasificare implementată, aceste funcţii de apartenenţă fuzzy reprezintă probabilitatea ca elementul respectiv aparţine clasei indicate de funcţie.

S-a implementat un algoritm fuzzy c-means accelerat [136], care clasifică cele 256 nuanţe de gri în loc de a clasifica sute de mii sau milioane de pixeli. Algoritmul fuzzy c-means (FCM) introdus de Bezdek [135], în forma accelerată foloseşte histograma imaginii. În cazul unei imagini f cu nuanţe gri, histograma ne arată de câte ori apare pe imagine fiecare nuanţă:

),(|),()( lyxfyxcardlhistH l === , (5.5)

pentru orice Ll <≤0 , unde )(Acard reprezintă numărul elementelor mulţimii A. Algoritmul FCM accelerat optimizează funcţia de cost:

∑∑

= =

−=c

i

L

l

imillFCM vluHJ

1 0

)(, (5.6)

unde c reprezintă numărul claselor în care se clasifică datele de intrare (în cazul nostru 2=c ), 1v şi 2v sunt valorile reprezentante ale celor două clase ( 1v va fi nuanţa ideală

pentru clasa întunecată, iar 2v pentru clasa luminoasă), valorile ilu ne va arăta cât de tare

aparţine nuanţa l clasei i, iar m este exponentul fuzzy, un parametru constant supraunitar. Valorile 1v şi 2v le iniţializăm cu 0, respectiv 255, şi procedăm la iteraţiile de

optimizare a funcţiei de cost, conform [135], aplicând repetitiv următoarele două formule până atingerea convergenţei:

∑=

−

−=

c

j

j

iil

vl

vlu

1

2

2

)(

)( şi

∑

∑−

=

−

==1

0

1

0L

l

mill

L

l

mill

i

uH

luH

v (5.7)

pentru orice 2,1=i şi Ll <≤0 . La finalul iteraţiilor obţinem cele două nuanţe ideale şi

funcţiile de apartenenţă (sau partiţia) fuzzy ilu . Acestea ne vor ajuta să definim o funcţie de apartenenţă a nuanţelor gri, pe care vom folosi în cadrul testelor de corelaţie.

Figura de mai jos ne arată câteva funcţii de apartenenţă obţinute. Algoritmul FCM ne oferă funcţii de apartenenţă de forma celor din partea stângă a imaginii. Acestea nu sunt ideale pentru operaţiile ulterioare. De aceea le modificăm astfel încât pentru valori 1l v< ,

nuanţa l să aparţină clasei întunecate de tot, iar pentru valori 2l v> , nuanţa l să aparţină

clasei luminoase pe deplin (vezi partea dreaptă a imaginii).


33

0 50 100 150 200 2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nuanta gri

functia d

e a

part

enenta

Partitia FCM

0 50 100 150 200 2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nuanta gri

functia d

e a

part

enenta

Partitia modificata

Fig. 5.6. Funcţii de apartenenţă obţinute,

având nuanţele ideale la 25.431 =v şi 75.1692 =v 4. Testul de corelaţie Pentru efectuarea testelor de corelaţie trebuie să alegem una dintre cele două

funcţii de apartenenţă modificate, de exemplu să alegem cea roşie care indică apartenenţa fată de clasa luminoasă.

În cazul testelor de corelaţie, problema se formulează astfel: date fiind două imagini, f1 şi f2, care conţin acelaşi obiect, unul dintre imagini fiind puţin deformat faţă de celălalt, şi date fiind o mulţime de puncte 1|),( NiyxA iii …= pe imaginea f1, să se

găsească punctele 1|)','( NiyxB iii …= pe imaginea f2, astfel încât vecinătatea punctelor Ai să coreleze cu vecinătatea punctelor Bi cel mai mult posibil.

Corelaţia se studiază cu ajutorul funcţiei de apartenenţă aleasă. Vecinătatea punctului ),( ii yx o definim prin mulţimea

45.0,5.0|),( <+∈+++=Ω wZwwywx iii ,

conţinând 36 pixeli situate pe un rastru. Punctele Ai din imaginea f1 sunt situate la coordonate întregi. Punctele Bi din

imaginea f2 le căutăm la coordonate raţionale. Nuanţa gri a unui punct situat la coordonate neîntregi, şi valoarea funcţiei de apartenenţă a acesteia se calculează prin interpolare biliniară.

Presupunem că 'ix şi 'iy nu sunt întregi, adică [ ] [ ] 1''' +<< iii xxx şi

[ ] [ ] 1''' +<< iii yyy , şi cunoaştem numai valorile

[ ] [ ]( )','2 ii yxf , [ ] [ ]( )1','2 +ii yxf , [ ] [ ]( )',1'2 ii yxf + şi [ ] [ ]( )1',1'2 ++ ii yxf ,

dar vrem să aproximăm valoarea ( )','2 ii yxf . Interpolarea biliniară presupune o variaţie liniară a funcţiei f2 în interiorul fiecărui pătrat de mărime unitară. Se procedează astfel: mai întâi se scrie


34

[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )1','',')1(','~

222 +⋅+⋅−= iiiiii yxfyxfyxf λλ

şi

[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )1',1'',1')1(',1'~

222 ++⋅++⋅−=+ iiiiii yxfyxfyxf λλ

cu [ ]'' ii yy −=λ , iar apoi

( ) [ ]( ) [ ]( )',1'~

','~

)1(','~

222 iiiiii yxfyxfyxf +⋅+⋅−= µµ

cu [ ]'' ii xx −=µ .

Pentru a afla corelaţia ideală a punctelor ),( iii yxA din imaginea f1 şi )','( iii yxB din imaginea f2, vom căuta valorile dx şi dy pentru care funcţia:

[ ]∑Ω∈

++−iba

dybdxafbaf),(

2

21 ),(~

),(~

are valoare minimă. Aceste valori le căutăm prin evaluarea funcţiei în toate poziţiile posibile într-o

vecinătate predefinită. Căutarea o efectuăm în doi paşi: prima dată căutăm valori dx şi dy între -15 şi 15 cu paşi de 0.5 unităţi, iar apoi în vecinătatea celei mai bune poziţii, căutăm dx şi dy cu paşi de 0.02 unităţi. Astfel obţinem deformaţii în cele două direcţii principale cu o rezoluţie de 0.02 pixeli, corespunzând la 1 micrometru.

5. Prelucrarea unei serii de imagini În cadrul unui experiment, se creează o serie de imagini. Prima imagine din serie,

f0 conţine obiectul nedeformat, iar celelalte imagini fi conţin obiectul deformat sub forţa Fi, si …1= . Pe fiecare imagine căutăm punctul central, faţă de care definim o reţea regulată din 51×51 puncte de control. Calculăm deformaţia relativă pentru fiecare punct de


35

control, din imaginea fi faţă de f0, pentru fiecare si …1= . Deformaţia relativă pentru punctul central este 0 prin definiţie, iar deformaţiile relative pentru celelalte puncte sunt calculate relativ faţă de punctul central.

5.4. Rezultate obţinute prin Corelarea Digitală a Imaginilor Pentru ilustrarea metodei utilizăm tot epruveta din lemn de tei. Pentru fiecare

încărcare, după obţinerea imaginilor, situate într-un pătrat cu latura de 25 mm cu centrul identic cu al cercului epruvetei, adică în cele 2601 de puncte de interes, a fost evaluat câmpul de deformare a epruvetei.

În figurile de mai jos este redată câmpul de deplasare, în cazul în care prin metoda DIC au fost recepţionate datele măsurătorilor în care direcţia forţei de compresiune şi direcţia fibrelor formează 150.

În figurile 5.6 sunt evidenţiate deplasările punctelor după axa x la diferite valori ale forţei de compresiune.

Fig. 5.6,a. F = 50N. Fig. 5.6,b. F = 100N.

Fig. 5.6,c. F = 250N. Fig. 5.6,d. F = 350N.

Fig. 5.6,e. F = 500N.


36

5.5. Efectul rotirii direcţiei de aplicare a forţei faţă de direcţia fibrelor asupra mărimii caracteristicelor mecanice.

Din cercetările experimentale a rezultat, că nu numai mărimile modulului de

elasticitate E şi coeficientului de contracţie transversală µ se schimbă în cazul rotirii epruvetei de lemn, ci şi în direcţiile principale ale tensiunilor şi deformaţiilor specifice au loc schimbări când direcţia de aplicare a forţei de compresiune face diferite unghiuri cu direcţia fibrelor.

Din această modificare a direcţiei rezultă că relaţia liniară între tensiuni şi deformaţii specifice îşi pierde valabilitatea, descriind astfel o comportare neliniară. Pentru a păstra forma liniară, adică valabilitatea legii lui Hooke, se introduce un factor de corecţie. Acest factor corectează direcţiile principale ale tensiunilor cu acele valori care s-au determinat pe cale experimentală.

Pentru determinarea factorului de corecţie se porneşte de la expresia legii lui Hooke generalizată

[ ] = ⋅Eσ εσ εσ εσ ε , (5.9)

unde [ ]E este matricea de elasticitate (matricea de rigiditate a materialului). Inversa relaţiei (5.9) se scrie:

[ ]1

−

= ⋅ε σε σε σε σE , (5.10)

în care 1[ ]−E este matricea de complianţă a materialului. Relaţia (5.10) sub formă dezvoltată se rescrie

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

31 31 32 32 33 33

x x

y y

xy xy

a D a D a D

a D a D a D

a D a D a D

ε σ

ε σ

γ τ

⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

εεεε , (5.11)

în care εεεε este vectorul cu valorile deformaţiilor măsurate, ijD sunt elementele matricei

din ecuaţia (1.40) care se calculează cu formulele teoretice (1.42), iar σ este vectorul

tensiunilor calculate. ija reprezintă factorul de corecţie aplicat termenilor ijD , produsul

ij ija D⋅ dând valoarea observată experimental al termenului corespunzător matricei de

complianţă. Dezvoltând termenii din relaţia (5.11) obţinem

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

31 31 32 32 33 33

,

,

.

x x y xy

y x y xy

xy x y xy

a D a D a D

a D a D a D

a D a D a D

ε σ σ τ

ε σ σ τ

γ σ σ τ

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

(5.12)

Încărcarea fiind verticală, în relaţiile de mai sus ponderea cea mai importantă o are termenul 2i yD σ⋅ , xσ şi xyτ având valori mult mai mici decât yσ . Prin urmare putem

accepta în calculele noastre 1 1ia şi 3 1ia , deci


37

1 32

2

i i x i xy

i

i y

D Da

D

ε σ τ

σ

− ⋅ − ⋅=

⋅ (5.13)

Valoarea ijD obţinută experimental cu ajutorul relaţiilor (1.41) şi (1.42), se poate

exprima şi cu ajutorul valorilor corectate ale coeficienţilor elastici:

( )* * * *, , , ,ij ij x y xy yx

D D E E µ µ θ= . (5.14)

unde ( )* * * *, , , ,ij x y xy yx

D E E µ µ θ este relaţia teoretică scrisă cu valorile corectate. Această

corecţie se face cu ajutorul unor funcţii de corecţie sub forma

( )

( )

( )

*1

*2

* *3

,

,

,

x x

y y

yx xy

E c E

E c E

c

ϕ

ϕ

µ ϕ µ

= ⋅

= ⋅

= ⋅

(5.15)

unde 0 00 ,90ϕ ∈ şi 0 0(0 ) (90 )i ic c= , iar între coeficienţii contracţiei transversale şi

modulele de elasticitate există şi relaţia

*

* **y

yx xy

x

E

Eµ µ= ⋅ , (5.16)

care dă a patra valoarea corectată ce apare în (5.14). În relaţiile de mai sus ϕ este direcţia primei valori principale a tensiunii ( 1σ ) faţă

de prima direcţie a ortotropiei (direcţia L ). Valorile funcţiilor de corecţie ( )ic ϕ se obţin experimental, prin calcule, pentru

diverse valori ale unghiului θ . Aceste valori se pot interpola, de exemplu polinomial, astfel obţinem o expresie analitică aproximativă a funcţiei respective.


38

CAPITOL 6

MODELAREA MATERIALELOR ORTOTROPE PRIN METODA DIFERENȚELOR FINITE

6.3. Rezolvarea problemelor de stare plană prin metoda diferenţelor finite 6.3.3. Funcţia potenţial a deplasărilor când direcţiile ortotropiei coincid cu

direcţiile principale Pornind de la ideea funcţiei de tensiuni Airy, să presupunem, că în cazul

materialelor ortotrope există o funcţie ( , )x yΨ , a cărei derivate parţiale dau proiecţiile deplasării în felul următor:

2 2 2

1 22 2, ,u v

x y x y

Ψ Ψ Ψα α

∂ ∂ ∂= = ⋅ + ⋅

∂ ⋅∂ ∂ ∂ (6.23)

unde 1α şi 2α sunt două constante de material, deocamdată necunoscute. Pentru a valida această presupunere, scriem deformaţiile specifice cu ajutorul acestei funcţii:

3

2

3 3

1 22 2

3 3 3 3 3

1 2 1 22 3 2 3 2

,

,

(1 ) .

x

y

xy

u

x x y

v

y x y y

u v

y x x y x x y x x y

Ψε

Ψ Ψε α α

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψγ α α α α

∂ ∂= =

∂ ∂ ⋅∂

∂ ∂ ∂= = ⋅ + ⋅

∂ ∂ ⋅∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅

∂ ∂ ∂ ⋅∂ ∂ ∂ ⋅∂ ∂ ∂ ⋅∂

(6.24)

Să înlocuim acestea în ecuaţia de compatibilitate a deformaţiilor:

2 22

2 2

5 5 5 5 5

1 2 1 22 3 4 2 3 4 2 3(1 ) 0.

y xyx

y x x y

x y x y x y x y x y

ε γε

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψα α α α

∂ ∂∂+ − =

∂ ∂ ∂ ⋅∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ =

∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂

(6.25)

Deci funcţia noastră satisface ecuaţia de compatibilitate. În continuare determinăm constantele de material, presupunând că forţele

volumice sunt independente de coordonate, şi axele de coordonate coincid cu direcţiile ortotropiei. Pentru aceasta transcriem ecuaţiile de echilibru cu deformaţiile specifice:

11 12 33

21 22 33

( ) ( )0,

( ) ( )0.

x y xy

x

x y xy

y

E E Ef

x y

E E Ef

y x

ε ε γ

ε ε γ

∂ ⋅ + ⋅ ∂ ⋅+ + =

∂ ∂

∂ ⋅ + ⋅ ∂ ⋅+ + =

∂ ∂

(6.26)


39

Cu ajutorul relaţiilor (6.24) obţinem:

4 4

11 1 12 1 33 2 12 33 2 333 3( ) ( ) 0

xE E E E E E f

x y x y

Ψ Ψα α α α

∂ ∂+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + =

∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂, (6.27,a)

4 4 4

1 33 21 1 22 33 2 33 2 224 2 2 4( ) 0yE E E E E E f

x x y y

Ψ Ψ Ψα α α α

∂ ∂ ∂⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + =

∂ ∂ ⋅∂ ∂. (6.27,b)

Dacă forţa volumică are componente nenule în sensul ambelor direcţii de coordonate, atunci problema nu se poate rezolva, deoarece nu cunoaştem nici funcţia Ψ şi nici constantele α . În continuare să presupunem că forţa volumică este direcţionată în sensul y (deci 0xf = ). Astfel, din ecuaţia (6.27,a) putem determina cele două constante

de material, în aşa fel încât orice funcţie să satisfacă aceasta ecuaţie. În acest caz cele două paranteze trebuie să fie egale cu zero, de unde rezultă:

33111 2

12 33 12 33

,EE

E E E Eα α= − = −

+ +. (6.28)

Funcţia Ψ se obţine prin rezolvarea ecuaţiei (6.27,b), orice funcţie Ψ fiind o soluţie a ecuaţiei (6.27,a). Astfel, în a doua ecuaţie de echilibru (6.27,b) înlocuim valorile coeficienţilor (6.28), ajungând la ecuaţia

4 4 4

1 2 3 04 2 2 4 yb b b b fx x y y

Ψ Ψ Ψ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅

∂ ∂ ⋅∂ ∂, (6.29)

a cărei coeficienţi sunt:

11 22 12 21 121 11 2 22 3 12 21 0

33 33

, , , 1.E E E E E

b E b E b E E bE E

⋅ − ⋅= = = − − = + (6.30)

Putem observa analogia relaţiilor (6.22) şi (6.29), care este perfectă în cazul

forţelor volumice nule. 6.3.4. Funcţia potenţial a deplasărilor când direcţiile ortotropiei nu coincid

cu direcţiile principale Formulele deduse în subcapitolul 6.3.3. se pot utiliza doar atunci când direcţiile

ortotropiei coincid cu x şi y . În caz contrar matricea de elasticitate nu are elemente nule, iar ecuaţiile (6.26) trebuie să fie completate cu componentele ce dau interdependenţa deformaţiilor liniare şi celor unghiulare:

11 12 13 31 32 33

21 22 23 31 32 33

( ) ( )0,

( ) ( )0.

x y xy x y xy

x y xy x y xy

y

E E E E E E

x y

E E E E E Ef

y x

ε ε γ ε ε γ

ε ε γ ε ε γ

∂ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ⋅ + ⋅ + ⋅+ =

∂ ∂

∂ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ⋅ + ⋅ + ⋅+ + =

∂ ∂

(6.31)

De aici


40

2 2 2 2

11 12 13 132 2

2 2 2 2

31 32 33 332 20,

u v u vE E E E

x x y x y x

u v u vE E E E

x y y y x y

∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +∂ ∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∂ ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ⋅∂

(6.32,a)

2 2 2 2

21 22 23 232 2

2 2 2 2

31 32 33 332 20.y

u v u vE E E E

x y y y x y

u v u vE E E E f

x x y x y x

∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +∂ ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ⋅∂

∂ ∂ ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

∂ ∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂ ∂

(6.32,b)

Dacă am continua calculele utilizând relaţiile (6.23), atunci pentru cele două constante nu am putea găsi valori cu care orice funcţie Ψ să fie rezolvarea uneia dintre ecuaţiile anterioare. Deplasările trebuie să fie căutate sub forma

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 62 2 2 2, ,u v

x x y y x x y y

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψα α α α α α

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂ ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ⋅∂ ∂ (6.33)

care de asemenea trebuie să satisfacă ecuaţiile de compatibilitate:

4

1 11 4 13 4

4

1 13 1 31 2 11 4 12 4 33 5 13 3

4

1 33 2 13 2 31 3 11 4 32 5 12 5 33 6 13 2 2

4

2 33 3 13 3 31 5 32 6 12 6 33

( )

( )

( )

( )

E Ex

E E E E E Ex y

E E E E E E E Ex y

E E E E E Ex

Ψα α

Ψα α α α α α

Ψα α α α α α α α

Ψα α α α α α

∂⋅ + ⋅ ⋅ +

∂

∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

∂ ⋅∂

∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

∂ ⋅∂

∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

∂ ⋅∂ 3

4

3 33 6 32 4( ) 0,

y

E Ey

Ψα α

+

∂+ ⋅ + ⋅ ⋅ =

∂

(6.34,a)

4

1 31 4 33 4

4

1 21 1 33 2 31 4 23 4 32 5 33 3

4

1 23 2 21 2 33 3 31 4 22 5 23 5 32 6 33 2 2

4

2 23 3 21 3 33 5 22 6 23 6 32

( )

( )

( )

( )

E Ex

E E E E E Ex y

E E E E E E E Ex y

E E E E E Ex

Ψα α

Ψα α α α α α

Ψα α α α α α α α

Ψα α α α α α

∂⋅ + ⋅ ⋅ +

∂

∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

∂ ⋅∂

∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

∂ ⋅∂

∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

∂ ⋅∂ 3

4

3 23 6 22 4( ) 0.y

y

E E fy

Ψα α

+

∂+ ⋅ + ⋅ ⋅ + =

∂

(6.34,b)


41

Din prima ecuaţie determinăm coeficienţii astfel încât ei să fie egali cu zero (în acest caz orice funcţie Ψ este rezolvarea ecuaţiei respective):

1 11 4 13

1 13 1 31 2 11 4 12 4 33 5 13

1 33 2 13 2 31 3 11 4 32 5 12 5 33 6 13

2 33 3 13 3 31 5 32 6 12 6 33

3 33 6 32

0

0

0

0

0.

