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Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa

ISSN: 1665-2436

[email protected]

Comité Latinoamericano de Matemática

Educativa

Organismo Internacional

Cantoral, Ricardo; Farfán, Rosa María; Lezama, Javier; Martínez-Sierra, Gustavo

Socioepistemología y representación: algunos ejemplos

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, núm. Esp, 2006, pp. 83-102

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa

Distrito Federal, Organismo Internacional

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Fecha de recepción: Marzo de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 2006.

Centro de Investigación en Matemática Educativa (Cimate). Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de

Guerrero (en receso sabático 2005 – 2006). Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav, IPN.

Área de Educación Superior. Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav, IPN.

Programa de Matemática Educativa del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del IPN.

Cimate. Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero.

Socioepistemología y representación:

algunos ejemplos

Ricardo Cantoral 1

Rosa-María Farfán 2

Javier Lezama 3

Gustavo Martínez-Sierra 4

RESUMEN

Este artículo discute, en distintos planos y con el empleo de diversos ejemplos, un papelpara la noción de práctica social en la construcción de conocimiento matemático y decómo se articula con procesos de representación. Particularmente, estudiamos algunasactividades como medir, predecir, modelar y convenir, como escenarios de construcciónsocial de conocimiento matemático.

PALABRAS CLAVE : Socioepistemología, práctica social, representación.

ABSTRACT

In this article we discuss, at different levels and through several examples, one role thatthe notion of social practice can play in the construction of mathematical knowledge andits articulation with processes of representation. Particularly, we study some activitiessuch as measuring, predicting, modeling and agreeing as scenarios of social constructionof mathematical knowledge.

KEY WORDS: Socioepistemology, social practice, representation.

1

Relime, Número Especial, 2006, pp. 83-102.

2

3

4

RESUMO

Este artigo discute, em distintos planos e com o emprego de diversos exemplos, um papelpara a noção de prática social na construção do conhecimento matemático e de como searticula com os processos de representação. Particularmente, estudamos algumas atividadescomo medir, predizer, modelar e ajustar, como cenários de construção social de conhecimentomatemático.

Relime 84

Introducción

En un sentido amplio, digamos quetradicional, la teoría del conocimiento haconsiderado a la Representación comouna imagen, una idea, una noción o másampliamente, un pensamiento expresado,formado al nivel mental y que estápresente de modo consciente. En estesentido la representación precisa deaquello que habrá de ser re-presentado –es decir, vuelto a presentar–, requiere portanto de un Objeto con existencia previacuya captación intelectual reproduzcamentalmente a través de traer al presentelas situaciones vividas, o de anticipareventos por venir que condensen laexperiencia adquirida. Bajo ese enfoque,la actividad semiótica no puede crear alobjeto, pues sólo lo re-presenta, es por elloque algunos autores han señalado críticasa su sustento epistemológico. Radford,(2004), por ejemplo, citando a Peirce,decía que el signo no crea al objeto: aquéles solamente afectado por éste. En pocaspalabras, en las diferentes escuelas depensamiento que adoptan una perspectivatrascendental respecto a los objetosmatemáticos (que sea el caso delidealismo o del realismo), los signosconstituyen el puente de acceso a esos

objetos conceptuales vistos como situadosmás allá de las peripecias de la acciónhumana y la cultura. Para Radford, es laactividad humana la que produce al objeto.El signo y la forma en que éste es usado(esto es, su sintaxis) –forma necesariamentecultural en tanto que inmersa en SistemasSemióticos Culturales de significación– sonconsiderados como constitutivos del objetoconceptual: éstos objetivan al objeto. (op.Cit., p. 14).

El enfoque socioepistemológico compartela tesis, de la semiótica cultural, queconfiere a la actividad humana la funciónde producción del objeto, aunque el énfasissocioepistemológico no está puesto ni enel objeto preexistente o construido, ni ensu representación producida o innata; sinomás bien se interesa por modelar el papelde la práctica social en la producción deconocimiento a fin de diseñar situacionespara la intervención didáctica. Claramente,ello exige de un posicionamiento sobre elsentido que adquiere la expresión prácticasocial, en este enfoque.

Se asume como tesis fundamental queexiste una profunda diferencia entre “la

PALAVRAS CHAVE: Socioepistemologia, prática social, representação.

RÉSUMÉ

Dans cet article nous discutons, sur des plans différents et à travers l’utilisation de plusieursexemples, d’un rôle que la notion de pratique sociale peut jouer dans la construction dusavoir mathématique et de son articulation avec des processus de représentation. Enparticulier, nous étudions quelques activités comme mesurer, prédire, modeler et conveniren tant que scénarios de construction social du savoir mathématique.

MOTS CLÉS : Socioépistémologie, pratique sociale, représentation.

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realidad del objeto” –la llamada realidadimplicada– y “la realidad descrita” queproducen los seres humanos en su accióndeliberada para construir su “realidadexplicada”. La socioepistemología hatratado el problema de la representaciónde un modo singular, pues no buscadiscurrir teóricamente sobre la acción derepresentar al objeto mediante artefactos,herramientas o signos, sino que se ubica“a ras” de las prácticas y de la forma enque éstas son normadas por prácticassociales.

En primer término, es importante que sedistinga la noción de práctica en un sentidollano, de aquella que usamos en esteenfoque. La práctica social la entendemoscomo normativa de la actividad, más quecomo actividad humana reflexiva oreflexión sobre la práctica; o aun como seseñala en (Radford, 2004), como“interiorización reflexiva de prácticassociales históricamente constituidas”. Ahíradica una de las principales distincionesteóricas del enfoque socioepistemológico:“la práctica social no es lo que hace en síel individuo o el grupo, sino aquello queles hace hacer lo que hacen” (Covián,2005). De este modo, se pretende explicarlos procesos de construcción, adquisicióny difusión del saber matemático con baseen prácticas sociales. En susinvestigaciones, los socioepistemólogosreportan más bien caracterizaciones delejercicio de las prácticas que anteceden ala producción o construcción de conceptosy al desarrollo del saber.

