revista olímpica iii trimestre 2009
TRANSCRIPT
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
1/83
Girolamo Cardano
Problemas de Matemtica
para Competencias olmpicas
Sociedad Ramamsem
III TRIMESTRE DEL 2009
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
2/83
CONTENIDO
________________________________
Pgina
1. Presentacin 1
2. Solucin a los anteriores Problemas de Competencias no Olmpicas 13
3. Problemas de Competencias no Olmpicas 34
4. CURIOSATO 40
5. Solucin a los problemas anteriores de la columna
Olimpiadas alrededor del mundo.
48
6. Olimpiadas alrededor del mundo 61
7. Lgica y Matemtica Recreativa 63
8. Gua y lecciones de entrenamiento para competencias
matemticas.
71
________________________________
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
3/83
Sociedad RAMAMSEM
1
1. Presentacin.
Esta publicacin es realizada por la Sociedad RAMAMSEM y va dirigida a todas aquellas
personas que deseen explorar una matemtica diferente a la que se ensea en secundaria,
y algo ms !
Toda comunicacin o informacin con respecto a los problemas propuestos o soluciones,
pueden ser enviados a
[email protected] o bien [email protected] con esta publicacin, estamos reseando la biografa de algunos matemticos
clebres no solamente para honrar su memoria sino tambin humanizar este gran campo delconocimiento humano y universal como lo es la matemtica. En nuestra portada aparecen
representados los matemticos Tartaglia y Cardano.
Estas referencias bibliogrficas han sido tomadas textualmente de 20 matemticos
clebres de Francisco Vera.
TARTAGLIA Y CARDANO
UN DESAFIO MATEMTICO
En la poca en que florecen los dos matemticos a quienes se contrae este ensayo, haba
desaparecido ya la separacin entre la Aritmtica prctica, que se enseaba por medio del
baco, y la Aritmtica terica, que comprenda las propiedades de los nmeros y las
proporciones con arreglo a la tradicin romana, y se hablaba de una Aritmtica universal que
participaba del lgebra: Aritmtica algortmica, a cuyo desarrollo contribuy en gran parte la
difusin de los calendarios, tanto para usos eclesisticos como astrolgicos y mdicos
porque tenan las fechas indicadas en caracteres indios, impropiamente llamados arbigos,
los cuales derrotaron definitivamente a las cifras romanas en toda Europa, excepto en Italia,hasta el siglo XV, a pesar de ser sta la cuna de la Aritmtica mercantil, una de cuyas
primeras conquistas fue el sistema de contabilidad por partida doble, y a pesar de los
esfuerzos de Leonardo de Pisa, que dedica un capitulo de su famoso Lber Abacci a cantar
las excelencias de los diez guarismos, incluyendo el cero: quod arabice zephirum apellatur .
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
4/83
Sociedad RAMAMSEM
2
Triunfante, al fin, la enumeracin india y destruida la barrera que separaba las dos
Aritmticas, renace el lgebra sincopada que desde Diofanto de Alejandra, su verdadero
iniciador, haba permanecido en estado larval durante la Edad Media.
Aprovechando las fuentes rabes de origen indio y prescindiendo de las inspiradas en las
obras didcticas griegas, que no slo no sustituyen el clculo de cantidades porcombinaciones imaginadas con stas, sino que tampoco explican ni aun las frmulas de las
reas, por medio de la medida de sus magnitudes, las reglas del lgebra extraan su
demostracin de las construcciones geomtricas.
Como concepcin sinttica de la Matemtica, el lgebra es una tcnica de clculo sin
contenido, un mtodo Matemtico por excelencia, en el sentido luliano, cuyo papel se reduce
a asociar elementos simples de tal modo que, formando progresivamente compuestos cuya
estructura es cada vez ms complicada, tiende a hacer intil la inteligencia y a reducir elrazonamiento a reglas que se dejan aplicar Sucesivamente, pero como auxiliar de la
Geometra, produjo frutos en el Renacimiento dando una fisonoma especial a la ciencia de
Euclides y actuando sobre ella de un modo influyente para su desarrollo ulterior, a pesar de
la pesadez, inelegancia y laboriosidad con que se aplicaba; y cuando, aparecen en la historia
de la Matemtica Tartaglia y Cardano, el lgebra sincopado sigue siendo una ciencia de
origen rabe dedicada al estudio sistemtico de las ecuaciones o regla de la cosa , as
llamada por haberse dado a la incgnita el nombre de res , cosa, que los algebristas de la
poca representaban por una R . La x con que hoy se representa es de origen cartesiano.
Dos hechos casi simultneos influyeron poderosamente en el progreso que inicia entonces el
lgebra: la invencin de la imprenta y la toma de Constantinopla por los turcos. Gracias a los
griegos cultos que huyeron de la invasin otomana, el Occidente europeo conoci a los
grandes matemticos antiguos cuyas obras haban sido desfiguradas por los copistas o por
los traductores rabes; y los originales griegos, sustrados al pillaje turco y multiplicados por
el arte de Gutenberg, fueron la fuente pursima en que calmaron su sed de saber los
matemticos renacentistas.Los escritores contaban en la Edad Media con un nmero reducidsimo de lectores a
consecuencia de la escasez de las copias, y los hombres de ciencia no tenan ningn centro
de reunin, a diferencia de los de los tiempos clsicos, que lo tuvieron en Alejandra, de
modo que puede decirse que la imprenta inaugura la poca moderna, lo mismo desde el
punto de vista poltico que cientfico; el Renacimiento se caracteriza por una gran actividad
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
5/83
Sociedad RAMAMSEM
3
en todas las ramas del saber, y el descubrimiento de Amrica y las discusiones que
precedieron a la Reforma inundan Europa de ideas nuevas que la imprenta difundi.
La Matemtica, en particular, y ms en particular el lgebra sincopada, adquiri gran
desarrollo en Italia, primera que conoci los mtodos griegos, y recibi un impulso que dura
hasta fines del siglo XVI, en que Vite inicia la poca del lgebra simblica. Estudiadas lasecuaciones de primero y segundo grados, la Matemtica renacentista se hace esta pregunta:
Se puede encontrar la solucin general de las ecuaciones literales de grado superior al
segundo? Tartaglia, Cardano y sus discpulos contestaron afirmativamente para las de
tercero y cuarto, pero qued abierto un nuevo parntesis que cerr Abel en el siglo XIX
demostrando la imposibilidad de resolver algebraicamente las de grado superior al cuarto.
Se ignora la fecha exacta del nacimiento de Tartaglia, cuyo verdadero nombre es Nicolo
Fontana, segn se desprende de su testamento, en el que deja por heredero a su hermanoGiampietro Fontana; pero se le conoce en la Historia por su apodo de Tartaglia, el
Tartamudo, a causa del defecto que tuvo para hablar desde que, siendo nio, conoci los
horrores de la guerra. Cuando Gaston de Foix tom Brescia, ciudad natal de Tartaglia, el 19
de febrero de 1512, sus habitantes se refugiaron en la catedral acogindose al derecho de
asilo; pero allanada sta por los soldados, uno de ellos infiri cinco heridas al pequeo
Nicols, que qued con el crneo roto, abiertas las dos mandbulas y partida la lengua.
Durante mucho tiempo no pudo hablar ni comer, y, como l mismo cuenta en sus Quesiti et
inventioni diverse , fue su madre quien lo salv "imitando a los perros, que se curan
lamindose las heridas".
Por la misma obra sabemos que era hijo de un tal "Micheletto, cavallero de casaca ignota"
quien, al morir, le dej, nio an, con un hermano algo mayor y una hermana, al cuidado de
la madre "liquida di beni della fortuna".
Tartaglia fue un autodidacto. Luego de haber aprendido a leer y escribir, medit sobre las
obras de los muertos, "sopra le opere degli uomini defonti", son sus palabras, dedicndose a
la enseanza en varias ciudades de la Repblica de Venecia. En el trienio 1521-23 ejerci elprofesorado en Verona; en 1526 estaba en Manta; en 1534 ense en Venecia; en 1548
volvi a Brescia, regresando despus a Venecia, donde muri el 13 de diciembre de 1557.
La humildad de su origen y la estrechez econmica en que siempre vivi le impidieron tener
una educacin esmerada, por lo cual no escribi en latn, que era el idioma culto de su
tiempo, sino en el italiano vulgar que hablaban sus conciudadanos.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
6/83
Sociedad RAMAMSEM
4
Esto es casi todo lo que se sabe de la vida del gran matemtico, cuya primera obra: Nuova
Scientia , data de 1537. En ella establece los principios de la Balstica y es, realmente, el
primer libro que aplica el razonamiento matemtico a los problemas blicos. Tartaglia
sostuvo que el efecto mximo se obtiene disparando el can bajo un ngulo de 45 y
estudi la trayectoria de los proyectiles, cometiendo algunos errores que no fueronadvertidos hasta 1590, en que Diego de Alava, gentilhombre de cmara de Felipe II, public
en Madrid una obra con el mismo ttulo, Nueva ciencia , que la de Tartaglia, en la que, a
diferencia de ste, consider que podan combinarse el movimiento natural y el violento de
los proyectiles, deduciendo de aqu que su trayectoria era una lnea curva, estudiada
matemticamente por Jernimo Muoz, catedrtico de la Universidad de Salamanca.
Otro libro famoso de Tartaglia es el ya citado Quesiti o inventioni diverse , Venecia, 1546,
dedicado achi brama di veder nove inventioni,
non tolte da Platon, ne da Plotino,
ne d'alcun altro greco, over latino,
ma sol da l'arte, misura, e ragioni,
libro de gran importancia histrica porque en los enunciados y soluciones de los problemas
de que trata, su autor da interesantes noticias de los matemticos con quienes sostuvo
relaciones, sobre todo de aquellos cuyos nombres estn ligados a la cuestin de la prioridad
de la solucin de la ecuacin de tercer grado.
Finalmente escribi el General trattato di numeri et misure , especie de enciclopedia del tipo
de la Summa de Lucas Pacioli, donde se encuentran incidentalmente preciosos informes
sobre la vida ordinaria y los usos comerciales de la Italia renacentista; y as, por ejemplo,
sabemos que el inters del dinero variaba del 5 al 21% anual cuando se contaba con una
garanta slida, y que en las transacciones comerciales pasaba del 20%.
Tartaglia denunci la ley de usura, explicando la manera de que se valan para burlarla los
terratenientes, quienes obligaban a sus colonos a vender las cosechas a fin de abaratar elmercado para que, siendo bajos los precios de venta, pudieran comprar los prestamistas de
dinero en condiciones ventajosas; y como los arrendatarios haban tomado las semillas con
la condicin de devolver igual cantidad de granos o pagarlos con arreglo a la cotizacin del
mes de mayo, que es cuando el trigo estaba ms caro, los colonos no tenan otra solucin
que caer en las garras de los usureros para saldar sus deudas.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
7/83
Sociedad RAMAMSEM
5
A peticin de los magistrados de Verona, Tartaglia estableci una escala mvil que permita
determinar el precio del pan en funcin del valor del trigo, y discurri ampliamente sobre los
principios que se aplicaban en su poca para reglamentar la cuestin.