E E

E E E E E E

E E E E E E E E

E E E E E E

E E

α α

α α α α α α

α α α α α α α α

α α α α α α

α α

⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ =

(6.35)

Din aceste cinci ecuaţii nu se pot determina şase coeficienţi, de aceea una dintre valori trebuie să fie prescrisă. Prin urmare, atribuim 2 1α = , iar cei cinci coeficienţi rămaşi

se află prin rezolvarea sistemului de ecuaţii:

11 13 1

33 11 32 12 33 13 3 13 31

13 31 12 33 13 4 11

13 31 32 12 33 5 33

33 32 6

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

E E

E E E E E E E E

E E E E E E

E E E E E E

E E

α

α

α

α

α

+ − − + + ⋅ = − + + −

. (6.36)

Acest sistem de ecuaţii se poate rezolva numeric cu metoda de eliminare Gauss. Exprimăm a doua ecuaţie de echilibru în deplasări, după care înlocuim aceste

deplasări cu formulele (6.33), şi în final ajungem la o ecuaţie de forma

4 4 4 4 4

1 2 3 4 5 04 3 2 2 3 4 yf

x x y x y x y y

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψβ β β β β β

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅

∂ ∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂ ∂, (6.37)

a cărei soluţie este funcţia potenţial căutată de noi. Coeficienţii acestei ecuaţii sunt următoarele:

1 1 31 4 33

2 1 21 33 2 31 4 23 32 5 33

3 1 23 2 21 33 3 31 4 22 5 23 32 6 33

4 2 23 3 21 33 5 22 6 23 32

5 3 23 6 22

0

,

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( ),

,

1.

E E

E E E E E E

E E E E E E E E

E E E E E E

E E

β α α

β α α α α

β α α α α α α

β α α α α

β α α

β

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

= ⋅ + ⋅

= −

(6.38)

6.4. Metoda diferenţelor finite în problema plană Ecuaţia care trebuie rezolvată este ecuaţia diferenţială (6.37) cu derivate parţiale

de ordinul patru. Această ecuaţie, cu coeficienţii (6.38), este valabilă pentru materiale anizotrope, dacă avem forţă volumică doar în direcţia y sau dacă nu avem forţă volumică deloc.

În cazul când direcţiile ortotropiei coincid cu direcţia axelor x şi y , cu ajutorul elementelor matricei [ ]E se calculează coeficienţii (6.38)


42

Matricea [ ]E trebuie considerată conform problemei plane de rezolvat. Pentru materialele ortotrope în stare plană de tensiune valoarea matricei [ ]E se obţine din relaţia (1.18) iar pentru stare plană de deformaţii din relaţia (1.19,a).

Dacă direcţiile ortotropiei nu coincid cu direcţiile axelor de coordonate, cele două matrice trebuie rotite cu unghiul corespunzător direcţiei ortotropiei. Astfel transformarea conduce la o matrice

11 12 13

21 22 23

31 32 33

[ ]

E E E

E E E

E E E

=

E , (6.39)

a cărei componente sunt date de relaţiile (1.38), unde 12E este matricea de elasticitate

(1.37) dată de direcţiile ortotropiei. Unghiul θ este măsurat de la axa x până la axa ortotropiei 1, în sens trigonometric.

Deci, matricea de elasticitate, în cazul când direcţiile ortotropiei nu coincid cu direcţia axelor, ca şi în cazul materialelor anizotrope, conţine nouă elemente diferite de zero şi este simetrică.

În relaţiile (6.38) prescriem

2 1α = , (6.40,a)

iar ceilalţi coeficienţi se obţin din rezolvarea numerică a sistemului de ecuaţii

11 13 1

33 11 32 12 33 13 3 13 31

13 31 12 33 13 4 11

13 31 32 12 33 5 33

33 32 6

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

E E

E E E E E E E E

E E E E E E

E E E E E E

E E

α

α

α

α

α

+ − − + + ⋅ = − + + −

. (6.40,b)

În cazul în care direcţiile ortotropiei se suprapun cu axele x şi y , atunci expresia

coeficienţilor iβ se simplifică şi rezolvarea ecuaţiei va fi mai simplă. Astfel, dacă unghiul

θ este un multiplu întreg al unghiului drept, atunci coeficienţii 2β şi 4β vor fi egali cu zero şi din ecuaţia (6.37) membri respectivi nu mai apar.

Dacă materialul este izotrop, ecuaţia se poate aduce la o formă, unde 1 5 1β β= = ,

3 2β = , 2 4 0β β= = . În acest caz, dacă nu avem forţe volumice, atunci ecuaţia diferenţială

care trebuie rezolvată se reduce la o ecuaţie biarmonică. Problema în cele din urmă se reduce la rezolvarea ecuaţiei (6.37) cu diferenţe

finite. Dacă derivatele parţiale din ecuaţie se înlocuiesc cu diferenţe finite centrate, atunci ajungem la molecula de calcul din figura (6.4). Astfel, în punctul de coordonate ( , )x y , care este punctul ( , )i j a reţelei pentru calculul diferenţelor finite, se poate scrie următoare ecuaţia:


43

54 43 4 3

32 2 43 3 2 2 3

3 5 32 42 2 4 3 2 2 3

( 1, 2) ( , 2) ( 1, 2)4 4

( 2, 1) ( 1, 1)4 2 2

2 4 ( , 1) ( 1, 1)2 2

i j i j i jh k k h k

i j i jh k h k h k h k

i j i jh k k h k h k h k

ββ βΨ Ψ Ψ

ββ β βΨ Ψ

β β ββ βΨ Ψ

⋅ − − + ⋅ − − ⋅ + − +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ − − − − + ⋅ − − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ + ⋅ ⋅ − + + + ⋅ + − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

32 1 13 4 4 2 2

3 5 31 14 2 2 4 4 2 2

1 24 3

( 2, 1) ( 2, ) 4 2 ( 1, )4

6 4 6 ( , ) 4 2 ( 1, )

( 2, ) ( 2, 1)4

i j i j i jh k h h h k

i j i jh h k k h h k

i j i jh h k

ββ β βΨ Ψ Ψ

β β ββ βΨ Ψ

β βΨ Ψ

− ⋅ + − + ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ − +

⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + +

⋅ ⋅

+ ⋅ + − ⋅ − + +⋅ ⋅

(6.41)

3 3 52 43 2 2 3 2 2 4

32 4 23 2 2 3 3

54 43 4 3

( 1, 1) 2 4 ( , 1)2 2

( 1, 1) ( 2, 1)2 2 4

( 1, 2) ( , 2) ( , 2) ( ,4 4 y

i j i jh k h k h k h k k

i j i jh k h k h k h k

f i j i j i j f i jh k k h k

β β ββ βΨ Ψ

ββ β βΨ Ψ

ββ βΨ Ψ

+ + + ⋅ − + − ⋅ + ⋅ ⋅ + −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− − + ⋅ + + + ⋅ + + −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ − + + ⋅ + + ⋅ + = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

).

Pentru fiecare punct din starea plană studiată se poate formula o astfel de ecuaţie, În aceste ecuaţii apar valorile funcţiei valabile în punctele învecinate, astfel se formează un sistem de ecuaţii.

2 h− ⋅ h− 0 h 2 h⋅

2 k⋅ 434 h k

β−

⋅ ⋅ 5

4k

β 434 h k

β

⋅ ⋅

k 234 h k

β−

⋅ ⋅ 32 4

3 2 2 32 2h k h k h k

ββ β+ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 5

2 2 42 4

h k k

β β− ⋅ − ⋅

⋅ 32 4

3 2 2 32 2h k h k h k

ββ β− + −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2

34 h k

β

⋅ ⋅

0 14

h

β 314 2 2

4 2h h k

ββ− ⋅ − ⋅

⋅ 3 51

4 2 2 46 4 6

h h k k

β ββ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ 31

4 2 24 2

h h k

ββ− ⋅ − ⋅

⋅ 1

4h

β

k− 234 h k

β

⋅ ⋅ 32 4

3 2 2 32 2h k h k h k

ββ β− + −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 5

2 2 42 4

h k k

β β− ⋅ − ⋅

⋅ 32 4

3 2 2 32 2h k h k h k

ββ β+ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2

34 h k

β−

⋅ ⋅

2 k− ⋅ 434 h k

β

⋅ ⋅ 5

4k

β 434 h k

β−

⋅ ⋅

Fig. 6.4. Aproximarea cu diferenţe finite a ecuaţiei 6.37

Sistemul de ecuaţie, care în lipsa forţelor volumetrice este omogenă, nu se poate

rezolva, deoarece pentru punctele situate pe contur nu putem aplica moleculele de calcul din figura 6.4. Pentru rezolvarea ecuaţiei diferenţiale trebuie să se scrie condiţiile de contur.


44

Se poate observa, că în punctele din vecinătatea conturului, schema se extinde peste conturul real, astfel în ecuaţiile noastre apar şi puncte care de fapt nu aparţin domeniului plan analizat. Aplicând molecula de calcul numai pentru punctele din interiorul domeniului (deci nu şi în cazul punctelor de pe contur), acestea formează un al doilea contur fictiv, paralel cu conturul original. Este de observat, că punctele de reţea exterioare, care se situează în diagonală opusă colţurilor convexe, nu aparţin de acest contur fictiv (Fig. 6.5).

