REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO

“SANTIAGO MARIÑO” ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMAS

Optimización

sin Restricciones con más de una Variable Metodo de lagrange

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

Portada: Miguel G. Saavedra Y. - Yanis D. Perez C. OPTIMIZACION DE SISTEMAS Y FUNCIONES Profesor: luis aponte

matemático nacido en Italia.

CONTENIDO

Historia del Método de LaGrange. Método de los multiplicadores de LaGrange. Características. Objetivos. Campo de Aplicación. Importancia. Optimización sin restricciones Función de 2 variables. Máximos, Mínimos, Punto de Silla. Función Objetivo de 2 Variables. Ejercicios Propuestos. Ejercicio #1. Ejercicio #2. Ejercicio # 3 Entretenimiento. Bibliografía.

EDITORIAL m.Y

1-2-3

4 5 6 7 8 9

10

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15-16

17

18-20

21

HISTORIA DEL METODO DE LAGRANGE

El método lagrangian (también

conocido como multiplicadores

lagrangian) lo propuso Joseph

Louis Lagrange (1736-1813), un

matemático nacido en Italia. Sus

multiplicadores lagrangian tienen

aplicaciones en una variedad de

campos, incluyendo el físico,

astronomía y económica.

La lectura de una obra del astrónomo inglés

Edmund Halley despertó su interés, y, tras un año

de incesante trabajo, era ya un matemático

consumado. Fue nombrado profesor de la Escuela de Artillería.

. LAGRANGE

1

1758 fundó una sociedad, con la ayuda de

sus alumnos, que fue incorporada a la

Academia de Turín.

En 1764 recibe un premio por la

Academia de Ciencias de París por su

trabajo sobre el equilibrio lunar

razonando “la causa de que la luna

siempre mostrara la misma cara”

LAGRANGE 2

1795 Se le concedió una cátedra en

la recién fundada École Normale, que

ocupó tan solo durante cuatro meses.

1798 Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial

forman la base de sus obras Teoría de las funciones

analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas

1810 Inició una revisión de su Teoría, pero sólo

pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.

LAGRANGE 3

método de los

Multiplicadores de LaGrange

En los problemas de

optimización, el método de

los multiplicadores de

Lagrange es un procedimiento

para encontrar los máximos y

mínimos de funciones de

múltiples variables sujetas a

restricciones.

Reduce el problema restringido

con n variables a uno sin

restricciones de n + k variables,

donde k es igual al número de

restricciones

El método dice que los puntos

donde la función tiene un

extremo, condicionado con k

restricciones, están entre los

puntos estacionarios de una

nueva función sin restricciones

construida como una

combinación lineal de la

función y funciones

implicadas en las restricciones,

cuyos coeficientes son los

multiplicadores.

La demostración usa

derivadas parciales y la regla

de la cadena para funciones

de varias variables.

Se trata de extraer una

función implícita de las

restricciones, y encontrar las

condiciones para que las

derivadas parciales con

respecto a las variables

independientes de la función

sean iguales a cero.

4

LAGRANGE 5

Ca

ra

ct

er

ist

ica

s METODO DE LAGRANGE

El método de eliminación de variables

no resulta operativo cuando el problema

tiene muchas restricciones o las

restricciones son complejas, por lo que

resulta muy útil éste método.

Los Multiplicadores de LaGrange es un

método alternativo que además

proporciona más información sobre el

problema.

Todos los óptimos que verifiquen las

condiciones de regularidad establecidas

tienen asociados los correspondientes

multiplicadores.

El teorema de LaGrange establece una

condición necesaria de optimalidad (bajo

las condiciones de regularidad).

LAGRANGE 6

objetivos

METODO DE LAGRANGE

Visualizar algunas superficies

cuádraticas y curvas de nivel

para distintos valores de la

variable z.

Adquirir habilidad en la resolución de problemas

de optimización en un ambiente computacional.

Identificar, a través de los

simuladores, los puntos (x,y)

sobre la curva correspondiente

a la función restricción donde

la función principal tiene

extremos.

Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando

el método de multiplicadores de Lagrange.

LAGRANGE 7

Campo

de aplicación

METODO DE LAGRANGE

Está en todas las ramas de la

ciencia, en la Física,

Matemática, Química,

Astronomía, Biología,

Economía entre otras

ciencias.

Situaciones en las que

conociendo un conjunto de datos

experimentales en un

cierto intervalo de la variable

independiente, esto es,

conociendo una cierta cantidad

de datos tabulados, se hace

preciso encontrar una función

El método de la interpolación

de Lagrange es de gran

importancia en el análisis

numérico.

LAGRANGE 8

METODO DE LAGRANGE

importancia

Radica en que nos

muestra que

podemos asociar una

función de utilidad a

unas preferencias,

estos nos abre la

puerta de la potente

herramienta del

análisis matemático

para el estudio de

encontrar los

máximos y mínimos

de funciones de

múltiples variable

sujetas a

restricciones.

Optimización sin Restricciones 9

Optimizacion sin restricciones FUNCIONES DE 2 VARIABLES.

Optimización es el proceso de

hallar el máximo o mínimo

relativo de una función,

generalmente sin la ayuda de

gráficos.

El problema de minimizar o maximizar una función

sin que existan restricciones se le conoce como

“optimización sin restricciones”. Dada que esta

función puede ser de una o más variables

Los problemas con restricciones pueden ser tratados con los

multiplicadores de LaGrange como uno sin restricciones.

10

Optimización sin Restricciones

Los máximos o mínimos de una

función conocidos como extremos

de una función, son los valores

mas grandes (máximos) o mas

pequeños(mínimos) que toma una

función en un punto situado ya sea

dentro de una región en particular

de la curva o en el dominio de la

función en su totalidad.

Maximos, minimos Punto de silla

Punto de silla es el punto sobre una

superficie en el que la pendiente es

cero pero no se trata de un extremo

local (máximo o mínimo

11

Optimización sin Restricciones

Funcion objetivo de dos variables

Para que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o máximo

relativo, tres condiciones deben ser satisfechas:

1. Las derivadas parciales de primer

orden deben simultáneamente ser

iguales a cero. Ello indica que en un

punto dado (a,b) llamado “punto

critico”, la función no esta creciendo

ni decreciendo con respecto a los

ejes principales sino a una superficie

relativa

2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas

cuando ellas son evaluadas en el punto critico (a,b) para un

máximo relativo y positivas para un mínimo relativo. Ello

asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en

relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo

y la función es convexo y moviéndose hacia arriba en relación a

los ejes principales en el caso de un mínimo relativo.

12

Optimización sin Restricciones

F.O. DE DOS VARIABLES

3. El producto de las derivadas

parciales de segundo orden

evaluadas en el punto crítico

deben exceder el producto de

las derivadas parciales

cruzadas también evaluadas en

dicho punto. Esta condición

adicional es necesaria para

evitar un punto de inflexión o

punto de silla.

Op

tim

iza

ció

n

sin

Res

tric

cio

nes

EJERCICIOS PROPUESTOS

13

Optimización sin Restricciones

EJERCICIO #1

Calcular las derivadas parciales de:

a.- f(x,y)= 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚 + 3𝒙𝒚𝟐

∂𝒇

∂𝒙 = 2x + 3𝑦2

∂𝒇

∂𝒚 = 2 + 6xy

b.- f(x,y)= 𝟐𝒙𝟐 − 4𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒚

∂𝒇

∂𝒙 = 4x − 8xy

∂𝒇

∂𝒚 = 4𝑥2 + 5

Optimización sin Restricciones

EJERCICIO #1

Calcular las derivadas parciales de:

c.- f(x,y)= 3𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒙𝒚

f(x,y)= 3𝒙𝟐 − 𝑥1

2 + (𝑥𝑦)1

2 ∂𝒇

∂𝒙 = 6x −

1

2+

1

2 (𝑥𝑦)−

1

2 * (xy)

