revisão de calculo
TRANSCRIPT
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T E X T O D E R E V I S O
DE
C L C U L O
D I F E R E N C I A L & I N T E G R A L
P A R A A F S I C A 3
JOS ARNALDO REDINZ (DPF/UFV) JULHO DE 2004
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PREFCIO
Durante o tempo em que ministramos a disciplina Fsica 3, voltada para os estudantes de diversas engenharias,
fsica, qumica e matemtica, notamos que uma grande parte deles no possua o domnio da matemtica que se
poderia esperar, tendo em vista os pr-requisitos dessa disciplina. O contedo da Fsica 3 exige tipicamente, para
seu desenvolvimento e completa compreenso, que o estudante entenda e saiba efetuar operaes com vetores,
realizar derivadas, integrais definidas simples, integrais de linha, de superfcie e de volume. No entanto no esse
o estgio de muitos alunos que ingressam nessa disciplina. Poderamos mencionar aqui inumerveis exemplos,
retirados de nossa experincia, que revelam falta de intimidade por parte de muitos estudantes, com os conceitos
bsicos de clculo e, em alguns casos, de trigonometria, geometria, ou outra rea mais fundamental da matemtica.
Alm disso, notamos muitas vezes, um completo desprezo pelo rigor mnimo que o uso da linguagem matemtica
exige. Sinais so simplesmente trocados, um sinal + se transforma em um magicamente, termos divergentes (1/0)
so desprezados, jogados para debaixo do tapete, parmetros constantes se transformam em variveis e vice-
versa, tudo para que enfim se emita uma resposta para o problema proposto. No deveria ser esse, o
comportamento esperado de estudantes das reas de cincias exatas, mas enfim, no pretendemos entrar aqui
nessa discusso. Apenas acreditamos que o mesmo desconforto que causaria em qualquer professor ver um
estudante escrever a frase nis vai l purque nis qu, deve tambm causar ver um estudante escrever a equao
=a
adx
x02
11 .
Tendo em vista essa realidade, estamos nos propondo aqui a oferecer um texto que auxilie os estudantes,
relembrando, enfatizando e reforando sua base matemtica. Nosso texto totalmente voltado para a disciplina
Fsica 3, nos limitaremos ao contedo relevante e a um enfoque que acreditamos seja til e, ao mesmo tempo,
minimamente rigoroso para essa disciplina. Ao longo do texto propomos alguns poucos exerccios, para que o
estudante interessado teste seu conhecimento no assunto. O contedo exposto aqui pode ser encontrado em
qualquer livro de clculo, e no estamos nos propondo a substituir disciplinas ou livros textos. Pelo contrrio,
torcemos para que os estudantes cursem cada vez com mais interesse essas disciplinas, enxerguem a beleza que
a matemtica muitas vezes revela, assimilem as lies de rigor e exatido que essa cincia nos transmite e
procurem se inspirar nos autores de livros textos consagrados nessa rea.
Ao chegar na disciplina Fsica 3, os estudantes j tero estudado todos os conceitos aqui discutidos, e j
devem ter tido oportunidade de exercita-los em diversos problemas. Mas a realidade que, por algum motivo que
nos escapa elucidao, um sem-nmero de estudantes esquece quase tudo em um tempo muito curto. Talvez o
desprezo pelo rigor matemtico, qui revelador de um desprezo pela prpria matemtica, esteja relacionado com
esse fenmeno. Ser concebvel um estudante de medicina, ou um mdico que desprezem a biologia? No
sejamos ingnuos, deve haver muitos, afinal, ningum precisa saber o que uma mitocndria para prescrever um
remdio para gripe. S nos resta torcer para que no nos deparemos com eles no percurso, ou nos percalos, de
nossas vidas. Como j se disse, ensinar no encher um balde vazio, ensinar acender uma chama. Por algum
motivo, que no pretendemos discutir aqui, essa chama s vezes permanece inerte, fria como o gelo.
No possumos formao especfica em um curso formal de matemtica, seja em nvel de graduao ou
ps-graduao. Por isso apresentaremos uma viso da matemtica do ponto de vista de um fsico, cientes de
nossas limitaes nessa rea, mas cientes tambm de nossas responsabilidades e deveres acadmicos. No
queremos, no entanto, que fique a impresso de que somos simples leigos chutadores. Acreditamos que
possumos formao e experincia, na rea de matemtica, suficientes para a tarefa modesta - a que nos
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propomos. Na graduao cursamos vrias disciplinas nessa rea, alm de outras que cursamos, por vontade
prpria, no IMPA (Instituto de Matemtica Pura e Aplicada), no Rio de Janeiro. Acima de tudo admiramos a
matemtica e temos a esperana de transmitir, e quem sabe contagiar, essa admirao no texto que se segue.
Algumas vezes somos questionados na sala de aula, se o que estamos abordando trata-se de fsica ou de
matemtica. Na nossa opinio, e de muitas autoridades no assunto, no podemos separar uma cincia da outra. J
se disse que a fsica o estudo dos fenmenos naturais passveis de descrio matemtica, o resto seria
astrologia. A essa propriedade da natureza, que a faz descritvel atravs de formulaes matemticas, P. A. M.
Dirac, prmio Nobel de fsica, denominou qualidade matemtica da natureza. A fsica e a matemtica evoluram e
evoluem juntas, como nos casos do clculo com a mecnica clssica, e da anlise vetorial com o eletromagnetismo.
A fsica tambm gera matemtica, como no caso da teoria ergdica, toda uma rea moderna de pesquisa na
matemtica que teve origem aps os trabalhos de Boltzmann na mecnica estatstica. Por essas razes,
acreditamos que ao incentivar o estudo da matemtica estaremos melhorando a formao dos estudantes em fsica.
Para a elaborao desse texto nos baseamos principalmente na coleo de quatro livros de ttulos Clculo 1,
Clculo 2 e etc. de George B. Thomas Jr., professor emrito de matemtica do MIT/USA. Nossos exemplares
desses livros foram editados pela LTC em 1978, e foram adquiridos, num golpe de sorte, na Feira do Livro Usado
em Vitria, ES, nos tempos de faculdade. Segundo o autor desses livros, os estudantes devem ser expostos desde
cedo idia de que uma derivada uma taxa de variao, e de que uma integral uma soma. Procuraremos
enfatizar aqui essa viso prtica do clculo.
1- FUNES, LIMITES E GRFICOS DE FUNES:
Uma funo uma regra que associa elementos de um conjunto (domnio) a elementos de outro conjunto (imagem).