Fig. 6.5. Conturul fictiv ce apare datorită aproximării cu diferenţe finite

În interiorul regiunii, distanţa între două muchii paralele trebuie să fie de cel puţin

2 h⋅ , respectiv 2 k⋅ , altfel nu putem aplica aproximaţia (6.41). 6.5. Condiţii de contur sub forma deplasărilor prescrise Pentru o aplicabilitate mai uşoară a metodei, să aproximăm conturul real cu un

contur care este alcătuit din linii orizontale şi verticale adaptate reţelei. În acest caz definim condiţiile de contur cu proiecţiile luate după cele două axe de coordonate (direcţia normală şi cea tangenţială coincid cu direcţiile axelor).

Proiecţiile deplasării se obţin prin derivarea funcţiei Ψ după formulele (6.33): Dacă exprimăm derivatele parţiale din relaţia (6.33) cu diferenţe centrate,

ajungem la molecula de calcul din figura 6.7 şi la ecuaţia:

32 22

31 1 12 2 2 2

32 22

( 1, 1) ( , 1) ( 1, 1)4 4

( 1, ) 2 2 ( , ) ( 1, )

( 1, 1) ( , 1) ( 1, 1) ( , ).4 4

i j i j i jh k k h k

i j i j i jh h k h

i j i j i j u i jh k k h k

αα αΨ Ψ Ψ

αα α αΨ Ψ Ψ

αα αΨ Ψ Ψ

⋅ − − + ⋅ − − ⋅ + − +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + −

− ⋅ − + + ⋅ + + ⋅ + + =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(6.43)

Pentru v se obţine acelaşi schemă şi formulă, doar indicele lui α trebuie majorat cu 3 la fiecare membru.


45

h− 0 h

k 2

4 h k

α−

⋅ ⋅ 3

2k

α 2

4 h k

α

⋅ ⋅

0 12

h

α 312 2

2 2h k

αα− ⋅ − ⋅ 1

2h

α

k− 2

4 h k

α

⋅ ⋅ 3

2k

α 2

4 h k

α−

⋅ ⋅

Fig. 6.7. Aproximarea lui u cu diferenţe centrate

Se poate observa, dacă aplicăm molecula de calcul pentru un nod al reţelei ce se

află pe contur, aceasta se va sprijini pe trei puncte care se află pe conturul fictiv. Colţurile concave nu prezintă probleme, în schimb în cazul colţurilor convexe această schemă ar include un punct care de fapt nu aparţine conturului fictiv (Fig. 6.8).

Fig. 6.8. Aproximarea lui u şi v cu diferenţe centrate În acest caz putem face două lucruri: - 1. pentru colţurile convexe scriem ecuaţii suplimentare, sau - 2. în locul aproximării cu diferenţe centrate aplicăm aproximările derivatelor cu

ajutorul diferenţelor de dreapta şi de stânga, în funcţie de poziţia colţului respectiv. Prima rezolvare nu este cea mai convenabilă. Pentru fiecare punct de pe contur se pot scrie două condiţii de margine: prescriem

valoarea deplasării sau a încărcării, în cele două direcţii. Pe lângă fiecare punct de pe o latură există câte un punct situat pe conturul fictiv.

Numărul ecuaţiilor obţinute din condiţiile de contur este egal cu numărul necunoscutelor care apar în punctele de pe laturi şi în punctele fictive din vecinătatea acestora. Însă, lângă colţurile convexe, pe conturul fictiv apar câte două puncte.

Deci numărul ecuaţiilor din condiţiile de contur rezultă mai mic decât numărul necunoscutelor, având câte o ecuaţie lipsă în fiecare colţ convex.

Al treilea punct fictiv, care s-ar situa în diagonala opusă, ar complica şi mai mult situaţia, numărul ecuaţiilor lipsă fiind de două ori numărul colţurilor convexe. Prin urmare,


46

mai degrabă aplicăm combinaţiile aproximării cu diferenţe de dreapta şi de stânga (Fig. 6.9). Astfel, punctul exterior învecinat în diagonală nu apare în ecuaţie. În figura 6.9 am indicat cu un „X” roşu locul acestui punct.

h− 0 h h− 0 h

k X 32

k

α 32

k

α X

0 12

h

α 31 22 2

2 2h kh k

αα α− ⋅ − − ⋅

⋅ 1 2

2h kh

α α+

⋅ 1 2

2h kh

α α−

⋅ 31 2

2 22 2

h kh k

αα α− ⋅ + − ⋅

⋅ 1

2h

α

k− 322

h k k

αα+

⋅ 2

h k

α−

⋅ 2

h k

α

⋅ 32

2h k k

αα− +

⋅

k 322

h k k

αα− +

⋅ 2

h k

α

⋅ 2

h k

α−

⋅ 32

2h k k

αα+

⋅

0 12

h

α 31 22 2

2 2h kh k

αα α− ⋅ + − ⋅

⋅ 1 2

2h kh

α α−

⋅ 1 2

2h kh

α α+

⋅ 31 2

2 22 2

h kh k

αα α− ⋅ − − ⋅

⋅ 1

2h

α

k− X 32

k

α 32

k

α X

Fig. 6.9. Aproximarea deplasării u în colţurile convexe

6.6. Condiţiile de contur sub forma încărcării Sarcina distribuită, ce încarcă conturul, se defineşte prin proiecţiile lui după

direcţiile x şi y , notate cu xp şi yp . Această sarcină, în general, este descrisă de o funcţie

oarecare. În decursul discretizării, această funcţie se înlocuieşte cu o funcţie treaptă: Calculăm media sarcinii în punctele reţelei, şi aplicăm sarcina sub formă uniform distribuită, dacă muchia este orizontală, pe distanţa 2h± faţă de nodul respectiv, iar dacă

aceasta este verticală, atunci pe distanţa 2k± . De asemenea, forţele concentrate le transformăm în forţe uniform distribuite

Dacă în jurul unui punct de pe contur se decupează un element de arie, se observă că tensiunile de-a lungul conturului sunt în echilibru cu sarcinile exterioare. Considerăm încărcarea pozitivă în sensului pozitiv al axelor, iar în cazul tensiunilor normale şi tangenţiale se consideră că sensul pozitiv este cel convenţional, reprezentat în figura 6.11. Tot pe aceasta figură sunt notate şi egalităţile rezultate din condiţiile de echilibru.

Aceste egalităţi conduc la valorile tensiunilor de pe contur, exprimate în funcţie de sarcinile exterioare. Relaţiile dintre tensiunile şi deformaţiile specifice sunt date de legea lui Hooke generalizată, cele dintre deformaţiile specifice şi deplasări de ecuaţiile geometrice, iar cele dintre deplasări şi funcţia Ψ de formulele (6.33). Astfel obţinem relaţia:


47

Fig. 6.11. Tensiunile în apropierea conturului

11 12 13

11 12 13 13

3 3 3

11 1 2 33 2 2

3 3 3

12 4 5 62 2 3

3 3 3

13 1 2 32 2 3

x x y xyE E E

u v u vE E E E

x y y x

Ex x y x y

Ex y x y y

Ex y x y y

σ ε ε γ

Ψ Ψ Ψα α α

Ψ Ψ Ψα α α

Ψ Ψ Ψα α α

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

∂ ∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂

∂ ∂ ∂+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂ ∂

∂ ∂ ∂+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂ ∂3 3 3

13 4 5 63 2 3E

x x y x y

Ψ Ψ Ψα α α

+

∂ ∂ ∂+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂

(6.44)

3 3

11 1 13 4 11 2 12 4 13 1 13 53 2

3 3

11 3 12 5 13 2 13 6 12 6 13 32 3

( ) ( )

( ) ( ) .

E E E E E Ex x y

E E E E E Ex y y

Ψ Ψα α α α α α

Ψ Ψα α α α α α

∂ ∂= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

∂ ∂ ⋅∂

∂ ∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

∂ ⋅∂ ∂

În mod similar obţinem şi relaţiile pentru yσ şi xyτ , înlocuind primul index al

elementelor 1iE cu 2, respectiv cu 3.

x

y

xp

xp−

xp− xp

yp−

yp

yp−

yp

xy xpτ =

x xpσ = x xpσ = −

y ypσ =

y ypσ = −

xy xpτ = −

yx ypτ = − yx ypτ = xy yxτ τ=


48

Pentru a rezolva problema, trebuie să transcriem ecuaţia (6.44) cu diferenţe finite. Dacă studiem anexa 1., ajungem la concluzia, că pentru punctele de pe contur diferenţele centrate ar cuprinde şi puncte care nu aparţin reţelei. Deci, şi în acest cazul trebuie să combinăm diferenţele centrate cu cele la dreapta şi la stânga. Aceste combinaţii, utilizabile în colţurile convexe şi pe laturi, sunt prezentate în anexa 2. Această figură conţine şi rezolvarea aproximării doar cu diferenţe centrate, pe care o putem folosi în timpul postprocesării la calcularea tensiunii pentru punctele reţelei aflate în interiorul conturului.

Exemplificăm determinarea condiţiilor de contur pentru o latură verticală din stânga, în modul următor:

34 23 2 2

32 4 22 3 2 2

( 2, ) ( 1, 1)2 2 2

( 1, ) ( 1, 1)2 2

cc cj i j i

k h k h k

cc c cj i j i

h k k h k h k

Ψ Ψ

Ψ Ψ

− ⋅ − − + ⋅ − − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ + ⋅ − − − ⋅ − + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 31 12 3 3 2

3( , 1) ( , ) ( , 1)

c cc cj i j i j i

h k h h h kΨ Ψ Ψ

⋅ + ⋅ − − ⋅ + − ⋅ + −

⋅ ⋅ (6.45)

31 1 23 3 2 2

32 4 2 42 3 2 2 3

3( , 2) ( , 3) ( 1, 1)

2 2

( 1, ) ( 1, 1) ( 2, ) ,2 2 2 x

cc c cj i j i j i

h h h k h k

cc c c cj i j i j i p

h k k h k h k k

Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

⋅ − ⋅ + + ⋅ + + − ⋅ + − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ + = −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

unde

1 11 1 13 4

2 11 2 12 4 13 1 13 5

3 11 3 12 5 13 2 13 6

4 12 6 13 3

,

,

,

.

c E E

c E E E E

c E E E E

c E E

α α

α α α α

α α α α

α α

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

(6.46)

Dacă înlocuim în mod corespunzător elementele matricei de elasticitate în relaţiile (6.46), atunci obţinem molecula de calcul a tensiunilor yσ şi xyτ , conducând la ecuaţiile în

diferenţe finite a condiţiilor de contur. 6.9. Criterii energetice Teorema minimului energiei potenţiale totale indică faptul că din mulţimea tuturor

deformaţiilor compatibile cu legăturile, cea care corespunde echilibrului conduce la valoarea minimă a energiei potenţiale totale.

