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Raz. Matemático - 1ro Sec.
Capítulo
3Resoluciónde Ecuaciones
• 3 x + 5 = 11 → solución: x = 2
incógnita
igualdad
• x 2 = 4 → soluciones:
incógnita
igualdad
eCUaCión
2. ClasifiCaCión de las eCUaCiones segÚn sUs solUCiones
Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable. a las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuación.
Ejemplo:
Pueden ser compatibles o incompatibles:
ecuación compatible
Es aquella que tiene al menos una solución posible. Se subdivide en:
DeterminadaSi tiene un número finito de soluciones.
1. definiCión
• 3x + 2 = 14 → tiene una solución: 4
x = 2 x = -2
ecuación incompatible Es aquella que no tiene solución posible.
• x + 3 = x - 3
• 0 . x = 3
* 4(x + 3) + 2 = 3(x + 2) - 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 - 5 + x 4x - 4x = 1 - 14 0 = -13
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener en caso que existan.
x + y = 5x - y = 3
(Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.)
• x2 = 16 → tiene dos soluciones: 4 y -4* 3x + 5 = 2x + 11 ⇒ x = 6
IndeterminadaSi tiene infinitas soluciones.
Ejemplos:
• x - 5 = x - 3 - 2 • xº - 1 ; x ≠ 0 * 5(x + 3) + 7 = 4(x + 3) + x + 10 ⇒ 5x+ 15 + 7 = 4x + 12 + x + 10 5x - 5x = 22 - 22 0 = 0
Ejemplos:
3. sisTema de eCUaCiones
Ejemplo:
Raz. Matemático - 1ro Sec.
x = 4y = 1Solución:
ya que satisface ambas ecuaciones
Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando los siguientes métodos:- Método de reducción o eliminación.- Método de sustitución.- Método de igualación.
Por reducción o eliminaciónMultiplicamos la ecuación (ii) por 3 y luego sumamos, con lo cual eliminaremos la incógnita “y” y obtendremos el valor de “x”.
2x + 3y = 139x - 3y = 9
11x = 22
→ ∴ x = 2
Conocido el valor “x” se reemplaza en (i) o (ii) para determinar el valor de “y”.
Reemplazamos en (i):2(2) + 3y = 13
∴ y = 3
x = 2y = 3
Solución:
Ejemplo:
Resuelve el sistema siguiente:
2x + 3y = 13 ... (i)3x - y = 3 ... (ii)
utilizando los tres métodos mencionados.
Resolución:
Por sustituciónde (ii) despejamos la variable “y” para luego reemplazarlo en (i).
3x - y = 3 → 3x - 3 = y .... a
2x + 3 y = 132x + 3(3x - 3) = 132x + 9x - 9 = 13 → ∴ x = 2
Con “x” conocido, reemplazamos en a y hallamos “y”.
y = 3
Por igualaciónde(i) y (ii) despejamos “x” o “y”, en este caso vamos a despejar “y”.
de i: 2x + 3y = 13 → 3y = 13 - 2x
→ y =
de ii: 3x - y = 3 → 3x - 3 = y ... B
igualando a y B :
13 - 2x3
... a
13 - 2x3
= 3x - 3 → 13 - 2x = 9x - 9 22 = 11x ∴ x = 2
Reemplazando en a o B obtenemos:
y = 3
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resuelve: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4
Primero desaparecemos los paréntesis, multiplicando 3 por (x - 7).
transponiendo términos:3x - 2x = 4 - 5 + 21 x = 20
3x - 21 + 5 = 2x + 4
Resolución:
nicolás oresme (1323 - 1382) fue probablemente el primero en usar el signo + para la suma en su libro Algorismus proportionum, escrito supuestamente entre 1356 y 1361. anteriormente “+” se escribía “et” del latín “y”. después también se uso p (plus).
+
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2. Resuelve: (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)
Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando productos notables.
(x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)
Se tiene:
x2 + 6x + 9 + 7= x2 + 10x + 24
transponiendo y agrupando términos:9 + 7 - 24 = x2 - x2 - 6x + 10x
Reduciendo: -8 = 4xluego: -2 = x
Observación: nota que se procura tener a la incógnita con coeficiente positivo.
3. Resuelve: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0
Efectuando el paréntesis:
10x + 2x + 3x + 24 - 30 = 0
15 x - 6 = 0
Resolución:
Resolución:
despejando “x”: 15x = 6
→ x = 615
4. Resuelve:
2 4 9 12 21 2 9 6 21 1 9 3 31 1 3 1 31 1 1 1
3x2
+ 14 =
13x9 +
512
MCM = 2 x 2 x 3 x 3MCM = 36
18 (3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5) 54x + 9 = 52x + 15 54x - 52x = 15 - 9 2x = 6 x = 3
5. Resuelve:
x = 4x2 - 5x + 50 - x
x + x = 4x2 - 5x + 50
2x = 4x2 - 5x + 50
Elevando al cuadrado:
(2x)2 = 4x2 - 5x + 50 4x2 = 4x2 - 5x + 50 0 = -5x + 50
x = 505
x = 10
Resolución:
Resolución:
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Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
6) Resuelve: 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4)
Rpta: _____
5) Indica el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26
Rpta: _____
1) Halla "x": 3x - 1 = x + 9
Rpta: _____
2) Halla "x": 5(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 1)
Rpta: _____
1) Halla "x": 2x + 3 = x + 5
2) Halla "x": 3(2x + 14) + 20 = 6(3x - 5)- 28
3) Halla "x":2x + 6
4= 3x - 7
5
6) Halla “x” en la ecuación: 3(x - 1) - 4(5 - x)= 2(6 + x)
5) Resuelve: 3(x + 1) + 4(x - 2) = 16
4) Halla "x":3 x2
- x5 =
x10
+ 12
3) Resuelve:
Rpta: _____
4(x - 2)5 =
2(5 - x)2
4) Resuelve:
Rpta: _____
x - 12
+ x - 24 = 2
Rpta: _____Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Raz. Matemático - 1ro Sec.
PROBLEMAS PARA CLASE N° 3
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resuelve:
a) 12 b) -8 c) 8d) 9 e) -6
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resuelve: (-x -4) - (4x - 2 + 3) = -(6x - 8) + (2x - 4 + 3)
a) 7 b) 5 c) -12d) 8 e) -5
Resuelve: 5(x + 8) + 4(x - 6) = 71
a) 6 1/9 b) 5 3/7 c) 5 2/9d) 6 2/3 e) 6
-2x - 1
3=3x +
x + 1324
5(x + 1)8
Resuelve:
a) -12 b) 8 c) 15d) -7 e) 9
12
+ x - x6 =
13
+ 16 - 2 x9
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Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4 Si: a + b = 12 b + c = 8 c + a = 6 Calcular: "a"
a) 3 b) 4 c) 7d) 5 e) 6
Resolución: Resolución:
Si x + y = 12 y + z = 8 x + z = 10 Calcula x + y + z
a) 15 b) 12 c) 14d) 11 e) 13
Resolución:
Resolución:
Resuelve: 3x + 2y = 18 x - y = -4
a) x = 2 b) x = 4 c) x = 2 y = 2 y = 3 y = 6
b) x = 3 e) x = 5 y = 6 y = 6
Calcula a + b, si: 3a - 8 = -b a = b + 4
a) -1 b) 3 c) 0d) 4 e) 2
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5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Si: a - b + c = 5 b - c + d = 7 c - d - e = 4 a + b + d = 9 e - a + f = 2 , Calcula: 2(a + b + c + d + f).
a) 27 b) 26 c) 54d) -28 e) -14
Si x = 2y 2y = 3z x + y + z = 11, halla x + 2 y + 2z .
a) 32 b) 18 c) 26d) 29 e) 27
Calcula "x" en: 5x = 4y x(x + 2y) = (9 + y) (9 - y)
a) 3 b) 5 c) 3.5d) 6 e) 4
Si: 4 y = 9 x y - x = 40 , calcula "x".
a) 24 b) 48 c) 32d) 56 e) 40
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Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Calcule el valor de "a" en:
a) mn
b) mn 1−
c) mn 1+
d) m nm n
+−
e) mn
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Indica el valor de “x” que verifica las siguientes igualdades:
a) 12 b) -8 c) 8d) 9 e) -6
-x2
x4
x = - 9
Resuelve:
a) 10 b) 5 c) 13d) -6 e) 12
x + 52x - 2
= 34
Calcula el valor de "x" en:
a) a b) ab c) bd) a - b e) a+b
x +1x - 1 =
a + b + 1a + b -1
1 1
1 1
− − +=
+ + −a m na m n