rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere facultatea de
TRANSCRIPT
MINISTERUL AFACERILOR INTERNE
ACADEMIA DE POLIŢIE
„Alexandru Ioan Cuza”
FACULTATEA DE POMPIERI
ALGEBRĂ
ȘI ELEMENTE DE
ANALIZĂ MATEMATICĂ
Rezolvarea subiectelor date la concursul de
admitere
Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri
2006 - 2016
Editura Ministerului Afacerilor Interne 2016
Emanuel DARIE
Coordonator:
Valentin UBAN
Garibald POPESCU
Cristian DAMIAN
*Col. conf. univ. dr. ing. – Facultatea de Pompieri I
**Col. dr. ing. – Inspectoratul General pentru Situații de Urgență
Coordonator: Valentin UBAN
Garibald POPESCU* Emanuel DARIE* Cristian DAMIAN**
ALGEBRĂ
ȘI ELEMENTE DE
ANALIZĂ MATEMATICĂ
Rezolvarea subiectelor date la concursul de
admitere
Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri
2006 - 2016
ISBN: 978-973-745-167-5
Colecția
București
Editura Ministerului Afacerilor Interne
2016
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
II
CUVÂNT ÎNAINTE
Demersul realizării unui volum care să cuprindă rezolvarea subiectelor de la
disciplina „Algebră și Elemente de Analiză Matematică” date la concursul de
admitere la Facultatea de Pompieri din cadrul Academiei de Poliție „Alexandru Ioan
Cuza” a pornit de la necesitatea existenței unui cadru real de verificare a candidaților
la concursul de admitere.
Experiența didactică a autorilor arată că, în special la această disciplină se
impune o pregătire în condiții reale a concursului, această lucrare oferind posibilitatea
rezolvării subiectelor și în consecință testarea candidaților în timpul alocat.
Deși rezolvarea acestor subiecte de tip grilă nu poate înlocui pregătirea
fundamentală teoretică și aplicativă la disciplina „Algebră și Elemente de Analiză
Matematică” a viitorilor studenți, acestea pot constitui un suport real de abordare a
problemelor propuse, mai ales că subiectele sunt rezolvate în întregime, unele chiar
prin mai multe metode.
Având în vedere faptul că se reunesc în lucrare rezolvările subiectelor date la
concursul de admitere în perioada 2006-2016, considerăm că studierea cu atenție a
acesteia reprezintă în sine o modalitate solidă de aprofundare a tuturor capitolelor
necesare atacării cu succes a unui examen de „Algebră și Elemente de Analiză
Matematică”.
Lucrarea este de un real folos viitorilor candidați la concursul de admitere la
Facultatea de Pompieri, fiind prima de acest tip realizată de un colectiv de cadre
didactice și specialiști ai Inspectoratului General pentru Situații de Urgență.
De asemenea, parcurgerea lucrării poate fi utilă tuturor candidaților la
concursul de admitere în învățământul superior tehnic civil și militar.
Octombrie 2016 Autorii
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
III
CUPRINS
1. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2006………………………………
1
2. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2007………………………………
10
3. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2008………………………………
16
4. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2009………………………………
23
5. Rezolvarea subiectelor date la concursul de – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2010………………………………
31
6. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2011………………………………
38
7. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2012………………………………
46
8. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2013………………………………
57
9. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2014………………………………
65
10. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2015………………………………
88
11. Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere – Academia de Poliție
„Alexandru Ioan Cuza” Facultatea de Pompieri, 2016………………………………
103
12. Bibliografie…………………………………………………………………… 119
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2006
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 1 2006
1. Soluţiile ecuaţiei lg 100xx x (unde )loglg 10 xx sunt:
a) 21 10,10 ; b) 2,1 ; c) 10,1 ; d) 3,2 ; e) 100,10 ; f) 2,1 .
Soluție:
Domeniul de definiţie este dat de:
0x , 1x 1\),0( x . (1)
Atunci:
xx x 100lg xx x 100lglg lg xxx lg10lg100lg)(lg 22
xx lg2)(lg 2 02lg)(lg 2 xx . (2)
Notăm:
xy lg 022 yy , (3)
care admite soluţiile
2lg x 2
1 10100 x şi 1lg x 1
2 10 x . (4)
Răspunsul corect este a).
2. Ecuaţia 1223 33 xxxx are soluţia:
a) 1x ; b) 0x ; c) 2x ; d) 1x ; e) 3 2x ; f) 2x .
Soluție:
Domeniul de definiţie: ecuaţia admite soluţii în .R
Avem că:
1223 33 xxxx 1022 3 33 xxxx . (5)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2006
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 2 2006
Se observă că, în mod unic, avem simultan:
223 3 xx şi 823 xx . (6)
Din cea de-a doua ecuaţie rezultă:
0102 xx (7)
sau
0283 xx 0)52)(2( 2 xxx . (8)
Singura soluţie reală este 2x .
Răspunsul corect este c).
3. Să se calculeze partea imaginară a numărului complex i
iz
1
1.
a) 1Im z ; b) iz Im ; c) iz Im ; d) 1Im z ; e) zz ReIm ; f) 0Im z .
Soluție:
Deoarece:
ii
i
i
i
i
i
i
i
iz
2
2
1
)1(
1
1
1
1
1
12
2
ziz ImRe . (9)
Răspunsul corect este a).
4. Să se calculeze 12
1arcsin)2(lim
2
2
xx
x.
a) 0; b)1; c) ; d) 2
1; e) 2; f) nu există.
Soluție:
Deoarece:
2
1
12
2lim
12
1)12(
12
1arcsin)2(
lim12
1arcsin)2(lim
2
2
2
2
2
2)0(
2
2
x
x
xx
xx
xx
xxx. (10)
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2006
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 3 2006
Pentru rezolvare s-au utilizat:
1)(
)(arcsinlim
0
xu
xu
x sau 1
)(
1
)(
1arcsin
lim
xu
xu
x. (11)
5. Termenul al cincilea al unei progresii geometrice în care 3848 b şi raţia
2q este:
a) 485 b ; b) 1925 b ; c) 365 b ; d) 5b 46; e) 1285 b ; f) 725 b .
Soluție:
Termenul general al unei progresii geometrice este:
1
1
n
n qbb . (12)
Atunci:
7
18 qbb 7
1 2384 b71
2
384 b . (13)
Rezultă:
482
3842
2
3842
3
4
7
4
15 bb . (14)
Răspunsul corect este a).
6. Fie 0\)2,2(: f R , 22 4ln)( xxxf . Suma valorilor extreme ale
funcţiei f este:
a) 2ln4 ; b) 2 ; c) 2
1; d) 2 ; e) 2ln2 ; f) 0.
Soluție:
Valorile extreme se calculează utilizând derivata întâi:
0)4(
)]4([)4(ln)(
22
'22'22'
xx
xxxxxf 048 3 xx 0)2(4 2 xx . (15)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2006
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 4 2006
Rezultă:
,01 x 22 x , 23 x . (16)
Atunci:
2 3 4ln2f x f x . (17)
Răspunsul corect este a).
7. Valoarea determinantului
cabcab
cbaa
c
c
b
b
a
, pentru care 0\,, Rcba este:
a) ))()(( accbba ; b) )( cbaabc ; c) abc ; d) ))()(( accbba ; e) 0;
f) )( cabcababc .
Soluție:
Utilizând regula lui Sarrus pentru descompunerea determinantului, rezultă:
cabcab
cbaa
c
c
b
b
a
ccbb
c
a
cbbac
c
bba
a
ccbaacb
b
a
acc
ba 222222 cbaccbbacbac ))()(( accbba . (18)
Răspunsul corect este a).
8. Asimptotele funcţiei RRf 0\: , x
exf
x
)( sunt:
a) 1x asimptotă verticală şi 0y asimptotă orizontală;
b) 0x asimptotă verticală şi xy asimptotă oblică;
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2006
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 5 2006
c) 0y asimptotă orizontală şi 1 xy asimptotă oblică;
d) 0x asimptotă verticală;
e) ex asimptotă verticală şi 1y asimptotă orizontală;
f) ex 1 asimptotă verticală.
Soluție:
În concordanţă cu modul de definire al funcţiei:
RRf 0\: , (19)
rezultă că
0x , (20)
este asimptotă verticală a funcţiei din text.
Determinăm asimptotele orizontale:
0limlimlim)(lim'
'0
x
x
x
x
x
xxe
x
e
x
exfy ; (21)
x
x
x
x
x
xxe
x
e
x
exfy limlimlim)(lim
'
'
. (22)
Determinăm asimptotele oblice:
0lim)(
lim2
x
e
x
xfm
x
xx; (23)
2
lim)(
limx
e
x
xfm
x
xx. (24)
Atunci:
0)(lim)(lim
xfmxxfnxx
. (25)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2006
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 6 2006
Funcţia nu admite asimptote oblice.
Răspunsul corect este d).
9. O primitivă a funcţiei RRf : ,
0,3
0,)(
2 xx
xxexf
x
, este :
a)
0,
0,1)1()(
3 xx
xxexF
x
; b)
0,
0,)1()(
3 xx
xxexF
x
;
c)
0,
0,1)1()(
3 xxx
xxexF
x
; d)
0,1
0,1)1()(
3 xx
xxexF
x
;
e)
0,
0),1()(
3 xx
xxexF
x
; f)
0,
0,1)1()(
2 xx
xxexF
x
.
Soluția nr. 1:
O primitivă a funcţiei:
RRf : ,
0,3
0,)(
2 xx
xxexf
x
, (26)
este
0,
0,)1()(
2
3
1
xcx
xcxexF
x
, (27)
care admite o dublă infinitate de soluţii.
Deoarece o funcţie este integrabilă dacă şi numai dacă este derivabilă. O
funcţie este derivabilă dacă şi numai dacă aceasta este continuă.
Atunci:
0,
0,1)0(
2
1
xc
xcF . (28)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2006
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 7 2006
Pentru valoarea 0x , rezultă:
21 1 cc . (29)
Se observă că pentru:
02 c , (30)
rezultă
11 c . (31)
Atunci:
0,
0,1)1()(
3 xx
xxexF
x
. (32)
Răspunsul corect este a).
Soluția nr. 2:
O primitivă a funcţiei:
RRf : ,
0,3
0,)(
2 xx
xxexf
x
, (33)
este
0,
0,)1()(
2
3
1
xcx
xcxexF
x
, (34)
care admite o dublă infinitate de soluţii.
Deoarece o funcţie este integrabilă dacă şi numai dacă este derivabilă. O
funcţie este derivabilă dacă şi numai dacă aceasta este continuă.
Atunci:
0,
0,1)0(
2
1
xc
xcF . (35)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2006
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 8 2006
Pentru valoarea 0x , rezultă:
21 1 cc . (36)
Dacă:
cc 2 , (37)
respectiv
cc 1 , (38)
atunci
0,
0,1)1()(
3 xcx
xcxexF
x
, (39)
respectiv
0,1
0,)1()(
3 xcx
xcxexF
x
. (40)
Se observă că pentru:
1c , (41)
rezultă
0,
0,1)1()(
3 xx
xxexF
x
. (42)
Răspunsul corect este a).
Observații:
Metoda nr. 1
Pentru calculul integralei cu 0x , s-a utilizat integrarea prin părţi:
dxxeI x dxex x ' dxexe xx
1)1( cex x , (43)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2006
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 9 2006
în care
xxf )( 1)(' xf ; (44)
'' )( xexg ; xexg )( . (45)
Metoda nr. 2
Pentru calculul integralei cu 0x , s-a utilizat substituţia:
te x tx ln , (46)
pentru care
dtdxe x dttdx , (47)
Atunci integrând prin părţi:
dxxeI x
tdtln 11 )1()1(ln cxectt x . (48)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2007
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 10 2007
1. Fie funcţiile: xxgRRgxxfRf 5)(,:,log,;0: 2
. Atunci:
a) f crescătoare şi g crescătoare; b) f descrescătoare şi g crescătoare;
c) f crescătoare şi g descrescătoare; d) f și g au numai valori negative;
e) f și g au numai valori pozitive; f) f descrescătoare şi g descrescătoare.
Soluție:
Prin definiţie, funcţia:
xxf 2log , (1)
este crescătoare pe intervalul ),0( , iar funcţia
xxg 5)( , (2)
este crescătoare pe R .
Răspunsul corect este a).
2. Să se rezolve ecuaţia: 10833 1 xx .
a) 3x ; b) 4x ; c) 2x ; d) 1x ; e) ecuaţia nu are soluţie ; f) 5x .
Soluție:
Deoarece:
1084310833310833 1 xxxxx
333273 3 xxx . (3)
Răspunsul corect este a).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2007
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 11 2007
3. Dacă z este o rădăcină a ecuaţiei 0522 zz , atunci z este:
a) 1; b) 4; c) 8; d) 5 ; e) 2; f) 5.
Soluție:
Ecuaţia:
0522 zz (4)
admite soluţiile
2,1z i 21 , (5)
în care
52122
1 z şi 521 22
2 z . (6)
În concluzie:
521 zzz . (7)
Răspunsul corect este d).
4. Să se calculeze
Nnm
nx
mx
x,,
sin
sinlim
0.
a) mn ; b) 1; c) nm ; d) nu există; e) nm ; f) n
m.
