resoluÇÃo m ate m Ática suas ecnologias enem ii · em 2004, a área colhida ficou em torno de...

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MateMática

e suas tecnologiasResolvaEnem II

01. Comentário:

Dos quatro extratos, devemos escolher três quaisquer para fabricar perfume. Assim, o número de combinações possíveis é igual a

C4 3

4

3 1

4 3

34,

!

! !

!

!=

⋅= ⋅ = . São, portanto, 4 combinações possíveis. Na alternativa E, os grupos BAP e PAB são arranjos (filas) diferentes,

porém são uma mesma combinação. Logo, as 4 combinações possíveis são as da alternativa D.

Resposta correta: Item D

02. Comentário:

Vão para o lixo (100% – 47%) de 9 bilhões de unidades, ou seja: 0,53 ⋅ (9 000 000 000) de garrafas

Como cada barco tem 12 000 garrafas, daria para fazer:

0 53 9000000000

12000

0 53 9000000

120 53 750000 397500

, ( ) ,,

⋅ = ⋅ = ⋅ =

Resposta correta: Item B

03. Comentário:

Para Q = 1, temos que A T= ⋅ +3

812 (relação do primeiro grau, gráfico linear). Assim, para T = 0, temos A = 12 e para T = 8, temos

A = 15, ou seja, os pontos (0, 12) e (8, 15) devem pertencer ao gráfico. Logo, o gráfico compatível é o da alternativa D.


04. Comentário:

Separando a região em duas partes, conforme figura, temos:

1

I

II

1

I) Área do trapézio de altura igual a 3 km e bases maior e menor iguais a 7 km e 2 km, respectivamente:

A kmI( )

( ),= + ⋅ = =7 2 3

2

27

213 5 2

II) Área do triângulo de base igual a 7 km e altura igual a 3 km:

A kmII( ) ,= ⋅ = =7 3

2

21

210 5 2

Portanto, a área da região S (terreno do seu Antônio) é igual a 13,5 + 10,5 = 24 km2, ou seja, 24 ⋅ (1000 m2) = 24000000 m2 = 2400 ⋅ (10000 m2) = 2400 hectares.

Resposta correta: Item C

05. Comentário:

I) O gasto com alimentação diminuiu 4% de 600 reais, ou seja, sobram 0,04 ⋅ (600) = 24 reais a mais para a poupança.II) O gasto com o transporte aumentou 10% de 150 reais, ou seja, 0,10 ⋅ (150) = 15 reais devem ser retirados da poupança.III) O gasto com educação aumentou 10% de 350 reais, ou seja, 0,10 ⋅ (350) = 35 reais devem ser retirados da poupança.

Assim, eles devem poupar por mês:50 + 24 – 15 – 35 = 24 reais

Resposta correta: Item E

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Resolução Matemática e suas Tecnologias

06. Comentário:

São 13 pingos e 12 intervalos entre um e outro pingo. Para cada intervalo (entre um pingo e outro) são 30 segundos. Logo, temos 12 · (30 segundos) = 12 ⋅ (meio minuto) = 6 minutos.Logo, são mais de 5 minutos, mas não mais que 10 minutos.


07. Comentário:

Temos a seguinte média de acidentes por tipo:

N de acidentes

N de tiposde acidentes

º

º= + + + + + +410 264 182 115 107 64 199

7

1161

71

N de acidentes

N de tiposde acidentes

acidentes

tipos

º

º= ≅ 665 8, /acidentes tipo

Logo, estão acima da média: encalhe (410), choque (264) e guerra (182).


08. Comentário:

Devemos ter a seguinte soma de tempos, em segundos:1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 6 ⋅ 1 + 6 ⋅ 2=18

Assim, partindo do ponto A (2, 0) e sendo P(xP , y

P) as coordenadas do ponto final, devemos ter:

xP = x

A + 6 · 2 = 2 + 12 = 14

yP = y

A + 6 · 1 = 0 + 6 = 6

Logo, P(14, 6)


09. Comentário:

São 25 cilindros dos quais 40% deles são vermelhos, ou seja, do total de 80 peças 0,40 · 25 = 10 delas são cilíndricas e vermelhas. Daí, a probabilidade procurada será:Nº de peças vermelhas e na forma decilindro

Nº total de peças= =10

80

1

8


10. Comentário:

Para o líquido 1, a evaporação ocorre à razão de 200

802 5

mL

diasmL dia= , / ; e para o líquido 2, à razão de

180

96

45

24

mL

diasmL dia= / . Assim,

as quantidades y1 e y

2 de líquido restante nos recipientes 1 e 2, respectivamente, em mL, d dias após o início da evaporação serão:

y1 = 200 – 2,5 ⋅ d e y

2 = 180 –

45

24⋅d

A experiência termina quando y1 = y

2, ou seja:

200 – 2,5d = 180 – 45

24⋅d

20 = 2,5d – 45

24⋅d

480 = 60d – 45d 480 = 15d d = 32

Portanto, a experiência termina no 32º dia.


11. Comentário:

O aumento na produção foi de 65000 35000

35000

30

35

6

7

− = = , ou seja, a produção aumentou 6

7. Portanto, o número de profissionais deve

aumentar também 6

7, isto é, deve aumentar em

6

7 ⋅ 7 = 6 profissionais.


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12. Comentário:

Moda é o dado de maior frequência (o que aparece mais vezes). Nesse caso, a moda é MO = 10. Já a média de porquinhos por matriz (porca mãe) será:

MEporquinhos

matrizes

ME

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + +

= +

( )

( )

(

5 10 3 11 3 12 1 13

5 3 3 1

50 333 36 13

12

132

121

+ +

= =

) porquinhos

matrizes

MEporquinhos

matrizes11porquinhos matriz/

Resposta correta: Item A

13. Comentário:

Temos que:

I) R p a p R pa

p

R pa

p( ) ( ) ( )= ⋅ → = → =

− 1

41

44

II) R q a q R pa

q

R pa

q( ) ( ) ( )= ⋅ → = → =

− 1

41

44

III) 01 1< < → >p qp q

Note o exemplo: 2 < 3, mas 1

2

1

3> (Com os inversos de números positivos a desigualdade muda de sentido)

Assim, como “a” é positivo, multiplicando os dois lados da desigualdade por “a”, a desigualdade não muda o sentido:1 1

4 4p q

a

p

a

q

a

p

a

q> → > → >

Note o exemplo: 5

16

5

64

5

16

5

64

5

2

5

44 4> > >e ou seja, ,

Logo, a relação entre os índices de crescimento populacional será: a

p

a

q4 4>


14. Comentário:

A razão de semelhança das figuras, é a razão entre as medidas de duas linhas correspondentes. No caso, a razão de semelhança (k) será a razão entre as profundidades, ou seja:

km

cm

cm

cm= = =1 20

40

120

403

,(da piscina maior para a menor)

Isso mostra que a medida de cada linha da piscina maior é 3 vezes a medida da linha correspondente da piscina menor. Como para calcular o volume multiplicamos três dimensões, e cada dimensão da piscina maior é 3 vezes a dimensão correspondente da menor, o seu volume será 3⋅3⋅3 = 33 = 27 vezes maior.

Lembre-se: a razão de semelhança (razão entre as linhas correspondentes) sendo k, a razão entre as áreas correspondentes será k2 e

entre os volumes, k3. No caso, km

cm

cm

cme

Volume maior

Volumemenork= = = = = =1 20

40

120

403 3 273 3,


15. Comentário:

Sendo x o número de descontos de um real, temos:Preço de uma unidade: 40 1 1 1 40− − − − = −...

x vezes

x� ��

Nº de unidades vendidas: 200 10 10 10 200 10+ + + + = +...x vezes

x� ��

Faturamento: f(x) = (Nº de unidades vendidas) ⋅ (preço de uma unidade)

f(x) = (200 + 10x) ⋅ (40 – x)

Assim, a função faturamento é do segundo grau, seu termo de maior grau é 10x ⋅ (–x) = –10x2, seu gráfico é uma parábola com

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concavidade voltada para baixo. Portanto, f(x) apresenta valor máximo igual à ordenada do vértice yaV = −

∆4

, para x for a abscissa do vértice

xb

aou x

x xv v= − = +

2 2

1 2 , quando as raízes existirem .

Calculando as raízes: f(x) = 0 → (200 + 10x).(40 – x) = 0 → 200 + 10x = 0 → x

1 = –20 ou 40 – x = 0 → x

2 = 40

Assim, o faturamento f(x) será máximo para

xx x= + = − + =1 2

2

20 40

210

Logo, serão dados 10 descontos de um real, ou seja, um desconto de 10 ⋅ 1 = 10 reais.


16. Comentário:

Temos:I) P = 60, para 0 ≤ t ≤ 80II) P = 60 + 1,20⋅(t – 80), para t > 80. Daí, obtemos: P = 60 + 1,20t – 96 P = 1,20t – 36


17. Comentário:

O total de acidentes fatais ocorridos foi 121, dos quais 13 + 26 = 39 ocorreram na sexta ou no sábado e 13 ocorreram numa

terça-feira. Assim, a probabilidade de um acidente fatal ter ocorrido na sexta ou no sábado será 39

121 e a probabilidade de ter ocorrido

numa sexta será 13

121. Assim, a razão pedida é:

3912113121

39

121

121

133= =·


18. Comentário:

Em 2004, a área colhida ficou em torno de 5500 ⋅ 1000 hectares (a altura da coluna está entre 5000 e 6000). Já a quantidade produzida ficou em torno de 420 000 ⋅ 1000 toneladas (o ponto da linha, em 2004, ficou entre 400 000 e 500 000, mais próximo de 400 000. Com essas considerações, temos:

Produtividade

= ≅

⋅⋅

420 000 1000

5500 100076

toneladas

hectares,33 toneladas hectare/


19. Comentário:

No exemplo dado, h é a medida do lado do quadrado recortado em cada canto. O mesmo ocorre na folha quadrada de lado 20 cm. Assim, as dimensões da caixa, em cm, quando a folha quadrada tem lado 20 cm, serão (20 – 2h), (20 – 2h) e h. Assim, o seu volume será:V = (20 – 2h)2. h, em que h é inteiro positivo.

Dando valores a h até o volume parar de crescer (como sugeriu o enunciado), temos:h = 1 ⇒ V = 182 · 1 = 324 cm3

h = 2 ⇒ V = 162 · 2 = 512 cm3

h = 3 ⇒ V = 142 · 3 = 588 cm3

h = 4 ⇒ V = 122 · 4 = 576 cm2 (parou de crescer)Logo, o volume será máximo quando h = 4 cm.


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20. Comentário:

Sendo E a escala (razão entre os comprimentos de linhas correspondentes, da miniatura para o real), a razão entre as respectivas áreas será E2. Assim, devemos ter:

I) Área de M

Área real1

21

90=

II) Área de M

Área real2

21

45=

Dividindo, membro a membro:

Área de M

Área real

Área de M

Área real1 2

2 21

90

1

45÷ =

÷

Área de M

Área real

Área real

Área de M1

2

2 21

90

45

1⋅ =

⋅

Área de M

Área de M1

2

21

90

45

1

1

4= ⋅

=

Portanto,

Área de M Área de M1 2

1

4= ⋅


21. Comentário:

Considere as figuras seguintes relativas ao problema, em que r = 1 m e R = 2x + r é a medida procurada.

r r

r r

rx

r

r r

O1

O2

O3

2x2x

Os centros O1, O

2, O

3 dos contêineres menores, na secção, são vértices de um triângulo equilátero de lado 2r, cujo baricentro O deve

ser o centro do contêiner maior.Considerando a figura, temos:

i) x + 2x = ( )lado 3

2 (altura do ∆ equilátero)

3x = 2 3

2

r

x = r 3

3ii) R = 2x + r

R = 2 3

3

rr+

R = r( )2 3 3

3

+

Como r = 1, obtemos R = ( )2 3 3

3

+m


22. Comentário:

Temos:

1

1

365 9 7

365

355

3650 97

ano muçulmanoano gregoriano

≅ − ≅ ≅,, ⇒ 1 ano muçulmano = (0,97)⋅(1 ano gregoriano)

Logo, 1400 anos muçulmanos correspondem a 0,97⋅(1400) = 1358 anos gregorianos. Assim, temos 1400 anos muçulmanos após o ano zero muçulmano ou 1358 anos gregorianos após o ano 622 dC gregoriano, ou seja,

ano 1358 + 622 = 1980 do calendário gregoriano.


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23. Comentário:

O menor caminho entre dois pontos é o segmento de reta com extremidades nesses pontos. Logo, o menor comprimento está indicado na alternativa E.


24. Comentário:

Dividindo 96 por 8, obtemos quociente 12 e resto zero.Isso significa que a pessoa entregou todas as 96 garrafas vazias e recebeu 12 garrafas de 1 litro, cheias de guaraná. Como 12 dividido por 8 dá quociente 1 e resto 4, depois de esvaziar as doze garrafas, a pessoa entregou 8 garrafas vazias e recebeu 1 garrafa com 1 litro de guaraná, ficando ainda com cinco garrafas. Logo, ao todo, a pessoa recebeu 12 + 1 = 13 litros de guaraná.


25. Comentário:

Observando que 500 m = 0,5 km, as distâncias percorridas dia a dia, em km, formam uma PA de razão r = 0,5, primeiro termo a

1 = 3 e último termo a

n = 10 km. Assim, temos:

an = a

1 + (n - 1) · r ⇒ 10 = 3 + (n – 1) · 0,5 ⇒ 7 · 2 = n – 1 ⇒ n = 15

Portanto, são necessários 15 dias consecutivos.


26. Comentário:

Sendo (x, y, z) a terna ordenada que representa o ponto atingido pelo foguete, temos:I. Ponto inicial: (6, 6, 7)II. x = 6 + 2 = 8 III. y = 6 – 3 = 3IV. z = 7 + 11 = 18

Portanto, o foguete atingiu o ponto (8, 3, 18)


27. Comentário:

Os volumes do primeiro e do segundo chocolate (moedas cilíndricas) são V1 = π · 22 · h e V

1 = π · 42 · h, em que h é a altura das

moedas, 2 e 4 são os respectivos raios. Assim, sendo P1 = 1,50 real e P

2 os preços das moedas de chocolate, devemos ter os volumes

diretamente proporcionais aos preços, ou seja:V

V

P

P

h

h

P PP2

1

2

1

2

21

2 22

4

2 154

156= ⇒ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ =π

π , , reais


28. Comentário:

Temos que:i) (BC)2 = (AB)2 + (AC)2 ⇒ 1002 = 802 + (AC)2 ⇒ AC = 60 mii) Como a reta MP é mediatriz de BC, MB = MC = 50 m (M é ponto médio)iii) Os triângulos ABC e MBP são semelhantes. Daí:

100 50

80

125

2

80125

2

35

2

60

50

80

75

2

PBPB m

AP AP m

MPMP m

PLot

= → =

= − → =

= → =

ee Lote

Lote Lote

P m

P P

1 1

2 2

60 5075

2

35

2165

5075

2

125

2150

= + + + → =

= + + → = mm

Portanto, a razão entre os perímetros dos lotes I e II será:

P

PLote

Lote

1

2

165

150

11

10= =


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29. Comentário:

Na figura, DM é perpendicular à base da plataforma.

Torre CentralV

D

OM A

C

B

Base da Plataforma

Lembrando que a diagonal (d) de um quadrado de lado L é dada por d L= 2 , temos:

I) OB é a metade da diagonal do quadrado de lado 19 2, ou seja: OB = ⋅ =19 2 2

219.

II) OA é a metade da diagonal do quadrado de lado 6 2 , ou seja: OA = ⋅ =6 2 2

26

III) AB = OB – AO = 19 – 6 = 13

IV) Triângulos AMD e AOV são semelhantes:

DM

VO

AM

AO

AD

AV

DM AM AD

AD= = ⇒ = =

⋅=

24 6 2

1

2( ) ⇒ DM = 12 e AM = 3

V) BM = AB + AM = 13 + 3 = 16

Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo DMB, obtemos:

(BD)2 = (BM)2 + (DM)2 ⇒ (BD)2 = 162 + 122 ⇒ BD = 400 20= metros


30. Comentário:

Queremos a probabilidade da amostra pertencer à cultura A, na certeza que germinou. Daí, a probabilidade procurada será:

Probabilidade = =Cultura A e ger ou

Ger ou

min

min

392

773


31. Comentário:

Considerando o dia 31 de março (terça-feira) o dia zero (início da contagem dos dias), até 12 de outubro se passaram:Abril: 30 diasMaio: 31 diasJunho: 30 diasJulho: 31 diasAgosto: 31 diasSetembro: 30 diasOutubro: 12 dias

Total = 195 dias

Sabemos que ao se passarem 0, 7, 14, ... (uma quantidade de dias múltipla de 7), teremos o mesmo dia da semana do dia zero (31 de março, terça-feira). Como 195 = 27 ⋅ 7 + 6, o dia 12 de outubro cairá 6 dias após terça-feira, ou seja, cairá numa segunda-feira.


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32. Comentário:

Ligando os centros das bases dos cilindros menores, temos um quadrado de lado igual a 6 + 6 = 12 cm, conforme mostra a figura.

Assim, o diâmetro 2R da base do cilindro maior será tal que:2R = 6 + (diagonal do quadrado) + 6

2R = 6 + 12 2 + 6

R = 6 + 6 2

R = 6(1 + 2) cm


33. Comentário:

Lembrando que a área lateral de um cilindro de altura h e raio da base r é igual a AL = 2πrh, temos:

I) Área lateral da embalagem inicial: A1 = 2π ⋅ 2 ⋅ 13,5 = 54 π cm2

II) Área lateral da embalagem final: AH

H H cm22 22

2= ⋅ ⋅ =π π

III) As duas embalagens terão o mesmo volume:

π ⋅ 22 ⋅ 13,5 = π ⋅ H

2

2

· H ⇒ 54 = H

4

3

⇒ H3 = 23 ·33 · H = 2.3 = 6 cm

Logo, A2 = 36 π cm2 e

A A

A1 2

1

54 36

54

18

54

1

3

− = − = =π ππ

ππ

Assim, houve uma redução de 1/3 na área lateral. Sendo o preço do rótulo proporcional à superfície, o preço deverá sofrer uma redução de 1/3 de 0,60 = 0,20, passando para 0,60 - 0,20 = 0,40 real.


34. Comentário:

Número de modos de escolher:

I) os três do Brasil, dentre os 4 selecionados: C4 3

4

3 14,

!

! !=

⋅=

II) os dois fora do Brasil, dentre os 4 selecionados:

C4 2

4

2 26,

!

! !=

⋅=

Logo, pelo princípio fundamental da contagem, ele tem 4 ⋅ 6 = 24 modos diferentes de escolher os 5 museus para visitar.


35. Comentário:

Considerando os pontos (15, 15), (x, 19) e (20, 25), da mesma reta, em que x é o consumo procurado, em m3, temos:

Coeficiente angular = 25 15

20 15

19 15

152

4

15

−−

= −−

⇒ =−

⇒x x

2x – 30 = 4 ⇒ x = 17 m3


36. Comentário:

Sendo 2k a medida do raio da embalagem tradicional, o raio da nova embalagem deve ser k. Assim, devemos ter:Volume da nova embalagem = 1/3 da embalagem tradicional

π · k2 · a = 1

3 · π · (2k)2 · h

3a = 4 h

ah= 4

3


37. Comentário:

I) Lucas pagará 40

605 3 33⋅ ≅ , real no estacionamento verde, 6 reais no amarelão e 7 reais no preto.

II) Clara pagará 5⋅6 = 30 reais no estacionamento verde; 6 + 2 ⋅ 2,50 = 11 reais no amarelo e 7 + 3⋅1 = 10 reais no preto.

Logo, para o Lucas é melhor estacionar no verde e para a Clara, no preto.


6 6 6

6

6

6

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38. Comentário:

Considere os eletrodomésticos comprados respectivamente por x e y reais. De acordo com o enunciado, devemos ter:

i) 5

5

2

5600 1000−

+ = ⇒ + =( )x y x y ⇒ y = 1000 – x

ii) (100% + 20%)x + (100% - 10%)y = 600 + 525 ⇒ 1,2x + 0,9y = 1125

Substituindo (i) em (ii):1,2x + 0,9(1000 – x) = 11251,2x – 0,9x = 1125 – 900 0,3 x = 225 x = 750 ⇒ y = 250

Logo, x

y= =750

2503


39. Comentário:

Considerando que 100 alunos fizeram os dois testes, temosI) Média do simulado A:

MTotal de pontos

N dealunosA = = + + + + + + + ⋅º

( ) ,60 50 80 30 20 60 30 10 0 5

1000

170

100170

=

= = , /ponto aluno

II) Média do simulado B:

MTotal de pontos

N de alunosA = = + + + + + + + ⋅º

( ) ,80 30 60 30 40 90 10 10 0 5

1000

175

100175

=

= = , /ponto aluno

III) A média dos dois equivale à média de uma nota igual a 1,70, com peso 100, e outra nota igual a 1,75 também com peso 100. Daí, a média geral será:

M dia geral ponto aluné = ⋅ + ⋅+

= =100 170 100 175

100 100

345

2001725

, ,, / oo

ponto por aluno≅ 17,


40. Comentário:

A reta em questão é decrescente (tem coeficiente angular negativo) e o seu coeficiente é menos a tangente do ângulo Bn do triângulo retângulo de hipotenusa A

nB

n. Tal triângulo tem cateto horizontal com n unidades e cateto vertical com uma unidade. Logo, a reta y

= ax + b, que passa por An e Bn, tem coeficiente angular a = – tg Bn = − 1

n e coeficiente linear b = 3 (ordenada do ponto onde a reta

corta o eixo y). Daí:

y = ax + b ⇒ y = − 1

n ⋅ x + 3 ⇒ ny = –x + 3n ⇒ x + ny = 3n


41. Comentário:

I) A diagonal AC do quadrado ABCD é também hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem L e 3L, respectivamente. Assim, temos:

(AC)2 = L2 + (3L)2 ⇒ (AC)2 = 10L2

II) Por outro lado, sendo b a medida do lado do quadrado ABCD, devemos ter:

AC = b 2 ⇒ (AC)2 = 2b2 ⇒ 10L2 = 2b2 ⇒ b2 = 5L2 ⇒ Área(ABCD) = 5L2

Portanto, a área do quadrado ABCD equivale à área de um retângulo 5L por 1 L, ou seja, de área 5L · 1L= 5 L2.


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42. Comentário:

Sendo x, y e z as respectivas partes do prêmio, devemos ter: (Lembre-se: grandezas diretamente proporcionais, razão constante; grandezas inversamente proporcionais, produto constante)

I) (Parte do prêmio) ⋅ (idade) = k Substituindo os dados de cada um, obtemos:

x · 4 = y · 5 = z · 20 = k ⇒ ⇒

=

=

=

xk

yk

zk

4

5

20

II) k k k

k k k4 5 20

360000 5 4 7200000+ + = ⇒ + + = k = 720000

Portanto,

x

y

z

= =

= =

= =

720000

4180000

720000

5144000

720000

2036000


43. Comentário:

Restava no cartão 8,90 – 3,25 = 5,65 reais e foi creditado mais 20 reais. Assim, o cartão passou a ter um crédito de 5,25 + 20 = 20,25 reais, o que dá para comprar 20,25 : 3,25 = 7,8 passagens, aproximadamente. No entanto, o usuário só poderá comprar passagens inteiras. Logo, ele poderá comprar, no máximo, 7 passagens.


44. Comentário:

A máquina deverá trabalhar 198000

1501320

1320

6022= = =minutos horas

1320

6022= horas . Como cada 8 horas de trabalho corresponde a um dia de

trabalho e 22 h = 2 ⋅ 8 h + 6 h, temos 2 dias e 6 h. Trabalhando os dois dias completos (16 horas), chegamos no dia 12 às 16 horas; trabalhando mais seis horas no dia 13, chegamos às

8 + 6 = 14 horas (do dia 13).


45. Comentário:

i) Para x menor que a altura do lápis, não haverá sombra (y = 0);ii) Para x igual à altura do lápis, a sombra é infinitamente grande;iii) Para x maior que a altura do lápis, consideremos d a distância do lápis à vertical que contém a lâmpada e h a altura do lápis (d e

h são constantes), temos triângulos semelhantes que nos dá a relação seguinte entre x e y:B

A

E D

Cd

d

h

y

x – h

y

d

h

x hy

dhx h

=−

⇔ =−

Supondo, por exemplo, d = h = 10 cm, temos yx

=−

100

10. Nesse caso, note que teríamos:

• x = 10,00001 ⇒ y = 102· 105 = 107 = 10000000 (Quando x se aproxima de 10, pela direita, y tende a infinito)• x = 10000000010 ⇒ y = 0,00000001 (se x é muito grande, y tende a zero)

Logo, o gráfico compatível é o da alternativa C.


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46. Comentário:

Observando os triângulos retângulos congruentes, temos que a distância de Ana (A) para Samanta (S) é a mesma para Denise. Veja:

AC44

44

1

1L

E

D

R

S

(AS)2 = (AD)2 = 42 + 12 → AS = ADLogo, Ana está a igual distância de Samanta e de Denise.


47. Comentário:

Considere o salário inicial igual a 100 unidades monetárias e o preço das mercadorias que necessita comprar também igual a 100

unidades. Assim, o poder de compra será 100

1001= (pode-se comprar uma vez o que precisa)

• o salário passa a ser: 100 · (1,10)2 = 121 unidades

• o preço das mercadorias passa a ser: 100 · (1,06)2 = 112,36 unidades

Assim, o novo poder de compra será 121

112 361 076

,,≅

Portanto, o poder de compra aumentou 1 08 1

10 076 7 6

,, , %

− = = , aproximadamente.


48. Comentário:I) O gasto com alimentação diminuiu 4% de 600 reais, ou seja, sobram 0,04 · (600) = 24 reais a mais para a poupança.II) O gasto com o transporte aumentou 10% de 150 reais, ou seja, 0,10 · (150) = 15 reais devem ser retirados da poupança.III) O gasto com educação aumentou 10% de 350 reais, ou seja, 0,10 · (350) = 35 reais devem ser retirados da poupança.

Assim, eles devem poupar por mês: 50 + 24 – 15 – 35 = 24 reais

Isso equivale a uma redução de 50 24

50

26

500 52 52

− = = =, %


49. Comentário:

Observe que o número mínimo de movimentos são tais que:1 = 21 – 13 = 22 – 17 = 23 – 115 = 24 – 1.....................

Em geral, devemos ter: Y = 2X – 1


50. Comentário:

Sendo P = 44 000, temos R(x) = kx(44 000 – x), ou seja:R(x) = –kx² + 44 000kx

a rapidez máxima ocorre quando o número x de pessoas que conhece o boato for a abscissa do vértice, isto é:

x = − = −−( ) =b

a

k

k2

44000

222000


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51. Comentário:

Cada triângulo sombreado tem base igual a 6 cm e altura, 12 cm. Logo, a área dos quatro triângulos sombreados, juntos, é igual a:

46 12

2144 2⋅ ⋅

= cm


52. Comentário:

No mínimo, o professor deverá elaborar um total de 13 ·7 = 91 questões. Como nos seis primeiros dias ele já elaborou 15 + 12 + 11 + 12 + 13 + 14 = 77 questões, no último dia ele deverá elaborar 91 - 77 = 14 questões.


53. Comentário:

Devemos ter:

P nn n

( ) ≤ → − ≤ → ≤720 9801680

720 2601680

Como n é inteiro positivo, obtemos:

260 16801680

2606 4n n n≤ → ≤ → ≤ ,

Logo, n = 6 (no máximo)


54. Comentário:

A relação F = 1,8C + 32 é do primeiro grau (gráfico linear) e para C = 0, obtemos F = 32. Logo, o gráfico é uma reta crescente (coeficiente angular positivo, igual a 1,8) que passa no ponto (0, 32) do eixo vertical.


55. Comentário:

Dividindo cada quadrado em oito partes iguais, conforme indicado a seguir, temos:

I II III IV V

Área não sombreada (Semente B) =4

81

4

81

6

81

6

81

4

81

4 4 6 6 48

124

8

2 2 2 2 2

2 2

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= + + + + ⋅ =

m m m m m

m m( ) == 3 2m


56. Comentário:

No ato da compra, o cliente pagou 460 reais, faltando apenas 400 reais para o pagamento total (à vista). Por esses 400 reais, o cliente pagou, após um mês, 460 reais. Isso equivale ao cliente tomar emprestado 400 reais e pagar 460 – 400 = 60 reais de juros. Assim, temos:

Juros

Valor emprestado= = =60

4000 15 15, %


57. Comentário:

O mais regular é aquele que apresentar menor desvio padrão. Temos:

Média de todos: A = 31 22 18 9

4

80

420

+ + + = = pontos / partidaDesvios padrões:

I) D1 =

( ) ( ) ( ) ( )31 20 22 20 18 20 9 20

4

121 4 4 121

4

250

4

2 2 2 2− + − + − + − = + + + =

II) D2 =

( ) ( ) ( ) ( )15 20 25 20 25 20 15 20

4

25 25 25 25

4

100

4

2 2 2 2− + − + − + − = + + + =

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III) D3 =

( ) ( ) ( ) ( )20 20 23 20 19 20 18 20

4

9 1 4

4

14

4

2 2 2 2− + − + − + − = + + =

IV) D4 =

( ) ( ) ( ) ( )18 20 22 20 24 20 16 20

4

4 4 16 16

4

40

4

2 2 2 2− + − + − + − = + + + =

IV) D5 =

( ) ( ) ( ) ( )17 20 19 20 20 20 24 20

4

9 1 16

4

26

4

2 2 2 2− + − + − + − = + + =

Logo, o mais regular foi o jogador C


58. Comentário:

Sendo n o número de brigadeiros em forma de cone, devemos ter: Volume da panela = Volume de n cones

π π

π π

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ =

=

15 401

315 5

3 15 4015

1005

3 4020

240

2 2

22

( , )

n

n

n 00


59. Comentário:

O sólido apresenta 5 faces quadrangulares (F4 = 5) e duas faces pentagonais (F

5 = 2). quando montado, cada aresta pertence a duas

faces. Daí, o número A de aresta será tal que:

2A = 5 · 4 + 2 · 5 ⇒ 2A = 30 ⇒ A = 15


60. Comentário:

A probabilidade de um funcionário permanecer por menos de 10 anos é igual a 11

6

5

6− = . Assim, a probabilidade dos dois permanecerem

por menos de 10 anos será: 5

6

5

6

25

36⋅ = .


61. Comentário:

As distâncias percorridas dia a dia, em km, formam a PA de razão R = 2: (6, 8, 10, ..., 42) . Daí, sendo n o número de dias, temos:I) A

n = a

1 + (n – 1)·R ⇒ 42 = 6 + (n – 1) · 2 → 18 = n – 1 → n = 19

II) Soma:

S S km=

+ ⋅=

⋅→ =

( )6 42 19

2

48 19

2456


62. Comentário:

O plano divide o cilindro em duas partes equivalentes. Logo, o volume procurado é igual a metade do volume do cilindro, ou seja:

V V cmPROCURADO = ⋅ ⋅ ⋅ = → =1

22 10

40

2202 3( )π

ππ


63. Comentário:

A) Falsa, o que há é uma desaceleração do crescimento e não o término do mesmo.B) Falsa, a maior altura é atingida quando para o crescimento, para qualquer pessoa.C) Falsa, não há como afirmar isso, o gráfico indica a taxa de crescimento (velocidade de crescimento), não a altura.D) Falsa, não há como afirmar isso, o gráfico indica apenas a velocidade de crescimento, não o quanto cresceu.E) Verdadeira, pois de 4 a 8 anos os gráfico coincidem, indicando que as quantidades aumentadas (variação das alturas, cm/ano) das

respectivas alturas é a mesma.


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64. Comentário:

As partes não chamuscadas em função do tempo ficam praticamente alinhadas. Logo, o melhor modelo matemático é uma função do primeiro grau.

t:

10,5 cm

10,5 cm10,5 cmx: 6,5 cm 3,5 cm10 cm 8 cm 5 cm 2 cm

0s 3s 15s 24s 33s 42s 51s

A reta representativa das alturas não chamuscadas (y) em função do tempo (x) passa pelos pontos (0; 10,5) e (3, 10). Considerando um ponto genérico (x, y) dessa reta, devemos ter:

Coeficiente angular: 10 5 10

0 3

10

3

5

30

10

3

1

6

10

36 60 3

, −−

=−−

⇒−

=−−

⇒ − =−−

⇒ − = − + ⇒ =−y

x

y

x

y

xy x y

xx

6

63

6+

Logo, o palito estará totalmente chamuscado quando y = 0.

Daí: y = 0 ⇒ = − +06

63

6

x ⇒ x = 63 segundos = 1 min + 3 segundos


65. Comentário:

A probabilidade (P) de a colher cair sobre o chão virada para cima, é:

PN de casos favor veis

N de casos poss veis=

°°

= =á

í

652

978

2

3

Lançando um dado honesto, temos as seguintes probabilidades de se obter um número:

A) maior que 4: P ou( )5 62

6

1

3= =

B) primo: P ou ou( )2 3 53

6

1

2= =

Observação: o número 1 não é primo, nem composto

C) menor que 6: P ou ou ou ou( )1 2 3 4 55

6=

D) múltiplo de 5: P( )51

6=

E) maior que 2: P ou ou ou( )3 4 5 64

6

2

3= =


66. Comentário:

Inicialmente, a área externa era:

2 · (4 · 3 + 4 · 1 + 3 · 1) = 38 m2

Após a divisão, foram acrescentadas duas faces retangulares de dimensões d m e 1 m, onde d é a medida da diagonal da base, ou seja:

d2 = 42 + 32 ⇒ d = 5

Logo, foram acrescentadas duas faces iguais de área 5 · 1 = 5 m2 cada uma. Logo, o acréscimo na área externa foi de 2 · 5 = 10 m2.

Portanto, a porcentagem procurada é: 10

380 26 26≅ =, %.


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67. Comentário:Considerando o retângulo circunscrito ao triângulo, temos:

Bermudas

Miami

San Juanx9

9

7

2

0

A1

y

S

A3

A2

I. S + A1 + A

2 + A

3 = Área do retângulo

S +⋅

+ + =7 7

2

9 2

2

2 9

29 9

· ·· ⇒ S + 24,5 + 9 + 9 = 81 ⇒ S = 81 – 42,5 = 38,5

Assim, a área do triângulo no mapa é S = 40,5 cm2.

II. Razão entre a área no mapa e a área real = E2

40 5 1

17 106

6,

A=

⋅

⇒ A = 38,5 · 289 · 1012 cm2 = 11126,5 · 1012 cm2

Como 1 km = 100000 cm, 1 cm = 1

1052km . Daí, a área real, em km2, será:

A = 11126,5·1012 1

105

2

km

= 11126,5 · 1012 · 1

10102km = 1 112 650 km2.


68. Comentário:

O número de classificações possíveis corresponde a P16

= 16! = 16 · 15!

A ordem de grandeza de um número X é a potência de 10 com expoente inteiro mais próxima de x, onde a potência de base dez que fica a igualmente próxima de 100 e 101 é 101/2 = 10 3 16≅ , . Considerando, então, x = 16 · 15!, temos:

logx = log16 · 15! ⇔ logx = log24 + log15!⇔ logx = 4 · log2 + log15!⇒ logx ≅ 4 · 0,3 + 12⇒ x ≅ 1013,2

A potência de 10 de expoente inteiro mais próxima de x é 1013 (10 trilhões). Assim, a ordem de grandeza é de trilhões.


69. Comentário:

Sendo x o número inicialmente no visor, temos a seguinte sequência de operações:

x Tecla B x Tecla A x Tecla B� ��

5 510log ( )��

5 5 1010⋅ ( )( ) =log x

Resolvendo a equação, obtemos:

L x L x x xog og10 1025

10

55

10

55 10

100

520( ) = → ( ) = → = → = =


70. Comentário:

De cada um kg da mistura alimentícia, 45% é de suplemento alimentar I, ou seja, 0,45 · 1 kg = 0,45 kg. E se em 1 kg de suplemento I, temos 0,1 g de nutriente C, em 0,45 kg temos 0,1 · 0,45 g. De modo análogo, calcula-se a concentração nos outros suplementos.

Ao todo, teremos:0,1 · 0,45 + 0,4 · 0,25 + 0,5 · 0,30 = 0,295 g de nutriente C/ kg da mistura


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71. Comentário:

Sendo 100k reais o valor normal de 4 unidades, cada unidade sai por 100k : 4 = 25k reais. Com a promoção, pagam-se os mesmos 100k reais por 5 unidades, cada unidade sai por 100k : 5 = 20 k reais. Portanto, na promoção, há um desconto de 25k – 20k = 5k para cada 25k que se pagaria normalmente. Logo, o percentual de desconto foi de:

5

25

1

50 2

20

10020

k

k= = = =, %


72. Comentário:

Como cada viga tem 0,5 m e a última grade tem 136,5 m, sendo an o número de vigas da última grade, temos:

0,5 · an = 136,5 ⇒ a

n = 1365 : 5 = 273 vigas.

Considerando an o número de vigas da grade n, temos a PA de razão 4:

(5, 9, 13, ..., 273)

Daí, obtemos:a

n = a

1 + (n – 1) · R ⇒ 273 = 5 + (n – 1) · 4 ⇒ 273 – 5 = (n – 1) · 4 ⇒ 268/4 = n – 1 ⇒ 67 = n – 1 ⇒ n = 68

Assim, ao todo, temos:

S685 273

268 9452=

+

⋅ = vigas, cujo comprimento total é de: 0,5 · 9452 = 4726 metros.


73. Comentário:

Considere o material estilizado no revestimento nas duas situações:

3 m

E1

Fonte

Espessura1: E

1

Volume1: 9 · E

1

Situação 1:

9 m2

D

E2

Fonte

Situação 2:

A

Custo1: 500 reais

Espessura2: E

2

Volume2: A · E

2

Custo2: ?

I. Como a espessura é inversamente proporcional ao quadrado da distância, temos:

(espessura) · (distância)2 = constante ⇒ E1 · 32 = E

2 · D2 ⇒

E

E D2

12

9=

II. Como o custo é diretamente proporcional ao volume, temos:

custo

volume E

custo

AEcusto

E= constante ⇒ = ⇒ =

500

9

500

91

2

22

2·A·E

· 11

, observando que E

E D2

12

9= , obtemos:

custo

A E

Ecusto

A

Dcusto

A

D2

2

12 2 2 2

500

9

500

9

9 500= ⇒ = ⇒ =· ·


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74. Comentário:

Para se chegar direto na região IV só há 2 maneiras:

12

12 1

2

12

12 1

3

1

ii)

i)

2

12 1

2

12

12

12

13

12

12 1

2

12

12 1

3

1

ii)

i)

2

12 1

2

12

12

12

13

1

2

1

2

1

3

1

12· · =

1

2

1

2

1

2

1

8⋅ ⋅ =

Como ocorre a situação i ou ii, temos que a probabilidade de se chegar à região IV sem passar por outras áreas e sem retornar é igual a:

1

12

1

8

5

24+ =


75. Comentário:

Filtro = Massas conta antes n o capturados

N mero de dias

min ã

ú

Filtro 1 = 18

6

mg

dias = 3 mg/dia

Filtro 2 = 15

3

mg

dias = 5 mg/dia

Filtro 3 = 18

4

mg

dias = 4,5 mg/dia

Filtro 4 = 6

3

mg

dias = 2 mg/dia

Filtro 5 = 3

2

mg

dias = 1,5 mg/dia

Logo, o filtro 2 deve ser descartado.


Aníbal: 10/10/16 – Rev.: LSS

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