A cada elemento do domnio a regra associa apenas um elemento da imagem. Nos limitaremos aqui principalmente a funes definidas em conjuntos de nmeros. Se f a funo, dizemos que f associa Dx a Ixf )( . Por exemplo, a funo 2: xxf associa a um nmero no conjunto dos reais ( ) um outro nmero no conjunto dos reais positivos ( + ). Escrevemos simplesmente 4)2( ==xf ou ainda 9)3( =f . A funo mdulo xxf : tambm associa nmeros em a nmeros em + , por exemplo, 3)3( =f e 5)5( =f . De maneira geral
2xx = . Algumas vezes uma funo no est nem definida em um ponto particular, por exemplo ax = , mas podemos estar interessados no valor dessa funo quando nos aproximamos infinitamente desse ponto. Se o ponto
ax = est perdido no meio do domnio de f , podemos nos aproximar dele tanto pela esquerda quanto pela direita. Chamamos essa operao - de aproximao infinita da varivel x do ponto ax = - de tomar o limite de x tendendo a a , denotada por axlim . Quando nos aproximarmos pela esquerda, ou seja, por valores de x menores do que a , denotamos o limite por axlim . Quando nos aproximarmos pela direita, ou seja, por valores de x maiores do que a , denotamos o limite por +axlim . Se ax = est no domnio de f , ou seja, se est definida a imagem )(af , ento, a funo f dita contnua em ax = se )(lim)()(lim xfafxf axax + == . Por exemplo, a funo )1/(1)( = xxf no est definida em 1=x e )(lim 1 xfx . Essa notao significa que )(xf , nesse limite, maior que qualquer nmero positivo que voc puder imaginar. A funo
xxxf /)(sen)( = no est definida em 0=x , pois resulta em 0/0 , mas pode-se demonstrar que nesse caso 1)(lim 0 = xfx .
Na figura (1) mostramos os grficos de algumas funes bastante comuns:
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a) bxaxf +=)( com a e b constantes, cujo grfico uma reta, que passa pelo ponto ))0(,0( bfx == e que possui inclinao a .
b) cxbxaxf ++= 2)( , cujo grfico uma parbola, com a boca para cima se 0>a ou para baixo se 0
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Antes da existncia das calculadoras eletrnicas, a tarefa de multiplicar dois nmeros grandes requeria um
bocado de tempo e esforo. John Napier (da o nome neperiano) teve a idia de criar uma funo que permitisse a realizao de produtos atravs de somas. Assim, para calcular ba , primeiro se achava em uma tabela de logaritmos os nmeros aln e bln , se somava esses dois nmeros e finalmente se procurava novamente na tabela qual o nmero correspondente ao logaritmo ba lnln + . Note ainda que
01ln = e que ( ) 0ln x . J mencionamos que a funo logaritmo s este definida no conjunto dos nmeros positivos. De fato, o logaritmo de um nmero negativo um nmero imaginrio, por exemplo, ( ) i=1ln , com 1=i . Poderamos nos perguntar por que as funes exponencial e logaritmo esto
definidas na base e , um nmero que vale aproximadamente 718,2 e que alm de irracional
transcendental. De fato, a escolha dessa base est na raiz da prpria definio de logaritmo, como rea
abaixo da hiprbole e, por conseguinte, na funo exponencial, como inversa da funo logaritmo. Nada
nos impede de definir funes exponencial e logaritmo em bases diferentes, como por exemplo, o logaritmo
decimal ( yx 10= ). No entanto, a base e se integra de uma maneira nica s outras funes e permite escrevermos igualdades intrigantes como, por exemplo: ( ) ii ee += 21cos e ainda 01 =+ie .
Funo seno: xxf sen)( = . Trata-se de uma funo peridica que assume valores no intervalo ]1,0[ e de perodo 20 =T , pois )()( 0 xfTxf =+ para todo x . Vale ainda 00sen)0( ==f e
12/sen)2/( == f . A incluso de uma constante k , na forma ( )xkxf sen)( = define uma funo de perodo T arbitrrio, dependente do valor de k . De fato, para satisfazer a igualdade )()( xfTxf =+ , ou seja, ( ) ( )xkTxk sen)(sen =+ , deve valer: ( ) ( )xkTkxk sensen =+ , ou seja, 2=Tk e portanto
kT /2= . Funo co-seno: xxf cos)( = . Possui propriedades anlogas s da funo seno. Vale 10cos)0( ==f e
( ) 02/cos)2/( == f . Vale lembrar ainda que ( ) abbaba cossencossensen +=+ e bababa sensencoscos)(cos =+ . Ainda: 1cossen 22 =+ xx para todo x .
2 DERIVADAS DE FUNES:
Consideremos a tarefa de calcular a inclinao de uma reta dada (veja a figura (2a)). Assumindo que as escalas nos
eixos vertical e horizontal so as mesmas, a inclinao da reta simplesmente a tangente do ngulo que a reta faz
com o eixo horizontal x . Essa inclinao pode ser ento medida com um transferidor ou simplesmente calculada atravs da construo de um tringulo retngulo cuja hipotenusa coincide com a reta. Assim, se m a inclinao da reta, obtemos:
xym
== tan Por exemplo, se um veculo viaja com velocidade constante V numa estrada reta, ento sua posio ao
longo da estrada crescer linearmente no tempo t , isto , tVxtx += 0)( . O grfico de )(tx versus t ser uma reta e a inclinao dessa reta ser a velocidade V do veculo, ou seja:
VttttV
tttVxtVx
tttxtx
txm =
=++=
==
12
12
12
1020
12
12 )()()()(
sendo 1t e 2t tempos arbitrrios. Consideremos agora a tarefa de calcular a inclinao m de uma curva, dada por uma funo )(xf
contnua (veja a figura (2b)). fcil notar que essa inclinao, de fato a inclinao da reta tangente curva, muda em cada ponto. Assim, mais correto falarmos da inclinao )(xm da curva no ponto x . Podemos simplesmente
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desenhar uma corda que conecta o ponto ))(,( xfx a um ponto mais adiante ))(,( xxfxx ++ sobre a curva. A inclinao dessa corda :
xxfxxf
xxxxfxxfmcorda
+=++= )()()()(
FIGURA 2: inclinao (derivada) de uma reta e de uma curva.
Se imaginarmos agora que o ponto ))(,( xxfxx ++ se aproxima do ponto ))(,( xfx , podemos ver que a corda se aproxima da reta tangente curva no ponto ))(,( xfx . Ou seja:
xxfxxfxm x
+= )()(lim)( 0 (1) Por exemplo, se 2)( xxf = , ento 222 )(2)()( xxxxxxxxf ++=+=+ e assim:
xxxx
xxxx
xxxxxxm xxx 22lim)2(lim)(2lim)( 00
222
0 =+=+=
++= A nova funo )(xm , obtida da funo )(xf , chamada de derivada da funo )(xf . Essa nova funo
representada comumente de duas formas, dependendo da convenincia. Podemos representar a funo derivada por )(' xf ou ainda:
dxdf
(2)
Nessa ltima expresso os smbolos diferenciais df e dx representam novas variveis, que, por definio, esto relacionadas por: dxxfdf )('= (veja a figura (2b)).
Na tabela que se segue exibimos algumas funes de uso freqente e suas derivadas. Considere que k uma constante:
Funo )(xf Derivada )(' xf
nx 1nxn )(sen xk )(cos xkk )(cos xk )(sen xkk
xke xkek xln x/1
Podemos definir tambm derivadas de ordem superior, como a derivada segunda de )(xf no ponto x , representada por '))('()('' xfxf = , ou ainda
2
2
dxfd
dxdf
dxd =
Definimos tambm a derivada terceira )(''' xf (ou )()3( xf ) e etc.
