Instituto Tecnológico de Aeronáutica / Departamento de Matemática / 2o. Fund / 2007.

RESOLUÇÃO DE EDO�S POR SÉRIES

(RESUMO).

EXEMPLOS DE EDO�S IMPORTANTES NESSE CONTEXTO:

Equação de Bessel de ordem p:

x2y00 + xy0 + (x2 � p2)y = 0 ; p > 0

Equação de Legendre de grau p:

(1� x2)y00 � 2xy0 + p(p+ 1)y = 0

Equação de Hermite de ordem p:

y00 � 2xy0 + 2py = 0

Equação de Chebyshev:

(1� x2)y00 � xy0 +m2y = 0 ; m = 1; 2; : : :

Equação de Airy:y00 � xy = 0

Equação de Euler:

x2y00 + �xy0 + �y = 0 ; �; � constantes reais

Equação Hipergeométrica (ou de Gauss):

x(1� x)y00 + [ � (1 + �+ �)x] y0 + ��y = 0 ; �; �; constantes reais

Equação de Laguerre:

xy00 + (1� x)y0 +my = 0

Equação de Jacobi:

x(1� x)y00 + [a� (1 + b)x] y0 +m(b+m)y = 0

§. CLASSIFICAÇÃO DOS PONTOS DO DOMÍNIO DA EDO:

1

Lembramos dos cursos de cálculo que dizemos que uma função f é analítica em umponto xo se existir um raio de convergência � > 0 tal que vale a convergência

f(x) =1Xn=0

an(x� xo)n =

1Xn=0

f (n)(xo)

n!(x� xo)

n ; jx� xoj < �

De�nição 1. Um ponto xo é ponto ordinário da equação

y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x) = 0

se p(.) e q(.) são funções analíticas em xo. Caso contrário, dizemos que xo é umponto singular.Além disto, xo é chamado de ponto singular regular se xo não é um ponto ordinárioe as funções dadas por (x � xo)p(x) e (x � xo)

2q(x) são analíticas em xo. Se xonão é um ponto ordinário e pelo menos uma destas funções não for analítica em xo,diremos que ele é um ponto singular irregular.

No caso da equação com coe�cientes polinomiais, esta de�nição pode ser reformuladade maneira mais especí�ca como:

De�nição 2.Considere

P (x)y00(x) +Q(x)y0(x) +R(x)y(x) = 0

onde P (:); Q(:) e R(:) são polinômios.(i) xo é um ponto singular da equação acima se P (xo) = 0:(ii) Um ponto singular xo é dito regular se existem os limites

limx!xo

(x� xo)Q(x)

P (x)e lim

x!xo(x� xo)

2 R(x)

P (x)

(iii) Se um ponto singular não é regular, dizemos que ele é um ponto singular irre-gular.

§. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO ORDINÁRIO

Se os coe�cientes são analíticos, procurar solução analítica em torno de um pontoordinário xo, ou seja: Supor solução formalmente representada por uma série depotências

y(x) =

1Xn=0

an(x� xo)n

e tentar identi�car os coe�cientes an�s e validar o resultado.

Exemplo CB

Resolver a equação de Airy

y00 � xy = 0 ; x 2 Rfazendo expansão em série de potências na vizinhança de xo = 1:

2

Temos:

y(x) =1Xn=0

an(x� 1)n

y0(x) =1Xn=1

nan(x� 1)n�1 =1Xn=0

(n+ 1)an+1(x� 1)n

y00(x) =

1Xn=2

n(n� 1)an(x� 1)n�2 =1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n

Substituindo na equação,

1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � x

1Xn=0

an(x� 1)n = 0

Fazendo x = 1 + (x� 1), que é a série de Taylor de f(x) = x em torno de xo = 1,

1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � [1 + (x� 1)]1Xn=0

an(x� 1)n = 0

1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � 1Xn=0

an(x� 1)n +1Xn=0

an(x� 1)n+1!

= 0

1Xn=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � 1Xn=0

an(x� 1)n +1Xn=1

an�1(x� 1)n!

= 0

Igualando os coe�cientes de mesma potência de (x� 1), obtemos

2a2 = ao

(3 � 2)a3 = a1 + ao

(4 � 3)a4 = a2 + a1

(5 � 4)a5 = a3 + a2...

o que fornece a seguinte fórmula de recorrência (equação indicial):

(n+ 2)(n+ 1)an+2 = an + an�1 ; n � 1

Resolvendo para os primeiros an em termos de ao e a1, resulta

y(x) = aoy1(x) + a1y2(x)

onde

y1(x) = 1 +(x� 1)22

+(x� 1)36

+(x� 1)424

+(x� 1)530

+ � � �

y2(x) = (x� 1) +(x� 1)36

+(x� 1)412

+(x� 1)5120

+ � � �

Único senão: estamos em di�culdade para estabelecer � através do critério da razão,por exemplo � a convergência das séries, pois não temos uma fórmula geral paraos an�s. Isto, porém, �ca resolvido por causa do chamado teorema de Fuchs.

3

. CB

Teorema 1 (Teorema de existência, de Fuchs)Se p(.) e q(.) são funções analíticas em xo, então a solução geral de

y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x) = 0

é dada por

y =

1Xn=0

an(x� xo)n = aoy1(x) + a1y2(x) ;

onde ao e a1 são constantes arbitrárias e y1 = y1(x) e y2 = y2(x) são duas soluçõesem séries linearmente independentes que são analíticas em xo:Além disto, o raio de convergência para cada uma das soluções em séries y1 e y2 éno mínimo igual ao menor dos raios de convergência das séries de p(.) e q(.).

� Prova. (v. ref.).

Exercício 1 Analisar, sob o ponto de vista do teorema 2.1, a equação

y00 + (senx)y0 + (1 + x2)y = 0

Este teorema nos motiva a proceder à seguinte generalização da de�nição de pontosordinários e singulares:

Exercício 2 Analisar a equação

x2y00 � 2y = 0

§. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO SINGULARREGULAR:

Conforme desenvolvida no curso MAT-31, a resolução de equação de Cauchy-Eulerpode ser assim resumida:

Para a resolução equação de Cauchy-Euler

x2y00 + �xy0 + �xy = 0

em qualquer intervalo que não contenha a origem, procuramos solução na formay = xr, para r conveniente. A�nal, não seria este o tipo de função que se poderiaesperar de maneira que a soma dela e suas derivadas, multiplicadas por polinômios,desse zero? Seguindo este procedimento, pudemos obter que a solução geral da EDOé determinada pelas raízes r1 e r2 da equação algébrica

r(r � 1) + �r + � = 0

Se as raízes são reais e distintas, então a solução geral é dada por

y = c1jxjr1 + c2jxjr2

4

Se as raízes são reais iguais, então

y = (c1 + c2 ln jxj) jxjr1

Se as raízes são complexas, r1; r2 = �� i�, então

y = jxj� [c1 cos(� ln jxj) + c2sen (� ln jxj)]