Expresia energiei potenţiale totale este [138]

,U LΠ = + (6.53)

în care U este energia potenţială de deformaţie, iar L este lucrul mecanic al forţelor exterioare.

Pentru cazul problemei plane, utilizând relaţiile lui Hooke (1.9) şi relaţiile deformaţiilor specifice în funcţie de deplasări, energia potenţială de deformaţie are forma


49

[ ]

[ ]

1 1

2 2

1,

2

T T

T

U dV E dV

u u

x x

v vE dV

y y

u v u v

y x y x

ε σ ε ε= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫

∫ (6.54)

unde s-a notat

; .x x

y y

xy xy

ε σ

ε ε σ σ

γ τ

= =

Lucrul mecanic al forţelor exterioare, în cazul unui sistem de forţe concentrate în

puncte discrete este dată de expresia

.xi i yi i

i

L F u F v = − + ∑ (6.55)

Dacă se consideră o reţea dreptunghiulară şi se consideră parametri fundamentali deplasările ,i ju v la fiecare nod, rezultă că în raport cu aceşti parametrii mărimea Π poate

avea diverse valori. Mărimile u şi v , care conduc la valoarea minimă a funcţiei Π , se vor apropia cel mai mult de situaţia de echilibru şi prin urmare de situaţia reală.

Condiţiile pentru obţinerea acestui minim sunt

0,

0.

i i i

i i i

U L

u u u

U L

v v v

∂Π ∂ ∂= + =

∂ ∂ ∂

∂Π ∂ ∂= + =

∂ ∂ ∂

(6.56)

Pentru 1,2,3,...,i n= se obţine un sistem de 2n ecuaţii cu tot atâtea necunoscute,

acestea fiind deplasările nodurilor ,i ju v .

Dacă se consideră un dreptunghi al reţelei x y∆ ∆ din figura 6.15, exprimând în diferenţe finite derivatele parţiale din relaţia (6.54) pe laturile 1-2, 3-4, 1-4 şi 3-2 se obţine

3 42 1

12 34

3 24 1

14 32

, ,

, .

u uu uu u

x x x x

v vv vv v

y y y y

−−∂ ∂ = =

∂ ∆ ∂ ∆

−−∂ ∂= =

∂ ∆ ∂ ∆

(6.57)


50

Fig. 6.15. Celulă de calcul Pentru un punct curent, prin interpolări liniare, între relaţiile (6.57) se obţine

următoarele ecuaţii

[ ]

1

211 13 15 17

3

4

,

u

uuc c c c

ux

u

∂ = ⋅

∂

(6.58,a)

[ ]

1

222 24 25 28

3

4

,

v

vvc c c c

vy

v

∂ = ⋅

∂

(6.58,b)

[ ]

1

1

2

231 32 38

8

8

... .

...

u

v

uu v

vc c cy x

u

v

∂ ∂ + = ⋅

∂ ∂

(6.58,c)

Coeficienţii acestor ecuaţii sunt următoarele:

11 13

15 18

1 1 1 1, ,

2 2

1 1 1 1, .

2 2

c y c yx x y x x y

c y c yx x y x x y

= − + ⋅ = − ⋅⋅∆ ∆ ⋅∆ ⋅∆ ∆ ⋅∆

= + ⋅ = − − ⋅⋅ ∆ ∆ ⋅∆ ⋅∆ ∆ ⋅∆

(6.59,a)

y∆

x

y

x∆

x

y

4 3

2 1


51

22 24

26 28

1 1 1 1, ,

2 2

1 1 1 1, .

2 2

c x c xy x y y x y

c x c xy x y y x y

= − + ⋅ = − − ⋅⋅∆ ∆ ⋅∆ ⋅∆ ∆ ⋅ ∆

= + ⋅ = − ⋅⋅∆ ∆ ⋅ ∆ ⋅ ∆ ∆ ⋅∆

(6.59,b)

31 32

33 34

35 36

37 38

1 1 1 1, ,

2 2

1 1 1 1, ,

2 2

1 1 1 1, ,

2 2

1 1 1 1, ,

2 2

c x c yy x y x x y

c x c yy x y x x y

c x c yy x y x x y

c x c yx x y x x y

= − + ⋅ = − + ⋅⋅∆ ∆ ⋅ ∆ ⋅∆ ∆ ⋅∆

= − − ⋅ = − ⋅⋅ ∆ ∆ ⋅∆ ⋅ ∆ ∆ ⋅∆

= + ⋅ = + ⋅⋅∆ ∆ ⋅∆ ⋅ ∆ ∆ ⋅∆

= − ⋅ = − − ⋅⋅∆ ∆ ⋅∆ ⋅ ∆ ∆ ⋅∆

(6.59,c)

Când se consideră tot ansamblul realizat din dreptunghiurile adiacente, energia potenţială U va fi compusă din suma energiilor fiecărui element component.

Considerând matricea [ ]C cu derivatele funcţiilor aproximative, relaţia între

deformaţiile specifice şi deplasările nodale poate fi scris sub forma

[ ] ,C dε = ⋅ (6.60)

unde s-a notat

1

1

4

4

... ,

u

v

d

u

v

=

(6.61)

Transpusa ecuaţie (6.60) va fi

[ ] .TT T

d Cε = ⋅ (6.62)

Înlocuind ecuaţiile (6.60) şi (6.62) în relaţia (6.54), va avea forma

[ ] [ ] [ ] *1 1

2 2

T T TU d C E C d dV d k d dV = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ∫ , (6.63)

unde s-a notat cu

[ ] [ ] [ ]* Tk C E C = ⋅ ⋅ (6.64)

Expresia energiei potenţiale totale din relaţia (6.53) devine

( ) *1.

2T T

d k dV d d f Π = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ∫ (6.65)


52

Astfel, limitând operaţiile din relaţiile (6.56) la dreptunghiul din figura 6.15, se obţin 8 ecuaţii liniare în 1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , , ,u u u u v v v v :

[ ] 0,i

k d fu

∂Π= ⋅ − =

∂ (6.66)

unde s-a notat cu

[ ] * .k k dV = ⋅ ∫ (6.67)

Din relaţia (6.65) rezultă

[ ] ,k d f⋅ = (6.68)

unde

1

1

4

4

....

x

y

x

y

F

F

f

F

F

=

(6.69)

În relaţiile 6.68 vectorul d conţine proiecţiile deplasărilor punctelor nodale

aparţinând unei celule de calcul din figura 6.15, iar f conţine proiecţiile forţelor

concentrate în aceste noduri. Matricea [ ]k este de fapt „matricea de rigiditate” a acestei

celule. Mărimile 1 1 4 4, ,... ,x y x yF F F F reprezintă forţele exterioare presupuse concentrate la

noduri şi orientate în sensul pozitiv al axelor. Energia potenţială fiind o cantitate aditivă, aceasta se obţine prin însumarea

contribuţiilor calculate cu formula 6.65, iar ecuaţia de echilibru se obţine prin „însumarea” ecuaţiilor 6.68:

[ ] K D F⋅ = . (6.70)

Vectorii D şi F conţin proiecţiile definite în totalitatea punctelor reţelei de

diferenţe finite, iar matricea [ ]K se poate considera ca fiind „matricea de rigiditate” a

structurii studiate. Această matrice se obţine din matricele [ ]k , prin procedura de

asamblare cunoscută din Metoda Elementelor Finite.

Matricea *k este simetrică faţă de diagonală principală, deci prin urmare şi

matricea [ ]K rezultă simetrică. Având în vedere semnificaţia fizică a matricei [ ]K , rezultă

că are proprietăţile matricei de rigiditate, cunoscută din Metoda Elementului Finit. Prin urmare sistemul de ecuaţii 6.70 se poate rezolva prin proceduri numerice cunoscute din Metoda Elementului Finit.

Integrala din relaţia 6.67 se poate calcula prin formulele Newton-Cotes.


53

( )

2 2* *

1 1

,i j i i

i j

k dV w w k x y= =

⋅ = ⋅ ⋅

∑∑∫ (6.71)

în care

i ix x ξ= ∆ ⋅ şi i iy y ξ= ∆ ⋅ (6.72)

Rezolvând ecuaţia (6.64), obţinem un polinom de gradul doi, pentru care la

interpolarea exactă este suficient să definim două puncte [66]. În relaţiile (6.71) şi (6.72), conform tabelului cu ponderile şi punctele de bază ale cuadraturii Gauss-Legendre, pentru

2n = valorile ponderilor corespunzătoare este 1, 1i jw w= = , şi punctelor de bază

0,577350269iξ = ± .


54

CAPITOL 7

REZULTATELE MODELĂRII NUMERICE PROPRII

7.1 Modelul numeric propus După cum s-a arătat în capitolul 5. între modulele de elasticitate poate fi dedus a

relaţie de forma

( )E E ϕ= , (6.73)

din care rezultă că ecuaţia 6.70 poate fi scris sub forma

( ) K D Fϕ ⋅ = . (6.74)

Deoarece valoarea unghiului ϕ nu se cunoaşte dinainte, s-a propus o rezolvare iterativă în care ca punct de pornire s-a considerat 0ϕ = .

