résumé mécanique du solide (tensorielle)

8/18/2019 Résumé Mécanique Du Solide (Tensorielle)

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Position d’un solide (S) % à un repre R(O ,⃗ x ,⃗ y ,⃗ z ) est d!ter"in! par la d!#nition de

R1(O1 ,⃗ x1 ,⃗ y1 ,⃗ z1) li! à (S)

$àd par( xO

1

, yO1

, zO1

) et les angles d’&uler ψ ,θet φ

ψ =( ⃗ x ,⃗u )orienté par ⃗ z

'ngle de pr!ession

θ=(⃗ z ,⃗ z1) orienté par ⃗u

'ngle de nutation

φ=(⃗u ,⃗ x1 ) orienté par⃗ z1

'ngle de rotation propre

e"ar*ue + Si θ=0;ψ et φ neseront plus définit .

Dans unengrenage droit laliaison entre deuxroues peut êtremodélisée par unlinéaire rectiligne

d’axe ( I ,⃗ y )

droite de pressionde l’engrenage sil'épaisseur despignons n'est pasnégligeable

$oordonn! ,lindri*ue $oordonn!s sp-!ri*ue

⃗z ⃗z

ψ

⃗y1=⃗v

⃗y

⃗ x1=⃗u

⃗x ⃗x

⃗z1

⃗z=⃗ z1

θ

ψ

⃗y1=⃗w

⃗y

⃗x1=⃗u

⃗x

⃗z1

θ

φ

ψ

⃗y1

⃗y

⃗u

⃗x1

.

⃗z1

z

r

θ

⃗y1

⃗z1

⃗u r

φ

θ

⃗v

⃗w


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'!l!ration + ⃗Γ ( P/ R )=[ ddt ⃗ ( P/ R)] R et ⃗ ( P / R )=[

d

dt ⃗OP( t )]

R

$-er-ons la relation entre + [ ddt ⃗OP(t )] R et [ d

dt ⃗OP (t )]

R1

pour R

1 de "/"e entre ae R

[

d

dt

⃗OP (t )

] R

=

[

d

dt

( x1 P⃗ x1+ y1 P⃗ y1+ z1 P⃗ z1 )

] R

[ ddt ⃗OP (t )] R=( ´ x1 P⃗ x1+ ´ y1 P⃗ y1+´ z1 P⃗ z1 )+( x1 Pd⃗ x

1

dt R+ y

1 P

d⃗ y1

dt R+ z

1 P

d⃗ z1

dt R)

[ ddt ⃗OP (t )] R=[ d

dt ⃗OP(t )]

R1

+( x1 P d⃗ x1dt R+ y1 Pd⃗ y

1

dt R+ z

1 P

d⃗ z1

dt R)d⃗ x

1

dt R=! o,ons le s-!"a suiant +

e repre R

1 se d!plae en rotation % R don

d⃗ x1(t )=ŕ dφ⃗u(t )=|⃗ x1 ( t )|sin (^ ⃗# (t ) ,⃗ x1 ( t ))dφ ⃗u(t )

'e +

⃗# (t ) eteur unitaire de l’ae de rotation de R1 % R

⃗u

φ

(

^

⃗# (t ) ,⃗ x1(t )

d⃗ x1(t )

r # (t )


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dφ 'ngle de rotation partiel de R1 % R orient! par #

⃗u(t ) eteur unitaire au plan (O ,⃗ x1 (t ) ,# (t ))

(^ ⃗# (t ) ,⃗ x1(t )) &st orient! suiant ⃗u(t )

appelons *ue + d⃗ x1 ( t )=dφ|⃗ x1 ( t )|$|⃗ # (t )|sin (^ ⃗# (t ) ,⃗ x1 ( t ))⃗u(t )

ond⃗ x

1 ( t )=dφ (⃗ # (t ) ∧⃗ x1 ( t ) )

⟹ d

dt ⃗x

1 (t )= φ́ (⃗ # (t )∧⃗ x1 ( t ) )⇒ d

dt ⃗x

1=φ́ (⃗ # ∧⃗ x1 )

n d!#nit le eteur de itesse angulaire⃗% R1 & R= φ⃗́ # ⇒

d

dt ⃗x

1=⃗% R1 & R ∧⃗ x1

⟹

{ d

dt ⃗x1

R

=⃗% R1 & R ∧⃗ x1

ddt

⃗y1 R=⃗% R 1 & R ∧⃗ y1

d

dt ⃗ z1

R

=⃗% R 1 & R ∧⃗ z1

etournant à +

[ ddt ⃗OP (t )] R=[ d

dt ⃗OP(t )]

R1

+( x1 P ddt ⃗x1 R+ y1 Pd

dt ⃗y1

R

+ z1 P

d

dt ⃗z1

R)

⟹

[ d

dt ⃗

OP(t )] R=[ d

dt ⃗

OP(t )] R1+( x1 P ⋅

⃗% R 1 & R ∧⃗ x1+ y1 P $

⃗% R1 & R∧⃗ y1+ z1 P $

⃗% R1 & R ∧⃗ z1)

⟹[ ddt ⃗OP ( t )] R=[ d

dt ⃗OP ( t )]

R1

+⃗% R1 / R∧ ( x1 P ⋅⃗ x1+ y1 P $⃗ y1+ z1 P $⃗ z1 )

⟹[ ddt ⃗OP ( t )] R=[ d

dt ⃗OP ( t )]

R1

+⃗% R1 / R ∧⃗OP(t )

⟹⃗ ( P/ R)=⃗ ( P/ R1)+% R1/ R∧OP(t )

Re'ar(ue :⃗% R1/ R ∧⃗OP (t )=(

)́ ´ *+́ )∧(

x P y P z P

)

=( ´ * z P−+́ y P+́ x P−)́ z P

)́ y P−´ * x P)

Attention ! : es deu eteurs et leurs produits doient /tre epri"!s dans la "/"e 7ase (8ou 81 ou 9) pour *ue la re"ar*ue pr!!dente soit :uste⃗u ∧⃗v=−⃗v ∧⃗u

⃗u∧ (⃗v ∧⃗w )=( ⃗u .⃗ w ) ⃗v−(⃗u .⃗ v )⃗ w

(⃗u ∧⃗v ) ∧⃗w=( ⃗u .⃗ w ) ⃗v− (⃗v .⃗w ) ⃗u


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Soit A et B deu point d’un solide S li! à R

1 en "oue"ent % à R don +

[ ddt ⃗- (t )] R=[ d

dt ⃗- ( t )]

R1

+⃗% R1/ R ∧⃗ - (t ) 'e [ ddt ⃗- (t )] R1

=⃗0 don +

[ ddt (⃗ - O (t )+⃗O ( t ) )] R=⃗% R1 / R∧⃗ - (t )

[ d

dt (⃗O ( t )−⃗

O - (t ) )] R=⃗% R 1/ R∧⃗ - (t ) [ ddt ⃗O (t )] R−[

d

dt ⃗O - ( t ) ]

R

=⃗% R1 / R∧⃗ - ( t )

⃗ ( / R )−⃗ ( -/ R)=⃗% R1 / R∧⃗ - ( t )

⃗ ( / R )=⃗ ( -/ R)+⃗% R1/ R ∧⃗ - (t )

on le -a"p des eteurs itesses de S % à est d!#nit par ;orseur in!"ati*ue de S % à +

{ϑ(S / R)}={ ⃗ %S / R= Résultanteénérale⃗ ( -∈S / R )='o'ent résultant }

Point entrale


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e -a"p des "o"ents d’un torseur est !*uipro:etif ⇒∀ - ,∈S - ⋅⃗ ( - / R )= - ⋅⃗ ( / R )

>ote + { ⃗%S / R⃗ (O∈S / R )}O = {)

*

+

u

v

w}

O

n a+⃗ ( / R )=⃗ ( - / R )+% R

1/ R∧ - ⇒⃗ ( / R ) dt =⃗ ( - / R)dt +% R

1/ R dt ∧ -

n pose +⃗ ( / R ) dt =⃗6 ( / R ) et % R1/ R dt =7 R1 / R

⇒⃗6 ( / R )=⃗6 ( - / R)+⃗7 R1 / R ∧⃗ - on le -a"p des eteurs d!plae"ents !l!"entaires est

un torseur +

{6 (S / R)}= { ⃗ 7 S/ R⃗6 (O∈S/ R )}Oelation entre l’a!l!ration de deu point ' et 8 du solide S +

⃗Γ ( / R )=⃗ Γ ( -/ R )+[ ddt ⃗% R1 / R ] R ∧⃗ - +⃗% R1 / R∧ (⃗% R1/ R ∧⃗ - )

n peut "ontrer *ue +soit R (O ,⃗ x ,⃗ y ,⃗ z ) et R

0 (O0 ,⃗ x0 ,⃗ y0 ,⃗ z0 )

⃗ ( P / R0 )=

[

d

dt ⃗O

0 P( t )

] R0

=

[

d

dt ⃗O

0O ( t )

] R0

+

[

d

dt ⃗OP (t )

] R0

⃗ ( P / R0 )=⃗ (O / R0 )+[ ddt ⃗OP(t )] R0

⃗ ( P / R0 )=⃗ (O / R0 )+[ ddt ⃗OP (t )] R+⃗% R / R0∧⃗OP⃗ ( P / R0 )=⃗ (O / R0 )+⃗ ( P/ R )+⃗% R / R

0

∧⃗OP

⃗ ( P / R0 )=⃗ ( P/ R )+⃗ (O/ R0 )+% R / R0

∧OP

ave1⃗ (O / R0 )+⃗% R / R0∧⃗OP=⃗ ( P∈ R/ R0 )=vitesse du pointlié 8R en P

on on aura +⃗ ( P / R0 )=⃗ ( P/ R )+⃗ ( P∈ R/ R0 )

⃗ ( P / R0 )=vitesse a9solue

⃗ ( P / R )=vitesse relative

⃗ ( P∈ R / R0 )=vitesse d 4 entra:ne'ent

itesse de glisse"ent de de S1 % à S2 est⃗ ( P∈S1/S2) tel *ue P est un point de ontat entre

S1 et S2 ette itesse est o7ligatoire"ent ontenu dans le plan tangent à es 2 solides en P


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ette itesse est nul lors*ue il roule l’un % à l’autre

$SG + ⃗ ( P∈S1/S2)=⃗0

%S / R0=%S / R+% R / R0

soit ⃗%S2/S1 et ( )≤ plan tanent 1o''un8S2et S1

⃗%S2/ S

1

=¿ %t ( S2 /S1)

? %n (S2/S1 )

∥ ( )

otation deroule"ent

⊥ ( )

otation depiote"ent

n a +

{ ⃗%S / R0=⃗%S / R+⃗% R / R0⃗ ( P∈S / R0 )=⃗ ( P∈S / R )+⃗ ( P∈ R/ R0 )⇒ { ⃗%S / R0

⃗ ( P∈S / R0 )}= { ⃗%S / R

⃗ ( P∈S/ R )} P + { ⃗% R / R0

⃗ ( P∈ R/ R0 )} P P{ϑ (S / R0)

}= {ϑ (S/ R)}+

{ϑ ( R/ R0)

}Ona :⃗ ( P/ R0 )=⃗ ( P / R )+⃗ ( P∈ R / R0 )

⇒ [ ddt ⃗ ( P/ R0 )] R0

=[ ddt ⃗ ( P/ R )] R0

+[ ddt ⃗ ( P∈ R / R0 )] R0

[ ddt ⃗ ( P/ R0 )] R ¿ [ d

dt ⃗ ( P/ R )]

R0

[ ddt ⃗ ( P∈ R/ R0 )] R0

⃗Γ ( P/ R0 ) ¿ ⃗ Γ ( P/ R )+⃗% R / R0 ∧⃗ ( P/ R )

[ d

dt (⃗ (O / R0 )+⃗% R / R0 ∧⃗OP )

] R0

⃗Γ ( P/ R0 ) ¿ ⃗ Γ ( P/ R )+⃗% R / R0 ∧⃗ ( P/ R ) [ ddt ⃗ (O / R0 )] R [ d

dt (⃗% R / R0 ∧⃗OP )]

R0

⃗Γ ( P/ R0 ) ¿ Γ ( P/ R )+% R / R0 ∧⃗ ( P/ R ) ⃗Γ (O / R0 ) [ ddt ⃗% R / R0] R0

∧⃗OP+⃗% R / R0∧[ ddt ⃗OP] R0

⇒⃗ Γ ( P/ R0 )=⃗ Γ ( P / R )+⃗% R / R0 ∧⃗ ( P/ R )+⃗ Γ (O / R0 )+[ ddt ⃗% R / R0] R0

∧⃗OP+⃗% R / R0∧[ ddt ⃗OP] R0

ave1 [ ddt ⃗

OP ] R0=[ ddt ⃗

OP ] R+⃗% R/ R 0∧⃗OP=⃗ ( P/ R )+⃗% R / R0∧⃗OP⇒

⃗Γ ( P/ R0 )=⃗ Γ ( P / R )+⃗% R / R0 ∧⃗ ( P/ R )+⃗ Γ (O / R0 )+[ ddt ⃗% R / R 0] R0

∧⃗OP +⃗% R / R0∧⃗ ( P/ R )+⃗% R / R0∧ (⃗% R / R0∧⃗OP)

⃗Γ ( P/ R0 )=⃗ Γ ( P / R )+⃗ Γ (O / R0 )+[ ddt ⃗% R / R0] R0

∧⃗OP +⃗% R / R 0∧ (⃗% R / R0 ∧⃗OP )+2⃗ % R/ R 0∧⃗ ( P/ R )

Γ ( P/ R0 )= Γ ( P / R )+ Γ ( P∈ R / R0 )+2 % R / R0∧⃗ ( P/ R )

'!l!ration a7solue


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Si 3 repre sont en "t plan sur plan leurs entres instantan!es de rotation seronto7ligatoire"ent aligni!ses ao=des de "t de % 0 en "t plan sur plan sont + la roulante et la our7e d!rit par .sur 0 et l’autre est la 7ase

@ne fore est repr!sent!e par un eteur li! (< ,⃗ = )

’ation de & sur S est o"plte"ent d!#nit par

{ ⃗R ( > ? S )=

∑ ⃗= i

⃗ 0 - ( > ? S )=∑⃗ -Pi∧⃗ = i tel *ue les fores

appli*u!s par & sur S sont seule"ent les fores ( Pi ,⃗ = i ) onA on peut d!#nir le torseur des

ations "!ani*ue de & sur S +

{ I ( > ?S ) }= { ⃗ R ( > ?S ) ⃗0 - ( > ?S )} - e eteur "o"ent est tra! ae 2 traits paralllesSoit G entres des fores parallles ( Pi ,⃗ = i ) tel(ue∑⃗ = i /⃗ 0 don

∑ (⃗

@ Pi∧⃗ = i )=⃗0⟺⃗O@=∑( = i⋅⃗

O Pi )∑ = i

Pesanteur

{ I ( ? S ) }= { ⃗R ( ? S )=∫

P∈ S

d'⃗ ='⃗

⃗0 - ( ? S )= ∫ P∈S

⃗-P ∧⃗ d'=( ∫ P∈ S

d'⃗ -P )∧⃗ } -( ∫ P∈ S d'⃗ -P)='⃗ -@ ; @ 1entre de ravité (¿ inertie)de S⇔⃗ 0 @ ( ? S )=⃗0

Th de Guldin :

G entre de grait! de la our7e ($) de longueur ontenue dans un de"iBplan de (O ,⃗ x ,⃗ y )

des , positif

⇒∀ - ; ∫ P∈


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2ème Th de Guldin :

G entre de grait! de la surfae ( C ) d’aire S ontenue dans un de"iBplan de (O ,⃗ x ,⃗ y )

des , positif

⇒∀ - ; ∫ P∈ C

⃗-P dS= S⃗ -@ de la 'D'e 'aniEre (ue1er FGon'( : =S2 B r @

Loi de coulomb : Si⃗ ( P∈S2 & S1 )/ ⃗0 i"pose *ue f t (S1⟶S2 )est de sens opposé 8⃗ ( P∈S2 & S1 )

‖⃗f t (S1⟶ S2 )‖= f ‖⃗f n (S1⟶S2)‖f =tφφ définit 1Hne defrotte'ent

Si⃗ ( P∈S2 & S1 )=⃗0⇒‖⃗f t (S1⟶S2 )‖ f ‖⃗f n (S1⟶ S2 )‖

eteur rotation de pivotement⃗%

nS

2/S

1

/ ⃗0 ⃗%n

S2/S

1

=⃗0

⃗%n

S2/S

1$⃗ 0 P

n ( S1⟶S2)


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D,pot-se du ontat rigoureuse"ent pontuel + ⃗0 P ( S1⟶ S2 )=⃗0

D,pot-se liaison sans frotte"ent + n peut "* +

⃗R (S1⟶ S2 ) $⃗ ( P∈S2 & S1 )+⃗ 0 o (S1⟶S2 ) $⃗ %S2 /S1=0

{ I ( S1⟶S2)}= { ⃗ R ( S1⟶S2 ) ⃗0 P (S1⟶S2 )}O = { L

M

N

A

0

# }

O

@n ense"7le "at!riel (&) est en !*uili7re stati*ue % à si tous les points de (&) sont #es sur

(&) en !*ui % à g ⇒∀ (e )⊂ ( > ) ; { I ( ( é )⟶ (e )) }= {0 }

( > )=( e1 )+(e2 ) et ( > ) ené(ui 8 R⇒ { I ((e1 )⟶ (e2 ))}=−{ I ( (e2 )⟶ (e1 )) }

D,perstatis"e et "o7ilit! des "!anis"es + 3D,po + solide parfaitA liaison parfaitA liaison7ilat!ral (liaison "aintenu)

{ I i }={ I (Sn Ai? S )}= { L iM iN i Ai 0 i # i

}O

=torseur stati(ue dela liaison Ai

{ϑ i }={ϑ (Sn/S ) }= {) i * i+ i

uiv iw i}=torseur1iné'ati(ue de laliaison AiO

es o"posantes non nulles sont appel!s respetie"ent les inonnues (stati*ueAin!"ati*ue)

nsi=¿ >7re d’inonnues !t"ti#ue ind!pendantes e "/"e n1 i

nsi+n1i=6

iaison parfait Puissane des ations "utuelles d!elopp!es dans la liaison est nul

⇒⃗ 0 O (S1 Ai? S2) $⃗%i ( S2/ S1 )+⃗ R (S1 Ai? S2) $⃗ i (O∈S2/ S1 )=0


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$% $n$1 $n&1

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⟺ Ai ) i+ 0 i *i+ # i+ i+ L i ui+M i vi+N i wi=0

⟺{ I i } ⋅ {ϑi }=0 ondit (ue { I i }et {ϑi } sont ré1ipro(ues

Soit+

n pose 12 la liaison !*uialente à (1A 2A 3A 4) *ui doit assurer les "/"es ations"!ani*ue et les "/"es "oue"ents relatifs entre S1 et S2Soit (1A 9A n) les liaisons parallle entre S1 et S2 don le torseur stati*ue !*uialent

{ I }=∑ { I i }

et{ϑ}={ϑ1 }== {ϑn }

>o"7re des inonnus stati*ue # s=∑ nsi

n appli*uant la relation de r!iproit! des torseurs on peut tirer 6 !*uations salaires onappelle

rs=no'9red4 é(uationss1alaires indépendantes=ran du'atri1e81e systE'e d4 é(8# sin1onnu 6

egr! dE-,perstatis"e de la liaison !*uialente des n liaisons parallle ¿G= # s−r s

Si -


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LnL1$% $n$1 $n&1

Ln'1

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{ϑ }={ϑ Sn & S0 }=∑ {ϑ i }

a liaison !*uialente au n liaison en s!rie entreS0 et

Sn est tou:ours isostati*ue

'antages et inon!nient de la liaison isostati*ue + (oire p165)

(h")ne continu *erm+ , ch")ne !imple , ch")ne boucle

a liaison !*uialente entre S1 et Sn est n pose{ I e}={ I entré?S1 } C { I s }= { I sortie?Sn} et

{ I 0 }= { I ext ?S0 }

Prinipe fonda"entale de stati*ue sur lEense"7le des n?1 solide donneQ { I e }+{ I s }+ { I 0 }={⃗0}