Según este encuadre teórico, es precisomodificar el foco: “pasar de los objetos alas prácticas”. Los enfoquesreificacionistas centrados en objetos,buscan explicar el proceso mediante elcual se llega a la construcción del objeto yminimizan el papel que desempeña latriada: “herramientas, contextos y

prácticas”. El cambio de centraciónproducirá un deslizamiento de orden mayorhacia explicaciones sistémicas, holísticas,complejas y transdisciplinarias, en virtudde que la acción cognitiva no busca laapropiación de objetos a través de suspartes, sino que asume que éstos noexisten objetiva y previamente, “ahíafuera”, previos a la experiencia, sino que–más bien– los objetos son “creados” enel ejercicio de prácticas normadas (tesiscompartida con la semiótica cultural). Enconsecuencia, se cuestiona la idea de quela cognición se reduzca a la acción derecobrar el entorno inmediato mediante unproceso de representación, para asumirque la cognición sea así entendida comola capacidad de “hacer emerger” elsignificado a partir de realimentacionessucesivas entre el humano y su medioambiente próximo, tanto físico comocultural, a partir de una interacción“dialéctica” entre protagonistas. Estainteracción, socialmente normada, da a lapráctica, inevitablemente, una connotaciónde práctica social. El conocimientoentonces, como se ha señalado en (Varelaet al., 1997) depende de las experienciasvividas que, a su vez, modifica las propiaspercepciones y creencias.

1. La socioepistemología

Debemos señalar que la aproximaciónsocioepistemológica a la investigación enmatemática educativa busca construir unaexplicación sistémica de los fenómenosdidácticos en el campo de las matemáticas,no sólo discute el asunto de la semiosis oel de la cognición de manera aislada, sinoque busca intervenir en el sistema didácticoen un sentido amplio, al tratar a losfenómenos de producción, adquisición y dedifusión del conocimiento matemáticodesde una perspectiva múltiple, queincorpore al estudio de la epistemología del

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conocimiento, su dimensión sociocultural,los procesos cognitivos asociados y losmecanismos de institucionalización vía laenseñanza (Cantoral & Farfán, 2003).

En este enfoque se pone énfasis el hechode que las aproximaciones epistemológicastradicionales, han asumido que elconocimiento es el resultado de laadaptación de las explicaciones teóricas conlas evidencias empíricas, ignorando, enalgún sentido, el papel que los escenarioshistóricos, culturales e institucionalesdesempeñan en la actividad humana. Lasocioepistemología, por su parte, se planteael examen del conocimiento matemático,social, histórica y culturalmente situado,problematizándolo a la luz de lascircunstancias de su construcción y difusión(Cantoral & Farfán, 2004).

La aproximación socioepistemológica a lainvestigación en matemática educativa seocupa entonces, específicamente, delproblema que plantea la construcciónsocial del conocimiento matemático y desu difusión institucional. Dado que esteconocimiento adquiere el estatus de sabersólo hasta que se haya constituidosocialmente, en ámbitos no escolares, sudifusión hacia y desde el sistema deenseñanza le obliga a una serie demodificaciones que afectan directamentesu estructura y su funcionamiento, demanera que afectan también a lasrelaciones que se establecen entre losestudiantes y su profesor. Bajo esteenfoque se han producido una grancantidad de investigaciones empíricas y delas cuales citamos algunas (Alanís et al,2000; Arrieta, 2003; Cantoral, 1990, 1999;Cantoral & Farfán, 1998; Cordero, 2001;Covián, 2005; Lezama, 2003; López, 2005;Martínez – Sierra, 2003; Montiel, 2005).

En su intento por difundir estos saberes,la socioepistemología sostiene que se

forman discursos que facil itan larepresentación en matemáticasalcanzando consensos entre los actoressociales. Nombramos a estos discursoscon el término genérico de discursomatemático escolar (Cantoral, 1990).Debemos aclarar que la estructuración dedichos discursos no se reduce a laorganización de los contenidos temáticos,ni a su función declarativa en el aula (eldiscurso escolar), sino que se extiende untanto más allá, al llegar al establecimientode bases de comunicación para laformación de consensos y la construcciónde significados compartidos; en estesentido se trata más bien de una unidadcultural en el sentido de Minguer (2004).

Para mostrar lo anterior, consideremos elsiguiente hecho. El tratamiento didácticode las distintas clases de funciones através de sus representaciones gráficasenfrenta dificultades serias al momento deevaluar los logros al nivel de lacomprensión por parte de los estudiantes.Si bien la mera clasificación visual de susrepresentaciones puede ser un elementode partida para distinguirlas en unaexplicación didáctica, habrá que explorarmás profundamente aquellos elementosque les permitan aproximarse a lanaturaleza de las distintas clases defunciones. Al poner en escena unasituación didáctica relativa al tratamientode la función 2x entre estudiantes debachillerato (15 – 17 años), a fin de que seapropiaran del concepto de funciónexponencial, se favoreció el empleo decriterios geométricos: localizar puntos enel plano, identificar regularidades paratransitar de la figura a sus propiedades.Para inducirles a construir, basados en lacoordinación de elementos geométricos ygráficos, una curva a partir de un atributoanalítico. Se propició también la inducciónde lo local a lo global, partiendo decasos particulares se les solicitaba que


argumentasen sobre la posibilidad delocalizar otros puntos más y de ahí, secuestionaba sobre la naturaleza específicade la función 2x.

Presentamos a cont inuación dosfragmentos realizados por equipos deestudiantes, para dotar de ciertaevidencia empír ica nuestrasafirmaciones. La secuencia propusoactividades para la localización depuntos en el plano que formasen partede la gráfica de la función 2x. Como sepuede observar en la Figura 1, losestudiantes ponen de manifiesto quetienen una imagen de la representacióngráfica de la función creciente con trazocontinuo. También se puede observarque la localización de los puntos sobrela gráfica (como pares ordenados) nocorresponde a la escala que se planteaen los ejes.

El haberles solicitado la obtención dedeterminados puntos sobre la gráfica,permitió que se iniciara una discusiónsobre el significado de “elevar a unapotencia”. En la figura se observa que leasocian, a la expresión 2x distintosvalores a la x lo que les lleva a explorarel significado de elevar a potencia paradistintas clases de números. (Potenciaentera, 3; potencia racional, ; y aun elcaso de una potencia irracional, þ. Anteesto úl t imo los estudiantes norepresentan nada).

El ubicar puntos específ icos parapotencias, enteras y racionales,problematiza entre los estudiantes elcarácter creciente de la función y sutrazo continuo, hay en el dibujo unapregunta tácita ¿cómo se eleva a lapotencia þ?