Se cunosc valorile ,x yE E şi xyµ determinate prin măsurători, valori cu care s-a

calculat matricea de elasticitate [ ]E . Cunoscând matricea [ ]E se determină matricea *k

din ecuaţia (6.64), şi prin urmare matricea de rigiditate [ ]k din ecuaţia (6.70). Cu ajutorul

matricelor de rigiditate [ ]k determinate pe o celulă de calcul se asamblează matricea de

rigiditate [ ]K .

Astfel se ajunge la rezolvarea ecuaţiei (6.70), din care rezultă vectorul deplasărilor

D . Cu ajutorul deplasărilor nodale, cu formulele (6.60) se calculează valorile

deformaţiilor specifice ε .

Ecuaţia (6.60) este valabilă doar pentru o celulă de calcul. Prin urmare, pentru un nod al reţelei se obţin mai multe valori, aparţinând celulelor adiacente nodului considerat. Acceptăm ca valoare a deformaţiilor specifice cea obţinută ca medie aritmetică a celor calculate în aceste celule.

Cu relaţia lui Hooke (1.19), cu ajutorul deformaţiilor specifice se calculează valoarea tensiunilor σ , a tensiunilor principale şi al unghiului direcţiei principale 1

notată cu ϕ , faţă de direcţia principală elastică longitudinală, în fiecare nod al reţelei. Şi de data aceasta tensiunea este calculată ca o valoare medie peste celulele adiacente nodului, fiindcă valoarea coeficienţilor elastici poate diferi de la o celulă la alta.

Acest proces iterativ se repetă până la

( )1max i iϕ ϕ ε+− < , (6.75)

unde ε este o toleranţă convenabilă aleasă, care se compară cu valoarea maximă a variaţiei unghiului ϕ în nodurile reţelei, calculată cu ajutorul unghiurilor obţinute din pasul anterior.


55

Procesul iterativ este neliniar, deoarece valoarea coeficienţilor elastici ( ,E µ ) se recalculează la fiecare pas, în funcţie de unghiul ϕ de la pasul anterior.

7.2. Rezultate preliminare obţinute prin modelul numeric propus Tabelul 7.1 conţine calculele pentru lemnul de brad cu direcţia forţei aplicate la

015 faţă de direcţia fibrelor. Tabel 7.1.

Valorile determinate experimental pentru lemnul de brad

Valorile matricei de complianţă calculate

xE [ ⋅ 109 N/mm2] 11,6

12D [ ⋅ 10-9 mm2/N] -0,0542

yE [ ⋅ 109 N/mm2] 0,86

22D [ ⋅ 10-9 mm2/N] 1,07

xyµ 0,49 32D [ ⋅ 10-9 mm

2/N] -0,265

Valorile recalculate cu factorul de corecţie Factori de corecţie Valorile recalculate cu factorul de

corecţie

12c 1,021 *xE [ ⋅ 109 N/mm

2] 11,84

22c 1,015 *yE [ ⋅ 109 N/mm

2] 0,873

32c 1,31 *xyµ 0,642

x este direcţia longitudinală *yxµ 0,047

y este direcţia radială *xyG [ ⋅ 109 N/mm

2] 0,747


56

CAPITOL 8

CONCLUZII FINALE

După cum s-a menţionat, unul dintre factorii care influenţează elasticitatea lemnului este unghiul de deviere al fibrelor în raport cu direcţie forţelor deformante. Cercetările experimentale în determinarea modului de elasticitate s-au axat mai mult pe încercarea la compresiune care are loc paralel cu fibrele sau perpendicular pe fibre (radial şi tangenţial). La materialele ortotrope însă, cum este şi lemnul, proprietăţile mecanice în alte direcţii de orientare decât cele principale sunt cu totul diferite.

Cercetările în prezent se orientează spre determinarea într-un mod cât mai precis a acestor caracteristici la diferite specii de lemn.

Se cunoaşte faptul, că variaţia acestor mărimi se calculează pe baza unor relaţii empirice, ţinând cont de unghiul de inclinare al noilor direcţii faţă de cele principale. Cu modificarea acestor mărimi se transformă şi direcţiile principale ale tensiunilor şi deformaţiilor specifice, astfel legea lui Hooke sub forma liniară nu mai este valabilă, şi legea constitutivă ar trebui să fie descris cu o relaţie de tip ( ), ,Eσ σ ε ϕ= , unde E

reprezintă caracteristicele de material în diferite direcţii ale ortotropiei şi ϕ este unghiul între direcţia principală şi direcţia de solicitare.

În modelul propus, legea constitutivă se descrie sub forma ( ) Eσ ϕ ε= ⋅ ,

deci se menţine forma liniarizată a relaţiei. În această idee, se introduce un factor de corecţie pentru valorile tensiunilor determinate experimental.

În determinarea cât mai exactă pe cale experimentală a caracteristicilor mecanice ale materialelor ortotrope pe bază de lemn au fost utilizate două metode de investigare: metoda TER şi metoda DIC. Pentru metodologia de investigare DIC a fost elaborat un program de concepţie proprie, cu care au devenit posibile efectuarea unor teste pentru verificarea şi validarea măsurătorilor prin TER.

A fost conceput şi realizat un stand de încercare destinat monitorizării deformaţiilor epruvetelor solicitate la compresiune. În cercetările experimentale s-au folosit epruvete din diferite specii lemnoase având forma unui disc cu diametrul de 80 mm

şi grosimea de 10 mm. În conceperea standului s-a ţinut cont ca să se poată efectua analize simultane cu cele două metode de investigare, iar în alegerea tipului de epruvetă s-a ţinut cont ca pe acelaşi specimen să se poate efectua analize multiple.

Metoda numerică propusă în modelarea materialelor ortotrope a fost metoda diferenţelor finite. Astfel a fost prezentată o metodă de calcul cu diferenţe finite pentru integrarea ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope. Problema plană este formulată în tensiuni, ajungându-se la funcţia Airy, a cărei derivate parţiale de ordinul doi descriu câmpul de tensiuni. Cu ajutorul tensiunilor şi cu ecuaţiile de material se determină deformaţiile specifice. Prin analogie cu funcţia Airy, s-a utilizat o „funcţie potenţial” a deplasărilor, care face posibilă scrierea condiţiilor de contur mixte. Derivatele parţiale ale acestei funcţii dau deplasările în direcţia axelor de coordonate. Derivatele deplasărilor dau deformaţiile specifice, iar prin utilizarea ecuaţiilor de material, aceste derivate de ordin superior conduc la câmpul de tensiuni. Astfel devine posibilă scrierea condiţiilor de contur sub forma


57

tensiunilor prescrise, existând o relaţie directă între deplasări şi tensiuni, care se aproximează cu diferenţe finite.

Deoarece algoritmul de eliminare Gauss în timpul eliminării succesive a necunoscutelor prin rotunjirea rezultatelor a condus la rezultate posibil eronate, a fost prezentată o alternativă de rezolvare numerică, aceasta bazându-se pe criterii energetice.

Validarea modelului numeric propus a fost realizată prin compararea rezultatelor obţinute pe cale experimentală.

CAPITOL 9

CONTRIBUȚII LA PROBLEMATICA ABORDATĂ

Teza de doctorat „Contribuţii la determinarea, prin metode nedisstructive, a

caracteristicilor mecanice la materialele ortotrope” îmbină domeniul măsurătorilor nedistructive cu specificul modelării numerice prin utilizarea unor programe speciale în domeniul ingineriei pentru prelucrarea informaţiilor, utilizarea de ecuaţii şi programarea de algoritmi, având drept scop îmbunătăţirea procesului de determinare a caracteristicilor, care descriu comportarea unui material ortotrop. În cadrul acestei teze se pot menţiona următoarele contribuţii originale:

- Prin investigaţiile teoretice şi experimentale efectuate, a fost concepută şi realizată o instalaţie experimentală simplă pentru evaluarea deformaţiilor epruvetelor de lemn masiv sub formă de disc.

- În vederea evaluării câmpului de deplasare a fost creat şi elaborat un program bazat pe metoda corelării digitale a imaginilor.

- A fost elaborată o procedură de calcul a coeficienţilor elastici în cazul când direcţia încărcării nu coincide cu direcţia ortotropiei. Aceşti coeficienţi elastici se definesc prin nişte funcţii de corecţie obţinute experimental.

- A fost elaborată o metodă de calcul cu diferenţe finite pentru integrarea ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope, prin definirea unei „funcţii potenţial” a deplasărilor. Această metodă face posibilă scrierea condiţiilor de contur mixte, însă este greu de aplicat când parametrii elastici variază pe secţiuni.

- A fost elaborată o altă metodă de calcul cu diferenţe finite, bazată pe criterii energetice, care simplifică scrierea condiţiilor de contur mixte, şi care se poate aplica pentru secţiuni neomogene.

- Metoda de calcul cu diferenţe finite de la punctul anterior a fost dezvoltată în sensul aplicării unei proceduri de calcul neliniar iterativ pentru modelarea comportării materialelor ortotrope la care parametrii elastici variază în funcţie de direcţia solicitării. Această procedură se poate aplica şi prin metoda elementelor finite.

- Modelul numeric de calcul a fost validat prin compararea rezultatelor obţinute pe cale experimentală.


58

- Studiile efectuate s-au concentrat asupra lemnului de diferite esenţe, însă rezultatele obţinute şi modelul numeric dezvoltat se poate extinde şi asupra materialelor cu ortotropie structurală (materiale compozite).

- Cercetările ştiinţifice efectuate asupra temei şi domeniilor adiacente ei s-au materializat prin rezultate valorificate printr-un număr de 20 lucrări, din care 9 ca prim autor, publicate în reviste de specialitate.

CAPITOL 10

PERSPECTIVELE DE UTILIZARE ALE REZULTATELOR OBȚINUTE

În mecanica lemnului numeroase studii experimentale sunt axate pe determinarea

proprietăţilor elastice şi de rezistenţă. Cu toate acestea, deşi lemnul este un material ortotrop, experimentele efectuate pe direcţia longitudinale L sunt mult mai numeroase decât cele pe alte direcţii principale. După cum s-a mai menţionat, acest lucru se datorează faptului că direcţia L este direcţia preferenţială în designul structural, deoarece proprietăţile materialului de rezistenţă şi de rigiditate sunt aproximativ cu un ordin de mărime mai mare în direcţia longitudinală a fibrelor decât cele transversale. Informaţii cu privire la comportamentul elastic al materialelor ortotrope în alte direcţii decât cele longitudinale sunt destul de rare în literatura de specialitate.

În acest sens, dintre direcţiile de cercetare ce vor fi abordate în viitor, se pot menţiona:

- extinderea cercetărilor prezentate în teza de doctorat în vederea evaluării efectului rotirii direcţiei de aplicare a forţei faţă de direcţia fibrelor asupra mărimii caracteristicilor mecanice şi pe direcţia radială R şi tangenţială T ;

- extinderea studiului în cercetări cu metode experimentale nedistructive prin dezvoltarea programului propriu bazat pe corelarea digitală a imaginii în vederea obţinerii unor deplasări spaţiale;

- extinderea studiului experimentale şi a simulării numerice în cazul materialelor cu ortotropie structurală (compozite);

- introducerea procedurii iterative neliniare în metoda elementelor finite.


59

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ

[1] Alămoreanu, E., Constantinescu, D.M. Proiectarea plăcilor compozite laminate. Editura Academiei Române, Bucureşti, 2005.

[4] Atanasiu, C. Metode moderne în mecanica experimentală. Editura Printech, Bucureşti, 2004.

[10] Bodig, J., Jayne, A.B. Mechanics of wood and wood composites. Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1982.

[14] Bucur, V. Nondestructive characterization and imaging of wood. Springer Series in Wood Science, XIV, p.354, 2003.

[15] Buerger, C., Schae-ter, T., King, A.P. Hierarchical adaptive local a-ne registration for

fast and robust respiratory motion estimation. Medical image analysis 15:551-564, 2011. [20] Ciocoiu, I.B., Grigoraş,V. Tehnici moderne de procesare a semnalelor, Editura CERMI,

Iaşi, 2005. [22] Cootes, T.F., Twining, C.J., Petrovi, V.S., Babalola, K.O., Taylor, C.J. Compution

Accurate Correspondences across Groups of Images. IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence 32: 1994-2005, 2010.

[23] Cotta, N., Voiculescu, Şt., Curtu, I. Caracteristicile de fiabilitate ale rachetelor de tenis

determinate prin încercări mecanic., Ind. Lemnului nr.1, 1979. [24] Curtu I., Ghelmeziu N., Mecanica lemnului şi materialelor pe bază de lemn. Ed.

Tehnică, Bucureşti, 1984. [27] Curtu, I. Crişan, R. Rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii. Reprografia

Universităţii „Transilvania” din Braşov, partea I, 1997. [31] Curtu, I., Sperchez, Fl., ş.a. Aplicarea tensometriei electrice rezistive la lemn. Com.Ses.

Jub. Inst. Pol. Braşov, 1968 şi 1978. [35] Curtu, I., Şerbu A., Sperchez, Fl, ş.a. Calculul de rezistenţă în industria lemnului.

Editura Tehnică, Bucureşti, 1981. [39] Filipovici, J. Studiul lemnului. Volumul II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1965. [42] Gálfi, B., Kakucs, A., Harangus, K., Száva, I. Testing device for wood-based materials'

mechanical behaviours evaluation. ARTENS XII, 2008, Galaţi, Romania, Conferinţa Internaţională a Asociaţiei Române de Tensometrie, Universitatea "Dunărea de Jos" Galaţi, Romania, 24-25.10.2008. The Annals of "Dunărea de Jos" University of Galaţi, Fascicle XIV - Mechanical Engineering, p. 131-134, 2008.

[43] Gálfi, B. Száva, I., Kakucs, A., Harangus, K. Experimental investigation combined with

analytical calculus for orthotropic materials mechanical behaviors evaluation. The 7th International Scientific Conference on Naval, Mechanical, Industrial and Powered Engineering, Galaţi, Vol. X, Tom I, p.10, 2010.

[44] Gálfi, B., Száva, I., Kakucs, A., Harangus, K. A new analytical approach to the

contribution of annual rings to the softwood elements loading capacity. The 6th International Symposium on Wood Structure and Properties '10, Arbora Publishers, Zvolen, Slovakia, 2010.

[45] Gálfi, B. Determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor şi elementelor

structurale utilizate în inginerie prin metode numerice şi experimentale. Teză de doctorat, Universitatea Transilvania din Braşov, 2010.

[46] Gálfi, B., Kakucs, A., Borbás, L., Szalai, J., Harangus, K. Video Image Correlation-one

useful tool in the orthotropic materials’ displacement field, evaluation. TEHNOVAV, The 7th International Scientific Conference On Naval, Mechanical, Industrial and Power Engineering Ovidius University Annals of Mechanical, Industrial and Maritime Engineering, Volume X, Tom I, 2010.


60

[47] Gálfi, B., Sárosi, P., Szilágyi, L., Vajda, T., Száva, I. Program de calculator pentru

evaluarea franjelor moiré (în limba maghiară). The 10th Conference on Mechanics from Hungary, University of Miskolc, Miskolc, Proceedings of the Conference, p.30, 2007.

[48] Gálfi, B., Száva, I. Experimental method to establish the individual fibres’ machanical

properties of the hard-wood specimens. The 26th Symposium on Advences in Experimental Mechanics, Austria, p.63-64, 2009.

[49] Gálfi, B., Ciofoia, V., Száva, I., Harangus, K. New testing Device for Orthotropic

Materials Mechanical Behaviour Evaluation. The 7th Youth Symposium on Experimental Solid Mechanics, Wroclaw University of Technology, Poland, 2008.

[50] Gálfi, B., Száva, J., Borbás, L., Szallai, J., Harangus, K. Stand and preliminary testing

results on disc-shape hardwood specimens obtained with video image corelation method. 9th Youth Symposium on Experimental Solid Mechaniics, Trieste, Italy, 2010.

[52] Gere, M., Timoshenko, S. Mechanics of Materials, 3th Edition, cap. 6, 1991. [55] Harangus, K. The image processing method in orthotropic material evaluation.

Research and Science Today, 1(5), p. 194-203, 2013. [56] Harangus, K. Free-form deformation method in the evaluation of the displacement field

for orthotropic materials. Research and Science Today, supplement, p. 160-169, 2013. [57] Harangus, K., Kakucs, A. Finite difference modeling of orthotropic materials. Acta

Univesitatis Sapientiae, Electrical and Mechanical Engineering 2013(4), în curs de publicare.

[58] Harangus, K., Kakucs, A. Finite-difference solution using displacement potential

function for plane stresses and displacements. The 7th International Conference Interdisciplinarity in Engineering, Procedia Technology, Volume 8, p. 392-398, 2013.

[59] Harangus, K., Kakucs, A., Gálfi, B. Boundary conditions in the form of loading,

analyzed with finite-difference method. Annals Of The Oradea University. Fascicle of Management and Technological Engineering, Volume XXII (XII), p. 99-104, 2013/1.

[60] Harangus, K., Kakucs, A., Gálfi, B. Plane state problem analysis with finite-difference

method. European Scientific Journal, June/special/edition no.3, p. 123-130, 2013. [61] Harangus, K., Kakucs, A., Gálfi, B. Preliminary results of an image processing based

procedure for wood structure characterization. The 9th International Conference “Wood Science and Engineering in the Third Millenium” ICWSE 2013 „Transilvania” University, Conference Proceedings, Brasov, p. 594-600, 2013.

[62] Harangus, K. Model of orthotropic materials with the finite-difference method. Research and Science Today, 2(4), p. 143-154, 2012.

[63] Hsu, W., Hughes, J., Kaufman, H. Direct manipulation of free-form deformations. In: ACM Siggraph Computer Graphics, ACM 2:177-184, 1992.

[66] Kakucs, A. A végeselem módszer a szerkezetek számításában. Braşov, Editura Universităţii Transilvania, 2007.

[67] Kakucs, A. A véges-elem módszer alapjai. Cluj-Napoca, Editura Scientia, 2007. [68] Kakucs, A., Harangus, K., Gálfi, B. Experiment planning using artificial neural

networks. BRAMAT 2007, Brasov, Romania, International Conference on Material Science and Engineering, Transilvania University of Braşov, Romania, Bulletin of Transilvania University of Brasov, Supliment BRAMAT 2007, Transilvania University Press, pag.27, 2007.

[69] Keunecke, D., Hering, S., Niemz, P. Three-dimensional elastic behaviour of common

yew and Norway spruce. Springer-Verlag, Wood Sci Tehnol, 42:633-647, 2008. [70] Klein, S., Staring, M., Pluim, J.P.W. Evaluation of optimization methods for nonrigid

medical image registration using mutual information and B-splines. IEEE transactions on image processing 16:2879-2890, 2007.