De Jernimo Cardano se sabe ms. Naci en Pava el 24 de septiembre de 1501 y su vida
es una serie de actos incoherentes que pertenecen tanto a la historia de la Matemtica comoa la de la Astrologa y a la de la Patologa.
Hijo de un jurisconsulto milans, Cardano estudi primero en su ciudad natal y despus en la
Universidad de Padua, donde alcanz la licenciatura en Medicina, que ejerci en Sacco y en
Miln en el perodo 1524 - 1556 durante el cual estudi Matemtica y public sus principales
obras. Despus de viajar por Francia, Inglaterra y Escocia, regres a Miln ocupando, en
1534, una ctedra en la Academia Palatina, donde pronunci un Encomium geometriae ,
recogido despus en la edicin de sus obras completas pero perdi la ctedra en unconcurso contra Zuanne del Coi y se traslad a Pava.
Gracias al apoyo del cardenal legado consigui un puesto en la Universidad de Bolonia;
pero, como dice Marie en su Histoire des sciences mathmatiques , "no muy honesto, un
poco astrlogo y charlatn y otro poco ateo y sopln", hizo el horscopo de Jesucristo y,
naturalmente, dio con sus huesos en la crcel el 14 de octubre de 1570, de la que sali un
ao despus bajo palabra de no volver a dar lecciones pblicas en ninguno de los Estados
pontificios, y march a Roma, donde ejerci la Astrologa con tanto xito que lleg a ser el
astrlogo ms renombrado de su poca. Este renombre le fue fatal, porque habiendo
pronosticado el da de su muerte, se suicid, 21 de septiembre de 1576, para dejar a salvo
su reputacin.
En De vita propia hace su autobiografa con estas palabras: "He recibido de la Naturaleza un
espritu filosfico e inclinado a la Ciencia. Soy ingenioso, amable, elegante, voluptuoso,
alegre, piadoso, amigo de la verdad, apasionado por la meditacin, y estoy dotado de talento
inventiva y lleno de doctrina. Me entusiasman los conocimientos mdicos y adoro lo
maravilloso. Astuto, investigador y satrico, cultivo las artes ocultas. Sobrio, laborioso,aplicado, detractor de la religin, vengativo, envidioso, triste, prfido y mago, sufro mil
contrariedades. Lascivo, misntropo, dotado de facultades adivinatorias, celoso, calumniador
e inconstante, contemplo el contraste entre mi naturaleza y mis costumbres."
Estas absurdas y contradictorias palabras, de catica ilacin, demuestran que Cardano era
un perturbado cuyo estudio clnico sera de indiscutible valor documental. Eglatra, no
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
8/83
Sociedad RAMAMSEM
6
pensaba ms que en s mismo y no tena otra preocupacin que su propia persona, hasta el
extremo de que al da de su nacimiento le daba importancia capital en la historia de la
humanidad.
Sus taras patolgicas las heredaron sus hijos, el mayor de los cuales fue ajusticiado en 1560
por haber envenenado a su mujer, y el ms pequeo cometi errores de conducta tan gravesque el propio Cardano no se atrevi a divulgar y que le condujeron a la crcel, no sin que
antes su padre le cortara las orejas en un acceso de clera, acto criminal que no fue
castigado gracias a la proteccin de Gregorio XIII, en cuya corte Cardano prestaba servicios
como astrlogo.
Tartaglia y Cardano son los principales protagonistas de una de las ms enconadas
polmicas que registra la historia de la Matemtica: la relativa a la ecuacin de tercer grado.
Los rabes haban resuelto algunas de estas ecuaciones geomtricamente, pero su estudiosistemtico corresponde a los italianos y provoc, como se acaba de indicar, una famosa
disputa, de acuerdo con el carcter de la poca, que gustaba de los torneos y discusiones
cientficas. "Al ver los problemas de tercer grado, que se proponan como desafo a
principios del siglo XVI, dice Libri en su Historie des sciences mathmatiques en Italie , se
comprende la importancia que se daba entonces a los descubrimientos algebraicos, siendo
difcil encontrar en la historia de la Ciencia un ejemplo semejante. Las apuestas y
discusiones pblicas se sucedan sin interrupcin, interesndose en ellas todas las clases
sociales, como en la antigedad se interesaban por los desafos de los poetas y los
combates de los gladiadores".
Aunque todava no se ha dicho la ltima palabra sobre la cuestin objeto de este trabajo,
parece que los primeros problemas de tercer grado fueron propuestos a Tartaglia en 1530,
estando en Brescia, por medio de Zuanne del Col, profesor de Miln, quien le pidi que
resolviera estas dos cuestiones:
1. Encontrar un nmero que, multiplicado por su raz aumentada en 3, de 5;
2. Encontrar tres nmeros que se diferencien en 2 y cuyo producto sea 1000.Los que tengan conocimientos matemticos comprendern en seguida que se trata de
resolver sendas ecuaciones de tercer grado, que Pacioli haba declarado imposibles, pero
que Tartaglia afirm que eran resolubles.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
9/83
Sociedad RAMAMSEM
7
Enterado de esta actitud, Antonio del Fiore calific de impostor a Tartaglia diciendo que l
conoca un mtodo emprico para resolver la ecuacin cbica que le haba enseado su
maestro Escipin del Ferro, el cual lo vio probablemente en alguna obra rabe.
Tartaglia contest que saba resolver las ecuaciones de los tipos
x3 + px = qx3 = px + q
y que la
x3 +q = px
siendo p y q positivos, quedaba reducida a la primera por medio de una transformacin fcil.
Fiore desafi entonces a Tartaglia y, aceptado el reto, ambos depositaron en poder de un
notario cierta cantidad de dinero que ganara quien resolviera treinta problemas en el plazo
mximo de cuarenta das. Tartaglia los resolvi todos en menos de dos horas y resumi susreglas en los siguientes versos tcnicos:
Quando che'l cubo con le cose appresso
se agguaglia a qualche numero discreto:
trovan dui altri, diferente in esso.
Dapoi terrai, questo per consueto,
che'l loro produtto, sempre sia eguale
al terzo cubo della cose neto;
el residuo poi suo generale,
delli lor lati cubi, ben sottratti
varra la tua cosa principale.
In el secondo, de cotesti atti;
quando che'l cubo restasse lui solo,
tu osserverai quest'altri contratti,
del numer farai due tal part'a volo,
che l'una, in l'altra, si produca schietto,el terzo cubo delle cose in stolo;
delle quali poi, per commun precetto,
torrai li lati cubi, insieme gionti,
et co tal somma, sar ii tuo concetto;
el terzio, poi de questi nostri cnti,
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
10/83
Sociedad RAMAMSEM
8
se solve col segundo, se ben guardi
che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, et non con pasi tardi
nell mille cinquecent'e quatro e trenta;
con fondamenti ben saldi, e gagliardi;nella citt del mar'intorno centa.
Fijndonos en el primer caso, que basta para captar la regla de Tartaglia, los versos
mnemotcnicos dicen traducidos literalmente:
"Cuando el cubo con las cosas cerca,
se iguala a cualquier nmero discreto,
se encuentran otros dos, diferentes en eso,
Despus tendrs esto por normaque su producto sea siempre igual
al tercio cubo de las cosas limpio;
el resto despus suyo general
de sus lados el cubo bien restado
vers tu cosa principal";
es decir, en el lenguaje matemtico moderno: Si el cubo x 3 ms un mltiplo px de la cosa,
incgnita, es igual a un cierto nmero q , determinemos, por los mtodos habituales, dos
nmeros y y z cuya diferencia sea q y cuyo producto sea el cubo del tercio del coeficiente de
la incgnita; se extraen sus races cbicas, y, restndolas, se tiene el valor de x , valor que,
como se puede comprobar, est obtenido por el mismo mtodo que suele explicarse en los
tratados de lgebra.
Los ltimos versos indican el lugar: Venecia, y la fecha: 1534, del descubrimiento: "Esto
encontr, y no con paso tardo - en mil quinientos treinta y cuatro con fundamento slido y
gallardo - en la ciudad que rodea el mar."
Triunfante el matemtico de Brescia, el asunto parece que qued zanjado hasta que un aodespus lo resucit Coi enviando a Tartaglia, el 12 de septiembre de 1535, tres problemas,
uno de los cuales consista en descomponer el nmero 20 en tres partes en progresin
geomtrica y tales que el producto de las dos primeras sea 8, problema que Luis Ferrari,
discpulo de Cardano, consigui resolver.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
11/83
Sociedad RAMAMSEM
9
Pas otro ao ms y, en agosto de 1536, un tal Vincenti propuso a Tartaglia el problema de
encontrar un nmero que, multiplicado por su raz cuadrada aumentada en 6, d 100,
problema, que, como se ve, es idntico a uno de los propuestos en 1530 por Col, quien, el
10 de diciembre del mismo ao de 1536, le plante nuevas cuestiones anlogas que no se
sabe si fueron resueltas; y el asunto volvi a un punto muerto aparente, puesto que Tartagliasegua trabajando en ello, pero sin dar a conocer el resultado de sus investigaciones. .
Y en 1539 entra en escena Cardano enviando a Tartaglia, con fecha 2 de enero, una carta
por intermedio de un librero, en la que le dice que, conocedor del resultado de su disputa con
Fiore y estando a punto de publicar una obra, quera incluir en ella la frmula de la ecuacin
de tercer grado y consignar el nombre de su descubridor, por lo cual le rogaba que le
comunicase todo lo que se relacionara con el asunto y muy especialmente los enunciados de
los famosos treinta problemas. Tartaglia se neg a ello y entonces Cardano, irritado, le envipor el mismo conducto, el 12 de febrero de 1539, otra carta llena de reproches; pero,
comprendiendo que no era ste el camino adecuado para conseguir lo que quera, cambi
de tctica y, con amables palabras, le inst el 13 de marzo del mismo ao a pasar unos das
en Miln, donde le deca que le esperaba con impaciencia el marqus del Vasto, protector
suyo y mecenas de los cientficos.
Acept Tartaglia la invitacin, y el 25 de marzo se dirigi a Miln, hospedndose en casa del
propio Cardano luego de saber que el marqus se haba marchado a Vigevano. El
matemtico milans procur convencer por todos los medios a su colega para que le dijera
el secreto de la ecuacin cbica. "Os juro sobre los Santos Evangelios, le dijo, que si me
comunicis vuestros descubrimientos no los publicar jams y los anotar slo para m en
cifra, a fin de que nadie pueda comprenderlos hasta despus de mi muerte."
Tartaglia cedi, al fin, a tan insistentes ruegos y regres a Venecia, desde donde se carte
con Cardano, 12 y 17 de mayo; 10 y 19 de julio; 4 de agosto y 18 de octubre de 1539, sobre
algunos desarrollos complementarios.
A travs de esta correspondencia se advierte que las relaciones entre ambos se ibanenfriando, y la carta de Cardano del 5 de enero de 1540 qued ya sin respuesta.