Soluția nr. 1:
Din text:
n
m
nx
mx
n
m
nxn
mxm
nx
mx
nx
mx
xxxx
cos
coslim
cos
coslim
sin
sinlim
sin
sinlim
00'
'
0
0
0
0, (8)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2007
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 12 2007
Deoarece:
1coslim0
mxx
, )( Nm , (9)
şi
1coslim0
nxx
, )( Nn , (10)
funcţiile
nxnxmxmx cos,sin,cos,sin , (11)
sunt continue pe R .
Răspunsul corect este f).
Soluția nr. 2:
Se utilizează fără demonstraţie faptul că:
1sin
lim0
x
x
x. (12)
În consecinţă avem:
1sin
lim0
mx
mx
xşi 1
sinlim
0
nx
nx
x *,)( Nmn . (13)
Atunci:
n
m
nx
mx
nxnx
nx
mxmx
mx
nx
mx
xxx
00
0
0
0lim
sin
sin
limsin
sinlim . (14)
Răspunsul corect este f).
5. Termenul al cincilea al unei progresii geometrice nb , *Nn cu primul termen
31 b şi raţia 2 este:
a) 48 ; b) 100; c) 20; d) 2007; e) 8; f) 5.
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2007
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 13 2007
Soluție:
Termenul general al unei progresii geometrice este:
1
1
n
n qbb . (15)
Atunci termenul al cincilea este:
482)3( 44
15 qbb . (16)
Răspunsul corect este a).
6. Calculaţi 1'f dacă Rxarctgxxxf ,2
1.
a) ; b) 0; c) 21 ; d) 2; e) 1; f) -1.
Soluție:
Deoarece:
2
'
1
1
2
1
2
1
xxfarctgxxxf
. (17)
În aceste condiţii:
11' f . (18)
Răspunsul corect este e).
Soluție:
Dacă C este o rădăcină a ecuaţiei 012 xx . Determinantul matricei
11
1
A este:
a) -1; b) ; c) 1- i; d) 2; e) 2 ; f) 0.
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2007
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 14 2007
Soluție:
Deoarece C este rădăcină a ecuaţiei:
012 xx , (19)
rezultă că
012 . (20)
Deoarece:
11
1
A , (21)
Atunci:
1
det. ( 1) ( 1) 1 ( 1) 11 1
A
.012 (22)
Răspunsul corect este f).
8. Şirul cu termenul general nn
nx
2 are limita:
a) 5 ; b) -1; c) 1; d) 2; e) ; f) 0.
Soluție:
Deoarece:
nnf )( şi nng 2)( , (23)
sunt funcţii continue şi derivabile pe R , avem
02
1lim
2ln
1
2ln2
1lim
2limlim
nxnxnxn
x
nx . (24)
Răspunsul corect este f).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2007
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 15 2007
9. Funcţia
,0,1
1x
xxxf are primitivele:
a) cx )1ln( 2 ; b) cx
x
1ln ; c) carctgxx ; d) cx ; e) cxx )1ln( ; f) cxx ln .
Soluție:
Din:
1)1(
1
x
B
x
A
xx, (25)
rezultă
1A şi 1B . (26)
Atunci:
cxx
x
dx
x
dxdx
xxdx
xxI 1lnln
11
11
)1(
1
= xln .1
ln)1ln( cx
xcx
(27)
Răspunsul corect este b).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2008
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 16 2008
1. Să se rezolve inecuaţia 2)3(log 2 x .
a)
3
4,x ; b)
3
4,0x ; c) 3x ; d) 1x ; e)
3
4,01,0x ; f) 1,0x .
Soluție:
Se stabileşte domeniul maxim de definiţie pentru funcţia logaritm, definită în
text.
Condiţia este dată de:
,0003 xxx . (1)
Se rezolvă ecuaţia din text:
2)3(log 2 x 4log)3(log 22 x 43 x 3
4x
3
4,x . (2)
Soluţia ecuaţiei este dată de:
3
4,0
3
4,,0x . (3)
Răspunsul corect este b).
2. Să se calculeze numărul: 2
6
6
8 ACS .
a) 60S ; b) 56S ; c) 2S ; d) 58S ; e) 52S ; f) 48S .
Soluție:
2
6
6
8 ACS !4
!6
!2!6
!8
!4
65!4
!2!6
87!6583028 . (4)
Răspuns corect d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2008
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 17 2008
3. Se consideră numerele complexe iz 221 şi iz 12 . Să se calculeze modulul
numărului complex 21 zz .
a) 10; b) 10 ; c) 2 ; d) 5 ; e) 1; f) 23 .
Soluție:
Conform cerinţei din text:
izzz 321 . (5)
Modulul numărului complex z este:
1013 22 z . (6)
Răspuns corect b).
4. Să se calculeze 1
2lim
23
1
x
xxl
x.
a) nu există; b) 1l ; c) l ; d) 5l ; e) 7l ; f) 3l .
Soluția nr. 1:
Limita din text devine:
5)23(lim)1(
)2(lim
1
2lim 2
1'
'23
1
0
023
1
xx
x
xx
x
xxl
xxx. (7)
Soluția nr. 2:
Limita din text devine:
0
023
1 1
2lim
x
xxl
x5)22(lim
1
)22)(1(lim 2
1
2
1
xx
x
xxx
xx. (8)
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2008
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 18 2008
5. Să se determine numerele reale m şi n astfel încât funcţia Rf ),0(: ,
,,
,0,ln)(
exnmx
exxxf să fie derivabilă.
a) e
m1
, 0n ; b) Rm , 1n ; c) e
m1
, 1n ; d) 1m ; 1n ; e) e
m1
, Rn ;
f) e
m1
, 2n .
Soluție:
Studiem derivabilitatea funcţiei în punctul ex .
Limita la stânga )( ex :
)(lim)( xfelex
s 1 (9)
Limita la dreapta )( ex :
nemxfelex
s
)(lim)( (10)
Din relaţiile (9) şi (10) rezultă:
1 nem . (11)
Derivata întâi este:
,,
,0,1
)(/
exm
exxxf . (12)
Atunci:
eef s
1)(/ (13)
şi
mefd )(/ . (14)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2008
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 19 2008
În concluzie:
em
1 , 0n . (15)
Răspunsul corect este a).
6. Se consideră matricea
xx
xxA , Rx . Să se calculeze suma elementelor
de pe diagonala principală a matricei 3A .
a) x8 ; b) 3x ; c) 38x ; d) 24x ; e) 35x ; f) 0.
Soluție:
Cerinţa din text devine:
22
2
2
22
22
xx
xx
xx
xx
xx
xxAAA . (16)
.44
44
22
2233
33
22
22
23
xx
xx
xx
xx
xx
xxAAA (17)
Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei 3A este egală cu 28x .
Răspunsul corect este c).
7. Fie matricea
121
011
322
A . Atunci valoarea determinantului inversei
matricei A este:
a) 1; b) -1; c) 2; d) 2
1; e) 3; f) 0.
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2008
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 20 2008
Soluție:
Matricea transpusă se defineşte ca fiind:
103
212
112TM . (18)
Matricea adjunctă admite forma:
333231
232221
131211
*
aaa
aaa
aaa
A
461
351
341
, (19)
pentru care s-au calculat
110
211
11
11
a ; (20)
413
221
21
12
a ; (21)
303
121
31
13
a ; (22)
110
111
12
21
a ; (23)
513
121
22
22
a ; (24)
303
121
32
23
a ; (25)
121
111
13
31
a ; (26)
622
121
23
32
a ; (27)
412
121
33
33
a . (28)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2008
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 21 2008
Determinantul matricei A este:
2 2 3
det. 1 1 0 1
1 2 1
A
. (29)
În aceste condiţii:
1
1 4 3
1 5 31 4 3
1 6 4*1 5 3
det. 11 6 4
AA
A
. (30)
Atunci:
1
1 4 3
det. 1 5 3 1
1 6 4
A
. (31)
Răspunsul corect este b).
8. Fie funcţia Rf ),0(: , xxxf ln)( . Primitiva F a lui f , cu proprietatea
4
1)1( F , este:
a) 4
ln2
)(2 x
xx
xF ; b) 4
)(2x
xF ; c) 4
ln2
)(2x
xx
xF ; d) 4
ln2
)(22 x
xx
xF ;
e) )1(ln4
)(2
xx
xF ; f) 4
ln2
)(22 x
xx
xF .
Soluție:
dxx
xxdxxxF ln
2ln)(
'2
xx
ln2
2
dxx2
1c
xx
x
4ln
2
22
. (32)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2008
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 22 2008
Din relaţia (32) rezultă:
cF 4
1)1( . (33)
Din text:
4
1)1( F . (34)
Corelând condiţiile, rezultă 0c .
Răspunsul corect este f).
Pentru calcule s-au utilizat următoarele:
xxf ln)( ; x
xf1
)(' ; (35)
şi
'2
'
2)(
xxg ;
2)(
2xxg . (36)
9. Aria A a suprafeţei mărginită de parabolele 2xy , 3
2xy şi de dreptele 0x
şi 3x este:
a) 1A ; b) 4
5A ; c) 6A ; d) 3A ; e)
4
11A ; f) 5A .
Soluție:
Aria cerută este:
3
0
22
3dx
xxA
3
0
2
3
2dxx
3
0
3
33
2 x = 6 (u.a.) (37)
Răspunsul corect este c).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2009
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 23 2009
1. Să se determine n astfel încât 4
,2
,121
nn CC să fie termeni succesivi ai unei
progresii aritmetice.
a) 10; b) 8; c) 12; d) 14; e) 6; f) 9.
Soluție:
Se consideră termenii succesivi ai unei progresii aritmetice:
...,,,,... 11 kkk aaa . (1)
Atunci avem că:
112 kkk aaa 4
12
1 nn
CC 21 44 nn CC (2)
!)2(!2
!4
)!1(
!4
n
n
n
n
2
)1(44
nnn
0892 nn . (3)
Ecuaţia admite soluţiile:
11 n şi 82 n . (4)
Datorită condiţiei 2n impusă de text, se acceptă doar soluţia 8n .
Răspunsul corect este b).
2. Soluţia reală a ecuaţiei 11 xxx este:
a) 1; b) 5
1; c) 2; d)
25
16; e)
4
3; f) 0.
Soluția nr. 1:
Se impun condiţiile necesare şi suficiente pentru stabilirea domeniului de
definiţie al radicalilor:
011
01
0
x
x
x
011
1,0
x
x
11
1,0
x
x 1,0x . (5)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2009
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 24 2009
Se consideră funcţia:
)(xf 11 xxx . (6)
Prin încercări se calculează:
0)1( f ; 0)51( f ; 0)2516( f ; 0)43( f ; 0)0( f . (7)
Răspunsul corect este d).
Soluția nr. 2:
Se impun condiţiile necesare şi suficiente pentru domeniul de definiţie al
radicalilor:
011
01
0
x
x
x
011
1,0
x
x
11
1,0
x
x 1,0x . (8)
Se rezolvă ecuaţia din text, astfel:
11 xxx 22 )1()1( xxx xxxx 211
xxxx 211 22 )11()2( xx xxx 11214
xxx 11214 22 )12()25( xx xxx 1442025 2
xxx 4442025 2 01625 2 xx 0)1625( xx . (9)
Rezultă:
01 x , (10)
care nu se verifică şi
25
162 x , (11)
care se verifică.
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2009
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 25 2009
3. Să se determine rădăcinile ecuaţiei 033289 1 xx .
a) 1 şi 2; b) -1 şi - 2; c) 1 şi -2; d) 3
1 şi 9; e) 3 şi
9
1; f) 1 şi 2.
Soluție:
Ecuaţia se mai scrie:
033289 1 xx 0332899 xx 0332839 2 xx . (12)
Se notează: xy 3 03289 2 yy , (13)
pentru care
a
by
y
22,1
18
2628 , (14)
de unde rezultă
31 y şi 9
12 y . (15)
Revenind la substituţie, rezultă:
11 x şi 22 x . (16)
Răspunsul corect este c).
4. Să se determine m, astfel ca 1
313
12
201
m .
a) 2 ; b) 2; c) 1; d) -1; e) 0; f) 3.
Soluție:
Din text avem:
1
313
12
201
m 153 m 2 m . (17)
Răspunsul corect este a).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2009
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 26 2009
5. Suma elementelor matricei X din
01
01
11
12X este:
a) 2; b) 1; c) 3; d) 0; e) 4; f) 5.
Soluție:
Ecuaţia este de forma:
BAX , (18)
în care
11
12A şi
01
01B . (19)
Pentru :
BAX , (20)
înmulţim cu 1A la dreapta şi rezultă
11 ABAAX 1 ABX . (21)
Calculăm 1A . Atunci:
0111
12).(det
A . (22)
Matricea transpusă admite forma:
11
12TA . (23)
Matricea adjunctă admite forma:
21
11
2221
1211*
aa
aaA , (24)
în care
11111
11
a ; (25)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2009
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 27 2009
1)1(121
12
a ; (26)
1)1(112
21
a ; (27)
22122
22
a . (28)
În aceste condiţii:
1
1 1
1 11 2*
1 2det. 1
AA
A
. (29)
Atunci:
1 ABX
21
11
01
01
11
11. (30)
Atunci suma elementelor matricei X este egală cu 4.
Răspunsul corect este e).
6. Să se calculeze 1
1
2 2
)23(lim
x
xxx .
a) 1; b) 0; c) e ; d) ; e) 2
1; f)
e
1.
Soluție:
Limita este de tipul ( 0 ).