# s=∑i=1

n+1

nsi &n appli*ue le PS sur les n solides S1A9A Sn inutile de lEappli*uer de plus sur S0

ar sa donne des !*uations d!pendantes des pr!!dentes +

rs=(n9re d4 é(dépendante pour les # s in1onnuesstati(ue) 6 n

egr! dE-,perstatis"e de la -aHne fer"!e ¿G= # s−r s

deré de'o9ilité dela1Ga:ne fer'é =n9re d 4 in1onnue1iné'ati(uesindépendantetesdela1Ga:ne 1ontinue fe

d

4

ou G='+ # s−6n n à # 1=∑i=1

n+1

n1i=6

(n+1

)− # s e *ui a donnerG='+6− #

1

&tude in!"ati*ue + ∑i=1

n+1

{ϑ i }= {⃗0 } e *ui donne 6 !*uations salaires pour # 1 inonnues

salaires

onr1 6

'= # 1−r1

(h")ne comple-e,plu!ieur! ch")ne *erm+e! imbri#u+e!

Soit n le no"7re de solides et l le no"7re de liaison de la -aHne o"pleen "ontre (t-!orie des grap-es) *ue le no"7re de -aHnes ontinues fer"!esind!pendantes à !tudier est+

+ =l−n+1=no'9re 1y1lo'ati(uedela 1Ga:ne1o'plexe

.l suIt dEappli*uer le PS sur (nB1) solides e *ui donnent 6(nB1) !* salaires don

rs 6(n−1) !* ind!pendante pour # s=∑i=1

l

nsi inonnues salaire introduites par les l

$1

$2$%

$3


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liaisonsG= # s−r s &t on "ontre *ue '=6 (n−1 )−r s don+ G='+ # s−6 (n−1)

# 1=∑i=1

l

n1i=6l− # s $e *ui donne G='+6 + − # 1

&n appli*uant la loi de o"position des torseurs in!"ati*ues on o7tient 6 + relations

salaires entre les # 1 inonnues in!"ati*ues on r1 6 + &t '= # 1−r1

(in+ti#ue

Prinipe de onseration de "asse pour un ense"7le "at!riel (&) + ∀(e )⊂( > ); ' (e )=1st ∀t

Si ( > ) en'vt Ret ⃗φ ( P , t )un1Ga'p de ve1teursdéfini 81Ga(uedate t entout point P de ( > )

relative'ent 8 d' de P

!sultante g!n!rale du torseur assoi! à e -a"p de eteurs + ∫ P∈ >

⃗φ ( P , t )d' .

Si⃗ φ ( P ,t ) est 1ontinueet différentia9le 8t et 1o'pte tenudu prin1iepede 1onservationde 'asse

Onaura : d

dt [ ∫ P∈ >

⃗φ ( P ,t ) d'] R= ∫ P∈ > [ ddt ⃗φ ( P , t )] R d'

Soit un ense"7le "at!riel (&) de "asse " et de entre dEinertie G en "t % e torseur in!ti*ue de (&) dans son "t % en un pt ' est +

{ / R)}=

{∫ P∈ >⃗

( P / R ) d'=résultante 1inéti(ue=(uantité de 'ouve'ent

∫ P∈ >

⃗-P∧⃗ ( P/ R ) d'='o'ent 1inéti(ue=⃗ - ( >/ R ) } -@est ≤1entre de ravité de ( > )1 . 8 . d '⃗ O@= ∫

P∈ >

⃗OPd'

[ ddt ('⃗ O@)] R= d

dt [ ∫ P∈ >

⃗OPd' ] R par prin1ipede 1onservationde 'asseonaura' [ ddt (⃗O@ )] R= ∫ P∈ > [

d

dt ⃗OP ]

R

d'

soit '⃗ (@ / R )= ∫ P∈ >

⃗ ( P & R ) d' don1 {/ R)}= {'⃗ (@/ R )⃗ - ( > / R ) } -

e torseur d,na"i*ue de (&) dans son "t % en un pt ' est +


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{ ( > / R)}= { ∫ P∈ > ⃗Γ ( P/ R ) d'=résultantedyna'i(ue∫ P∈ >

⃗-P∧⃗ Γ ( P / R ) d'='o'ent dyna'i(ue=⃗J - ( >/ R )} -n "* ∫

P∈ >

⃗Γ ( P/ R ) d'='⃗ Γ (@ / R )

on1 : { ( >/ R)}= {'⃗ Γ (@ / R )⃗J - ( >/ R ) } -n "*

⃗J - ( > / R )=[ ddt ⃗ - ( > / R )] R+'⃗ ( - / R ) ∧⃗ (@ / R )

&nergie in!ti*ue de (&) dans son "t % à est +

F ( >/ R )=12 ∫ P∈ >

[⃗ ( P & R ) ]2 d'

Mo"ent dEinertie de (S) % à lEae J est + T ( S/ U )= ∫ P∈S

[⃗ P2 ]2d' ae D est la pro:etion

ort-ogonale de P sur J

Soit ⃗i=

(

)

*

+

)ve1teur unitaire dire1tri1e del

4 axe U (O ,⃗i ) et ⃗OP= x⃗ x+ y⃗ y+ z⃗ z

don1‖⃗ P2 ‖=‖⃗i∧⃗OP‖⇒.

⇒ T ( S / U)=) 2∫S

( y2+ z2)d'+ *2∫S

( z2+ x2)d'++ 2∫S

( x2+ y2)d'−2 *+ ∫S

yzd'−2 +) ∫S

zxd'−2 )*∫S

xyd'

n pose -=∫S

( y2+ z2)d';=∫S

( z2+ x2)d';=∫S

zxd'; = =∫S xyd'

-=∫S

( y2+ z2)d'='o'ent d4 inertie deS 8 l4 axe(O ,⃗ x)

= =∫S

xyd'= produit d 4 inertie de S auxaxes (O,⃗ x ) et (O ,⃗ y)

Opérateur d4 inertie de SenO est :⃗u⟼⃗V O (S ,⃗u )=∫

S

⃗OP∧ (⃗u ∧⃗OP ) d'

$et op!rateur est lin!aire don repr!senta7le par une "atrie *ui est appel! "atrie dEinertie

[ I O (S) ]


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[ T O (S) ]=[⃗V O (S ,⃗ x ) ,⃗ V O ( S ,⃗ y ) ,⃗ V O ( S ,⃗ z ) ]=[ - − = − >− = − − > − )

Soit un ense"7le "at!riel (&) dont la position % R est totale"ent d!#nit par n no"7res

salaires ind!pendants (i( t ) (i


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es onditions initiales n!essaires pour la r!solution du s,st"e si les(i sont les inonnus

sont C(i (t 0 ) , (́i (t 0 ) ,

$es !*uations sont des !*uations de "oue"ent

.nt!grale pre"ire de "oue"ent

;- des ations "utuelles + on peut "ontrer *ue∀ (e1 ) et (e2 )tel (ue (e1)X ( e2)=∅en'vt 8 R; { I (e1⟶e2 )}=−{ I (e2⟶e1 )}

&pression du prinipe fonda"entale de la d,na"i*ue dans un repre non galil!enSoit R unrepErenon aliliénen'vt 8 Ret ona⃗ Γ ( P/ R )=⃗ Γ ( P/ R )+⃗ Γ ( P∈ R/ R )+2⃗ % R / R ∧⃗ ( P/ R )

on1 : { (e/ R ) }={ (e / R ) }+{ ie ( e , R / R ) }+{ i1 ( e , R / R ) }=¿

'e { (e / R ) }= { I ( é?e ) }

{ ie (e , R / R )}= { −∫ P∈e ⃗Γ ( P∈ R / R ) d'−∫ P∈e

⃗-P∧⃗ Γ ( P∈ R/ R ) d'} - =torseur des effetsd 4 inertie d4 entraine'ent sur ( e ) ds son 'vt R et R { i1 (e ,R / R ) }=

{

−∫ P∈e

2⃗ % R / R∧⃗ ( P/ R ) d'

−∫ P∈ e⃗

-P∧

[2⃗

% R / R ∧⃗

( P/ R ) ] d'

} -

=torseur deseffetsd 4 inertie de


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⃗J O ( S / R0 )=[ ddt ⃗ O ( S / R0 )] R0

=[ ddt ⃗ O ( S / R0 )] R+⃗% R/ R 0∧⃗ O (S / R0 )=(− > θ́− θ́

θ́− θ́

θ́+ θ́2

− θ́− > θ́2

= =0&n prati*ue lE!*uili7rage par lEa:out de 2 "asses

'1et '

2 *ui doient respeter 4 !* (faile à

"ontrer) +

{ 'a

+'

1

x1+

'2

x2=

0

'1 y

1+'

2 y

2=0

+'1 y

1 z

1+'

2 y

2 z

2=0

>+'1 x

1 z

1+'

2 x

2 z

2=0

e"ar*ue + on peut au lieu dEa:outer les "asses les enleer

Puissane d!elopp! par lEation "!ani*ue de ( C ) sur (S ) dans le "t de (S ) % <

P ( C ? S & R )= { I ( C ? S ) }⋅ {ϑ(S / R)}

Puissane d!elopp! par les ations "utuelles entre ( C ) et ( > ) dans leur "t % <

P ( C Y> & R )= P ( C? > & R )+ P ( > ?C & R )


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n peut "* la puissane "utuelle est ind!pendante du repre d’oL on la note + P ( C Y > )

⟺ P (S1YS2 )= P (S1? S2 & S1 ) on en as de liaison parfaite entre S1 et S2 P ( S1Y S2 )=0

e traail + 7 t 1t

2 ( C? S & R )=∫t 1

t 2

P ( C ?S & R ) dt

( C ?> & R ) &st une !nergie potentielle de ( > ) A assoi! à lEation "!ani*ue de

( C ) sur( >) A ds le "t de ( > ) % si il ∃ une !*uation salaire !ri#ant +

P ( C ? > & R )=−ddt

( C ? > & R )

e "/"e en d!#nit lE!nergie potentielle entre deu ense"7les assoi!s au ations"utuelles

&nergie in!ti*ue +

{ (S/ R )}={ I ( Ś?S ) }⟹ { (S / R )} {ϑ(S / R)}= { I (Ś ? S ) } {ϑ(S / R) }

⟹ { (S / R ) } {ϑ(S / R)}= P ( Ś?S / R )

{ ( S/ R )} {ϑ (S / R)}= { ∫ P∈ S ⃗Γ ( P/ R ) d'∫ P∈S

⃗-P ∧⃗ Γ ( P / R ) d'} - { ⃗ %S / R

⃗ ( - / R )} - =∫ P∈S [⃗ ( -/ R ) ⋅⃗ Γ ( P/ R )+⃗%S / R ⋅ (⃗ -P∧⃗ Γ ( P/ R )) ]d'

&n re"plae⃗

( - / R )=⃗

( P/ R )+⃗

-P∧⃗

%S/ R ⇒

⃗ ( P / R ) ⋅⃗ Γ ( P/ R )+( ⃗-P∧⃗%S / R) ⋅⃗ Γ ( P / R )+⃗% S/ R

⋅ (⃗ -P ∧⃗ Γ ( P & R ))

(⃗ -P∧⃗%S / R) ⋅⃗ Γ ( P / R )+⃗%S/ R

⋅ (⃗ -P ∧⃗ Γ ( P & R ))=0 !"onstration par alul anal,ti*ue

on { (S/ R )} {ϑ (S / R ) }= ∫ P∈S

⃗ ( P / R ) ⋅⃗ Γ ( P/ R )d'ave1⃗ Γ ( P / R )= d

dt ⃗ ( P/ R )

⇒ { (S / R )} {ϑ (S / R )}= ∫ P∈S

d

dt

(

1

2

[⃗ ( P/ R ) ]2

)d'=

d

dt

1

2

∫ P∈S

[⃗ ( P / R ) ]2

d'

d

dt

1

2 ∫ P∈S

[⃗ ( P / R )]2

d'= P ( Ś?S / R )

d

dt F (S / R )= P ( Ś ?S / R )

F (S / R ) &st lE!nergie in!ti*ue galil!enne de (S )

Pour un ense"7le de ( > ) solide (S1 ) ,,( Sn ) en "t % R on "* +


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d

dt F ( >/ R )= P ( ´ > ? >/ R )+ ∑

i=1, 3=2i/ R )=−ddt ( > & R )

.l ∃ un int!gral pre"ier "oue"ent(ou !nergie in!ti*ue)

F ( > / R )+ ( > & R )= )

appel et astues +

(? S / R )=' G@

2F ( >/ R )=2F ( S1/ R )++2F (Sn/ R )= I e Zi2; I e=inertie é(uivalent

F + =

résumé mécanique du solide (tensorielle)

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