4.° grado: Matemática

SEMANA 10

Resolvamos problemas diversos utilizando operaciones con números racionales e intervalos

DÍA 4

Cuaderno de trabajo de Matemática:Resolvamos problemas 4_día 4, páginas 101, 102, 103 y 104.Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Días 3 y 4:Resolvamos

Los recursos que utilizaremos serán:

Estimada y estimado estudiante, iniciaremos el desarrollo de las actividades de las

páginas 101, 102, 103 y 104 de tu cuaderno de trabajo Resolvamos problemas 4

Determina la o las proposiciones falsas.I. En ℝ el complemento de ℚ es el conjunto de los números irracionales.II. Todo número racional tiene su opuesto aditivo, excepto el cero.III. Todo número entero es un número racional.IV. Si # pertenece a ℚ , entonces #$% también pertenece a ℚ.

Situación 1 – página 101

a) IV b) IV, II c) I d) III

ResoluciónAnalizo la veracidad de cada una de las proposiciones.I. En ℝ el complemento de ℚ es el conjunto de los números irracionales (#).

Un número irracional es un número que no puede ser expresado como el cociente de dosnúmeros enteros. Por ello, el conjunto de los números irracionales no tiene elementoscomunes con el conjunto de los números racionales. Observa el esquema:

Del esquema, determino que el complemento de ℚ es el conjunto de los númerosirracionales (#).

La afirmación I es verdadera.

ℚ #ℝ

II. Todo número racional tiene su opuesto aditivo, excepto el cero.El opuesto aditivo de un número racional a es aquel número que sumado con a da cero.

Ejemplos:• El opuesto aditivo de 5 es −5 porque 5 +(− 5) = 0.

• El opuesto aditivo de −#$ es +#

$ porque −#$ + +#

$ = 0.

• El opuesto aditivo de 0 es el mismo 0 porque 0 + 0 = 0.

La afirmación II es falsa.

De los ejemplos mostrados, se puede deducir que todo número racional tiene suopuesto aditivo, incluso el número cero.

Seguimos respondiendo

Un número racional es aquel que se puede expresar como el cociente de dos númerosenteros, donde el denominador es distinto de cero. Veamos el siguiente ejemplo:!" es un número racional porque se puede expresar como el cociente de dos númerosenteros, donde el denominador 4 es distinto de cero.

Afianzo la afirmación respecto de los números enteros. Veamos los siguientes ejemplos:• El número entero 3 es también un número racional porque se puede expresar

de la forma $! donde 3 y 1 son números enteros y el denominador es distinto de cero.

• El número entero −4 es también un número racional porque se puede expresar de laforma ("! donde −4 y 1 son números enteros y el denominador es distinto de cero.

III. Todo número entero es un número racional.

Seguimos respondiendo

Seguimos analizando el enunciado III.

A partir de los ejemplos anteriores, puedo deducir que todo número entero puede serexpresado como el cociente de dos números enteros donde el denominador es distintode cero. Por tanto, todo número entero es también un número racional. Observa elsiguiente esquema:

ℤℚ

Seguimos respondiendo

La afirmación III es verdadera.

IV. Si ! pertenece a ℚ , entonces !#$ también pertenece a ℚ.

Recuerda que si % es un número racional se cumple que: %#& = &( , siempre y cuando

% es un racional distinto de cero.

Un contraejemplo para la proposición sería que *& ∈ ℚ pero &

* ∈ ℚ. Por lo tanto:

Respuesta: Las proposiciones falsas son la II y la IV. Clave: b).

Seguimos respondiendo

La afirmación IV es falsa.

Se sabe que entre los números racionales !" y #$ donde !" <#$,

siempre se encuentra el número ! & #" & $.

Utiliza la propiedad anterior y encuentra cinco números entre '( y )*.

Situación 2 – página 102

Resolución

Entre !" y #

$, se encuentra ! % #" % $ ='!# .

Entre !" y '

!#, se encuentra ! % '" % !# =)!* .

Entre !" y )

!*, se encuentra ! % )" % !* ="+) .

Entre '!# y #

$, se encuentra ' % #!# % $ =$+, .

Entre '!# y $

+,, se encuentra ' % $!# % +, =!!## .

Los números encontrados entre !" y #$ no son los únicos. Te reto a buscar más números. ¡Tú puedes!

16 < < < << < 3

7413

519

16 < < < << < 3

7413

16 < < < << < 3

7413

519

625

16 < < < << < 3

7413

519

625

720

16 < < < << < 3

7413

519

625

720

1133

La mamá de Amire busca un marco para fotos de forma rectangulary 12 cm de largo.Expresa en un intervalo el conjunto de valores que puede tomar elotro lado para que su perímetro mida más de 30 cm, pero que nosupere los 40 cm.

a) 2; 9 b) 3; 9 c) 4; 10 d) 3; 8

Situación 3 – página 103

ResoluciónEl marco de fotos debe tener 12 cm de largo y un perímetro que mida más de 30 cm, peroque no supere los 40 cm.

Respuesta: El intervalo de valores que puede tomar el otro lado del marco de fotos es !; # . Clave: d).

12 cm

a

Según las condiciones de la situación, establezcola siguiente relación de orden:

El perímetro mide 12 cm + 12 cm + a + a

30 < 12 + 12 + * + * ≤ 4030 < 24 + 2* ≤ 40

30 − 24 < 24 + 2* − 24 ≤ 40 − 2430 − 24 < 24 + 2* − 24 ≤ 40 − 24

6 < 2* ≤ 166 ÷ 2 < (2*) ÷ 2 ≤ 16 ÷ 2

3 < * ≤ 8

En la figura mostrada, ¿qué número representa el punto B en la recta numérica? ¿Y a qué conjunto pertenece?

a) 6;ℝ b) 2 5; & c) 2;ℚ d) 20;ℕ

Situación 4 – página 103

ResoluciónComo las líneas punteadas representan el arco de una circunferencia, el valor B es iguala la medida del segmento de medidam. Observa el gráfico:

Respuesta: El número que representa el punto B en la recta numérica es ! "y pertenece al conjunto de los números irracionales (#). Clave: b).

B40

2m

Para determinar m aplico el teorema dePitágoras que indica que el cuadrado de lamedida de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de las medidas de los catetos:

$% = 4% + 2%$% = 16 + 4$% = 20$ = 20$ = 2 5

Lucía recibió un regalo en una caja. La base de esta caja tiene la forma de un triángulo de lados iguales, cuyo lado es ! " cm. Calcula el área y el perímetro de la base; aproxima al centésimo por redondeo.

Situación 5 – página 104

ResoluciónLa base de la caja es un triángulo equilátero, cuyos lados miden 3 2 cm, observa el gráfico.

La medida del perímetro del triángulo sería:

3 2 cm + 3 2 cm + 3 2 cm9 2 cm

Nos piden expresar la medida del perímetroaproximando al centésimo por redondeo:

9 2 = 12,72792206… ≈ 12,73

El perímetro del triángulo tiene una medidaaproximada de 12,73 cm.

3 2 cm 3 2 cm

3 2 cm

Considerar:2 = 1,4142

La base de la caja es un triángulo equilátero, cuyos lados miden 3 2 cm, observa el gráfico:

Respuesta: La medida del perímetro del triángulo es #$, &' (), aproximadamente y el área del triángulo es &, &* ()$, aproximadamente.

Para determinar el áreanecesito la medida de laaltura del triángulo, para ello,uso el teorema de Pitágoras.

3 2 + = ℎ+ + 1,5 2 +

9×2 = ℎ+ + 2,25×218 = ℎ+ + 4,513,5 = ℎ+13,5 = ℎ

3 2 cm 3 2 cm

3 2 cm

1,5 2 cm 1,5 2 cm

ℎ

El área de un triángulo se determina multiplicando la medida de la base por la de la altura y dividiendo entre 2:

5 = 3 2× 13,52

5 = 3 272

5 = 7,7942286 …5 = 7,79 cm+

Seguimos respondiendo

Gracias