12

Figura 1

En la siguiente figura, de nueva cuenta, losestudiantes tienen una idea de la función2x mediante una representación gráfica,creciente y con trazo continuo,bosquejándola de manera general ypermitiéndonos ver que no reparan anteel caso de que la variable x tome el valorde cero o sea incluso negativa. Encontraste, observamos junto a ese trazo,la localización de los segmentos de valor21/4, 21/2, 21, etc., que fueron obtenidos através de la aplicación del algoritmogeométrico de la media geométrica en lasemicircunferencia. Podemos interpretar elempleo de dicho algoritmo, como unejercicio de medición, ya que es construidoa partir de la definición de una determinadaunidad de medida. En el caso del gráficode la izquierda las ordenadas tienen unsignificado concreto, explícito para losestudiantes: son segmentos de longitud21/4, 21/2, 21, etc. Este ejercicio de medirpermite comparar a los segmentos y conellos aproximarse a una idea específica de

Relime

crecimiento, ya no es arbitrario como en elgráfico siguiente, sino que sigue un patrónsusceptible de comparación y descripcióndetallada.

Figura 2

La representación gráfica, aun respetandolas escalas y dibujándola con granexactitud, no garantiza una comprensiónde la trama interna de la misma, es hastaque se agrega una acción, una prácticaconcreta, proveniente del cúmulo deexperiencias de los alumnos durante suvida, la de medir segmentos, lo que lespermite en principio entender la naturaleza

(P + PQ)m

n = Pm

n +mn

Pm

n Q +mn

m− n2n

Pm

nQ2 +mn

m− n2n

m− 2n3n

Pm

nQ3 + etc.

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del crecimiento de la función 2x. Larepresentación no existe como tal hastaque algunas prácticas cotidianas comomedir, comparar, observar son llevadas acabo, son ejercidas. En este sentido, laaproximación socioepistemológica pone suénfasis en el papel de las prácticas socialesen la construcción del conocimiento. Restaaun discutir a mayor profundidad cuál esla práctica social que subyace al empleo ya la necesidad de la medición; sinembargo, dado que no es asunto de esteescrito puede consultarse (Lezama, 2003).

Una explicación más amplia sobre el papelque desempeñan las prácticas, tanto lasde referencia como las sociales, en laconstrucción de conocimiento, puedeobtenerse de los siguientes ejemplos.Cada uno de ellos obedece acircunstancias específicas y no haremosde ellos un estudio a profundidad.

2. La predicción, el binomio deNewton y la serie de Taylor

¿Por qué Newton representó por vezprimera a su binomio como (P + PQ)m/n yno, como es usual hoy día a (a + b)n? Lasexpresiones aunque matemáticamente

equivalentes, son distintas conceptualmente.

Una lectura ingenua de tales expresiones nos haría creer que se trata sólo de un asuntode la notación propia de la época; en nuestra opinión, ello no es así. Se trata de unaverdadera concepción alternativa del binomio, que se apoya en una epistemologíasensiblemente diferente de la que hoy enseñamos en clase. De hecho, obedece a unprograma emergente, alternativo en el campo de la ciencia y la filosofía, con el que se

(a + b)n = an + nan−1b+n(n−1)

2!an −2b2 +

n(n−1)(n − 2)3!

an− 3b3 + ...


buscaba modelar, anticipar, predecirfenómenos naturales con respaldomatemático. Un amplio programa dematematización de los fenómenossusceptibles de modelar con una fructíferametáfora del flujo del agua, metáfora quese aplicaría por igual a la evolución de muydiversas magnitudes.

La idea básica a la que nos referimosconsiste en la asunción de que con lapredicción de los fenómenos de flujocontinuo en la naturaleza, era posibleanunciar, anticipar, su estado ulterior. Puesconociendo ciertos valores iniciales de unsistema en evolución, sabríamos la formaen la que éste progresa. Centremos laatención en la cinemática de una partículaque se desplaza rectilíneamente; situaciónen la que se precisa de una predicción delargo alcance en ámbitos de variacióncontinua. Desde nuestro punto de vista,la predicción se construye socialmente apartir de las vivencias y experienciascotidianas de los individuos y de los grupossociales. Pues en ciertas situacionesnecesitamos conocer el valor que tomaráuna magnitud B con el paso del tiempo.Sabemos, por ejemplo, que B depende asu vez de otra magnitud P que fluyeincesantemente. Necesitamos saberentonces el valor que tomará B antes deque transcurra el tiempo, antes de que Ptransite del estado uno al estado dos. Perodada nuestra imposibilidad de adelantarel tiempo a voluntad debemos predecir. Ental caso, no disponemos de razones paracreer que en este caso, el verdadero valorde B esté distante de las expectativas quenos generan los valores de B y de P en unmomento dado, de la forma en la que P yB cambian, de la forma en la que cambiansus cambios, y así sucesivamente. Elbinomio de Newton (Newton, 1669), sepresenta como una entidad que emergeprogresivamente del sistema de prácticassocialmente compartidas ligadas a la

resolución de una clase de situaciones queprecisan de la predicción. De modo que siP evoluciona de cierta manera, la preguntacentral consiste en saber cómo será B(P)si conocemos el inicio de P, el cambio quesufre P, el cambio del cambio de P,etcétera. El binomio fue entonces, unarespuesta a la pregunta y una organizaciónde las prácticas sociales.

El caso de mayor interés se presenta,naturalmente, cuando no se dispone enforma explícita de la relación entre B y P.En ese caso, habrá que hacer emergerprogresivamente una nueva noción, unanoción que permita de algún modo lageneración de la solución óptima a unaclase de situaciones propias de lapredicción. Para el lo habrá queconsiderar tanto la diversidad decontextos en los que puede suceder lavariación, como la var iedad defenómenos estudiados con estrategiassimilares. En su momento, este programanewtoniano de investigación llevó alsurgimiento de una progresiva cadena deelaboraciones teóricas, cada vez másabstractas, que culmina, por así decirlocon el programa lagrangiano dondehabrá de emerger la noción de funciónanalítica. Los detalles de este estudiopueden consultarse en (Cantoral, 1990,2001).

