1

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA POSSIBILIDADE PARA O ENSINO DO

MINIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM

Autor: Donizetti Baltazar Carvalho1

Orientadora: Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino2

Resumo O artigo refere-se ao relato de uma experiência sobre o uso da metodologia Resolução de Problemas, com os conteúdos Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC), realizada em uma turma de sexto ano (5ª série), de um colégio da rede pública de ensino, na cidade de Apucarana, Estado do Paraná. O desenvolvimento das tarefas propostas possibilitou aos alunos um trabalho coletivo e colaborativo, elaborar hipóteses, propor diferentes estratégias de resolução, argumentar a respeito de suas resoluções e buscar a compreensão dos conceitos envolvidos no problema. Oportunizou também ao professor, durante a resolução dos problemas pelos alunos, observar o trabalho desenvolvido por eles, suas estratégias de resolução e as discussões que havia nos grupos, permitindo que pudesse intervir quando necessário para auxiliá-los na resolução dos problemas e na construção dos conceitos. Durante este trabalho, foi possível observar alunos comprometidos com as tarefas, com outro olhar para a matemática, acreditando que podiam aprender, e, ainda, houve uma melhora significativa na disciplina e no relacionamento entre eles.

Palavras-chave: Tendências em Educação, Resolução de Problemas, Mínimo Múltiplo Comum, Máximo Divisor Comum. 1 Introdução

As notícias sobre a educação básica brasileira no que tange o ensino da

Matemática nos últimos anos, não têm sido tão animadoras. O baixo rendimento dos

alunos pode ser constatado nos resultados oficiais de avaliações realizadas pelo

Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica – SAEB.

1 Professor PDE 2010 - Graduado em Matemática. 2 Doutora em Educação pela USP. Professora do Departamento de Matemática e do Programa de Pós-Graduação

em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL).

2

Temos observado em nossa prática diária como professor, um aspecto que,

possivelmente, contribui para isto: uma parte dos alunos, embora tenha

conhecimento de técnicas de cálculo e de estratégias, em muitas ocasiões, não

consegue compreender enunciados de problemas propostos, explorar conceitos em

situações em que esses apresentam algum significado, levantar conjecturas, entre

outros. Qual caminho trilhar em face dessas dificuldades? Que estratégia

metodológica utilizar nas aulas?

Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática do Estado

do Paraná, sugere-se que os conteúdos matemáticos sejam “abordados por meio de

tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática

docente” (PARANÁ, 2008, p.63), além disso, destaca-se que se espera por meio da

Educação Matemática, “um ensino que possibilite aos estudantes análises,

discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de ideia.” (ibidem,

p.48)

Assim, outras estratégias de ensino da Matemática, além de aula expositiva,

precisam ser implementados durante as aulas. Segundo Onuchic e Allevato (2005,

p.215), “discussões no campo da Educação Matemática no Brasil e no mundo

mostram a necessidade de se adequar o trabalho às novas tendências que podem

levar a melhores formas de se ensinar e aprender matemática.”

Sendo assim, uma possibilidade de intervir na maneira em que o conteúdo é

apresentado ao aluno, de modo que não seja apenas espectador, é por meio da

tendência metodológica Resolução de Problemas.

Neste sentido, elaboramos um Projeto de Intervenção Pedagógica e uma

produção didático-pedagógica, visando trabalhar com a Resolução de Problemas

enfocando o mínimo múltiplo comum (MMC) e o máximo divisor comum (MDC) como

conteúdo. O conteúdo proposto é em virtude da necessidade de apresentar aos

alunos algum significado ao resolver problemas envolvendo MMC e MDC, pois de

modo geral, tais problemas são apenas apresentados aos alunos após o estudo

desses conteúdos para aplicação de algoritmos.

[...] Além disso, é importante que tal trabalho não se resuma à apresentação de diferentes técnicas ou de dispositivos práticos que permitem ao aluno encontrar, mecanicamente, o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum sem compreender as situações-problema que esses conceitos permitem resolver (BRASIL, 1988, p. 66).

3

O trabalho com a Resolução de Problemas não se resume à apresentação

de técnicas ou dispositivos práticos que possibilitem ao aluno encontrar

mecanicamente um resultado, mas a partir das resoluções dos alunos, oportuniza

conexões com situações reais e a exploração dos conceitos e ideias matemáticas

envolvidas nos conteúdos MMC e MDC.

Diante disso, tivemos como objetivo possibilitar aos alunos a utilização de

diferentes estratégias para a resolução de problemas a fim de explorar conceitos e

ideias matemáticas envolvidas nos conteúdos MMC e MDC a partir de suas

resoluções, de modo que pudessem fazer uso desses conhecimentos em outras

situações problemas envolvendo esses conteúdos.

Além disso, propiciar um trabalho coletivo, colaborativo, oportunizando a

cada aluno colocar em prática a solidariedade, de modo que um pudesse colaborar

para o progresso dos outros.

2 Aspectos teóricos

Segundo Fonseca (2010, p.56):

Na sala de aula, infelizmente, os professores acabam por dar ao aluno o conhecimento pronto e acabado, mastigado e digerido. O que chega aos estudantes é somente o produto final do trabalho científico, a informação. Professores que fizeram tal caminho desviante começam a enxergar o aluno como um depósito de informações, deixando-o em uma situação na qual a passividade é a única alternativa.

Levando isso em consideração, torna-se necessário refletir e propor outros

caminhos para o ensino, no nosso caso, da Matemática. Um ensino em que o aluno

possa participar da construção do conhecimento.

Nessa perspectiva, vê-se na Resolução de Problemas, um caminho para se

fazer matemática na sala de aula com possibilidades de não passividade por parte

dos alunos diante do conhecimento.

Essa estratégia de ensino torna-se fascinante para os alunos quando os professores utilizam-se dela para o desenvolvimento da aula. Muitos estudantes vêem a Resolução de Problemas como um desafio, refletem sobre o problema, a vão aos poucos descobrindo não somente a solução, mas o seu próprio conhecimento. (PIRES et al, 2009, p. 266).

4

Tornando o aluno agente do seu próprio aprendizado, tendo a oportunidade

de criar seus próprios caminhos e estratégias de resolução, construindo,

desenvolvendo e estruturando seu próprio pensamento matemático, o professor

poderá, com a participação dos alunos, introduzir novos conceitos e sistematizar o

conteúdo pretendido com determinado problema.

Ensinar matemática através de Resolução de Problemas confronta-se ao

ensino configurado na memorização, no conhecimento obtido pela rotina ou por

exercício mental (ONUCHIC, 1999). No trabalho com essa estratégia metodológica,

o ponto de partida e orientação para a aprendizagem e a construção do

conhecimento matemático é o problema (ALLEVATO e ONUCHIC, 2009).

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais,

Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la. Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem verdadeiros problemas porque, via de regra, não existe um real desafio nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução. (BRASIL, 1998, p. 41).

Ainda segundo os PCN, um dos princípios que norteiam o ensino-

aprendizagem da Matemática é a resolução de problemas, possibilitando atingir

alguns dos objetivos que se tem para os alunos no Ensino Fundamental, tais como:

“[...] resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados,

desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução,

analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem

como instrumentos tecnológicos disponíveis” (BRASIL, 1998, p.62).

Para Onuchic (1999, p. 208)

[...] trabalhar o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas baseia-se na crença de que a razão mais importante para esse tipo de ensino é a de ajudar os alunos a compreender os conceitos, os processos e as técnicas operatórias necessárias dentro do trabalho feito em cada unidade temática.

Para desenvolver um trabalho com a Resolução de Problemas, Allevato e

Onuchic (2009, p.7-8), propõem que as tarefas a serem desenvolvidas pelo

professor e pelos alunos em sala de aula, sejam organizadas seguindo as etapas:

preparação do problema; leitura individual; leitura em conjunto; resolução do

5

problema; observar e incentivar; registro das resoluções na lousa; plenária; busca do

consenso e formalização do conteúdo.

A partir dessa proposta apresentada pelas autoras, desenvolvemos um

trabalho com o MMC e o MDC por meio da Resolução de Problemas que

relataremos a seguir.

3 Relato da experiência

A implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica teve início no

segundo semestre de 2011, no Colégio Estadual Professor Izidoro Luiz Cerávolo –

Ensino Fundamental, Médio e Profissional, da cidade de Apucarana, Estado do

Paraná. O projeto foi desenvolvido numa turma de sexto ano (5ª série) com 35

alunos.

Os pais ou responsáveis pelos alunos tomaram conhecimento do projeto por

meio de reunião com essa exclusiva finalidade. Oportunidade que tiveram de

conhecer o projeto, as etapas que teria e como eles poderiam colaborar para o seu

sucesso.

A turma foi organizada em oito grupos, de forma arbitrária, sendo três deles

com um integrante a mais. Apenas uma aluna contestou a presença de um aluno em

seu grupo, em virtude de questões pessoais. Momento em que pudemos esclarecer

que mesmo havendo alguma diferença entre as pessoas faz-se necessário

desenvolver algum trabalho juntos, pois isso possibilitaria conhecer melhor as

pessoas, o quanto podem colaborar para o trabalho e todos serem recompensados.

De comum acordo, este aluno permaneceu no grupo sem acarretar nenhum

contratempo ao desenvolvimento dos trabalhos.

Após a organização dos grupos, foi apresentado o primeiro problema sobre

o MMC aos alunos.

Ressalta-se que na entrega do enunciado dos problemas para os alunos,

quando havia mais de uma pergunta no enunciado, estas foram entregues aos

grupos uma por vez, de modo que não houvesse a distribuição de tarefas entre os

componentes do grupo, ficando, por exemplo, cada um responsável por apenas uma

pergunta e, com isso, não participando da resolução do problema como um todo.

6

Em uma determinada noite, Maria das Dores não estava se sentindo muito

bem. Realmente, o seu estado de saúde não era dos melhores. Decidiu então

dirigir-se ao Pronto Socorro Municipal, bem no centro da cidade. Chegando lá,

foi atendida por uma médica, extremamente atenciosa, que ao finalizar o

diagnóstico, lhe informou da necessidade de tomar dois remédios diferentes.

Ao sair da consulta médica, foi à farmácia e o farmacêutico lhe explicou como

deveria tomá-los. Colocou então, em cada caixa uma etiqueta indicando o

horário que deveria tomar cada remédio, da seguinte maneira:

Remédio A: tomar um comprimido de 4 em 4 horas.

Remédio B: tomar um comprimido de 6 em 6 horas.

A paciente Maria das Dores assim que chegou à sua casa, tomou um

comprimido de cada remédio (remédio A e remédio B). Naquele momento era

exatamente zero hora. Considere que ela tomaria pelo menos dois dias

consecutivos os dois remédios.

a) Quais os horários em que Maria das Dores tomará as próximas doses dos

remédios ao longo do dia?

Cada aluno recebeu uma cópia do enunciado do problema com apenas a

primeira pergunta.

Em seguida, realizaram uma leitura individual. Neste primeiro contato com o

problema, os alunos se mantiveram concentrados na leitura e disseram que o

problema era diferente dos que já haviam visto.

Após a leitura individual, um integrante de cada grupo se propôs a ler o

problema em voz alta para os demais alunos do grupo, e então, deram início a

resolução. Não foi delimitado um tempo para a resolução, para que os alunos

pudessem empenhar-se na resolução do problema sem pressão para o

cumprimento da tarefa, pois, o que importava naquele momento eram as estratégias

que estavam discutindo, as conjecturas formuladas, o conhecimento sendo

produzido, não apenas “resolver por resolver”.

Houve, contudo, alguns alunos de determinados grupos, que não

demonstraram interesse algum em analisar e discutir o problema com todos os

7

integrantes. Mas, para que isto não viesse a se tornar algo geral, propusemos nova

leitura, que analisassem novamente as estratégias formuladas, se as conjecturas

formuladas levariam apenas àquele resultado, quais conteúdos utilizaram para

resolver o problema. Feito isto, houve novas discussões entre os integrantes do

grupo.

Observando o trabalho nos grupos, constatamos que alguns alunos tiveram

dificuldade quanto à questão de zero hora e 24 horas, até chegarem à conclusão

que 24 horas coincide com zero hora.

A maioria dos alunos não teve dificuldades para responder à primeira

pergunta. Um fato relevante foi a maneira como se comunicavam, ouvindo o

companheiro de grupo, concordando ou contestando suas explicações, e, só depois

do consenso é que faziam o registro.

A resolução predominante entre os grupos foi:

Remédio A:

00:00 – 04:00 – 08:00 – 12:00 – 16:00 – 20:00 – 00:00 (fim de um dia)

Remédio B:

00:00 – 06:00 – 12:00 – 18:00 – 00:00 (fim de um dia)

Nota-se que não escreveram 24 horas, a justificativa: [...] “o dia tem 24 horas

e inicia o novo dia e repete do mesmo jeito”.

Como deveriam escrever a resposta para a pergunta, sempre diziam: “todo

problema precisa de uma resposta”. A pergunta se referia em quais horários Maria

das Dores tomaria as próximas doses dos remédios ao longo do dia. Além disso, no

enunciado, afirmava-se que seria por pelo menos dois dias consecutivos. Assim,

alguns grupos repetiram a sequência de horário para cada remédio. Quanto à

informação pelo menos dois dias, disseram: “quer dizer que não poderá ter menos

dias”; e completaram: “do remédio A tomará sete doses e do remédio B cinco

doses”. Então, os alunos foram questionados:

– Têm certeza? Como chegaram a esta conclusão?

E responderam:

– Já estamos pensando... Espera aí....

Durante as discussões nos grupos, os alunos perceberam que estavam

somando parcelas iguais, e ao observar os resultados afirmaram:

– Isto pode ser feito como tabuada, do 4 e do 6, a tabuada pode ajudar [...].

8

Remédio A: Remédio B:

4x0 = 0 6x0= 0

4x1 = 4 6x1= 6

4x2 = 8 6x2= 12

4x3 = 12 6x3 = 18

4x4 = 16 6x4 = 24

4x5 = 20

4x6 = 24

E ainda nos grupos, quando perguntados por que não continuaram a

tabuada e começaram com zero, apresentaram respostas do tipo:

– Começamos com zero porque começa a contar do zero e não continuamos

depois do 24 porque completa um dia. Para saber quantas doses, foi só contar até

chegar no 24.

– Começamos com zero porque foi o seu primeiro horário a tomar a primeira

dose do remédio.

Um fato que nos chamou a atenção foi quando um grupo apresentou o

seguinte modo de resolução:

Remédio A: de 4 em 4 horas.

4 horas 4 horas 4 horas 4 horas 4 horas 4 horas

“Somando todos os retângulos” que valem 4 cada, se tem 24, ou ainda, fazendo 6x4.

Remédio B: de 6 em 6 horas.

“Somando todos os retângulos” que valem 6 cada, se tem 24, ou ainda, fazendo 4x6.

E explicaram da seguinte maneira:

– O dia é formado de 24 horas. Maria das Dores tem dois remédios para

tomar que iniciam no mesmo horário com intervalos diferentes. Então, pensamos

em considerar como fração, o nosso inteiro vale 24 e foi dividido em partes iguais,

de quantidade igual ao horário [se referindo ao intervalo de tempo] que deveria

tomar.

6 horas 6 horas 6 horas 6 horas

9

Assim, disseram que poderiam determinar o número de doses que Maria das

Dores deveria tomar nos dois dias:

– Para o remédio A, 6 doses e para o remédio B, 4 doses. Somando dá 10

doses. Como deveria tomar pelo menos dois dias consecutivos, teria que tomar 20

doses de remédio no total.

As perguntas e as discussões, na maioria dos grupos, aconteceram de

forma muito semelhante, mas houve grupos que se limitaram a escrever os horários.

Isto, talvez em razão do hábito de resolver o problema apenas por resolver, sem

envolvimento com o problema em si, bastando as respostas, não fazendo relações

com conhecimentos anteriores ou que poderiam adquirir.

Todas as folhas com as resoluções dos alunos foram recolhidas, e na aula

seguinte, foi entregue outra folha avulsa com o enunciado do problema e a pergunta

b.

b) Considerando que Maria das Dores tenha tomado a primeira dose dos

remédios à zero hora, qual o próximo horário em tomará novamente os

remédios A e B ao mesmo tempo?

No início, os alunos acharam que não haveria horário para que isto pudesse

acontecer, mas mesmo assim, dispuseram-se a traçar meios para tentar resolver o

problema.

Alguns alunos utilizaram o mesmo esquema elaborado para a pergunta a e

circularam o número 12.

Remédio A:

00:00 – 04:00 – 08:00 – 12:00 – 16:00 – 20:00 – 00:00 (fim de um dia)

Remédio B:

00:00 – 06:00 – 12:00 – 18:00 – 00:00 (fim de um dia)

Outros usaram a tabuada, como já haviam feito na pergunta anterior, mas

continuaram a tabuada, questionando se não poderia haver outros números iguais.

Não tiveram dúvidas quando passava das 24 horas [0 hora], sabiam

trabalhar com as horas, conforme é possível observar a seguir:

10

Perceberam que ao chegar 24 horas [0 hora], completava-se um dia e

começava a repetir, apenas aumentava o número na tabuada, mas as horas

continuavam as mesmas.

Assim perceberam a repetição: 0 – 12 – 24 [0], e não havia outros horários

que repetiam mesmo se continuassem a tabuada.

Um dos grupos afirmou o seguinte:

– Como foram encontrados os horários que Maria das Dores tomaria as

próximas doses fazendo a tabuada, foi multiplicando o 4 e o 6 por 0, 1, 2, 3, etc,

formou uma sequência infinita de números, só foi estabelecer uma correspondência

Remédio A: Remédio B:

4x0 = 0 6x0= 0

4x1 = 4 6x1= 6

4x2 = 8 6x2= 12

4x3 = 12 6x3 = 18

4x4 = 16 6x4 = (24horas/0 hora)

4x5 = 20 6x5 = 30 (6 horas da manhã)

4x6 = 24 (0h) 6x6 = 36 (12 horas)

4x7= 28 (4 horas da madrugada) 6x7 = 42 (18 horas)

4x8 = 32 (8 horas da manhã) 6x8= 48 (24 horas/0 hora)

4x9 = 36 (12 horas) 6x9 = 54 (6 horas da manhã)

4x10 = 40 (16 horas) 6x10 = 60 (12 horas)

4x11 = 44 (20 horas) 6x11 = 66 (18 horas)

4x12 = 48 (24 horas/ 0 hora) 6x12 = 72 (24 horas/ 0 hora)

4x13 = 52 (4 horas da madrugada) 6x13 = 78 (6 horas da manhã)

4x14 = 56 (8 horas da manhã) 6x14 = 84 (12 horas)

4x15 = 60 (12 horas) 6x15 = 90 (18 horas)

4x16 = 64 (16 horas) 6x16 = 96 (24 horas/0 hora)

4x17 = 68 (20 horas) 6x17 = 102 (6 horas da manhã)

4x18 = 72 (24 horas/0 hora) 6x18 = 108 (12 horas)

4x19 = 76 (4 horas da madrugada) 6x19 = 114 (18 horas)

4x20 = 80 (8 horas da manhã) 6x20 = 120 (24 horas/ 0 hora)

4X21 = 84 (12 horas) 6x21 = 126 (6 horas da manhã)

[...] [...]

11

com as horas, e ela repetia. Mas esta sequência do 4 e do 6 são múltiplos de 4 e de

6, então ...

Mediante essa resposta apresentada pelos alunos desse grupo, foi possível

observar que eles já estavam bem próximos de chegar à conclusão a respeito do

mínimo múltiplo comum.

Como o objetivo era chegar ao conceito de mmc, foi proposta mais uma

pergunta.

c) Supondo que em virtude do horário que Maria das Dores chegou a sua casa

e para melhor estabelecer o horário com suas atividades diárias, resolvesse

tomar a primeira dose dos remédios às 8 horas da manhã, qual seria o próximo

horário em que Maria das Dores tomaria novamente os remédios A e B ao

mesmo tempo?

Nesta pergunta, alguns grupos perceberam que foi apenas mudado o horário

de início da primeira dose e estabeleceram a mesma ideia usada para responder às

perguntas a e b.

Um dos grupos comentou:

– É a mesma coisa da pergunta anterior, então vamos usar a multiplicação,

os múltiplos dos intervalos, 4 e 6. Veja, como o horário de início é às 8 horas, inicia

no 8 para os dois remédios até completar o dia.

E apresentou a seguinte resolução:

Remédio A: de 4 em 4 horas

8 horas – 12 horas – 16 horas – 20 horas – 24 horas [0 hora] (completou o

dia)

Remédio B: de 6 em 6 horas.

8 horas – 14 horas – 20 horas (se continuar vai para o outro dia, então

termina às 20 horas).

– Assim, o único horário, menos o do início, que coincide é às 20 horas.

Então ela tomaria dois remédios juntos novamente às 20 horas.

A pergunta c do problema foi tranquilamente respondida pela maioria dos

grupos, e resolvida de modo bem semelhante a essa resolução apresentada por um

dos grupos.

Na plenária, após a resolução de todos os itens do problema, os alunos

estavam ansiosos, pois teriam que explicar à turma como fizeram.

12

No momento da apresentação da resolução para a turma, todos os

integrantes do grupo iam para a lousa. Os alunos do primeiro grupo ao apresentar

sua resolução leram o problema e a primeira pergunta.

A explicação dada por eles a respeito da resolução foi:

– Para o remédio A, depois de cada hora somamos 4 horas, que era o

intervalo, até completar um dia, e, do mesmo jeito [mas levando em conta o intervalo

de 6 horas] fizemos com o remédio B, e montamos a sequência de um dia.

Este mesmo grupo ainda comentou:

– A outra maneira que determinamos o horário das próximas doses foi

fazendo a tabuada do 4 e 6.

Ao referir-se à tabuada, foram questionados por um integrante de outro

grupo:

– Se continuassem multiplicando, o que poderia acontecer?

E responderam:

– Completa o dia e começa repetir tudo de novo.

E foram questionados então a respeito de quantas doses de remédio Maria

das Dores tomou.

– Para o remédio A: 6 doses. E para o B: 4 doses.

Um aluno de outro grupo então disse, argumentando em favor da resolução

de seu grupo:

– Não concordo! Para o remédio A foram sete doses e o B cinco doses.

Os alunos do grupo que apresentava disseram:

– Impossível!

E o aluno que discordava afirmou:

– Então prove!

O grupo que estava apresentando argumentou:

– É só contar que são 6 doses para o A e 4 para o B.

E, em seguida, questionou:

–Como vocês fizeram?

E o aluno que discordava respondeu:

–Igual, contamos de zero a zero, e aí completa o dia.

Então, um dos alunos do grupo que estava apresentando lhe disse o

seguinte:

13

– Não pode! Ela já tomou a primeira dose, o zero de novo começa o outro

dia.

Chegaram então ao consenso que Maria tomaria 6 doses para o remédio A

e 4 doses para o remédio B.

O grupo que estava apresentando afirmou o seguinte a respeito do item b:

– Nesta situação Maria das Dores terá que tomar os dois remédios juntos, o

intervalo de tempo é diferente, o horário tem que coincidir. Apresentaram então a

sequência dos horários e o quadro contendo a tabuada do 4 e do 6 com vários dias

para mostrar que existia apenas um horário em que tomaria os remédios juntos, o

qual seria às 12 horas.

Depois disso, o grupo que estava apresentando os itens anteriores partiu

para a discussão do item c na plenária, registrando a seguinte resolução na lousa:

Remédio A: 8 – 12 – 16 – 20 – 24 [0] – 4 – 8 fecha o dia

Remédio B: 8 – 14 – 20 – 2 – 8 fecha o dia

E um de seus integrantes, explicou:

– Note que o horário será 20 horas. Observem que o horário de início é 8

horas, para chegar a 20 faltam 12.

Quando os alunos na plenária falaram sobre isto, o quadro com vários dias

estava na lousa.

Outra explicação dada foi:

– Quando fizemos a letra a e b percebemos que o número 12 havia nos

dois, então é comum [à tabuada do 4 e do 6]. Na pergunta c o que mudou foi o

horário de início, mas o 12 continuou [sendo o intervalo de coincidência]. Então

qualquer horário que ela iniciar para esses intervalos de 4 e 6, o 12 será comum, é

só somar 12 com o horário de início.

Concluindo, os alunos afirmaram:

– Quando multiplica por zero, 1, 2, [faz a tabuada do 4 e 6], apareceu o 12

nos dois, ele é comum.

E encerraram a explicação.

As resoluções dos grupos estavam análogas às da lousa.

Após essas apresentações, argumentações e consenso a respeito das

resoluções corretas, foi usado o que alunos haviam escrito na lousa, no caso a

tabuada do 4 e do 6, conforme o quadro mostrado anteriormente, enquanto

14

comentava-se a respeito das resoluções do item b que surgiam durante as

discussões nos grupos, com a intenção de se chegar ao conceito de mmc.

Neste contexto, realmente houve diálogo, pois os alunos foram

participativos. Partimos da “tabuada” para que os alunos que ainda não tivessem se

dado conta, pudessem perceber que estávamos trabalhando com os múltiplos de 4 e

de 6, e, então, concluir que 12 era o menor múltiplo comum de 4 e 6.

Um fato relevante nesse sentido foi quando estávamos analisando o quadro

contendo as tabuadas e um aluno disse:

– Existem vários fatores comuns, no caso, o número 12 é o menor, sem

considerar o zero.

Após concluírem que o 12 era o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6,

partimos para a discussão a respeito de como ele poderia ser obtido.

Assim, usando a multiplicação, escrevemos o número 4 e 6 das seguintes

maneiras: 1x4 = 4; 2x2 = 4; 1x6 = 6; 2x3 = 6.

Desta forma foi possível conduzi-los à discussão a respeito de fatores

primos comuns e não comuns, e em seguida, escrever sob forma de potência os

números 4 e 6:

4 = 2x2 4 = 22; 6 = 2x3 6 = 21x31.

Seguindo a decomposição de números, foi perguntado como escreveriam o

número 12 e apresentaram: 12 = 2x2x3 ou 12 = 22x31.

Assim, comparando as decomposições em fatores primos de 4, 6 e 12,

concluímos que o mmc pode ser obtido por meio da multiplicação dos fatores primos

comuns e não comuns apresentados na decomposição, tomados com o maior

expoente.

Nessa sistematização, foi também apresentado aos alunos o método prático

para o cálculo do mmc, tanto pela decomposição dos números em fatores primos

separada como simultaneamente.

Diante desse trabalho desenvolvido com os alunos por meio de tal problema,

há de se considerar a relevância do uso desta estratégia metodológica, pois,

[...] a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (BRASIL, 1998, p.40).

15

Isto foi importante para os alunos, pois tiveram oportunidade de discutir,

interpretar, conjecturar, de testar hipóteses, fazer tentativas, de tomar decisões e

confrontar suas idéias. Também foi possível porque se dispuseram a fazer uso do

que sabiam para resolver o problema sem que antes houvesse explicações por parte

do professor, ou seja, sem a exposição de teoria antes, como ocorre frequentemente

na aula expositiva.

Finalizado o primeiro problema, a primeira configuração dos grupos foi

desfeita e foram organizados grupos com outros integrantes, a fim de possibilitar

maior relacionamento entre os mesmos, para que pudessem perceber a importância

do trabalho colaborativo, como os outros pensam e agem diante de certas situações.

Feito isso, foi proposto aos alunos um novo problema (relacionado ao

problema gerador em termos de conteúdo matemático necessário para a sua

resolução) para avaliar a compreensão quanto aos elementos essenciais do

conteúdo matemático discutido no problema anterior.

No período de férias aumenta o número de usuários do transporte coletivo em

uma cidade. As empresas sabendo disso disponibilizam um número maior de

horários de ônibus para atender o aumento desta demanda. A empresa “A”

disponibiliza um ônibus a cada 30 minutos, a empresa “B” a cada 15 minutos e

a empresa “C” a cada 45 minutos. Considerando que os ônibus destas

empresas saiam juntos do terminal rodoviário às 13 horas e 30 minutos, qual o

próximo horário em que eles sairão juntos novamente?

A estratégia adotada pela maioria dos alunos foi à mesma do problema

anterior. Organizaram, primeiramente, uma sequência de horários para cada

empresa, conforme o quadro a seguir:

Horário de saída

Próximos horários

Empresa A: a

cada 30 min 13:30 14:00 14:30 15:00 15:30 16:00 16:30 17:00

Empresa B: a

cada 15 min 13:30 13:45 14:00 14:15 14:30 14:45 15:00 15:15

Empresa C: a

cada 45 min 13:30 14:15 15:00 15:45 16:15 17:00 17:45 18:15

16

Depois de organizarem os horários das empresas em um quadro, fizeram

também o cálculo do mmc utilizando a decomposição simultânea dos números que

representavam os intervalos dos horários em fatores primos

Durante a plenária, um dos grupos afirmou que não seria possível resolver

pela fatoração, pois o valor encontrado era 90 e isto não seria viável. Então, um

integrante de outro grupo foi ao quadro esclarecer a respeito do 90.

Segundo este aluno, o 90 obtido representava 90 minutos. Como uma hora

tem sessenta minutos, então: 90 = 60 + 30 = 1 hora e 30 minutos.

Logo, concluíram que os ônibus sairiam juntos novamente depois de 90

minutos, ou seja, depois de 1 hora e 30 minutos. Apresentaram, então, como

resposta para o problema que os ônibus partiriam juntos novamente às 15 horas.

Em face do fato observado, foi necessário retomar explicações sobre como

operar com medidas de tempo.

Nota-se que alguns grupos ainda resolveram o problema usando o quadro,

considerando uma maneira de visualizar o resultado diretamente.

Outros resolveram das duas maneiras, certificando-se de que o resultado

seria o mesmo, havendo a compreensão de que os 90 minutos seriam o intervalo de

tempo necessário para que o evento pudesse acontecer novamente; e ele poderia

ser determinado pela fatoração a partir de cada intervalo de saída das empresas de

ônibus.

Após as considerações finais do problema, para avaliar a compreensão dos

elementos essenciais do conteúdo matemático no problema anterior, foi apresentado

aos alunos o terceiro problema, que possibilitaria uma discussão a respeito do

máximo divisor comum (mdc).

15 30 45 2 15 15 45 3 5 5 15 3 5 5 5 5 1 1 1

mmc (15, 30,45) = 2.3.3.5 = 90

17

Em nossa cidade tem uma fábrica de tecidos. Na loja da fábrica é possível

comprar retalhos bem abaixo do preço em relação a outras lojas. Após uma

venda, sobraram dois retalhos, um de medida 16 cm e outro de 24 cm, em

peças de tecidos de alta qualidade. Uma cliente se interessou por esses dois

retalhos e pediu a um funcionário que os cortasse em pedaços de tecido de

mesmo comprimento, sendo este comprimento representado por uma medida

inteira, de modo que o comprimento fosse o maior possível, e, além disso, não

houvesse sobra de tecidos. O funcionário da loja foi logo pegando o metro

para fazer a medida e cortar os tecidos. Parou, pensou e pensou... E percebeu

que não era só ir medindo e cortando. “Estou com um problema!” Pensou o

funcionário. “Preciso de ajuda!” Que tal você ajudá-lo a resolver esse

problema?

Não se delimitou tempo para a resolução do problema. Os alunos a iniciaram

seguindo a dinâmica de trabalho conforme as orientações já recebidas nas aulas

anteriores.

O problema ora apresentado refere-se a dois retalhos de tecidos com

medidas de 16 cm e 24 cm que devem ser divididos de modo a serem obtidos

pedaços de mesmo comprimento, sendo este comprimento representado por uma

medida inteira, de modo que o comprimento seja o maior possível, e, além disso,

não haja sobra de tecidos.

Embora cientes de não se tratar de mmc, pois o problema se referia à

divisão dos retalhos em partes iguais e maior comprimento possível. Fizeram a

fatoração, mas sem chegar a uma conclusão.

Um dos grupos usou uma espécie de tabuada com “mão dupla” (pois faziam

multiplicações e divisões envolvendo os números), considerando apenas números

inteiros como possibilidade de o comprimento ser o maior possível, conforme a

seguir:

Tecido de 24 cm de comprimento

24 – 2 – 12 [(24:2 = 12); (24:12 = 2)]

comprimento maior possível

24 – 3 – 8 [(24:3 = 8); (24 : 8 = 3);(3x8 = 24)]

24 – 4 – 6 [(24:4 = 6); (24:6 = 4)]

18

Tecido de 16 cm de comprimento

comprimento maior possível

16 – 2 – 8 [ (16:2 = 8); (16:8 = 2); (2x8 = 16)]

16 – 4 – 4 [(16:4 = 4)]

Estavam à procura de alguma regularidade. No caso, o número oito era

comum tanto para o tecido de 24 cm quanto para o de 16 cm de comprimento.

A justificativa do grupo que apresentou a resolução mencionada foi:

– O maior número que divide os números 24 e 16 é o 8, e, ainda, nota-se

que os números 3 e 2 que são os resultados, referem-se à quantidade de pedaços

de retalho de cada tecido. Assim, o maior comprimento possível só poderá ser 8 cm

e a quantidade de pedaços para o retalho de 24 cm será 3 e para o de 16 cm será 2.

Os alunos concluíram que o 8 seria o máximo divisor comum entre 16 e 24.

Com base nisso, aproveitamos as fatorações realizadas por alguns grupos para

discutir como se determinar o mdc utilizando-se de fatorações.

24 2

12 2

6 2

3 3

1

Mediante a comparação entre as fatorações, os alunos perceberam que 2, 2

e 2 eram os fatores comuns às fatorações e que correspondiam a 8, o máximo

divisor comum entre 16 e 24.

Registrei o seguinte na lousa então:

16 = 2x2x2x2 = 24

24 = 2x2x2x3 = 23x3

Conforme já se sabe: mdc (16,24) = 8

e 8 = 2x2x2 = 23

16 2

8 2

4 2

2 2

2

19

E sistematizamos que o mdc de dois ou mais números naturais, no caso da

decomposição separada, corresponde ao produto dos fatores comuns, tomados com

o menor expoente.

Se utilizarmos fatoração simultânea, corresponde ao produto dos fatores

primos que dividem simultaneamente os números em questão, conforme destacado

a seguir.

E assim, finalizamos a introdução do conteúdo mdc por meio da Resolução

de Problemas.

4 Considerações finais

Utilizar o problema como ponto de partida oportunizou aos alunos explorar

ideias, conjecturar, elaborar hipóteses, argumentar, buscar a compreensão dos

conceitos, desenvolver a criatividade, e, além disso, favoreceu a realização de um

trabalho colaborativo, a partir do envolvimento dos integrantes do grupo na

resolução do problema.

O fato de os alunos se organizarem em grupo para estudar matemática, e

ainda para resolver problemas, alterando a “rotina” das aulas, colocou-os numa

outra esfera, num outro contexto, numa dinâmica prazerosa, concedendo-lhes

momentos para compartilhar saberes. Isto pode ser visto como oportunidade que os

alunos tiveram de aprender uns com os outros. Em decorrência dessa dinâmica de

organização dos alunos, o relacionamento deles passou a ser mais amigável e

também houve melhora significativa quanto ao comportamento em sala, pois os

alunos estavam mais centrados e comprometidos com as tarefas.

Neste contexto, o professor passou de “palestrante” a mediador,

incentivador, questionador, motivador da aprendizagem. O professor atendia aos

alunos em suas dificuldades, auxiliando para que pudessem continuar o trabalho.

16 24 2

8 12 2

4 6 2

2 3 2

1 3 3

1

20

Embora não tenha sido um trabalho “tranquilo” - isto em decorrência de

termos trabalhado essa metodologia em uma perspectiva nova para nós, o que gera

alguma ansiedade e insegurança em não ser correspondido pelos alunos e de não

atingir os objetivos - foi uma experiência gratificante, ver o aluno produzindo,

centrado, querendo encontrar meios para resolver o problema, algo raramente

observado em nossas aulas.

Os contratempos estão presentes em qualquer forma de organizar e

desenvolver o trabalho. O que se deve considerar são os resultados alcançados e a

satisfação dos envolvidos nesse trabalho.

Os alunos consideraram as aulas de matemática com Resolução de

Problemas mais divertida e disseram que preferiam que as aulas de outras

disciplinas também fossem desta forma, não só as de Matemática. Isso porque

tiveram oportunidade de debater com os integrantes do grupo o que pensavam para

usar seus conhecimentos matemáticos e sua intuição, sentindo-se capazes.

Exemplo disso pode ser observado na plenária, em que o aluno viu-se como autor

daquele trabalho, defendendo suas convicções, expondo os motivos daquela

estratégia para a resolução do problema, demonstrando que a forma desenvolvida

era a mais viável em sua opinião.

Um último aspecto que gostaríamos de destacar em relação ao trabalho com

a metodologia Resolução de Problemas é o fator tempo. Tem-se que dar o tempo

necessário para os alunos criarem e recriarem sua estratégia de resolução e

discutirem-na em grupo, sem a ansiedade de que eles resolvam o problema

rapidamente, como num passe de mágica.

Referências Bibliográficas:

ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n.55, 2009.

BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (Matemática).Brasília: MEC/SEF, 1998. FONSECA, Rogério da Silva. O Estímulo ao Pensamento: uma reflexão sobre como a história das ideias pode auxiliar as práticas dos docentes no campo das ciências naturais. Educação, São Paulo, ano 13, n.152, p.56-58, 2010.

21

ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. cap.12, p. 199-220. ONUCHIC, L R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (orgs). Educação Matemática - pesquisa em movimento. 2. ed. São Paulo:

Cortez, 2005. p. 213-231. PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

PIRES, M. N. M. et al. Atividades de Matemática no Projeto Prodocência. In: CAINELLI; M. R.; SILVA, I. F. (Org.). O estágio na licenciatura: a formação de professores e a experiência interdisciplinar na Universidade Estadual de Londrina. 1.ed. Londrina: UEL/Prodocencia/Midiograf, 2009. p.265-275.