Aqui, nada mais vamos fazer do que uma generalização deste procedimento. Assim,vamos supor que xo é um ponto de singularidade regular de

P (x)y00 +Q(x)y0 +R(x)y = 0

que pode ser escrita na forma normal

y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0 (1)

fazendo

p(x) =Q(x)

P (x)e q(x) =

R(x)

P (x)

Como xo é ponto singular regular da equação, temos que pelo menos uma das funçõesp(:) e/ou q(:) não é analítica em xo, mas as funções dadas por

(x� xo)p(x) = (x� xo)Q(x)

P (x)e (x� xo)

2q(x) = (x� xo)2R(x)

P (x)

são analíticas em xo: Sem perda de generalidade, vamos supor que xo = 0 (a�nal, seeste não for o caso, basta fazer uma mudança de variáveis conveniente para termosa singularidade na origem). Assim, temos que xp(x) e x2q(x) são representadas porsuas séries de Taylor

xp(x) =P1

n=0 pnxn

x2q(x) =P1

n=0 qnxn (2)

Note que se multiplicarmos (1) por x2, �camos com

x2y00 + x(xp(x))y0 + x2q(x)y = 0 (3)

que, no caso particular de po; qo 6= 0 e pn = qn = 0 ; 8n � 1 ; recai na equação deCauchy-Euler

x2y00 + xpoy0 + qoy = 0

Esta particularização traz alguma luz sobre por que fazemos menção aos termosxp(x) e x2q(x) na classi�cação de um ponto singular regular.Vamos, agora, desenvolver um algoritmo para resolver (3) numa vizinhança do pontosingular regular xo = 0, conhecido como método de Frobenius. O método consisteem procurar solução na forma

y = xr1Xn=0

anxn =

1Xn=0

anxr+n ; ao 6= 0 (4)

Substituindo (4) e suas derivadas em (3), vemP1n=0(r + n)(r + n� 1)anxr+n (

P1n=0 pnx

n) (P1

n=0(r + n)anxr+n)+

+ (P1

n=0 qnxn) (P1

n=0 anxr+n) = 0

5

Multiplicando as séries e separando os termos, obtemos

aoF (r)xr +

1Xn=1

(F (r + n)an +

nXk=0

ak [(r + k)pn�k + qn�k]

)xr+n = 0 (5)

ondeF (r) = r(r � 1) + por + qo

Como ao 6= 0, igualando a zero o coe�ciente de xr fornece a equação

r(r � 1) + por + qo = 0 (6)

a qual chamaremos de equação indicial. (Note que ela é exatamente a mesmaequação em r obtida no estudo da equação de Cauchy-Euler). As raízes de (6) sãochamadas de expoentes da equação na singularidade. Elas fornecem uma condiçãonecessária para a EDO possuir solução na forma (4), no sentido de que somentepara estas raízes podemos esperar encontrar soluções do tipo (4).

1. Se a equação indicial possui raízes reais r1 e r2 , r1 � r2 , procedemos como segue.Igualando a zero os coe�cientes de xr+n em (5) resulta na relação de recorrência

F (r + n)an +n�1Xk=0

ak [(r + k)pn�k + qn�k] = 0 ; n � 1 (7)

que fornece, em princípio, os valores de an em função do valor de r e de todos oscoe�cientes precedentes ao; a1; : : : ; an; : : : , desde que F (r + n) 6= 0 ; 8n � 1.Como as únicas possibilidades do trinômio do 2o. grau se anular é F (r1) = F (r2) = 0e como r1 � r2 , então r1 + n nunca é igual a r1 ou r2, para n � 1. Portanto,

F (r1 + n) 6= 0 ; 8n � 1 , e, consequentemente, sempre podemosdeterminar uma solução de (1) na forma

y = y1(x) = xr1

"1 +

1Xn=1

an(r1)xn

#; x > 0

Usamos a notação an(r1) para indicar que os coe�cientes an�s são obtidos de (7)com r = r1. Também, usamos 1 em vez de ao na expressão acima porque todos osan�s terão ao como fator em sua determinação, de forma que podemos colocá-lo emevidência e deixá-lo para a especi�cação da constante arbitrária na solução geral.Se r2 6= r1 e r1 � r2 não é um inteiro positivo, então r2 + n 6= r1 ; 8n � 1 ; eportanto F (r2 + n) 6= 0 ; 8n � 1 ; de forma que podemos também obter umasegunada solução

y = y2(x) = xr2

"1 +

1Xn=1

an(r2)xn

#; x > 0

Pode-se mostrar que as duas séries de potências que aparecem nas expressões dey1(:) e y2(:) convergem, no mínimo no intervalo jxj < � de convergência onde ambasas séries de xp(x) e x2q(x) convergem, e de�nem funções analíticas em xo = 0.Desta forma, qualquer eventual comportamento singular das soluções estará ligadoaos fatores xr1 e xr2.

6

Para obter soluções reais para x < 0, basta fazer a substituição x = �� , com � > 0;obtendo os mesmos coe�cientes an(r1) e an(r2).

2. Se a equação indicial possui raízes complexas (conjugadas), então r1 � r2 nuncaé um inteiro positivo. Neste caso, sempre poderemos achar duas soluções do tipo(4), embora sejam funções complexas. Para obter soluções reais, basta tomar aspartes real e imaginária das soluções complexas. (Ummelhor desenvolvimento destasconsiderações �cam como sugestão para parte de um trabalhinho).

3. Se r1 = r2 = r 2 R, então um procedimento análogo ao que foi feito no estudoda equação de Cauchy-Euler fornece a segunda solução como sendo

y2(x) = y1(x) ln jxj+ jxjr1Xn=1

bn(r)xn

Os coe�cientes bn�s são calculados substituindo-se a expressão acima na EDO, sepa-rando os termos e igualando â zero os coe�cientes de cada potência de x. (Tambémvale como sugestão para parte de um trabalhinho desenvolver estas considerações).

4. Se r1 � r2 = N , um inteiro positivo, o caso é estudado em livros avançados enão veremos aqui. Mas podemos adiantar que a segunda solução vai ser da forma

y2(x) = ay1(x) ln jxj+ jxjr2"1 +

1Xn=1

cn(r2)xn

#

EXERCÍCIOS

1. Resolver a seguinte equação na vizinhança de xo = 0:

2x2y00 � xy0 + (1 + x)y = 0

(Soluções linearmente independentes:

y1(x) = x

"1 +

1Xn=1

(�1)nxn[3 � 5 � 7 � : : : � (2n+ 1)]n!