Auxiliado por su discpulo Ferrari, aqul consigui ampliar las reglas de Tartaglia, y en 1545
public su famosa Ars Magna , en cuyo primer captulo dice lo siguiente: "Escipin del Ferro,
de Bolonia, encontr hace tiempo nuestro captulo verdaderamente bello y admirable Del
cubo y de las cosas iguales a nmero . Tal arte, superando a toda humana sutileza y al
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
12/83
Sociedad RAMAMSEM
10
esplendor de todo ingenio mortal, atestigua el valor de su mente, y es cosa de tanta
maravilla que quien la ha inventado puede vanagloriarse de que nadie le superar. mulo
suyo es mi amigo Nicols Tartaglia, de Brescia, quien, en una disputa que sostuvo con
Antonio Mara del Fiore, discpulo de Escipin del Ferro, tambin lo encontr y me lo
comunic a mi ruego, sin demostracin, la cual he redactado en diferentes casos con elauxilio de mi antiguo discpulo Luis Ferrari. Lo de ste va con su nombre y todo lo dems es
cosa ma."
Irritado por estas palabras sinuosas, Tartaglia desafi a Cardano; pero ste, deseando
quedar al margen de toda disputa, se entendi con Ferrari, el cual envi a aqul desde
Miln, el 10 de febrero de 1547, un cartello di sfida , proponindole una "controversia pblica
en un lugar cmodo para los dos y ante jueces idneos, sobre Geometra, Aritmtica y todas
las disciplinas que dependen de stas", declarando estar dispuesto a hacer un depsito dedoscientos escudos destinados al vencedor y dndole un plazo de treinta das para
contestarle. La respuesta no se hizo esperar. Nueve das despus le escribi Tartaglia desde
Venecia, aceptando; pero con la condicin de que Cardano, tomara parte en la contienda.
Ferrari respondi en abril del mismo ao con otro cartel de desafo que agri la cuestin.
Aparte del detalle de estar escrito en latn, con la aviesa intencin de poner en un apuro a
Tartaglia, dada su poca cultura literaria, deca que durante un viaje de Miln a Florencia, el
ao de 1542, y mientras descansaba en Bolonia, Anbal de la Nave haba comunicado a
Cardano un cuaderno de Escipin del Ferro en el cual "estaba expuesta elegante y
completamente la resolucin de la ecuacin cbica", dato de gran inters histrico puesto
que permita poner en duda el derecho de prioridad de Tartaglia; pero demostraba tambin la
mala fe de Cardano al ocultarlo.
El 27 de abril contesta largamente Tartaglia insistiendo en que asistiera Cardano al torneo,
en el que podan tomar parte, adems, todos los matemticos del mundo, y le planteaba
treinta y un problemas, diecisiete de los cuales se refieren a construcciones con una sola
abertura de comps, tema que haba sido tratado por Abulguafa y por Alberto Durero, yparece que tambin por Escipin del Ferro; pero as como stos utilizaban una abertura en
cada caso, Tartaglia exiga que el radio fuese el mismo en todos los problemas,
inspirndose, evidentemente, en consideraciones tericas.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
13/83
Sociedad RAMAMSEM
11
Ferrari contest el 24 de mayo con una carta plagada de injurias, presentando sus
contraposiciones y planteando otros problemas, treinta y uno en total, ms complicados que
los de Tartaglia, y algunos de los cuales excedan de sus recursos matemticos.
Fechada el 23 de junio, y concluida de imprimir el 9 de julio siguiente, apareci la respuesta
de Tartaglia, resolviendo veintisis de las treinta y una cuestiones propuestas por su rival,incluyendo las de carcter filosfico relativas a un pasaje del Timeo de Platn y otro de
Aristteles, y termina su escrito con este verso:
Ogni dubbioso il parangon fa certo
revelador de su satisfaccin por los resultados conseguidos.
El 10 de agosto public Ferrari su cuarto cartel de desafo, en el que hay muchos insultos y
poca Matemtica, al cual contest Tartaglia el 30 del mismo mes resolviendo las cuestiones
que haba dejado pendientes en su respuesta anterior y reiterando su deseo de que Cardanotomase parte en la discusin, adivinando, lgicamente, que ste andaba entre bastidores.
El quinto cartel de Ferrari, aparecido en octubre, tiene ms inters. Empieza con una
digresin de carcter jurdico acerca de las autoridades cientficas que deben dirimir la
contienda, critica despus las soluciones de Tartaglia con palabras apasionadas e injustas,
tras de las cuales se advierte la presencia de Cardano, y termina resolviendo algunos de los
problemas propuestos por su rival el 27 de abril, es decir: que tard seis meses en dar sus
soluciones, Tartaglia las dio siempre inmediatamente y ello gracias a la colaboracin de
Cardano, como ste mismo afirma en su obra De Subtilitate . Tartaglia respondi diciendo
que ya duraba demasiado la polmica escrita y que estaba dispuesto a dirigirse a Miln para
discutir verbal y pblicamente con su adversario, aprovechando la proximidad a la capital de
Lombarda de Brescia, donde se encontraba a la sazn por razones profesionales.
Cerca de un ao tard Ferrari en contestar. Su respuesta, fechada el 14 de julio de 1548 es,
como todas las suyas, una coleccin de improperios, y concluye haciendo un elogio de
Cardano, de quien dice que tuvo la generosidad de citar a Tartaglia en su Ars Magna a
propsito de la ecuacin de tercer grado, que ya haba resuelto Escipin del Ferro y conocaAntonio del Fiore. Aceptando en principio el desafo matemtico, ambas rivales llegaron a
un acuerdo sobre las condiciones el da 24 de julio, citndose para el 10 de agosto en la
ctedra Giardino de los recoletos de Miln.
De esta famosa polmica no conocemos, desgraciadamente, ms que las referencias de uno
de los contendientes: Tartaglia, lo que impide juzgarla con imparcialidad.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
14/83
Sociedad RAMAMSEM
12
Tanto este ltimo episodio como el desarrollo del desafo, han sido diversamente
interpretados, incluso por los propios historiadores de la Matemtica italiana, y, aun hace
pocos aos, dos ilustres profesores: Gino Lora y Ettore Bortolotti, han adoptado posiciones
opuestas: el primero en favor de Tartaglia y el segundo en defensa de Cardano.
Lo que s parece fuera de toda duda es que la controversia oral degener en puerilidades envez de aportar elementos nuevos a la teora de ecuaciones, que era la preocupacin de los
matemticos de la poca, lo que no quiere decir que los cartelli di Matematica disfida fueran
estriles, pues que permiten seguir con bastante aproximacin la trayectoria histrica de la
resolucin de la ecuacin de tercer grado, que se puede resumir diciendo que en 1502
Pacioli la haba declarado imposible, opinin que no fue compartida por Escipin del Ferro, el
cual conoca en 1515 un procedimiento emprico, tomado probablemente de los rabes; pero
guard su secreto limitndose a consignarlo en un cuaderno que, a su muerte, en 1526,pas a manos de Anbal de la Nave, su sucesor en la ctedra de Bolonia, siendo probable
que en esta ciudad se conociera la existencia de tan precioso documento, pues que ello
explicara satisfactoriamente el motivo de los problemas que Coi y Fiore propusieron en 1530
a Tartaglia y que fueron, en realidad, los que le obligaron a trabajar sobre la ecuacin cbica,
que consigui resolver en 1534 y se la comunic, en 1539, bajo previo juramento ad sacra
Dei de guardar el secreto, a Cardano, quien conoci tres aos despus, junto con Ferrari, la
solucin emprica de Escipin del Ferro facilitada confidencialmente por Anbal de la Nave
cuando ambos, de paso para Florencia, se detuvieron en Bolonia, 1542.
En posesin de este dato, Cardano, cuyo perfil moral deja mucho que desear, falt al
juramento prestado y public la solucin de la ecuacin en su Ars Magna hacindola
preceder de palabras que indignaron a Tartaglia, quien desafi a Cardano; pero ste no slo
rehus el debate (fue su discpulo Ferrari quien, manejado por l, lo sostuvo), sino que,
acosado para que asistiese a la controversia pblica, huy cobardemente de Miln a ua de
caballo. Es indudable, pues, que Tartaglia fue quien resolvi la ecuacin de tercer grado tal
como ha llegado a nosotros, con absoluta independencia del mtodo emprico que Escipindel Ferro consign en el cuaderno que todava no se ha encontrado a pesar de las pacientes
y minuciosas bsquedas de matemticos e historiadores; pero como fue Cardano quien la
dio a conocer y adems en latn, que era el idioma cientfico de la poca, ha pasado a la
Historia con el injusto ttulo de frmula cardnica, negndosele a Tartaglia incluso la
reparacin pstuma a que tiene indudable derecho.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
15/83
Sociedad RAMAMSEM
13
2. Solucin a los anteriores Problemas de Competencias no
Olmpicas.
A continuacin brindamos la solucin de los 30 ejercicios propuestos en la columna
Problemas de Competencias no Olmpicas de la edicin anterior.
Les recordamos que la forma de resolver cada ejercicio no necesariamente es la nica,
as que invitamos al estimable lector a enviarnos sus soluciones a los mismos.
LGEBRA.
1. x, y, z son tres nmeros reales tales que xy = 24, yz = 48, xz = 72.
Cunto vale x + y + z?
(Gironalino del Grupo Tutor, nmero 8, Italia)
SOLUCIN (Oficial):
Multiplicando la primera ecuacin con la segunda y dividiendo por la tercera tenemos
.41672
4824 22
==
= yyxz
zxy
Multiplicando la segunda ecuacin con la tercera y dividiendo por la primera tenemos
.1214424
7248 22
==
= yyxy
xyz
Multiplicando la primera ecuacin con la segunda y dividiendo por la tercera tenemos
.63648
7224 22
==
= yyyz
yzx
As, x + y + z {2, 10, 14, 22}.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
16/83
Sociedad RAMAMSEM
14
2. Propuesto por Nicos D. Diamantes, estudiante, Universidad de Patras, Grecia. Tomado
de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1991.
Hallar una raz real de .0122010 35 =+ yyy
SOLUCIN: (de Murray S. Klamkin, University of Alberta, q.d.d.g)
Ms generalmente, es conocido que la ecuacin 025355 =+ ayppyy es resoluble en
radicales. Haciendo ,t
pty += la ecuacin se reduce a a
t
pt =+
5
55 as que
.54252 paat =
En nuestro caso, p= 2 y a = 12, as t5 = 8 4 y la raz real es .53
25
2
2 +=y
3. Hallar todos los enteros positivos zyx ,, que satisfacen la ecuacin
.4)(5 xyzxzyzxy =++
(Competicin Matemtica Intercolegial de la Sociedad Matemtica de Singapur, 1988)
SOLUCIN: (de T. H. Wang, Wilfrid Laurier University, Waterloo. Ontario)
La ecuacin dada puede ser rescrita como (*)5
4111=++
zyx
Sin prdida de generalidad, podemos asumir que 1 x y z. Desde que x, y, z son
positivos x= 1 es claramente imposible. Por otro lado, si x 4, entonces .5
4
4
3111
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
17/83
Sociedad RAMAMSEM
15
Cuando x= 2, (*) se transforma en .10
311=+
zySi y 3, entonces .