61

[73] Lekhnitskii, S.G. Theory of Elasticity of an Anisotropic Body, English translation, Mir

Publishers, Moscow, 1981. [77] Mocanu, R.D. Analiza experimentală a tensiunilor. Vol. I., Editura Tehnică, Bucureşti,

1977. [78] Mocanu, R.D. Fenomenul moiré şi aplicaţiile lui în tensometrie. Editura Tehnică,

Bucureşti, 1973. [86] Pellerin, F.R., Ross, J.R. Nondestructive Evaluation of Wood. Forest Products Society,

Madison WI, p.40, 2002. [89] Petrican, M., Curtu,I., Sperchez, Fl., Mitişor, Al., Parascan,N. Aplicaţii ale tensometriei

în industria lemnului. Ed. Tehnică, Bucureşti, 1980. [96] Rusu, O., Gall, T., Probleme moderne ale Rezistenţei Materialelor. Editura Tehnică,

Bucureşti, 1970. [98] Sima, P. Probleme de mecanică aplicată în industria lemnului. Editura CERES,

Bucureşti, 1985. [100] Suciu, P. Lemnul – structură, proprietăţi, tehnologie. Editura Ceres, Bucureşti, 1975. [108] Szalai, J., A faanyag és faalapú anyagok anizotróp rugalmasság- és szilárdságtana. I.

rész. A mechanikai tulajdonságok anizotrópiája. Sopron: Editura Hillebrand, 2004. [109] Száva, I., Kakucs, A., Tutunea, R., Popa, S., Barna, A., Gálfi, B., Sárosi, P., Harangus,

K., Demzse, L. Research Concerning on Mechanical Properties of Cylinder-Head

Gasket Materials. Transaction of the VŠB-Technical University of Ostrava, Metallurgical Series, Vol. 1, p. 130-133, 2008.

[110] Száva J., Pereţeanu K.-C., Harangus K. New Testing Device for Time Dependent Glue

Behaviour Analysis by mean of Holographic Interferometry, The 5th International Symposium, Wood Structure and Properties '06, Slovakia, Arbora Publishers, Zvolen, p.409-412, 2006.

[111] Száva, I., Ciofoaia, V., Curtu, I. Metode experimentale în dinamica structurilor

mecanice. Vol. I. şi II., Editura Universităţii Transilvania din Braşov, 2000. [114] Száva, I., Kakucs, A., Tutunea, R., Popa, S., Barna, A., Gálfi, B., Sárosi, P., Harangus,

K., Demzse, L. Research Concerning on Mechanical Properties of Cylinder-Head

Gasket Materials. The 12th International Conference on Problems of Material Engineering, Mechanics and Design, University of Trencin, Faculty of Puchov, Jasna, 2007.

[115] Száva, I. Rezistenţa materialelor. Editura Universităţii „Transilvania” din Braşov, 1999. [116] Száva, J., Dani, P., Gálfi, B., Kakucs, A., Sárosi, P., Harangus, K. A Moiré-sávok

elvének alkalmazása roncsolásmentes vizsgálatokra. Anyagvizsgálók lapja, Ungaria, nr. 3, 2007.

[121] Theocaris, P.S., Mocanu, R.D. Analiza experimentală a tensiunilor. Vol. II., Editura Tehnică, Bucureşti, 1977.

[135] Bezdek, JC. Pattern recognition with fuzzy objective function algorithms. Plenum, New York, 1981.

[136] Szilágyi, L, Benyó, Z, Szilágyi, SM, Adam HS. MR brain image segmentation using an

enhanced fuzzy c-means algorithm. In: Proc. 25th Annual Int’l Conference of IEEE EMBS, p. 724-726, 2003.

[137] Zadeh LA. Fuzzy sets. Information and Control 8:338-353, 1965. [138] Mazilu, P., Țopa, N., Ieremia, M. Aplicarea teoriei elastcicităţii şi a plăcilor. Editura

Tehnică, Bucureşti, 1986. [139] Harangus, K., Kakucs, A., Gálfi, B. Plane state problem analysis with finite-difference

method. 1st Annual International Interdisciplinary Conference, AIIC Vol.3, Conference Proceedings, p. 123-130, 2013.


62

Rezumat

În contextul dezvoltării accelerate a cercetării în domeniul ingineria materialelor, o direcţie reprezentativă se referă la determinarea cât mai exactă a caracteristicelor mecanice aferente materialelor ortortope. Lucrarea de doctorat se înscrie în această direcţie, având ca obiectiv principal stabilirea ecuaţiilor matematice în care intervin caracteristicele de material, măsurarea acestor caracteristici prin metode nedistructive, iar prin metoda diferenţelor finite, compararea datelor măsurate cu cele calculate analitic. În urma analizei critice a stadiului actual s-a ajuns la concluzia că nu există referiri la modul schimbării direcţiilor principale ale tensiunilor şi deformaţiilor specifice, când în timpul solicitării planul de ortotropie închide diferite unghiuri cu direcţia fundamentală. În determinarea cât mai exactă pe cale experimentală a caracteristicilor mecanice ale materialelor ortotrope pe bază de lemn au fost utilizate două metode de investigare: metoda tensometriei electrice rezistive (TER) şi metoda corelării digitale a imaginii (DIC). Pentru metodologia de investigare DIC a fost elaborat un program de concepţie proprie, cu care au devenit posibile efectuarea unor teste pentru verificarea şi validarea măsurătorilor prin TER. A fost conceput şi realizat un stand de încercare destinat monitorizării deformaţiilor epruvetelor solicitate la compresiune. În cercetările experimentale s-au folosit epruvete din diferite specii lemnoase având forma unui disc cu diametrul de 80 mm şi grosimea de 10 mm. Metoda numerică propusă în modelarea materialelor ortotrope a fost metoda diferenţelor finite. Astfel a fost prezentată o metodă de calcul cu diferenţe finite pentru integrarea ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope, respectiv o rezolvare numerică bazându-se pe criterii energetice.

Summary

In the context of accelerated research growth in the field of material engineering, a representative direction refers to the more exact determination of mechanical characteristics regarding orthotropic materials. The thesis aims in this direction, with the following main objectives: to determine the mathematical equations in which the characteristics of the material intervene; to measure these characteristics by non-destructive methods; and to compare the measured data with those analytically calculated using the finite difference method. After a critical analysis of the state of the art, it was concluded that there are no references to the changes of the main directions of the principal stresses and strains, the orthotropic plane closes different angles with the fundamental direction when a load is applied. In order to determine experimentally the accurate orthotropic mechanical characteristics of wood-based materials there have been used two methods to investigate: the method based on Rosette Gage Theory (TER) and the Digital Image Correlation method (DIC). A new conception program was developed for the DIC investigation methodology, by which it became possible to conduct tests to verify and validate the measurements made with the TER method. A testing device was developed and realized exclusively for specimens which require compressive deformation monitoring. Identical specimens of different species of wood were prepared and used as samples. The samples were cut parallel to the wood fibers and cut into specimens having the shape of a disc with a diameter of 80 mm and a thickness of 10 mm. The numerical method proposed in modelling orthotropic materials was the finite-difference method. Thus a finite-difference computational method for the integration of differential equations was presented with partial derivatives which describe the plane state of displacement or stress of the orthotropic materials, respectively numerical solution based on energy criteria.


63

Curriculum Vitae

Nume: JAKAB;

Prenume: Katalin;

Data naşterii: 15 octombrie 1966, Tîrgu-Mureş, judeţul Mureş, România;

Adresă: str. Buteanu Ion, nr. 23/7, RO-540378, Tîrgu-Mureş, judeţul Mureş, România;

Telefon: +40-741-427 569;

E-mail: [email protected]

Funcţia şi locul de muncă: Secretar facultate, Universitatea Sapientia din Cluj-Napoca, Facultatea de Ştiinţe Tehnice şi Umaniste, Tg. Mureş.

Educaţie şi formare:

2010-2013 Doctorat: Universitatea Transilvania din Braşov, Facultatea de Inginerie Mecanică, Departamentul de Inginerie Mecanică, Domeniul Inginerie Mecanică;

1985-1992 Studii universitare: Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Facultatea de Automatică şi Calculatoare, specializarea Calculatoare.

Experienţa profesională didactică:

2006- şef lucrări, plata cu ora, Fundaţia Sapientia - Universitatea Sapientia din Cluj-Napoca, Facultatea de Ştiinţe Tehnice şi Umaniste, Tg. Mureş, Departamentul de Inginerie Electrică şi Departamentul de Ştiinţe Umaniste;

2005-2006 asistent universitar, plata cu ora, Fundaţia Sapientia - Universitatea Sapientia din Cluj-Napoca, Facultatea de Ştiinţe Tehnice şi Umaniste, Tg. Mureş, Departamentul de Inginerie Electrică.

Activitatea didactică:

Optimizarea sistemelor mecatronice (laborator); Instruire asistată de calculator (laborator); Prelucrarea statistică a datelor (curs), Instruire asistată de calculator (laborator); Tehnologii informaţionale şi de comunicare (curs, laborator); Aplicaţii informatice în sănătate (curs, laborator); Statistică şi demografie (curs, laborator).

Activitate ştiinţifică: articole publicate: 20, dintre care 9 ca prim autor.


64

Curriculum vitae

First Name: Katalin

Second Name: JAKAB

Date of Birth: October 15, 1966, Tîrgu-Mureş, Mureş, România;

Adress: str. Buteanu Ion, nr. 23/7, RO-540378, Tîrgu-Mureş, judeţul Mureş, România;

Phon Number: +40-741-427 569;

E-mail: [email protected]

Position and work: Faculty secretary at Sapientia – Hungarian University of Transylvania,Faculty of Technical and Human Sciences, Târgu Mureş.

Studies:

2010-2013 PhD: Transilvania University of Braşov, Facultaty of Mechanical Engineering, Departmen of Mechanical Engineering, Domain Mechanical Engineering;

1985-1992 Undergraduate: Tehnical University of Cluj Napoca, Faculty of Automation and Computer Science, specialization Computer Science.

Teaching professional experience:

2006- lecturer engineering, associate, Sapientia – Hungarian University of Transylvania, Faculty of Technical and Human Sciences, Electrical Engineering Department, and Human Sciences Department;

2005-2006 assistant lecturer, associate, Sapientia – Hungarian University of Transylvania, Faculty of Technical and Human Sciences, Electrical Engineering Department.

Teaching activities:

Mechatronic System Design and Optimization (laboratory); Computer- Based Training (laboratory); Statistic data processing (course); Technology of Information and Communication (course, laboratory); IT skills in health care (course, laboratory); Social Statistics and Demography (course, laboratory).

Scientific activity: published papers: 20, of which 9 as first author.

rezumat jakab katalin - unitbv.roold.unitbv.ro/portals/31/sustineri de...

Documents