resumo de estabilidade vertical na atmosfÉrica. 1. equilibrio hidrostÁtico isto é, ou a atmosfera...
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RESUMO DEESTABILIDADE VERTICAL NA
ATMOSFÉRICA
1. EQUILIBRIO HIDROSTÁTICO
pesoPressão de Vertical Gradiente FF
isto é, dzgdp
ou gdz
dp
ou dpgdz
A atmosfera está em movimento o tempo todoMAS, em escalas maiores que a meso-escala,
a atmosfera está praticamente em “equilíbrio hidrostático”:
pode-se definir “geopotencial” () como:
dgdz
por convenção, = 0 em z = 0,
zgdzz
0
define-se “altura geopotencial” (Z), como
0g
zzZ
onde 0g é a aceleração da gravidade em z=0
OBS. Até z 10 Km, Z z (Vide Tabela 3.1 do WH)
NOMEANDO
Algumas aplicações da equação hidrostática:
p
dpTRdpd vd
pdTg
Rd
gZZ
p
p vd ln
1 2
1
2
1
ln
ln00
12
2
1
012 ln
p
pT
g
RZZ v
d,
Equação hipsométrica
onde
1
2
ln
ln
ln
ln2
1
p
p
pdTT
p
p v
v
ou, graficamente:
ln p2
ln p1
ln p
Tv
A
A
Sugestões de exercícios: Deduzir a eq. hipsomérica para uma atmosfera homogênea ( cte), e para
uma atmosfera isotérmica. Deduzir uma expressão da variação de pressão com a altura, para uma
atmosfera homogênea, uma isotérmica, e uma com “lapse-rate” cte
lapse-rate de uma atmosfera com constante (lapse-rate adiabático seco)
dz
dp
pc
R
dz
dT
T p
1
Usando a equação hidrostática, rearranjando, e usando a eq. estado:
pp c
g
p
TR
c
g
dz
dT
Portanto, o lapse-rate de uma atmosfera adiabática seca é:
1-
pd km C
c
g 8.9
Aplicando o logaritmo na equação de Poisson, deferenciando com constante, e dividindo-se por dz:
Suposições (hipóteses):
• O ambiente está em equilíbrio hidrostático
• Em um dado nível as pressões do ambiente e da parcela são iguais
• A parcela não se mistura com o ambiente
• O movimento da parcela não perturba o ambiente
• A parcela não troca calor com o ambiente(processo adiabático)
“LAPSE RATE” ADIABÁTICO SECO e SATURADO DE UMA PARCELA
Parcela não saturada que se move verticalmente, muda de estado adiabaticamente (conserva )
dz
dp
pdz
dT
T
1
onde
pc
R
como a parcela se movendo está em equilíbrio dinâmico com o ambiente,a variação vertical da pressão dp/dz depende
da densidade do ambiente e não da parcela.
''
''
'
RT
pg
RT
gpg
dz
dp
dz
dp
(usando “linha” para o ambiente)
aplicando o logaritmo e diferenciando a equação de Poisson:
Substituindo na equação anterior:
'T
T
c
g
dz
dT
p
ou seja, uma parcela não saturada, subindo, não esfria exatamente na mesma taxa de esfriamento
de uma atmosfera com constante. POREM, T e T’ são muito próximos ( T/T’ 1).
dp
parcela
ddp c
g
dz
dT
Assim:
Parcela saturada que se move verticalmente, em um processo pseudo-adiabático
(conserva e)
pep s
a 1ª. Lei da Termo fica
p
dpTRdTcdrL dpsv
mas p
dp
e
de
r
dr
p
er
s
s
s
sss
onde 622.0v
d
d
v
R
R
M
M
e, da hidrostática, dzTR
g
p
dp
d '
fazendo a aproximação:
Assumindo novamente que T/T’ 1, e substituindo essas duas ultimas equações na equação da 1ª. Lei:
gdzdTcdzTR
g
e
derL p
ds
ssv
Dividindo por dz, usando a expressão equivalente
dz
dT
dT
de
dz
de ss
e colocando em evidencia –dT/dz:
dT
de
p
Lc
TpR
eL
gdz
dT
svp
d
sv
s
1
onde s denota o lapse rate para um processo pseudo-adiabático.
Podemos agora substituir es por rs, lembrando que
ss r
p
e
e
2T
pr
R
L
TR
eL
dT
de s
d
v
d
svs
2
2
1
1
T
r
Rc
L
T
r
R
L
c
g
s
dp
v
s
d
v
ps
Então:
(vide pg. 114 do Tsonis)
OBSERVAÇÕES:
s não é constante, e sim igual a d multiplicado por um fator
que é proporcional à pressão e à temperatura (lembrar que rs=f(p,T)).
A tabela abaixo mostra os valores de s para algumas pressões e temperaturas
P (hPa)T (C)
1000 700 500
- 30 9.2 9.0 8.7
-20 8.6 8.2 7.8
-10 7.7 7.1 6.4
0 6.5 5.8 5.1
10 5.3 4.6 4.0
20 4.3 3.7 3.3
s é sempre menor que d, mas se aproxima deste
quando a pressão aumenta ou a temperatura diminui
Para levar em conta o efeito do vapor d’água na densidade, deve-se usar Tv ao invés de T no calculo do lapse rate.
3. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO VERTICAL DE UMA PARCELA
dz
dpg
''0
como a parcela pode ter aceleração, a 2ª. Lei de Newton fica:
dz
dpg
dz
dpgz
dt
zd '2
2
como o ambiente está em equilíbrio hidrostático, a 2ª. Lei de Newton fica:
Observar que, se > ’ a aceleração é negativa (a parcela é acelerada para baixo),
e vice-versa.
usando a equação de estado para o ambiente e para a parcela:
eliminando dp’/dz entre essas duas equações, resulta em:
'
'
'ggz
'
'
v
vv
T
TTgz
Vamos agora analisar um pequeno deslocamento da parcela, de sua posição original z = 0, onde sua temperatura é Tv0.
Sua temperatura em qualquer ponto z é (expandindo em série de Taylor):
......!3
1
2
1 33
32
2
2
0 zdz
Tdz
dz
Tdz
dz
dTTT vvv
vv
para pequenos deslocamentos, os termos de ordem maior que 1 podem ser desprezados:
zdz
dTTT v
vv 0
(Observar que, se a variação de Tv for linear com a altura,
esta aproximação é exata)
o mesmo raciocínio pode ser feito para a variação da temperatura virtual do ambiente com a altura:
zdz
dTTT v
vv
'' 0
Assumindo as notações :
dz
dTvv lapse-rate da temperatura virtual da parcela
dz
dTvv
'' lapse rate da temperatura virtual do ambiente
as expressões da variação das temperaturas virtuais com a altura acima podem ser escritas como:
zTT
zTT
vvv
vvv
'' 0
0
Substituindo essas expressões na equação do movimento:
zzT
gz vv
vv
''0
Mas
00
0
00
'1
1
'1
11
'
1
v
v
v
v
vvvv T
z
T
T
zTzT
pois 1'
0
v
v
T
z
Então a equação do movimento pode ser escrita como:
2
00
''' z
Tz
T
gz
v
vvvvv
v
ou, desprezando o termo envolvendo z2 comparado com envolvendo z:
0'0
zT
gz vv
v
a) 0' vv
(lapse rate da temperatura virtual da parcela maior que o do ambiente)
02
zz que tem a solução
tBtsen Atz cos
Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a forma
A solução da equação diferencial do movimento vertical de uma parcela acima depende da constante,
e permite três possibilidades:
4. ANÁLISE DA ESTABILIDADE
onde (chamada de “freqüência de Brunt-Väisälä”) é
0'0
vvvT
g
Como assumimos que o nível inicial é z = 0 B = 0 e z(t) = A sen(t), isto é,
a parcela oscila senoidalmente no tempo, em torno de sua posição original, com um período = 2 / .
Este representa o caso “estável”, onde a parcela não abandona seu nível original.
b) 0' vv
Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a forma
02
zz que tem a solução
t-t e Be Atz
(lapse rate da temperatura virtual da parcela menor que o do ambiente)
onde é
0'0
vvvT
g
Como em t = 0, z(0) = 0, A + B = 0. Então A = - B 0 (a possibilidade A = B = 0 é descartada pois leva à solução
trivial z(0) = 0)Como A 0, quando t , o deslocamento da parcela
cresce exponencialmente
Este representa o caso “instável”, onde a parcela sai do seu nível original e nunca
mais retorna a ele.
c) 0' vv
Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a forma
0z
que tem a solução
B t Atz isto é, a parcela se desloca com velocidade constante (A).
Este representa o caso “neutro”, onde a parcela sai do seu nível original e nunca mais
retorna a ele, porém, sem aceleração.
quando t , o deslocamento da parcela cresce linearmente
(lapse rate da temperatura virtual da parcela igual ao do ambiente)
No item anterior, vimos que a estabilidade da atmosfera depende basicamente da relação entre o lapse-rate (virtual) do ambiente e o lapse-rate (virtual) da parcela.
Como a parcela pode estar ou não saturada, vamos determinar as condições de estabilidade
para essas duas situações:
5. CONDIÇÕES DE ESTABILIDADE (ESTÁTICA)para uma parcela NÃO-SATURADA E
SATURADA.
Lapse rate para a parcela :
dz
dTr
Trdz
d
dz
dT
v
vv
v
61.01
61.01
Então:
KmCdv /8.9
a) Parcela Não-Saturada
(pois rv é constante)
Lapse rate para o ambiente:
dz
drT
dz
dTr
Trdz
d
dz
dT
vv
vv
v
''61.0
''61.01
''61.01'
'
dz
drTr v
vv
''61.0''61.01'
OBS.: o segundo termo dessa equação pode não ser desprezível, portanto, na análise da estabilidade de uma parcela, devemos comparar o lapse-rate da temperatura virtual do ambiente com o lapse-rate da parcela.
ou
de uma parcela não-saturada são:
Se v’ < d a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se v’ = d a parcela é estaticamente NEUTRA
Se v’ > d a parcela é estaticamente INSTÁVEL
ASSIM, as condições para de estabilidade estática
Lapse rate para a parcela :
dz
drTr
dz
drT
dz
dTr
Trdz
d
dz
dT
sss
ss
sv
v
61.061.01
61.061.01
61.01
Neste caso o segundo termo é muito menor que o primeiro, e podemos aproximar essa equação para:
sv
b) Parcela Saturada
Lapse rate para o ambiente: o mesmo v’ acima.
Se v’ < s a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se v’ = s a parcela é estaticamente NEUTRA
Se v’ > s a parcela é estaticamente INSTÁVEL
ASSIM, as condições para de estabilidade estática de uma parcela saturada são:
Como d (=9.8C/Km) > s,
os critérios acima podem ser combinados como:
Se v’ < s a parcela é absolutamente ESTÁVEL
Se d > v’ > s a parcela é condicionalmente INSTÁVEL
Se v’ > d a parcela é absolutamente INSTÁVEL
Obs.: O termo “absolutamente” significa que o critério vale tanto para
uma parcela não-saturada como saturada O termo “condicionalmente instável” significa que a parcela é
estável se estiver não saturada e instável se ficar saturada.