10
3
3
111>>+
zySi y 7
entonces .10
3
7
211a + b, as que b + c a > 0 y c +a b> 0. Esto implica
que abc < 0, una contradiccin ya que los tres nmeros son positivos. Luego, entonces
a + b c> 0, b + c a > 0 y c +a b> 0. Note que
Multiplicando estas tres inecuaciones y tomando las races no negativas. Tenemos que
Para que se satisfaga (4) debe satisfacerse (1), (2) y (3) por lo que cba == es la nica
solucin.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
18/83
Sociedad RAMAMSEM
16
5. Determine el nmero de soluciones ( )zyx ,, en enteros positivos de la ecuacin
.233 =++ zyx
(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)
SOLUCIN: (Oficial)
Claramente, tenemos nicamente 7 posibles valores para x, desde 1 hasta 7. Cuando x= 7,
tenemos y + z= 2, la cual tiene una solucin: y= z= 1; cuando x= 6, tenemos y+ z= 5 la
cual tiene 4 soluciones: (y, z) = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). En este momento podemos notar
que por cada reduccin del valor de xen 1 el nmero de soluciones se incrementa en 3. As,
el nmero total de soluciones es 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 70.
6. Determine cul de los siguientes nmeros es el mayor: 86 + .95 +
(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)
SOLUCIN: (Oficial)
Sean 86 +=x y .95 +=y
Entonces,
45214452952,48214482862 +=++=+=++= yx
Desde que 48 > ,45 se nota que x2>y2 y, en consecuencia, se sigue que x>yya que
ambos son positivos. As, el mayor de los nmeros es 86 + .
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
19/83
Sociedad RAMAMSEM
17
7. Para nmeros reales no negativos zyx ,, que satisfacen ,1=++ zyx pruebe que
.6411
11
11
+
+
+
zyx
(CEOC, 1992)
SOLUCIN: (de Sociedad RAMAMSEM)
Desarrollando el producto, tenemos que
por la desigualdad entre la media aritmtica y la media geomtrica se tiene
de modo que
As que,
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
20/83
Sociedad RAMAMSEM
18
8. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
(Memorial University Undergraduate Mathematics Competition, September 25, 1997)
SOLUCIN: (de Solomon W, Golomb, USC, Los Angeles, CA, USA)
Si (1) tiene soluciones reales, entonces xyz 0. Luego,
x2+ 1 = xy, y2+ 1 = yz, z2+ 1 = xz.
Multiplicando tenemos (x2+ 1)( y2+ 1)( z2+ 1) = x2y2z2.
Pero para nmeros reales x, y, z, tenemos que x2 + 1 > x2, y2 + 1 > y2, z2 + 1 >z2 por lo
que el sistema de ecuaciones no tiene soluciones reales.
9. Propuesto por Waldemar Pompe, estudiante, Universidad de Varsovia, Polonia. Tomado
de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1997.
Un nmero de cuatro dgitos abcd es llamado faulty si satisface las siguientes
propiedades: el producto de los dos ltimos dgitos c y d es igual al nmero ,ab mientras
que el producto de 1c y 1d es igual al nmero de dos dgitos .ba Determine todos los nmeros faulty !
SOLUCIN: (David R. Stone, Georgia Southern University, Statesboro, Georgia, USA)
Esta implcito en la definicin que a 0, c 1, d 1, y b 0. Traduciendo las condiciones
dadas, si abcd es nmero faulty tenemos que
c d = 10a + b = ,ab (1)
y
( 1c ) ( 1d ) = 10b+ a = .ba
Esto ltimo implica
10b+ a = cd d c 1 = 10a + b d c+ 1,
As,
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
21/83
Sociedad RAMAMSEM
19
9(a b) = c+ d 1,
como 1 9(a b) 17, forzosamente 9(a b) = 9, o bien a = b+ 1. Desde que c+ d= 10,
sustituyendo en (1), tenemos c(10 c) = 10(b + 1) + b, o bien
c2 10c + (11b + 10) = 0
Resolviendo la ecuacin cuadrtica en c, tenemos ,11155 bc = como ces un entero
positivo se sigue que b= 1. Obtenemos, tambin, que a = 2, c= 7 c= 3, con lo cual d= 3
d= 7 respectivamente. As, los nicos dos nmeros faulty son 2137 y 2173.
10. Determine todos los pares ordenados de enteros tales que .5336 += yx
(15th W.J. BLUNDON CONTEST, 18 de Febrero, 1998)
SOLUCIN: (Oficial)
Los pares son (3, 26), (3, 26), (3, 26), (3, 26).
Usted sabia que
En la direccin electrnica:
http://www.matebrunca.com/
Aqu encontrars un Sitio de Matemtica y Temas Educativos que corresponde a
una pgina muy interesante, elaborada por profesores de la Zona Sur de Costa Rica.
Visitala !
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
22/83
Sociedad RAMAMSEM
20
GEOMETRA.
1. Los botones de un telfono estn dispuestos como lo indica la siguiente figura
Si los botones estn separados un centmetro, de centro a centro, cuando usted marca el
nmero 592 7018 determine la distancia que han recorrido sus dedos.
(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)
SOLUCIN: (Oficial)
Cada una de las distancias entre los dgitos sucesivos del nmero telefnico corresponde a
la longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo con lados enteros. Las 6 longitudespueden ser fcilmente calculadas, ellas son: 5,10,2,5,5,2 para un total de
( )105322 ++ cm recorridos.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
23/83
Sociedad RAMAMSEM
21
2. El tringulo ABC es equiltero con lados tangentes al crculo de centro O y radio .3
Determine el rea del cuadriltero .AOCB
(British Columbia College, Junior High School Mathematics Contest, Ronda Final, 1997)
SOLUCIN: (Oficial)
Primero, unamos los puntos B y C. Al ser las tangentes a un crculo perpendiculares a su
radio en el punto de tangencia se forman as los tringulos rectngulo congruentes BOA y
BOC, cada uno de los cuales es un tringulo semiequiltero, en los cuales la medida del
lado BO es el doble de la medida del lado AO. Utilizando el teorema de Pitgoras hallamos
que AB = AC = 3. De donde (BOA) =2
3333
2
1= con lo que (AOCB) = .33
3. El tringulo ABC es tal que A = 30, C = 45 y AB mide el doble de la altura sobre
AC. Determine el valor deAB
BC.
( Competencia Colegial de USA, 1972 )
SOLUCIN: (Oficial)
Por la ley de Senos
Csen
AB
Asen
BC
=
Csen
Asen
AB
BC
=
o
o
45
30
sen
sen
AB
BC=
AB
BC=
2
1
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
24/83
Sociedad RAMAMSEM
22
4. Sean cba ,, los lados y ,, los ngulos opuestos de un tringulo. Muestre que si
coscoscos 222 cabcab == entonces el tringulo es equiltero.
(Competencia Hngara, 1987)
SOLUCIN: (de George Evagelopoulos, Atenas, Gracia)
De la igualdad
y aplicando la Ley de Cosenos, tenemos
equivalentemente
y
similarmente obtenemos
y
Sumando (1), (2) y (3) tenemos
o equivalentemente
de donde 222 cba == o bien .cba ==
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
25/83
Sociedad RAMAMSEM
23
5. Propuesto por Toshio Scimiya, Kawasaki, Japn. Tomado de la revista Crux
Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 1991.
Sea M el punto medio del segmento BCdel tringulo .ABC Suponga que CBAM =
y .15o=MAC Calcule la medida del ngulo .C
SOLUCIN: (Dag Jonsson, Uppsala, Suecia)
Sea = C= BAM, c = ABy a = BM= MC. Desde que el tringulo ABCes semejante
al tringulo MBA, .22
acc
a
a
c==
Aplicando la Ley de Senos al tringulo aplicada al tringulo ABC se tiene
,2
15
2
sen
a
sen
a=
+ o
as
,
30
1530
21
21
15
2
+
==
+ o
oo
osen
sena
sen
a
con la obvia solucin = 30. Esta es la nica solucin desde que
( ) tan15
15cos
15
2
+
=
+
oo
o
sen
sen
a
es decreciente en ya que < 90.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
26/83
Sociedad RAMAMSEM
24
6. El cuadrngulo ABCD est inscrito en un crculo con radio 1 en el cual una de las
diagonales, ,AC es un dimetro del crculo, mientras que la otra diagonal, ,BD es
congruente con .AB Las diagonales se intersecan en .P Es conocido que .5
2=PC
Cunto mide CD ?
(Concurso Matemtico por Equipos BALTIC WAY - 92, Vilnius, 1992)
SOLUCIN: (Oficial)
Considere la siguiente figura
El tringulo ABDes issceles porque AB= BD. Sea O el centro del circuncrculo. EntoncesBOAD. Porque CDAD( ACes un dimetro), tenemos que CDBO; esto nos permite
afirmar que PCDPOB, y se sigue que
.3
2
5
35
21
=
=
==PO
PCOBCD
PO
PC
OB
CD
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
27/83
Sociedad RAMAMSEM
25
7. AB es un dimetro de un crculo de radio 1. CD es una cuerda perpendicular a AB que
le interseca en .E Si el arco CAD es3
2de la circunferencia del crculo. Determine la
longitud del segmento .AE
(Competencia Matemtica de Alberta High School, Noviembre 1996, I Parte)
SOLUCIN: (Oficial)
Por simetra, el tringulo ACD es un tringulo equiltero. Entonces su centroide es el
centro Odel crculo. Desde que AO= 1, AE= AO+ OE= .2
3
8. A y B son dos puntos sobre el dimetro MN de un semicrculo. FEDC ,,, son puntossobre el semicrculo tales que .FBNDBMEANCAM == Pruebe que .DFCE=
(Competencia Matemtica de Alberta High School, Febrero 1997 Segunda Ronda)
SOLUCIN: (de Byung-Kyu Chun, Harry Ainlay High School, Edmonton, Alberta, Canad)
Considere la siguiente figura
Prolonguemos EA hasta intersecar a la circunferencia en C, y prolonguemos DB hasta
intersecar a la circunferencia en F. Por simetra, AC= AC as que ACC= ACC,
similarmente BFF= BFF. Ahora bien, ECC= 180CAC = 180 2 CAM =
180 2 FBN =180FBF = DFF. Como los arcos CEy DFsubtienden ngulos
congruentes en el crculo, ellos tienen igual medida, se sigue entonces que las cuerdas CE y
DF son congruentes.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
28/83
Sociedad RAMAMSEM
26
9. El cuadriltero ABCD cumple las siguientes propiedades:
(1) El punto medio O del lado AB es el centro de un semicrculo;
(2) Los lados CBDCAD ,, son tangentes a este semicrculo.
Pruebe que .4
2
BCADAB = (15th W.J. BLUNDON CONTEST, 18 de Febrero, 1998)
SOLUCIN: (Oficial)
Considere la siguiente figura
Por las propiedades de las tangentes, DE= DFy CF= CG. Ms an, EDO= FDO= y
FCO= GCO= . Desde que OA = OB, tenemos que EAO= GBO= .
Sumando los ngulos del cuadriltero ABCD, tenemos + 2 + 2 + = 360 de donde
+ + = 180; esto es, stos son ngulos internos de un tringulo. Considerando los
tringulos AOD, DOCy COB, tenemos que AOD= , DOC= y COB= . As,
estos tres tringulos son semejantes. Considerando los tringulos AOD y COB, tenemos
que .OBAOBCADBC
OB
AO
AD==
Desde que AO= OB=2
1AB, obtenemos el resultado.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
29/83
Sociedad RAMAMSEM
27
10. Tomado de Advanced Problems de Crux Mathematicorum, 1998.
Dado un cuadriltero ABCD con ,120,60,2,3 oo ===+= DAADCDABAD halle
la longitud del segmento desde D hasta el punto medio de .BC
SOLUCIN: (Oficial)
Considere la siguiente figura
Observe que ABy CDson paralelas. Entonces, por el Teorema de Thales, el segmento que
une los puntos medios Ey Fde ADy BC respectivamente tambin es paralela a AB, y la
longitud de EF es la semisuma de los segmentos AB y CD, esto es, EF = AD. Ahora,
aplicando la Ley de Cosenos al tringulo DEF, tenemosDF2 = DE2 + EF2 2 DE EF cos DEF
=2
2
AD + AD2 AD2 cos 60
=4
23AD
as, DF= .2
3
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
30/83
Sociedad RAMAMSEM
28
TEORA DE NMEROS.
1. Determine la cantidad de valores de xque hace que la expresin
18
98
+
+
x
xsea un nmero
entero.
(Problema de la Semana del 22/07 a 28/07 Tercer Nivel, 2006, Olimpiada Panamea de
Matemtica)
SOLUCIN: (Oficial)
Nota que18
801
18
98
++=
+
+
xx
xy que hay 20 divisores enteros de 80. Luego hay 20 posibles
valores de x.
2. Se obtiene el nmero n, al efectuar el producto ( ) ( ) .55559999
5200792007
43421K
43421K
vecesveces
Halle la suma de
los dgitos de n.
(Problema de la Semana 17, del 25 de junio al 1 de julio, Tercer Nivel, Olimpiada Panamea
de Matemtica)
SOLUCIN: (Oficial)
Obsrvese que
y que
Nota que el primer nmero tiene 2007 cincos seguidos por 2007 ceros y el segundo tiene
2007 cincos. La diferencia es 55 54 45, nmero que tiene 2006 cincos, seguido por
2007 cuatros y un cinco.
La suma de las cifras es: (2007)(5) + (2007)(4) + 5 = (10035) + (8028) + 5 = 18068.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
31/83
Sociedad RAMAMSEM
29
3. Cul de los nmeros x = 16 806789, y = 3441315 es mayor?
(Competencia escolar de Leningrado, 1984)
SOLUCIN: (Oficial)
Obsrvese quex = ( 75 1 )789< ( 75 )789 = 73945
y = ( 73 + 1 )1315> ( 73 )1315 = 73945
Por lo tanto, y > x
4. Si n es un nmero natural impar mayor que 2, demuestre que n( n2 1 ) es divisible por
24.
(CEOC, 1992)
SOLUCIN: (de Sociedad RAMAMSEM)
Tenemos que n ( n2 1 ) = n ( n + 1 ) ( n 1 ).
Como n es impar, n 1 y n +1 son dos pares consecutivos.
Por lo tanto uno de ellos divisible por 2 y el otro por 4. Por ser n 1, n, n + 1 tres nmeros
consecutivos, uno de ellos es divisible por 3. Luego la expresin dada es divisible por el
producto de 2, 3 y 4, es decir, 24.
5. Determinar para cules nmeros primos p se cumple que 2p + p2 es primo.
(CEOC, 1992)
SOLUCIN: (de Sociedad RAMAMSEM)
Notemos que p = 2 y p = 3 producen los nmeros 8 y 17, compuesto el primero de ellos y
primo el segundo. Basta considerar, entonces primos p > 2.
Sabemos que p satisface una y slo una de las siguientes congruencias:
p 0 (mod 3), p 1 (mod 3) y p 2 (mod 3)
Claramente, el primer caso solo se puede dar si p = 3, puesto que de otra manera p sera
compuesto.
En cualquier de los casos restantes se obtiene p2 1 (mod 3).
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
32/83
Sociedad RAMAMSEM
30
Por otro lado, como 2 1 (mod 3) se obtiene 2p (1)p (mod 3). Adems, como p es impar,
luego 2p 1 (mod 3).
En resumen
p2 1 (mod 3)
2p 1 (mod 3)
2p + p2 0 (mod 3)
Pero entonces, 2p + p2 es siempre divisible por 3 si p > 3. Luego, el nico caso es p = 3.
FUNCIONES O SUCESIONES.
1. Colaboracin de Yakub Aliyev, Facultad de Pedagoga, Departamento de Matemticas,Qafqaz University, Khyrdalan AZ 0101, Azerbaijan.
Hallar todos los nmeros reales ba, para los cuales existe una funcin ++ RRf : con
2)1( =f , y para toda +Ryx, la igualdad bxay yfxfxyf )()()( = se satisface.
SOLUCIN: (del proponente)
Es obvio que =)(xyf )(yxf = bxay yfxf )()( byax xfyf )()( .
Haciendo y = 1 obtenemos = bxa fxf )1()( bax xff )()1( . Entonces = bxaxf 2)( bax xf )(2 , de
donde =baxf )( bxax2 si ba y, en cualquier otro caso, =)(xf x2 . Chequeando esta
solucin en la ecuacin funcional dada obtenemos .1=+ ba As si ba ,
1+ ba entonces existe tal funcin ( =)(xf x2 ), pero si ba , 1+ ba tal funcin no
existe.
Si ba = entonces axay yfxfxyf )()()( = . Haciendo y = 1 obtenemos axaxfxf 2)()( = ,
entonces si 1== ba entonces en la ltima ecuacin se obtiene lo siguiente 1= x2 , la cual no
es verdadera para todo x. Si 1= ba obtenemos axaxf 2)( 1 = , as =)(xf)1(2
a ax .
Chequeando esta solucin en la ecuacin funcional dada obtenemos .2
1=a As en este
caso tambin .12 ==+ aba
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
33/83
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
34/83
Sociedad RAMAMSEM
32
4. Propuesto por Hojoo Lee, estudiante, Universidad Kwangwoon, Corea del Sur. Tomado
de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2008.
Halle todas las funciones :f tal que ( ) ( ) ( ) ++= nmmmnfmnfnf .,22
SOLUCIN: (Natalio H. Guersenzvaig, Universidad CAECE, Buenos Aires, Argentina)
Probaremos que la funcin identidad en , definida por f0(n) = npara todo n, es la nica
funcin que satisface la ecuacin funcional del enunciado. Es claro que f0 es una solucin del
problema. Tomemos m= 0, tenemos f(n2) = f2(n) para todo n. De donde f(0) = f2(0), as
que f(0) = 0 f(0) = 1. Haciendo m= ntenemos f(n2) = f(2n)f(0) + n2 para todo n.
Tomando n= 2 se obtiene f(4) = f (4)f (0) + 4y claramente f(0) = 0 ya que si f (0) = 1 se
tendra 0 = 4 una contradiccin. De lo anterior f2(n) = f(n2) = n2 para todo n. Obteniendo
la raz cuadrada (y positiva) se concluye f(n) = npara todo n.
5. Propuesto por Yakub N. Aliyeb, Universidad Estatal de Baku, Baku, Azerbaijan. Tomado
de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem del 2007.
Halle todas las funciones :f IRIR tales que 1)1( =f y, para todos los nmeros reales
yx, tenemos ).(2)(3)( yfxfyxf xy +=+
SOLUCIN: (de Hasan Denker, Estambul, Turqua)Sea funa funcin que satisface las condiciones dadas f(1) = 1 y, para todos los nmeros
reales yx, tenemos ).(2)(3)( yfxfyxf xy +=+ (1).
Haciendo y= 1 en (1), para todo x IR,
Haciendo x= 1 en (1), para todo y IR,
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
35/83
Sociedad RAMAMSEM
33
Sustituyendo ypor xen (3), tenemos , para todo x IR,
Finalmente, igualando (2) y (4) se tiene
As,
Usted sabia que
En la direccin electrnica:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/olimpiadas/
Aqu encontrars toda la informacin referente a la Olimpiada Costarricense de
Matemtica de Costa Rica tal como reglamento, temario, pruebas anteriores y otros.
Visitala !
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
36/83
Sociedad RAMAMSEM
34
3. Problemas de Competencias no Olmpicas.
Esta columna consistir en 30 ejercicios propuestos que se separarn por categoras(lgebra, Geometra, Teora de Nmeros y Funciones o Sucesiones) y de menor a mayor
nivel de dificultad. Es importante destacar que el nivel de dificultaden que se ordenarn los
ejercicios de cada categora es valorado por nosotros (los editores) de acuerdo a criterios
establecidos pero ello no significa que esta valoracin pueda ser diferente para el estimable
lector.
Por otro lado, la solucin de los mismos se presentar hasta la prxima edicin con la
finalidad de que nuestros lectores participen activamente envindonos soluciones y / o
comentarios que puedan enriquecer la discusin de cada ejercicio. Sin embargo, de no darse
esa participacin en algunos ejercicios, se publicar, al menos, una solucin oficial brindada
por los encargados de esta seccin.
LGEBRA.
1. Sean zyx ,, tres nmeros reales diferentes de cero que satisfacen las siguientes dos
ecuaciones: ,1=++ zyx 1111
=++zyx
. Pruebe que al menos uno de esos nmeros zyx ,, es
igual a 1.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
2. Hallar el residuo de dividir x +x2 + ... + x100 por x1 +x2 + ... + x100.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
3. Pruebe que x12 x9 + x4 x+ 1 > 0 para todo nmero real x.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
4. Sean a, b, c enteros que satisfacen a2 + b2 + c2 = 0. Pruebe que a = b = c = 0.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
37/83
Sociedad RAMAMSEM
35
5. Hallar un par ordenado (a, b) de nmeros reales para el cul x2 + ax+ b tiene una raz no
real cuyo cubo es 343.
(Harvard-MIT Math Tournament, 27 de Febrero, 1999)
6. Si P(x) es un polinomio mnico curtico tal que P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9 yP(4) = 16, hallar P(1).
(Harvard-MIT Math Tournament, 27 de Febrero, 1999)
7. Cuntos subconjuntos no vacos de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tienen exactamente k
elementos y no contienen el elemento k para algn k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?
(Harvard-MIT Math Tournament, 27 de Febrero, 1999)
8. Considere la ecuacin FORTY+ TEN+ TEN= SIXTY, donde cada una de las diez letras
representa un dgito diferente de 0 a 9. Halle todos los posibles valores de SIXTY.
(Harvard-MIT Math Tournament, 27 de Febrero, 1999)
9. Sean x= 20011002 20011002 y y= 20011002 + 20011002. Hallar x2 y2.
(Harvard-MIT Math Tournament, 3 de Marzo, 2001)
10. Suponga que x satisface x3 + x2 + x + 1 = 0. Cules son todos los posibles valores de
x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1?
