LISTA 1 - PIRÂMIDES – GABARITO

1. Calcular a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o perímetro da base mede 9cm.

SOLUÇÃO.

O tetraedro regular é a pirâmide triangular regular com todas as faces sendo triângulos equiláteros.

CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE

O apótema, g, da pirâmide é a altura do triângulo equilátero.

2

33=

2

3l=g → cm

2

33=g

CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE

O apótema da base, ab, é a terça parte da altura da base (também mediana).

2

3=

6

33=)

2

33(.

3

1=)

2

3l(.

3

1=ap → cm

2

3=ap

CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE

Aplicando PITÁGORAS, teremos:

4

3-

4

3.9=h→)

2

3(+h=)

2

33(→ap+h=g 2222222

→4

24=h→

4

24=h→

4

3-

4

27=h 22 cm6=h

2. Determinar a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular de 7cm de apótema, sendo 2cm o

raio do círculo circunscrito à base.

Solução.

CÁLCULO DA ARESTA DA BASE

O apótema da pirâmide é a altura da face. A aresta da base pode ser calculada em função do raio.

Utilizando essas informações, temos:

cm32=a→3r=a

CÁLCULO DA ÁREA BASE

A pirâmide triangular regular possui a base como um triângulo equilátero.

4

3a=A

2

equiláterotriângulo

4

3a=A

2

b →

( )4

332=A

2

b →

4

33.4=A

b →

4

312=A

b →

2

bcm33=A

CÁLCULO DA ÁREA LATERAL

Num pirâmide triangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 3 faces no

tetraedro regular, a área lateral será 6 vezes a área de um triângulo, logo:

2

h.b=A

tiângulo

retângulolA.3=A → →)

2

7.32(.3=A→)

2

g.a(.3=A→)

2

h.b(.3=A

lllcm321=A

l

CÁLCULO DA ÁREA TOTAL

A área total de uma pirâmide triangular regular é calculada somando-se a área lateral com a área da

base.

bltA+A=A → 33+321=A

t →

2

tcm324=A

3. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144m³ e a altura é o dobro da aresta da base.

Calcule a altura dessa pirâmide.

Solução.

A base da pirâmide quadrangular regular é um quadrado.

2

quadradoa=A →

2

ba=A

3

h.A=V

b → 432=a2→a2=3.144→

3

a2.a=144 33

2

→216=a→216=a→2

432=a 333

cm6=a

→6.2=h→a2=h cm12=h

5. Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 8 cm e área lateral igual a 5

3 da

área total. Calcular a altura e a área lateral desta pirâmide.

Solução.

A área total é a soma da área lateral com a área da base.

CÁLCULO DA ÁREA BASE

A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado.

2

quadradoa=A →

2

ba=A →

2

b8=A →

2

bcm64=A

CÁLCULO DA ÁREA LATERAL

Numa pirâmide quadrangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 4

faces, a área lateral será 4 vezes a área de um triângulo, logo:

2

h.b=A

tiângulo

triângulolA.4=A → →

2

g.32=A→)

2

g.8(.4=A→)

2

g.a(.4=A→)

2

h.b(.4=A

llll

g16=Al

CÁLCULO DA ÁREA TOTAL

A área total é calculada efetuando-se a soma da área lateral com a área da base.

g16+64=A→A+A=Atblt

CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE

Do enunciado tiramos que a área lateral é 5

3 da área total, logo:

→g48+192=g80→)g16+64(.3=5.g16→5

3.)g16+64(=g16→

5

3.A=A

tl

→32

192=g→192=g32→192=g48g80→g48+192=g80 cm6=g

CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE

O apótema da base é igual à metade do lado do quadrado.

→2

8=a→

2

l=a

bbcm4=a

b

CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE

Aplicando PITÁGORAS, teremos:

→5.4=h→20=h→20=h→16-36=h→)4(+h=)6(→ap+h=g 22222222

cm52=h

6. Sendo 192m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e m23 o raio do círculo inscrito na base,

calcule a altura da pirâmide.

Solução.

A aresta da base quadrada pode ser calculada em função do raio.

CÁLCULO DA ARESTA DA BASE

A aresta da base é igual ao diâmetro da circunferência, logo:

→)23(.2=a→r2=d=a m26=a

CÁLCULO DA ÁREA BASE

A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado.

2

quadradoa=A →

2

ba=A →

2

b)26(=A → 2.36=A

b→

2

bm72=A

CÁLCULO DA ÁREA LATERAL

Numa pirâmide quadrangular regular, sabemos que as faces laterais são triângulos, e como temos 4

faces, a área lateral será 4 vezes a área de um triângulo, logo:

2

h.b=A

tiângulo

triângulolA.4=A → →)

2

g.26(.4=A→)

2

g.a(.4=A→)

2

h.b(.4=A

lll

→2

g.224=A

lg.212=A

l

CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE

A área total de uma pirâmide quadrangular regular é calculada somando-se a área lateral com a área da

base.

bltA+A=A → →g212=120→g212=72-192→72+g.212=192

→2

210=g→

2.12

2120=g→.

)2(12

2120=g→

2

2.

212

120=g.→

212

120=g

2

→ 2m25=g

CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE

Aplicando PITÁGORAS, teremos:

→32=h→81-50=h→81-2.25=h→)23(+h=)25(→r+h=g 222222222

→2.16=h→32=h→32=h m24=h

7. Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais

medem 6cm e 10cm.

Solução.

CÁLCULO DA ÁREA BASE

A pirâmide possui a base um losango, logo: a área do losango é calculada como a metade do produto de

suas diagonais.

2

d.D=A

losango→

losangobA=A →

2

d.D=A

b→

2

60=A→

2

6.10=A

bb→

2

bcm30=A

CÁLCULO DO VOLUME

4.30=V→3

12.30=V→

3

h.A=V

b→

3cm120=V

8. Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros

de lado 4, em centímetros quadrados.

Solução.

CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE

O apótema da base é igual à metade do lado do quadrado.

→2

4=a→

2

l=a

bbcm2=a

b

CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE

Se as faces laterais da pirâmide são triângulos equiláteros, então o apótema da pirâmide, g, será a altura

desse triângulo. As arestas da base possuem a mesma medida do lado do triângulo. Temos:

2

34=g→

2

3l=g→h=g → cm32=g

CÁLCULO DA ALTURA DA PIRÂMIDE

Aplicando PITÁGORAS, teremos:

→2.4=h→8=h→8=h→4-12=h→)2(+h=)32(→ap+h=g 22222222

cm22=h

CÁLCULO DA ÁREA BASE

A pirâmide quadrangular regular possui a base um quadrado.

2

quadradoa=A →

2

b4=A →

2

bcm16=A

CÁLCULO DO VOLUME

→3

22.16=V→

3

h.A=V

b 3cm3

232=V=V