COMENTÁRIOS
Para um ambiente não saturado vale a equação de Poisson:
p
dc
R
pT
1000
'''
, ou, melhor,
p
dc
R
vv
pT
1000
'''
, onde '61.01' TrT vv
Critérios utilizando-se as temperaturas potenciais:
• Aplicando o logaritmo e diferenciando:
''
1
'
1
'
'
'
'
''
'
1
'
'
'
'
1'
'
1
vdv
pvv
v
vdp
dv
v
p
dv
v
v
v
T
c
g
TT
gTR
p
cp
R
T
dz
dp
cp
R
dz
dT
Tdz
d
de uma parcela não-saturada
Se dv’/dz > 0 a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se dv’/dz = 0 a parcela é estaticamente NEUTRA
Se dv’/dz < 0 a parcela é estaticamente INSTÁVEL
podem também ser expressas como:
ASSIM, as condições para de estabilidade estática
Para uma parcela saturada pode-se usar o mesmo raciocínio,
substituindo por e,
que é constante para processos adiabáticos saturados.
Se de’/dz > 0 a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se de’/dz = 0 a parcela é estaticamente NEUTRA
Se de’/dz < 0 a parcela é estaticamente INSTÁVEL
Nos itens anteriores mostramos que a estabilidade de uma parcela depende da relação entre o lapse-rate do ambiente e d ou s.
MAS existem situações meteorológicas (por exemplo em grandes cadeias de montanhas) nas quais toda uma camada atmosférica é levantada ou abaixada.
isso afeta o lapse-rate da atmosfera, e portanto, afeta a estabilidade da parcela ?
Vamos tratar do caso de uma camada com uma diferença finita de pressão entre a base e o topo dessa camada (por exemplo, 50 hPa)
Da equação hidrostática, essa diferença de pressão é diretamente proporcional à massa por unidade de área contida nessa coluna.
Vamos supor que nenhuma massa adicional é adicionada ou retirada da camada, de tal forma que essa diferença de pressão permaneça constante.
ESTABILIDADE CONVECTIVA ou POTENCIALde uma camada NÃO-SATURADA
A relação entre T’ e ’, diferenciando a equação de Poisson em forma logarítmica:
z
p
pc
R
zz
T
T p
d
'
'
'
'
1'
'
1
Usando a hidrostática e resolvendo para ’:
'
'
'
'
1'
'
1
T
c
g
z
T
Tz
d
p
a) Processos não-saturados
Para tirar vantagem do fato da diferença de pressão constante na camada,
é desejável converter a derivada em altura para derivada de pressão, como :
'
''
p
z
zp
, e, da hidrostática gp
z
'
1
'
podemos reescrever a equação acima como:
'
'
''
'
'
'
'
1
pg
R
Tgpddd
como num processo adiabático seco ’ é conservado, a diferença de ’ entre o topo e a base da camada
também é conservada.
Alem disso, estamos analisando o caso onde a diferença
de pressão na camada é constante.
'
'
'
1
p
e, portanto
p' c ted '
Então : é constante na camada
OU SEJA:
Quando a camada é levantada, a pressão decresce, e o lapse-rate do ambiente (’) vai diminuindo
e se aproximando de d
(PORTANTO, desestabilizando uma camada estável)
Quando a camada é abaixada, a pressão aumenta, o lapse-rate do ambiente (’) vai aumentando
e se distanciando de d
(PORTANTO, estabilizando mais ainda uma camada estável)
EM RESUMO, para uma camada não-saturada, elevar (abaixar) a camada instabiliza (estabiliza) essa camada
para futuros movimentos de parcelas.MAS, se a camada subir muito, a ponto de causar a saturação
de toda a camada, o resultado é completamente diferente:
esta situação pode ser vista mais facilmente com o uso de um diagrama:
tefigrama, três situações, onde uma camada inicialmente isotérmica (portanto estaticamente estável tanto para processos adiabáticos secos como saturados), de 50 hPa de espessura, que é elevada em 300 hPa, saturando-se completamente nos três casos.
b) Processos saturados
Assim, cada ponto da camada, após uma expansão adiabática seca preliminar,
atinge a condensação ao longo da mesma linha adiabática saturada.