(Harvard-MIT Math Tournament, 3 de Marzo, 2001)
GEOMETRA.
1. Las longitudes de los lados de un tringulo son tres enteros consecutivos. Si el mayor de
los ngulos internos mide el doble del menor de ellos, determine la longitud de los lados.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
2. Un filtro para coffeemaker se forma pegando dos radios de un sector cortado de un
crculo. Para qu ngulo del sector este filtro tiene la mayor capacidad?
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
38/83
Sociedad RAMAMSEM
36
3. ABCDes un cuadriltero cclico. Los lados ABy DCse prolongan hasta intersecarse en
E, y los lados ADy BCse prolongan hasta intersecarse en F. Muestre que las bisectrices de
los ngulos Ey Fson perpendiculares entre s.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
4. En un tringulo rectngulo, ces la longitud de la hipotenusa, ay bson las longitudes de
los otros dos lados, d es la longitud del dimetro de crculo inscrito. Pruebe que
a + b = c + d.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
5. Pruebe que si las bisectrices de dos ngulos internos de un tringulo tienen igual
longitud, entonces los ngulos bisecados son congruentes.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
6. Un disco es un crculo junto con la regin que contiene. Ahora, dados seis discos en el
plano. Pruebe que si ellos tienen un punto en comn entonces al menos un disco contiene el
centro de otro disco.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
7. Los cuadrados ABKL, BCMN y CAOP son dibujados externamente sobre los lados de un
tringulo ABC. Los segmentos KL, MN y OP, cuando se prolongan, forman un tringulo
ABC. Halle el rea del tringulo ABC si ABC es un tringulo equiltero de lado 2.
(Harvard-MIT Math Tournament, 27 de Febrero, 1999)
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
39/83
Sociedad RAMAMSEM
37
8. Un crculo de radio 3 cruza el centro de un cuadrado de lado 2. Halle la diferencia positiva
entre las reas de las porciones que no se traslapan de las figuras.
(Harvard-MIT Math Tournament, 3 de Marzo, 2001)
9. Un punto sobre la circunferencia inscrita en un cuadrado est a 1 y 2 unidades de doslados contiguos del cuadrado. Hallar el rea del cuadrado.
(Harvard-MIT Math Tournament, 3 de Marzo, 2001)
10. El punto D es trazado sobre el lado BC del tringulo ABC, y AD se prolonga por D hasta
E tal que los ngulos EAC y EBC son congruentes. Si BE = 5 y CE = 12, determine la
longitud de AE.
(Harvard-MIT Math Tournament, 3 de Marzo, 2001)TEORA DE NMEROS.
1. Pruebe que si un nmero primo es dividido por 30, entonces su residuo es un nmero
primo o es igual a 1.
(Mathematics Competition Spring 2000, Universidad de Florida).
2. Sea A = 361 + 362 + 363 + + 726, esto es, sea A la suma de los enteros positivosconsecutivos empezando con 361 y terminando con 726. Del mismo modo, sean
B = 363 + 364 + + 727, C = 365 + 366 + + 728,
D = 367 + 368 + + 729, E = 369 + 370 + + 730.
(a) Cul de A, B, C, D, o E es la mayor de estas cinco sumas?
(b) Cul de A, B, C, D, o E es la menor de estas cinco sumas?
(Thirteenth Annual OSU, HIGH SCHOOL MATH CONTEST, 2003, Florida)
3. Hallar dgitos ay fen {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} tales que a5 + 1 = f 1111.(Thirteenth Annual OSU, HIGH SCHOOL MATH CONTEST, 2003, Florida)
4. Si x, y, zson enteros positivos diferentes tales que x2 + y2 = z3, cul es el menor valor
posible de x + y + z.?
(Harvard-MIT Math Tournament, 27 de Febrero, 1999)
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
40/83
Sociedad RAMAMSEM
38
5. El nmero de formas de remplazar el espacio subrayado en
por los dgitos 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 en algn orden ie 8! = 40,320.
(a) De cuntas maneras de estas 40,320 formas resulta en un nmero de 9 dgitos tal que q
es un mltiplo de 25?
(b) De cuntas maneras de estas 40,320 formas resulta en un nmero de 9 dgitos tal que q
es un mltiplo de 8?
(Thirteenth Annual OSU, HIGH SCHOOL MATH CONTEST, 2003, Florida)
FUNCIONES O SUCESIONES.
1. fes una funcin continua de variable real tal que f(x+ y) = f(x)f(y) para todo x, yreales.Si f(2) = 5, halle f(5).
(Harvard-MIT Math Tournament, 27 de Febrero, 1999)
2. Hallar una funcin dos veces diferenciable f(x) tal que f(x) = 0, f(0) = 19 y f(1) = 99.
(Harvard-MIT Math Tournament, 27 de Febrero, 1999)
3. Sea
O++
++=
xx
xxxf
2
12
12
1
)( para x> 0. Halle ).99()99( ff
(Harvard-MIT Math Tournament, 27 de Febrero, 1999)
4. Calcule
=
1ii
a
iapara a > 1.
(Harvard-MIT Math Tournament, 3 de Marzo, 2001)
5. Calcule la suma de los coeficientes de la funcin polinmica f(x) si
(20x27 + 2x2+1)f(x) = 2001x2001.
(Harvard-MIT Math Tournament, 3 de Marzo, 2001)
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
41/83
Sociedad RAMAMSEM
39
4. CURIOSATO.
Esta columna tiene como finalidad mostrar ejercicios de preparacin o competencia
olmpicas en fases iniciales que se desarrollan en otros pases.
Estos tipos de ejercicios son, en su mayora, de seleccin nica y se procurar brindar la
solucin de todos los ejercicios que se propongan. Es importante hacer notar que los
mismos pueden servir de preparacin para estudiantes que participan en los distintos niveles
de la Olimpiada Costarricense de Matemtica.
La mayora de problemas que presentamos en esta columna son ejercicios de olimpiadas
nacionales e internacionales. Esperamos que este trabajo sirva como material de apoyo a
los maestros que entrenan estudiantes para olimpiadas matemticas y que sirva tambin de
motivacin y apoyo a los estudiantes que desean enfrentarse a problemas retadores e
interesantes que son tpicos de olimpiadas matemticas.
En esta columna presentamos el examen y soluciones del XI CONCURSO DE PRIMAVERA
DE MATEMTICAS: Segunda Fase, NIVEL II para estudiantes de 1 y 2 de Educacin
Secundaria Obligatoria (ESO), Madrid, Espaa.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
42/83
Sociedad RAMAMSEM
40
XI CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMTICAS2 FASE : Da 21 de abril de 2007
NIVEL II (1 y 2 de ESO) Lee detenidamente las instrucciones !!!
Escribe ahora tu nombre y los datos que se te piden en la hoja de respuestas
* No pases la pgina hasta que se te indique.* Duracin de la prueba: 1 HORA 30 MINUTOS.* No est permitido el uso de calculadoras, reglas graduadas, ni ningn otro instrumento demedida.
* Es difcil contestar bien a todas las preguntas en el tiempo indicado. Concntrate en las que
veas ms asequibles. Cuando hayas contestado a esas, intntalo con las restantes.* No contestes en ningn caso al azar. Recuerda que es mejor dejar una pregunta en blanco que
contestarla errneamente:* MARCA CON UNA CRUZ ( ) EN LA HOJA DE RESPUESTAS LA QUE CONSIDERES
CORRECTA.* SI TE EQUIVOCAS, ESCRIBE "NO" EN LA EQUIVOCADA Y MARCA LA QUE CREAS
CORRECTA.
CONVOCA:
Facultad de Matemticas de la U.C.M.COLABORAN:
Universidad Complutense de MadridConsejera de Educacin de la Comunidad de Madrid
Educamadridwww.profes.net (SM) - Grupo ANAYA - El Corte Ingls
Yalos Instruments, S.L. - SAS
Cada respuesta correcta te aportar 5 puntosCada pregunta que dejes en blanco 2 puntosCada respuesta errnea 0 puntos
1. En una hoja de papel hay escrito un nmero de cuatro cifras del que vemos que empieza
por 86 pero no vemos las dos ltimas cifras. Si nos dicen que el nmero escrito es divisible
por 2, 3, 4 y 5. Cul es la suma de las dos cifras que no vemos?
A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E) 14
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
43/83
Sociedad RAMAMSEM
41
2. La figura est formada por cuatro pentgonos regulares que encierran un paralelogramo.
Cunto mide el ngulo BAC?
A) 15 B) 18 C) 20 D) 30 E) 36
3. Mi coche gasta exactamente 8 litros cada 100 km, dijo Alonso (A). Pues si lleno los 45litros del depsito del mo puedo recorrer 540 km, coment Barrichello (B). Pues yo, con 1
litro soy capaz de recorrer 13 km, dijo Coulthard (C). Segn el consumo, cmo ordenaras
los coches desde el ms econmico al ms caro?
A) ABC B) BAC C) BCA D) CAB E) CBA
4. Si el ngulo RPM de la figura mide 20 y el QMPmide 70, cul es el valor del
ngulo PRS?
A) 90 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
44/83
Sociedad RAMAMSEM
42
5. Si entre los jvenes espaoles de 15 aos, tres de cada cuatro tienen mvil y dos de
cada tres tienen ordenador, podemos asegurar que tienen las dos cosas, por lo menos:
A) Uno de cada diez B) Cinco de cada doce C) Uno de cada tres
D) La mitad E) Siete de cada diez
6. Qu fraccin del rectngulo grande est sombreada? (Los polgonos interiores son
cuadrados)
A) 11/16 B) 9/16 C) 5/8 D) 3/4 E) 2/3
7. Observa estas tres sumas:
Entonces, es igual a
8. Los tres ngulos de un tringulo miden (x + 10), (2x 40) y (3x 90). Qu afirmacin
de las siguientes es la verdadera? El tringulo es
A) Rectngulo issceles B) Rectngulo pero no issceles C) Equiltero
D) Issceles obtusngulo E) Nada de lo anterior.
9. Al dividir el nmero de fumadores entre el nmero de no fumadores de las personas quehay en una reunin, sale exactamente 0,24. Cul es el menor nmero de asistentes
posibles a esa reunin?
A) 25 B) 31 C) 36 D) 48 E) 76
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
45/83
Sociedad RAMAMSEM
43
10. Los segmentos PQy PSdel dibujo adjunto son iguales, as como QSy QR. Si el ngulo
SPQ= 80, el ngulo QRSes igual a:
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
11. A lo largo de una carretera nos encontramos con siete ciudades A, B, C, D, E, F, Gen
ese orden. La tabla de la derecha nos indicaba todas las distancias que hay entre ellas (en
km). As, por ejemplo, desde A a D hay 23 km. Como ves, se han borrado 15 de esas
distancias. Con los datos que an se conservan, puedes calcular algunas distancias ms.
Cuntas exactamente?
A) 0 B) 1 C) 6 D) 12 E) 15
12. La figura muestra dos crculos iguales dentro de un rectngulo de 9 cm x 5 cm. Cul es la
distancia, en cm, entre los centros de los crculos
A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
46/83
Sociedad RAMAMSEM
44
13. Mara tiene escritos cuatro nmeros enteros. Al sumarlos de tres en tres obtiene 115,
153, 169 y 181. Cul es el mayor de los nmeros de Mara?
A) 66 B) 53 C) 91 D) 121 E) 72
14. Dividimos un hexgono regular en tres hexgonos regulares iguales y tres rombos
iguales, como se muestra en la figura. Si el rea del hexgono grande es 360 cm2, el rea de
cada rombo, en cm2, es:
A) 60 B) 30 C) 75 D) 15 E) 45
15. Con 10! (que se lee 10 factorial) representamos el producto (multiplicar 10 por todos los
enteros anteriores a l hasta el 1) Cul es el nmero ms pequeo que multiplicado por 10!
nos da un cuadrado perfecto?
A) 7 B) 14 C) 30 D) 70 E) 210
16. El tringulo ABC de la figura es equiltero. Si el ngulo DAC = 40 y el ngulo
EBC = 35, cunto mide el ngulo DFE?
A) 140 B) 135 C) 130 D)120 E) 105
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
47/83
Sociedad RAMAMSEM
45
17. A la final de una competicin escolar de atletismo llegan dos colegios que participan en
seis pruebas presentando dos estudiantes por colegio en cada prueba. Cada uno de estos
cuatro participantes obtiene 5, 3, 2, 1 punto segn quede 1, 2, 3 4, respectivamente.
Si al final no ha habido ningn descalificado, los centros no empataron y la puntuacin global
de uno de los centros viene dada por el nmero de la del otro ledo al revs, cul fue ladiferencia entre las puntuaciones de los dos centros?
A) 12 B) 18 C) 27
D) 36 E) No tenemos datos suficientes
18. Cada vrtice de la estrella de la figura es el punto medio de cada uno de los lados del
cuadrado grande. Qu fraccin del rea del cuadrado cubre la estrella?
A) 1/5 B) 1/4 C) 1/3 D) 3/8 E)
2/5
19. Intentando ordenar los nmeros enteros entre 11 y 19 de forma que dos cualesquiera que
estn uno al lado del otro no fueran primos entre s, tuve que dejar fuera el 11, 13, 17 y 19, y
escrib: 16, 18, 15, 12, 14. Si hubiera intentado hacer lo mismo con los nueve enteros que
hay entre 111 y 119, cuntos, como mnimo, tendra que dejar fuera?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
48/83
Sociedad RAMAMSEM
46
20. Dividimos el rectngulo ABCDde la figura, en el que AB= 49 cm y BC= 100 cm , en
4900 cuadraditos de lado 1 cm. Si Ees un punto de BCcon BE= 60 cm, a cuntos de los
4900 cuadraditos cortan los segmentos AEy ED?
A) 192 B) 196 C) 198 D) 200 E)
202
21. Un da que sal de excursin por la montaa, a las 10 de la maana haba completado la
tercera parte de todo el recorrido, y a las 12, las tres cuartas partes. A qu hora comenc a
andar si siempre mantuve el mismo ritmo?
A) 7 : 32 B) 8 : 24 C) 9 : 12 D) 9 : 36 E) 9 :
48
22. Colocamos tres cuadrados, como se muestra en la figura, encajados entre dos barras
perpendiculares a la horizontal AB. Con los datos que te damos, cul es el valor del ngulox?
A) 39 B) 41 C) 43 D) 44 E)46
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
49/83
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
50/83
Sociedad RAMAMSEM
48
5. Solucin a los problemas anteriores de la columnaOlimpiadas alrededor del mundo.
Randall Godnez.
Arlene Martnez.
Melissa Ramrez.
Carlos Rodrguez.
Presentamos, a continuacin, la solucin de los diez problemas presentados en esta misma
columna pero de la edicin anterior. Hemos procurado adjuntar varias soluciones a los
problemas con el fin de hacer notar que los mismos pueden ser enfocados y resueltos de
diversas formas y que ello es lo que se busca en las competencias olmpicas: favorecer el
pleno desarrollo de la creatividad del participante al momento de enfrentar los problemas yde ninguna manera encajonar su pensamiento.
Al mismo tiempo que se presenta una solucin a determinado problema se advierte, cuando
ello lo amerita, la teora que se est aplicando en la solucin del mismo con el fin de que se
cuente con todo el marco terico que se requiera para poder resolver otros problemas que
puedan ubicarse en la misma categora o bien que puedan reducirse a ellos.
Cuando se indique que la solucin es oficial lo que se pretende indicar es que esa es la
solucin que se dio en la competencia sealada por parte del comit organizador o bien de
su proponente.
Recurdese que ningn problema est completamente cerrado por lo que se les solicita a
nuestros estimables lectores que nos enven sus comentarios o sugerencias que tengan a
esta columna en particular mediante alguno de los correos indicados en la presentacin.
Pues bien, veamos las soluciones de la columna anterior !!
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
51/83
Sociedad RAMAMSEM
49
XXIV OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA
Problemas de la Segunda Fase
PROBLEMAS NIVEL 1
PROBLEMA 1El ao 2002 es un nmero palndromo, o sea, se lee igual de derecha para a izquierda.
a) Despus del 2002, cules sern los prximos cuatro aos palndromos?
b) El ltimo ao palndromo, 1991, era impar. Cundo ser el prximo ao palndromo
impar?
Solucin Oficial:
a) Los palndromos entre 2000 y 3000 son de la forma 2aa2, donde aes un dgito. Luego, los
prximos cuatro sern 2112, 2222, 2332 y 2442.b) Como el primer dgito es igual al ltimo, un palndromo impar mayor que 2002 debe
comenzar y terminar en un nmero impar mayor o igual a 3. Luego, el prximo ser 3003.
PROBLEMA 2
Un hacendado resuelve repartir su hacienda a sus cinco hijos. El diseo de al lado (no est
a escala) representa la hacienda y las partes de los herederos, que son de forma triangular,
de modo que 4BC
BD =
,,
3
ACAE=
2
DCDF=
e EG = GC. El hijo menor recibe el terrenorepresentado por el tringulo oscuro, de 40 hectreas. Cuntas hectreas tena la
propiedad original?
A
BD
E
G
F
C
Solucin Oficial:
Sea Sel rea del tringulo ABC.
Como ,4
BCBD = entonces .
4)(
SABD =
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
52/83
Sociedad RAMAMSEM
50
Como ,3
ACAE= entonces .
43
4
3
3
4
3
)()(
S
SSS
ADCAED ==
==
Como ,2
DCDF= entonces .
42
44
2
)()(
S
SSS
DECDEF =
+
==
Como EG= EC, entonces .82
4
3
2
)()(
S
SS
EFCGFC =
==
Como (GFC) = 40 tenemos 320408
== SS hectreas.
PROBLEMA 3
Dado un nmero, puedes escribir o su doble o suprimir el dgito de las unidades. Representeuna sucesin que comience con 2002 y termine con 13, usando solamente esas dos
operaciones.
Solucin Oficial:
Una posible solucin es:
2002, 200, 20, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 51, 102, 204, 408, 816, 1632, 163, 326,
652, 1304, 130, 13.
PROBLEMA 4
Tres amigas fueron a una fiesta con vestidos azul, negro y blanco, respectivamente. Sus
pares de zapato presentaban esos mismos tres colores, ms solamente Ana usaba vestido y
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
53/83
Sociedad RAMAMSEM
51
zapatos del mismo color. Ni el vestido ni los zapatos de Julia eran blancos. Marisa usaba
zapatos azules. Describa el color del vestido de cada una de las muchachas.
Solucin Oficial:
Como los zapatos de Marisa eran azules, y ni el vestido ni los zapatos de Jlia eran brancos,
se concluye que los zapatos de Jlia eran negros y por tanto los zapatos de Ana eranblancos.
El vestido de Ana era blanco, pues era la nica que usaba vestido y zapatos del mismo
color; consecuentemente, el vestido de Jlia era azul y el de Marisa era negro.
PROBLEMA 5
En el jugo pega-paletas, as paletas verdes valen 5 puntos cada una, las azules valen 10
puntos, las amarillas valen 15, las rojas, 20 y la negra, 50. Existen 5 paletas verdes, 5azules, 10 amarillas, 10 rojas y 1 negra. Carlos consigue hacer 40 puntos en una jugada.
Llevando en cuenta apenas a cantidad de paletas de esos colores, de cuntas maneras
diferentes l podra haber conseguido esa puntuacin, suponiendo que en cada caso fuese
posible pegar las paletas necesarias?
Solucin Oficial:
La suma de los puntos es 40. Siguiendo las reglas del juego, las possibilidades son:
20
20
15 5
10
10
5 5
5 5 5 5
20 + 20
20 + 15 + 5
20 + 10 + 10
20 + 10 + 5 + 5
20 + 5 + 5 + 5 + 5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
54/83
Sociedad RAMAMSEM
52
15
15
5 5
10 10
5
5 5 5 5 5
15 + 15 + 10
15 + 15 + 5 + 5
15 + 10 + 10 + 5
15 + 10 + 5 + 5 + 5
15 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
(6)
(7)
(8)
(10)
10
5
5 5 (9)
10
5 5 5 5
10
5 5
10 + 10 + 5 + 5 + 5 + 5
10 + 10 + 10 + 10
(12)
(13)
(11)
10
1010 + 10 + 10 + 5 + 5
5 5 5 5 5 5 nos da, pues apenas hay 5 paletas verdes.
La respuesta es por lo tanto: de 13 maneras diferentes.
PROBLEMA 6
En las casillas de un tablero 8 8 fueron escritos nmeros enteros positivos de forma que la
diferencia entre nmeros escritos en casillas vecinas (cuadrados con un lado comn) es 1.
Se sabe que en una de las casillas est escrito 17 y, en otra, est escrito 3. Disee un
tablero 8 8 aprovechando esas reglas y calcule la suma de los nmeros escritos en las dos
diagonales del tablero.
Solucin Oficial:
Como la diferencia entre el 17 y el 3 es 14, esos nmeros deben estar en posiciones
alejadas de 14 casas, contadas en la horizontal o vertical.
Por tanto 17 y 3 deben ocupar las extremidades de una de las diagonales del tablero.
A partir de ello, el relleno de las diagonales es hecho de manera nica. Y una manera de eserellenar el tablero es la siguiente:
17 16 15 14 13 12 11 10
16 15 14 13 12 11 10 9
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
55/83
Sociedad RAMAMSEM
53
15 14 13 12 11 10 9 8
14 13 12 11 10 9 8 7
13 12 11 10 9 8 7 6
12 11 10 9 8 7 6 5
11 10 9 8 7 6 5 4
10 9 8 7 6 5 4 3
la suma de los nmeros escritos en las diagonales es: 8 10 + (3 + 5 +...+ 17) = 160.