Ejemplifiquemos esta situación en uncaso simple. Supongamos que tenemoslos valores iniciales (en el tiempo t = 0),tanto de la posición s(0) = s

0, como de la

velocidad v(0) = v0, y la aceleración

a(0) = a0 de una partícula que se desplaza

sobre una recta. Para cualquier instanteposterior t la posición s(t), la velocidadv(t) y la aceleración a(t) estarándadas mediante el instrumento parapredecir, a saber, la serie de Taylor,f(x) = f(0) + f ’ (0)x + f ’’ (0)x2 /2! + ... La seriedeviene en:

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s(t) = s(0) + s’(0)t + s’’ (0)t2 /2! + ...v(t) = v(0) + v’(0)t + v’’ (0)t2 /2! + ...a(t) = a(0) + a’(0)t + a’’ (0)t2 /2! + ...

En notación usual:

s(t) = s0 + v

0t + at2

v(t) = v0 + at

a(t) = a

En este ejemplo, es el tratamiento de lapredicción de fenómenos de movimiento,lo que da lugar a un sucesivo proceso dematematización de una gran cantidad denociones y procesos matemáticos.Estrictamente hablando, no se buscórepresentar un objeto, ni construirlo a partirde su representación. Se intenta, segúnla visión de la ciencia del periodo,simplemente predecir el cambio. En estesentido, la predicción en tanto que no esun objeto matemático, tiene que entrar enla problemática teórica no como noción, orepresentación, sino como práctica social.Para la socioepistemología el foco delanálisis estará puesto no en el binomio ensí, en tanto signo o artefacto que mediatizala actividad, sino en la búsqueda de lapredicción como práctica social.

Veamos un segundo ejemplo en el cual, adiferencia del anterior, el fenómeno mismoque será tratado, el fenómeno natural queintentan describir con el método predictivo,estaba aun poco claro para losinterlocutores. El calor como noción, noemerge aun con la claridad requerida.¿Qué se representa entonces?

3. Teoría analítica del calor

El ejemplo de la propagación del calorresulta útil para mostrar de qué manera,antes que el objeto y su representación,está la praxis, y con ésta la significacióncultural. La propagación del calor resulta

un asunto desafiante, pues no trata de unobjeto matemático como tal, sino de uncontexto en que habrían de ejercer ciertasprácticas los científicos e ingenieros de unaépoca y de una circunstancia específica. Fueuna cuestión a la que tanto la MecánicaRacional como el Análisis Matemático delsiglo XVIII no dieron respuesta cabal, y deello da cuenta la histórica controversiasuscitada a raíz de la cuerda vibrante. Al ladode este desarrollo, encontramos elsurgimiento de la ingeniería matemáticasobre la práctica tradicional y el papelsustantivo que una institución de educaciónsuperior, la École Polytechnique, tuvo parasu posterior consolidación. Así pues, elasunto matemático que estaremosejemplificando, el del estudio de laconvergencia de series infinitas, se inscribeen el ambiente fenomenológico de laconducción del calor, en estrecha relacióncon la práctica de la ingeniería, dio a luz,gracias a la conjunción de, por supuesto,innumerables variables, de entre las cualesdestacamos como antecedentes al cálculoalgebraico y al surgimiento de la ingenieríaen el siglo XVIII. Es decir, una práctica socialque normaba el quehacer de los científicosy tecnólogos de la época: Predecir elcomportamiento de lo que fluye, fuese elcalor, el movimiento o los flujos eléctricos,la intención última de este programarenovador era el de mostrar el papel delsaber como la pieza clave de la vida futurade esa sociedad. Es importante ubicar queesto se da en el marco de laprofesionalización de una práctica dereferencia, la práctica de la ingeniería y porende en el seno de la comunidad politécnica.La cuestión entonces no se redujo a conocerun objeto matemático, sino el mostrar quela práctica de la ingeniería podría sercientífica. La función normativa de la prácticasocial haría su aparición en forma dediscurso matemático y enseguida, casi almismo tiempo, como una forma dediscurso matemático escolar.

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El surgimiento del concepto deconvergencia, que data del siglo XIX seda en un ambiente fenomenológico desingular relevancia para la IngenieríaMatemática; la propagación del calor endonde la variación está presente y laecuación en la que tal variación sesignifica:

En los inicios del desarrollo de lahumanidad, cuando las diversasexperiencias se examinan por vez primera,se recurre de entrada a la intuición reinantedel fenómeno, ya sea de lo calórico parael caso que nos ocupa, del ímpetu o deléter, en otros. De este modo, es con localórico que se realiza mejor laconducción, o con el ímpetu que se da elmovimiento. Se precisó de una revolucióndel conocimiento científico para agruparen una unidad fundamental alconocimiento y la manera de percibirlo.

Con la obra de Biot (1774 - 1802) laexperiencia se dirige hacia la medida y elcálculo, y se desecha la explicación delfenómeno mediante la noción de calórico,valiéndose de las indicacionessuministradas por termómetros, y seobtiene así la primera ecuación diferencialque rige al fenómeno. Sin embargo, loscoeficientes constantes no fueronanalizados, no se distinguió entre lo quees propio del cuerpo específico, de aquelloque persiste independientemente de él. Enespecial, los parámetros deconductibilidad, de densidad, de calorespecífico, permanecen en un únicocoeficiente empírico. La tarea constructivaculmina con la Théorie Analytique de laChaleur (1822) de Fourier, en donde seanaliza el problema de la propagación delcalor en los sólidos, que consiste endescribir el comportamiento del fenómeno

de propagación, buscando aquello establey permanente, que se conserva inalterablecon el fluir del tiempo. Esto es, la ecuaciónque gobierna el comportamiento delsistema.

Como Fourier llega finalmente a la ecuacióndiferencial de Biot, que ha recibido la sanciónde la experiencia, se puede decir que elmétodo de Fourier ha logrado la construcciónmatemática completa del fenómeno. Depaso, se rompen o, mejor aún, se niegan,los conceptos fundamentales del análisismatemático del siglo XVIII, como: el defunción, el papel del álgebra, el continuo real,así como la interpretación física de lassoluciones, y se inicia el estudio de laconvergencia de series infinitas, pilarfundamental del Análisis Matemáticomoderno. Salta a la vista la importanciasingular de la obra de Fourier, tanto para laingeniería como para el análisis matemáticomismo. De suerte tal, que determinar elestado estacionario del sistema conduce,necesariamente, a un estudio de laconvergencia de una serie trigonométricainfinita. La búsqueda de la predicción y lapredicción como práctica, antecede alproceso de significación y de representaciónde objetos. Es decir, son las prácticas y nosus representaciones las que forman enprimera instancia al saber matemático.

En este ejemplo, ¿qué objeto matemáticose representa?, no hay objetopreestablecido, ni preexistente, estos sonconstruidos por los actores con elejercicio de sus prácticas y normados porsu búsqueda de la predicción. Se pasadel oficio a la profesión gracias al logrode la función normativa de la prácticasocial.

A fin de mostrar el problema particularcon el que Fourier inicia este estudio,entresacamos algunas notas de supublicación original:

dvdt

=KCD

d2vdx2 +

d2vdy2 +

d2vdz2

Relime 92

Suponemos que una masa sólidahomogénea está contenida entredos planos verticales B y Cparalelos e infinitos, y que se hadividido en dos partes por unplano A perpendicular a los otrosdos (ver figura); consideraremoslas temperaturas de la masa BACcomprendida entre los tresplanos inf initos A, B, C. Sesupone que la otra parte B’AC’del sólido infinito es una fuenteconstante de calor, es decir, quetodos esos puntos permanecencon temperatura 1, la cual nopuede llegar a ser jamás menorni mayor. En cuanto a los dossól idos laterales, unocomprendido entre el plano C yel plano A prolongado y el otroentre el plano B y el Aprolongado, todos los puntos deambos tienen una temperaturaconstante 0, y una causa exteriorlos conserva siempre a la mismatemperatura; en f in, lasmoléculas del sól idocomprendido entre A, B y Ctienen la temperatura inicial 0. Elcalor pasará sucesivamente dela fuente A al sólido BAC; él sepropagará en el sentido de lalongitud inf inita y, al mismotiempo, se desviará hacia lasmasas fr ías B y C, quienesabsorberán una gran cantidad.Las temperaturas del sólido BACse elevarán más y más; peroellas no podrán pasar ni aunalcanzar un máximo detemperatura, que es diferentepara los distintos puntos de lamasa. Tratamos de conocer elestado final y constante al cualse aproxima el estado variable.

Temperatura constante igual a 1

Así, el problema consiste endeterminar las temperaturaspermanentes de un sólidorectangular infinito comprendidoentre dos masas de hielo B y C yuna masa de agua hirviendo A; laconsideración de los problemassimples y primordiales es uno delos medios más seguros para eldescubrimiento de leyes defenómenos naturales, y nosotrosvemos, por la historia de lasciencias, que todas las teorías sehan formado siguiendo estemétodo. (Fourier, 1822; traducciónlibre al español por los autores )

Para el caso particular propuesto, laecuación general se reduce a

pues se omite tanto la coordenada z comosu correspondiente derivada parcial (elgrosor se considera infinitesimal). Dadoque se trata de determinar el estadoestacionario, independiente del tiempo (esdecir, constante respecto del tiempo),deberá tenerse que:

∂v

∂t=

KCD

∂2v

∂x2 +∂2v

∂y2


.

Así que la ecuación por resolver es:

.

Si una función satisface la ecuación,deberá cumplir con las siguientescondiciones:

i) Anularse cuando se sustituye o

en lugar de y, cualquiera que sea, por otrolado, el valor de x.

ii) Ser igual a la unidad si se supone x=0y si se le atribuye a y un valor cualquiera

comprendido entre y .5

Es necesario añadir que esta función debellegar a ser extremadamente pequeñacuando se da a x un valor muy grande, yaque todo el calor surge de una sola fuenteA, condiciones que hoy nombramos defrontera. Fourier encuentra la solución porun método de separación de variables,considerando que la temperatura v se puedeexpresar como el producto de una funciónde x por una función de y, v = F(x) f(y),obteniéndose:

v = a e-x cos y + b e-3x cos 3y + c e-5x cos 5y +...(b)

…en este punto Fourier hace notar: “... No

Esto es debido a que la longitud del lado finito BAC es þ. Nótese que, en el trabajo de Fourier, la abscisa la denota por y,

mientras que a la ordenada por x (ver figura).

La consideración de los valores de una función en un intervalo es nueva; recuérdese que en el siglo XVIII eso carecía de

significado.

Pero, a diferencia de Bernoulli que presenta argumentos físicos para la demostración del problema, aquí Fourier nos

muestra que la solución matemática es coherente con la situación física, pero la demostración se inserta en la matemática

misma, sin alusión a argumentos que no pertenecen a ella. Así, se inicia la separación entre la física y las Matemáticas, que

desde la antigüedad caminaban estrechamente ligadas una de la otra.

5

6

7

∂v∂t

= 0

∂2v∂x2 +

∂2v∂y2 = 0

−π2

+π2

−π2

≤ ≤π2

−π2

+π2

−π2

+π2

se puede inferir nada para los valores quetomaría la función si se pone en lugar deuna cantidad que no esté comprendida

entre y ...” 6

Así, (b) se convierte en

1 = a cos y +b cos 3y + c cos 5y + d cos 7y +...

para y ; ahora sólo resta

calcular la infinidad de coeficientesa,b,c,d,... . A nuestros ojos, la solución yaestá dada (salvo por dicho cálculo); paraFourier, en cambio, es necesario justificarla solución físicamente7 antes de realizartal cálculo y añade:

Supongamos que la temperatura fija dela base A, en lugar de ser igual a launidad para todos los puntos, sea tantomenor entre más alejado esté el punto0 de la recta A, y que sea proporcionalal coseno de esta distancia; seconocerá fácilmente, en ese caso, lanaturaleza de la superficie curva cuyaordenada vertical expresa latemperatura u, o f(x,y). Si se corta estasuperficie por el origen con un planoperpendicular al eje de las x, la curvaque determina la sección tendrá porecuación

v = a cos y ;

los valores de los coeficientes serán lossiguientes

a = a, b = 0, c = 0, d = 0,

Relime 94

y así sucesivamente, y la ecuación dela superficie curva será

v = ae-x cos y.

Si se corta esa superficieperpendicularmente al eje de las y, setendrá una logarítmica cuya convexidades devuelta hacia el eje; si se le cortaperpendicularmente al eje x, se tendráuna curva trigonométrica que tiene suconvexidad hacia el eje. Se sigue de ahí

que la función tiene siempre

un valor positivo, y que el de es

∂2v∂x2

∂2v∂y2

siempre negativo. Ahora bien (art. 1 3),la cantidad de calor que una moléculaadquiere, de acuerdo con su lugar entreotras dos en el sentido de las x, es

proporcional al valor de ; por∂2v∂x2

tanto, se tiene que la moléculaintermedia recibe, de la que precede enel sentido de las x, más calor del queella le comunica a la que le sigue. Pero,si se considera esta misma moléculacomo colocada entre otras dos en elsentido de las y, siendo negativa la

función , se ve que la molécula∂ 2v∂y2

intermedia comunica a la que le siguemás calor que lo que recibe de laprecedente. Se llega así, que elexcedente de calor que ella adquiereen el sentido de las x se compensaexactamente con lo que pierde en elsentido de las y, como lo expresa laecuación

Se sabe así la ruta que sigue el calorque sale de la fuente A. Él se propagaen el sentido de las x, y al mismo tiempose descompone en dos partes, una sedirige hacia uno de los ejes, mientrasque la otra parte continúa alejándosedel origen para descomponerse comola anterior, y así sucesivamente hastael infinito. La superficie que

∂2v∂x2 +

∂2v∂y2 = 0

consideramos es engendrada por lacurva trigonométrica que responde a labase A, y se mueve perpendicularmenteal eje de las x, siguiendo este eje,mientras que cada una de susordenadas decrece al infinito,proporcionalmente a las potenciassucesivas de una misma fracción.

Se obtendrán consecuencias análogas silas temperaturas fijas de la base A fueranexpresadas por el término b cos 3y, o unode los términos siguientes c cos 5y...; yse puede, después de esto, formarseuna idea exacta del movimiento delcalor en el caso general; ya que se verá,por lo que sigue, que ese movimientose descompone siempre en unamultitud de movimientos elementales,en donde cada uno se comporta comosi fuese solo. (Fourier, 1822; traducciónlibre al español por los autores )

En el episodio anterior, tanto Fourier comoBiot y los ingenieros egresados de laPolytechnique, están interesados enanticipar el comportamiento de la naturaleza,en modelarla, su búsqueda no podríaentonces ser reducida a la acción derepresentar un objeto preexistente, unanoción, un concepto o un procedimiento, sinodebe ampliarse al nivel de la práctica: ¿cómoserá posible confundir en este caso, al objetocon su representación?, ¿tiene, en estecontexto, sentido tal pregunta?

Para finalizar este artículo, mostramos cómolas prácticas sociales a las que nos hemosreferido, no están exclusivamente ligadas ala actividad inmediata. Desarrollamos unejemplo relativo al proceso de convenir enmatemáticas.

4. El proceso de convenciónmatemática

La acepción que util izamos paraconvención, es la de “aquello que es


2, 3, 4, 5, 6,4, 8, 16, 32, 64,

conveniente para algún fin específico”;entonces una convención matemática esuna conveniencia para las matemáticas.El análisis socioepistemológico de losexponentes no naturales muestra lapresencia de una manera común, entre lossiglos XIV y XVIII,para posibilitar laconstrucción de cuerpos unificados ycoherentes de conocimiento matemático, esdecir para la integración sistémica deconocimientos. Designamos sintéticamentea este proceso de construcción deconocimiento con la expresión convenciónmatemática. Las formas de estemecanismo pueden ser varias: unadefinición, un axioma, una interpretación,o una restricción. La elección depende delos objetivos teóricos. Convenir enmatemáticas, puede entenderse comoproceso de búsqueda de consensos alseno de una comunidad que se norma porla práctica social relativa a dar unidad ycoherencia a un conjunto deconocimientos (Martínez – Sierra, 2005).Por su naturaleza esta práctica seencuentra en el plano de la teorización.Este proceso de síntesis, conlleva elsurgimiento de propiedades emergentesno previstas por los conocimientosanteriores. Las convenciones matemáticasserían una parte de tales propiedadesemergentes.

En el plano de la historia de las ideas, almenos dos tipos de formulacionesemergen para significar a los exponentes

no naturales. El primer tipo deformulaciones fue hecho en el contexto delo algebraico y el segundo en el ámbito dela formulación de coherencia entre loalgebraico y lo gráfico. En el contextoalgebraico, la noción de exponente nonatural surge de la intención de preservarla relación entre las progresionesaritmética y geométrica, a fin de unificarun algoritmo para la multiplicación demonomios. En el contexto algebraico–gráfico, la construcción de significadosemerge como organizador de las fórmulasde cuadraturas de ciertas curvas.

En el marco de las formulacionesalgebraicas, los convencionalismos tienenpor finalidad el incluir nuevos objetosalgebraicos a la estructura operativaconformada por los diferentes caracterescósicos 8.

Primera formulación algebraica. Encuanto a la multiplicación, la regla de Aurel(1552) se basa en el comportamientoespecial de las sucesiones: la relaciónentre la progresión aritmética y progresióngeométrica (relación PA–PG) 9. Con estemarco de referencia se determinan losconvencionalismos para incluir al númeroen la estructura operativa del conjunto{ x, x2, x3, x4, x5,...}, que en la notación deMarco Aurel (1552) corresponde alconjunto . Deesta manera el número 5 es representadocomo 5 y es multiplicado con los demás

En el lenguaje moderno se puede identificar estos caracteres cósicos con la segunda potencia, la tercera potencia…

de la incógnita.

Es decir, si se coloca la progresión aritmética que representa el número de multiplicaciones de la base y la progresión

geométrica que representa las potencias, se tiene que la adición (resta) en la parte superior (la serie aritmética) corresponde

a la multiplicación (división) de la serie de abajo (geométrica):

A la relación expresada en el enunciado anterior la abreviaremos, en lo sucesivo, como la relación entre la progresión

aritmética y geométrica (relación PA-PG).

8

9

ϕ,x,ξ,ζ,ξξ,β,ξζ,bβ,ξξξ,ζζ ,...{ }

ϕ

Relime 96

a través de una nueva tabla de caracterescósicos que tienen la misma regla operativareferente a la relación entre la progresiónaritmética y geométrica. Lo anterior estáexpresada en los siguientes términos: “Ycuando tu querras multiplicar vna dignidad,grado, o carácter con otro, mira lo que estaencima de cada uno y junta lo simplemente,y aquello que verna, mira encima de qualcarácter estara: tal diras que procede detal multiplicacion” (Op. Cit.). Así al utilizarla Tabla 1 se pueden hacer, por ejemplo,las multiplicaciones contenidas la Tabla 2.

ϕ x ξ ζ ξξ β ξζ bβ ξξξ ζζ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tabla 1. Caracteres cósicos de Aurel y la relaciónPA-PG

Notación de Aurel

8ξ2χ

23β4ϕ

16ζ 92β

13ξξ2ξξ

50ϕ6ξ

26ξξξ 300ξ

----- -----

----- -----

Tabla 2. Multiplicaciones en la notación de Aurel

En el marco de esta primera formulaciónalgebraica los cocientes del tipo x5/x7, esdecir, donde el grado del dividendo esmenor que el del divisor, no son incluidoscomo caracteres cósicos; ya que sóloconsidera para la división el caso en queel dividendo y el divisor son monomios,distinguiéndose dos posibilidades: 1) el

grado del dividendo es menor que el deldivisor y 2) el grado del dividendo es mayorque el del divisor. En la primera posibilidadtal partición no se podrá partir y quedarácomo quebrado; en la segunda, la reglade Aurel coincide con la actual(am/an=am-n con m>n).

Segunda formulación algebraica, seencuentra en un contexto donde elprogreso en la operatividad con losnúmeros negativos y el cero hace posiblela inclusión de los cocientes 1/x, 1/x2,....entre los caracteres cósicos y suoperatividad. La formulación surge dehaber admitido la operatividad decantidades negativas para despuésenmarcarlas en la estructura algorítmicade la relación entre las progresionesaritmética y geométrica. En La triparty enla Science des Nombres, Chuquet, (1880/1484) construyó una noción de exponentecero y negativo (al parecer no utilizóexponentes fraccionarios). Explica quecada número puede considerarse comocantidad estricta, y así para indicarlo, sepuede añadir un cero en la parte superiordel número, como por ejemplo, 120, 130

para indicar 12 o 13. Pero cada númeropuede considerarse como número primerode una cantidad continua, también dichonúmero lineal, indicando así: 121, 131... obien número superficial cuadrado: 122, 132

... y así, sucesivamente, hasta el orden quese quiera (120 quiere decir doce; 121 indica12x; 122 significa 12x2,...).”

Es importante señalar que el superíndicecero que util iza Chuquet significa“ausencia de variable”. En este sentidoopta por abandonar las distintasnomenclaturas para designar el orden delas raíces, así como el de las potenciasde la incógnita, para exponer una formade denominación unificadora, que facilitelas operaciones entre estas entidades.


El contexto de la formulación está relacionada con las soluciones negativas que resultan de la resolución formal de

ecuaciones lineales. Es por ello que al parecer uno de los objetivos de la aceptación de los exponentes negativos era dar

legitimidad a los números negativos y su operatividad, pues eran usados para la operatividad consistente con los monomios.

Por ejemplo es bien conocida la forma en que Galileo estableció su ley de caída de los cuerpos a través de entender

el área determinada por una gráfica velocidad-tiempo como la distancia recorrida por el cuerpo.

En términos modernos la noción de razón característica se apoya en que

Así se opera como sigue10, Chuquet utiliza.71.ñ. para denotar 7/x.

Formulaciones algebraicas–gráficasAl parecer los convencionalismosalgebraicos descritos, fueron marginalesa la sintaxis algebraica o al estudio de lacosa; dado que carecía de sentido fueradel contexto algebraico. Podemos decirque la aceptación de las potenciasmayores a tres fue posible gracias a laintroducción de la representacióncartesiana de las variables. En el marcode las formulaciones algebraicas–gráficas,los convencionalismos tienen por finalidaddotar de coherencia a ambos elementos,lo algebraico y lo gráfico.

Primera formulación algebraico–gráfica . Hacia finales del XVI se sabía quelas curvas y = kxn (n = 1, 2, 3, 4,…), llamadasde índice n, tenían una propiedad llamada“razón característica”. Este conocimiento,según Bos (1975), era propio de la épocadel cálculo de áreas determinadas pordistintas curvas, tanto mecánicas comoalgebraicas, y al significado que se asociaa las áreas en contextos de variación11.Tomando como ejemplo la curva y = x2 sedecía que ésta tiene razón característicaigual a 1/3; ya que si tomamos un punto Carbitrario de la curva (Figura 1) el área deAECBA guarda una proporción de 1:3respecto del área del rectángulo ABCD,es decir, el área de AECBA es la mitaddel área AECDA . En general, se sabía deque la razón característica de la curva de

10

11

12 (a > 0) xndx0

a

∫

:a

n+1 = 1:(n +1)

índice n es 1/(n +1) para todos los enterospositivos n .12

Figura 1. Razón Característica de la curva y = x2

En sus investigaciones acerca de lacuadratura de las curvas, Wallis utilizó loanterior para convenir que el índice de

debe ser igual a 1/2 a fin deunificar la noción de razón característicacon la noción de índice. Lo mismo puedeverse para ,cuya razón característicadebe ser 3/4=1/(1+1/3) por lo que su índiceserá 1/3. A continuación Wallis afirma(según Confrey & Dennis, 2000) que elíndice apropiado de debe ser p/q yque su razón característica es 1/(1+p/q);pero al no tener manera de verificardirectamente la razón característica detales índices, por ejemplo de ,retoma el principio de interpolación el cualafirma que cuando se puede discernir unpatrón de cualquier tipo en una sucesión deejemplos, uno tiene el derecho de aplicar esepatrón para cualesquiera valoresintermedios. En el caso que interesa, él hacela siguiente tabla de razones característicasconocidas (R(i/j ) denota la razóncaracterística, desconocida, de índice i/j):

y = x2

y = x3

y = x pq

y = x 23

Relime 98

q/b123456789

01=1/11=2/21=3/31=4/41=5/51=6/61=7/71=8/81=9/9

21/32/4

R(2/3)2/3=4/6R(2/5)3/4=6/8R(2/7)

4/5=8/10R(2/9)

31/4

R(3/2)1/2=3/6R(3/4)R(3/5)2/3=6/9R(3/7)R(3/8)

3/4=9/12

41/5

1/3=2/6R(4/3)1/2=4/8R(4/5)R(2/3)R(4/7)

2/3=8/12R(4/9)

51/6

R(5/2)R(5/3)R(5/4)

1/2=5/10R(5/6)R(5/7)R(5/8)R(5/9)

61/7

1/4=2/81/3=3/9R(3/2)R(6/5)

1/2=6/12R(6/7)R(3/4)R(2/3)

71/8

R(7/2)R(7/3)R(7/4)R(7/5)R(7/6)

1/2=7/14R(7/8)R(7/9)

Al aplicar el principio de interpolaciónsobre la fila 5 se puede conjeturar, porejemplo, que R(3,5)=5/8 y sobre la columna3 que R(3,5)=5/8. Razonamientosemejante se puede hacer sobre la fila 10para establecer que R(3,5)=10/16 y sobrela columna 6 que R(3,5)=10/16.