Conseqüentemente, o lapse-rate após a ascensão é exatamente o adiabático saturado
e a camada se torna neutra em relação a qualquer deslocamento posterior
de parcelas saturadas.
No caso (a), assumimos que e é constante na camada
Assim, o topo da camada atinge a saturação ao longo de uma adiabática saturada que está à direita (é maior) daquela onde a base da camada atinge a saturação.
Conseqüentemente, o lapse-rate final da camada é menor
que lapse-rate adiabático saturado, e, portanto, a camada é estável para quaisquer deslocamentos posteriores de uma parcela saturada.
No caso (b), assumimos que e aumenta com a altura na camada
Quando a base da camada atinge a saturação, e continua a se esfriar
com uma taxa adiabática saturada, o topo da camada ainda está se esfriando
com a taxa adiabática seca (que é maior que a adiabática saturada)
Conseqüentemente, no final da ascensão, o lapse-rate que a camada adquire é maior que o adiabático saturado e, portanto, essa camada é agora instável para quaisquer deslocamentos posteriores de uma parcela saturada.
No caso (c), assumimos que e diminui com a altura na camada
Esses resultados independem das condições e lapse-rates iniciais escolhidos.
A estabilidade de uma parcela de ar de uma camada que é levantada até se tornar completamente saturada
só depende do lapse-rate da temperatura potencial equivalente dessa camada.
Assim,
Se e’/z > 0 a camada saturada é convectivamente ESTÁVEL
Se e’/z = 0 a camada saturada é convectivamente NEUTRA
Se e’/z < 0 a camada saturada é convectivamente INSTÁVEL
Quando uma parcela de ar sobe na atmosfera, uma certa quantidade de trabalho é efetuada pela (ou contra a) força de flutuação (ou empuxo),
dependendo se o movimento é feito a favor ou contra essa força :
• Se a força de flutuação é dirigida para baixo (empuxo negativo), uma certa quantidade de trabalho tem que ser feita
contra a flutuação;
• Se a força de flutuação é dirigida para cima (empuxo positivo), uma certa quantidade de trabalho é feita pela flutuação.
7. CAPE e CINE
O trabalho (W) para deslocar a parcela de uma altura z é dado por:
zzmzmazFW
ou, por unidade de massa,
zzw
Lembrando que a equação do movimento vertical
de uma parcela é dada por:
bT
TTggz
v
vv
'
''
onde a “linha” significa “ambiente”, e “b” é a “flutuação” (ou empuxo)
o trabalho efetuado pela (ou sobre a) parcela, para ir de um nível inicial “zi” para um nível final “zf” será:
f
i
f
i
z
z v
vv
f
i
z
z
dzT
TTgbdzww
'
'
Em uma radiosondagem
- Se zi for a superfície, e zf for o NCE, esse trabalho (negativo) é chamado de CINE (Convective INhibition Energy)
- Se zi for o NCE, e zf for o NPE, esse trabalho (positivo) é chamado de CAPE (Convective Available Potential Energy)
Assim:
NCEz
z v
vv dzT
TTgCINE
sup'
' e
NPE
NCE
z
z v
vv dzT
TTgCAPE
'
'
MAS, qual a relação entre CINE-CAPEe a velocidade vertical (vvert) da parcela ?
bdt
dvz vert
ou
bv
dz
d
dz
dvv
dz
dv
dt
dz
dt
dv vertvertvert
vertvert
2
2
Então, integrando (e omitindo “vert”) :
22
2sup
2
sup
vvbdzCINE NCE
z
z
NCE
22
22NCENPE
z
z
vvbdzCAPE
NPE
NCE
CAPE é a energia cinética máxima (na vertical e por unidade de massa)
que uma parcela adquire ao atingir o NPE.
CINE é a energia cinética mínima (na vertical e por umidade de massa) que uma parcela deve ter na superfície para poder atingir o NCE