Instituto Universitario Politécnico“Santiago Mariño”

Sección 3E/Análisis numérico

REVISTA DIGITAL

Profesor: Domingo Mendez Alumno:Sebastian Vallejo

C.I: 285.65.943

Introducción a la Teoría de InterpolaciónMuchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto puede suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. También puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de lafunción a partir de otros ya

conocidos.

Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximación, hablamos deinterpolación polinómica.

Tablas de DiferenciasLa interpolación se usa para obtener datos intermedios a partir de una tabla de valores, construyendo un polinomio que pasa por el conjunto de datos conocidos, llamados nodos de interpolación; ´este polinomio suele expresarse en t´erminos de la diferencias ∆i f. Para introducir estas diferencias, consideramos la tabla formada por un conjunto de valores de una funci´on f(x) en el conjunto de N puntos equiespaciados {x0, x1, ..., xN−1} con xi = xi−1 + h.

Llamamos fk a f(xk) y definimos: ∆fk = fk+1 − fk ∆ 2 fk = ∆fk+1 − ∆fk = (fk+2 − fk+1) − (fk+1 − fk) (1) y en general: ∆ i+i fk = ∆i fk+1 − ∆ i fk (2)

x F(x)

Df(x) D2

f(x)D3

f(x)D4

f(x)

0.00

0.0000

0.017 0.096 0.022

0.014

0.2 0.003

0.018 0.90 0.097

0.012

00.2

0.3 0.011 0.15 0.012

0.001

Polinomios Interpolantes, Newton-Gregory, GaussCuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory.

En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

Polinomio Interpolante de GaussHay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.

 Interpolación por Polinomios de HermiteAquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.

Interpolación Usando SplinesLos dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación.

Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes.

Polinomio Interpolante de LagrangePara construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que  si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange.

Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.

 Diferencias Divididas y la Formula General de NewtonLa forma general del polinomio

interpolante de Newton para n+1 datos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)), ..., (xn, ƒ(xn)) es: Los coeficientes ai se obtienen calculando un conjunto de cantidades denominadas diferencias divididas.La notación para las diferencias divididas de una función ƒ(x) están dadas por:Las diferencias divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguiente regla recursiva: Retomando el polinomio interpolante de Newton:Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + ... +an(x – x0)(x – x1)…(x – xn-

1)

Observe que Pn(x0) = a0. Como Pn(x) interpola los valores de ƒ en xi, i=0,1,2,...,nentonces P(xi) = ƒ(xi), en particular Pn(x0) = ƒ(x0) = a0. Si se usa la notación de diferencia dividida a0= ƒ[x0].

Ahora, Pn(x1)= a0 + a1(x1 – x0), como Pn(x1)= ƒ(x1) y a0= ƒ(x0), entonces reemplazando se tieneƒ(x1)=ƒ(x0) + a1(x11–x0), donde

Si se usa la notación de diferencia dividida a1= ƒ[x0, x1].De manera similar cuando se evalúa Pn(x) en x = x2 se obtiene a2 = ƒ[x0, x1, x2].

 Aplicación de los Métodos Numéricos de Interpolación en la Resolución de ProblemasPara datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano, Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto.

No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso.