Puedes estudiar la historia de dos formas, bien cronológicamente, bien a través de sus distintas ramas.

Cronológicamente, esta historia podría dividirse en cuatro grandes bloques según la periodicidad establecida por A.N. Kolmogorov:a) Nacimiento de las matemáticas : Este periodo se prolonga hasta los siglos VI-V a.C. cuando las matemáticas se conviertesn en una ciencia independiente con objeto y metodología propios. También podría denominarse matemáticas antiguas o prehelénicas y en ella se suelen englobar las matemáticas de las antiguas civilizaciones de Egipto, Mesopotamia, China e India. Grecia estaría situada a caballo entre este periodo y el siguiente.b) Periodo de las matemáticas elementales: A continuación del anterior, se prolonga desde los siglos VI-V a.C. hasta finales del siglo XVI. Durante este periodo se obtuvieron grandes logros en el estudio de las matemáticas constantes, comenzando a desarrollarse la geometría analítica y el análisis infinitesimal.c) Periodo de formación de las matemáticas de magnitudes variables: El comienzo de es periodo está representado por la introducción de las magnitudes variables en la geometría analítica de Descartes y la creación del cálculo diferencial e integral en los trabajos de I. Newton y G.V. Leibniz. En el transcurso de este periodo se formaron casi todas las disciplinas conocidas actualmente, así como los fundamentos clásicos de las matemáticas contemporáneas. Este periodo se extendería aproximadamente hasta mediados del siglo XIX.d) Periodo de las matemáticas contemporáneas: En proceso de creación desde mediados del siglo XIX. En este periodo el volumen de las formas espaciales y relaciones cuantitativas abarcadas por los métodos de las matemáticas han aumentado espectacularmente, e incluso podríamos decir exponencialmente desde la llegada del ordenador.

Las distintas ramas que analizaremos son:a) Álgebra y Aritmética.b) Análisis Matemático.c) Geom

NACIMIENTO: HASTA VI-V a.C.

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna. Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para cada civilización.

Estudiaremos cuatro culturas o civilizaciones, localizadas en esta misma página:

Antigua Civilización Egipcia Mesopotamia o Antigua Babilonia

China Antigua

India Antigua

Grecia Clásica

ANTIGUA CIVILIZACIÓN EGIPCIA. La información disponible sobre la civilización desarrollada a lo largo del Nilo es, lo suficientemente fiable, como para ser considerada la primera civilización que alcanzó un cierto desarrollo matemático. Nuestros conocimientos sobre las matemáticas del Antiguo Egipto se basan principalmente en dos grandes papiros de carácter matemático y algunos pequeños fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos.

Desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeración romano. También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones. Aparecen también los primeros métodos de operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y fracciones.

Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas y volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del número pi de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.

MESOPOTAMIA O ANTIGUA BABILONIA. Bajo esta denominación se engloban los Estados situados entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C. hasta el año 200 a.C. Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a matemáticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen únicamente problemas concretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quiere decir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al azar.

Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas. Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división. Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos

incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma x2+px=q, p>0, q>0 y también ax2+bx=c mediante el cambia de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algorítmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos, terreno éste, en el que también superaron a la civilización egipcia, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de pi igual a 3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.

CHINA ANTIGUA. Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos.

El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, tranformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.

Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao . El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos

"método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.

No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.

Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento.

INDIA ANTIGUA. Son muy escasos los documentos de tipo matemático que han llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta civilización. Aun más que en el caso de China, existe una tremenda falta de continuidad en la tradición matemática hindú y al igual que ocurría con las tres civilizaciones anteriores, no existe ningún tipo de formalismo teórico. Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos las números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos, egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

GRECIA  La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y Mesopotamia, ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con una fuerza indescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ella, la cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas.

El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales

de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.

Salvo excepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matemáticos de esta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...

Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.

En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).

Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría de la divisibilidad.

La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como

consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.

Construcción axiomática de las Matemáticas. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.

El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras una de las obras matemáticas más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.

Métodos infinitesimales. En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia Antigua, muy temprano se específico una clase específica de problemas para la solución de los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad ...

Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la aplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notable lo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta concepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de los métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo y aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas, búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero no se soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primera forma del método de límites.

Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. particularmente se estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".

Durante la época de Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que

aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga. Estos tres últimos matemáticos citados, Euclides, Arquímedes y Apolonio, sobresalieron por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hecho que se denomine como "Edad de Oro" de la matemática al periodo comprendido entre los años 300 y 200 a.C. Tras ellos se entró en un lento declive de forma que los resultados perdieron generalidad, haciéndose cada vez más particulares y especiales.

En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas. La fase final se caracteriza por la aparición de "comentaristas" que comentaban las obras clásicas, signo evidente del descenso de creatividad. Entre ellos citaremos a Gémines de Rodas (100 a.C), Teon de Alejandría (s. IV), Pappo de Alejandría (s. IV), Proclo (s.V) y Eutoquio (s. VI).

Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia, desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica teórica y el método axiomático.

MATEMÁTICAS ELEMENTALES

Recordemos que este periodo abarca un enorme periodo de tiempo, alrededor de 2000 años, desde los siglos VI-V a.C. hasta el siglo XVI.

En el año 529 el emperador Justiniano cerró las escuelas griegas, pese a lo cual la ciencia griega siguió presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamiento científico griego, ampliamente difundido, si bien no produce ya obras originales, se encuentra ampliamente confrontado a otras tradiciones. En estas condiciones surgen los árabes, creando un imperio tan extenso como sorprendente. Las condiciones de vida económicas y políticas que se formaron, favorecieron el desarrollo de las matemáticas, exigido por las necesidades del Estado, la irrigación, las construcciones, el comercio y la artesanía, desarrollándose en el arsenal de los matemáticos árabes, muchos procedimientos de cálculo y algorítmos especiales.

En el continente europeo, las matemáticas no tienen tan antiguo origen como en muchos países del Medio y Lejano Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del Medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.

Imperio Musulmán Europa Medieval y Renacimiento

MATEMÁTICAS DE LAS VARIABLES:

SIGLOS XVI, XVII Y XVIII

Estudiaremos independientemente cada uno de estos siglos:

Siglo XVI Siglo XVII

Siglo XVIII

SIGLO XVI

A finales del siglo XVI, Europa Occidental había recuperado ya, la mayor parte de las obras matemáticas más importantes de la antigüedad que se han conservado hasta nuestros días. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada, introduciendo un cierto simbolismo y la trigonometría, se había convertido en una disciplina independiente. La época estaba ya casi madura, para llevar a cabo ciertos avances que superaran las contribuciones tanto antiguas, como medievales y renacentistas. Pero la transición del Renacimiento al mundo moderno, se hizo también a través de un considerable número de figuras intermedias: Galileo, Cavalieri, Briggs, Neper, Kepler y Viète entre otros.

SIGLO XVII

Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustitución de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y sociedades científicas, que se convirtieron en una forma fructífera de trabajo en equipo de los científicos. También comenzaron durante este siglo las publicaciones periódicas. Sin embargo se produjo un cambio muy importante en la concepción de las matemáticas, complementando el estudio de los números y demás magnitudes constantes, con el estudio de los movimientos y transformaciones. En este siglo es cuando tienen comienzo todas o casi todas las disciplinas matemáticas:

Geometría Analítica . Métodos Integrales.

Métodos Diferenciales.

Análisis Infinitesimal.

Cálculo de Probabilidades.

SIGLO XVIII

Durante el siglo XVIII la elaboración científica y matemática se centró casi exclusivamente en Europa. Gradualmente fue creciendo el papel de los centros superiores de enseñanza, haciéndose particularmente notable hacia finales de siglo con la revolución francesa.

Se podría decir que el siglo XVIII fue un tramite entre los siglos XVII, cuando se inventaron la geometría analítica y el cálculo infinitesimal y el siglo XIX, origen del rigor matemático y espectador de lujo del brillante florecimiento de la geometría.

Los matemáticos más importantes de la época fueron casi todos franceses: Monge, Lagrange, D'Alembert, Laplace, legendre, Carnot y Condorcet. las dos grandísimas excepciones a esta lista fueron Euler y Gauss.

. Se completó igualmente, el conjunto de las disciplinas geométricas y, además de la ya desarrollada geometría analítica, se formaba a finales de siglo la geometría descriptiva y se profundizaba en el estudio de la perspectiva. Estudiemos por separado el desarrollo de estas disciplinas:

Análisis Infinitesimal Análisis Matemático.

o Cálculo Diferencial.

o Cálculo Integral.

o Ecuaciones Diferenciales

Cálculo de Variaciones.

Desarrollo de la Geometría.

o Geometría Analítica.

o Geometría Diferencial.

o Geometría Descriptiva y Proyectiva.

Análisis Numérico.

Teoría de Probabilidades.

MATEMÁTICAS CONTEMPORÁNEAS

SIGLO XIX

El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de la Matemática. Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto en calidad como en cantidad, la producción reunida de todas las épocas anteriores. este siglo fue también, con la excepción de la época Heroica de la Antigua Grecia, el más revolucionario de la historia de la Matemática.

Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo. En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el concepto de grupo.

El descubrimiento en los años 20-30 por Lobachevski y también por J. Bolyai y Gauss de los hechos fundamentales de la geometría hiperbólica no euclideana y en los años 60-70 la búsqueda de sus interpretaciones, provocaron en el sistema de ciencias geométricas transformaciones de carácter revolucionario. El sistema de disciplinas que forman parte del análisis matemático, sufrió en sus fundamentos una muy profunda reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real. A finales de siglo, los recursos del análisis se complementaban con lo que ya se ha venido a llamar aparato epsilon, delta. Junto a este desarrollo del análisis matemático clásico, se separaron de él disciplinas matemáticas independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría de funciones de variable compleja. Antes de estudiar estos aspectos más detalladamente citemos tres rasgos que tienen un carácter general para la mayoría de las ciencias matemáticas:

1. En primer lugar debe tenerse en cuenta la ampliación del contenido del objeto de las matemáticas, debido fundamentalmente a las exigencias crecientes de las ciencias afines.

2. En segundo lugar la necesidad de fundamentar las matemáticas en su conjunto, produciéndose una revisión crítica de los conceptos primarios y afirmaciones.

3. La tercera particularidad es la ampliación considerable del campo de aplicaciones, condicionado por el aumento de posibilidades del aparato del análisis matemático.

Álgebra Moderna.

o Teoría General de Ecuaciones Algebraicas.

o Teoría de Grupos.

o Álgebra Lineal.

Análisis Matemático.

o Teoría de Límites.

o Teoría de Funciones.

o Teoría de Número Real y Teoría de Conjuntos.

Teoría de las funciones de variable compleja.

Transformación de la geometría.

LA ARITMETICA

La aritmética será la ciencia que se ocupa de los objetos concretos, esto es, de los números. En cambio el Álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independientemente de los números o objetos concretos.

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.

Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para cada civilización.

Los egipcios desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeración romano.

También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones.

Aparecen también durante la expansión de esta civilización los primeros métodos de operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y fracciones.

Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incógnita x se denominaba "montón".

En la civilización mesopotámica utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas.

Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división.

Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma y también mediante el cambio de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algorítmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas.

Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones Diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos.

En la Antigua Civilización China el sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación.

La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, tranformándolos en ceros de manera escalonada.

Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.

Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma . El método del elemento celeste

es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde.

Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar a lo que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.

Los primeros indicios matemáticos de la civilización india se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C. y parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal.

Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).

La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos los números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación , denominada ecuación de Pelt.

Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.

En los matemáticos de la época helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...

Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.

Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría de la divisibilidad.

La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.

Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.

En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas.

Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia, desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias

matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica teórica y el método axiomático.

Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas.

