8/17/2019 Resumo 2AnoA 1UD 2016

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ESCOLA ESTADUAL ALUÍSIO GERMANOEstudante: _______________________________________________________________________2ª Série - Turma A  – EM Professora: Luciana Data: ____/ ____ / 2016

Matemática – Resumo (1ª Unidade Didática)Propriedades dos determinantes1ª Propriedade: fila de zeros >> se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada

M forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det M = 0.0 480 13 = 0  Se   = [ 1 4 92 8 30 0 0], então det = 0 

2ª Propriedade: filas iguais >> se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) deuma matriz quadrada M forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det M = 0.

4 56 2   5 92 87 31 8

  3 08 6

  = 0 (2ª e 3ª colunas iguais) Se   = [ 3 48 6 9 3 4], então det = 0,pois a 1ª e a 3ª linhas são iguais

3ª Propriedade: filas proporcionais >> se uma matriz M possui duas linhas (ou duas colunas)proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, det M = 0.3 79 21 0 (2ª linha: triplo da 1ª)

 1 04 2   2 48 73 85 6   6 910 6 = 0 (3ª coluna: dobro da 1ª)4ª Propriedade: multiplicação de uma fila por uma constante >> se todos os elementos de uma linha

(ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, entãoseu determinante fica multiplicado por k.

Se

  = [3 6 79 8 54 2 9]

 e

= [3 3 79 4 54 1 9]

, então

det =  det

 ou

det = 2 ∙ det  

5ª Propriedade: multiplicação da matriz por uma constante >> se uma matriz quadrada M de ordem  é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por k, isto é:det(kM) = k ∙ detM.  = 3 42 5 ⇒ det = 15 8 = 7,observe que 5 = 1 5 2 01 0 2 5 ⇒ det(5) = 375 200 = 175 = 5 ∙ 7 

6ª Propriedade: determinante da transposta >> o determinante de uma matriz quadrada M é igual aodeterminante de sua transposta, isto é, det M = det(M).

4 

7ª Propriedade: troca de filas paralelas >> se trocarmos de posição duas linhas (ou duas colunas) deuma matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matrizanterior.

  = [1 2 34 5 67 8 9] e = [ 2 1 35 4 68 7 9] 

A matriz B foi obtida a partir de A (trocando a 1ª e a 2ª colunas)det = 45 84 96 105 48 72 = 96 354 = 258det = 72 48 105 96 84 45 = 96 354 = 258   } resultados opostos8ª Propriedade: determinante da matriz triangular >> o determinante de uma matriz triangular é igual

ao produto dos elementos da diagonal principal.

  = 5 30 2 ⇒ det = 5 ∙ 2 0 ∙ 3 = 10 → 5 ∙ 2 

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= [  5 0 0 1 2 03 1 4] ⇒ det = 5 ∙ 2 ∙ 4 0 ∙ 0 ∙ 3 0 ∙ (1) ∙ 1 0 ∙ 2 ∙ 3 5 ∙ 0 ∙ 1 0 ∙ (1) ∙ 4 = 40→ 5 ∙ 2 ∙ 4 9ª Propriedade: teorema de Binet >> sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a

matriz produto, então det( ) = (det) ∙ (det).  = 3 25 1, = 0 23 4 e   =   6 143 6  ⇒ det( ) = 36 42 = 78 Compare: det ∙ det = ( 3 1 0) ∙ (0 6) = (13) ∙ (6) = 78 10ª Propriedade: teorema de Jacobi >> o determinante de uma matriz quadrada não se altera quandose adicionam, aos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer, os elementos correspondentesde outra fila (linha ou coluna) paralela previamente multiplicada por uma constante.  = 1 54 9 ⇒ det = 9 20 = 11 Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha, obtemos: = 1 52 1 ⇒ det = 1 10 = 11, ou seja, det = det  Verifique:

∙ (2)↳+

1 54 9 = |

  1 5(2) ∙ 1 4   (2) ∙ 5 9| = 

1 52 1

 

⇒ det = 1 ∙ (1) 5 ∙ 2 = 1 10 = 11 11ª Propriedade: determinante da inversa >> seja A uma matriz quadrada invertível e A− sua inversa.Então, detA− =   .Se   = 1 12 0 , temos  − =   0

  1   . Assim, det = 0 2 = 2 e det− = 0  =  , ou seja

det− =   .Essa propriedade sugere um fato importante: A é invertível se e somente se det ≠ 0.

12ª Propriedade: adição de determinantes (ou decomposição de uma fila) >> se cada elemento deuma linha (ou coluna) de uma matriz é a soma de duas parcelas, então o determinante dessa

matriz é a soma de dois determinantes, em cada um dos quais aquela linha (ou coluna) tem seuselementos substituídos por uma das parcelas.

" A Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo." Galileu Galilei A bênção do Senhor é que enriquece; e não traz consigo dores. Provérbios 10:22

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