resolucion grafica de circuitos - rev2011

Resolucin grfica de circuitos_Rev2011

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RESOLUCIN GRFICA DE CIRCUITOSIntroduccin al anlisis de circuitos no lineales. Aplicacin a circuitos magnticosRealizado por Ing. Pablo Morcelle del Valle

1.

Introduccin

En ciertos casos, la resolucin de un circuito por mtodos analticos resulta compleja y a veces muy tediosa. Es el caso de circuitos cuyos componentes poseen caractersticas tensin-corriente no lineales. En estas circunstancias, pretender resolver un circuito de este tipo mediante un sistema de ecuaciones no lineales implica utilizar mtodos iterativos de aproximaciones sucesivas. En la actualidad, el masivo uso de las computadoras podra verse como una ventaja ante esta situacin, dadas la capacidad de clculo y velocidad de las mismas. sto es cierto, siempre y cuando se justifique la elaboracin de un programa que se pueda utilizar un nmero suficiente de veces que compense el tiempo de programacin. De lo contrario, si la necesidad de resolucin de un dado problema se da una nica vez, la combinacin de un mtodo grfico de resolucin y una simple iteracin pueden dar lugar a una solucin aceptable desde el punto de vista numrico y ventajosa con relacin a los tiempos invertidos en la tarea. Siguiendo dicha lnea de pensamiento, en este captulo se presenta un mtodo grfico para el planteo y resolucin de sistemas no lineales. Se inicia con el estudio de sistemas lineales simples conformados por circuitos elctricos en continua, con el objeto de comparar la resolucin grfica con la analtica; avanzando hacia sistemas ms complejos. A continuacin, los conceptos desarrollados se aplican a sistemas no lineales, bsicamente compuestos por circuitos magnticos, recordando la analoga de stos con los elctricos. Se debe aclarar que la teora aqu expuesta para sistemas no lineales es aplicable a cualquier tipo de circuitos de estas caractersticas, no slo a circuitos magnticos.

2.

Sistemas lineales. Circuito elctrico 2.1. Circuito elctrico compuesto por una fuente de tensin real y una carga resistivaSe analizar un circuito lineal simple compuesto por una fuente de tensin con su resistencia interna en serie y una resistencia de carga, segn se muestra en la Figura 1.

Ri E

IcFigura 1

Rc

Las ecuaciones que representan el funcionamiento del circuito son E = URi + URc = IcRi + IcRc = Ic(Ri + Rc) y de aqu

Ic =

E Ri +Rc

Ic 1 = E Ri +Rc

lo cual, grficamente, se puede representar de la siguiente manera

I

1/Ri 1/Rc

Ic

1/(Ri+Rc)

URi URc EFigura 2Ing. Pablo Morcelle del Valle Prof. Adj. de Electrotecnia y Electrnica Departamento de Electrotecnia Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de La Plata

U


2

en donde las rectas

1 1 y corresponden a las caractersticas U-I de los resistores respectivos; obRi Rc

1 1 1 es la suma grfica de las rectas ms a corriente Ri +Rc Ri Rc constante, es decir que se suman sus correspondientes valores del eje U para cada valor de I; resultando que dicha composicin grfica corresponde a las dos resistencias en serie, dando origen a una caracterstica equivalente U-I que representa la suma de Ri ms Rc.servndose, adems, que la recta Con esta construccin grfica puede determinarse la corriente Ic de la malla completa a partir del 1 . De la misma forma, se pueden determinar las cadas de tensin valor de U = E sobre la recta Ri +Rc sobre Ri y Rc tal como se observa en el grfico, cuya suma debe resultar igual a E. Tambin se puede observar en la Figura 2 que el segmento URc E resulta igual a Ui. Otra forma de resolver el problema es introduciendo el concepto de caracterstica de regulacin de la fuente real conformada por E y Ri. Supngase ahora que el circuito de la Figura 1 se separa en sus dos elementos componentes, la fuente real y el resistor de carga, tal como muestra la Figura 3.