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Caso no tomemos o limite 0x , mas consideremos simplesmente x pequeno, obtemos uma expresso que aproxima a funo f em um ponto xx + em termos dessa mesma funo em um outro ponto x , ou seja:
xxfxfxxf ++ )(')()( )0( x A figura (2b) ilustra essa aproximao. Note que a expresso acima aproxima o verdadeiro salto em )(xf ,
)()( xfxxff += , pelo valor de df , que de fato o salto ao longo da reta tangente. Quanto menor o valor de x , mais df se aproxima de f .
Por exemplo, se 2)( xxf = , ento 9)3( =f e 61,9)1,3( =f exatamente. Caso no soubssemos, poderamos estimar o valor de )1,3(f pela expresso acima, resultando em:
6,96,09)1,0(29)1,0()(')3()1,03()1,3(33
=+=+=++= == xx xxffff A notao
axxf =)( usada acima denota a funo )(xf avaliada em .ax =
Se quisssemos uma maior preciso nos clculos, poderamos fazer uso do Teorema de Taylor, que define a srie de Taylor como uma expresso exata para uma funo (infinitamente diferencivel) f em um ponto xx + em termos dessa mesma funo e de suas derivadas, em um outro ponto x :
( ) ( ) ...!3
)('''!2
)('')(')()( 32 ++++=+ xxfxxfxxfxfxxf sendo 1)...2)(1(! = nnnn a funo fatorial ( 1!1!0 == ). Esse teorema se aplica a um grande conjunto de funes, como polinmios, xsen , xe , etc. Assim, voltando ao nosso exemplo, como xxf 2)('' = , 2)(''' =xf e 0)()2( => xf n , obtemos:
( ) 61,901,06,0921,0)('')1,0()(')3()1,03()1,3(
2
33=++=++=+= == xx xfxffff
que o valor exato de 2)1,3( . Caso nos deparemos com uma funo cujas derivadas so todas no nulas,
poderemos obter valores aproximados simplesmente truncando a sria em algum ponto. A posio em que
truncamos a srie arbitrria, dependendo da preciso almejada.
Exerccio: Use a srie de Taylor para estimar o valor de 3 3,27 com 5 casas decimais. Confira seu
resultado usando uma calculadora (note que 3273 = ).
Uma outra forma de aproximar funes por sries a que faz uso da Frmula Binomial de Newton. Todos sabemos desenvolver as sries 222 2)( bbaaba ++=+ e 32233 33)( bbabaaba +++=+ . Qual ser a expanso de 15)( ba + ? Isaac Newton respondeu essa pergunta, mais ainda, ele respondeu todas as perguntas, ou seja:
...!3
)2)(1(!2
)1()( 33221 ++++=+ baNNNbaNNbaNaba NNNNN (3) para N inteiro positivo. Podemos compactar essa expresso na forma:
=
=+
N
n
nnNN banNn
Nba0 )!(!
!)(
Um caso particular dessa expresso , para 1=a : = =+N
n
nN bnNn
Nb0 )!(!
!)1(
Consideremos ento a funo 15)1()( xxf += . Quanto vale 15)01,1( ? A calculadora nos fornece imediatamente ...16096.1)01,1( 15 = Como exerccio, vamos esquecer esse resultado por enquanto e vamos estimar o valor de
15)01,1( usando a srie binomial de Newton. Note que para 0x , vale:
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...6
1314152
1415151)1( 3215 +++++ xxxx Ento: ( ) 000455,00105,015,01)01,0(455)01,0(10501,0151)01,01()01,1( 321515 +++=++++= Finalmente:
160955.1)01,1( 15 No caso da funo )1()( xxf += com no sendo um inteiro positivo, a expanso binomial se transforma numa srie infinita, dada pela equao (3).
Voltando s derivadas, se )(xff = e )(txx = , ou seja, se f uma funo implcita de t , usamos a regra da cadeia para calcular dtdf / :
dtdx
dxdf
dtdf = (4)
Por exemplo, se )(sen)( kf = com k uma constante, ento, seja ku = . Nesse caso )(uff = e )(uu = , e portanto:
)cos()(cossen kkkukddu
dud
ddu
dudf
ddf ====
Um outro exemplo: considere uma caixa dgua que tem a forma de um paraleleppedo de base retangular
de lados a e b e altura L . Uma torneira est enchendo essa caixa com uma vaso de litros por segundo. Partindo da caixa vazia em 0=t , quanto tempo leva para a caixa encher? Seja )(th a altura do nvel da gua no tempo t ( 0)0( =h ). Ento, o volume de gua contido na caixa no tempo t )()( thbatV = (em 3m ). Se no h vazamentos de gua, a taxa de variao no tempo desse volume deve ser exatamente (em sm /3 ), ou seja:
===dtdhba
dtdh
dhdV
dtdV
ento abdt
dh = (em sm / ). Essa ltima equao (diferencial) fcil de ser resolvida, obtemos:
tab
tab
hth =+= )0()( e portanto, o instante em que a caixa encher ser aquele *t para o qual Lth =)( * , ou seja
abLt =* (em segundos).
Exerccio: use a regra da cadeia para calcular a derivada de )()( xgexf = em relao x , sendo )(xg uma funo diferencivel.
O fato de que a derivada de )(xf calculada em 0x a inclinao da reta tangente curva de )(xf
versus x no ponto 0x sugere muitas aplicaes prticas desse conceito. Por exemplo, se 0x estiver perdido no meio do domnio de f e se nesse ponto a funo contnua f apresenta um mximo ou um mnimo, ento, vale
0)(' 0 == xxf . Consideremos o seguinte exemplo: Um fabricante de latas de alumnio para refrigerantes deseja fazer uma lata cilndrica que contenha um dado volume ( 3cm ). Supondo que essa lata dever ter base circular de raio R e altura H , determinemos as dimenses ideais da lata para que o gasto de material seja mnimo. Primeiramente podemos identificar uma relao entre R e H dada por HR 2 = , sendo que ser considerado uma constante nesse problema. O gasto G de material, considerando que a folha de alumnio tem uma espessura dada, pode ser medido pela rea da lata, duas tampas na forma de disco e um retngulo lateral, ou
seja: )(222),( 22 RHRHRRHRG +=+=
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primeira vista pode parecer que G uma funo de duas variveis, mas de fato existe um vnculo que relaciona R e H . Assim, podemos eliminar, por exemplo, a varivel H usando 2/ RH = e assim:
)(2)( 2R
RRG +=
Note que se quisermos economizar muito na rea da base da lata, fazendo 0R , ento G . Se, por outro lado, economizarmos na altura da lata, fazendo 0H , ento 2/ RH = implica que R e novamente
G . Deve haver um valor intermedirio de R , entre 0 e , para o qual o gasto mnimo. De fato, na figura (3) que mostra o grfico de )(RG versus R , podemos identificar um ponto de mnimo *R .
