Simplex y Existencia de soluciones

Juyoung Wang

September 23, 2015

1 Existencia de solucionesDado el siguiente problema de minimizacion:

P) min f (x)

s.a. x ∈ D

1.1 Definiciones fundamentalesDefinicion 1. Un punto x es factible para el problema P), si x ∈ Dom(z).

Definicion 2. Un Punto extremo de una funcion definida sobre un dominio D puede ser local o global estricto ono estricto, segun se define a continuacion:

i) x∗ es mınimo global, si x∗ es punto factible y si f (x∗)≤ f (x) ∀x ∈ D.

ii) x∗ es mınimo global estricto, si x∗ es punto factible y si f (x∗)≤ f (x) ∀x ∈ D−{x∗}.

iii) x∗ es mınimo local, si x∗ es punto factible y si f (x∗)≤ f (x) ∀x ∈ B(x∗,ε)⊆ D.

iv) x∗ es mınimo local estricto, si x∗ es punto factible y si f (x∗)≤ f (x) ∀x ∈ B(x∗,ε)−{x∗} ⊆ D−{x∗}.con B(x,ε) una bola abierta con centro x ∈ Rn y con su radio ε > 0. Esta medida de distancia tambien puede serexpresado en forma de normal-p:

||u||p =

(n

∑i=1

upi

) 1p

Definicion 3. El valor optimo del problema P) de minimizacion es:

v(P) = inf { f (x) : x ∈ D}

Analogamente, para el problema P′) de maximizacion, el valor optimo serıa:

v(P) = sup { f (x) : x ∈ D}

Recordatorio: se define el sup( f (x)) como el menor de la cota superior de la funcion, y el in f ( f (x)) como el mayorde la cota inferior.

Definicion 4. El problema P) admite solucion optima si:

∃ x ∈ D : f (x) = v(P)

La existencia de soluciones factibles no garantiza la existencia del valor optimo y tampoco la vice-versa.

Nota: Existen algunos problemas sin solucion optima. Por ejemplo:

a) Problema con su dominio no acotado puede no admitir solucion optima, ya que en este caso, bastarıa contomar valores demasiado grandes o chicos para satisfacer la condicion dada.

b) Problema con las restricciones no cerradas tampoco tiene soluciones optimas, ya que siempre existirıa unε > 0 tal que x < x+ ε < sup {R}, con R restricciones de P). Es decir, siempre habra una distancia abiertaentre el punto tomado y la frontera. (i.d. el optimo no puede estar en el interior de la region factible).

c) Problema con la interseccion entre el dominio y las restricciones es vacio.

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1.2 Teoremas usadas para verificar la existencia de las solucionesTeorema 1. Teorema de existencia de soluciones optimas:

Para P), si las siguientes condiciones son satisfechas:

i) f es continua en x ∈ D.

ii) D es cerrado y no vacio, pero no necesariamente acotado.

iii) ||x|| → ∞ ⇒ f (x)→ ∞ ∀x ∈ D

entonces P) admite al menos una solucion optima.

Teorema 2. Teorema de Bolzano - Weierstrass:

Si las siguientes condicioens son satisfechas:

i) f es continua en D.

ii) D es cerrado, acotado y no vacio.

entonces P) necesariamente admitira solucion optima, ya que alcanza a sus puntos extremos.

Nota: Para verificar la existencia de soluciones optimas de P), basta con verificar que las condiciones mencionadasson satisfechas.

Definicion 5. Decimos que un problema es factible si ∃ x : Ax = b.

1.3 ConvexidadDefinicion 6. Sea D⊆ Rn un conjunto, llamaremos convexo a D, si:

λ · x1 +(1−λ ) · x2 ∈ D ∀x,y ∈ D ∧ λ ∈ [0,1]⊂ R

Propiedades:

a) Todos los poliedros(restricciones) definidos por desigualdades lineales son convexos.

b) El conjunto formado por la interseccion de conjuntos convexsos es convexo.

c) El conjunto formado por la union de conjuntos convexos no es necesariamente convexo.

Alternativamente, podemos decir que D es convexo, si:

x1,x2 ∈ D ⇒ [x1,x2] = {z ∈ Rn : z = (1−λ ) · x1 +λ · x2} ⊆ D

Definicion 7. Funcion convexa:

Sea f : D⊆ Rn→ R, con D convexo, se dice que f es convexa, si:

f (λ · x1 +(1−λ ) · x2)≤ λ · f (x)+(1−λ ) · f (x2) ∀x1,x2 ∈ D ∧ λ ∈ [0,1]

Es decir, en el intervalo [x1,x2], si todo punto del grafo de f (x) siempre esta bajo la cuerda que une lospuntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)), entonces f (x) es una funcion convexa.

Analogamente, decimos que una funcion es estrictamente convexa, si:

f (λ · x1 +(1−λ ) · x2)< λ · f (x)+(1−λ ) · f (x2) ∀x1,x2 ∈ D ∧ λ ∈ [0,1]

Propiedad:

i) Sea f ,g dos funciones convexas, entonces f ±g es convexa.

ii) Sea f convexa y h convexa y creciente, entonces h◦ f es convexa.

iii) Sea f convexa, sea a≤ 0, entonces a · f es convexa.

Nota: Una funcion definida sobre un dominio no convexo no puede ser convexa.

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Definicion 8. Problema convexo:

Se dice que P) es un problema convexo, si:

i) f es convexa en D.

ii) D es un conjunto convexo.

Nota: Un problema con variable entrera no es convexo.

Teorema 3. Sea P) convexo, con x ∈ D un mınimo local de f en D, entonces x es mınimo global de f en D.

Teorema 4. Sea x ∈ S = {x : Ax = b,x≥ 0}.

1.4 Forma estandarDiremos que el problema de programacion lineal P) esta en su forma estandar si:

PFE) min ~cT ·~x

s.a. A ·~x =~b

~x≤ 0

donde:

~c: Vector de los coeficientes.

A: Matriz de coeficientes de restriccion.

b: Vector constante.

~x: Vector de las variables.

Para convertir los problemas de PL en forma estandar:

a) Dejar la funcion objetivo como una funcion de minimizacion. Recordar que una funcion de maximizacionpuede ser convertida en otra funcion de minimizacion equivalente, multiplicando un escalar negativo:

max cT x = min − (cT x)

b) Convertir la desigualdad en igualdad, agregando las variables no negativas, denominada variable de holgura:

ai1 · x1 +ai2 · x2 + · · ·+ain · xn ≤ bi ≡ ai1 · x1 +ai2 · x2 + · · ·+ain · xn +h1 = bi

ai1 · x1 +ai2 · x2 + · · ·+ain · xn ≥ bi ≡ ai1 · x1 +ai2 · x2 + · · ·+ain · xn−h2 = bi

donde hi es una variable positiva arbitraria (No olvidar de agregar las variables de holguras nuevas definidasen la parte de neutralidad de las variables).

c) Convertir las variables negativas en otras variables no negativas:

xk =−xk ≥ 0

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1.5 Simplex method1.5.1 Geometrıa de PL

Definicion 9. Un poliedro es un conjunto definido por restricciones lineales(y/o afines).

Definicion 10. Un punto x ∈ P, con P un poliedro, es un punto extremo, si este no puede ser escrito comocombinacion convexa de puntos diferentes en P.

1.5.2 Definiciones basicas

Definicion 11. Sea A una matriz, diremos que A tiene rango completo, si tiene sus filas linealmente independientesy sus columnas linealmente independientes.

Teorema 5. Considere el PFE) dado, y supongamos que A es una matriz con rango completo, entonces se cumpleuna y solo una de las siguientes:

a) El probelma es infactible (i.e. el dominio es vacıo).

b) El problema es no acotado.

c) Existe un punto estremo x∗ del dominio tal que x∗ es solucion optima del problema.

1.5.3 Soluciones basicas y factibles

Sea A = [B|R] una matriz de m×n con m filas y n columnas, donde B es la mastriz de las bases y R de los restos,tambien suponga que~x = (~xB,~xR), donde:

Ax = BxB +RxR = b

⇒ xB = B−1b−B−1RxR

Recuerde que A es una matriz de la forma:

ahora, definiremos:

Definicion 12. A las variables correspondientes a xB(= b), se les llama variables basicas (hay m variables basicas)y a xR, se les llama variables no basicas (hay n−m no basicas)

Definicion 13. Una solucion basica del sistema Ax = b con x≥ 0 es una solucion de la forma~x = (~xB,~xR) dondexR = 0. Es decir: xB = B−1b.

Definicion 14. Una solucion basica del sistema Ax = b, x≥ 0 se llama solucion basica factible, si ademas xB ≥ 0,puesto que satisface todas las restricciones del problema PL, incluidas las de no negatividad.