∂𝒇

∂𝒙 = 6x −

1

2𝑥12

+ 1

2 (𝑥𝑦)−

1

2 * (y)

∂𝒇

∂𝒙 = 6x −

1

2 𝑥+

𝑦

2 𝑥𝑦

f(x,y)= 3𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒙𝒚

∂𝒇

∂𝒚 = 3𝒙𝟐 − 𝑥

1

2 + (𝑥𝑦)1

2

∂𝒇

∂𝒚 =

1

2 (𝑥𝑦)−

1

2 * (xy)′ 𝑥

2 𝑥𝑦

14

15

Optimización sin Restricciones

EJERCICIO #2

Un fabricante nacional estima que el numero de unidades que vende en un

año es una función de los gastos hechos en la publicación por radio y

televisión. La función que especifica esta relación es:

Z = 50.000x + 40.000y – 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒚𝟐 − 𝟏𝟎 𝒙𝒚

donde Z es el numero de unidades vendidas al año, X denota la cantidad a

la publicidad por televisión y la Y cantidad gastada en la publicidad por

radio (ambas en miles).

Determine cuanto dinero deberá invertirse en ambos tipos de publicidad a

fin de maximizar el numero de unidades vendidas.

∂𝒛

∂𝒙= 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝒚

∂𝒛

∂𝒙= "𝟎“ −𝟐0x − 10y + 50000 = 0

1. −20 − 𝟏𝟎𝐲 = −𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

Z = 50.000x + 40.000y – 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒚𝟐 − 𝟏𝟎 𝒙𝒚 ∂𝒛

∂𝒚= − 40000 − 40y −10x

2. 40000 − 40y −10x −10x − 40y = 40000

EJERCICIO #2

1. −20 − 𝟏𝟎𝐲 = −𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 (4𝟎)

2. −10x − 40y = 40000 (-10) -800x – 400y = -2000000 100x + 400y = 400000

-700x = -1600000 x = −𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟕𝟎𝟎

ENCONTRAMOS “Y” -20x – 10y = -50000 -20(2285,71) – 10y = - 50000 -45714,2 – 10y = - 50000 -10y = -50000 + 45714,2 -10y = -4285,8 (-1)

Y = 4285,8

10⇒

X =2285, 71

Y = 428,58

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Optimización sin Restricciones

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Optimización sin Restricciones

F(x,y) = 4𝑥2 − 12𝑥 + 𝑦2 + 2𝑦 − 10

EJERCICIO #3

∂𝒛

∂𝒙 = 8x – 12

∂𝒛

∂𝒙 = 0

8x -12 = 0 8x = 12 x = 12

8

F (x,y) = 4x2 - 12x + 𝑦2 + 2𝑦 − 10 ∂𝒛

∂𝒚 = 2y + 2

∂𝒛

∂𝒚 = 0

2y + 2 = 0 2y = -2

F (x,y) = 432

2

- 12 32

+ (−1)2 + 2 −1 − 10

F(x,y) = 4 94

- 6(3) + (1) – 2 – 10

F(x,y) = 9 -18 + 1 – 2 – 10 -20

x = 34

y = -1

18

Optimización sin Restricciones

19

Optimización sin Restricciones

PRUEBA TU CONOCIMIENTO

20

destreza

Optimización sin Restricciones

Optimización sin Restricciones 21

BIBLIOGRAFIA

ASTRONOMIA

http://www.astromia.com/biografias/lagrange.htm

BIOGRAFIAS Y VIDAS

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/lagrange.htm

MÁXIMOS Y MÍNIMOS MEDIANTE EL MÉTODO DE

LAGRANGE

http://www.fis.utfsm.cl/fis140/Lagrange.pdf

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

http://es.slideshare.net/briancitoguerra69/multiplicadores-de-

lagrange-29025170

OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

Prof. Cesar de Prada

http://prof.usb.ve/mirodriguez/Sinrestricciones1.pdf