FIGURA 3: grfico do gasto de material em uma lata de volume fixo em funo do raio da base.
Para achar o valor desse *R timo basta resolver a equao:
0*
=RdR
dG ou seja, 3*2*
*
202
== RR
R
Usando a relao entre H e R obtemos a altura compatvel com esse raio, ou seja: *
3* 2
22 RH ==
Conclumos ento, que a lata mais econmica aquela que tem seo transversal vertical quadrada, de lado ** 2RH = . Ser que no mundo real se obedece a essa proporo? Para testar, medimos uma lata comum de
refrigerante, de 350 ml . Obtivemos cmRREAL 25,3 e cmHREAL 4,12 , correspondendo a um volume da lata 3411 cmREAL . Para esse volume real, as dimenses ideais econmicas seriam:
cmR 4* e cmH 8* Concluso: as dimenses da lata real esto bem distantes das dimenses ideais. O gasto de material com a lata real 23,319)( cmRG REAL , enquanto que o gasto ideal seria 2* 03,306)( cmRG . H portanto uma gasto em excesso de aproximadamente 23,13 cm de material, cerca de %3,4 a mais do que o ideal. Uma hiptese para
essa aparente insensatez, que talvez as crianas no conseguissem segurar em uma mo uma lata que tivesse cm8 de dimetro. Da elas beberiam menos refrigerantes e o que pareceria barato para o fabricante acabaria
saindo caro. Para uma funo de uma varivel apenas, )(xf , podemos interpretar a derivada da seguinte forma: se partirmos de um ponto 0x e nos deslocarmos um pouco para frente no eixo x, para dxx +0 )0( dx , a funo f d um salto do valor )( 0xf para o valor dxxfxfdxxf )(')()( 000 +=+ . Ou seja, o tamanho do salto na funo f dxxfdf )(' 0= . Consideremos agora uma funo de duas variveis ),( yxf . O grfico dessa funo uma
superfcie. Se partirmos de um ponto ),( 00 yx e andarmos um pouco para frente, qual ser o salto na funo ),( yxf ? A resposta a essa pergunta depende da direo em que andarmos. Agora podemos nos deslocar sobre
um plano, o plano xy , e existem infinitas direes que podem ser tomadas, partindo de um ponto. Consideremos
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ento que vamos andar ao longo do eixo x , mantendo y constante ( 0y= ). Nesse caso, sairemos do ponto ),( 00 yx e vamos para o novo ponto ),( 00 ydxx + . O salto em f ser:
dxxfdf
yx 00 ,=
Consideremos agora que vamos andar ao longo do eixo y , mantendo x constante ( 0x= ). Nesse caso, sairemos do ponto ),( 00 yx e vamos para o novo ponto ),( 00 dyyx + . Nesse caso, o salto em f ser:
dyyfdf
yx 00 ,=
As funes xfyxf x =),( e
dyfyxf y=),( so as derivadas parciais da funo f . No caso de nos
deslocarmos simultaneamente em x e em y , do ponto ),( 00 yx para o ponto ),( 00 dyydxx ++ , o salto em f ser:
dyyfdx
xfdf
yxyx 0000 ,,+
= (5)
Por exemplo, considere um balo de borracha de forma cilndrica, com base circular de raio R e altura H . Suponha que estejamos enchendo esse balo de tal forma que seu raio esteja aumentando na taxa constante R ( )/ sm e que sua altura esteja aumentando na taxa constante H ( sm / ). Qual a taxa de variao no tempo do volume V do balo? A relao entre as variveis do problema HRHRV 2),( = . Note que nesse caso, diferentemente do caso da lata que abordamos anteriormente, R e H so duas variveis independentes. A taxa que estamos procurando :
dtdH
HV
dtdR
RV
dtdVdH
HVdR
RVdV
+=
+=
com: RdtdR = e Hdt
dH = . Vale tambm, RHRV 2=
e 2RHV =
. Assim:
HR tRtHtRdtdV )()()(2 2+= (em )/3 sm
Nessa expresso acima, deixamos por substituir as funes: tRtR R+= )0()( e tHtH H+= )0()( . Podemos usar essa mesma idia acima para deduzir uma expresso para a derivada da razo entre duas
funes )(/)( xgxf . Seja gfgfU /),( = , ento:
22 )]([)(')()(')()(')('1
)()(
xgxgxfxfxgxg
gfxf
gdxdg
gU
dxdf
fU
dxdU
xgxf
dxd ==
+==
Exerccio: Determine 3 nmeros reais positivos cuja soma seja um nmero fixo M e cujo produto P seja mximo. Dica: Defina a funo zyxzyxP =),,( , elimine nessa funo uma das variveis, digamos
yxMz = e ache os valores de x e y para os quais 0/ = xP e 0/ = yP .
3 - VETORES:
Na fsica encontramos grandezas que ficam bem definidas atravs da simples atribuio de seu valor numrico, as
chamadas grandezas escalares. Um exemplo a temperatura. Por outro lado, existem grandezas que guardam
mais informaes que uma simples magnitude. Um exemplo a velocidade instantnea de um veculo. A
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velocidade uma grandeza vetorial, ou seja, uma grandeza que, para estar completamente definida, deve ter especificadas sua magnitude (digamos hKm /100 ), sua direo (digamos, ao longo do eixo norte-sul) e seu
sentido (do norte para o sul, por exemplo). Outros exemplos de grandezas vetoriais so a fora, a acelerao e o
torque. Podemos representar os vetores atravs de setas, com um tamanho (a magnitude da grandeza fsica), uma
direo e um sentido bem definidos. Um vetor denotado comumente por Ar
e a magnitude, ou mdulo, do vetor
por AA =r . Podemos definir trs operaes bsicas entre dois vetores A
r e B
r. Para definir o vetor soma BAS
rrr += , desenhamos A
r e B
r com suas extremidades iniciais no mesmo ponto. Completamos a figura de um paralelograma.
O vetor Sr
ento o que est ao longo da diagonal do paralelograma, partindo da origem comum de Ar
e Br
. Uma
outra maneira de definir BASrrr += desenhar o vetor Ar , desenhar o vetor Br com sua extremidade inicial na
ponta do vetor Ar
, ento, Sr
o vetor que sai do incio de Ar
e tem a ponta na ponta de Br
(veja a figura (4)). Ao
fazer essas operaes, s devemos tomar o cuidado de deslocar (transladar) os vetores mantendo suas
propriedades bsicas intactas, quais sejam: mdulo, direo e sentido. Se Br
um vetor, ento Br um outro
vetor de mesmo mdulo, mesma direo mas sentido contrrio ao de Br
( 0)(rrr =+ BB ).
FIGURA 4: definio geomtrica da soma de dois vetores.
Podemos definir duas operaes de produto entre vetores. O produto escalar entre dois vetores Ar
e Br
,
denotado por BArr , d como resultado um escalar:
cosBABA rrrr = (6) em que o menor ngulo entre os vetores Ar e Br (desenhados com suas extremidades iniciais no mesmo ponto). Na figura (5a), fcil ver que a projeo de A
r sobre B
r, que denotaremos por BA cosAAB
r= e da mesma forma, a projeo de B
r sobre A
r cosBBA
r= . Portanto, podemos escrever o produto escalar como: AB BABABA ==
rr
Se dois vetores Ar
e Br
so ortogonais entre si ( 2/ = ), ou seja, se um vetor no tem projeo (sombra) sobre o outro, ento 0= BA rr . Por exemplo, na fsica, o trabalho de uma fora Fr constante, que atua em um objeto ao longo de um deslocamento d
r dado por:
FdF dFdFdFW ===rr
Portanto, se essa fora no tem componente ao longo do deslocamento, 0=FW .
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FIGURA 5: produto escalar e produto vetorial entre dois vetores. Regra da mo direita.
O produto vetorial entre dois vetores Ar
e Br
, denotado por BArr , d como resultado um terceiro vetor
BAVrrr = . Esse vetor definido pelas seguintes propriedades:
- O mdulo de BAVrrr = senBABAV == rrr , sendo o menor ngulo entre os vetores Ar e
Br
(desenhados com suas extremidades iniciais no mesmo ponto).
- A direo de BAVrrr = ortogonal ao plano definido pelos vetores Ar e Br .
- O sentido de BAVrrr = definido pela regra da mo direita: passando os dedos da mo direita no
sentido que vai de Ar
para Br
, atravs do menor ngulo ( ), o dedo polegar apontar no sentido de BAVrrr = (veja a figura (5b)).
fcil ver que ABBArrrr = e que 0rrr = BA se Ar e Br possuem a mesma direo ( 0= ou = ). Na
fsica, o torque de uma fora Fr
que atua num ponto de posio rr em relao a um ponto de referncia : FrF = rr
Assim, se rr e Fr
forem colineares, no haver torque. Podemos definir funes vetoriais, como )(xA
r ou ),( txB
r. As derivadas dessas funes obedecem a
regras bastante simples, quais sejam:
dxBdAB
dxAdxBxA
dxd
rrrrrr += )()( e dxBdAB
dxAdxBxA
dxd
rrrrrr += )()( Na prxima seo abordaremos a representao algbrica (no geomtrica) de vetores, atravs de suas
componentes em sistemas de coordenadas. Um conceito que nos ser til o de vetor unitrio, que denotaremos
por A , ao invs de Ar
, e que simplesmente um vetor de mdulo 1. Esses vetores so ento teis para
representar direes e sentidos bem definidos no espao.
4 SISTEMAS DE COORDENADAS:
Um sistema de coordenadas uma maneira de nos referirmos aos pontos do espao em termos algbricos. Um
ponto no espao um objeto geomtrico e existem infinitas maneiras de nos referirmos a ele. Em geral um sistema
de coordenadas definido atravs de uma estrutura de eixos de referncia, em relao aos quais as coordenadas
so medidas. No espao real, tridimensional, precisamos sempre de trs coordenadas para nos referirmos a um
nico ponto.
4.A COORDENADAS CARTESIANAS
No sistema de coordenadas cartesianas, cada ponto do espao associado a trs nmeros reais que representam as projees desse ponto em trs eixos ortogonais entre si, os eixos x , y e z (veja a figura (6a)). As projees de
-
12
um vetor so de fato segmentos orientados, ou seja, que possuem um sinal. As projees que ficam de cabea
para baixo, ou seja, ao longo das pores negativas dos eixos, so negativas. Ento, no sistema cartesiano os pontos do espao so representados por ),,( zyx com x , y e z nmeros que variam de a + .
FIGURA 6: sistemas de coordenadas cartesianas, cilndricas e esfricas.
Um vetor desenhado no espao, na presena de um referencial cartesiano, pode ser decomposto em trs componentes xA , yA e zA , que so as projees (positivas ou negativas) do vetor ao longo de cada um dos eixos
coordenados. Podemos ento representar o vetor Ar
algebricamente por zyx AAAA ,,(=r
). Uma maneira mais
prtica de representar os vetores atravs dos vetores unitrios x , y e z . O vetor x , por exemplo, aponta na direo e no sentido do crescimento da coordenada x . Dessa forma, como j sabemos somar vetores, fcil constatar que:
zAyAxAA zyx ++=r
As operaes com vetores que definimos anteriormente ficam bastante fceis de serem realizadas usando as componentes cartesianas. Primeiramente notamos que 1 = xx , 1 = yy , 1 = zz e que 0 = yx ,
0 = zx , 0 = yz , e ainda 0 r= xx , 0 r= yy , 0 r= zz e mais ainda zyx = , yzx = , xyz = . Usando ento a propriedade distributiva da soma e do produto, obtemos:
222zyx AAAAAA ++==
rrr
zBAyBAxBABA zzyyxx )()()( +++++=+rr
zzyyxx BABABABA ++=rr
zBABAyBABAxBABABA xyyxzxxzyzzy )()()( ++=rr
Consideremos a tarefa de calcular a distncia d entre dois pontos, que para simplificar, suporemos contidos no plano xy . Sejam ),( 11 yx e ),( 22 yx esses dois pontos. Construmos os dois vetores yyxxA 11 +=
r
e yyxxB 22 +=r
. Na figura (7), fcil ver que a distncia procurada o mdulo do vetor BADrrr = , assim:
221
2212121 )()()()( yyxxyyyxxxBADd +=+===
rrr
-
13
FIGURA 7: distncia entre dois pontos, vista como o mdulo de um vetor diferena.
Exerccio: Sejam zyxA 263 +=r e zyxB 93 +=r . a) Determine: BA rr + , BA rr , BA rr e
BArr . b) Calcule o menor ngulo entre Ar e Br . Faa desenhos desses vetores.
4.B COORDENADAS CILNDRICAS
No sistema de coordenadas cilndricas, os pontos do espao so indexados por trs nmeros reais, a distncia em
relao a um eixo ( z ), que chamamos de r , uma projeo ao longo desse eixo, a mesma coordenada z definida anteriormente, e um ngulo entre a projeo do raio r no plano xy e o eixo x , chamado de (veja a figura (6b)). Ento, no sistema cilndrico os pontos do espao so representados por ),,( zr com r variando de 0 a + , z de a + , e de 0 a 2 . Analogamente ao que fizemos para o sistema de coordenadas cartesianas, podemos aqui definir trs
vetores unitrios: r que aponta na direo e no sentido do crescimento do raio r , z (o mesmo das coordenadas cartesianas) e que aponta na direo e no sentido do crescimento do ngulo . Assim, qualquer vetor pode ser escrito em termos das suas componentes cilndricas:
AzArAA zr ++=r
Note que, diferentemente dos vetores unitrios x , y e z , os vetores r e no so constantes, ou seja, dependendo do ponto do espao, esses vetores podem ter direes e sentidos bem diversos. fcil notar que
)( rr = (ou seja, r funo do ngulo ) e que tambm )( = . Podemos notar tambm que a direo de a direo tangente s circunferncias paralelas ao plano xy e centradas no eixo z . O sentido de dado pela regra da mo direita: apontando o dedo polegar na direo e sentido do eixo z , os outros dedos apontam no sentido de .
Como exemplo, suponha que uma pedra fixa num barbante, de comprimento R , esteja sendo girada no plano constante do barbante com velocidade angular constante . Determinemos o vetor velocidade linear Vr dessa pedra. Adotando um sistema cilndrico com origem no centro da rbita da pedra e eixo z ortogonal ao seu plano de giro, o vetor posio da pedra ser ento )()( trRtr =r . Note que r depende do tempo t . Ento, sabendo que de fato ))(( trr = e que =dtd / (estamos admitindo que est aumentando com o tempo, ou seja, estamos fazendo uma hiptese sobre o sentido de giro da pedra), obtemos:
drdR
dtd
drdRtrR
dtd
dtrdV
))(( ====
rr
Para terminarmos o problema, falta encontrar ento a derivada drd / . Para isso precisamos conhecer a relao entre r e , ou seja, precisamos conhecer a funo )( rr = . No entraremos nesse nvel de detalhe aqui. Mas podemos terminar nosso exemplo reconhecendo o fato de que a velocidade linear da pedra dever ser tangente
-
14
rbita da pedra, ou seja, tangente a um crculo centrado no eixo z . Essa direo simplesmente . Assim, mesmo sem provar, podemos afirmar que:
=
drd
Portanto, a velocidade linear da pedra RV =r .
Exerccio: Escreva o vetor rr em coordenadas cartesianas.
4.C COORDENADAS ESFRICAS
No sistema de coordenadas esfricas, os pontos do espao so indexados por trs nmeros reais, a distncia em
relao a uma origem, que chamamos de r (note que esse r tem um significado bem diferente do r das coordenadas cilndricas) , um ngulo entre esse raio r e um eixo vertical ( z ) , chamado de e um ngulo entre a projeo do raio r no plano xy e o eixo x , chamado de (veja a figura (6c)). Assim, no sistema esfrico os pontos do espao so representados por ),,( r com r variando de 0 a + , de 0 a , e de 0 a 2 (note que no necessrio que varie de 0 at 2 ). Analogamente ao que fizemos para os outros sistemas de coordenadas, podemos aqui definir trs vetores unitrios: r que aponta na direo e no sentido do crescimento do raio r , que aponta na direo e no sentido do crescimento do ngulo e que aponta na direo e no sentido do crescimento do ngulo . Qualquer vetor pode ser escrito em termos das suas componentes esfricas:
AArAA r ++=r
Note que, aqui tambm, diferentemente dos vetores unitrios x , y e z , os vetores r , e no so constantes, ou seja, dependendo do ponto do espao, esses vetores podem ter direes e sentidos bem diversos. fcil notar que ),( rr = (ou seja, r funo dos ngulos e ) e que tambm ),( = e ),( = . Suponhamos que um satlite de massa m esteja girando em torno da terra, sob ao da gravidade. Podemos mostrar que a rbita desse satlite est contida em um plano. Para isso, s precisamos saber que a fora
gravitacional central, ou seja, est sempre direcionada na linha que passa pelo satlite e pelo centro da terra.
Consideremos um referencial esfrico fixo com origem no centro da terra. Se Fr
a fora gravitacional que atua no satlite, ento rFF r =
r ( F
r central). Pela 2a Lei de Newton, a acelerao ar do satlite tambm radial, ou
seja, raa r =r . Assim, seja Lr
o momento angular do satlite, em relao origem, VmrLrrr = , sendo rr a
posio e dtrdV /rr = a velocidade do satlite. Ento:
armVVmdtVdrmV
dtrdmVmr
dtd
dtLd rrrr
rrrrrr
r+=+== )(
Mas, sabemos que 0rrr =VV e que, pelo mesmo motivo, 0 rrrr === rrararar rr . Concluso: o satlite se
move com momento angular mantido constante, ou seja CtVtrrrr = )()( , Cr no dependendo do tempo. Como Cr
ortogonal a rr e a Vr
, ento, reciprocamente, rr e Vr
so ortogonais a um vetor constante. Da, rr e Vr
se
mantm no plano ortogonal ao vetor Cr
, ou seja, a rbita est confinada a um plano.
Exerccio: Escreva o vetor rr em coordenadas cartesianas.
-
15
5 INTEGRAIS INDEFINIDAS E DEFINIDAS:
Consideremos agora a tarefa de, dada uma funo (derivada) )(xf , encontrar uma funo (primitiva) )(xF tal que
)()(' xfxF = . A essa operao, inversa da derivao, damos o nome de integrao (indefinida). A notao para essa operao :
Se )()(' xfxF = ento = dxxfxF )()( Dizemos que F a primitiva de f . Por exemplo, a primitiva de )(sen)( xkxf = , com k uma constante,
CkxkxF += /)(cos)( , em que C uma constante arbitrria. Essa constante C sempre aparece na integrao indefinida pois a derivada de uma constante nula. Da mesma forma, a primitiva de xxf /1)( =
CxxF += ln)( . Nem toda funo possui primitiva. Por exemplo, a integral dxxI = )(exp 2
no existe pois no h nenhuma funo )(xF que, se derivada, resulta em )(exp)( 2xxf = . Quando discutimos as funes exponencial e logaritmo vimos que uma a inversa da outra, ou seja, ( )xx lnexp= e ( )xex ln= . Dessa forma, o que a operao exp faz, a operao ln desfaz e vice-versa. Poderamos representar, simbolicamente, esse faz-desfaz da seguinte forma: 1lnexp = e 1expln = . Com isso queremos dizer que, simbolicamente: xxx == 1)(lnexp e xxe x == 1)(ln . Da mesma forma, as operaes de integrao e derivao so uma a inversa da outra. De fato, se )()(' xfxF = , ento:
=== )()(')( xFdFdxxFdxxf Assim, na notao que introduzimos anteriormente, poderamos dizer que, simbolicamente:
= 1d e tambm = 1d O objetivo principal da integral indefinida a soluo de equaes diferenciais, ou seja, encontrar a soluo
para uma equao que envolve funes e derivadas de funes. As equaes diferenciais aparecem em profuso
na fsica, na qumica, na biologia terica e nas engenharias mais fundamentais. Pensando nas derivadas como
taxas de variao, as equaes diferenciais relacionam ento funes com suas taxas de variao, com as taxas de
variao de suas taxas de variao (derivadas segundas) e etc.
Exerccio: Considere uma partcula submetida a uma fora constante xFF =r . Segundo Newton, a taxa de variao da taxa de variao no tempo da posio dessa partcula proporcional a F
r, ou seja:
mFr
dtd
rr =2
2
, sendo m a massa da partcula. Encontre a trajetria )(trr dessa partcula. Faa desenhos
dessas trajetrias para vrias condies iniciais diferentes.
Aqui estaremos mais interessados no conceito de integral definida. Seja )(xf uma funo contnua e
positiva, ento, o Teorema Fundamental do Clculo afirma que a rea A delimitada superiormente pela curva de )(xf , inferiormente pelo prprio eixo x , e nas laterais pelas retas ax = e abx >= dada por (veja a figura
(8)):
=== ba
b
aaFbFxFdxxfA )()()()(
sendo a funo F a primitiva de f .
-
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FIGURA 8: elemento infinitesimal de rea, que integrado, resulta na rea abaixo da curva.
Aqui comeamos a visualizar a integral como uma soma. Pensamos na construo de pequenas fatias, retngulos de alturas variveis )(xf e de larguras dx , que definem reas infinitesimais dxxfdA )(= , que somadas, fornecem a rea definida anteriormente. Assim:
=REGIO
dAA
em que a notao REGIO denota a idia de que a integral definida, ou seja, a soma realizada apenas dentro de
uma regio especfica.
Consideremos a tarefa, bastante simples, de calcular a rea de um retngulo de lados a e b usando a idia exposta acima. Comeamos adotando um referencial, posicionando um dos vrtices do retngulo na origem de um sistema cartesiano xy (veja a figura (9)). Um segundo passo definir o elemento infinitesimal de rea dA .
Essa escolha ditada basicamente pela forma das bordas da regio em que a integral, ou seja, a soma, ser
realizada. Nesse caso as bordas so claramente retas, o que sugere a escolha de elementos de rea tambm retos, ou seja, retangulares. H ento trs opes. Na primeira definimos dxadA = e ento:
babaxadxadxadAAbx
x
bb
REGIO
====== ==
)0(0
00
Uma segunda opo escolher dybdA = e ento: baabybdybdybdAA
ay
y
aa
REGIO
====== =
=)0(
00
0
A ltima opo escolher dydxdA = e obtemos ento uma integral dupla:
==
=
=======
bx
x
ay
y
aab
b
REGIO
baabyxdydxdydxdAA0 0 0
000
)0)(0(
FIGURA 9: diferentes elementos infinitesimais de rea para uma regio de contornos retos.
Suponha que uma chapa retangular de lados a e b e de espessura desprezvel possua densidade de massa (por unidade de rea) (kg/m2) no homognea, ou seja, ),( yx = . Vamos determinar a massa M
-
17
dessa chapa usando a idia da integral como uma soma. Para podermos realizar os clculos at o fim, abordaremos aqui dois casos particulares. Suponhamos inicialmente um caso mais simples, em que s depende de x , ou seja, )(x = . Nesse caso, podemos definir lminas verticais, como fizemos anteriormente. A massa de uma lmina qualquer, localizada na coordenada x , ser dada por dxaxdAxdm )()( == , e assim:
=REGIO
dmM
A regio nesse caso a delimitada pelas bordas da chapa, ou seja, bx
-
18
raio r ter massa drrrdArdm 2)()( == . Portanto, se ( )rrkr exp)( = (kg/m2), por exemplo, com e k constantes:
( )1222)(0 0
===== =
=
Rk
DISCO DISCO
Rr
r
Rrkrk e
kkedredArdmM (kg)
Continuando nossos exemplos que ilustram a integral como uma soma, vamos considerar agora o clculo
do volume V de um paraleleppedo reto de lados a , b e c . Comeamos adotando um referencial, posicionando um dos vrtices do paraleleppedo na origem de um sistema cartesiano xyz (veja a figura (11)). Um segundo passo definir o elemento infinitesimal de volume dV . Discutiremos trs escolhas possveis. Podemos escolher SdV que sejam fatias retangulares paralelas ao plano xy , de espessura dz , e ento, de volume dzbadV = ( 3m ). Assim:
( ) =
=======
cz
z
cc
REGIO
cbacbazbadzbadzbadVV0 0
00
Podemos tambm escolher SdV que sejam fatias retangulares paralelas ao plano xz , de espessura dy , e ento, de volume dycbdV = ( 3m ). Ou ainda SdV que sejam fatias retangulares paralelas ao plano yz , de espessura dx , e de volume dxcadV = ( 3m ). Em qualquer caso fcil mostrar que obteremos o mesmo resultado acima.
FIGURA 11: diferentes elementos infinitesimais de volume para uma regio de contornos planos.
Consideremos a tarefa de calcular a massa M de um paraleleppedo reto de lados a , b e c cuja densidade de massa seja no uniforme. Consideremos apenas o caso em que xx == )( (kg/m3) com uma constante. Nesse caso, no temos escolha, as fatias de volume devem ser superfcies =x constante (paralelas ao plano yz ), e de massa dxcaxdVxdm )()( == . Portanto:
==
=====REGIO REGIO
bx
x
bcabxcadxxcadVxdmM
0
2
0
2
22)( (kg)
Podemos agora abordar o clculo de volumes e massas de objetos que no possuem contornos retos,
como era o caso do paraleleppedo. Como exemplo, vamos usar o clculo integral para mostrar que o volume de uma esfera de raio R 3)3/4( RV = . Poderamos obter esse resultado utilizando elementos infinitesimais de volume de formas retangulares, mas o nvel de dificuldade na lgebra seria muito maior do que se partirmos desde
j para elementos de volume curvos. Podemos fazer isso usando os dois sistemas de coordenadas curvas que j
estudamos:
a) Coordenadas cilndricas:
Considere a figura (12a), em que mostramos apenas metade da esfera, dividida em fatias na forma de discos de raios variveis r e de espessuras dz . O volume de uma fatia arbitrria dzrdV 2= . Podemos notar que as variveis r e z no so independentes, de fato: 222 Rzr =+ , ou seja, 222 zRr = . Assim:
-
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=
====
=
=REGIO
RR
RRz
z
RzzRdzzRdzrdVV 30
3
0
2
0
22
0
2
34
32)(22
Note que o fator 2 foi introduzido acima porque a integral em dz foi realizada apenas para metade de uma esfera.
Exerccio: Mostre que o volume de um cone circular reto, com base de raio R , e com altura H 3/2HRV = . Considere que o cone fatiado em lminas na forma de discos paralelos a sua base.
b) Coordenadas esfricas:
Na figura (12b) mostramos um elemento de volume infinitesimal construdo com as coordenadas esfricas. Trata-se de uma casca esfrica de raio r e espessura dr e, portanto, de volume drrdV 24= (lembre-se que a rea da superfcie esfrica de raio r 24 r ). A simplicidade do clculo abaixo evidencia o fato de que, para um objeto de contorno esfrico, as coordenadas mais apropriadas so as esfricas. De fato:
=
=====
REGIO
Rr
r
R
RdrrdrrdVV0 0
322
3444
Exerccio: Determine a massa de uma esfera de raio R , cuja densidade de massa por unidade de volume dada por rr =)( , sendo uma constante e r o raio (varivel) medido em relao ao centro da esfera.
FIGURA 12: diferentes elementos infinitesimais de volume para uma regio de contorno esfrico.