Se fundaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de la Sabiduría). Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi que escribió más de media docena de obras matemáticas y astronómicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. La primera de ellas está basada en una traducción árabe de Brahmagupta y en la que se da una reproducción exacta del sistema de numeración hindú, lo que ha originado la creencia popular de que nuestro sistema de numeración procede del árabe. El "nuevo" sistema de numeración vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y a través de deformaciones lingüísticas derivó en "algorismi" y después en algoritmo, término que, actualmente, posee un significado mucho más amplio. Igualmente, a través del titulo de su obra más importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro nombre mucho más popular, la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de ecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos griegos.

Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales, entre ellos:

obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi.

cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini-Horner, posiblemente como resultado de la estrecha colaboración con los matemñaticos chinos. Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue también enunciada la tabla de coeficientes binomiales.

extracción aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal.

sumación de progresiones aritméticas y geométricas.

Asimismo, en virtud de la frecuente aplicación en los cálculos de las irracionalidades, el límite entre los números racionales y los irracionales comenzó a difuminarse, ampliándose la concepción de número real positivo. La idea de una concepción única del número real obtuvo pues, en el oriente Medio cierto perfeccionamiento.

Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A estas

últimas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un plano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados...

Otra dirección en la resolución de ecuaciones cúbicas, se basaba en la obtención de la imagen geométrica de la raíz positiva, por medio de la intersección de secciones cónicas, convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de esta época era la ausencia de una simbología, lo que contuvo el desarrollo del álgebra.

En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.

El punto de arranque de las matemáticas en Europa fue la creación de los centros de enseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se dedicaron a estudiar las obras de ciencias naturales y matemáticas de los antiguos. Uno de los primeros centros de enseñanza fue organizado en Reims (Francia) por Gerberto (Silvestre II) (940-1003). Fue posiblemente el primero en Europa que enseñó el uso de los numerales indo-arábigos. Sin embargo hubo que esperar a que los musulmanes rompieran la barrera lingüística, hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matemática. El trabajo de los traductores fue sensacional. Así Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo del árabe más de 80 obras.

Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más conocido como Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci" (el libro del ábaco), en el que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el sistema de numeración posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales como la regla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas sobre la determinación de calidad de las monedas; problemas de progresiones y ecuaciones; raíces cuadradas y cúbicas... Fibonacci quedó inmortalizado por la famosa "sucesión de Fibonacci" y el famoso problema de los conejos.

El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia, introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realización de las operaciones con ellos y una simbología especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo.

Ya en el siglo XV, Regiomontano enriqueció el concepto de número, introduciendo los radicales y las operaciones con ellos, ampliando así las posibilidades de resolución de ecuaciones. Nicolo Tartaglia (1500-1557), Fiore y Scipión del Ferro (1456-1474) desarrollaron fórmulas para la búsqueda de ecuaciones de tercer grado. Pero fue Jerónimo Cardano (1501-1576) quien introdujo un método regular de resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado en su obra "Ars Magna". En esta obra se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x1 es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.

Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez posible, la expresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Viète estableció en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.

En 1614 fue publicada por John Neper (1550-1617) la obra "Canonis mirifici logarithmorum descriptio" y en ella las primeras tablas de logaritmos de funciones trigonométricas. Años más tarde, en estrecha colaboración con Henry Briggs (1561-1630) desarrollaron el sistema logarítmico decimal. La teoría de las funciones logarítmicas fue seguidamente desarrollada, alcanzando su culminación en los trabajos de Leonard Euler. Junto a estos avances científico-matemáticos comenzaron a desarrollarse las primeras máquinas de cálculo.

Ya en pleno siglo XVII, la última parte de la famosa obra de Descartes(1596-1650) "Discurso del Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría.

El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre la unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado, de hecho durante la segunda mitad de siglo el álgebra siguió rompiendo su hermandad con la geometría, fortaleciéndose el aparato simbólico literal, alcanzando gran desarrollo la teoría de ecuaciones.

La teoría de números se enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. En particular a él pertenece el conocido "Gran teorema de Fermat". En el año 1665 B. Pascal formuló el principio de inducción matemática.