#; x > 0

y2(x) = x1=2

"1 +

1Xn=1

(�1)nxn[1 � 3 � 5 � : : : � (2n� 1)]n!

#; x > 0 )

2. Discuta a natureza das soluções da equação

2x(1 + x)y00 + (3 + x)y0 � xy = 0

perto dos pontos singulares.

§. EQUAÇÃO DE BESSEL:

7

Friedrich Wilhelm Bessel (alemão, 1784-1846), matemático e astrônomo, introduziuem 1824 as agora chamadas funções de Bessel em seu trabalho sobre as perturbaçõesobservadas nos sistemas planetários. Estas funções, porém, aparecem numa amplavariedade de problemas físicos, tais como:

� separação da equação de Helmholtz ou da onda em coordenadas cilíndricascirculares;

� equação de Helmholtz em coordenadas polares.

Embora o estudo das funções de Bessel pode ser introduzido de maneira bastanteinstrutiva através do conceito de funções geradoras, vamos aqui priviligiar seu estudocomo soluções da equação diferencial

x2y00 + xy0 + (x2 � p2)y = 0 ; p � 0 (8)

chamada de equação de Bessel de ordem p, onde p é um número real não-negativo. Por simplicidade, vamos considerar apenas o intervalo x > 0.Note que

xp(x) = 1 e x2q(x) = �p2 + x2

de forma que xo = 0 é um ponto singular regular da equação de Bessel. Desta foma,o método de Frobenius visto no capítulo III, que consiste em procurar soluções daforma

y = xr1Xn=0

anxn =

1Xn=0

anxr+n ; ao 6= 0 ;

fornece a equação indicial

r(r � 1) + por + qo = 0

r(r � 1) + r � p2 = 0

r2 � p2 = 0

com os expoentes (raízes características) reais

r1 = p � 0 e r2 = �p � 0

Primeira solução da equação de Bessel. Função de Bessel de primeiraespécie.

Substituindo r1 = p na fórmula de recorrência

F (r + n)an +

n�1Xk=0

ak [(r + k)pn�k + qn�k] = 0 ; n � 1

obtemos, para n = 1;

((p+ 1)2 � p2)a1 + ao [(p+ 1)p1 + q1] = 0

(2p+ 1)a1 + ao [(p+ 1)� 0 + 0] = 0

a1(r1) = 0

8

Para n = 2;�(p+ 2)2 � p2

�a2 + ao [(p+ 0)p2 + q2] + a1 [(p+ 1)p1 + q1] = 0

4(p+ 1)a2 + ao [p� 0 + 1] + a1 [(p+ 1)� 0 + 0] = 0

a2(r1) = �1

2(2p+ 2)ao

Para n = 3; �(p+ 3)2 � p2

�a3 + ao [(p+ 0)p3 + q3] +

+a1 [(p+ 1)p2 + q2] + a2 [(p+ 2)p1 + q1] = 0

3(2p+ 3)a3 + ao � 0 + a1 [0 + 1] + a2 � 0 = 0

a3(r1) = �1

3(2p+ 3)a1 = 0

Assim, sucessivamente, podemos chegar a a1 = a3 = � � � = a2n+1 = � � � = 0 e, paraos termos pares

an(r1) = �1

n(2p+ n)an�2 ; n � 1

o que fornece

a2n(r1) =(�1)nao

22n:n!(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n); n = 1; 2; : : :

Assim, a primeira solução da equação de Bessel �ca sendo

y1(x) = aoxp

�1� x2

22(p+ 1)+

x4

242!(p+ 1)(p+ 2)� x6

263!(p+ 1)(p+ 2)(p+ 3)+ � � �

�o que pode ser reescrito numa forma compacta como

y1(x) = aoxp

"1 +

1Xn=1

(�1)nx2nn!22n(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n)

#(9)

Vamos escolher ao como sendo

ao =1

2p�(p+ 1)(10)

onde �(:) denota a função gama de�nida por

�(p) =

Z 1

0

xp�1e�xdx ; p > 0

e

�(p) =�(p+ n)

p(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n� 1) ; �n < p < 0 ; p 6= �1;�2; : : : ;�n+ 1

Lembrar do curso de integrais impróprias que a função gama aparece ocasionalmenteem problemas físicos tais como a normalização das funções de onda de Coulombe o cômputo de probabilidades em mecânica estatística, embora sua importância,na verdade, é derivada de sua utilidade no desenvolvimento de outras funções que

9

apresentam aplicações físicas diretas, como a de Bessel. Além desta de�nição emtermos de integral imprópria, devida a Euler, temos no mínimo outras duas de�niçõesequivalentes da função gama, uma através de um limite in�nito (também devidaa Euler) e outra através de um produto in�nito (devida a Weierstrass) (ver, porexemplo, Arfken[4]). Muito da importância da função gama provem da seguintefórmula facilmente demonstrável usando-se integração por partes,

�(p) = (p� 1)�(p� 1)

Daí resulta que, quando p = n é um inteiro não-negativo,

�(n+ 1) = n! ;

de maneira que a função gama generaliza o fatorial de números inteirospositivos para valores reais. A �gura seguinte mostra o grá�co da função gama.

Figura . Grá�co da função gama.

Pode-se provar que, para qualquer N inteiro positivo,

limp!�N

1

�(p)= 0

Assim, a função dada por

f(p) =

�1 =�(p) ; se p 6= �N0 ; se p = �N

é de�nida e contínua, de forma que podemos adotar a seguinte fórmula:

1

�(�p) = 0 ; p = 0; 1; 2; : : : (11)

Voltemos à expressão da solução da equação de Bessel para a raiz característicar1 = p. Substituindo (10) em (9), temos �nalmente

y1(x) = Jp(x) =1Xn=0

(�1)nn!�(n+ p+ 1)

�x2

�2n+p(12)

que é chamada de função de Bessel de primeira espécie de ordem p, denotadaJp(:): Aplicando o teste da razão, é fácil ver que esta série converge absolutamente

10

em toda a reta. Em particular, quando p é um inteiro positivo, a série representauma função analítica na origem.As funções de Bessel mais importantes são os casos particulares p = 0 e p = 1, quefornecem:

J0(x) = 1�x2

22+

x4

24(2!)2� x6

26(3!)2+ � � �

J1(x) =x

2� x3

23:2!+

x5

25:2!:3!� � � �

Notem a semelhança com as expansões em séries de Taylor de cosx e senx :

cosx = 1� x2

22+x4

4!� x6

6!+ � � �

senx = x� x3

3!+x5

5!� � � �

Assim, é de se esperar que estas funções de Bessel de 1aespécie compartilhem

algumas das propriedades destas funções trigonométricas. De fato, pode-se mostrar(ou, no mínimo, observar plotando-se os grá�cos) as seguintes propriedades dasfunções de Bessel de 1

aespécie de ordem p:

1. As funções Jp(:) possuem uma in�nidade de zeros. Além disso, cada zero deJp(:) situa-se entre dois zeros consecutivos de Jp+1(:):

2. J0(x) = 1 e Jp(x) = 0 ;8 p > 0 , de forma que toda Jp(:) é �nita na origempara p � 0.

3. Embora as funções Jp(:) não sejam periódicas, elas no entanto apresentamcomportamento oscilatório amortecido.

Figura .Grá�co das funções Jp(:) para p = 0 ; p = 1 e p = 2.

EXERCÍCIOS:

1. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se y1(x) e y2(x) são duas soluções lin-earmente independentes de

y00 + P (x)y0 +Q(x)y = 0

11

então os zeros destas funções são distintos e ocorrem alternativamente, nosentido de y1(x) se anula exatamente uma vez entre dois zeros consecutivos dey2(x) e reciprocamente.

(Sug.: Discuta o wronskiano W (y1; y2) = y1(x)y02(x)� y2(x)y

01(x)).

2. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que qualquer equação da forma padrão

y00 + P (x)y0 +Q(x)y = 0

pode ser escrita na forma normal

u00 + q(x)u = 0

(Sug.: Fazer a mudança y(x) � u(x)v(x) e substituir na equação na formapadrão para obter

vu00 + (2v0 + Pv)u0 + (v00 + Pv0 +Qv)u = 0

e igualar o coe�ciente de u0 para obter v = e�12

RPdx ).

3. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se q(x)<0 e u(x) é uma solução não-trivial de u�+q(x)u=0, então u(x) tem no máximo um zero.

4. (Sugestão para trabalhinho) Prove o seguinte resultado: Seja u(x) uma soluçãonão-trivial de u�+q(x)u=0, com q(x)>0 para todo x>0. SeZ 1

1

q(x)dx =1

então u(x) tem um número in�nito de zeros no eixo x>0.

5. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que toda solução não-trivial da equação deBessel de ordem p tem um número in�nito de zeros positivos.

6. (Sugestão para trabalhinho) Seja y(x) uam solução não-trivial de u�+q(x)u=0num intervalo fechado [a,b]. Mostre que y(x) tem no máximo um número �nitode zeros neste intervalo.

7. (Sugestão para trabalhinho) Sejam y(x) e z(x) soluções não-triviais de

y00 + q(x)y = 0

ez00 + r(x)z = 0

onde q(x) e r(x) são funções positivas tais que q(x)>r(x). Mostre que y(x) seanula no mínimo uma vez entre quaisquer dois zeros sucessivos de z(x).

8. (Sugestão para trabalhinho) Seja yp(x) uma solução não-trivial da equação deBessel de ordem p em x>0. Mostre que

(i) Se 0 � p � 1=2 , então todo intervalo de comprimento � contém no mínimoum zero de yp(x):

(ii) Se p = 1=2 , então a distância entre zeros sucessivos de yp(x) é exatamente�:

(iii) Se p > 1=2 , então todo intervalo de comprimento � contém no máximoum zero de yp(x).

12

9. (Sugestão para trabalhinho) Sejam x1 e x2 dois zeros consecutivos de umasolução não-trivial yp(x) da equação de Bessel de ordem p. Mostre que

(i) Se 0 � p < 1=2 , então x2 � x1 é menor do que � e tende a � quandox!1.(ii) Se p > 1=2 , então x2�x1 é maior do que � e tende a � quando x!1.

Segunda solução linearmente independente da equação de Bessel. Funçõesde Bessel de segunda espécie.

Nossa preocupação agora é encontrar uma outra solução y = y2(x) da equação deBessel de ordem p, que vamos chamar de função de Bessel de segunda espécie deordem p, tal que o conjunto de soluções fJp(:); y2(:)g seja linearmente independente,de forma que a solução geral da equação de Bessel seja dada por

y = c1Jp(x) + c2y2(x) ; c1; c2 constantes arbitrárias

A candidata natural é tomar

y2(x) = J�p(x) =1Xn=0

(�1)nn!�(n� p+ 1)

�x2

�2n�p;

uma vez que a outra raiz característica da equação indicial é r2 = �p. Em algunscasos, este procedimento irá mesmo resultar na segunda solução linearmente inde-pendente, como é o caso da equação de ordem 1=2 proposta no exercício seguinte.

Exercício Estude a equação de Bessel de ordem 1/2. Em particular, mostre quesua solução geral é dada por

y = c1J1=2(x) + c2J�1=2(x) ; x > 0

com

J1=2(x) =

�2

�x

�1=2senx ; x > 0

J�1=2(x) =

�2

�x

�1=2cos x ; x > 0

Porém, nem tudo é assim tão simples. Por exemplo, note que no caso de uma equaçãode Bessel de ordem N , com N sendo um inteiro positivo, temos que y2(x) = J�N(x)é solução, mas fJN(:); J�N(:)g é linearmente dependente. De fato, de (11) vem que

1

�(n�N + 1)= 0 para n = 0; 1; : : : ; N � 1

Daí, segue que

J�N(x) =1Xn=N

(�1)nn!�(n�N + 1)

�x2

�2n�N= (�1)N

1Xk=0

(�1)kk!�(k �N + 1)

�x2

�2k+N13

onde �zemos a mudança k = n�N para obter a segunda igualdade. Conclusão:

J�N(x) = (�1)NJN(x)

ou seja, JN(:) e J�N(:) são soluções linearmente dependentes da equação de Bessel, deforma que ainda estamos em falta de uma segunda solução linearmente independentepara gerar o espaço de soluções.No que segue, veremos que J�p(:) poderá ser a procurada segunda solução linear-mente independente nos casos em que r1 � r2 = 2p for diferente de zero ou dequalquer inteiro positivo e quando 2p for um inteiro ímpar, mas que teremos queprocurar outra função para o papel de segunda solução l.i. no caso em que p forigual a zero ou um inteiro positivo. Analisemos, então, cada caso em detalhe.

I. Caso r1 � r2 = 2p =2 f0; 1; 2; 3; : : :g:

A fórmula de recorrência

F (r + n)an +n�1Xk=0

ak [(r + k)pn�k + qn�k] = 0 ; n � 1

fornece:para n = 1 :

(1� 2p)a1 + 0 = 0 ; de onde a1 = 0

para n = 2 :�(�p+ 2)2 � p2

�a2 + ao [(�p+ 0):0 + 1] + 0 = 0 ; de onde a2 = �

ao2(2� 2p)

e, de maneira geral, temos a fórmula de recorrência

a1 = 0 e an =�an�2

n(n� 2p) ; n = 2; 3; : : :

Note que para todos os índices ímpares temos a1 = a3 = a5 = � � � = 0: Assim,construimos a série

J�p(x) =1Xn=0

(�1)nn!�(n� p+ 1)

�x2

�2n�pque é absolutamente convergente em toda a reta e também é solução da equação deBessel de ordem p. Por outro lado, note que J�p(x) possui termos na forma x�p,de maneira que jJ�p(x)j ! 1 quando x ! 0+. Disto decorre que fJp(:); J�p(:)g élinearmente independente, pois se �; � 2 R são tais que

�Jp(:) + �J�p(:) = 0 ;

então �Jp(x) + �J�p(x) = 0 ; 8x > 0 ; e limx!0+ j�Jp(x) + �J�p(x)j = 0 se esomente se � = � = 0:Assim, a solução geral da equação de Bessel de ordem p no caso em que 2p 6=0; 1; 2; : : : é dada por

y = c1Jp(x) + c2J�p(x)

14

com c1; c2 constantes arbitrárias.

II. Caso r1 � r2 = 2p = 2N + 1 ; N = 0; 1; 2; : : : :

Temos, para n = 1 :"�� 2N + 1

2+ 1

�2��2N + 1

2

�2#a1 + 0 = 0

o que resultaNa1 = 0

Para n = 2 : "�� 2N + 1

2+ 2

�2��2N + 1

2

�2#a1 + ao + a1:0 = 0

resultandoa2 = �

ao2(1� 2N)

De maneira geral, �camos com

Na1 = 0 e an = �an�2

n(n� 1� 2N) ; n = 2; 3; : : : ; n 6= 2N + 1 (13)

Assim, se N = 0, ou seja, p = 12, temos que a1 é arbitrário e podemos, então, tomar

a1 = 0. Isto acarretará a1 = a3 = a5 = � � � = 0:Se N = 1, temos que a1 = 0 necessariamente, e

n(n� 1� 2)an = �an�2n(n� 3)an = �an�2 ; n = 2; 3; : : :

2(�1)a2 = �ao ; portanto, a2 = ao=2

3� 0� a3 = 0 ; de forma que a3é arbitrário.

Tomemos a3 = 0. Com isto, todos os coe�cientes com índices ímpares são nulos eobtemos novamente J�p(:) como segunda solução l.i.Se N = 2, teremos que a1 = a3 = 0 necessariamente, e a5 é arbitrário. Tomandoa5 = 0, todos os coe�cientes com índices ímpares são nulos. Assim, sucessivamentetemos a solução geral

y = c1Jp(x) + c2J�p(x)

da equação de Bessel de ordem p, para qualquer p = 2N+12

; N = 0; 1; 2; 3; : : :

III. Caso r1 � r2 = 2N ; ou seja, p = N ; N = 0; 1; 2; : : : :

Aqui temos um problema porque, como já vimos, fJN(:); J�N(:)g forma um conjuntolinearmente dependente. Há no mínimo três maneiras de contornar este impasse.Vamos ver uma delas.Para isto, repare que a função dada por

Yp(x) :=Jp(x) cos p� � J�p(x)

sen p�;

15

conhecida como função de Weber, também é uma solução da equação de Bessel deordem p quando p não é um número inteiro, pois neste caso ela está bem de�nidae é uma combinação linear de soluções de uma equação linear. É fácil ver quefJp(:); Yp(:)g é linearmente independente, de forma que a solução geral da equaçãode Bessel nesta caso também pode ser dada por

y = c1Jp(x) + c2Yp(x)

Quando p = N ; N = 0; 1; 2; : : : , de�nimos

YN(x) := limp!N ; p=2Z

Yp(x)

Pode-se mostrar que este limite existe e de�ne uma solução da equação de Bessel deordem N , linearmente independente a JN(:), de forma que a solução geral é dadapor

y = c1JN(x) + c2YN(x)

Esta demonstração é bastante trabalhosa. Para se ter uma idéia do procedimento,repare que no caso N = 0, usando a regra de L�Hospital, temos

YN(x) = limp!N

Jp(x) cos p� � J�p(x)

sen p�= lim

p!N

@Jp(x)

@pcos p� � �Jp(x) sen p� � @J�p(x)

@p

� cos p�

o que fornece

YN(x) =

@Jp(x)

@pjp=N � @J�p(x)

@pjp=N

�

A derivação de Jp e J�p com respeito a p implica na derivação com respeito aoparâmetro p da integral imprópria que de�ne a função gama. Assim, de�nimos afunção digama (x) como sendo

(p) :=d

dpln �(p+ 1) =

�0(p+ 1)

�(p+ 1)

de onde vem que

(p) =�0(p)

�(p)+1

p

Assim, de maneira geral, efetuando as derivações com respeito ao parâmetro p dafórmula de YN(x) e uma série de algebrismos, chegamos a

YN(x) =2

�

(JN(x)

� + ln

�x2

��� 12

N�1Xn=0

(N � n� 1)!n!

�x2

�2n�N�

�12

1Xn=0

(�1)n [�(n) + �(n+N)]

n!(n+N)!

�x2

�2n+N)onde

= limn!1

�1 +

1

2+ � � �+ 1

n� lnn

�= 0:5772156 : : :

é a constante de Euler-Mascheroni e

�(n) = (n) + = 1 +1

2+ � � �+ 1

n

16

A �gura seguinte mostra os grá�cos de Yo(:) e Y1(:). Note que ambas tendem a �1quando x! 0+.

Propriedades das funções de Bessel

Nesta seção, estaremos desenvolvendo algumas propriedades das funções de Besselque são úteis em suas aplicações. Vamos começar com algumas identidades.Derivando em relação a x a identidade

xpJp(x) =1Xn=0

(�1)n22n+pn!�(n+ p+ 1)

x2n+2p

vemd

dx[xpJp(x)] =

1Xn=0

(�1)n(2n+ 2p)22n+pn!�(n+ p+ 1)

x2n+2p�1 =

=1Xn=0

(�1)n22n+p�1n!

:(n+ p)

�(n+ p+ 1)x2n+2p�1 =

=1Xn=0

(�1)n22n+p�1n!�(n+ p)

x2n+2p�1 =

= xp1Xn=0

(�1)nn!�(n+ p)

�x2

�2n+p�1= xpJp�1(x)

Assim, temos nossa primeira identidade:

d

dx[xpJp(x)] = xpJp�1(x) (14)

De modo análogo, obtemos

d

dx

�x�pJp(x)

�= �x�pJp+1(x) (15)

Expandindo as derivadas em (14) e (15), vem

J 0p(x) = Jp�1(x)�p

xJp(x) (16)

eJ 0p(x) =

p

xJp(x)� Jp+1(x) (17)

17

Subtraindo (16) - (17) resulta na seguinte fórmula de recorrência

Jp+1(x) =2p

xJp(x)� Jp�1(x) (18)

Como ilustração, note que p = 0 em (14) fornece

J 0o(x) = J�1(x)

o que pode ser expresso comoZJ�1(x)dx = Jo(x) + c

Analogamente, para p = 1 e p = 2, temosZxJo(x)dx = xJ1(x) + cZx2J1(x)dx = x2J2(x) + c

Também, da fórmula de recorrênccia (18), podemos, por exemplo, expressar J3(x)em função de Jo(x) e J1(x) :

J3(x) =4

xJ2(x)� J1(x)

=4

x

�2

xJ1(x)� Jo(x)

�� J1(x)

resultando em

J3(x) = �4

xJo(x)�

�1� 8

x2

�J1(x)

Exercício. ObtenhaRxJ2(x)dx

Solução: De (15), temos queRx�1J2(x)dx = �x�1J1(x) + c: Assim, podemos usar

integração por partes:ZxJ2(x)dx =

Zx2�x�1J2(x)

�dx =

= �xJ1(x) + 2ZJ1(x)dxZ

xJ2(x)dx = �xJ1(x)� 2Jo(x) + c

Exercício Obtenha ZJ2(x)

x2dx

Solução: Não temos diretamente nenhuma informação sobreRx�2J2(x)dx, mas de

(14) temos qued

dx

�x2J2(x)

�= x2J1(x)

18

Assim, podemos explorar esta identidade fazendoZJ2(x)

x2dx =

Z �x2J2(x)

� 1x4dx

e resolver por integração por partes para obterZJ2(x)

x2dx = � 1

3xJ2(x)�

1

3J1(x) +

1

3

ZJo(x)dx

Exercício Prove que entre cada par de zeros positivos consecutivos de Jp(x) existeuma raiz de Jp�1(x) e uma de Jp+1(x).(Sug.: Aplicar o teorema de Rolle a f(x) = xpJp(x)).

Função geradora das funções de Bessel

Temos que as seguintes expansões em séries de t (de Taylor e Laurent, respectiva-mente) convergem absolutamente:

exp

�x:t

2

�=

1Xj=0

1

j!:xj

2jtj

exp

�� x

2:1

t

�=

1Xk=0

(�1)kk!

:xk

2kt�k

Daí, multiplicando formalmente as duas séries,

exp

�x

2

�t� 1

t

��=

1Xj=0

1

j!:xj

2jtj

! 1Xk=0

(�1)kk!

:xk

2kt�k

!;

o resultado é uma chamada série dupla, cujos termos são todos os produtos possíveisde um termo da primeira série por um termo da segunda série. A convergência abso-luta de cada uma das séries garante que esta série dupla converge independentementeda ordem de seus termos. Pode-se provar que este produto fornece

exp

�x

2

�t� 1

t

��=

1Xn=0

'n(x) tn +

1Xn=1

n(x) t�n

onde

'n(x) =1Xk=0

1

(n+ k)!:xn+k

2n+k:(�1)kk!

:xk

2k= Jn(x)

n(x) =

1Xj=0

1

j!:xj

2j:(�1)n+j(n+ j)!

:xn+j

2n+j= (�1)nJn(x)

Daí, temos �nalmente

exp

�x

2

�t� 1

t

��= Jo(x) +

1Xn=1

Jn(x)�tn + (�1)nt�n

�=

1Xn=�1

Jn(x) tn (19)

19

A partir daí, podemos deduzir a fórmula integral de Bessel. Para isto, fazendoa mudança t = ei�, o argumento de exp(.) em (19) �ca sendo

xei� � e�i�

2= ix sen �

de maneira que (19) passa a ser

cos (x sen �) + i sen (x sen �) =1X

n=�1Jn(x) e

in� =1X

n=�1Jn(x) ((cosn�) + isenn�)

Igualando as partes reais e imaginárias, �camos com

cos (x sen �) =1X

n=�1Jn(x) cosn� = Jo(x) + 2

1Xn=1

J2n(x) cos 2n� (20)

sen (x sen �) =1X

n=�1Jn(x) senn� = 2

1Xn=1

J2n�1(x) sen (2n� 1)� (21)

Multiplicando (20) por cosm� e (21) por senm� e somando o resultado membro amembro, vem

cos (m� � x sen �) =1X

n=�1Jn(x) cos (m� n) �

o que, integrando na variável � de 0 a �, resulta na seguinte importante representaçãointegral da função de Bessel

Jn(x) =1

�

Z �

0

cos (n� � x sen �) d� (22)

Foi na forma destas integrais que, em seus trabalhos de astronomia, Bessel encontrouas funções Jn(x) e a partir delas que ele estabeleceu muitas das suas propriedades.

CAPÍTULO VI

EQUAÇÃO DE LEGENDRE

Equação de Legendre de ordem p � 0:

(1� x2)y00 � 2xy0 + p(p+ 1)y = 0

Aparece na resolução da EDP do potencial (i.e., equação de Laplace) com simetriaesférica, tais como temperaturas em estado permanente (steady-state) numa esfera

20

e o potencial eletrostático devido a duas cargas pontuais de mesma magnitude massinais opostos. Em geral, aparecem dissimuladas por meio de variáveis não �retan-gulares�.

Exercício 6.1 Mostre que a mudança de variáveis x = cos � ; jxj < 1; transformaa equação

1

sen �d

d�

�sen �

dy

d�

�+ n(n+ 1)y = 0

na equação de Legendre de ordem n.

6.1 Resolução em séries da equação de Legendre

Como xo = 0 é ponto ordinário da equação de Legendre, é natural procurarmos umasolução na forma

y =1Xn=0

anxn

Fazendo as substituições e os agrupamentos cabíveis, chegamos a

an+2 = �(p� n)(p+ n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)an ; n = 0; 1; 2; : : :

que resultam em duas soluções linearmente independentes (o wronskiano W (up; vp)é igual a 1 quando x = 0), que convergem em jxj < 1:

up(x) = 1�p(p+ 1)

2!x2 +

(p� 2)p(p+ 1)(p+ 3)4!

x4 � � � �

vp(x) = x� (p� 1)(p+ 2)3!

x3 +(p� 3)(p� 1)(p+ 2)(p+ 4)

5!x5 � � � �

Desta forma, de acordo com a teoria desenvolvida para expansão em séries na vi-zinhança de pontos ordinários, a solução geral da equação de Legendre de ordem pé

y(x) = aoup(x) + a1vp(x)

Note que, quando p = n, um número inteiro não-negativo, uma e só uma das sériesse reduz a um polinômio. Daí, temos a seguinte de�nição:

De�nição 6.1 Os polinômios de Legendre,denotados Pn(x), são de�nidos comosendo

Pn(x) =un(x)

un(1); se n é par

Pn(x) =vn(x)

vn(1); se n é ímpar

A escolha destes denominadores é para que os polinômios de Legendre apresentemvalor unitário quando x = 1. Os Pn(x) são polinômios de grua n que contêm apenas

21

potências ímpares ou pares de x, dependendo de n se par ou ímpar. Também, ébom reparar que cada Pn(x) , com n � 0, é uma solução da equação de Legendrede ordem n, de forma que a solução geral é

y = aoPn(x) + a1Qn(x)

Assim, podemos também chamar cada polinômio de Legendre de função de Legendrede primeira espécie. Com respeito à solução l.i. correspondente, Qn(x), que podemoschamar de função de Legendre de segunda espécie, de�nimos como sendo

Qn(x) =

��vn(1)un(x) ; se né ímparun(1)vn(x) ; se né par

; jxj < 1

A razão dos fatores �vn(1) e un(1) é para que tanto y = Pn(x) quanto y = Qn(x)satisfaçam as relações de recorrências

(n+ 1)yn+1 = (2n+ 1)xyn � nyn�1

y0

n+1 � y0

n�1 = (2n+ 1)yn

válidas para n = 1; 2; : : :, e que serão provadas na seção 6.3.Note que as funções de Legendre de segunda espécie são séries convergentes emjxj < 1.

6.2 Fórmula de Rodrigues

Existe ma maneira alternativa e mais prática de encontrar os polinômios de Legen-dre. Para isto, observe que o polinômio vn de�nido por

vn(x) :=dn

dxn(x2 � 1)n

satisfaz

(1� x2)d2vndx2

� 2xdvndx

+ n(n+ 1)vn = 0

que é a equação de Legendre de ordem n: Consequentemente, devemos ter que vn(x)e Pn(x) devem ser linearmente dependentes, ou seja,

Pn(x) = Cdn

dxn(x2 � 1)n = C

dn

dxn[(x+ 1)n(x� 1)n]

Daí, segue que

Pn(x) = C(x+ 1)ndn

dxn(x� 1)n + termos com o fator (x� 1)

Como Pn(1) = 1 e levando-se em conta que

dn

dxn(x� 1)n = n! ;

temos facilmente que 1 = C:2n:n!. Desta forma, temos que o polinômio de Legendrede grau n satisfaz

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn(x2 � 1)n

22

que é chamada de Fórmula de Rodrigues em homenagem ao matemático AlexandreRodrigues da ELE 04.

Exercício 6.2 Use a fórmula de Rodrigues para mostrar que

(i) P2(x) =1

2(3x2 � 1)

(ii) x2 =2

3P2(x) +

1

3Po(x)

(iii)Z 1

�1xmPn(x)dx = 0 ; se m < n

6.3 Função geradora

Propriedades importantes dos polinômios de Legendre podem ser estabelecidas us-ando a noção de função geradora. Para isto, considere uma carga elétrica q localizadano eixo z no ponto z = a: O potencial eletrostático desta carga num ponto P é

' =1

4�"o:q

r1

onde r1 é a distância de z = a até P . Usando a lei dos cossenos, podemos expressaro potencial eletrostático em termos das coordenadas polares esféricas r e � (a outracoordenada pode ser deixada de lado por causa da simetria em torno do eixo z)como sendo

' =q

4�"o:

1pr2 + a2 � 2ar cos �

=q

4�"or:

1q1 +

�ar

�2 � 2 �ar

�cos �

com r > a ou, mais precisamente, r2 > ja2 � 2ar cos �j.Esta ligeira digressão serve para motivar considerarmos a função de x e y dada por

F (x; z) =1p

1� 2xz + z2=

1p1� (2xz � z2)

; com j2xz � z2j < 1

e sua expansão em série de série de Taylor na variável z, na vizinhança de z = 0:

F (x; z) =

1Xn=0

An(x)zn (23)

Vamos mostrar que An(x) = Pn(x). Para isto, a�rmamos que:

1. An(x) é um polinômio de grau n:Isto segue do teorema binomial generalizado (cf. MAT-26),

(1 + v)p = 1 + pv +p(p� 1)2!

v2 +(p� 1)(p� 2)

3!v3 + � � � ; jvj < 1

23

com

v = �z(2x� z)

p = �12

2. An(1) = 1 , para cada n.De fato,

F (1; z) =1

1� z= 1 + z + z2 + � � �+ zn + � � � ; jzj < 1

3. An(x) satisfaz a equação de Legendre de ordem n.Para mostrar isto, as derivadas @F

@ze @F@xfornecem as identidades

(1� 2xz + z2)@F

@z= (x� z)F (x; z) (24)

z@F

@z= (x� z)

@F

@x(25)

Substituindo (23) em (24) e igualando os coe�cientes de mesma potência de z, resulta

A1(x) = xAo(x) (26)

nAn(x)� (2n� 1)xAn�1(x) + (n� 1)An�2(x) = 0 ; n = 2; 3; : : : (27)

Analogamente, substituindo (23) em (25) e igualando os coe�cientes de mesmapotência de z, resulta

xA0

o(x) = 0 (28)

A0

n�1(x) = xA0

n(x)� nAn(x) ; n = 1; 2; : : : (29)

ou, trocando n por n� 1,

A0

n�2(x) = xA0

n�1(x)� (n� 1)An�1(x) ; n = 2; 3; : : : (30)

A0

n�2(x) = x(xA0

n(x)� nAn(x))� (n� 1)An�1(x) ; n = 2; 3; : : :

A0

n�2(x) = x2A0

n(x)� nxAn(x)� (n� 1)An�1(x) ; n = 2; 3; : : : (31)

Por outro lado, derivando (27) em relação a x, temos

nA0

n(x)� (2n� 1)xA0

n�1(x) + (n� 1)A0

n�2(x) = 0 ; n = 2; 3; : : : (32)

Finalmente, substituindo as expressões de A0n�1(x) de (29) e A

0n�2(x) de (31) em

(32) e fazendo as devidas simpli�cações, segue que

A0

n(x) = x2A0

n(x)� nxAn(x) + nAn�1(x) ; n = 2; 3; : : :

Derivando novamente esta expressão em relação a x e substituindo A0n�1(x) de (29),

chegamos �nalmente que

(1� x2)A00

n � 2xA0

n + n(n+ 1)An = 0 ; n = 2; 3; : : :

24

de forma que An é uma solução polinomial da equação de Legendre para n = 2; 3; : : :Por outro lado, (28) fornece que Ao(x) = constante e, como An(1) = 1, vem que

Ao(x) = 1

e, usando (26),A1(x) = x

o que prova que An satisfaz a equação de Legendre de ordem n.

Desta forma, de acordo com o que foi mostrado nos ítens acima, segue que An � Pne, portanto, temos a seguinte relação geradora dos polinômios de Legendre:

1p1� 2xz + z2

=1Xn=0

Pn(x)zn (33)

que é válida para jxj � 1 e jzj < 1.Em particular, todas as fórmulas de recorrências obtidas acima para An também seaplicam para Pn. Por exemplo, temos a seguinte fórmula de recorrência

Pn+1(x) =2n+ 1

n+ 1xPn(x)�

n

n+ 1Pn�1(x) ; n = 1:2: : : : (34)

que permite determinar todos os Pn a partir do conhecimento de Po e P1.

Exercício 6.2 Determine P2(x) e P3(x).

6.4 Ortogonalidade dos polinômios de Legendre

Basicamente, nesta seção estaremos preocupados em calcular a integralR 1�1 Pm(x)Pn(x)dx.

De maneira geral, se f 2 Cn[�1; 1], temos que

I =

Z 1

�1f(x)Pn(x)dx =

Z 1

�1f(x)

1

2nn!

dn

dxn(x2 � 1)ndx

e, fazendo integrações por parte sucessivamente, chegamos a

I =(�1)n2nn!

Z 1

�1f (n)(x)(x2 � 1)ndx

No caso em que f(x) = Pm(x) , com m < n, temos que f (n)(x) = 0. Assim, semperda de generalidade, segue queZ 1

�1Pm(x)Pn(x)dx = 0 ; se m 6= n

Consideremos agora o caso m = n:

In =

Z 1

�1Pn(x)

2dx

25

ComoPn(x) =

2n� 1n

xPn�1(x)�n� 1n

Pn�2(x)

temos que

In =

Z 1

�1Pn(x)

�2n� 1n

xPn�1(x)�n� 1n

Pn�2(x)

�dx

=2n� 1n

Z 1

�1xPn(x)Pn�1(x)dx + 0

Mas, como

xPn(x) =1

2n+ 1[nPn�1(x) + (n+ 1)Pn+1(x)] ; n � 1

podemos facilmente mostrar por indução a seguinte recorrência:

In =2n� 12n+ 1

In�1 ; n � 2

ou aindaIn =

2n� 12n+ 1

:2n� 32n� 1 :

2n� 52n� 3In�3

e

In =2n� (2n� 1)

2n+ 1Io ; n � 0

Como Io = 2, segue que

In =2

2n+ 1; n � 0

Daí, concluindo, temos que, para n = 0; 1; 2; : : : ;Z 1

�1Pm(x)Pn(x)dx =

8<:0 ; se m 6= n

22n+1

; se m = n

Muitos problemas da teoria do potencial dependem da possibilidade de se expandirum dada função numa série de polinômios de Legendre. É fácil ver que isto semprepode ser feito quando a função dada é ela mesma um polinômio (cf. o capítuloVIII, sobre polinômios ortogonais). O problema que surge é saber para que classede funções f(x) é válida (i.e., temos a convergência) a chamada expansão em sériede Legendre:

f(x) =

1Xn=0

anPn(x)

Embora não seja o objetivo deste curso apresentar uma demonstração, enunciamosabaixo o chamado teorema de expansão de Legendre, que apresenta uma condiçãosu�ciente para que uma função f = f(x) admita uma expansão em série de Legendre.

Teorema de expansão de Legendre.Se f(x) e f�(x) têm ambas no máximo um número �nito de descontinuidades do tiposalto no intervalo �1 � x � 1 , então os coe�cientes an�s existem e a série deLegendre converge nos seguintes termos

1Xn=0

anPn(x) =

8<:12[f(x�) + f(x+)] ; se � 1 < x < 1

f(�1+) ; se x = �1f(1�) ; se x = 1

26

Em particular, a série converge para f(x) em todos os pontos de continuidade.

6.5 Função associada de Legendre

Chamamos de equação associada de Legendre à equação

(1� x2)v00 � 2xv0 +�n(n+ 1)� m2

1� x2

�v = 0 ; m; n inteiros não-negativos

(35)Sua relação com a equação de Legendre é que, através de uma mudança de variáveisconveniente, ela pode ser transformada numa nova equação que é obtida da equaçãode Legendre por derivações sucessivas. Mais precisamente, a aplicação direta daregra da cadeia fornece que a mudança de variáveis

v = (1� x2)m=2u

transforma (35) na equação

(1� x2)u00 � 2(m+ 1)xu0 + (n�m)(n+m+ 1)u = 0 (36)

Daí, temos o seguinte:

Proposição 6.1 A solução geral de (35) é

v = aPmn (x) + bQmn (x)

onde

Pmn (x) = (1� x2)m=2dm

dxmPn(x)

Qmn (x) = (1� x2)m=2dm

dxmQn(x)

(Estas funções são chamadas de função de Legendre associada de primeira e desegunda espécie, respectivamente).

� Prova. Derivando m vezes a equação de Legendre

(1� x2)y00 � 2xy0 + n(n+ 1)y = 0

resulta

(1� x2)d2

dx2y(m) � 2(m+ 1)x d

dxy(m) + (n�m)(n+m+ 1)y(m) = 0

onde

y(m) =dm

dxmy

Daí, u = y(m) é solução de (36), com y = aPn(x) + bQn(x). Portanto,

v = (1� x2)m=2u = (1� x2)m=2dm

dxm(aPn(x) + bQn(x))

e o resultado segue. �

27

Exercício 6.3 Sabendo que

P2(x) =1

2(3x2 � 1)

Q1(x) =x

2ln1 + x

1� x+

x

1� x2

mostre que

P 12 (x) = 3xp1� x2

Q11(x) = (1� x2)1=2�1

2ln1 + x

1� x+

x

1� x2

�

28