Quando discutimos a integral de uma funo )(xf , consideramos que estas eram realizadas com os
valores da varivel x percorrendo um intervalo do prprio eixo x , ou seja, a integral era realizada sobre um segmento de linha reto. Poderamos generalizar essa idia e considerar uma integral que fosse realizada em uma
varivel que assumisse valores sobre uma linha curva. Essas integrais so chamadas de integrais de linha. Para
ficar mais clara a idia, consideremos a tarefa de mostrar que o comprimento de uma circunferncia de raio R RC 2= . Podemos demonstrar esse resultado pensando na integral como uma soma de elementos infinitesimais
de comprimento, que no so os dx , pois estes no esto sobre o eixo reto x , e nem dy , pois no esto tambm sobre o eixo reto y . Pelo contrrio, os pedacinhos de comprimento infinitesimais esto definidos sobre a curva da
circunferncia. Vamos cham-los genericamente de ds . Assim:
=CURVA
dsC
Na figura (13a) mostramos a definio de um ds ao longo de uma circunferncia. Os ds so de fato pequenos arcos de circunferncia infinitesimais. Mostramos tambm nessa figura que, quando 0ds , os arcos se tornam
-
20
retas, hipotenusas de tringulos cujos catetos so comprimentos infinitesimais dx e dy . Dessa forma, do teorema
de Pitgoras obtemos 22 )()( dydxds += , e portanto: +=
CURVA
dydxC 22 )()(
FIGURA 13: elemento infinitesimal de deslocamento (comprimento) ao longo de uma circunferncia.
Consideremos ento apenas a metade superior da circunferncia. Essa curva pode ser descrita pela funo 22)( xRxy = com RxR . Portanto, ao longo da curva da circunferncia, como no poderia deixar de
ser, x e y no so variveis independentes entre si, donde conclumos que dx e dy tambm no so. De fato, de )(xy obtemos:
22 xRx
dxdy
=
Concluso, substituindo essa equao na integral que fornece C obtemos:
+=
= =+=
+=
CURVA
Rx
Rx
R
R xRdxRdx
xRxdx
dxdyC
2222
22 21212
Note que o fator 2 foi introduzido acima porque a integral fornece o comprimento apenas da metade superior da circunferncia.
No entraremos em detalhes aqui sobre como realizar essa ltima integral. De fato trata-se de uma integral
bastante comum e que consta nas tabelas de qualquer livro de clculo. Nos limitaremos a utilizar seu resultado, qual
seja:
+= .arcsen22 constRx
xRdx
Portanto, chegamos finalmente a:
( ) ( ){ RRRRxRC
R
R
2)2
(2
2}1arcsen1arcsen2arcsen2 =
===
Essa mesma tarefa de calcular o comprimento de uma circunferncia, se realizada no sistema de
coordenadas polares, torna-se muito mais simples. Consideremos a figura (13b), em que mostramos o comprimento
infinitesimal ds ao longo da circunferncia pensado como um arco infinitesimal subentendido por um ngulo infinitesimal d . Assim, se (e somente se) d for expresso em radianos (ou seja, como um nmero de fato adimensional), vale a relao entre o arco, o ngulo e o raio do crculo: dRds = . Portanto:
=
======
CURVACURVA
RRdRdRdsC
2
0
2
02
-
21
Como nosso ltimo exemplo, de integral de linha, consideremos o seguinte problema, que mescla os
conceitos de vetores e integrais: Um partcula est descrevendo uma rbita circular de raio R , girando no sentido horrio. Existem vrias foras atuando nessa partcula, produzindo como resultado essa rbita, mas vamos nos concentrar apenas em uma. Seja xykF =r (com 0>k uma constante) uma fora atuando nessa partcula, sendo a coordenada y definida com o referencial cartesiano no centro da rbita circular (veja a figura (14a)). Essa fora ento sempre horizontal e possui mdulo que aumenta com o aumento de y . No 1o e no 2o quadrantes a fora
tem o sentido do eixo x , enquanto que no 3o e no 4o quadrantes a fora tem o sentido contrrio ao do eixo x .
FIGURA 14: um campo vetorial de foras definido no plano e um vetor deslocamento ao longo de uma
circunferncia.
Vamos determinar o trabalho FW realizado pela fora F
r em uma volta completa da partcula. J sabemos
que trabalho dFWFrr = , para uma fora constante e para um deslocamento dr . No entanto, no esse o caso
aqui pois a fora Fr
varivel (depende de y ) e ainda o deslocamento se d ao longo de uma curva. Portanto, vamos definir o trabalho infinitesimal FdW realizado em um deslocamento infinitesimal sd
r: sdFdWF
rr = . Essa expresso est correta pois, quando 0sdr , a fora se torna constante (pois sdr se resume a um ponto) e, alm disso, o deslocamento sd mesmo sendo curvo, se torna reto (qualquer curva suave, vista com um microscpio, se
torna uma sucesso de pequenas retas). Assim, o trabalho ser dado pela soma, ou seja, pela integral dos
trabalhos infinitesimais:
==CURVA CURVA
FF sdFdWWrr
Falta ento definirmos os vetores sd r . Esses vetores devem ser tangentes ao deslocamento da partcula. Como esse deslocamento se d ao longo de um crculo no plano xy , e no sentido horrio, ento dssd =r . Alm disso, o deslocamento ds tangente circunferncia, e portanto um pequeno arco (pelo fato de que ds se torna reto, quando 0sd r , poderamos tambm pensa-lo como a hipotenusa de um pequeno tringulo, como fizemos no exemplo anterior do clculo do comprimento da circunferncia), donde conclumos que dRds = (com d ) em radianos. Note que introduzimos um sinal negativo nessa ltima equao porque o ngulo aumenta no sentido anti-horrio, enquanto que o deslocamento s da partcula se d no sentido horrio, assim, quando d positivo, o ds negativo. Portanto, segue que:
dxykRdRFWCURVACURVA
F )()( == r Notamos que a expresso acima mistura coordenadas de dois sistemas diferentes: o sistema cartesiano e o
sistema polar. Para realizar a integral devemos homogeneizar as variveis, todas num mesmo sistema de
coordenadas. Sendo o contorno da rbita circular, esperamos que o sistema polar seja mais conveniente para esse
problema. Assim, de acordo com a figura (14b), notamos que:
-
22
senRy = e ( ) sen2/cos == xx Finalmente, chegamos a:
=
==
2
0
22 sen dkRWF
Essa ltima integral pode ser realizada atravs do uso de uma identidade trigonomtrica:
+== .
4)2(sen
22)2(cos1sen 2 constdd
Portanto, conclumos finalmente que: kRWF
2= Note que o trabalho positivo porque a fora F
r est sempre a favor do sentido de deslocamento da partcula.
Exerccio: Calcule o trabalho dessa mesma fora definida acima, mas sobre uma partcula que descreve uma rbita restrita a um quadrado de lado a , centrado na origem do plano xy , com lados paralelos aos
eixos coordenados. Considere a partcula girando no sentido horrio.
P A R A A F S I C A 3 Prefcio