Ri EFigura 3

Rc

La representacin grfica de cada uno de dichos elementos componentes se muestra en la Figura 4.

I Icc

1/Rc

Ic

URc EFigura 4

U

En este punto, no deberan quedar dudas respecto de la representacin de la resistencia de carga; pero debe hacerse una mencin especial en el caso de la fuente real, la cual est representada en el grfico por su caracterstica de regulacin. La caracterstica de regulacin de una fuente de tensin real describe el funcionamiento de la misma para todas las condiciones de carga posibles, desde el circuito abierto hasta el cortocircuito. En estos dos extremos, resulta simple visualizar grficamente las respectivas situaciones.

Ri E

Ic=0 Uc=Ea) Figura 5

Ri E

Ic=Iccb)

Uc=0

Ing. Pablo Morcelle del Valle Prof. Adj. de Electrotecnia y Electrnica Departamento de Electrotecnia Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de La Plata


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Sean los circuitos de la Figura 5. Se puede verificar rpidamente que para la Figura 5a) resulta Uc = E, pues Ic = 0 mientras que para la Figura 5b) (circuito abierto)

Ic =Icc =

E , pues Uc = 0 Ri

(corto circuito)

Para cualquier caso intermedio vale E = IcRi + Uc suponiendo que Uc es la cada de tensin resultante en un resistor de carga Rc conectado en bornes de la fuente real, por efecto de la corriente Ic. Debe quedar claro que la pendiente de la recta que representa la caracterstica de regulacin de la fuente es igual a la inversa de Ri. Entonces, dadas las representaciones de la fuente y la carga presentadas en la Figura 4, la interseccin de la recta de carga Rc y la caracterstica de regulacin de la fuente real, determina el punto de funcionamiento del circuito, cuyas coordenadas corresponden a URc e Ic. Si se incorpora al grfico la recta de carga definida por la resistencia interna de la fuente Ri, la abscisa correspondiente al valor de la corriente Ic para dicha recta resulta coincidente con la cada de tensin en Ri, verifcndose que URi ms URc coincide con E, como era de esperar (Figura 6).

I Icc

1/Ri 1/Rc

Ic

URi URc EFigura 6

U

Se pueden analizar circuitos cada vez ms complejos, incorporando ms ramas en serie y/o en paralelo, o ms fuentes de tensin; algunos de cuyos casos se presentan en los puntos que siguen.

2.2. Circuito elctrico compuesto por una fuente de tensin real y dos cargas resistivas conectadas en paraleloEl presente caso pretende ilustrar acerca de cmo debe operarse grficamente para obtener el punto de funcionamiento del circuito; es decir, cmo determinar las corrientes de las diferentes ramas, suponiendo como dato los elementos pasivos y la tensin de la fuente. De ms est decir que si el dato fuera alguna de las corrientes con la fuente incgnita, tambin debera poder obtenerse una solucin. Supngase el circuito de la Figura 7.

I1

R i Ii R1 EFigura 7

R2

I2

Como se detall en el punto anterior, deben graficarse las caractersticas de los elementos pasivos y la curva de carga de la fuente de tensin, Figura 8.



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I Icc

1/R1+1/R2 1/R1

Ii

I1 I2UReq EFigura 8

1/R2

U

1 1 + representa el equivalente paralelo de R1 y R2 (Figura 9), lo cual se obtiene R1 R2 grficamente sumando las respectivas caractersticas a tensin constante.La recta

R i Ii I 1 E

R1 R2a)

I2Equivalente

R i Ii Req E I1+I2b)

Figura 9

La interseccin de la caracterstica de regulacin y la del equivalente paralelo determina el punto de funcionamiento del circuito (corriente de la fuente). A partir de ste, se pueden obtener las corrientes de cada rama pasiva, prolongando la proyeccin de dicho punto de funcionamiento hasta cortar las rec1 1 tas de y , definiendo sobre el eje vertical las corrientes de las ramas de R1 y R2. En esta condiR1 R2 cin, es posible verificar claramente que Ii = I1 + I2, adems que E - UReq

2.3. Circuito elctrico compuesto por dos fuentes de tensin reales y una carga resistiva conectadas en paraleloFuentes en paralelo con la misma polaridad La Figura 10 muestra un resistor conectado en paralelo con dos fuentes de tensin, tambin en paralelo y con las mismas polaridades respecto de los bornes AB.

A

Ri1 IRi1 Rc E1 IRcBFigura 10

IRi2 Ri2 E2

Es posible determinar la fuente equivalente vista desde AB por el resistor de carga Rc, tal como se ve en la Figura 11.

A

R AB UABFigura 11

IRcB

R



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Esta fuente equivalente se determina mediante el mtodo de Thevenin, cuyos parmetros resultan:

UAB =

1 (E2 Ri1+E1Ri2 ) Ri1 +Ri2 R AB = Ri1Ri2 Ri1 +Ri2

La corriente de cortocircuito de esta fuente equivalente resulta del cociente entre UAB y RAB:

ICC =

UAB E2 E1 = + = ICC2 +ICC1 R AB Ri2 Ri1

de donde se verifica, adems, que la corriente de cortocircuito de la fuente equivalente es la suma de las corrientes de cortocircuito de cada fuente individual. La importancia de este resultado radica en la forma de determinacin de la caracterstica de la fuente equivalente en forma grfica, como se ver. Seguidamente, en la Figura 12, se grafican las caractersticas individuales de las fuentes 1 y 2 y de la recta de carga. Se supone que E1>E2 y Ri1>Ri2.

I Icc 2 Icc1

1/Rc

E2Figura 12

E1 U

A partir de la Figura 12 y de lo expuesto para el clculo de la fuente equivalente de Thevenin, se puede determinar la caracterstica equivalente de dicha fuente en forma grfica. Se describir sobre la Figura 13 lo antedicho.

IIcc=Icc1+Icc2

Icc 2 Icc1IRc =IRi1+IRi2

1/Rc

IRi1 IRi2 URc E2 UAB E1 U URi2 URi1Figura 13

La recta de la fuente equivalente se obtiene de la siguiente manera: a partir de los resultados del anlisis por el mtodo de Thevenin, la corriente de cortocircuito equivalente Icc se obtiene como la suma de las corrientes de cortocircuito de cada fuente individual Icc1 e Icc2, es decir que en el grfico se suman directamente dichos valores de corriente cortocircuito sobre el eje I, resultando que dicho valor es Icc sobre dicho eje. A continuacin, la pendiente de dicha caracterstica se determina sabiendo que RAB es la resistencia equivalente del paralelo de las resistencias internas de las fuentesIng. Pablo Morcelle del Valle Prof. Adj. de Electrotecnia y Electrnica Departamento de Electrotecnia Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de La Plata


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Ri1 y Ri2, vale decir que la suma punto a punto a tensin constante de las caractersticas de regulacin de las fuentes 1 y 2, da como resultado la caracterstica de regulacin de la fuente equivalente. Esta caracterstica corta al eje U en UAB, lo cual resulta lgico en baso a lo expuesto a lo largo del presente captulo. Alcanzado este punto, la solucin del circuito o punto de funcionamiento del mismo resulta el indicado en el grfico como la interseccin de la recta de regulacin de la fuente equivalente y la recta de carga de Rc; y es la solucin del circuito de la Figura 11. El lector puede verificar que los valores restantes indicados en el grfico de la Figura 13 corresponden a las diferentes corrientes y tensiones que completan la solucin del circuito completo original de la Figura 10. Como corolario de la situacin planteada, se puede afirmar que si el nmero de fuentes conectadas en paralelo es mayor que dos, la suma de las corrientes de cortocircuito de las fuentes individuales debe resultar igual a la corriente de cortocircuito de la fuente equivalente, y la resistencia interna de la fuente equivalente debe ser igual al paralelo de las resistencias internas de las fuentes individuales; esto ltimo, desde el punto de vista grfico, es equivalente a sumar las caractersticas a tensin constante. Fuentes en paralelo con polaridad opuesta La Figura 14 muestra dos fuentes de tensin con polaridades opuestas conectadas en paralelo, y una posible representacin de su circuito equivalente.

A

A

R i1 E1

I I Ri2 E2BFigura 14

RAB UABB

La representacin en el grfico U-I de las caractersticas de regulacin de cada fuente individual que resulta se muestra en la Figura 15.

I Icc1

E1 E2 Icc 2 U

Figura 15

La tensin de la fuente E2 se sita en el semieje negativo de U, dado que resulta de polaridad opuesta a la de la fuente E1 respecto de los bornes AB. Asimismo, la corriente de cortocircuito Icc2 se encuentra sobre el semieje negativo de I, puesto que su sentido es opuesto a la corriente Icc1 respecto de los bornes AB. Al igual que en el caso anterior, se desea determinar la caracterstica de la fuente equivalente vista desde los bornes A y B. Si se aplica el mtodo de Thevenin, resulta:

UAB =

1 (E1Ri2 -E2 Ri1 ) Ri1 +Ri2 R AB = Ri1Ri2 Ri1 +Ri2

La corriente de cortocircuito de esta fuente equivalente resulta del cociente entre UAB y RAB:Ing. Pablo Morcelle del Valle Prof. Adj. de Electrotecnia y Electrnica Departamento de Electrotecnia Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de La Plata


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ICC =

UAB E1 E2 = = ICC1 -ICC2 R AB Ri1 Ri2

Con estos resultados se puede graficar la caracterstica de la fuente equivalente respecto de los bornes AB, como muestra la Figura 16.

I Icc1 Icc E1 E2 Icc 2 U AB U

Figura 16

A esta altura del anlisis es posible generalizar los resultados del punto anterior de la siguiente manera: si el nmero de fuentes conectadas en paralelo es mayor que dos, cualquiera sea la polaridad de cada una, la suma algebraica de las corrientes de cortocircuito de las fuentes individuales debe resultar igual a la corriente de cortocircuito de la fuente equivalente, y la resistencia interna de la fuente equivalente debe ser igual al paralelo de las resistencias internas de las fuentes individuales; esto ltimo, desde el punto de vista grfico, es equivalente a sumar las caractersticas a tensin constante.

2.4. Circuito elctrico compuesto por dos fuentes de tensin reales y una carga resistiva conectadas en seriePara el caso de un circuito como el descripto en el ttulo, al que le corresponde la Figura 17, el mismo no necesita mayores explicaciones dada la sencillez del caso; sea que las fuentes tengan la misma polaridad o sean de polaridad opuesta. Ello es as, debido a que se debe observar cmo se determina la fuente equivalente de dos o ms fuentes conectadas en serie: se suman las tensiones con su signo y se suman las resistencias internas.

A

R i2A

E2 R i1 E1B

IRc

Rc

RAB UAB

IRcB

Rc

Figura 17

Los grficos resultan segn se muestra en la Figura 18; y los resultados se obtienen operando como en casos anteriores.



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I Icc 2 Icc1

I 1/Rc Icc 2 Icc Icc1 IRc 1/Rc

E2 E2 E1 UURi2 URi1 URcFigura 18

E1

UCA

UURi1 +URi2

Siguiendo razonamientos expuestos, las caractersticas deben sumarse a corriente constante, dado que las resistencias internas se encuentran en serie; y el punto de cruce de la caracterstica equivalente con el eje U resulta de la suma algebraica de las tensiones de las fuentes individuales, y corresponde a la tensin de circuito abierto resultante.

3.

Sistemas no lineales. Circuito magntico

En los puntos que siguen se aplicarn todas las ideas desarrolladas hasta aqu respecto de la resolucin grfica de circuitos. En particular, se aprovecharn las analogas existentes entre circuitos elctricos y circuitos magnticos, las cuales se hallan condensadas en la Tabla I siguiente, la cual es reproduccn de la presentada en el captulo de Circuitos Magnticos. Tabla I - Analogas entre circuitos elctricos y magnticosElectricidad Corriente elctrica I Fuerza electromotriz fem = Uf Caida de tensin U Resistencia R Ley de Ohm I = Magnetismo Flujo magntico Fuerza magnetomotriz fmm = Ni Cada magntica Hl l Reluctancia R

U R

Ley de Hopkinson =

Hl

R

Conductividad =

1

Permeabilidad

Expresin de la resistencia R = Densidad de corriente J =

lS I S

=

l S

Expresin de la reluctancia

R = S

lS

Densidad de flujo B =

Leyes de Kirchhoff elctricas

Leyes de Kirchhoff magnticas

Ii

i

=0

i j j i i

i

=0j j

Ui

fi

=

I Rj

fmm = H lj

Circuito elctrico

Rf Uf

I Rc

i

Circuito magntico Rhierro F e N RentrehierrolS

A lo largo de esta parte del presente captulo se podr verificar que, dadas las analogas existentes entre los dos tipos de circuitos mencionados, la forma matemtica de las ecuaciones son idnticas y los dibujos de los circuitos son similares; la forma de los grficos tambin resultan similares. Por lo tanto, la resolucin grfica de los circuitos magnticos resultar similar a la de los elctricos. La gran diferencia reside justamente en la no linealidad de las expresiones que describen el funcionamiento de los circuitos magnticos. Respecto de sto ltimo, deben recordarse las relaciones existentes entre B y H que caracterizan a los materiales magnticos.Ing. Pablo Morcelle del Valle Prof. Adj. de Electrotecnia y Electrnica Departamento de Electrotecnia Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de La Plata


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3.1.

Circuito magntico compuesto por una fuente de fuerza magneto motriz y un ncleo magntico cerrado compuesto por dos materiales diferentes en serieEl circuito magntico planteado, mostrado en la Figura 19, se puede asemejar al circuito elctrico de la Figura 3. En tal sentido, la resolucin del circuito magntico por el mtodo grfico se basa en la resolucin del circuito elctrico y en las analogas de la Tabla I.

RI

Fe1

FN

R

Fe2

SFe2

l

lFe1

Fe2

SFe1Figura 19

Se debe observar que el circuito de la Figura 19 presenta dos materiales magnticos dispuestos en serie, cuyas curvas caractersticas B-H podran corresponder a las de la Figura 20; las cuales, como consecuencia de la aplicacin de las respectivas geometras (caminos magnticos y secciones transversales de los materiales), se convierten en el grfico BS-Hl (o F-NI).

B

Material 2

BS

Tramo 2 Tramo 1

Material 1

HFigura 20

H l = NI

Valga como aclaracin indicar en qu consiste aplicar las respectivas geometras para obtener el grfico BS-Hl a partir del grfico B-H. Esta operacin consiste en simplemente multiplicar cada ordenada de la curva B-H de cada material por la seccin del tramo o rama que lo constituye; mientras que las abscisas de los mismos se multiplican por las longitudes de los caminos medios respectivos. Por lo tanto, de la analoga elctrica, por una parte se puede determinar la caracterstica de regulacin de la fuente de fuerza magneto motriz real, conformada por la bobina y el Tramo 1; y por otra, la reluctancia de carga, conformada por el Tramo 2. En la Figura 21 se muestra la descomposicin del circuito magntico en los dos elementos mencionados y la grfica BS-Hl.

RI

Fe1

BS

Tramo 2

FN

R

Fe2

F

cc

FTramo 1

SFe2

l

lFe1

Fe2

NISFe1H2 l 2Figura 21Ing. Pablo Morcelle del Valle Prof. Adj. de Electrotecnia y Electrnica Departamento de Electrotecnia Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de La Plata

H1 l 1

H l


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En la grfica BS-Hl se puede observar que la caracterstica de regulacin corta al eje horizontal en el valor de la fuente de fuerza magnetomotriz NI, y al eje vertical en un valor de flujo que se ha dado en denominar Fcc, flujo de cortocircuito, el cual debera interpretarse (anlogamente a la corriente de cortocircuito del circuito elctrico) como el flujo que se obtendra si la fuente de fuerza magnetomotriz estuviese aplicada a una reluctancia equivalente a la RFe1 que forme un circuito cerrado. Por otra parte, la interseccin de la caracterstica del Tramo 1 y la caracterstica de regulacin determina sobre el eje vertical el flujo F resultante que se establece sobre el circuito; mientras que sobre el eje horizontal, queda definido un punto al cual concurren las cadas magnticas H2l2 y H1l1 correspondientes a los tramos 2 y 1, respectivamente. El mismo problema se podra haber resuelto sumando las caractersticas de los dos tramos de material ferromagntico (dispuestos en serie), en base a las expresiones de las leyes de Hopkinson y de Kirchhoff para circuitos magnticos. Para el problema en cuestin, se puede plantear lo siguiente:

NI = H1l 1 + H2 l 2 = R1 + R2 = (R1 + R2 )de la cual se puede despejar el flujo, quedando:=

NI(R1 + R2 )

=

NI Req

donde Req se obtiene grficamente mediante la suma a flujo constante de las caractersticas de los tramos 1 y 2. La expresin a flujo constante es anloga a la expresin a corriente constante del circuito elctrico; y grficamente resulta:

BS

Tramo 2 Tramo 1 Resultante Tramo 1 + Tramo 2

H l = NIFigura 22

Si en la Figura 22 se introduce el valor de NI de la fuente de fuerza magnetomotriz, el punto de la resultante sobre el eje vertical representa el valor del flujo del circuito magntico. Los correspondientes valores sobre el eje horizontal de los tramos 1 y 2 para el valor de flujo hallado, resultan las cadas magnticas en los tramos 1 y 2, respectivamente. El nuevo grfico se muestra en la Figura 23. Lgicamente, estos resultados deben coincidir con los hallados con el mtodo anterior.

BS

Tramo 2 Tramo 1 Resultante Tramo 1 + Tramo 2

F

H2 l 2 H1 l 1

NI

H l = NI

Figura 23



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3.2.

Circuito magntico compuesto por una fuente de fuerza magnetomotriz y un ncleo magntico de dos mallas y un entrehierro intercaladoEl circuito propuesto y el material ferromagntico se muestran en la Figura 24.

l1A

l3NI

B

l2B

e

HFigura 24

El circuito magntico de la Figura 24 tiene su analoga elctrica en la Figura 25, la cual es similar al circuito de la Figura 7 teniendo en cuenta la resistencia equivalente que se puede obtener a partir de la serie R2 y R3.

I1

R1

Ri Ii R2 I2 EFigura 25

R3

Justamente, para el anlisis del presente circuito magntico deber considerarse la reluctancia de la rama 3 en serie con la reluctancia del entrehierro. A su vez, la resultante de la rama serie anterior se encuentra en paralelo con la rama 1. Consecuentemente, resolviendo de forma adecuada las equivalencias de las ramas segn su disposicin fsica original, siempre es posible obtener un circuito como el de la Figura 26a) o 26b), segn convenga.

RI

Fe2

FN

R

eq13

I

FN

R

eqTotal

Seq13

l

lFe2

eq13

lFigura 26

eqTotal

SFe2a)

SeqTotalb)

La resolucin del presente problema puede afrontarse analticamente mediante la aplicacinde las leyes de Hopkinson y de Kirchhoff para circuitos magnticos. Normalmente, en este caso, ser necesario aplicar mtodos de iteracin, al presentar comportamiento alineal el circuito. Por lo tanto, y como ya se dijo oportunamente, la solucin grfica siempre es ms conveniente y rpida como una primera aproximacin al resultado del problema; luego se podr efectuar alguna iteracin para llegar a un resultado ms exacto, si fuera necesario. Entonces, a partir de la curva caractersticas B-H de los materiales, hierro y aire, es posible determinar la caracterstica BS-Hl (o F-NI), como se muestra en las Figuras 27a) y 27b):Ing. Pablo Morcelle del Valle Prof. Adj. de Electrotecnia y Electrnica Departamento de Electrotecnia Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de La Plata


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BHierro

BS

Tramo 3

Tramo 1 Tramo 2

Entrehierro

Aire

Ha) Figura 27 b)

Hl

Como se observa en la Figura 27b), tanto la apariencia de la caracterstica del hierro, como la del aire se modifican al pasar del grfico B-H al BS-Hl (o F-NI) por efecto de las geometras involucradas; obtenindose tres formas diferentes representativas de cada tramo de hierro. A partir de esta situacin es posible resolver el problema planteado extrapolando los conceptos estudiados en los casos de circuitos lineales. Observando que el Tramo 2 contiene la fuente de fuerza magnetomotriz, dicha caracterstica podr dibujarse en el grfico de forma de representar la caracterstica de regulacin de la fuente de fuerza magneto motriz real, conformada por la bobina y el Tramo 2; y por otra, la reluctancia de carga, conformada por el Tramo equivalente conformado por el Tramo 3 en serie con el entrehierro, a su vez en paralelo con el Tramo 1. Esta situacin se muestra en la Figura 28, recordando que las caractersticas de los tramos conectados en serie se suman a flujo constante, mientras que los tramos conectados en paralelo se suman a fuerza magnetomotriz constante.Tramo 3 + entrehierro // Tramo 1

BS

F

Tramo 2 + fuente de fmm

Hl Tramo 2 + fuente fmm Hl Hl Tramo 3 + entrehierro // Tramo 1NIFigura 28

La grfica de la Figura 28 representa la situacin del circuito equivalente de la Figura 26a), donde Tramo 2 + fuente de fmm representa la caracterstica de regulacin, mientras que Tramo 3 + entrehierro // Tramo 1 representa la caracterstica de carga equivalente del Tramo 3 en serie con el entrehierro y a su vez en paralelo con el Tramo 1. Se puede observar uno de los puntos de solucin del problema corresponde a la interseccin de las caractersticas del grfico de la Figura 28; en la cual sobre el eje BS se obtiene el flujo del Tramo 2, y sobre el eje Hl, la caida magntica en el mismo; as como la cada magntica en el tramo equivalente restante, como se muestra en el mismo grfico. Se debe observar, que la suma de las cadas en los tramos pasivos, debe ser igual a la fuente de fuerza magnetomotriz, de tal forma que se cumpla la ley de Kirchhoff para circuitos magnticos:

NI = H2 l 2 + H3 l 3 = R2 + R3 = (R2 + R3 )en la cual llamamos H2l 2 a la cada en el Tramo 2 + fuente de fmm y H3l 3 a la caida en el Tramo 3 + entrehierro // Tramo 1. De la misma forma identificamos a las respectivas reluctancias.Ing. Pablo Morcelle del Valle Prof. Adj. de Electrotecnia y Electrnica Departamento de Electrotecnia Facultad de Ingeniera Universidad Nacional de La Plata


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Otros puntos que son solucin del problema se pueden obtener del grfico completo, es decir aqul en el cual se representan las curvas caractersticas de todos los tramos del circuito, tal como se muestra en la Figura 29, adems de las caractersticas equivalentes.

BSTramo 3

Tramo 3 + entrehierro // Tramo 1

Tramo 1

Entrehierro Tramo 3 + entrehierro

Tramo 2 + fuente de fmm

NIFigura 29

Hl

Queda como ejercicio para el lector identificar los flujos y las caidas en cada tramo del circuito magntico, incluido el entrehierro. Asimismo, el lector deber verificar la aplicacin de las ideas introducidas para circuitos lineales en los diferentes casos de circuitos magnticos posibles. Por lo tanto, se recomienda enfticamente adquirir solvencia en la resolucin grfica de circuitos lineales, para facilitar la extensin de dichas ideas al caso de la resolucin de circuitos no lineales.

4.

Bibliografa"Circuitos elctricos y magnticos. Temas especiales". Erico Spinadel. Editorial Nueva Librera.


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