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Resumo de teoria dos conjuntosTRANSCRIPT
Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II
RESUMO TEORIA DOS CONJUNTOS Matemática
Professor Cristiano Marcell
Conceito Primitivo
A noção de um conjunto é primitiva, não tem definição. Intuitivamente, podemos compreender com
conjunto toda coleção bem definida de objetos, que são
chamadas seus elementos.
Exemplos:
Conjuntos das vogais
Conjunto dos alunos do CPII
Além do conjunto, as noções de elemento e a relação
de pertinência são também consideradas noções primitivas.
Pertinência
pertence
não pertence
Representação de um conjunto
I) Por compreensão
Indica-se uma propriedade que caracterize apenas os
elementos do conjunto.
A = {x | x é vogal}
B = {x | x2 – 4 = 0}
II) Por extensão
Enumeram-se os seus elementos, colocando-os entre
chaves.
A = {a, e, i, o, u}
B = {-2, 2}
III) Diagrama de Venn-Euler
Usados em matemática para simbolizar graficamente
propriedades e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria, através de curvas simples fechadas.
A = conjunto das vogais
Inclusão (subconjuntos)
Diz-se que um conjunto A está contido num outro conjunto B, se, e somente se, todo elemento de A pertence
também a B, isto é:
A B x A x B
A B x A |x B
- símbolo de inclusão entre dois conjuntos (contido)
- símbolo de inclusão entre dois conjuntos (contém)
O traço indica negação.
Conjunto das partes
Dado um conjunto A qualquer chamamos conjunto das partes de A ao conjunto cujos elementos são todos
subconjuntos de A.
A = {1}
P(A) = {, {1}}
B = {1, 2, 3}
P(B) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Se o conjunto A, finito, tem n elementos, o conjunto
P(A), terá 2n elementos.
Operações com conjunto
1) UNIÃO () Chama-se de A união B, ao conjunto dos elementos
pertencentes a A ou a B, ou seja:
A B = {x/x A ou x B} .
Exemplo:
Se A = {2, 3} e B = {3, 4, 5} então, A B = {2, 3, 4, 5}
Propriedades:
A = A, A
A A = A
A B = B A (comutativa)
A (B C) = (A B) C (associativa)
2) INTERSEÇÃO ()
Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao
conjunto de todos os elementos que pertencem a A e a B,
ou seja:
A B = {x | x A e x B} .
Exemplo
Se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5} então A B = {2, 3}
Propriedades:
A = , A
A A = A
A B = B A (comutativa)
A (B C) = (A B) C (associativamente)
A (B C) = (A B) (A C) (distributivamente)
A (B C) = (A B) (A C) (distributivamente)
3) DIFERENÇA
Chama-se diferença entre A e B ao conjunto cujos elementos pertencem a A e não pertencem a B.
A – B = {x | x A e x B}
Exemplos:
A = {3, 4, 5} e B = {5, 6}
a) A – B = {3, 4}
b) B – A = {6}
Nota:
Chamamos de diferença simétrica entre A e B
representado por A B a expressão:
A B = (A – B) (B –A) .
4) COMPLEMENTAR
Se B A, então A – B é dito ‘complementar de B em relação a A’.
Escreve-se CAB = A – B ⇔ B A
Exemplos:
A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3}
CAB = A – B = {1, 4}
Problemas Resolvidos
I) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora;
200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora;
100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule o número de pessoas que não leu nenhuma dessas obras.
Leram pelo menos uma das três obras:
270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870
Não leu sequer uma das três obras:
1000 – 870 = 130
Resposta: 130.