Ya en el siglo XVIII los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron con la aparición de los logaritmos.

La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas de Descartes) continuó determinándose ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la "Aritmética Universal" de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con el desarrollo de los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio de las aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la formación de una ecuación algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina el libro con los resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica de éstas, mediante la construcción geométrica de las raíces. Este famoso tratado contiene las fórmulas, para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica, fórmulas conocidas habitualmente como "identidades de Newton". Aparece también un teorema que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio, así como una regla para determinar una cota superior de las raíces positivas.

Después de la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías, especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones, elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin entre otros.

En 1768 apareció la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste cuando ya estaba ciego. En ella se analizan un sin fin de resultados: se generalizan las reglas de resolución de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra; se aclaran las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se introducen los logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de expresiones algebraicas polinomiales; se introducen las serie como medio de expresión de las funciones racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios y negativos de una potencia; se introducen los números poligonales, las proporciones y progresiones, las fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas.

Así, en esencia, el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas. En ella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal necesario para la resolución de tales ecuaciones.

También se profundizó en el concepto de número, produciéndose de una manera definitiva la admisión de los números irracionales. Igualmente se profundizó en las reglas de operaciones con números imaginarios y complejos, pero siempre bajo la premisa de la obtención de raíces de ecuaciones.

Fue también Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en día conocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizando métodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis infinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos

trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el módulo m.

No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobre problemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoría de las fracciones continuas. Asimismo elaboró los métodos analíticos para la resolución de problema de la distribución de números primos, en la serie de los números naturales y también para una serie de problemas aditivos. El primero de estos problemas fue tratado también por Legendre y Chebyshev. Para el segundo de los problemas, donde se estudia el desarrollo de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar junto a Euler los nombres de Waring y Lagrange.

La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama independiente, sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre otros, definiéndose prácticamente los principales problemas y direcciones.

El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de la Matemática.

Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo. En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el concepto de grupo, dando lugar al nacimiento del Álgebra moderna.

El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que se recogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto común son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra elemental. Estudiemos de una manera más detallada estas disciplinas.

Teoría General de las Ecuaciones algebraicas:Este fue el problema fundamental del álgebra durante el siglo XIX, entendiéndose como la búsqueda de las raíces de la ecuación con ayuda de operaciones racionales y la operación de la extracción de la raíz.

En este época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo, que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos en cuenta los trabajos de K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostración de la no resolubilidad en radicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creación de la teoría de Galois.

Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0 y la

división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde demostraba el teorema fundamental del álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. para la demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo de los polinomios.

Álgebra Lineal:La historia del álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no atendiésemos a la formación del álgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con la teoría de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo se realizaron investigaciones muy importantes de la teoría de los invariantes de las ecuaciones. En este camino del desarrollo, creció la teoría de las formas que encontró aplicación además de en el álgebra, en la teoría de números, la geometría diferencial, la geometría algebraica y la mecánica.

Teorías de Número Real y Teoría de Conjuntos:En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación del análisis.

Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en forma de línea recta.

Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números racionales.

La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto límite, de conjunto derivado... La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos.

Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigación de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la "lógica matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentos de las matemáticas modernas.

ANÁLISIS MATEMÁTICO

En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia Antigua, muy temprano se específico una clase específica de problemas para la solución de los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad...

Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la aplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notable lo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta concepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de los métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo y aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas, búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero no se soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primera forma del método de límites.

Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. Particularmente se estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".

El concepto de límite fue el primer paso, pero hubo que esperar hasta el siglo XVII, para que los métodos integrales y diferenciales y, en esencia, el análisis infinitesimal se diferenciaran como disciplinas estructuradas dentro de las matemáticas.

LA GEOMETRIALa historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.

Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones

formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.

También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.

No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema.

En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...

Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.

En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).

.Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la aparición de los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica

estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.

Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.

Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.

El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos".

Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.

En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.

Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse.

Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos

con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga.

En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados.