resposta no tempo

Carlos Alexandre Mello [email protected] 1

Resposta no Tempo

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello [email protected]

Resposta no Tempo - Introduo Como j discutimos, aps a representao

matemtica de um subsistema, ele analisado em suas respostas de transiente e de estado-estacionrio para verificar se o subsistema possui as caractersticas desejadas no projeto

Aps essa anlise, o subsistema pode ser acoplado em um sistema de malha fechada


Polos, Zeros e Resposta do Sistema Tambm como j vimos antes, a resposta de um

sistema a soma de duas respostas: a resposta forada e a resposta natural

Apesar da anlise de um sistema por equaes diferenciais ser eficiente, em geral, um processo bastante custoso

O uso de polos e zeros e sua relao com a resposta de um sistema uma tcnica rpida e eficiente


Polos, Zeros e Resposta do Sistema Polos de uma funo de transferncia so:

Os valores da varivel s da transformada de Laplace que fazem a funo de transferncia tender para infinito

As razes do denominador da funo de transferncia que no so comuns a razes do numerador

Evitando cancelar um fator do numerador com um do denominador

Zeros de uma funo de transferncia so: Os valores da varivel s da transformada de Laplace

que fazem a funo de transferncia igual a zero As razes do numerador da funo de transferncia que

no so comuns a razes do denominador


Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem

Considere a funo de transferncia abaixo:

Um polo existe em s = -5 e um zero em s = -2 Esses valores so plotados no plano s, usando um X

para indicar um polo e um O para indicar um zero

R(s)G(s)

C(s)



Para mostrar as propriedades dos polos e zero, vamos analisar a resposta do sistema a um degrau unitrio

Ou seja, R(s) = 1/s Assim, temos:

Ou:



Da Figura anterior podemos concluir:1. Um polo na funo de entrada gera a forma da

resposta forada (o polo na origem gerou a funo degrau na sada)

2. Um polo na funo de transferncia gera a forma da resposta natural (o polo em -5 gerou e-5t)

3. Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial do tipo et, onde a localizao do polo no eixo real (o polo em -5 gerou e-5t)

4. Os zeros e polos afetam as amplitudes para ambas as respostas forada e natural (o clculo dos coeficientes da expanso em fraes parciais)


Polos, Zeros e Resposta do Sistema Vamos ver outro exemplo para analisar como

podemos usar a tcnica de polos e zeros para obter a forma da resposta do sistema Resposta por inspeo

Como vimos, cada polo da funo de transferncia do sistema que est no eixo real gera uma resposta exponencial que componente da resposta natural

Os polos da entrada geram a resposta forada


Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo 1: Considere o sistema abaixo e escreva

a sada c(t), em termos gerais.

Por inspeo, cada polo gera uma componente exponencial como parte da resposta natural

O polo da entrada gera a resposta forada Assim:

Respostaforada Resposta natural


Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo 2: Um sistema tem funo de

transferncia

por inspeo, sua sada c(t), em termos gerais, para uma entrada como degrau unitrio :


Sistemas de Primeira Ordem Sistemas de Primeira Ordem sem zeros:


Sistemas de Primeira Ordem Se G(s) = a/(s + a) e a entrada um degrau

unitrio R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da resposta ao degrau C(s), onde:

onde o polo na origem gera a resposta forada cf(t) = 1 e o polo do sistema em a gera a resposta natural cn(t) = -e-at


Sistemas de Primeira Ordem O nico parmetro a varivel a que necessria

para descrever a resposta em transiente Quando t = 1/a:

ou:


Sistemas de Primeira Ordem Considerando que:

Vamos definir trs especificaes de desempenho de resposta de transiente....

(1)

(2)

(3)


Sistemas de Primeira OrdemConstante de Tempo

Dizemos que 1/a uma constante de tempo da resposta, Tc

Dada a relao (2) anterior, a constante de tempo pode ser descrita como o tempo para e-at decair para 37% do seu valor inicial

Da mesma forma, a constante de tempo o tempo que leva para a resposta ao degrau subir para 63% do seu valor final (considerando a relao (3) anterior)


O parmetro a chamado de frequncia exponencial

A constante de tempo pode ser considerada um parmetro de especificao de transiente para um sistema de primeira ordem j que ela est relacionada com a velocidade de resposta do sistema a um degrau de entrada

No grfico de polos, o polo est localizado na posio oposta constante de tempo Quanto mais longe o polo estiver do eixo imaginrio

(abscissa), mais rpida a resposta de transiente



O Tempo de Subida, Tr, definido como o tempo que o sinal vai de 0,1 a 0,9 do seu valor final

O tempo de subida encontrado resolvendo (1) para a diferena de tempo de c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1

Assim: Tr = 2,31/a 0,11/a Tr = 2,2/a c(t) = 1 e-at 0,9 = 1 e-at 0,1 = e-at -at = ln(0,1) = -2,31 t = 2,31/a Para c(t) = 0,1, o mesmo clculo leva a 0,11/a

Sistemas de Primeira OrdemTempo de Subida Rise Time


O Tempo de Acomodao, Ts, definido como o tempo que a resposta alcana e fica dentro de uma faixa de 2% do seu valor final

Fazendo c(t) = 0,98 em (1) e resolvendo para t, encontramos Ts = 4/a

Sistemas de Primeira OrdemTempo de Acomodao Settling Time


Problema: Um sistema tem funo de transferncia:

Encontre a constante de tempo, Tc, o tempo de acomodao, Ts, e o tempo de subida, Tr

Soluo: Tc = 1/a = 1/50 = 0,02 seg Ts = 4/a = 4/50 = 0,08 seg Tr = 2,2/a = 2,2/50 = 0,044 seg

Sistemas de Primeira Ordem


Diferente de sistemas de primeira ordem, sistemas de segunda ordem tm uma grande variedade de respostas que precisam ser analisadas

Enquanto apenas variar o parmetro de um sistema de primeira ordem muda sua velocidade de resposta, mudanas nos parmetros de sistemas de segunda ordem podem mudar a forma da resposta

Por exemplo, considere o sistema genrico:

Sistemas de Segunda Ordem

R(s)=1/sG(s)

C(s)



Polos:-7,854-1,146

Sistema Sobreamortecido(Overdamped)

Exemplo 1:



Polos:-1 + j8-1 - j8

Sistema Subamortecido(Underdamped)

Exemplo 2:



Polos:j3

-j3

Sistema No-Amortecido(Undamped)

Exemplo 3:



Polos:-3 (polo duplo)

Sistema CriticamenteAmortecido(Critically Damped)

Exemplo 4:


Um sistema sobreamortecido se aproxima rapidamente do valor final

A resposta de um sistema subamortecido sempre mais lenta, qualquer que seja o sinal de entrada

O sistema criticamente amortecido o que apresenta resposta mais rpida

Vamos agora analisar cada tipo de resposta e mostrar como podemos usar os polos para determinar a natureza dessa resposta sem precisar usar expanso em fraes parciais e transformada inversa de Laplace....



No exemplo 1 anterior, temos:

A funo tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos reais que vm da funo de transferncia do sistema

Assim, a sada pode ser escrita como:

Gerando o grfico do exemplo 1 que chamado de sobreamortecido

Sistemas de Segunda OrdemResposta Sobreamortecida



A funo tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos complexos que vm da funo de transferncia do sistema Polos em s = -1 j8

Encontramos c(t):

Sistemas de Segunda OrdemResposta Subamortecida

Parte real = expoente da exponencial: controla o decaimento da amplitude da senide

Parte complexa = frequncia de oscilao da senide

tg-1(Re/Img)


A resposta em transiente consiste de uma amplitude decaindo exponencialmente gerada pela parte real do polo do sistema vezes uma onda senoidal gerada pela parte imaginria do polo do sistema

O valor da parte imaginria a frequncia real da senide (chamada frequncia de oscilao amortecida - d)

A resposta do estado estacionrio (degrau unitrio) foi gerada pelo polo da entrada localizado na origem (chamada resposta subamortecida)




e-t

cos(8*t)e-t*cos(8*t)


Exemplo: Por inspeo, escreva a forma da resposta ao degrau do sistema abaixo:

Soluo: A forma da resposta forada um degrau Os polos do sistema so s = -5 j13,23

A parte real, -5, a frequncia da exponencial A parte imaginria, 13,23, a frequncia em radianos para as

oscilaes da senide


R(s)=1/sG(s)

C(s)


Exemplo (cont.): Soluo:

Assim, c(t) uma constante mais um senide exponencialmente amortecida




A funo tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos imaginrios que vm da funo de transferncia do sistema Polos: s = j3

Trata-se de uma classe do caso anterior onde a parte real tem valor igual a zero

Assim, a exponencial ser e-0t = 1 A resposta dita no amortecida

Sistemas de Segunda OrdemResposta No Amortecida



A funo tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois mltiplos polos reais que vm da funo de transferncia do sistema Polos: s = -3

Esses dois polos geram uma exponencial e uma exponencial multiplicada pelo tempo

Assim, a sada pode ser estimada como:

Sistemas de Segunda OrdemResposta Criticamente Amortecida


Em resumo: Respostas Sobreamortecidas

Polos: dois polos reais em a e b Resposta natural: duas exponenciais com constantes de tempo

iguais localizao dos polos: c(t) = K1e-at + K2e-bt Respostas Subamortecidas

Polos: dois polos complexos em a j Resposta natural: Senide amortecida com um envelope

exponencial cuja constante de tempo igual parte real do polo. A frequncia em radianos da senide igual parte imaginria dos polos: c(t) = Ke-atcos(t - )



Em resumo: Respostas No Amortecidas

Polos: dois polos imaginrios em j Resposta natural: Senide no amortecida com frequncia em

radianos igual parte imaginria dos polos: c(t) = Kcos(t - ) Mesmo caso anterior com a = 0

Respostas Criticamente Amortecidas Polos: dois polos reais em a Resposta natural: Um termo uma exponencial com constante

de tempo igual ao polo e o outro termo uma mesma exponencial multiplicada pelo tempo: c(t) = K1e-at + K2te-at



Definio: Medidas necessrias para descrever as caractersticas da resposta de transiente de sistemas de segunda ordem Como a constante de tempo define para sistemas de

primeira ordem 1) Frequncia Natural 2) Coeficiente de Amortecimento

Sistemas de Segunda Ordem Gerais


1) Frequncia Natural, n A frequncia natural de um sistema de segunda ordem

a frequncia de oscilao do sistema sem amortecimento

2) Coeficiente de Amortecimento, (zeta) O coeficiente de amortecimento pode ser entendido

como uma comparao entre a frequncia de decaimento exponencial e a frequncia natural


= Frequncia de decaimento exponencialFrequncia natural (rad/segundos)


Vamos usar esses conceitos na definio de sistemas de segunda ordem

Considere o sistema geral:

Sem amortecimento, os polos estariam no eixo imaginrio e a resposta seria uma senide no amortecida

Para os polos serem puramente imaginrios, teramos a = 0:



n frequncia de oscilaes do sistema Como os polos esto em jb: n = b b = n2 Assim, o coeficiente b est associado frequncia

natural; e o coeficiente a? Considerando um sistema subamortecido, os polos

complexos tm uma parte real, , igual a a/2 A magnitude desse valor o decaimento

exponencial:


= Frequncia de decaimento exponencial = || = a/2Frequncia natural (rad/segundos) n n

a = 2n


Assim, a equao geral de um sistema de segunda ordem :

Exemplo: Se

Quem so e n? n

2= 36 n = 6

2 n = 4,2 = 0,35



Resolvendo a equao geral para sistemas de segunda ordem em busca de seus polos temos:



Exemplos:


a = 2n e n = b = a/(2b) n = 12 = 3,46 = 8/(212) = 1,15 > 1 Sobreamortecido


Exemplos:


a = 2n e n = b = a/(2b) n = 16 = 4 = 8/(216) = 1 Criticamente amortecido


Exemplos:


a = 2n e n = b = a/(2b) n = 20 = 4,47 = 8/(220) = 0,89 < 1 Subamortecido


Vamos analisar a resposta ao degrau de um sistema subamortecido:

Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

< 1 (sistema subamortecido):


Outros parmetros associados com a resposta subamortecida: Tempo de subida (Rise Time Tr): O tempo necessrio

para a forma de onda ir de 0,1 a 0,9 do seu valor final Tempo de pico (Peak Time Tp): O tempo necessrio

para atingir o primeiro pico Porcentagem sobressinal (Percent Overshoot - %OS): O

mximo valor de pico da curva de resposta, expresso como uma porcentagem do estado estacionrio

Tempo de Acomodao (Settling Time - Ts): O tempo necessrio para que a curva de resposta alcance (e permanea dentro) cerca de 2% do valor estacionrio



Clculos:


Tr calculado fazendo c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 e subtraindo os valores de tempo encontrados.


A tabela abaixo usada para clculo aproximado de Tr dependendo do valor de :


Exemplo: = 0,75 Tr 2,3 seg

Tr = (1,7683 - 0,4172 + 1,039 + 1)/n


Vamos relacionar essas variveis localizao dos polos que geram as caractersticas do sistema

Vemos abaixo um grfico de polos para um sistema de segunda ordem geral subamortecido:


cos =

d = parte imaginria do polod = magnitude da parte real do polo


Das equaes anteriores de TP e TS, podemos concluir que: TP inversamente proporcional parte imaginria do

polo Como linhas horizontais no plano-s so linhas de valor

imaginrio constante, elas tambm so linhas de tempo de picoconstante

TS inversamente proporcional parte real do polo Como linhas verticais no plano-s so linhas de valor real

constante, elas tambm so linhas de tempo de acomodao constante

Como = cos, linhas radiais so linhas com constante (ou seja, %OS constante, j que s depende de )




Se os polos se movem na vertical, a frequncia aumenta, mas o envelope permanece o mesmo j que a parte real dos polos no muda.



Se os polos se movem na horizontal, a frequncia permanece constante. Um movimento para a esquerda aumenta a velocidade do amortecimento. O tempo de pico constante porque a parte imaginria tambm constante.



Movendo os polos em uma linha radial constante a porcentagem de sobressinal permanece constante. Quanto mais distante da origem estiverem os polos, mais rpida a resposta.


Exemplo 1: Ache , n, TS, TP, Tr e %OS para o sistema com funo de transferncia:


omegan = 19zeta = 0.4211Ts = 0.5000Tp = 0.1823pos = 23.2620Tr = 0.0787


Os parmetros anteriores podem ser usados para clculos apenas em sistemas com um ou dois polos, mas no para sistemas com mais polos ou com zeros

Sob certas condies, um sistema com mais polos ou com zeros pode ser aproximado para um sistema de segunda ordem que tem apenas dois polos complexos dominantes

Vamos analisar o efeito de um polo adicional em um sistema de segunda ordem

Resposta de Sistema com Polos Adicionais


Vamos analisar as condies que devem existir para aproximar o comportamento de um sistema de trs polos para um de dois polos

Considere um sistema de trs polos com polos complexos e um polo real

Considere os polos complexos em: - n jn1 - 2

e o real em -r A sada ento:

ou:



A exponencial com expoente r o termo novo derivado do fato do sistema ter trs polos, portanto, o elemento a ser analisado

Consideraremos trs casos: Caso I: r = r1 e no muito maior que n Caso II: r = r2 >> n Caso III: r


Termo 1 Termo 2 Termo 3


Caso II: r = r2 >> n O termo 3 tende a decair bem mais rpido que o termo 2 que

traz a resposta ao degrau subamostrada Assim, o sistema tende a um sistema de segunda ordem puro

Caso III: r Igual a antes, o termo 3 decai rapidamente e tendemos a ter um

sistema de segunda ordem puro Caso I:

O sistema no pode ser aproximado para um de segunda ordem


Termo 1 Termo 2 Termo 3


Vamos adicionar um zero a um sistema de segunda ordem

Como vimos antes, os zeros afetam a amplitude da resposta

Considere por exemplo o sistema:

e analisar seu comportamento para a = 3, 5 e 10 Polos: -1 j2,828

Resposta de Sistema com Zeros



deng = [1 2 9];Ta = tf([1 3]*9/3, deng);Tb = tf([1 5]*9/5, deng) ;Tc = tf([1 10]*9/10, deng);T= tf(9,deng);step (T, Ta, Tb, Tc)text (0.5, 0.6, 'no zero')text (0.4, 0.7, 'zero at -10')text (0.35, 0.8, 'zero at -5')text (0.3, 0.9, 'zero at -3')


medida que o zero se afasta dos polos dominantes (aumenta seu valor absoluto), a resposta se aproxima de um sistema de segunda ordem

Quanto mais perto ele estiver, mais afeta a resposta transitria

Considere um sistema com resposta C(s) sem zeros

Adicionar um zero ao sistema o mesmo que termos: (s + a)C(s) = sC(s) + aC(s) Ou seja, a derivada da resposta original e uma verso

em escala da resposta original



Se a, o negativo do zero, muito grande, a transformada de Laplace ser aproximadamente aC(s), ou seja, apenas a verso em escala da resposta original

Se a no for to grande, a resposta tem um componente adicional que a derivada da resposta original

medida que a diminui, o termo derivativo contribui mais e mais com a resposta e aumenta seu efeito como pode ser visto na figura anterior



Se a for negativo, o zero passa a estar no semi-plano direito, o resultado para um sistema de segunda ordem pode ser visto a seguir, onde a resposta comea negativa at alcanar um valor de estado estacionrio positivo

Tal sistema chamado de sistema de fase no-mnima

Se um carro um sistema de fase no-mnima, ele vai primeiro virar um pouco para a esquerda quando receber o comando para virar direita



Exerccios Sugeridos (Nise) Cap. 4, Problemas:

2, 8, 10, 17, 18, 20, 28, 29, 33, 35, 36, 37, 45 (mas usando os conceitos da seo 4.10 e no 4.11)

No MatLab: 3, 9, 11, 21, 46 (idem ao comentrio da questo 45)


A Seguir.... Reduo de Mltiplos Subsistemas

resposta no tempo

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