Definicion 15. Para el vector c = (cB,cR) dado por el P), se define el vector costo reducido como:

cR = cR−RT (B−1)T cB = cR−RTΠ

cR = cTR − cT

B R = cTR − cT

BB−1R

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1.5.4 Algoritmo simplex para los problemas de tipo Fase II

Antes de todo, recuerde que es fundamental convertir el problema en forma estandar.

0) Determinar un vertice factible inicial. Esto significa determinar una base B primal factible que lo denotaremoscomo:

B = {AB(1),AB(2), · · · ,AB(m)}

1) Calcular B−1 para poder determinar b = xB = B−1b y R = B−1R.

2) Calcular cR = cTR − cT

B R = cTR − cT

BB−1R.

– si c j ≥ 0 ∀ j ∈ IR, x es optimo (STOP). En este caso, la solucion optima serıa b = xB = B−1b.

– sino, elegir j tal que c j < 0 (si hay varios, elegir lo mas negativo) e ir al paso 3). Note que x j es lavariable que entra a la base.

3) Calcular u = B−1R j:

– si u≤ 0, el problema es no acotado (STOP).

– sino, ir al paso 4):

4) Calcular δ = mini: Bi j>0 { biR ji}. No considerar los valores negativos. Sea s el ındice donde el min se alcanza,

la variable asociada a la s−esima columna de la matriz B sale de la base.

5) Formar una nueva base (matriz B), reemplazando la columna AB(s) por la columna A j (La matriz R tambiencambia automaticamente).

6) Volver al paso 1) y repetir el proceso.

Note que, basicamente, estamos tomando una vertice arbitraria e ir moviendo sobre la frontera hasta el puntodonde encontramos otro vertice para determinar cual de las vertices dadas es solucion optima.

1.5.5 Algoritmo simplex para los problemas de tipo fase I

Se usa cuando no es posible encontrar bases factibles de manera explıcita Para encontrar la matriz de base B factible,se resuelve el siguiente problema utilizando el mismo algoritmo de arriba.

PF1) minm

∑i=1

yi

s.a. Ax+ Iy = b

x,y≤ 0

Es como lo mismo que agregar los variables artificiales y no considerar las bases originales en lafuncion objetivo. En la iteracion 1, es conveniente empezar con la base identidad formado por lasvariables artificiales yi).

En un problema de fase I:

1) El problema es factible, pasa uno de las siguientes:

– Hay filas redundantes.

– Hay base inicial.

2) El problema es infactible.

El no acotamiento del problema no se detecta en la fase I, sino en la fase II.

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1.5.6 Degenerancia y soluciones multiples

Definicion 16. Ocurre cuando alguna de las componentes de xB tiene valor 0. Puede provocar el fenomeno deciclaje si no se escoge adecuadamente el costo reducido negativo para realizar el cambio de base.

Definicion 17. Regla de Bland: Escoger la variable con menor ındice cuando hay empate en el test de razonmınima.

Definicion 18. La existencia de un costo reducido nulo en el optimo en las variables no basicas es un posibleindicador de la existencia de las soluciones optimas multiples.

1.6 Analisis de sensibilidad1.6.1 Cambios en los coeficientes de la funcion objetivo

1) Para el caso no basico:δ ≥−cR

2) Para el caso basico:δ ·~η j ≤ cR

donde ~η es la j−esima fila de la matriz R.

1.6.2 Cambios en la cantidad de recursos o de b

δBi ≥−xB

1.7 Conceptos importantes1) En presencia de degenerancia, al realizar el test de la razon mınima, la funcion objetivo no cambiara durante

la iteracion correspondiente.

2) Dado un problema de PL, si el valor optimo del problema de Fase I asociado es no nulo, entonces necesaria-mente el problema original es infactible, ya que al pasar esto, en la formula, Ax+ Iy = b el termino Iy nuncava a ser nulo y por lo tanto Ax 6= b.

3) Dado un problema de PL, el problema de Fase I, el no acotamiento del problema no implica su infactibilidad,ya que podemos tomar el sentido de avance hacia las regiones acotadas.

4) Para un P) en forma estandar, en las iteraciones del Simplex, la funcion objetivo puede mejorar o permanecersi hay degenerancia o encontrar solucion optima en ese punto.

5) Dado un P) con m restricciones, no es necesario que todas las restricciones esten activadas en la solucionoptima.

6) No todos los problemas modelables admiten solucion optima. Existen los problemas infactibles tambien.

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