Wallis también interpreta a los númerosnegativos como índices13. Define el índicede 1/x como –1, el índice de 1/x2 como –2,etc. A continuación él intenta darcoherencia a estos índices y a la nociónde razón característica. En el caso de lacurva y = 1/x la razón característica debe

ser 14. Aceptó este cociente1

−1+1=

10

= ∞

Deseamos aclarar que a través de la literatura consultada no fue posible determinar claramente los motivos que tuvo

Wallis para dar tales definiciones; pero es de suponer que fueron tomadas de las convenciones de los exponentes que

ya se trabajaban en esa época en el contexto algebraico (Martínez, 2003).

Lo que hoy se entiende por fracciones, en la época de Wallis se concebía como proporcionalidad por lo que 1 es 0

(nada) como es a 1.

13

14

∞

E

A B

C

F

E

A B

C

F

D

como razonable debido a que el área bajola curva 1/x diverge; el cual, al parecer, eraun hecho conocido en la época. Lo anterior

puede ser interpretado como que laproporción entre el área de ABCEFA (Figura2) y el área del rectángulo ABCD es de 1:0.Cuando la curva es y=1/x2 la razóncaracterística debe ser 1/(-2+1)=1/-1. Aquí,la concepción de Wallis sobre la razón difierede la aritmética moderna de númerosnegativos. Él no utiliza la igualdad 1/-1 = -1,más bien él construye una coherencia entrediversas representaciones; que es enesencia una convención matemática.Debido a que el área sombreada bajo lacurva y=1/x2 es más grande que el área bajola curva 1/x, concluye que la razón 1/-1 esmayor que infinito (ratio plusquam infinita).Continúa concluyendo que 1/-2 es inclusomás grande. Esto explica el plural en el títulode su tratado Arithmetica Infinitorum, de lacual, la traducción más adecuada sería LaAritmética de los Infinitos.

Figura 2. Razón Característica de la curva y = 1/x


Lo anterior nos motiva a enfocar nuestraatención en los procesos de integraciónsistémica de un conjunto deconocimientos. Teóricamente, desde unprincipio, esta búsqueda de integración,que es una búsqueda de relaciones,puede tener dos salidas: 1) La rupturaocasionada por dejar a un lado unsignificado por otro que eventualmente esconstruido para la tarea de integración; esdecir, cambiar la centración de significadoy 2) La continuidad al conservar unsignificado en la tarea de integración.Entonces, la convención matemáticapuede ser interpretada como unapropiedad emergente para establecer unarelación de continuidad o de ruptura designificados.

En nuestros ejemplos respecto a lasformulaciones de Wallis, la búsqueda decoherencia entre la noción de índice y derazón característica (en donde la razón/proporción posee significados específicosque difiere de considerarla como número)provoca dos convencionalismos: el índicede como 1/2 y diversos tipos deinfinito representados por 1/0, 1/-1, 1/-2,etc. Esto señala el carácter conveniente yrelativo de la convención matemáticarespecto a la integración de las nocionesde índice y razón característica y lasrepresentaciones algebraicas y gráficas.Hoy en día la convención de considerar alas proporciones 1/0, 1/-1, 1/-2 comodiversos tipos de infinitos no es coherentecon la interpretación numérica de lasproporciones como números.

De este modo, la convención, o labúsqueda de consensos, al igual que enlos ejemplos descritos anteriormente,adquiere una dimensión socialfundamental que no podría ser captada sil imitáramos nuestra mirada a laconstrucción de objetos o a surepresentación, pues aspectos como

y = x2

creencias, ideología y matemáticasestarían excluidos al momento de teorizarsobre la construcción de conocimientomatemático.

Reflexiones finales

Con los ejemplos mostramos el papel dealguna práctica: medir al construir lafunción “2x”, predecir en el caso de lacinemática y las funciones analíticas,modelar bajo fenomenologías deingeniería y, finalmente, convenir en elcaso de los exponentes no naturales. Losejemplos muestran la diversidad desituaciones que habrían de considerarsellevando la mirada hacia lasocioepistemología.

Este artículo ha querido mostrar cómoopera el enfoque socioepistemológico alcentrar su atención en prácticas más queen objetos. Su centración en las prácticasarroja una luz distinta de aquella queproduce la centración en objetos, procesoso mediadores. El artículo mostró, medianteejemplos, el papel que juega la prácticasocial en la construcción del conocimientomatemático y de cómo se articula con losprocesos de representación.

Este artículo si bien pretende posicionar ala Socioepistemología a través deejemplos, busca sobre todo discurrir sobreel papel de la noción de práctica social enla formación de conocimiento. No seabordan las relaciones decomplementariedad o contraposición decara a otros enfoques teóricos, aunquebien sabemos que existen relaciones conla Semiótica Cultural de Radford, o con elenfoque Ontosemiótico de Díaz–Godino,o aun con la Teoría Antropológica de laDidáctica de Chevallard y colaboradores,o con la Etnomatemática de D’Ambrosio ycolaboradores, pero más bien quisimos

Relime 100

aportar un elemento adicional, unaparticular interpretación de la noción depráctica social que juzgamos prometedorapara la investigación en matemáticaeducativa. En el futuro inmediato, el

enfoque socioepistemológico estaráintentando construir elementos dearticulación entre los enfoques señaladosanteriormente, aunque esa sea otrahistoria…

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Relime102

Ricardo CantoralDepartamento de Matemática EducativaCINVESTAVMéxico

E-mail: [email protected]

Rosa María FarfánDepartamento de Matemática EducativaCINVESTAVMéxico


Gustavo Martínez-SierraCimate de la UAGMéxico


Javier LezamaPrograma de Matemática EducativaCICATA del IPNMéxico


revista latinoamericana de investigación en · 86 relime conocimiento, su dimensión...

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