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Apuntes Tema 8:
Respuesta temporal de componentes pasivos a la
Corriente Alterna.
Contenido 8 Introducción ..................................................................................................................................... 2
8.1 Valor eficaz de una señal alterna .............................................................................................. 2
8.2 Respuesta de cada componente lineal a la C.A. ....................................................................... 4
8.2.1 Respuesta de una resistencia a la C.A. .............................................................................. 4
8.2.2 Respuesta de un capacitor a la C.A. ................................................................................... 5
8.2.3 Respuesta de una bobina a la C.A. ..................................................................................... 9
8.2.4 Resumen ........................................................................................................................... 11
8.2.5 Preguntas de autoevaluación ........................................................................................... 11
8.2.6 Ejercicios propuestos ....................................................................................................... 12
8.3 Respuesta de dos componentes lineales a la C.A. .................................................................. 13
8.3.1 Respuesta de un circuito serie RC a la C.A. ...................................................................... 13
8.3.2 Respuesta de un circuito serie RL a la C.A. ..................................................................... 15
8.4 Respuesta del circuito serie R-L-C a la C.A. ............................................................................. 17
8.5 Números complejos ............................................................................................................... 21
8.5.1 Operaciones con complejos: ............................................................................................ 23
8.5.2 Resumen ........................................................................................................................... 24
8.5.3 Preguntas de autoevaluación ........................................................................................... 24
8.5.4 Ejercicios propuestos ....................................................................................................... 25
8.6 Respuesta del circuito paralelo R-L-C a la C.A. ....................................................................... 26
8.6.1 Preguntas de autoevaluación ........................................................................................... 30
8.6.2 Ejercicios propuestos....................................................................................................... 31
8.7 Resonancia en el circuito serie R-L-C. ..................................................................................... 32
8.7.1 Curva universal de resonancia. ........................................................................................ 40
8.7.2 Puntos de media potencia................................................................................................ 45
8.7.3 Aumento de la tensión en resonancia. ............................................................................ 46
8.8 Resonancia en un circuito paralelo. ........................................................................................ 48
2
8.8.1 Aplicación de circuitos paralelo y serie como filtros. ....................................................... 51
8.9 Resumen .................................................................................................................................. 52
8.10 Bibliografía ............................................................................................................................ 54
8 Introducción
En el capítulo anterior se analizó la respuesta de los componentes a la C.C.
y particularmente a la función escalón. Ahora bien, cuando los componentes
pasivos se someten a corriente alterna, se pueden verificar fenómenos
específicos que ella produce y que tienen gran trascendencia. Por otro lado,
se debe recordar las características que poseen las C.A.: valor instantáneo,
valor máximo o de pico, valor eficaz y frecuencia. Por ello, para el estudio
que se inicia ahora, se deben recordar los valores instantáneos y los
eficaces, ya que de allí se podrán extraer las conclusiones que permitirán
conocer en forma inequívoca, otros parámetros y características
importantes que se producen en los componentes pasivos.
8.1 Valor eficaz de una señal alterna
El valor eficaz de cualquier señal está dado por la fórmula:
Aplicando esta fórmula a una onda senoidal se tiene:
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 2 =
1
𝑇 𝑣 2
𝑇
0
𝑑𝑡
3
Sabiendo que:
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 2 =
1
𝑇 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡
2 𝑇
0
𝑑𝑡
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 2 =
𝑉 2
𝑇 𝑠𝑒𝑛 2 𝑤𝑡
𝑇
0
𝑑𝑡
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 2 =
𝑉 2
𝑇
1 − cos 2𝑤𝑡
2
𝑇
0
𝑑𝑡
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 2 =
𝑉 2
2 𝑇 1
𝑇
0
𝑑𝑡 − cos 2𝑤𝑡 𝑇
0
𝑑𝑡
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 2 =
𝑉 2
2 𝑇 𝑡 −
𝑠𝑒𝑛 2𝑤𝑡
2
T
0
T
0
𝑇 = 2 𝜋
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 2 =
𝑉 2
2 𝑇 2 𝜋 − 0 −
𝑠𝑒𝑛 2𝑤 2𝜋
2 −
𝑠𝑒𝑛 2𝑤 0
2
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 2 =
𝑉 2
2 𝑇 2 𝜋 𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐
2 = 𝑉 2
2 𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐
2 = 𝑉 2
2 2𝜋 2 𝜋
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 =
𝑉 2
2
𝑉 𝑒𝑓𝑖𝑐 =
𝑉
2
4
Se define como el valor de una corriente rigurosamente constante
(C.C.) que al circular por una determinada resistencia óhmica pura produce
los mismos efectos calóricos (igual potencia disipada) que dicha corriente
variable (C.A.)
Todos los instrumentos de medición ( excepto el osciloscopio ) indican el
valor EFICAZ de la variable a medir.
De esto que al medir con un multímetro la tensión de línea da por resultado
220 Volts, su valor pico es 310 Volts.
8.2 Respuesta de cada componente lineal a la C.A.
8.2.1 Respuesta de una resistencia a la C.A.
Para iniciar el análisis, se aplicará primero una tensión de C.A. a una
resistencia, tal como se expone en la figura.
5
La respuesta de la resistencia a la corriente alterna, es también una
corriente, que se obtiene por Ohm, y su particularidad es que sigue
fielmente las alternancias de la tensión ya que la resistencia es un elemento
lineal y pasivo.
Esto último se interpreta como que la corriente está en fase con la tensión
aplicada.
Por supuesto, en el dibujo la representación tanto de la tensión como de la
corriente están en escalas distintas. Asimismo, para obtener estos
parámetros, se deben utilizar los valores eficaces: =
. Como notación
importante, los valores eficaces se colocarán con letras mayúsculas y los
instantáneos en minúscula.
8.2.2 Respuesta de un capacitor a la C.A.
6
Cuando se aplica una C.A. a un capacitor ideal (dieléctrico sin
pérdidas), la respuesta que se obtiene tiene características muy
particulares, como se expondrá a continuación. La corriente instantánea
circulante se establece como: = ̂ . Por otro lado, debe recordarse
que la tensión instantánea desarrollada sobre los bornes de un capacitor
está dada por: =
∫ (1) y reemplazando e integrando resulta:
Analizando el término
Entonces:
𝑉𝐶 = 1
𝐶 𝐼 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐶 =
1
𝐶 − cos𝑤𝑡
𝑤 𝑉𝐶 =
− 1
𝑤𝐶 cos𝑤𝑡
𝑤 = 2 𝜋 𝑓 𝑤 = 2 𝜋
𝑇 =
1
𝑠𝑒𝑔 𝑤 =
2 𝜋
𝑇
1
𝑤 𝐶
𝐶 = 1
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝐴𝑚𝑝 𝑠𝑒𝑔
1
𝑤 𝐶 =
1
1 𝑠𝑒𝑔 .
𝐴𝑚𝑝 . 𝑠𝑒𝑔 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
1
𝑤 𝐶 = Ω 𝑂ℎ𝑚𝑠
𝐶 = 1
𝑉𝐶 𝐼 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐶 =
1
𝐶 𝐼 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝐶 =
1
𝑉 𝐼 𝑇
7
Esto indica que tiene la dimensión de una resistencia, determinando por ello
entonces que es la oposición del pasaje de la C.A., y se la denomina
reactancia capacitiva:
Analizando el término
2 , se ve que 2 es una constante, por lo que
la reactancia depende exclusivamente de la frecuencia y como está en el
denominador, es inversamente proporcional a ella. A mayor frecuencia
menor reactancia y viceversa.
Así entonces el producto: ̂ es una tensión por lo que la tensión en el
capacitor queda:
En la figura se han dibujado: la corriente instantánea circulante y la tensión
instantánea desarrollada en los extremos del capacitor.
𝑋𝐶 = 1
𝑤 𝐶
𝑉𝐶 = − 𝑉 cos𝑤𝑡
XC
8
Por ello, un observador recorriendo el eje desde la izquierda hacia la
derecha, verá primero a la corriente (set) y después a la tensión (cost).
Ello indica que la tensión en el capacitor se atrasa 90º o que la corriente se
adelanta 90º.
Para interpretar más cabalmente este acontecimiento, deberá recordar la
generación de C.A. a partir de vectores rotatorios el vector se
corresponde con la tensión aplicada “v” instantánea y el vector ̂ se
corresponde con la corriente circulante “i”, proyectados sobre el eje Y.
Ambos vectores giran de acuerdo a la pulsación o velocidad angular =
/t generando, uno de ellos la función seno y la otra, la coseno; y se puede
observar que el vector corriente va adelante de la tensión desplazado en
90º. Esto se observa mirando el diagrama desde la izquierda a la derecha.
𝒘𝒕 𝑖 = 𝐼 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑣 = − 𝑉 cos𝑤𝑡
90°
𝑽
𝑰
9
8.2.3 Respuesta de una bobina a la C.A.
Cuando se aplica una C.A. a una inductancia ideal (sin resistencia), la
respuesta que se obtiene al igual que en el capacitor, tiene características
muy particulares, como se expondrá a continuación. La corriente
instantánea circulante se establece como: = ̂ . Por otro lado, se
debe recordar que la caída de tensión en la inductancia es: =
; y
reemplazando por la corriente instantánea circulante y derivando queda:
= ̂ cos . Al igual que en la capacidad, analizando el término y
realizando su análisis dimensional, se encuentra que:
Por lo que tiene la dimensión de resistencia; y como es la oposición a la
C.A. se denomina reactancia inductiva: = . Por ello entonces, en la
expresión = ̂ cos se obtiene que: ̂ = que es una tensión
por lo que: = cos .
𝑤 = 2 𝜋 𝑓 𝑤 = 2 𝜋
𝑇 =
1
𝑠𝑒𝑔 𝑤 =
2 𝜋
𝑇
𝐿 = 𝑉𝐿 𝑑𝑡
𝑑𝑖 𝑉𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡 𝐿 = 𝑉𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑖 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
𝑠𝑒𝑔
𝐴𝑚𝑝
𝑤𝐿 = 1
𝑠𝑒𝑔 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
𝑠𝑒𝑔
𝐴𝑚𝑝 𝑤𝐿 =
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
𝐴𝑚𝑝 = Ω
10
En la figura se han dibujado: la corriente instantánea circulante y la tensión
instantánea desarrollada en los extremos del capacitor.
Por ello, un observador recorriendo el eje desde la izquierda hacia la
derecha, verá primero a la tensión (cost) y después a la corriente (set).
Ello indica que la tensión en el capacitor se adelanta 90º o que la corriente
se atrasa 90º.
El diagrama temporal es el siguiente:
𝒘𝒕 𝑣 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝑖 = 𝐼 sen𝑤𝑡
90°
𝑰
𝑽
11
Debe notarse desmenuzando el término = 2 que 2 es una
constante y por ello la reactancia depende exclusivamente de la frecuencia
y varía en forma directa de tal forma que a mayor frecuencia mayor
reactancia y viceversa. Realizando el diagrama temporal se obtiene:
8.2.4 Resumen
La utilización de corriente alterna armónica en los circuitos, abre un nuevo
panorama de aplicación de la Ley de Ohm. Es así que aparecen fenómenos
asociados a componentes pasivos tales como capacitores e inductancias. La
oposición a la corriente alterna de estos componentes, se denomina
reactancia capacitiva: =
2 y reactancia inductiva: = 2 ,
respectivamente. En el primer caso, la reactancia se disminuye con la
frecuencia y su respuesta es una hipérbola, mientras que la reactancia
inductiva se incrementa con la frecuencia, pero en forma lineal.
8.2.5 Preguntas de autoevaluación
1) ¿Qué sucede entre la corriente y tensión en una resistencia? ¿Cómo
están ambas variables?
2) ¿Qué sucede entre la corriente y tensión en una bobina? ¿Cómo están
ambas variables?
3) ¿Qué sucede entre la corriente y tensión en un capacitor? ¿Cómo
están ambas variables?
X
L
f
12
4) ¿Cómo se denomina la oposición que presenta la bobina a la
C.A.? ¿Cómo varía con la frecuencia?
5) ¿Cómo se denomina la oposición que presenta un capacitor a la C.A.?
¿Cómo varía con la frecuencia?
6) ¿Una señal de C.C. tiene oposición en una bobina? ¿Por qué?
7) ¿Una señal de C.C. tiene oposición en un capacitor? ¿Por qué?
8.2.6 Ejercicios propuestos
1) Determine la respuesta de la tensión VL2 y VC2 en función de la
frecuencia en forma general, de los circuitos que se exponen. La
tensión de entrada es Vg.
2) Construya el diagrama de la reactancia capacitiva e inductiva con
respecto a la frecuencia desde cero hasta 1 KHz. para los siguientes
valores: C= 1μF y L=1mhy.
3) Determine en forma genérica el capacitor equivalente de dos unidades
conectadas en serie, C1 y C2 y el equivalente de ellos conectados en
paralelo. Para ello, parta de la expresión: =
.
𝐿
𝐿 2 𝑉 𝐿 2 𝑉 𝑔
𝐼
𝐼
𝐶
𝐶 2 𝑉 𝐶 2 𝑉 𝑔
𝐼
𝐼
𝑪 𝟐 𝑪 𝟏 𝑪 𝒆𝒒𝒖𝒗
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4) Determine en forma genérica la inductancia equivalente de dos unidades
conectadas en serie, L1 y L2 y el equivalente de ellas conectadas en
paralelo. Utilice para estos casos la expresión: =
.
8.3 Respuesta de dos componentes lineales a la C.A.
8.3.1 Respuesta de un circuito serie RC a la C.A.
En la figura se puede observar un circuito compuesto por una resistencia y
un capacitor en serie, alimentado por una fuente de tensión de C.A.
La corriente instantánea circulante será: = ̂ sen y aplicando Kirchoff:
𝑖 = 𝐼 sen𝑤𝑡 𝑉 𝑅
𝑉 𝐶 𝐶
𝑅
𝐸
𝐸 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐶 = 𝑖 . 𝑅 + 1
𝐶 𝑖 𝑑𝑡
𝐸 = 𝐼 sen𝑤𝑡 . 𝑅 + 1
𝐶 𝐼 sen𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝐸 = 𝐼 𝑅 sen𝑤𝑡 +
𝐼
𝐶 −
cos𝑤𝑡
𝑤
𝐸 = 𝑉𝑅 sen𝑤𝑡 − 𝑉𝐶 cos𝑤𝑡
𝑳 𝟐 𝑳 𝟏 𝑳 𝒆𝒒𝒖𝒗
14
En la siguiente figura se pueden observar los valores instantáneos: de la
corriente circulante; la caída de tensión en R (en fase condicha corriente) y
la caída en el capacitor C y la tensión aplicada E, la cual está desfasada con
la corriente el valor .
El diagrama vectorial, en el cual la corriente es común a ambos
componentes, se expone en la próxima figura.
La magnitud con la cual se dibujan los vectores debe hacerse de acuerdo a
una escala adoptada, realizado siempre con los valores eficaces. Por otro
lado, puede verse que el vector VR está en fase con la corriente, lo que es
lógico ya que R es un elemento lineal y constante; VC es el vector tensión
sobre los bornes del capacitor y está dibujado atrasado en 90º. Finalmente
𝜑
𝑡
𝑣𝐶 = − 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡
𝑖 = 𝐼 sen𝑤𝑡 𝑣𝑅 = 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑣 , 𝑖
𝐸
𝜑 𝐼
𝑉𝑅
𝐸 𝑉𝐶
𝒘𝒕
15
de la suma vectorial se obtiene la caída total de tensión igual a la tensión
aplicada y desfasada un ángulo con la corriente circulante. Ello está
indicando, de acuerdo a los módulos de VC y de VR, que la tensión E se
obtiene por la suma vectorial de ellos y su módulo: = √ 2 +
2.
El ángulo es el mismo de las tensiones y para obtenerlo se aplica un
razonamiento similar. Finalmente, la conclusión de esta combinación es que
la corriente se adelanta respecto a la tensión aplicada, y este desfasaje
dependerá de los valores de R y de XC. Por ejemplo, si el capacitor es ideal
y R es cero, el desfasaje sería de 90º y en el caso que R sea infinito, el
ángulo sería 0º.
8.3.2 Respuesta de un circuito serie RL a la C.A.
En la figura se puede observar un circuito compuesto por una inductancia y
una resistencia en serie. De nuevo se especifica que la corriente circulante
es: = ̂
La corriente instantánea circulante será: = ̂ sen y aplicando Kirchoff:
𝑖 = 𝐼 sen𝑤𝑡 𝑉 𝑅
𝑉 𝐿 𝐿
𝑅
𝐸
𝐸 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐿 = 𝑖 . 𝑅 + 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝐸 = 𝐼 sen𝑤𝑡 . 𝑅 + 𝐿 𝑑 𝐼 sen𝑤𝑡
𝑑𝑡
𝐸 = 𝐼 𝑅 sen𝑤𝑡 + 𝐿 𝐼 cos𝑤𝑡 .𝑤
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Lo que se puede ver en el diagrama temporal que se muestra en la
siguiente figura.
Nótese que la tensión adelanta respecto a la corriente circulante. Además,
también de acuerdo a los valores de R y de XL se obtendrá el ángulo de
desfasaje entre la tensión aplicada y la corriente circulante. Ahora se
construirá el diagrama vectorial, que es con quien realmente se trabaja en
la resolución de estos circuitos. Por ello y siendo la corriente la misma para
ambos componentes, se utilizará a ella como eje común. Adoptando escalas
para las tensiones, corriente, resistencia e impedancias, trabajando con los
valores eficaces, se construye el diagrama.
𝐸 = 𝑉𝑅 sen𝑤𝑡 + 𝑉𝐿 cos𝑤𝑡
𝑣𝐿 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡
𝑖 = 𝐼 sen𝑤𝑡
𝜑
𝑣𝑅 = 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡
𝑡
𝑣 , 𝑖
𝐸
𝐼 𝑉𝑅
𝐸 𝑉𝐿
𝜑
𝒘𝒕
17
En fase con la corriente circulante está la caída de tensión en la resistencia,
VR y adelantada 90° se dibuja la caída en L, VL. Sumando ambos vectores
se determina la tensión aplicada E. De esta suma se obtiene entre la
tensión y la corriente.
= √ 2 +
2
Finalmente, la conclusión de esta combinación es que la corriente se atrasa
respecto a la tensión aplicada, y este desfasaje dependerá de los valores de
R y de XL. Por ejemplo, si el capacitor es ideal y R es cero, el desfasaje sería
de 90º y en el caso que R sea infinito, el ángulo sería 0º.
8.4 Respuesta del circuito serie R-L-C a la C.A.
La figura muestra una combinación R-L-C en serie. Ya se conoce como
actúa cada componente.
La corriente instantánea circulante será: = ̂ sen
Por ello, se aplica Kirchoff y se obtiene la suma vectorial de los valores
instantáneos:
Reemplazando queda:
𝐸 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐿 + 𝑉 𝐶 = 𝑖 . 𝑅 + 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡 +
1
𝐶 𝑖 𝑑𝑡
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Graficando los tres valores de tensión en función del tiempo
Retomando la igualdad antes vista
Se puede expresar como :
𝐸 = 𝐼 sen𝑤𝑡 . 𝑅 + 𝐿 𝑑 𝐼 sen𝑤𝑡
𝑑𝑡 +
1
𝐶 𝐼 sen𝑤𝑡 𝑑𝑡
𝐸 = 𝐼 𝑅 sen𝑤𝑡 + 𝐿 𝐼 cos𝑤𝑡 .𝑤 + 𝐼
𝐶 −
cos𝑤𝑡
𝑤
𝒗𝑪
𝒗𝑹 𝒗𝑳
𝐸 = 𝐼 𝑅 sen𝑤𝑡 + 𝐿 𝐼 cos𝑤𝑡 .𝑤 + 𝐼
𝐶 −
cos𝑤𝑡
𝑤
𝐸 = 𝐼 𝑅 sen𝑤𝑡 + 𝑤 𝐿 − 1
𝑤 𝐶 cos𝑤𝑡
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en la cual el término: se denomina reactancia
total del circuito.
Se interpreta así: si es mayor que , es positivo, el circuito es
predominantemente inductivo, corriente en atraso y si es mayor que ,
es negativo, el circuito es capacitivo, corriente en adelanto. También
puede suceder que = , = 0 este caso caso especial se denomina
resonancia y va a ser objetivo de un estudio posterior. Otra posibilidad es
que el valor de R sea mucho mayor que el de X , en cuyo caso el circuito es
fundamentalmente resistivo.
Lo descripto, resultará más explícito, mediante el diagrama vectorial de las
tensiones en el que el circuito es inductivo. Recuerde que se trabaja con
valores eficaces y se debe adoptar una escala. Por otro lado, en la
figura se ha realizado un diagrama de tensiones.
Dividiendo cada vector en una cantidad fija el diagrama no varía llegando a
lo que se conoce como TRIANGULO DE IMPEDANCIAS. A cada vector se lo
divide en el valor de la corriente con lo cual queda:
𝑤 𝐿 − 1
𝑤 𝐶 = 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 = 𝑋
𝑉𝐶
𝑉𝑅 𝐼
𝑉𝐿
𝐸 𝑉𝐿 − 𝑉𝐶
𝑉𝐶
𝐼
𝑉𝑅
𝐼
𝑉𝐿
𝐼
𝐸
𝐼
𝑋𝐶
𝑅
𝑋𝐿
𝑍 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶
20
Aplicando Pitágoras y trigonometría en este triángulo se llega a :
Con un ejemplo se terminará de interpretar estos circuitos.
Encontrar la impedancia, módulo y argumento y construir el diagrama
vectorial.
En primer lugar se deben encontrar los valores de XL y de XC así:
El valor de la impedancia será:
el valor del argumento es:
𝑍 = √ 𝑅 2 + 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 2 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔 − 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶
𝑅
𝑋𝐿 = 2 𝜋 𝑓 𝐿 = 2 𝜋 500 𝐻𝑧 1,6 𝑚𝐻𝑦 = 5 Ω
𝑋𝐶 = 1
2 𝜋 𝑓 𝐶 =
1
2 𝜋 500 𝐻𝑧 31,8 𝜇𝐹 = 10 Ω
𝑍 = √ 𝑅 2 + 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 2 𝑍 = √ 5 2 + 5 − 10 2
= 7 Ω
𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔 − 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶
𝑅 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔 −
5 − 10
5 = 45°
𝑅 = 5 Ω 𝐿 = 1,6 𝑚𝐻𝑦 𝐶 = 318 𝜇𝐹
𝑉 𝑅 𝑉 𝐿 𝑉 𝐶
𝑰
𝑓 = 500 𝐻𝑧
21
El diagrama vectorial se realiza utilizando la corriente como base común, ya
que es la misma para el circuito serie.
Se puede observar en este ejemplo, que el circuito es capacitivo y por
consiguiente la corriente está adelantada con respecto a la tensión. El
ángulo de adelanto es de 45º. Si se construye el diagrama de tensiones
debe adoptarse una escala adecuada. En este caso, el ángulo de desfasaje
también será de 45º. Debe advertirse que de acuerdo al ángulo que puede
ser negativo o positivo estará mostrando por consiguiente, si la corriente
adelanta o atrasa respecto a la tensión. Esto último estará de acuerdo a los
valores relativos de la resistencia, inductancia y capacidad.
8.5 Números complejos
Los circuitos vistos, también se pueden estudiar mediante variable
compleja. Esta es una herramienta matemática que para circuitos
complicados permite su resolución en forma quizás más sencilla. Se trabaja
con vectores en el plano complejo.
22
En la figura se pueden observar dos vectores: y 2 con sus
componentes y y 2 y 2 que están en en el plano complejo. Aparecen
así los denominados números imaginarios. Estos últimos responden a que la
raíz cuadrada de -1 no tiene solución en el plano real y por ello se define al
resultado de dicha raíz como − 1 = . La unidad en el eje imaginario se
designa como .
Con esta sencilla explicación ahora se podrán representar vectores en el
plano complejo.
Con estos conceptos y trabajando con este tipo de representación se puede
escribir por ejemplo para el caso del diagrama vectorial de una combinación
serie:
Las operaciones con números complejos son las siguientes de interés para
la aplicación en circuitos de C.A.
𝐼𝑚𝑎𝑔
𝑅𝑒𝑎𝑙
𝑍
𝑍2
𝑎2
𝑏
𝑏2
𝛼
𝛽
𝑍 = 𝑎 + 𝑗 𝑏 𝑍2 = 𝑎2 + 𝑗 𝑏2
𝑅 𝑗 𝑋𝐿 − 𝑗 𝑋𝐶
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑋𝐿 − 𝑗 𝑋𝐶
23
8.5.1 Operaciones con complejos:
Suma: la suma de dos números complejos tiene como resultado una
componente real igual a las sumas de las componentes reales y una
componente imaginaria igual a la suma de las componentes
imaginarias.
Resta: para restar cámbiense los signos de las componentes del
sustraendo y efectúese una suma.
Multiplicación: El producto de un número real por un número
imaginario es un imaginario. El producto de dos números imaginarios
es real y negativo.
División: Para dividir dos números complejos, se los debe primero
multiplicar y dividir por el conjugado del denominador que se obtiene
cambiándole solamente el signo a la parte imaginaria.
Veamos un ejemplo:
¿ 𝑍𝑒𝑞 ?
10 Ω 5 Ω
20 Ω − 𝑗 10 Ω
𝑗 8 Ω
𝑍∗
𝑍∗ = 5 + 𝑗 8 20 − 𝑗 10
25 − 𝑗 2 =
180 + 𝑗 110
25 − 𝑗 12 = 166.68 + 𝑗 84.4
𝑍 𝑒𝑞 = 10 + 𝑗 0 + 166.68 + 𝑗 84.4
𝑍𝑒𝑞 = 176.88 + 𝑗 84.4
𝑍𝑒𝑞 = 195.98 25.51°
24
8.5.2 Resumen
Cabe destacar que la resistencia que ofrece la combinación tanto en serie
como en paralelo e incluyendo resistencias, se denomina Impedancia Z,
siendo su unidad el ohm (Ω).
El comportamiento de los elementos reactivos, cuando se aplica C.A. a un
circuito con ellos, produce un desplazamiento de fase de la corriente
circulante con respecto a la tensión.
El capacitor ideal, adelanta la corriente 90º respecto a la tensión y la
inductancia ideal, atrasa la corriente 90º respecto de la tensión. Con
respecto a la resistencia, su tratamiento es igual que para corriente
continua, pero asociada a los elementos mencionados anteriormente,
produce que los adelantos o atrasos sean menores a 90º.
La resolución de los problemas de C.A. pueden realizarse utilizando
diagramas
vectoriales o álgebra compleja. Se debe tener en cuenta por ello, que las
sumas de elementos reactivos es geométrica y no aritmética. Así entonces,
el módulo de la impedancia se puede obtener por Pitágoras:
8.5.3 Preguntas de autoevaluación
8) ¿Cómo se denomina la oposición que presenta un circuito R-L-C al paso
de C.A.?
9) ¿Si un circuito es predominantemente inductivo como está la corriente
respecto a la tensión?
10) ¿Si un circuito es predominantemente capacitivo como está la tensión
respecto a la corriente?
𝑍 = √ 𝑅 2 + 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 2
25
11) Si los efectos inductivos y capacitivos se anulan ¿cuál es el ángulo
entre la tensión y la corriente?
8.5.4 Ejercicios propuestos
5) Se desea determinar la impedancia, la corriente, caídas de tensión en
cada componente, ángulo de fase y además construya el diagrama
vectorial del circuito que se expone en la figura siguiente:
6) Se desea hallar el valor de la corriente y el ángulo de desfasaje que se
produce en el siguiente circuito.
𝑅 = 200 Ω 𝐿 = 10 𝜇𝐻𝑦 𝐶 = 100 𝜌𝐹
𝐸 = 20 𝑉 ; 𝑓 = 1 𝐾𝐻𝑧
𝑉 𝑅 𝑉 𝐿 𝑉 𝐶
𝑰
𝑅 = 150 Ω 𝐿 = 2 𝐻𝑦 𝐶 = 0,01 𝜌𝐹
𝐸 = 220 𝑉 ; 𝑓 = 50 𝐻𝑧
𝑉 𝑅 𝑉 𝐿 𝑉 𝐶
𝑰
26
7) Una bobina de 0,7 H de autoinducción, un condensador de 10 μF y una
resistencia de 100 Ω se conectan en serie y a una fuente de tensión de
115 voltios a 60 Hz. Calcular la reactancia, intensidad máxima y
eficaz, impedancia compleja, ángulo de fase y caídas de tensión en
cada elemento.
8) Un circuito serie RLC está constituido por una resistencia de 100Ω,
una autoinducción de 30 mH y un condensador de 250 μF. Se aplica al
circuito una tensión de 220 V a 50 Hz. Calcular la intensidad, tensión en
cada componente, y dibujar los diagramas de tensión e intensidad y el
triángulo de impedancias.
9) El valor de la impedancia de un circuito es Z = 8 + 12 j para una
frecuencia de 50 Hz. Calcular:
a) El módulo y el ángulo de desfase de esa impedancia.
b) El coeficiente de autoinducción.
c) Suponiendo que se le aplica una diferencia de potencial de
50 V, calcular la corriente total y la caída de tensión en
cada elemento.
10) Calcular la corriente que circula por una impedancia de valor Z = 4 – j
cuando se conecta a un generador de 100 V a 50 Hz.
8.6 Respuesta del circuito paralelo R-L-C a la C.A.
El estudio y análisis de los circuitos con componentes pasivos conectados en
paralelo, se pueden atacar de dos formas diferentes: primero; aplicando los
mismos conceptos que se aplican como impedancias, y segundo, trabajando
con las recíprocas de la impedancia, reactancia y resistencia: admitancia,
susceptancia y conductancia.
27
La figura muestra una combinación R-L-C en paralelo. Ya se conoce como
actúa cada componente.
Todos los elementos están al mismo potencial. Por ello el valor común es:
= cos
Por ello, se aplica Kirchoff y se obtiene la suma vectorial de los valores
instantáneos de cada corriente
Al término se lo conoce como CONDUCTANCIA , se designa con la letra
G
Al término se lo conoce como SUCEPTANCIA INDUCTIVA , se
designa con la letra
𝐼 = 𝐼 𝑅 + 𝐼 𝐿 + 𝐼 𝐶
1
𝑅
𝑉𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡 𝑖𝐿 =
1
𝐿 𝑣𝐿 𝑑𝑡 =
1
𝐿 𝑉 cos𝑤𝑡 𝑑𝑡 =
𝑖𝐿 = 𝑉
𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡
𝑤 =
1
𝑤 𝐿 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡
1
𝑤 𝐿
𝑖𝐿 = 𝐵𝐿 . 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡
𝐼 𝑅 = 𝑒
𝑅 =
𝑉
𝑅 cos𝑤𝑡 𝐼 𝑅 =
1
𝑅 𝑉 cos𝑤𝑡 𝐼 𝑅 = 𝐺 . 𝑉 cos𝑤𝑡
28
Al término se lo conoce como SUCEPTANCIA CAPACTIVA , se
designa con la letra
Con esto último se puede escribir:
Graficando los tres valores de corriente en función del tiempo y su diagrama
fasorial se tiene:
𝑉𝐶 = 1
𝐶 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝐶 𝑉 − sen 𝑤𝑡 𝑤 = − 𝑤 𝐶 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡
𝑖𝐶 = − 𝐵𝐶 . 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡
𝐼 = 𝐼 𝑅 + 𝐼 𝐿 + 𝐼 𝐶
𝐼 = 𝐺 . 𝑉 cos𝑤𝑡 + 𝐵𝐿 . 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 − 𝐵𝐶 . 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡
𝑖𝐿 𝑖𝑅
𝑖𝐶
𝐼𝐿
𝐼𝐶
𝐼𝑅
𝐼
𝑉
𝜑
𝐼𝐶 - 𝐼𝐿
𝐼 = √ 𝐼𝑅 2 + 𝐼𝐶 − 𝐼𝐿 2
29
Dividiendo en el diagrama fasorial por el vector común a loa tres
componentes
Ejemplo: Encuentre el valor de la corriente por el circuito.
𝐼𝐿𝑉
𝐼𝐶𝑉
𝐼𝑅𝑉
𝐼
𝑉
𝜑
𝐵𝐿
𝐵𝐶
𝐺
𝑌
𝜑
𝑌 = √ 𝐺 2 + 𝐵𝐶 − 𝐵𝐿 2 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔 − 𝐵𝐶 − 𝐵𝐿
𝑅
𝑉 = 220 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠
𝑓 = 50 𝐻𝑧
𝑅 = 10 Ω
𝐿 = 10 𝑚𝐻𝑦
𝐶 = 160 𝜇𝐹
𝑅 = 10 Ω 𝐺 = 0,1 𝑚ℎ𝑜
𝑋𝐿 = 2 𝜋 𝑓 𝐿 = 6,28 Ω 𝐵𝐿 = 0,16 𝑚ℎ𝑜
𝑋𝐶 = 1
2 𝜋 𝑓 𝐶 = 19,9 Ω 𝐵𝐶 = 0,05 𝑚ℎ𝑜
30
El valor eficaz de la corriente por el circuito está dado por:
Como Se aprecia el circuito es predominantemente inductivo y la tensión
adelanta respecto a la corriente del circuito.
8.6.1 Preguntas de autoevaluación
12) ¿Cómo se denomina la recíproca de la resistencia?
13) ¿Cómo se denomina la recíproca de la reactancia inductiva?
14) ¿Cómo se denomina la recíproca de la reactancia capacitiva?
15) ¿Cómo se denomina la recíproca de la impedancia?
16) ¿Cómo se calcula el módulo y el ángulo de desfasaje en un circuito
paralelo?
𝑌 = √ 𝐺 2 + 𝐵𝐶 − 𝐵𝐿 2 𝑌 = √ 0,1 2 + 0,05 − 0,16 2
𝑌 = √ 0,021 𝑌 = 0,15 𝑚ℎ𝑜
𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔 − 𝐵𝐶 − 𝐵𝐿
𝑅 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔 −
0,05 − 0,16
0,1
𝜑 = −47,7°
𝐼 = 𝑌 .𝑉 = 0,15 𝑚ℎ𝑜 . 220 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 𝐼 = 𝑌 .𝑉 = 33 𝐴𝑚𝑝
𝜑 𝑉
𝐼
31
17) ¿Cómo es la admitancia en un circuito en donde se anulan los efectos
inductivos y capacitivos?
8.6.2 Ejercicios propuestos
11) Determine, en el circuito paralelo de la figura, los valores de BL , BC , la
admitancia Y, la corriente total circulante y el ángulo de desfasaje entre
esta última y la tensión aplicada.
12) Encuentre el valor de la corriente por el circuito
13) Calcular la impedancia total y la corriente por cada rama del circuito de
la figura:
𝑉 = 100 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠
𝑓 = 500 𝐻𝑧
𝑅 = 15 Ω
𝐿 = 0.01 𝐻𝑦
𝐶 = 10 𝜇𝐹
𝑉 = 220 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠
𝑓 = 50 𝐻𝑧
𝑅 = 100 Ω
𝐿 = 50 𝑚𝐻𝑦
𝐶 = 200 𝜇𝐹
32
20) En el circuito de la figura, se desea calcular:
a) Impedancia equivalente.
b) Intensidad total y por cada rama.
c) Caídas de tensión.
8.7 Resonancia en el circuito serie R-L-C.
La resonancia eléctrica es un fenómeno que se produce en un circuito en el
que existen elementos reactivos (bobinas y condensadores) cuando es
recorrido por una corriente alterna de una frecuencia tal que hace que la
reactancia se anule, en caso de estar ambos en serie, o se haga infinita si
están en paralelo.
El estudio de los circuitos serie
en corriente alterna, en función
de la frecuencia, presenta
características que deben ser
𝑽𝑹 𝑽𝑳 𝑽𝑪
𝑹 𝑳 𝑪
𝑬
𝑰
4 Ω 8 Ω
6 Ω
100 V , 50 Hz
L = 1 Hy
R = 500 Ω C = 3,183 μF 100 V 45°
50 Hz
33
analizadas muy cuidadosamente para su mejor comprensión y posterior
aplicaciones.
En la figura se expone el circuito y su expresión compleja.
En la fórmula, el valor de la resistencia puede incluir: la propia de la
inductancia (resistencia del alambre con que está construida), las pérdidas
del capacitor y finalmente otras que posea el circuito. Analizando la
expresión y el diagrama vectorial, es lógico suponer que la parte imaginaria
podrá en alguna condición, valer cero.
Este es el caso para el cual: XL=XC. Debe observarse que ambas reactancias
dependen exclusivamente de la frecuencia ya que L y C son constantes.
Por ello, para un determinado valor de la frecuencia al que se denomina fo,
se producirá la igualdad aludida y se encuentra que ambas reactancias son
iguales; se anulan y el circuito se hace resistivo puro para fo. La primera
consecuencia que se observa es que la impedancia se hace igual a la
resistencia y es el menor valor que adquiere. La corriente circulante
entonces se hace máxima y por ello se la denomina también:
RESONANCIA DE CORRIENTE.
Se demostrará posteriormente, que las tensiones desarrolladas en ambos
componentes reactivos quedan también en oposición y sus valores pueden
tomar valores muy altos (mayores a la tensión del generador), lo que los
hace peligrosos para las mismas reactancias y para el operador. La
frecuencia a la cual se produce la resonancia se obtiene de:
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑤 𝐿 − 1
𝑤 𝐶
34
𝑿 = 𝑿𝑳 − 𝑿𝑪
En la IMPEDANCIA a frecuencias menores y mayores a la frecuencia de
resonancia, los que intervienen activamente son los componentes
reactivos. A frecuencias mayores, interviene predominantemente la
reactancia inductiva ya que la misma es directamente proporcional a la
frecuencia; y a frecuencias menores, la capacitiva, ya que ella es
inversamente proporcional a la misma.
El estudio detallado de esta situación se puede realizar desarrollando un
diagrama de las componentes que intervienen en la impedancia, en
función de la frecuencia.
Para ello se recordará nuevamente la impedancia en forma compleja
Para la realización de este diagrama, se utilizará el plano complejo para las
componentes imaginarias (reactancias) y el plano real para la frecuencia y
resistencia. Así entonces de Z:
De la expresión anterior se hace
la gráfica: = =
(constante), luego resulta una
recta paralela al eje de
frecuencias.
= dado que = ,
luego = . , resulta una
recta que pasa por el origen en el
plano positivo imaginario.
𝑋𝐿 = 𝑋𝐶 2 𝜋 𝑓0 𝐿 = 1
2 𝜋 𝑓0 𝐶 𝑓0 =
1
2 𝜋 𝐿 .𝐶
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑋𝐿 − 𝑋𝐶
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑤 𝐿 − 1
𝑤 𝐶
35
Se observa que , luego la resultando
una hipérbola en el plano negativo imaginario.
Finalmente, el módulo de Z es: una curva
representada como una V invertida.
En el eje del plano real, se dibuja en primer lugar la resistencia en función
de la frecuencia. Se supone que no varía con ella y en consecuencia da una
recta paralela al eje de la frecuencia. Para la XL se grafica una recta que
pasa por el origen en el plano complejo, siendo el valor de la reactancia
cero para frecuencia 0 e para frecuencia ; XC se ha graficado una
hipérbola, indicando que la reactancia capacitiva es cero para frecuencia
e para frecuencia 0. Luego se realiza la suma de XL+XC , en la cual se
observa que cuando XL = XC corta al eje de la frecuencia, siendo ese valor
justamente la frecuencia de resonancia f0. Finalmente, el módulo de la
suma vectorial de la resistencia con las reactancias da el valor de Z. La
misma tiene la forma de una V invertida, cuyo valor mínimo es el de la
resistencia, y se ha indicado con la letra V.
Volviendo a la figura anterior, en ella se puede advertir que el vértice de la
V tiene mucha información, pero que en este diagrama no se observa. Por
ello es más conveniente representar el módulo de la impedancia Z , en
función del logaritmo de la frecuencia. Así entonces se puede graficar el
módulo de Z como una campana de Gauss simétrica cuyo valor mínimo es
la resistencia del circuito.
𝑿𝑪 = 𝟏
𝟐 𝝅 𝒇 𝑪
𝟏
𝟐 𝝅 𝑪= 𝒌 𝑿𝑪 =
𝒌
𝒇
𝒁 = √ 𝑹 𝟐 + 𝑿𝑳 − 𝑿𝑪 𝟐
36
También es relevante representar el módulo de la admitancia en función del
logaritmo de la frecuencia, =
que se puede observar en la
próxima figura.
Esta nueva transformación permite verificar con mayor claridad la incidencia
de R en el circuito. Por ello, para un valor de R cero, la admitancia se haría
𝑅 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝑅 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎
𝑅 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎 log 𝑓
𝑍
𝑅 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝑅 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎
𝑅 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎
log 𝑓
𝑌
𝑓0
37
infinita y la campana de Gauss que ahora la representa es muy angosta; en
cambio para mayores valores de R el gráfico se achata.
Una consecuencia importante y que permite observarla, es que si varía la
resistencia como por ejemplo, si su valor es cero, la impedancia también es
cero y la admitancia se hace infinita, mientras que ambas campanas se
hacen más esbeltas.
Se puede dibujar como varía el ángulo de fase con el logaritmo de la
frecuencia para cada componente reactivo. Por ello, para el capacitor el
ángulo de fase para frecuencia cero, es de +90º, ya que la corriente
se adelanta ese valor en el capacitor, mientras que en la
inductancia, se atrasa 90º con respecto a la tensión para
frecuencia infinita. En resonancia, el circuito se hace resistivo puro
y el ángulo es cero. Todo esto queda representado en el siguiente
diagrama.
En ella se ha dibujado la variación del ángulo de fase con la frecuencia para
tres casos a saber: sin pérdida, ya que la resistencia asociada a la
inductancia es muy cercana a cero; el otro extremo es de mucha pérdida
para R grande y entre ellos se ha representado un valor intermedio. Su
significado es el siguiente: si las resistencias asociadas al circuito son
pequeñas, la variación del ángulo de fase cambia muy rápidamente,
recordando que en resonancia es cero. En caso de que las resistencias
90°
𝑓0
− 90°
log 𝑓
𝑆𝑖𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠
𝑀𝑢𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠
38
asociadas son muy grandes, la variación del ángulo de fase es muy lenta.
Las pérdidas del circuito significa la potencia disipada en R. Lógicamente
cuando R=0, la potencia es nula.
Otra consecuencia a tener en cuenta, es que la corriente varía en forma
proporcional a la admitancia. Esto es fácilmente demostrable: el generador
de C.A. es una fuente de tensión constante y de frecuencia variable, por ello
la corriente que circula en el circuito es:
dado que E es constante, la corriente es una función directa de la
admitancia o inversa de la impedancia. Por ello la curva dibujada de la
admitancia en la figura lo es también de la corriente a menos de una
constante.
Después de haber introducido las aclaraciones anteriores, se continuará
ahora con el análisis del circuito serie. Así entonces, para que se manifieste
en forma contundente la incidencia de la resistencia en el circuito serie (o
paralelo), se introducirá un nuevo parámetro denominado: factor de mérito
o “ Q0 ” del circuito.
Matemáticamente se define entonces
Se observa entonces que Q0 es un número adimensional, ya XL y R son
elementos resistivos cuya dimensión es el Ohm. Este número indica que
mientras mayor sea el valor de R, el Q0 es cada vez menor. Para el caso de
R = 0 el valor de Q0 = . Como se puede advertir, el Q0 está ligado a la
impedancia y consecuentemente a la admitancia del circuito y por
consiguiente al ancho de la campana. Otro factor a tener en cuenta, es el
ancho de banda o banda pasante del circuito, quien está íntimamente
relacionado con el Q0.
Este nuevo concepto es de muy importante, se introducirá en el estudio de
la curva universal de resonancia para que se pueda interpretar sin ningún
error las propiedades de estos circuitos de amplio uso en electrónica,
𝐼 = 𝐸
𝑍 = 𝐸 . 𝑌
𝑄0 = 𝑋𝐿
𝑅
39
particularmente en comunicaciones y en innumerables aplicaciones en las
cuales es necesario anular o dejar pasar determinadas frecuencias o
bandas de ellas; que en realidad son filtros de frecuencia. A modo de
ejemplo, en la figura siguiente se esquematiza una aplicación de un circuito
serie en resonancia.
El generador E es quien produce una tensión con diferentes frecuencias, y
está conectado a través de un circuito serie a la carga. Como la impedancia
del circuito es mínima para cierta frecuencia (la de resonancia) definida por
los componentes L y C, para ella la carga recibirá la máxima corriente
limitada exclusivamente por R. Por debajo y por encima de resonancia, la
impedancia aumentará y la corriente que llegará a la carga será mínima.
Esta configuración entonces, define un filtro selectivo para ciertas
frecuencias que interesan que lleguen a la carga. Este tipo de filtros se
denominan pasivos. Otra duda que ahora se manifiesta, es si es solamente
selectivo a una frecuencia o a una banda de frecuencias. La relación con la
resistencia del circuito permite suponer que si ella es muy pequeña, la
curva de la admitancia es muy estrecha, curva a, y por ello solo pasará a la
carga una pequeña gama de frecuencias alrededor de la frecuencia de
resonancia, para las cuales la corriente tiene un valor apreciable. Fuera de
esa gama, la corriente que llegará a la carga será mínima. No obstante ello,
si la respuesta del circuito se ajusta a la curva b, la banda de frecuencias
que llega a la carga será mayor pero con una corriente menor. Lo anterior
𝑹 𝑳 𝑪
𝑬
𝑪𝑨𝑹𝑮𝑨
log 𝑓
𝑓0
𝑎
𝑏
40
hace que se necesite definir algún parámetro que tenga que ver con las
frecuencias seleccionadas.
8.7.1 Curva universal de resonancia.
Recordando lo escrito anteriormente, respecto a la familia de curvas. ¿ Será
posible desarrollar una sola gráfica que permita aplicarla a cualquier
circuito, independientemente de su frecuencia de resonancia y de los
valores de resistencia ?. Si, esto es posible.
Con algunas definiciones y simplificaciones, se podrá llegar a construir una
única curva universal de resonancia. Además se podrán definir otros
parámetros de mucha importancia. Para ello, observando nuevamente la
figura
Cada uno de los gráficos responde a un determinado valor de resistencia
para la misma frecuencia de resonancia.. Para obtener una sola curva que
contemple cualquier frecuencia, y para cualquier valor de impedancia, será
necesario independizarse de la frecuencia. Ello permitirá trabajar en forma
mucho más cómoda en el diseño y aplicación de estos circuitos y además
obtener otras variables importantes. Así entonces deben realizarse una
serie de transformaciones matemáticas para obtener la curva universal de
resonancia.
𝑅 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
𝑅 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎
𝑅 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎
log 𝑓
𝑌
𝑓0
41
No es tema específico de esta signatura hacer el estudio minucioso de estas
simplificaciones, lo que sí es importante conocer algunos de los términos
que se utilizan para trabajar con la curva universal.
Desintonía fraccional:
Esto indica el apartamiento de la frecuencia de resonancia, en más y
menos (fo-f1 , fo+f1), es el efecto de desintonizar al circuito y que dividido
por la frecuencia de resonancia, permite obtener la desintonía fraccional.
Para que se entienda mejor este parámetro con un circuito resonante,
recuerde la búsqueda en un receptor de radio de una estación de
radiodifusión. El efecto de indagar en el dial del receptor la estación
buscada, es la sintonía de la misma, lográndose ello cuando la señal
recibida es perfectamente legible. La variación hacia ambos lados de la
frecuencia sintonizada, es la sintonización o desintonización de la frecuencia
de resonancia elegida.
Desintonía fraccional relativa:
Es el producto de dos términos adimensionales e independientes de la
frecuencia.
En la curva universal en el eje de ordenadas se grafican la admitancia
relativa Y/Yo ; también se grafica en dicho eje la impedancia relativa
normalizada Z/Zo, dado que este mismo diagrama se utiliza en los circuitos
paralelo de dos ramas.
La curva universal de resonancia es :
𝛿 = 𝑤 − 𝑤0
𝑤0 =
2 𝜋 𝑓 − 2 𝜋 𝑓0
2 𝜋 𝑓0
𝛿 = 𝑓 − 𝑓0
𝑓0
𝑎 = 𝑄0 𝛿
42
Mediante dos ejemplos prácticos quedará plasmada el uso de la misma.
Ejemplo Nº 1: Se desea saber cuántos ciclos debe desintonizarse un
circuito serie para reducir la corriente a la mitad del valor
de resonancia, siendo el 0 = 125 y la frecuencia de
resonancia 1 ℎ .
Si la corriente debe reducirse a la mitad y sabiendo que la corriente es
directamente proporcional a la admitancia se entra en la curva por la mitad
del eje vertical y se encuentra el valor correspondiente en el eje horizontal
43
De la curva universal, se observa que la respuesta se reduce a 0,5 cuando
= 0,86
luego aplicando la expresión de desintonía en :
Además el ángulo de fase de la corriente, obtenido de la curva de desfasaje
del mismo gráfico es: 60º.
𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧
𝑓0 =
𝑎
𝑄0 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧 =
𝑎
𝑄0 . 𝑓0
𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧 = 0,86
125 . 1 𝑀ℎ𝑧 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧 = 6,88 𝑀ℎ𝑧
44
Ejemplo 2: Con el mismo circuito del ejemplo anterior, se desea saber qué
respuesta se obtendrá a una frecuencia de 10 KHz por debajo
de resonancia.
Para resolverlo, es necesario primero encontrar el valor de “ a ”
La respuesta se reduce en un factor de 0,37.
La fase de la corriente es de 68º en atraso.
𝑎 = 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧
𝑓0 𝑄0 𝑎 =
10 𝐾𝐻𝑧
1 𝑀𝐻𝑧 125 𝑎 = 1,25
45
8.7.2 Puntos de media potencia.
El valor de la potencia en resonancia depende exclusivamente de la
resistencia y está dado por : 0 = 0 2
Cuando se da que la admitancia se reduce al 0.707 de la admitancia en
resonancia y teniendo en cuenta que la corriente es directamente
proporcional a la admitancia su puede apreciar que:
Por esto en donde se cumple que la admitancia ( corriente ) se reduce al
0,707 de su valor en resonancia se denominan: puntos de media potencia,
y significa que la potencia cae a la mitad de la correspondiente en
resonancia.
De la curva puede encontrarse que estos valores en el eje de abscisas esta
dado para 0 . = 0,5 .
𝑃 = 0,707 𝐼 0 2 . 𝑅 𝑃 = 0,707 2 𝐼 0
2 . 𝑅 𝑃 = 0,5 𝐼 0 2 . 𝑅
𝑃 = 0,5 𝑃 0
46
Surge aquí un nuevo concepto llamado “ ancho de banda ” y es el valor de
frecuencias comprendidos entre los valores de frecuencia para los cuales la
admitancia ( resonancia serie ) o la impedancia ( resonancia paralelo ) se
reduce al 0,707 de su valor máximo.
Este concepto está indicando que cuando la potencia transferida por el
circuito serie a la carga cae en el 50% de la potencia total (100%), las
frecuencias comprendidas en esa banda son las que pasan a la carga.
Observe la relación del Qo con el ancho de banda, encontrándose que a
mayor Qo, el ancho de banda es menor y viceversa. La importancia del
mismo se manifiesta en que para diversas aplicaciones, el circuito debe ser
más selectivo (menor ancho de banda), receptores de radio y en otros
casos se necesita menor selectividad, receptores de televisión.
8.7.3 Aumento de la tensión en resonancia.
Para encontrar la tensión a la que están sometidos los elementos reactivos
en resonancia se parte de que la tensión según Kircfhoff se distribuye de la
siguiente forma.
log 𝑓
𝑌
𝑌 0
𝑓0
0,707 𝑌
𝑌 0
𝑓 𝑓2
𝐵𝑊 = 𝑓 2 − 𝑓
47
De apartados anteriores se sebe que es una suma vectorial no algebraica.
En la frecuencia de resonancia los efectos inductivos se cancelan con los
capacitivos dando por resultado :
Con ello se lo puede considerar en forma algebraica
Por ley de Ohm se conoce que:
Por ley de Ohm se conoce también que:
Por definición el valor de esta dado por: con lo que se
puede escribir:
Con el mismo raxzonamiento se obtiene para
Indicando que en resonancia, las tensiones desarrolladas tanto en la bobina
como en el capacitor, alcanza Qo veces ta tensión del generador.
Se debe recordar que ambas tensiones son vectoriales; y esta situación
presupone que tanto el capacitor como la inductancia estarán sometidos a
altas tensiones con Q altos, y por ello en los circuitos diseñados para
𝐸 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝐶
𝐸 = 𝑉𝑅
𝐸 = 𝑉𝑅
𝑉𝑅 = 𝑅 . 𝐼 𝐼 = 𝑉𝑅
𝑅
𝑉𝐿 = 𝑋𝐿 . 𝐼 𝑉𝐿 = 𝑋𝐿 𝑉𝑅
𝑅
𝑄0 = 𝑋𝐿
𝑅 𝑄0
𝑉𝐿 = 𝑉𝑅 𝑋𝐿𝑅
𝑉𝐿 = 𝐸 .𝑄0
𝑉𝐶 = 𝐸 .𝑄0
48
trabajar en estas condiciones, se deben elegir cuidadosamente los
componentes reactivos.
8.8 Resonancia en un circuito paralelo.
Así como se produce resonancia en el circuito serie, lo mismo sucede con la
configuración en paralelo. Ambos tienen similitudes importantes, pero su
conducta es diferente. El paralelo posee alta impedancia en resonancia,
mientras que el circuito serie, tiene baja impedancia y alta admitancia
también en resonancia.
En la figura se esquematiza un circuito paralelo de tres ramas y la expresión
de la admitancia es:
El diagrama vectorial de las corrientes circulantes es el que se muestra en
la figura
𝑌 = 𝐺 + 𝑗 𝑤𝐶 + 1
𝑗 𝑤𝐿 = 𝐺 + 𝑗 𝑤 𝐶 −
1
𝑤 𝐿 G L C
𝐵𝐶 𝑉 = 𝐼𝐶
− 𝐵𝐿 𝑉 = 𝐼𝐿
𝐺 𝑉 = 𝐼𝐺
49
Así entonces, en resonancia las corrientes en los elementos reactivos se
anulan y solamente circula corriente por la conductancia. Una consideración
importante que debe hacerse es que la conductancia para este circuito muy
pequeña (R grande), ya que se consideran las pérdidas del capacitor y de
la inductancia como G. Ello induce a pensar que ahora los valores de las
corrientes en oposición pueden alcanzar valores muy altos al contrario del
serie, en el cual las tensiones en ellos pueden alcanzar magnitudes muy
peligrosas.
En cuanto al Q para los circuitos resonantes paralelo es similar a la vista
para los circuitos serie:
Considerando que: y se puede escribir:
El análisis del Q indica que el valor del mismo para estos circuitos de tres
ramas correspondiente a bajas pérdidas, dependerá de tener un alto valor
de resistencia en paralelo, pertenecientes a las pérdidas del condensador y
de la inductancia colocada en paralelo con la misma. Para una mejor
comprensión y utilización de estos circuitos, se esquematizará el dos ramas
o tanque de amplias aplicaciones.
𝑄0 = 𝑤0 𝐶
𝐺0
𝑤0 𝐿 = 1
𝑤0 𝐶 𝐺0 =
1
𝑅
𝑄0 =
1 𝑤0 𝐿
1 𝑅
𝑄0 = 𝑅
𝑤0 𝐿
G L C
G
L
C
50
El Qo para estos circuitos es el mismo que para el serie:
Para Qo mayores a 20 se puede también utilizar la curva universal de
resonancia con errores muy pequeños; pero su aplicación permite resolver
todos los circuitos en los cuales interviene la configuración de dos ramas.
Por ejemplo, para circuitos sintonizados de amplio uso en radiofrecuencias.
Al igual que el circuito serie, la admitancia en resonancia, cuando la
frecuencia es logarítmica responde a una campana de Gauss.
Estos circuitos resonantes paralelo de dos ramas, también se denominan
circuitos tanque, tal como se expresó anteriormente. Este último nombre
está asociado al motivo que la inductancia acumula energía de campo
magnético (cinética en mecánica y la acumula la masa) y la capacidad
energía de campo eléctrico (potencial en mecánica y la acumula un
resorte). Son muy utilizados en los sintonizadores de los radioreceptores.
En ellos el Q posee un valor que permite para obtener un ancho banda
importante y puedan sintonizarse las distintas estaciones en las distintas
bandas de recepción (onda larga, ondas cortas o FM). En estos circuitos se
utiliza una inductancia fija para cada banda que se permutan con un
condensador variable.
Las inductancias L1 y L2 conforman lo que se denomina un transformador. El
funcionamiento del circuito es el siguiente: mediante el capacitor variable C
se puede elegir una frecuencia de resonancia que coincide con una de las
𝑄0 = 𝑋𝐿
𝑅
Energía electromagnética de diferentes
frecuencias correspondientes a distintas
estaciones de radio y TV
A circuitos: demodulador,
amplificador de audio
𝑳𝟏 𝑳𝟐
𝑪
51
que llegan e inducen una tensión en la antena. Para ella, la impedancia es
máxima y en consecuencia la tensión desarrollada para esa frecuencia en el
circuito paralelo “L1-C” es máxima y para las otras que llegan es un
cortocircuito. Dicha tensión se transfiere al arrollamiento L2 en forma
magnética y la tensión aparece en este último. Cabe considerar que las
señales electromagnéticas que llegan a la antena e inducen voltajes en
ellas, están formadas por una señal compuesta integradas por las
denominadas: portadora y moduladora. La portadora es la frecuencia que
transporta a la moduladora que es la inteligencia: palabra, música, etc. La
estación transmisora produce la señal compuesta en AM (amplitud
modulada) o en FM (frecuencia modulada) y la transmite a través de la
antena transmisora como energía electromagnética. El receptor la recibe via
antena, induciéndose en ella un voltaje de C.A. y este último es
seleccionado (sintonizado) mediante el circuito visto en la figura.
Sintonizada la misma, se la demodula lográndose nuevamente la
moduladora (palabra, etc), eliminando además la portadora. Obtenida así
la inteligencia, se la amplifica y se envia al altoparlante.
8.8.1 Aplicación de circuitos paralelo y serie como filtros.
Una pregunta que salta a la vista es para que pueden ser utilizados estos
circuitos, en los cuales sus características son fuertemente dependientes de
la frecuencia. La respuesta se manifiesta inmediatamente, ya que mediante
ellos se pueden construir circuitos selectivos a frecuencias elegidas ya sea
para rechazarlas o aceptarlas. Estos últimos se denominan filtros y son
ampliamente utilizados. Cuando se analizó el circuito paralelo de dos ramas
se introdujo como ejemplo el sintonizador de un radioreceptor, en el cual se
podían elegir distintas frecuencias o estaciones de radio.
Para entender mejor el funcionamiento de estos circuitos, se incorporan
algunas aplicaciones de uso común. Por ejemplo, el circuito de la figura
8.33, utiliza la resonancia serie para seleccionar una gama de frecuencias
que se desea que reciba una carga.
52
En resonancia, dicho circuito posee una impedancia muy baja (admitancia
alta) y por ello para la frecuencia de resonancia elegida circulará la máxima
corriente. Por debajo y por encima de resonancia (f1-f2) la impedancia
aumentará y la corriente que llegará a la carga será mínima. Esta
configuración entonces define un filtro selectivo a ciertas frecuencias
(denominado pasabanda) que interesan. Se puede ver que es similar al
paralelo de dos ramas, en el cual la impedancia es máxima y se desarrolla
la máxima tensión, pero teniendo en cuenta ahora que este circuito va
conectado en paralelo con la carga. Mediante otro ejemplo de aplicación en
circuitos de audiofrecuencias, el concepto de filtro quedará aún más
integrado.
8.9 Resumen
El uso de corriente alterna armónica en los circuitos, abre un nuevo
panorama de aplicación de la Ley de Ohm. Es así que aparecen fenómenos
asociados a componentes pasivos tales como capacitores e inductancias. La
oposición a la corriente alterna de estos componentes, se denomina
reactancia capacitiva: =
2 e inductiva: = 2 ,
respectivamente. En el primer caso, la reactancia se decrementa con la
frecuencia y su respuesta es una hipérbola, mientras que la reactancia
inductiva se incrementa con la frecuencia, pero en forma lineal.
CIRCUITO RESONANTE SERIE
f
log 𝑓 𝑓0 𝑓 𝑓2
𝑌 𝐼
53
Cabe destacar que la resistencia que ofrece la combinación tanto en serie
como en paralelo e incluyendo resistencias, se denomina Impedancia “Z”,
siendo su unidad el ohm (). También, a la combinación en paralelo, a la
oposición a la corriente, se la puede denominar Admitancia “Y” que es la
inversa de la impedancia: =
ó =
. En este último caso, la
unidad es el mho (1/). El comportamiento de los elementos reactivos,
cuando se aplica C.A. a un circuito con ellos, produce un desplazamiento de
fase de la corriente circulante con respecto a la tensión. El capacitor ideal,
adelanta la corriente 90º respecto a la tensión y la inductancia ideal, atrasa
la corriente 90º. Con Respecto a la resistencia, su tratamiento es igual que
para corriente continua, pero asociada a los elementos mencionados
anteriormente, produce que los adelantos o atrasos sean menores a 90º. La
resolución de los problemas de C.A. pueden realizarse utilizando diagramas
vectoriales o álgebra compleja. Se debe tener en cuenta por ello, que las
sumas de elementos reactivos es geométrica y no aritmética. Así entonces,
el módulo de la impedancia se puede obtener por Pitágoras: =
√ 2 + − 2 . En ciertas condiciones, la combinación en serie de
elementos reactivos, puede provocar la resonancia de los mismos . Ello
sucede particularmente, cuando las reactancias inductiva y capacitiva se
hacen iguales para una determinada frecuencia: XL = XC = X0 ; de aquí se
obtiene la frecuencia de resonancia:
0 =
2 . Para esta frecuencia, la impedancia se hace mínima y la
corriente circulante, máxima, mientras que el ángulo de fase se hace cero y
el circuito se comporta como resistivo puro. Realizando el diagrama
transformado de las reactancias y resistencia en función de la frecuencia, se
obtiene una curva no lineal en la cual la impedancia para resonancia es
mínima. Si se grafica en función de la frecuencia en forma logarítmica, se
produce una campana de Gauss invertida, haciendo la recíproca de ella:
=
, se obtiene la admitancia y la campana de Gauss es normal.
También en estos circuitos resonantes, aparece el concepto de calidad de
los mismos, Q0 y el ancho de banda: W. El Q0 es igual a la relación entre
cualquiera de las reactancias en resonancia sobre la resistencia que posee
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el circuito serie: 0 =
. Si R es muy pequeña, Q0 grande, la curva se
hace esbelta y el circuito es muy selectivo y si R es grande, Q0 pequeño, la
curva se achata y es menos selectivo. En cuanto al ancho de banda, el
mismo indica qué frecuencias admiten la máxima corriente y cuáles no. Así
entonces, se define el ancho de banda como las frecuencias para las cuales
la potencia que es máxima en resonancia, cae a la mitad, y el ángulo de
fase en esos puntos es de 45º. Por otro lado, de allí se obtiene la relación
entre la frecuencia de resonancia f0 y el Q0: =
.
Se observa que el ancho de banda variará en función de la resistencia
asociada al circuito. Asimismo, cuando un circuito de este tipo está en
resonancia y el Q0 es muy grande , aparecen importantes voltajes en los
elementos reactivos ya que: VL=VC = Q0 E , dónde E es la tensión aplicada
al circuito. Se advierte también que para cada circuito y frecuencia se debe
construir cada curva de la impedancia. Esta condición se soluciona con la
denominada curva universal de resonancia, en cuyo caso, solamente una
única curva permite resolver cualquier circuito y frecuencia de resonancia.
Cuando se asocian componentes en paralelo, colocando el capacitor en
paralelo con la inductancia y ésta en serie con las resistencias asociadas, se
obtiene un circuito resonante paralelo denominado tanque (esta
denominación surge de la transferencia de energías de campo eléctrico en
magnético y viceversa similar a un resorte y masa).
Para estos circuitos también se utiliza la misma curva universal de
resonancia que se aplica al serie.
Finalmente, la aplicación de los componentes reactivos en diferentes
circuitos operan como filtros, ya que dejan pasar determinadas frecuencias
o se oponen a ellas. En circuitos de radio y televisión tienen una gran
aplicación ya que permiten sintonizar las diferentes estaciones emisoras.
8.10 Bibliografía
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[4] Pueyo, Héctor, Marco, Carlos y QUEIRO, Santiago; “Circuitos
Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales 3ra Ed. Tomo 2”;
Editorial Alfaomega ; 2011.
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[8] SANJURJO NAVARRO, Rafael; “Maquinas Eléctricas”; Editorial
Mc GRAW HILL; 1989.