Fie:
1
1
2)( 2
)23()()( xxh xxxgxf , (31)
de unde se poate scrie că
)(ln)()( xgxhexf , (32)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2009
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 28 2009
şi deci
)(lim xfx
)(ln)(1
1
2 lim)23(lim2 xgxh
x
x
xexx
. (33)
Atunci:
1
)23ln(lim
2
2
x
xx
x
'2
'2
)1(
))23(ln(lim
x
xx
x
'22
'2
)1(23
)23(lim
xxx
xx
x 3 2
2 3lim 0
2 6 4x
x
x x x
. (34)
Răspunsul corect este a).
7. Fie funcţia RRf : , 2
2
)(
x
exf . Să se calculeze )1("f .
a) e ; b) e ; c) e
1; d) e2 ; e)
e
2; f) 0.
Soluție:
Prima şi a doua derivată sunt:
2'2'
22
)()(
xx
exexf , (35)
respectiv
22'2"
22
)1()()(
xx
exexxf . (36)
Atunci:
ef 2)1(" . (37)
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2009
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 29 2009
8. Dacă
1
0 2 )1)(1( xx
dxI , atunci:
a) I4
2ln4
1 ; b) I 16ln ; c) I
8
; d) I
22ln
4
1 ; e) I
82ln
4
1 ;
f) I8
2ln2
1 .
Soluție:
Deoarece:
11)1)(1(
122
x
CBx
x
A
xx )1)(()1(1 2 xCBxxA , (38)
rezultă
1CA ; 0 BA ; 0CB . (39)
Din:
0
0
CB
BA
0
0
CB
BA 0CA . (40)
Din:
0
1
CA
CA
2
1 CA . (41)
Din:
2
10
A
BA
2
1B . (42)
Rezultă atunci că:
)1(2
1
1
1
2
1
)1)(1(
122
x
x
xxx. (43)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2009
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 30 2009
Atunci:
1
0 2 )1)(1( xx
dxI
1
0
2
1
01
)1(
2
1
12
1
x
dxx
x
dx
1
0
2
1
0
2
1
012
1
12
1
12
1
x
x
x
dx
x
dx
2
2ln
2
1
42
12ln
2
1
82ln
4
1 . (44)
Răspunsul corect este e).
Pentru calcule s-au utilizat:
1I 2ln1ln1
1
0
1
0
x
x
dx; (45)
2I41
1
0
1
0
2
xarctgx
dx; (46)
3I dxx
x
1
0
2 1 dx
x
x
1
0
2 1
2
2
1dx
x
x
1
0
2
2
1
)'1(
2
1 dxx '
1
0
2 )1ln(2
1
1
0
2 )1ln(2
1 x
2
2ln. (47)
9. Să se determine aria domeniului din plan cuprins între graficele funcţiilor
2)(
xx eexf
şi
2)(
xx eexg
, ]1,0[x .
a) 2
1; b)
e
e 1; c) 0; d)
e
e
2
1; e) 1; f)
e
e
2
2.
Soluție:
Aria domeniului plan este egală cu:
1
0
))()(( dxxgxfA
1
0
)( dxshxchx
dxeeee xxxx1
022
1
0
dxe x dxe x '
1
0
)(
1
0
xe )( 01 eee
e 1. (48)
Răspunsul corect este b).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2010
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 31 2010
1. Se consideră ecuaţia 022 mxx cu soluţiile 1x şi 2x . Să se determine
Rm astfel încât 42
2
2
1 mxx .
a) ),1()0,( m ; b) ]1,(m ; c) ),2()0,( m ; d) )1,0(m ;
e) )1,1[m ; f) ),2( m .
Soluție:
Aplicăm relaţiile lui Viète:
ma
bxx 21 şi 221
a
cxx . (1)
Atunci:
21
2
21
2
2
2
1 2)( xxxxxx 42 m 4 m 02 mm . (2)
Se rezolvă ecuaţia:
02 mm , (3)
care admite rădăcinile
01 x şi 12 x . (4)
În aceste condiţii:
02 mm )1,0(m . (5)
Răspunsul corect este d).
2. Soluţiile ecuaţiei 0639 xx sunt:
a) 1 şi 1; b) 1; c) 2 şi 3; d) -2 şi 3; e) 0; f) -3 şi 3.
Soluție:
Ecuaţia din text se poate scrie:
0639 xx 06332 xx . (6)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2010
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 32 2010
Se notează:
yx 3 062 yy . (7)
Discriminantul ecuaţiei în y este:
y acb 42 25, (8)
iar rădăcinile acesteia sunt:
2
51
22,1
a
by
y31 y şi 22 y . (9)
Revenind la substituţie:
33 x 1 x , (10)
care se acceptă şi
23 x 2log3x , (11)
care nu se acceptă.
Răspunsul corect este b).
3. Numărul 2
5
4
6 ACx are valoarea:
a) 35; b) 28; c) 40; d) 11; e) 15; f) 20.
Soluție:
2
5
4
6 ACx !3
!5
!2!4
!6
!3
54!3
!2!4
65!4352015 . (12)
Răspunsul corect este a).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2010
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 33 2010
4. Se consideră matricea
121
011
322
A . Să se calculeze determinantul
matricei 2A .
a) 0; b) -1; c) 2; d) -2; e) 7; f) 1.
Soluție:
Avem:
221
331
983
121
011
322
121
011
3222 AAA . (13)
Atunci:
2
3 8 9
det. 1 3 3 1
1 2 2
A
. (14)
Răspunsul corect este f).
5. Modulul numărului complex 8)1( iz este:
a) 32; b) 82 ; c) 16; d) 83 ; e) 1; f) 0.
Soluție:
Deoarece:
ii 2)1( 2 , (15)
atunci
8)1( iz = 4)2( i .161162 44 i (16)
Răspunsul corect este c).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2010
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 34 2010
6. Fie funcţia RRf : ,
1,7
1,1)(
2 xbx
xaxxf . Pentru ce valori Rba , ,
funcţia f este derivabilă pe R?
a)
4
2
b
a; b) 02 ba ; c)
12
6
b
a; d)
6
0
b
a; e)
6
12
b
a; f)
7
1
b
a.
Soluție:
O funcţie derivabilă este o funcţie continuă.
Din condiţia de continuitate în punctul:
1x , (17)
respectiv
)1()1( ds ll , (18)
rezultă
6 ba . (19)
Din condiţia de derivabilitate în punctul:
1x , (20)
respectiv
)1()1( ''
ds ff , (21)
rezultă
ba 2 . (22)
Rezultă după calcule:
12a , 6b . (23)
Răspunsul corect este e).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2010
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 35 2010
7. Fie .,)( 34 Rxexxxf x Să se calculeze ).0('f
a) 0; b) 4; c) -1; d) e1 ; e) 23e ; f) e4 .
Soluție:
Deoarece:
xexxxf 34)( , (24)
atunci
xexxf 33' 341)( , (25)
şi
4)0(' f . (26)
Răspunsul corect este b).
8. Să se determine Rm , 0m astfel încât m
dxe xmx 12
1
ln2
.
a) 2; b) 4; c) - ln2; d) ln2; e) 3; f) 1.
Soluție:
Se face substituţia:
xey ln yx . (27)
Atunci:
I dxe xmx
2
1
ln2
dyyemy 2
1
2 dyedymyem
mymy '
2
1
'2
2
1
232
2
1
m
eem
mm 1
2
1 2 022 mm ee . (28)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2010
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 36 2010
Notăm:
tem 022 tt . (29)
Se acceptă doar valoarea:
2 met 2lnm . (30)
Răspunsul corect este d).
9. Fie funcţia Rf ),0(: , x
xxf
ln)( . Să se calculeze aria suprafeţei plane
mărginită de graficul funcţiei f , dreptele 2
1
ex , 2ex şi axa Ox.
a) 4; b) 2
2
2
1
e
e ; c)
2
2
2
1
2 e
e ; d)
ee
1 ; e) 0; )f 4 .
Soluție:
Aria cerută este dată de:
I dxx
xe
e
2
2
1
ln dxxx ln){ln ' dx
x
xx
e
e
e
e
2
2
2
2 1
1
2 lnln . (31)
Notând:
dxx
xI
e
e
2
2
1
ln, (32)
rezultă în raport cu relaţia (31)
dxx
xI
e
e
2
2
1
ln2 . (33)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2010
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 37 2010
Atunci:
I 2
2
1
2ln
2
1 e
e
x 2
1 2222 lnln ee 4. (34)
Răspunsul corect este a).
Pentru rezolvare, s-a realizat integrarea prin părţi în care:
xxf ln)( ; x
xf1
)(' ; '' )(ln)( xxg ; xxg ln)( . (35)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2011
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 38 2011
1. Determinaţi rădăcina 2x a ecuaţiei 0303 2 mxx , unde Rm , ştiind că
ecuaţia admite rădăcina 21 x .
a) 1; b) 3
1; c) 0; d) 5; e)
3
1 ; f)
3
5.
Soluție:
Fie polinomul:
303)( 2 mxxxf . (1)
Dacă 2x este rădăcină a ecuaţiei din text dată de:
0303 2 mxx , (2)
atunci
0)( 2 xf 0303 2
2
2 mxx 030223 2 m , (3)
rezultă
21m . (4)
Înlocuind valoarea astfel determinată în ecuaţia din text, rezultă:
030213 2 xx 01072 xx , (5)
care admite soluţiile
21 x şi 52 x . (6)
Răspunsul corect este d).
2. Aflaţi suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei exponenţiale: 02252 112 xx .
a) 5; b) 16; c) 4; d) 9; e) 31 ; f) 12.
Soluția nr. 1:
Ecuaţia din text se poate scrie:
02252 112 xx 022
25
2
22
xx
042522 xx . (7)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2011
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 39 2011
Se notează:
yx 2 0452 yy . (8)
Discriminantul ecuaţiei admite valoarea:
942 acby (9)
cu soluţiile,
2
35
22,1
a
by
y41 y şi 12 y . (10)
Din:
242 1 xx , (11)
iar din
012 2 xx . (12)
Soluția nr. 2:
Ecuaţia din text, se poate scrie:
02252 112 xx 022522 1)1(2 xx . (13)
Se notează:
yx 12 022522 2 yy , (14)
care se rezolvă ca în cazul soluţiei nr. 1.
În concluzie:
42
2
2
1 xx . (15)
Răspunsul corect este c).
3. Fie S mulţimea soluţiilor ecuaţiei 136
log
xx . Atunci:
a) 0S ; b) 6,6S ; c) 6S ; d)
6
1,6S ; e)
6
1S ; f) 36S .
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2011
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 40 2011
Soluție:
Din condiţiile necesare pentru verificarea domeniului maxim de definiţie,
avem:
0x , 1x ; 036 x , (16)
de unde rezultă
1\),0( x . (17)
Soluția nr. 1:
Rezolvând ecuaţia avem:
136
log
xx 1log36log xxx 236log x 236 x 62,1 x . (18)
Se acceptă doar soluţia:
6x 6S . (19)
Răspunsul corect este c).
Soluția nr. 2:
Utilizând proprietăţile logaritmilor, avem:
136
log
xx 236 x 62,1 x . (20)
Se acceptă doar soluţia:
6x 6S . (21)
Răspunsul corect este c).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2011
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 41 2011
4. Calculaţi numărul !2
3
4
2
4 ACa
.
a) 9a ; b) 15a ; c) 2
15a ; d) 14a ; e) 1/3; f) 12.
!2
3
4
2
4 ACa
15
2
246
2
!1
!4
!2!2
!4
. (22)
Răspunsul corect este b).
5. Fie numărul complex 2
3
2
1 iz . Calculaţi zzr , unde z este conjugatul
numărului complex z.
a) 2r ; b) 4r ; c) 3r ; d) 1r ; e) 4
1r ; f)
2
1r .
Soluție:
Deoarece:
2
3
2
1 iz , (23)
conjugatul lui z este
2
3
2
1 iz . (24)
Atunci:
zzr
2
3
2
1
2
3
2
1ii
22
2
3
2
1i 1
4
3
4
1 . (25)
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2011
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 42 2011
6. Fie matricea
41
631
21
m
x
A , unde Rxm , . Determinaţi valoarea lui m astfel
încât determinantul matricei A să nu depindă de x.
a) 2m ; b) 1m ; c) 1m ; d) 3m ; e) 0m ; f) 4m .
Soluție:
Din text:
1 2
det. 1 3 6
1 4
x
A
m
)13(2)13(426412 xmxmmxx
)2)(13(2)42)(13( mxmx . (26)
Pentru ca determinantul matricei A să nu depindă de x, este necesar şi
suficient ca:
det. 0A 2m . (27)
Răspunsul corect este a).
7. Fie o primitivă a funcţiei RRf : , 11
2)(
2
x
xxf . Calculaţi valoarea )0("F .
a) 2; b) 11
2; c)
121
2; d)
2
11; e) 0 ; f)
11
4.
Soluție:
Din text:
dx
x
xdx
x
xdxxfxF
11
)11(
11
2)()(
2
'2
2 dxx
'2 )11ln( cx )11ln( 2 . (28)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2011
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 43 2011
În aceste condiţii:
)(11
2)11ln()(
2
'2' xfx
xxxF
, (29)
respectiv
'
2
'"
11
2)()(
x
xxfxF
22
2
)11(
222
x
x. (30)
Atunci:
11
2
121
22)0(" F . (31)
Răspunsul corect este b).
8. Calculaţi aria domeniului plan mărginit de graficul funcţiei xexxf 3)( , axa
Ox, dreapta 0x şi dreapta 1x .
a) 3
12 3 e; b)
9
2 3e; c)
3
3e; d)
9
12 3 e; e)
9
13 e; f)
9
13 3 e.
Soluție:
Integrala care trebuie calculată este:
1
0
3 dxexI x
1
0
'3 )(3
1dxex x =
dxeex xx
1
0
31
0
3
3
1
1
0
33
3
1dxee x
= dxee x
1
0
33
3
1
3
1 )1(
9
1
3
1 33 ee =9
12 3 e. (32)
Răspunsul corect este d).
Pentru rezolvare, s-a utilizat integrarea prin părţi:
xxf )( ; 1)(' xf ; '3' )( xexg ; xexg 3' )( (33)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2011
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 44 2011
şi
dxeI x
1
0
3
1 dxe x
'1
0
3 )(3
1)1(
3
1 3 e . (34)
9. Fie funcţia RRf : ,
0,
0,)(
12
2
xe
xnmxxxf
x. Determinaţi parametrii reali m
şi n astfel încât funcţia f să fie derivabilă pe R.
a) e
m2
, e
n1
; b) e
m2
, e
n2
; c) e
m1
, e
n1
; d) em , e
n1
; e) em 2 , e
n1
;
f) e
m1
, e
n2
.
Soluție:
Studiem continuitatea în punctul 0x .
Limita la stânga acestui punct, este egală cu:
nnmxxxfl
x
x
x
xs
)(lim)(lim 2
0
0
0
0. (35)
Limita la dreapta acestui punct este egală cu:
eexfl x
x
x
x
xd
1lim)(lim 12
0
0
0
0
. (36)
Din condiţia:
ds ll e
n1
. (37)
Studiem derivabilitatea funcţiei din text:
0
)0()(lim)0(
0
0
'
x
fxff
x
xs
0
02
0
0lim
x
mxx
x
x
'
'2
0
0 )(
)(lim
x
mxx
x
x mmx
x
x
)2(lim
0
0. (38)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2011
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 45 2011
0
)0()(lim)0(
0
0
'
x
fxff
x
xd
'
'112
0
0 )(
)(lim
x
ee x
x
x 12
0
02lim
x
x
xe
e
2. (39)
Condiţia necesară şi suficientă pentru ca funcţia să fie derivabilă în
punctul 0x este dată de:
)0('sf )0('
df e
m2
. (40)
Răspunsul corect este a).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 46 2012
1. Fie 1x , 2x rădăcinile ecuaţiei 0)1(2 mxmx . Să se determine toate valorile
parametrului real m astfel încât 102
2
2
1 xx .
a) 3,1m ; b) 3,0m ; c) 1,1m ; d) 2,2m ; e) 2m ; f) 3m .
Soluția nr. 1:
Relaţiile lui Viéte sunt:
121 ma
bxx , (1)
respectiv
ma
cxx 21 . (2)
Atunci:
1012)1(2)( 22
21
2
21
2
2
2
1 mmmxxxxxx 92 m , (3)
de unde rezultă că
3m . (4)
Soluția nr. 2:
Deoarece 1x , 2x sunt rădăcinile ecuaţiei:
0)1(2 mxmx , (5)
rezultă
0)1( 1
2
1 mxmx , (6)
respectiv
0)1( 2
2
2 mxmx . (7)
Adunând membru cu membru ultimele ecuaţii, rezultă:
02)1()( 21
2
2
2
1 mmxxxx 02)1( 22
2
2
1 mmxx , (8)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 47 2012
de unde
1012)1( 222
2
2
1 mmmxx 92 m , (9)
astfel că
3m . (10)
Răspunsul corect este f).
2. Calculaţi
3
2
3
2
1
ia .
a) ia ; b) 1a ; c) 1 ia ; d) 2
1a ; e) 31 ia ; f) ia 2 .
Soluția nr. 1:
Din text avem:
3
2
3
2
1
ia
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1iii 1 . (11)
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 2:
Se utilizează relaţia lui Moivre:
nini n sincos)sin(cos , Nn . (12)
Atunci:
101sincos3
sin3
cos2
3
2
133
iiiia
. (13)
Răspunsul corect este b).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 48 2012
Soluția nr. 3:
Din text:
3
33
)31(8
131
2
1
2
3
2
1iiia
1)31()31()31(8
1 iii . (14)
Răspunsul corect este b).
3. Să se determine mulţimea soluţiilor ecuaţiei: 013103 342 xx .
a) 3 ; b) 5;1 ; c) 2;2 ; d) 3;1 ; e) 1;0 ; f) 4;0 .
Soluția nr. 1:
Ecuaţia din text se poate scrie:
013103 342 xx 013
310
3
334
2
xx
08133032 xx . (15)
Se notează:
yx 3 081302 yy . (16)
Soluţiile ecuaţiei sunt:
2
330
22,1
a
by , (17)
de unde rezultă
271 y şi 32 y . (18)
Din:
3273 1 xx , (19)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 49 2012
iar din
133 2 xx (20)
Răspunsul corect este d).
Soluția nr. 2:
Ecuaţia din text se poate scrie:
013103 342 xx 0133
103 2)2(2 xx 0331033 2)2(2 xx . (21)
Se notează:
yx 23 03103 2 yy , (22)
de unde
6
810
22,1
a
by
y, (23)
de unde rezultă
31 y şi 1
2 3y . (24)
Din
333 1
2 xx , (25)
iar din
133 2
12 xx . (26)
Răspunsul corect este d).
4. Găsiţi toate numerele naturale k pentru care 166 kC .
a) 5,3,1 ; b) 6,4,2,0 ; c) 6,5,4,2,1,0 ; d) 3 ; e) 7,2,1 ; f) 6,3,0 .
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 50 2012
Soluție:
Condiţia necesară este dată de:
k6 , Nk . (27)
Condiţia de suficienţă este dată de verificarea valorilor lui k în inecuaţie.
Din condiţia de necesar:
k6 , Nk , (28)
rezultă
6,5,4,3,2,1,0k . (29)
Pentru realizarea condiţiei de suficienţă se verifică valorile numerice ale lui k
în inecuaţie.
Atunci:
161!6!0
!60 0
66
CCk k ; (30)
166!5!1
!61 1
66
CCk k ; (31)
1615!4!2
!62 2
66
CCk k ; (32)
1620!3!3
!63 3
66
CCk k ; (33)
1615!2!4
!64 4
66
CCk k ; (34)
166!1!5
!65 5
66
CCk k ; (35)
161!6!0
!66 6
66
CCk k . (36)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 51 2012
În concluzie, soluţia inecuaţiei din text este:
6,5,4,2,1,0k . (37)
Răspunsul corect este c).
5. Să se determine valorile parametrului real m pentru care sistemul
332
2
1
zyx
zmyx
zymx
este compatibil determinat.
a) 2,1\Rm ; b) 5,0m ; c) 1m ; d) 2m ; e) 1,0\Rm ; f) 2,0\Rm .
Soluție:
Se notează cu A matricea sistemului din text.
Pentru ca sistemul să respecte cerinţa din text, este necesar şi suficient ca:
det. 0A . (38)
În aceste condiţii:
1 1
det. 1 1 0
2 1 3
m
A m
. (39)
Rezultă:
0)1( mm , (40)
sau
1,0m 1,0\Rm . (41)
Răspunsul corect este e).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 52 2012
6. Fie )(2 RMX soluţia ecuaţiei matriciale:
28
77
12
21X .
Calculaţi determinantul D al matricei X.
a) 14D ; b) 25D ; c) 4D ; d) 7D ; e) 3D ; f) 5D .
Soluție:
Se consideră:
12
21A (42)
şi
28
77B . (43)
Se poate scrie că:
BXA . (44)
Înmulţim ecuaţia anterioară la stânga cu 1A şi rezultă:
BAXAA 11 BAX 1 , (45)
în care
10
012
11 IAAAA , (46)
1A este matricea inversă pe care trebuie să o evaluăm şi 2I este matricea unitate care
reprezintă un element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor în
mulţimea )(2 RM .
Calculăm inversa matricei A.
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 53 2012
Matricea transpusă este definită prin:
12
21TA . (47)
Se defineşte matricea:
2221
1211*
aa
aaA , (48)
în care
11)1( 11
11 a ; (49)
22)1( 21
12 a ; (50)
22)1( 12
21 a ; (51)
11)1( 22
22 a . (52)
Deci:
12
21*A . (53)
Atunci matricea inversă admite exprimarea:
12
21
3
1
3).(det
**1 A
A
AA . (54)
Atunci:
BAX 1
28
77
12
21
3
1
42
13. (55)
În concluzie:
).(det XD 14)2(1242
13
. (56)
Răspunsul corect este a).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 54 2012
7. Fie RRf : , .)1()( 2 xemxxxf Găsiţi toate valorile parametrului real m
pentru care funcţia f admite două puncte de extrem.
a) 1m ; b) 0m ; c) 0m ; d) 2m ; e) 1m ; f) 0m .
Soluție:
Determinarea extremelor funcţiei f pentru care nu se specifică natura lor,
implică analiza şi evaluarea expresiei:
0)(/ xf . (57)
Deci:
0)(/ xf 01)2(2 mxmx . (58)
Pentru a avea două puncte de extrem, este necesar, dar nu şi suficient să existe
1x , 2x pentru care 21 xx .
Studiind semnul funcţiei:
0)(/ xf , (59)
rezultă că între rădăcini avem semnul )( , iar în afara lor semnul )( , astfel că există
două extreme, primul de maxim, al doilea de minim, nefiind astfel nevoie să se mai
calculeze derivata a doua, prin intermediul căreia în general, se determină natura
extremelor.
Condiţia de suficienţă este dată de:
0 x . (60)
Calculând pe x , rezultă:
0)1(14)2(4 222 mmmcabx , (61)
care este adevărată pentru
0m 0\Rm . (62)
Răspunsul corect este c).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 55 2012
8. Să se calculeze integrala: dxxxI 2012
1
0
2011 1 .
a) 3018
122 I ; b) 1I ; c)
2
3I ; d)
2012
1I ; e)
1006
122 I ; f) 0I .
Soluția nr. 1:
Se face schimbarea de variabilă:
20121 xt dxxdt 20112012 . (63)
Atunci:
dxxxI 2012
1
0
2011 1
dttx
dttx
2
1
2011
2
1
2011
2012
1
2012
2
1
3
3
2
2012
1t
3018
122 . (64)
Răspunsul corect este a).
Soluția nr. 2:
Se face schimbarea de variabilă:
2012xt dxxdt 20112012 . (65)
Atunci:
dxxxI 2012
1
0
2011 1 .12012
1
20121
1
0
2011
1
0
2011 dttx
dttx
(66)
Se face schimbarea de variabilă:
yt 1 dydt . (67)
Atunci:
dyydttI
2
1
1
02012
11
2012
1
2
1
3
3
2
2012
1y
3018
122 . (68)
Răspunsul corect este a).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2012
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 56 2012
9. Să se calculeze aria domeniului plan mărginit de graficul funcţiei RRf : ,
3)(
2
x
xxf , axa 0x şi dreptele 1x şi 2x .
a) 7ln1 ; b) 2
1ln ; c) 31 ; d)5 ; e) 2ln ; f)
4
7ln
2
1 .
Soluția nr. 1:
Aria domeniului plan este egal cu:
3
1
)()( dxxFxf
2
1
2 3dx
x
x
dx
x
x2
1
2 3
2
2
1
dx
x
x2
1
2
/2
3
)3(
2
1
dxx
/2
1
2 )3ln(2
1
2
1
2 )3ln(2
1x
4
7ln
2
1 . (69)
Răspunsul corect este f).
Soluția nr. 2:
Se face schimbarea de variabilă:
2xt xdxdt 2 . (70)
Atunci, aria domeniului plan este egal cu:
3
1
)()( dxxFxf
4
13
2
t
dt
4
132
1
t
dt
dt
t
t4
1
/
3
)3(
2
1
dtt
/4
1
)3ln(2
1
4
1)3ln(
2
1t
4
7ln
2
1 . (71)
Răspunsul corect este f).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2013
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 57 2013
1. Aflaţi mulţimea M a tuturor valorilor parametrului real a pentru care matricea
a
aA
1
1 nu este inversabilă.
a) 2M ; b) 0M ; c) 4,4M ; d) 1,1M ; e) 2M ; f) 3M .
Soluție:
Condiţia necesară şi suficientă este dată de:
det.( ) 0A 01
1
a
a 012 a 1,1a . (1)
Răspunsul corect este d).
2. Fie funcţia RRf : ,
0 ,1
0 ,
xx
xbaxxf şi 22 baS . Determinaţi valoarea
lui S, în cazul în care f este derivabilă.
a) 0S ; b) 2S ; c) 2S ; d) 3S ; e) 1S ; f) 1S .
Soluție:
O funcţie derivabilă este întotdeauna o funcţie continuă.
Studiem continuitatea funcţiei f în punctul 0x .
Atunci, limitele la stânga şi la dreapta punctului definit de text sunt:
bbaxxfl
xx
xx
s
)(lim)(lim
00
00
, (2)
şi
1)1(lim)(lim
00
0.0
xxfl
xx
xx
d . (3)
Din condiţia că ds ll , se deduce că funcţia f este continuă în punctul 0x
dacă şi numai dacă 1b .
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2013
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 58 2013
Studiem derivabilitatea funcţiei f în punctul 0x :
0
)0()(lim)0(
0
0
'
x
fxff
x
xs ax
ax
x
x
0
0lim , (4)
şi
0
)0()(lim)0(
0
0
'
x
fxff
x
xd
0
11lim
0
0 x
x
x
x1lim
0
0
x
x
x
x . (5)
Condiţia necesară şi suficientă pentru ca funcţia să fie derivabilă în
punctul 0x este dată de:
)0('sf )0('
df 1a . (6)
În aceste condiţii,
222 baS , (7)
Răspunsul corect este b).
3. Valoarea limitei 1
lim4
2
n
nn
n este:
a) 2
1; b) 1; c) 4 ; d) 2 ; e) 1 ; f) 0 .
Soluție:
Deoarece 0n , rezultă:
1lim
4
2
n
nn
n
4
4
2
11
lim
nn
nn
n
4
2
2
11
11
lim
nn
nn
n
.1
11
11
lim
4
n
nn
(8)
Răspunsul corect este b).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2013
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 59 2013
4. Determinaţi mulţimea RD a tuturor valorilor parametrului real 1a pentru
care sistemul liniar
11
11
yax
ayx este compatibil determinat.
a) ,1D ; b) ,1D ; c) ,00,1D ; d) ,00,1D ; e) ,1D ;
f) 0,1D .
Soluția nr. 1:
Pentru ca sistemul să fie compatibil determinat este necesar şi suficient să fie
îndeplinită condiţia:
0
11
11
a
a 011 a 11 a 0a . (9)
Din condiţiile:
0a şi 1a , (10)
rezultă
,10\,1aD . (11)
Soluția nr. 2:
Se rezolvă sistemul:
11
11
yax
ayx
(12)
prin eliminarea termenului x din prima ecuaţie a sistemului
11
)1(/11
yax
aayx
11
)1(/111
yax
aayax
.11
1)1(1
yax
aayax
(13)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2013
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 60 2013
Adunând membru cu membru ecuaţiile din sistem rezultă:
11 aaya
ay
11 . (14)
Din sistemul de ecuaţii:
a
ay
ayx
11
11
(15)
rezultă
a
ax
11 . (16)
În concluzie, rădăcinile sistemului sunt:
a
ax
11 (17)
şi
a
ay
11 . (18)
Pentru ca sistemul să fie compatibil determinat, este necesar şi suficient ca
rădăcinile sale să îndeplinească simultan condiţiile:
0
1
a
a. (19)
În concluzie:
,00,10,1 aD . (20)
Răspunsul corect este c).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2013
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 61 2013
5. Calculaţi integrala definită
1
0
22 14 dx
x
xI .
a) 4I ; b) 4I ; c) 2I ; d) 2I ; e) 1I ; f) 1I .
Soluția nr. 1:
1
0
2
1
1
22
1
0
22
1
0
22 )1(2
)1(
22
)1(4
14
t
dt
x
xdxdx
x
xdx
x
xI
.11
22
'2
1
2
1
2
dy
yy
dy
(21)
Pentru calcule s-a utilizat substituţia:
2xt ; dacă 00 tx . (22)
Dacă:
11 tx şi xdxdt 2 . (23)
Pentru:
yt 1 cu 10 yt şi 21 yt şi dydt . (24)
Răspunsul corect este e).
Soluția nr. 2:
1
0
2
1
1
22
1
0
22
1
0
22 )1(2
)1(
22
)1(4
14
t
dt
x
xdxdx
x
xdx
x
xI
.11
12
1
12
1
0
'1
t
dtt
(25)
Pentru calcule s-a utilizat substituţia:
2xt ; dacă 00 tx . (26)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2013
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 62 2013
Dacă:
11 tx şi xdxdt 2 . (27)
Răspunsul corect este e).
Soluția nr. 3:
.1
12
122
22
)1(4
14
2
1
'3
1
2
1
2
2
1
2
1
0
22
1
0
22
t
dttt
dt
t
xdxdx
x
xdx
x
xI
(28)
Pentru calcule s-a utilizat substituţia:
12 xt ; dacă 10 tx . (29)
Dacă:
21 tx şi xdxdt 2 . (30)
Răspunsul corect este e).
6. Derivata funcţiei RRf : , xxxf 33 este:
a) 3ln34
2xx
xf ; b) xxxf 33 2 ; c) 3ln32 xxxf ; d) xxxf 3
4
2
;
e) 3ln33 2 xxxf ; f) xxxf 32 .
Soluție:
Din calcul rezultă:
.3ln33)3()(' 2'3 xx xxxf (31)
Răspunsul corect este e).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2013
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 63 2013
7. Aflaţi mulţimea M a tuturor valorilor parametrului real m pentru care funcţia
Rf ),0(: ,
1,0 ,1
,1 ,ln
xx
xxmxf este continuă.
a) 1M ; b) 0M ; c) 1M ; d) ,0M ; e) RM ; f) 0\RM .
Soluție:
Studiem continuitatea funcţiei f în punctul 1x .
Atunci:
0)1(lim)(lim
11
11
xxfl
xx
xx
s (32)
şi
0lnlim)(lim
11
1.1
mxmxfl
xx
xx
d . (33)
Din condiţia ds ll se deduce că funcţia f este continuă în punctul 1x dacă şi
numai dacă Rm .
Răspunsul corect este e).
8. Fie 16
2lim
42
x
xL
x. Aflaţi valoarea numărului L.
a) 2
1L ; b)
64
1L ; c)
4
1L ; d) L ; e)
16
1L ; f)
32
1L .
Soluția nr. 1:
0
0
42 16
2lim
x
xL
x
)4)(2)(2(
2lim
22 xxx
x
x.
32
1
)4)(2(
1lim
22
xxx (34)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2013
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 64 2013
Soluția nr. 2:
Utilizăm regula lui L’Hospital:
0
0
42 16
2lim
x
xL
x
'4
'
2 )16(
)2(lim
x
x
x.
32
1
4
1lim
32
xx (35)
Răspunsul corect este f).
9. Mulţimea tuturor soluţiilor inecuaţiei 0211log 1 xxx este:
a) 2,1 ; b) 1 ; c) 2,1 ; d) 2,1 ; e) 2,1 ; f) 2,1 .
Soluție:
Se impun condiţiile care relevă existenţa domeniului maxim de definiţie pentru
toate funcţiile:
- pentru logaritm,
1/,0 x ; (36)
- pentru radicali,
02
01
x
x. (37)
Din condiţiile de mai sus rezultă:
2,
,1
1/,0
x
x
x
2,1x . (38)
Rezolvarea inecuaţiei din text implică:
021 xx (39)
care este adevărată 2,1 x .
În concluzie, răspunsul corect este f).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 65 2014
1. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 42 x este:
a) 3,0 ; b) 6,2 ; c) 5,1 ; d) 7,4 ; e) 3,1 ; f) 8,2 .
Soluția nr. 1:
Conform textului avem:
42 x 42 x 61 x , 22 x . (1)
În concluzie:
6;2x . (2)
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 2:
Se explicitează modulul:
2,2
2,22
xx
xxx
2,,2
,2,2
xx
xx. (3)
Cazul nr. 1:
22 xx , pentru ,2x . (4)
Ecuaţia din text devine:
42 x 42 x ,261x , (5)
deci 61 x este soluţie a ecuaţiei din text.
Cazul nr. 2:
xx 22 , pentru 2,x . (6)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 66 2014
Ecuaţia din text devine:
42 x 42 x 2,22 x , (7)
deci
22 x , (8)
este soluţie a ecuaţiei din text.
În concluzie:
6;2x . (9)
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 3:
Conform textului avem:
42 x 422x 4442 xx . (10)
Ridicând la puterea a doua ultima relaţie, obţinem:
01241644 22 xxxx . (11)
Discriminantul ecuaţiei este:
acbx 42 64121442
. (12)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
2
84
22,1
a
bx
x . (13)
În concluzie:
6;2x . (14)
Răspunsul corect este b).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 67 2014
Soluția nr. 4:
Se consideră funcţia:
42)( xxf , RRf : . (15)
Se verifică din grilă, valorile numerice ale lui x pentru care:
0)( xf . (16)
Se observă că, singurele valori sunt:
2x , 6x . (17)
În concluzie:
6;2x . (18)
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 5:
Se realizează graficul funcţiilor:
2,2
2,22)(
xx
xxxxf
2,,2
,2,2
xx
xx (19)
şi
4)( xg . (20)
Soluţiile ecuaţiei din text sunt date de intersecţia celor două grafice:
)()(6;2 xgxfRx . (21)
Răspunsul corect este b).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 68 2014
Soluția nr. 6:
Se rezolvă ecuaţia:
042)( xxf . (22)
2,2
2,642)(
xx
xxxxf
2,,2
,2,2
xx
xx. (23)
Cazul nr. 1:
Pentru:
6)( xxf , ;2x , (24)
ecuaţia din text devine:
;260)( xxf , (25)
deci
61 x , (26)
este soluţie a ecuaţiei din text.
Cazul nr. 2:
Pentru:
xxf 2)( , 2;x . (27)
Ecuaţia din text devine:
;220)( xxf , (28)
deci
22 x , (29)
este soluţie a ecuaţiei din text.
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 69 2014
În concluzie:
6;2x . (30)
Răspunsul corect este b).
Soluția nr. 7:
Notăm:
2 xy . (31)
Conform textului avem:
4y 4y 61 y , 22 y . (32)
Revenind la substituţie, rezultă:
6;2x . (33)
Răspunsul corect este b).
2. Suma soluţiilor ecuaţiei 024112 xx este:
a) -3; b) 0; c) 1; d) 5; e) -7; f) -11.
Soluția nr. 1:
Discriminantul ecuaţiei este:
acbx 42 252414112 . (34)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
2
511
22,1
a
bx
x . (35)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 70 2014
În concluzie, rădăcinile ecuaţiei sunt:
3;8 x . (36)
Suma soluţiilor ecuaţiei din text este egală cu valoarea 11 .
Răspunsul corect este f).
Soluția nr. 2:
Ecuaţia din text este o ecuaţie de gradul doi.
Conform teoriei, orice ecuaţie de grad doi se poate scrie sub forma:
02 PSxx , (37)
în care
21 xxS , (38)
reprezintă suma rădăcinilor ecuaţiei din text şi
21 xxP , (39)
reprezintă produsul rădăcinilor ecuaţiei.
Rezultă:
11S . (40)
Răspunsul corect este f).
Soluţia nr. 3:
Se consideră funcţia:
2411)( 2 xxxf , RRf : . (41)
Se verifică din grilă, valorile lui x pentru care:
0)( xf . (42)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 71 2014
Singurele valori care se acceptă sunt:
8x , 3x , (43)
astfel că
11S . (44)
Răspunsul corect este f).
3. Fie funcţia RRf : , xexxf 23)( . Atunci:
a) 3)0(' f ; b) 3)0(' f ; c) 0)0(' f ; d) 1)0(' f ; e) 1)0(' f ; f) 2)0(' f .
Soluţie:
Derivata întâi admite expresia:
'2' 3)( xexxf xex 6 . (45)
Atunci
1)0(' f . (46)
Răspunsul corect este e).
4. Fie polinomul baxxxxP 24 2)( ; pentru ce valori ale lui a şi b, polinomul
P este divizibil cu polinomul 12 x ?
a) 2a , 1b ; b) 1a , 2b ; c) 1a , 0b ; d) 2a , 0b ; e) 3a , 2b ;
f) 0a , 1b .
Soluţia nr. 1:
Deoarece, polinomul din text este divizibil cu 12 x , acesta este divizibil în
mod separat cu 1x , respectiv cu 1x , deci:
0)1( P , (47)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 72 2014
respectiv
0)1( P . (48)
Atunci:
0)1( P 01ba , (49)
respectiv
0)1( P 01 ab . (50)
Rezolvând sistemul de ecuaţii (49) şi (50) rezultă:
0a , 1b . (51)
Polinomul căutat admite expresia:
2224 112)( xxxxP . (52)
Răspunsul corect este f).
Soluţia nr. 2:
Se fac notaţiile:
deîmpărţit D baxxx 24 2 , (53)
împărţitorÎ 12 x . (54)
Deoarece, polinomul din text este divizibil cu 12 x , atunci:
D C Î R , (55)
în care
câtC 12 x , (56)
şi
rest 01 baxR . (57)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 73 2014
Rezolvând ecuaţia (59) rezultă:
0a , 1b . (58)
Răspunsul corect este f).
5. Valoarea determinantului 22
13 este:
a) 6; b) 0; c) 1; d) 2; e) 5; f) 4.
Soluţia nr. 1:
Conform cu noţiunile de teorie care rezidă din algebră, rezultă:
426122322
13 . (59)
Răspunsul corect este f).
Soluţia nr. 2:
Conform cu cerinţa textului, un alt mod de a calcula determinantul este:
426)1(21)1(2322
132111 . (60)
Răspunsul corect este f).
6. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 0452 xx este:
a) 2,0 ; b) 0,3 ; c) 0,1 ; d) 4,1 ; e) 5,2 ; f) 3,1 .
Soluție:
Se rezolvă ecuaţia:
0452 xx . (61)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 74 2014
Discriminantul ecuaţiei este:
acbx 42 9414)5( 2 . (62)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
2
35
22,1
a
bx
x . (63)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
41 x , 12 x . (64)
Deoarece, între rădăcini avem semnul minus, rezultă:
4,1x . (65)
Răspunsul corect este d).
7. Aria cuprinsă între graficul funcţiei 1)( 2 xxf , axa Ox şi dreptele verticale
0x şi 3x este:
a) 4; b)10; c) 14; d) 6; e) 5; f) 12.
Soluție:
Aria cerută este egală cu:
dxxA
3
0
2 1
3
0
3
3x
x 120
3
03
3
3 33
. u.a. (66)
Răspunsul corect este f).
8. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 422
xx este:
a)
3
1,
2
1; b) 2,0 ; c) 3,1 ; d) 3,3 ; e)
3
1,
2
1; f) 1,2 .
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 75 2014
Soluție:
Conform cu textul, rezultă:
422
xx 2222
xx 22 xx 022 xx . (67)
Discriminantul ecuaţiei este:
acbx 42 9)2(1412 . (68)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
2
31
22,1
a
bx
x . (69)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
21 x , 12 x . (70)
Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este:
1,2x . (71)
Răspunsul corect este f).
9. Soluţia ecuaţiei 53 xx este:
a) 4x ; b) 0x ; c) 2x ; d) 3x ; e) 2x ; f) 1x .
Soluţia nr. 1:
Se impune stabilirea domeniului maxim de definiţie pentru radical:
03x ,3x . (72)
Rezolvăm ecuaţia din text, astfel:
53 xx xx 53 22
53 xx
210253 xxx 028112 xx . (73)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 76 2014
Discriminantul ecuaţiei este:
acbx 42 9)28(14)11( 2 . (74)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
2
311
22,1
a
bx
x . (75)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
71 x , 42 x . (76)
Se verifică soluţiile obţinute în domeniul maxim de definiţie şi apoi în ecuaţia
din text.
Singura soluţie care se acceptă este:
4x . (77)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 2:
Se impune stabilirea domeniului maxim de definiţie pentru radical:
03x ,3x . (78)
Deoarece:
050303 xxx . (79)
Se rezolvă sistemul:
05
03
x
x
5,
,3
x
x x 5,35,,3 . (80)
Se verifică valorile din intervalul dat de relaţia (78).
Singura soluţie care se acceptă este:
4x . (81)
Răspunsul corect este a).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 77 2014
Soluţia nr. 3:
Se impune stabilirea domeniului maxim de definiţie pentru radical:
03x ,3x . (82)
Se verifică din grila de răspunsuri, valorile care respectă relaţia (82).
Singurele valori care verifică relaţia (82) sunt:
3x , (83)
respectiv
4x . (84)
Se verifică în ecuaţie, valorile date de relaţiile (83) şi (84).
Singura soluţie care se acceptă este:
4x . (85)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 4:
Se face substituţia:
3 xy . (86)
Ecuaţia din text devine:
2 yy , (87)
pentru care se impune domeniul maxim de definiţie dat de
,00 yy . (88)
Atunci:
4 322 yyyyy . (89)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 78 2014
Rezultă la limită:
14 3 y 1 y 4 x . (90)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 5:
Se face substituţia:
3 xy . (91)
Ecuaţia din text devine:
2 yy , (92)
pentru care se impune domeniul maxim de definiţie dat de
,00 yy . (93)
Rezolvăm ecuaţia:
2 yy 02)( 2 yy 022
yy . (94)
Se face substituţia:
yt 022 tt . (95)
Discriminantul ecuaţiei este:
acbt 42 9)2(1412 . (96)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
2
31
22,1
a
bt
t . (97)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
21 t , 12 t . (98)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 79 2014
Revenind la substituţie, respectiv la relaţia (97) se acceptă doar:
11 yy . (99)
Din relaţia (91) rezultă:
4x . (100)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 6:
Se face substituţia:
3 xy . (101)
Ecuaţia din text devine:
2 yy , (102)
pentru care se impune domeniul maxim de definiţie dat de
,00 yy . (103)
Rezolvăm ecuaţia:
2 yy yy 2 22
2 yy 0452 yy . (104)
Discriminantul ecuaţiei este:
acby 429414)5( 2 . (105)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
2
35
22,1
a
by
y. (106)
Rădăcinile ecuaţiei (104) sunt:
41 y , 12 y . (107)
Singura soluţie care se acceptă este:
4x . (108)
Răspunsul corect este a).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 80 2014
Soluţia nr. 7:
Se face substituţia:
3 xy . (109)
Ecuaţia din text devine:
2 yy , (110)
pentru care se impune domeniul maxim de definiţie dat de
,00 yy . (111)
Rezolvăm ecuaţia în mulţimea numerelor naturale, deoarece este permisivă
această situaţie.
2 yy 2)( 2 yy 2)1( yy . (112)
Rezultă:
21
1
y
y, (113)
şi
11
2
y
y. (114)
Din primul sistem de ecuaţii rezultă:
411
1
1
21
1xyy
y
y
y
y, (115)
care verifică cerinţele impuse în text.
Din cel de-al doilea sistem de ecuaţii rezultă:
0
4
0
2
11
2
y
y
y
y
y
y. (116)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 81 2014
Din:
14 xy , (117)
care nu verifică cerinţele impuse de text.
Din:
30 xy , (118)
care nu verifică cerinţele impuse de text.
Rezultă că singura soluţie este:
4x . (119)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 8:
Conform cu textul:
53 xx xx 53 . (120)
Se face notaţia:
xy 5 . (121)
Ecuaţia din text devine:
yy 2 . (122)
Se impune condiţia generată de domeniul maxim de definiţie:
02 y 2, y . (123)
Ecuaţia definită de relaţia (122) devine:
yy 2 22 yy 022 yy . (124)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 82 2014
Discriminantul ecuaţiei este:
acby 429)2(1412 . (125)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
2
31
22,1
a
by
y. (126)
Rădăcinile ecuaţiei sunt:
21 y , 12 y . (127)
Rădăcinile ecuaţiei verifică relaţia (124).
Din:
72 xy , (128)
care nu verifică cerinţele impuse de text.
Din:
41 xy , (129)
care verifică cerinţele impuse de text.
Rezultă că singura soluţie este:
4x . (130)
Răspunsul corect este a).
10. Pentru ce valori ale lui Rm , ecuaţia 033 mxx are 3 soluţii reale
distincte?
a) 3,m ; b) ,0m ; c) m ; d) 2,2m ; e) 2,0m ; f) 0,2m .
Soluție:
Aplicăm șirul lui Rolle.
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 83 2014
Fie atunci:
mxxxf 3)( 3 , RRf : , Rm . (131)
Atunci, derivata întâi a lui f este:
)1(333)(' 22 xxxf . (132)
Ecuaţia:
0)(' xf , (133)
admite rădăcinile
11 x şi 12 x . (134)
Pentru stabilirea semnului funcţiei f, s-au efectuat următoarele calcule:
2)1( mf ; 2)1( mf , (135)
respectiv
)(lim xfx
;
)(lim xfx
. (136)
Pentru respectarea cerinţelor şirului lui Rolle, este necesar şi suficient ca:
02 m ,2m , (137)
simultan cu
02 m 2,m . (138)
În concluzie:
,2m 2,22, . (139)
Răspunsul corect este d).
11. Valoarea integralei dxxx
1
0
3 2 este:
a) 0 ; b) 4
3 ; c) 1; d) 2 ; e) 3 ; f)
2
1.
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 84 2014
Soluție:
Integrala din text este egală cu:
dxxx
1
0
3 2
1
0
24
22
4
xx
1
0
24
4x
x
2
42
4
04
01
4
1
4
3 . (140)
Răspunsul corect este b).
12. Modulul numărului complex i 43 este:
a) 2; b) 1; c) 5; d) 3; e) 4; f) 6.
Soluție:
Modulul numărului complex:
iz 43 , (141)
este
543 22 z . (142)
Răspunsul corect este c).
13. Se dă matricea
45
13A ; atunci 2A este:
a)
1514
1110; b)
41
31; c)
1110
94; d)
1930
102; e)
2135
714; f)
2035
1220.
Soluție:
Conform cu cerinţa din text avem:
45
13
45
132 AAA
2135
714
44155435
41135133. (143)
Răspunsul corect este e).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 85 2014
14. Limita şirului nn
nnan
52
22
2
este:
a) 2
1; b)
3
1; c) 0; d) 3; e) -1; f) -2.
Soluție:
Limita şirului definit în text prin:
nn
nnan
52
22
2
, (144)
este:
2
1
52
211
lim5
2
211
lim53
2limlim
2
2
2
2
2
2
n
nn
nn
nnn
nn
nna
nnnn
n. (145)
Răspunsul corect este a).
15. Soluţia ecuaţiei 732 x este:
a) 2x ; b) 0x ; c) 1x ; d) 5x ; e) 1x ; f) 3x .
Soluţia nr. 1:
Ecuaţia din text se mai scrie:
5102732 xxx . (146)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2:
Se consideră funcţia:
RRf : , 32)( xxf , (147)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 86 2014
şi funcţia
RRg : , 7)( xg . (148)
Atunci, soluţia ecuaţiei din text reprezintă punctele de intersecţie ale celor două
grafice:
5)()( xgfRxxxgxf (149)
Răspunsul corect este d).
16. Abscisele punctelor de extrem local ale funcţiei RRf : , 2
)( xexxf
sunt:
a) 3
3x ; b) 1x ; c) 2x ; d) 3x ; e)
2
2x ; f)
2
1x .
Soluție:
Derivata întâi a lui f este:
//// 222
)( xxx exexexxf 2212
xe x . (150)
Abscisele punctelor de extrem rezultă din condiţia:
0)(/ xf 021 2 x2
22,1 x . (151)
Răspunsul corect este e).
17. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 04log 2
3
1 x este:
a) ,2x ; b) 2,0x ; c) 0,x ; d) ,5x ; e) 5,22,5 x ;
f) 5,0x .
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2014
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 87 2014
Soluție:
Domeniul maxim de definiţie al funcţiei:
4log)( 2
3
1 xxf , (152)
este dat de
042 x ,22,x . (153)
Inecuaţia din text devine:
04log 2
3
1 x 0514 22 xx 5,5x . (154)
Soluţia inecuaţiei este atunci:
5,5,22,x 5,22,5 . (155)
Răspunsul corect este e).
18. Într-o progresie aritmetică nna se cunosc 31 a şi 52 a ; atunci:
a) 75 a ; b) 85 a ; c) 145 a ; d) 45 a ; e) 95 a ; f) 115 a .
Soluție:
Raţia progresiei aritmetice este:
212 aar . (156)
Termenul general al progresiei aritmetice admite expresia:
rnaan 11 . (157)
Termenul cerut de text este cel pentru care 5n , respectiv:
1121535 a . (158)
Răspunsul corect este f).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 88 2015
1. Să se rezolve ecuaţia: 0)223(lg x .
a) 4; b) 1; c) 2; d) 2
1; e)
4
1; f) 0.
Soluție:
Ecuaţia din text devine:
0)223(lg x 1223 x 323 x 12 x 0 x , (1)
care este soluţie a ecuaţiei deoarece, pentru
0x 0223 x , (2)
astfel că, condiţia de existenţă pentru logaritm este îndeplinită.
Răspunsul corect este f).
2. Soluţia ecuaţiei xx 93 1 este:
a) 0; b) 2; c) 1; d) 4; e) 2
1; f) 3.
Soluție:
Condiţia necesară şi suficientă pentru domeniul maxim de definiţie al
radicalului este:
0x ,0x . (3)
Atunci:
xx 93 1 xx 21 33 xx 21 . (4)
Soluţia nr. 1:
Din:
xx 21 xx 212
0)1( 2 x , (5)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 89 2015
de unde rezultă:
01x 12,1 x . (6)
Răspunsul corect este c).
Soluţia nr. 2:
Deoarece:
xx 21 22)2(1 xx 0122 xx 12,1 x . (7)
Răspunsul corect este c).
Soluţia nr. 3:
Notăm:
0 xy 02 yx . (8)
Atunci:
xx 21 yy 212 012 y 12,1 y . (9)
Din:
12,1 y 1x . (10)
Răspunsul corect este c).
3. Soluţia ecuaţiei 7283 xx este:
a) -1; b) 1; c) -3; d) 3; e) 0; f) 2.
Soluție:
Ecuaţia din text devine:
7283 xx 8723 xx 155 x 3x . (11)
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 90 2015
4. Soluţiile ecuaţiei 0132 2 xx sunt:
a)
4;2
1; b)
0;2
1; c)
2
3;1 ; d) 4;2 ; e) 2;1 ; f)
1;2
1.
Soluție:
Discriminantul ecuaţiei din text este:
142 acbx . (12)
Soluţiile ecuaţiei din text sunt:
4
13
4
13
22,1
a
bx . (13)
În concluzie:
1;2
1x . (14)
Răspunsul corect este f).
5. Calculaţi: 8
10
2
10 CC .
a) 30; b) 12; c) 18; d) 0; e) 6; f) 1.
Soluție:
Conform cerinţei din text:
.45
!8!2
109!8
!!8!2
!10
!210!2
!102
10
C (15)
.45
!2!8
109!8
!2!8
!10
!810!8
!108
10
C (16)
Atunci:
.08
10
2
10 CC (17)
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 91 2015
6. Modulul numărului complex i2
1
2
3 este:
a) 31 ; b) 2; c) 1; d) 1
2; e) 4; f) 13 .
Soluția nr. 1:
Deoarece:
iz 2
1
2
3, (18)
avem
12
1
2
322
z . (19)
Răspunsul corect este c).
Soluția nr. 2:
Numărul complex z se poate scrie şi sub formă trigonometrică:
)sin(cos izz . (20)
Deoarece:
6sin
6cos
2
1
2
3 iiz , (21)
rezultă prin identificare cu relaţia anterioară că,
1z . (22)
Răspunsul corect este c).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 92 2015
7. Se cere valoarea parametrului Rm pentru care matricea
2 3 4
1 2
5 - 4 7
A m
are
det. 0A .
a) 2 ; b) 1; c) 2; d) 1 ; e) 3; f) 3 .
Soluţia nr. 1:
Conform cerinţei din text:
det. 0A
2 3 4
det. 1 2 7 7 0
5 4 7
A m m
1 m . (23)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2:
2 3 4
det. 1 2
5 4 7
A m
74
2)1(2 11
m
75
1)1()3( 11
m
45
21)1(4 11
077)104(4)57(3)414(2 mmm 1 m . (24)
Răspunsul corect este d).
8. Fie matricele
22
11A şi
1
1
y
xB . Să se determine x şi y astfel încât
ABBA .
a) 0x , 1y ; b) 1x , 0y ; c) 0x , 0y ; d) 1x , 1y ; e) 1x , 2y ;
f) 2x , 1y .
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 93 2015
Soluție:
Evaluând, avem:
)1(2)1(2
11
1
1
22
11
xy
xy
y
xBA ; (25)
22
2121
22
11
1
1
yy
xx
y
xAB . (26)
Deoarece:
ABBA
)1(2)1(2
11
xy
xy=
22
2121
yy
xx. (27)
Din:
xy 211 , xx 211 , 2)1(2 yy , 2)1(2 yx , (28)
rezultă
0x , 0y . (29)
Răspunsul corect este c).
9. Să se determine a şi b astfel încât 1x şi 2y este soluţie a
sistemului:
23
62
yax
byx.
a) 3a , 3b ; b) 4a , 2b ; c) 4a , 2b ; d) 2a , 4b ; e) 2a , 4b ;
f) 4a , 2b .
Soluție:
Fie:
62)( byxxf . (30)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 94 2015
Atunci:
042622)2;1( bbf 2b . (31)
Fie:
23)( yaxxg . (32)
Atunci:
0426)2;1( aag 4a . (33)
Răspunsul corect este f).
10. Fie polinomul XXXf 23 23 cu rădăcinile 1x , 2x , 3x . Să se calculeze
2
3
2
2
2
1 xxx .
a) 4; b) 1; c) 5; d) 3; e) 2; f) 6.
Soluţia nr. 1:
Deoarece
0)23(23 223 xxxxxxf 01 x , 12 x , 23 x . (34)
Atunci:
52 133221
2
321
2
2
2
2
2
1 xxxxxxxxxxxx . (35)
Răspunsul corect este c).
Soluţia nr. 2:
Utilizăm relaţiile lui Viète:
3321 a
bxxx ; 2133221
a
cxxxxxx ; 0321
a
dxxx . (36)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 95 2015
Atunci:
52 133221
2
321
2
2
2
2
2
1 xxxxxxxxxxxx . (37)
Răspunsul corect este c).
11. Să se determine Ra astfel încât numerele 1a , 3, 1a să fie în progresie
aritmetică.
a) 7; b) 2; c) 5; d) 6; e) 4; f) 3.
Soluţia nr. 1:
Numerele:
1a ; 3; 1a , (38)
sunt în progresie aritmetică, dacă:
2
113
aa 3a . (39)
Răspunsul corect este f).
Soluţia nr. 2:
Numerele: 1a şi 3 sunt în progresie aritmetică, atunci:
rbb 12 ra 13 ra 4 . (40)
Numerele: 3 şi 1a sunt în progresie aritmetică, atunci
rbb 12 ra 31 2 ar . (41)
Din:
ra 4 şi 2 ar 3a . (42)
Răspunsul corect este f).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 96 2015
12. Să se calculeze restul împărţirii polinomului 232 23 XXXf la 1X .
a) 0; b) 1; c) 2; d) 2015; e) 10; f) -2.
Soluţia nr. 1:
Deoarece:
0)1( f , (43)
rezultă că polinomul din text, are restul 0.
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 2:
Se realizează împărţirea polinomului f la 1X şi rezultă restul egal cu 0.
Răspunsul corect este a).
13. Să se calculeze 23
12lim
2
2
1
xx
xx
x.
a) ; b) 1; c) 0; d) -2; e) -3; f) 2.
Soluţia nr. 1:
Conform cu regula lui L’Hospital:
0
0
2
2
1 23
12lim
xx
xx
x
/2
/2
1 )23(
)12(lim
xx
xx
x0
1
0
32
22lim
1
x
x
x. (44)
Răspunsul corect este c).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 97 2015
Soluţia nr. 2:
Conform cu enunţul din text:
23
12lim
2
2
1 xx
xx
x
)2)(1(
)1)(1(lim
1 xx
xx
x0
1
0
2
1lim
1
x
x
x. (45)
Răspunsul corect este c).
Soluţia nr. 3:
Facem schimbarea de variabilă:
yx 1 . (46)
Atunci când:
1x 0y , (47)
astfel că
23
12lim
2
2
1 xx
xx
x
2)1(3)1(
1)1(2)1(lim
2
2
0 yy
yy
y0
6
0
63lim
2
2
0
yy
y
y. (48)
Răspunsul corect este c).
14. Să se determine Ra , astfel încât funcţia RRf : ,
1,13
1,1)(
2
xx
xaxxxf
să fie continuă pe R.
a) 4; b) 3; c) 1; d) 0; e) 2; f) -2.
Soluție:
Pentru ca funcţia f să fie continuă în punctul 1x , este necesar şi suficient să
fie îndeplinită condiţia:
1s dl l f , (49)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 98 2015
pentru care
11
lim
xx
sl )(xf a2 , (50)
şi
11
lim
xx
dl )(xf 4 . (51)
Din relaţia (49) rezultă:
2a . (52)
Răspunsul corect este e).
15. Fie Rf ,0: , .ln2)( xaxxf Să se determine Ra astfel încât 1)1(/ f .
a) 1; b) 0; c) -1; d) e ; e) 2; f) 1e .
Soluție:
Conform cu enunţul din text, rezultă:
12)(/ x
axf . (53)
Atunci:
1)1(/ f 1a . (54)
Răspunsul corect este c).
16. Să se determine numărul soluţiilor reale pentru ecuaţia 01033 xx .
a) una; b) două; c) trei; d) niciuna; e) ecuaţia are două soluţii egale;
f) ecuaţia are toate soluţiile egale.
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 99 2015
Soluţia nr. 1:
Se realizează tabloul de variaţie determinat de:
x , )(/ xf şi )(xf . (55)
Derivata întâi este:
)1(3)( 2/ xxf , (56)
care admite soluţiile
12,1 x . (57)
De asemenea:
8)1( f , 10)0( f , 12)1( f , (58)
şi
xlim )(xf ,
xlim )(xf . (59)
Din alternanţa valorilor numerice, deci a semnelor )( şi (-) pentru funcţia f,
rezultă că graficul funcţiei f intersectează axa Ox într-un singur punct; în aceste
condiţii, ecuaţia din text definită prin:
0)( xf , (60)
admite o singură rădăcină reală, în intervalul
,1x . (61)
Răspunsul corect este a).
Soluţia nr. 2:
Se trasează graficul funcţiei f.
Graficul funcţiei f intersectează axa Ox într-un singur punct; în aceste condiţii,
ecuaţia din text definită prin:
0)( xf , (62)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 100 2015
admite o singură rădăcină reală, în intervalul,
,1x . (63)
Răspunsul corect este a).
17. Să se calculeze integrala
1
0
3 )2( dxxx .
a) -1; b) 4
3; c) 1; d)
4
3 ; e)
4
1; f)
4
1 .
Soluție:
Integrala din text devine:
4
3
22
4)2(
1
0
21
0
41
0
3 xx
dxxx . (64)
Răspunsul corect este d).
18. Fie Rf 6,1: , x
xxf
2
8)( . Să se determine valoarea minimă a lui f .
a) 8
17; b)
8
1; c) 2; d) 1; e)
8
9; f)
8
7.
Soluţia nr. 1:
Evaluăm extremul funcţiei:
Rf 6,1: , x
xxf
2
8)( . (65)
Derivata întâi este egală cu:
2
/ 2
8
1)(
xxf . (66)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 101 2015
Punctele de extrem sunt date de:
0)(/ xf 4x . (67)
Deoarece:
Rf 6,1: , (68)
se acceptă doar valoarea
4x . (69)
Stabilim natura extremului funcţiei.
Deoarece:
04
)(3
// x
xf , (70)
funcţia f admite un minim cu valoarea numerică
1)4( f . (71)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2:
Din text:
x
xxfy
2
8)( 01682 yxx . (72)
Atunci, determinantul ecuaţiei este necesar şi suficient să îndeplinească
condiţia:
0 y 012 y ,11,y . (73)
Deoarece:
0x 1.min y , (74)
care este un minim pentru funcţia din text.
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 - 2016
Matematică 2015
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 102 2015
Soluţia nr. 3:
Se trasează graficul funcţiei din text şi se deduce că aceasta admite două
minime:
1.min1 y , (75)
şi
1.min2 y , (76)
pentru
4x , (77)
respectiv pentru
4x . (78)
Deoarece:
0x 1.min y . (79)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 4:
Utilizăm pentru calcul, inegalitatea:
abba 2 , 0, ba . (80)
Atunci:
12
82
2
8)(
x
x
x
xxfy ;1
2
8 x
x, 0 x . (81)
În aceste condiţii, rezultă:
1.min y . (82)
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 103 2016
1. Limita şirului:
123
213
nn
nnan este:
a) 3
2; b) 1; c) ; d)
3
1; e) 0; f) .
Soluție:
Limita şirului definit în text este:
123
21)(lim
2 nn
nnan
n
123
23lim
2
2
nn
nn
n
2
2
2
2
123
231
lim
nnnn
nnn
n
2
2
2
2
123
231
lim
nnnn
nnn
n0
1
123
231
lim
2
2
nnn
nnn
. (1)
Răspunsul corect este e).
2. Fie funcţia RRf : , xexxf )( ; să se calculeze )0(//f .
a) 0; b) 2; c) 1; d) 2 ; e) 2e; f) 1 .
Soluție:
Derivata întâi este egală cu:
xxxxx exeexexexxf //// )( . (2)
Derivata a doua este egală cu:
xxxx exeexexf 2)()( /// . (3)
Atunci, derivata a doua este egală cu:
2)0(// f . (4)
Răspunsul corect este b).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 104 2016
3. Să se determine valoarea parametrului Ra , astfel încât funcţia RRf : ,
definită prin
0,1ln
0,2)(
2
22
xx
xeaxxxf
x
, să fie continuă.
a) 2
1a ; b) 3a ; c) 2lna ; d)
2
3a ; e) 1a ; f) 0a .
Soluție:
Pentru ca funcţia f să fie continuă în punctul 0x , este necesar şi suficient să
fie îndeplinită condiţia:
0 ,s dl l f (5)
pentru care
00
lim
xx
sl )(xf
00
lim
xx
)1ln( 2x 0 , (6)
şi
00
lim
xx
dl )(xf aeaxx x
xx
22
00
)2(lim . (7)
Din relaţia (5) rezultă:
0a . (8)
Răspunsul corect este f).
4. Să se afle ecuaţia asimptotei la pentru graficul funcţiei RRf 1,1\: ,
dată de2
2
1
22)(
x
xxxf
.
a) 1y ; b) 2y ; c) xy ; d) 0y ; e) 2
1y ; f) 1 xy .
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 105 2016
Soluție:
Asimptota cerută de text este:
2
2
1
22)(lim
x
xxxfy
n
2
2
1
22lim
x
xx
n
11
212
lim
2
2
2
2
xx
xxx
n
11
212
lim
2
2
x
xxn
2 . (9)
Răspunsul corect este b).
5. Valoarea integralei dxx
x
1
0
2 1 este:
a) 2ln ; b) 2ln2
1 ; c) 1; d)
2
1; e) 2ln
2
3 ; f) 2ln2 .
Soluție:
Integrala din text se mai scrie:
1
0
/2
1
0
2
/21
0
2
1
0
2)1ln(2
1
)1(2
1
22
1dxxdx
x
xdx
x
xdx
x
xI
2ln2)1ln(21
0
/2 x . (10)
Răspunsul corect este f).
6. Să se calculeze limita: x
x
x
11lim
2
0
.
a) 1 ; b) 1; c) 2
1; d) ; e) 0 ; f)
2
1 .
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 106 2016
Soluție:
Limita din text, se mai scrie ca fiind:
0
0
2
0
11lim
x
x
x
11
1111lim
2
22
0 x
x
x
x
x
x
x
02
0
11lim
20
x
x
x. (11)
Răspunsul corect este e).
7. Să se calculeze aria mulţimii plane mărginite de graficul funcţiei RRf : ,
dată prin 23)( xxxf , axa Ox şi dreptele de ecuaţii 1x şi 3x .
a) 1; b) 3; c) 3
2; d)
3
1; e)
3
10; f)
3
13.
Soluție:
Aria mulţimii plane mărginite de graficul funcţiei RRf : , 23)( xxxf , axa
Ox şi dreptele de ecuaţii 1x şi 3x este egală cu:
dxxxIA f
3
1
2 )3(3
10
323
3
1
32
xx. (12)
Răspunsul corect este e).
8. Fie funcţia RRf : , 23)( 23 xxxf . Să se determine suma valorilor
extreme ale funcţiei f.
a) 4
1; b) 24 ; c) 24 ; d) 0 ; e) 3 ; f) 5 .
Soluție:
Derivata întâi este egală cu:
06323)( 2/23/ xxxxxf . (13)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 107 2016
Din condiţia:
0)(/ xf , (14)
rezultă valorile absciselor care permit generarea prin intermediul funcţiei din
text, a extremelor sale:
01 x şi 22 x . (15)
Suma valorilor extreme ale funcţiei f definită în text, este egală cu:
0)2()0()()( 21 ffxfxf . (16)
Răspunsul corect este d).
9. Să se afle Rm astfel încât ecuaţia 071294 23 mxxx să aibă o singură
rădăcină reală.
a) m ; b)
28
13,4m ; c)
,
28
134,m ; d)
28
13,04,m ;
e) ,4m ; f) 3,m .
Soluție:
Fie funcţiile:
RRf : , (17)
respectiv
RRg : , (18)
definite prin
xxxxf 12947
1)( 23 , (19)
respectiv
mxg )( , Rm . (20)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 108 2016
Determinarea parametrului m în condiţiile cerinţei din text implică faptul că
graficele celor două funcţii este necesar şi suficient să se intersecteze o singură dată
în raport cu codomeniile de definiţie ale acestor funcţii.
Atunci, derivata întâi este:
2327
6)( 2/ xxxf , (21)
admite rădăcinile
21 x , 2
11 x . (22)
Tabloul de variaţie corespunzător este:
x 2 0 2
1
)(/ xf - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + 2
1 - - - - - - - - - - - -
)(xf 4 0 28
13
Se trasează graficul lui f şi g.
Răspunsul corect este c).
10. Să se calculeze 2015
2016
1
20162 CC .
a) 2014 ; b) 2015 ; c) 2016 ; d) 4032 ; e) 0 ; f) 2013.
Soluție:
Deoarece:
)!(!
!
knk
nC k
n
, kn , Nkn , , (23)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 109 2016
rezultă
2016!2015
2016!2015
!2015!1
!20161
2016
C , (24)
şi
2016!2015
2016!2015
!1!2015
!20162015
2016
C . (25)
Atunci:
2016)12(20162016201622 2015
2016
1
2016 CC . (26)
Răspunsul corect este c).
11. Dacă 1)( xxf să se calculeze )1()0()1( fff .
a) 0 ; b) 1; c) 1 ; d) 2 ; e) 2 ; f) 4 .
Soluție:
Deoarece:
2)1( f ; 1)0( f ; 0)1( f , (27)
atunci
00)1()2()1()0()1( fff . (28)
Răspunsul corect este a).
12. Să se calculeze suma soluţiilor ecuaţiei 0232 xx .
a) 3 ; b) 2; c) 0; d) 3; e) 1; f) 4 .
Soluția nr. 1:
Se rezolvă în mod clasic ecuaţia din text:
1214)3(4 22 acbx . (29)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 110 2016
Atunci, rădăcinile sale sunt:
2
13
22,1
bx , (30)
de unde rezultă
21 x şi 12 x . (31)
Suma soluţiilor ecuaţiei este egală cu:
321 xx . (32)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2:
Se aplică în mod direct una dintre relaţiile lui Viète:
321 a
bxx . (33)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 3:
Se aplică una dintre relaţiile lui Viète dedusă.
Rădăcinile ecuaţiei de gradul doi definită prin:
02 cbxax , Rcbaa ,,,0 , (34)
admite rădăcinile:
22,1
bx . (35)
Atunci:
32
2
2221
a
b
a
b
a
b
a
bxx . (36)
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 111 2016
Soluţia nr. 4:
Ecuaţia din text se mai scrie:
0)2)(1()1(2)1(2223 22 xxxxxxxxxx . (37)
Aceasta are rădăcinile:
21 x şi 12 x . (38)
Atunci, suma soluţiilor ecuaţiei este egală cu:
321 xx . (39)
Răspunsul corect este d).
13. Fie matricea
110
101
321
A . Să se calculeze ).(det 2A .
a) 4 ; b) 16; c) 9; d) 1; e) 0; f) 36 .
Soluţia nr. 1:
Evaluăm pe 2A .
Atunci:
211
411
251
110
101
321
110
101
3212 AAA . (40)
În aceste condiţii, avem:
211
411
251
).(det 2A
11
11)1(
21
41)1(
21
41)1( 312111
11
11
21
41
21
410)11()42()42( . (41)
Răspunsul corect este e).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 112 2016
Soluţia nr. 2:
Aplicăm regula lui Sarrus.
Evaluăm pe 2A .
Atunci:
211
411
251
110
101
321
110
101
3212 AAA . (42)
În aceste condiţii, avem:
2
1 5 2
det.( ) 1 1 4
1 1 2
A
)1()1(2)1()1()4()1()1(2
411
211
02)1()1()4()1()1(2)1()1( . (43)
Răspunsul corect este e).
14. Se cer restul şi câtul împărţirii polinomului 132 23 XXXf la 1X .
a) XXr 3,1 2 ; b) XXr 3,1 2 ; c) XXr 3,1 2 ; d) XXr 3,1 2 ;
e) XXr 3,1 2 ; f) 1,2 2 Xr .
Soluție:
Se realizează operaţia de împărţire şi se observă că:
3 2 2( 2 3 1) : ( 1) 3 1X X X X X X , (44)
care corespunde schemei
D C Î r . (45)
Răspunsul corect este a).
[
T
y
p
e
a
q
u
o
t
e
f
r
o
m
t
h
e
d
o
c
u
m
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 113 2016
15. Care este soluţia ecuaţiei: 0624 xx ?
a) 1 ; b) 2 ; c) 1; d) 0 ; e) 2 ; f) 3 .
Soluţia nr. 1:
Deoarece răspunsul este unic, se verifică în parte, fiecare soluţie în ecuaţia din
text şi rezultă 1x .
Răspunsul corect este c).
Soluţia nr. 2:
Ecuaţia se poate rezolva grafic.
Fie:
xxxf 24)( , (46)
şi
6)( xg . (47)
Se reprezintă grafic funcţiile:
RRf : , xxxf 24)( , (48)
şi
RRg : , 6)( xg . (49)
Din intersecţia celor două grafice rezultă soluţia:
1x , (50)
respectiv
1 gf . (51)
Răspunsul corect este c).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 114 2016
Soluţia nr. 3:
Se face substituţia:
tx 2 . (52)
Ecuaţia din text, se mai scrie ca fiind:
0606220624 22 ttxxxx . (53)
Discriminantul ecuaţiei (2) admite valoarea:
25)6(1414 22 acbt . (54)
Soluţiile ecuaţiei (53) sunt:
2
51
22,1
a
bt
t , (55)
din care rezultă soluţiile
31 t şi 22 t . (56)
Deoarece:
02 tx , (57)
se acceptă doar soluţia
22 x 1 x . (58)
Răspunsul corect este c).
16. Produsul soluţiilor ecuaţiei 0lnln 2 xx )0( x este:
a) 2e ; b) 1; c) 1e ; d) e ; e) 2 ; f) 2e .
Soluţia nr. 1:
Ecuaţia din text se mai scrie:
0lnln 2 xx 0)1(lnln xx . (59)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 115 2016
Din:
10ln 0
1 exx . (60)
Din:
exxx 21ln01ln . (61)
Produsul soluţiilor ecuaţiei din text este egal cu:
exx 21 . (62)
Răspunsul corect este d).
Soluţia nr. 2:
Notăm:
xy ln . (63)
Ecuaţia din text devine:
.0)1(02 yyyy (64)
Ultima ecuaţie admite ca soluţii:
01 y şi 12 y . (65)
Revenind la substituţie, rezultă:
11 x şi ex 2 . (66)
Produsul soluţiilor ecuaţiei din text este egal cu:
exx 21 . (67)
Răspunsul corect este d).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 116 2016
17. Fie ecuaţia matricială
01
01
11
12X ; care este suma elementelor matricei
?)(2 RMX
a) 2 ; b) 8 ; c) 2 ; d) 6 ; e) 4 ; f) 5 .
Soluție:
Se consideră:
11
12A (68)
şi
01
01B . (69)
Deoarece:
BAX . (70)
Înmulţim ecuaţia (70) la dreapta cu 1A şi rezultă:
11 ABAAX 1 ABX , (71)
în care
10
012
11 IAAAA , (72)
1A este matricea inversă pe care trebuie să o evaluăm în continuare şi 2I este
matricea unitate care reprezintă un element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a
matricelor în mulţimea )(2 RM .
Evaluăm inversa matricei A.
Matricea transpusă este definită prin:
11
12TA . (73)
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 117 2016
Se defineşte matricea:
2221
1211*
aa
aaA , (74)
în care
11)1( 11
11 a ; (75)
1)1()1( 21
12 a ; (76)
1)1()1( 12
21 a ; (77)
22)1( 22
22 a . (78)
Rezultă că:
21
11*A . (79)
Atunci matricea inversă admite exprimarea:
* *1 *
1 1
1 2det. 1
A AA A
A
. (80)
Atunci:
1 ABX
21
11
01
01
11
11. (81)
Suma elementelor matricei )(2 RMX este egală cu 4.
Răspunsul corect este e).
18. Dacă 321 ,, xxx sunt rădăcinile polinomului 223 23 XXXf , să se calculeze
)( 2
3
2
2
2
1321 xxxxxx .
a) 5 ; b) 8 ; c) 2 ; d) 4 ; e) 4 ; f) 10 .
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016
Matematică 2016
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 118 2016
Soluție:
Polinomul are forma:
dcXbXaXf 23 )2(2)3( 23 XXX . (82)
Se aplică în mod direct relaţiile lui Viète:
3321 a
bxxx , (83)
2133221 a
cxxxxxx , (84)
2321 a
dxxx . (85)
Atunci:
)( 2
3
2
2
2
1321 xxxxxx
)(2)( 133221
2
321321 xxxxxxxxxxxx 10)223(2 2 . (86)
Răspunsul corect este f).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Matematică
BIBLIOGRAFIE 119
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
BIBLIOGRAFIE
[1] *** Grile subiecte – Fizică, algebră şi analiză matematică date la admiterea în
Facultatea de Pompieri, www.academiadepolitie.ro.
[2] Darie, E., Popescu, G. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic
superior, Pompierii Români, nr. 4/2006.
[3] Darie, E., Popescu, G. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic
superior, Pompierii Români, nr. 5/2006.
[4] Darie, E., Popescu, G. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic
superior, Pompierii Români, nr. 6/2006.
[5] Darie, E., Popescu, G. – Exerciţii pentru admiterea în învăţământul tehnic
superior, Pompierii Români, nr. 7/2006.
[6] Darie, E., Popescu, G., Pincu, M. – Exerciţii pentru admiterea în
învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 8/2006.
[7] Darie, E., Popescu, G., Pincu, M. – Exerciţii pentru admiterea în
învăţământul tehnic superior, Pompierii Români, nr. 9/2006.
[8] Popescu, G., Darie, E. – Probleme de algebră şi analiză matematică propuse
pentru admiterea în învăţământul superior tehnic, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2010, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2010.
[9] Popescu, G., Darie, E., Pavel, D. – Rezolvarea unor probleme de algebră şi
analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia
de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza” în perioada 2004-2010, Buletinul
Pompierilor, nr. 2/2010, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor,
Bucureşti, 2010.
[10] Popescu, G., Darie, E. – Rezolvarea unor probleme de algebră şi analiză
matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie
„Alexandru Ioan Cuza” în perioada 2005-2009, Buletinul Pompierilor,
nr. 1/2011, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2011.
[11] Darie, E., Popescu, G. – Rezolvarea subiectelor la disciplina fizică date la
concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie
„Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2011, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2011, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2011.
[12] Popescu, G., Darie, E. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi analiză
matematică date la admiterea la Facultatea de Pompieri – Academia de Poliţie
„Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2011, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2011, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2011.
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Matematică
BIBLIOGRAFIE 120
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
[13] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina
fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de
Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2012, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2012, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2012.
[14] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi
analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia
de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2012, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2012, Editura Ministerului Administraţiei şi Internelor, Bucureşti, 2012.
[15] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina
fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de
Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2013, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2013, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2013.
[16] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi
analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia
de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2013, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2013, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2013.
[17] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina
fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de
Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2014, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2014, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2014.
[18] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi
analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia
de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2014, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2014, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2014.
[19] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina
fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de
Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2015, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2015, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2015.
[20] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi
analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia
de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea iulie 2015, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2015, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2015.
[21] Darie, E., Popescu, G., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor la disciplina
fizică date la concursul de admitere la Facultatea de Pompieri – Academia de
Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea august 2016, Buletinul Pompierilor,
nr. 2/2016, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti, 2016, (în curs de
apariţie).
Rezolvarea subiectelor date la concursul de admitere
Academia de Poliție „Alexandru Ioan Cuza”
Facultatea de Pompieri 2006 – 2016 Matematică
BIBLIOGRAFIE 121
ALGEBRĂ ȘI ELEMENTE
DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
[22] Popescu, G., Darie, E., Damian, C. – Rezolvarea subiectelor de algebră şi
analiză matematică date la admiterea în Facultatea de Pompieri – Academia
de Poliţie „Alexandru Ioan Cuza”, sesiunea august 2016, Buletinul
Pompierilor nr. 2/2016, Editura Ministerului Afacerilor Interne, Bucureşti,
2016, (în curs de apariţie).
ISBN: 978-973-745-167-5