PROBLEMAS NIVEL 2
PROBLEMA 1
Gerald y Magro salieron de sus casas en el mismo instante con la intencin de visitar el unoal otro, caminando por el mismo sendero. Gerald iba pensando en un problema de olimpiada
y Magro iba reflexionado sobre cuestiones filosficas y ninguno se percat del otro cuando
se cruzaron en el camino. Diez minutos despus, Gerald llegaba a casa de Magro y media
hora ms tarde, Magro llegaba a casa de Gerald. Cunto tiempo camin cada uno de
ellos?
Observacin: Cada uno de ellos viaja con velocidad constante.
Solucin Oficial:Sea t> 0 el tiempo, en minutos, del recorrido desde la salida de Gerald y Magro hasta el
instante del encuentro.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
56/83
Sociedad RAMAMSEM
54
Sean gy mlas distancias entre el punto de encuentro entre las casas de Gerald y Magro,
respectivamente. Como Gerald recorre la distancia gen tminutos y la distancia men 10
minutos, tenemos .10
t
m
g=
Anlogamente, .40tmg = Luego 204004010 2
=== ttt
t (pues t> 0). Luego Gerald anduvo 10
+ 20 = 30 minutos y Magro anduvo 40 + 20 = 60 minutos.
PROBLEMA 2
azul
bran
co
amarelo
verde
Un panel grande en forma de un cuarto de crculo fue compuesto con 4 colores, conforme lo
indicado la figura de arriba, donde el segmento divide al sector en dos partes iguales y un
arco interno de una semicircunferencia. Cul es el color que cobre una mayor rea?
Solucin Oficial:
w
x
y
z
Sean x, y, zy wlas reas de las regiones blanca, amarilla, azul y verde, respectivamente.
Sea Rel radio del semicrculo. Tenemos2
2R
yx
=+ y2
)2(8
12
2 RRwxzy
==+=+
As, x+ y= y+ z= x+ w, luego x= zy y= w.Como sea, x es el rea de un segmento circular de ngulo central de 90 y radio R,
222
4
2
24R
RRx
==
y .4
2 2Ry
+=
As, x= z< y= w.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
57/83
Sociedad RAMAMSEM
55
PROBLEMA 3
Vea el problema No. 6 del Nivel 1.
PROBLEMA 4
B
C
A D
El profesor Pardal est estudiando el comportamiento familiar de una especie de pjaro. Los
puntos A, B, Cy Dde la figura de arriba, representan la disposicin de cuatro nidos de esos
pjaros. El profesor construy un puesto de observacin equidistante de los cuatro nidos.
Todos los nidos y el puesto de observacin estn en un mismo nivel de altura a partir del
suelo, la distancia de Ba Des de 16 metros y .45 =DAB Determine la distancia del puesto
a cada nido.
Solucin Oficial:
Observe que el puesto del observador coincide con el centro del crculo circunscrito al
cuadriltero ABCD. Como 16=BD , siendo O el centro del crculo circunscrito, tenemos
2 90 BOD BAD= = y rODBO == , donde ,16 222 rr += por el teorema de Pitgoras, y luego
.28128 ==r As, la distncia del puesto (que se debe fijar en O) a los nidos ser de
28 metros.
PROBLEMA 5
El primer nmero de una secuencia es 7. El prximo es obtenido de la siguiente manera:
Calculamos el cuadrado del nmero anterior 72 = 49 y a continuacin efectuamos la suma de
sus dgitos y adicionamos 1, esto es, el segundo nmero es 4 + 9 + 1 = 14. Repetimos este
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
58/83
Sociedad RAMAMSEM
56
proceso, obteniendo 142 = 196 y el tercer nmero de la secuencia es 1 + 9 + 6 + 1 = 17 y as
sucesivamente. Cul es el 2002o elemento de esta secuencia?
Solucin Oficial:
Los primeros nmeros de la secuencia son (7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5...) donde vemos que,
exceto por los 4 primeros trminos, la secuencia es peridica con perodo 3. Como 2002deja resto 1 cuando es dividido por 3, el nmero buscado coincide con aquel que ocupa el
7o. lugar en la secuencia, a saber, 11.
PROBLEMA 6
El ao 2002 es un nmero palndromo, o sea, se lee igual de derecha para a izquierda.
a) Despus del 2002, cules sern los prximos cuatro aos palndromos?
b) El ltimo ao palndromo, 1991, era impar. Cundo ser el prximo ao palndromo
impar?c) El ltimo ao palndromo primo sucedi hace ms de 1000 aos, en 929. Determine cul
ser el prximo ao palndromo primo.
Solucin Oficial:
a) Los palndromos entre 2000 y 3000 son de la forma 2aa2, donde aes un dgito. Luego los
prximos cuatro sern 2112, 2222, 2332 y 2442.
b) Como el primer dgito es igual al ltimo, un palndromo impar mayor que 2002 debe
comenzar y terminar por un nmero impar mayor o igual a 3. Luego, el prximo ser 3003.
c) Un palndromo de cuatro dgitos es de la forma abba= a+ 10b+ 100b+ 1000a= 1001a+
110b, que es mltiplo de 11, ya que 110 y 1001 son mltiplos de 11. Luego, el prximo ao
palndromo primo tiene un mnimo 5 dgitos.
Los menores palndromos de 5 dgitos son 10001, que es mltiplo de 73 y 10101, que es
mltiplo de 3. El prximo es 10201 = 1012, divisible por 101. El siguiente, 10301, es primo,
pues no es divisible por cualquer primo menor que .10210301 <
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
59/83
Sociedad RAMAMSEM
57
PROBLEMAS NIVEL 3
PROBLEMA 1Vea el problema N
o. 5 del Nivel 2.
PROBLEMA 2
Para cules enteros positivos nexiste un polgono no regular de n lados, inscrito en una
circunferencia, y con todos los ngulos internos de la misma medida?
Solucin Oficial:
Sea C la circunferencia de centro Ocircunscrita al polgono A1A2...An. Los tringulos AiAi+ 1
O(con An+ 1 = A1) son issceles. Sea . 1+= iii AAO
Entonces
(1) .... 1433221 +==+=+=+ n
Por tanto.
=
===
===
2
642
531
...
...,
n
O
n
n
1
12
2
3
3
A2
A1 A3
Si nfuera impar, entonces ,...21 n === luego todos los ngulos 1 +ii AOA serin iguales y el
polgono sera regular.
Para npar, no es necesario que todos los ngulos sean iguales.
Escogiendo x y de modo que x + y = ngulo interno =n
n )2(180 y haciendo
131 ... ==== nx , ny ==== ...42 , obtenemos um polgono inscrito no regular con todos
los ngulos de igual medida.
Por tanto, para npar 4, existe um polgono de n lados que satisface las condiciones del
problema.
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
60/83
Sociedad RAMAMSEM
58
PROBLEMA 3
Determine el mayor natural k para el cual existe un entero n tal que 3k divide
n3 3n2 + 22.
Solucin Oficial:
Sea n= 3r, entonces 22)3(3)3(223 2323 +=+ rrnn es una suma de un mltiplo de 3 con 22,
lueogo no es mltiplo de 3.
Sea n= 3r+ 1, entonces
+++=+++=+2232323
)3(31)3(3)3(3)3(22)13(3)13(223 rrrrrrnn 20)3(3)3(223)3(23 3 +=+ rrr ,
que tambin no es mltiplo de 3.
Finalmente, sea n = 3r 1, entonces =+=+ 22)13(3)13(223 2323 rrnn
,1839)3(6)3(223)3(23)3(31)3(3)3(3)3( 23223 ++=+++= rrrrrrrr que es la suma de un
mltiplo de 27 con 18, y por tanto es mltiplo de 9 mas no de 27, luego la mayor potencia de
3 que divide un nmero de la forma 223 23 + nn es 32 = 9. As, kes 2.
PROBLEMA 4
Cuntos dados deben ser lanzados al mismo tempo para maximizar la probabilidad de
obtener exactamente un 2?
Solucin Oficial:
Suponga que los dados estn numerados de 1 a n. La probabilidad de que solamente eldado No. 1 resulte en 2 es:
.6
5
6
5...
6
5
6
5
6
1 1
n
n
=
Anlogamente, la probabilidad de que solamente el dado k, (1 kn) resulte en 2 es
.6
5
6
5...
6
5
6
1
6
5...
6
5
6
5 1
n
n
=
Por tanto, la probabilidad de obtener exatamente un 2 es
.6
5
6
5...
6
5
6
5 1111
n
n
n
n
n
n
n
n
n nP
=+++=
Ahora, observe que .5)1(566
5)1(
6
51
1
1 ++ +
+ nnnnnPP n
n
n
n
nn
Para n= 5, ocurre la igualdad (P5 = P6), P5 = P6 > P7 > P8 > P9 >... y
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
61/83
Sociedad RAMAMSEM
59
P1 < P2 < P3 < P4 < P5 = P6
Y la probabilidad es mxima para n= 5 o n= 6.
PROBLEMA 5
En un cuadriltero convexo ABCD, los lados opuestos AD y BC son congruentes y lospuntos medios de sus diagonales ACy BDson distintos.
Pruebe que la recta determinada por los puntos medios de las diagonales forma ngulos
iguales con ADy BC.
Solucin Oficial:
Sean My Nlos puntos medios de ACy BDy Pel punto medio de lado AB. Entonces PMes
base media del ABC y PNbase media de .ABD Se sigue que .22
PNADBC
PM ===
Siendo X y Y las intersecciones de la recta MN con BC y AD, tenemos entonces
NYAMNPNMPMXB === ou . NYAMNPNMPMXB ===
A
PB
YN
M
X
D
C
Solucin alternativa:Probaremos que si,
2
CAM
+= e
2
DBN
+= entonces el vetor MN hace ngulos iguales con
AD y BC. Para eso, como ,BCAD = basta ver que los produtos internos ADMN y BCMN
tienen el mismo mdulo.
Tenemos
( ) =
=
+==
2
)()(
2)()(
2ADADBC
ADDBCA
ADMNADMN
BCMNBCNMBCCABDBCADBC
==+
=
= )()(2
)()(
2
)()( 2
-
8/9/2019 Revista Olmpica III Trimestre 2009
62/83
Sociedad RAMAMSEM
60
PROBLEMA 6
Colocamos varios palitos sobre una mesa para formar un rectngulo mn, como muestra la
figura. Debemos pintar cada palito de azul, rojo o negro de modo que cada uno de los
cuadritos de la figura sea delimitado por exactamente dos palitos de un color y dos de otro
color. De cuntas formas podemos realizar esta pintura?
m
n
. . .
. . .
. . .
M M M
Solucin Oficial:
Hay 3n maneras de colorear una hilera horizontal superior de palitos. El palito vertical ms a
la izquierda de la primera lnea tambin puede ser coloreado de 3 maneiras.
n
. . . . . .M M M. . .
. . .
. . . M M. . . Una vez definidos los colores de los palitos superiores y ms a la izquierda de un cuadrado,
hay dos maneras de completarlo segn las condicioes del enunciado: si ambos tienen el
mismo color, hay dos escogencias para colorear los dos palitos restantes; si ambos tienen
colores diferentes, hay dos maneras de colorear los dos palitos restantes con estos colores.
As, para completar la primeir