resolução da lista 1 quadriláteros

LISTA 1 - QUADRILÁTEROS

PROFESSOR: LIMA 1

1) Nomeamos o paralelogramo de ABCD, onde:

A 12x – 25º

B y

C 7x + 32

D y

Figura auxiliar

Para o cálculo de x utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo os

ângulos opostos são congruentes → DBeCA ˆˆˆˆ

Fazendo CA ˆˆ e substituindo, teremos:

Cálculo de x

12x – 23 = 7x + 32

12x – 7x = 32 + 23

5x = 55

x = 5

55 → x = 11º

Cálculo do A

A 12x – 23º

A 12. 11 – 23

A 132 – 23

A 132 – 23

A 109º

CA ˆˆ → A C 109º

Para o cálculo de y utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo a

soma dos ângulos adjacentes é igual a 180º, logo: º180ˆˆ CA .

Calculo de y Calculo de DeB ˆˆ

º180ˆˆ BA DB ˆˆ → DB ˆˆ = 71º

109º º180 y

y = 180 -109

y = 71º

R: Os ângulos são 71º, 71º, 109º e 109º.


PROFESSOR: LIMA 2

2) Nomeamos um lado de x e o outro de y.

Figura auxiliar →

Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = 45,2 cm, logo:

2p = x + x + y + y = 45,2

2x + 2y = 45,2

2(x + y ) = 45,2

x + y = 2

2,45 → x + y = 22,6 cm → equação 1

Do enunciado temos: a diferença de dois ângulos consecutivos é igual a 11 →

x – y = 11 → equação 2

Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.

x + y = 22,6

x – y = 11

Resolvemos o sistema (método da adição)

x + y = 22,6 x + y = 22,6

x – y = 11 x – y = 11

2x = 33,6 → x = 2

6,33 → x = 16,8 cm

Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y.

x + y = 22,6

16,8 + y = 22,6

y = 22,6 – 16,8

y = 5,8 cm

R: Os lados medem 5,8 cm e 16,8cm


PROFESSOR: LIMA 3

3) Plotamos os pontos P, S, Q e R no paralelogramo.

Figura auxiliar →

As diagonais de um paralelogramo se interceptam no ponto médio, ponto O,

Assim:

OQPOPQ e ORSOSR

Cálculo de OR

ORSOSR , sendo que ORSO e cmSR 17 , efetuando as substituições,

teremos:

ORSOSR

OROR 17

OR217

cmOROR 5,82

17

Cálculo de PQ

OQPOPQ , sendo que OQPO e cmOQ 5,11 , efetuando as

substituições, teremos:

OQPOPQ

OQOQPQ

OQPQ 2

5,112 PQ

cmPQ 23

R: cmOR 5,8 e cmPQ 23


PROFESSOR: LIMA 4

4) Nomeamos o paralelogramo de A, B, C e D.

Um ângulo obtuso chamamos de x.

E um ângulo agudo de 3

1. x

Para o cálculo de x utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo a

soma dos ângulos adjacentes é igual a 180º, logo: º180ˆˆ DA .

º180ˆˆ DA , onde xA ˆ e xD 3

1ˆ , efetuando as substituições, teremos:

º1803

1 xx → multiplicando tudo por 3

318033

13 xx

5403

33

xx → simplificar 3 do numerador com o 3 do denominador

5403 xx

5404 x

4

540x

º135x , então:

xA ˆ → º135ˆ A

xD 3

1ˆ → 3

135135

3

1ˆ D → º45ˆ D

R: Um ângulo agudo mede 45º e um ângulo obtuso mede 135º.


PROFESSOR: LIMA 5

5) Nomeamos um lado de x e o outro de y.

Figura auxiliar →

Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = 48 cm, logo:

2p = x + x + y + y = 48

2x + 2y = 48

2(x + y ) = 48

x + y = 2

48 → x + y = 24 cm → equação 1

Do enunciado temos: a diferença de dois ângulos consecutivos é igual a 11 →

x – y = 10 → equação 2


x + y = 24

x – y = 10


x + y = 24

x – y = 10

2x = 34 → x = 2

34 → x = 17 cm

Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y.

x + y = 24

17 + y = 24

y = 24 – 17

y = 7 cm

R: Os lados medem 17 cm e 7 cm


PROFESSOR: LIMA 6

6) ABCD é um paralelogramo AB = 2x + 1, BC = 3x + 4, CD = y – 6 e AD = y + 1.

Calcular o perímetro desse quadrilátero.

Figura auxiliar →

Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD , logo:

2p = (2x – 1) + (3x + 4) +(y – 6) +(y + 1)

2p = 2x - 1 + 3x + 4 + y – 6 + y + 1

2p = 5x + 2y

Para calcularmos o perímetro do paralelogramo temos que encontrar x e y, logo:

Para o cálculo de x e y utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo os

lados opostos são congruentes → ADBCeCDAB

Efetuando as substituições teremos:

CDAB → 2x + 1 =y – 6 → 2x – y = - 6 – 1 → 2x – y = - 7 → equação 1.

ADBC → 3x + 4 = y + 1 → 3x – y = 1 – 4 → 3x – y = - 3 → equação 2.


2x – y = - 7

3x – y = - 3


2x – y = - 7 → multiplicando por . (-1) - 2x + y = + 7

3x – y = 11 3x – y = - 3

x = 4

Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y

2x - y = - 7 → 2 . 4 - y = - 7 → 8 - y = - 7 → y = 8 + 7 → y = 15

Calculo do perímetro

2p = 5x + 2y → substituindo os valores de x e y, teremos:

2p = 5 . 4 + 2 . 15 → 2p = 20 + 30 → 2p = 50

R: O perímetro mede 50.


PROFESSOR: LIMA 7

7) ABCD é um paralelogramo com diagonais AC e BD .

AC e BD se interceptam em M.

Temos: AM = 2x + 1, CM = 3y, BM = 4x – 1 e DM = 5y + 2.

Para o cálculo de AC e BD utilizamos a propriedade que diz: As diagonais de

um paralelogramo se interceptam no ponto médio, ponto M, Assim:

CMAMAC , onde CMAM

DMBMBD , onde DMBM

Efetuando as substituições teremos:

CMAM → 2x + 1 = 3y → 2x – 3y = – 1 → equação 1.

DMBM → 4x - 1 = 5y + 2 → 4x – 5y = 3 → equação 2.


2x – 3y = - 1

4x – 5y = + 3


2x – 3y = - 1 → multiplicando por . (- 5) -10x + 15y = + 5

4x – 5y = + 3 → multiplicando por . (3) 12x – 15y = + 9

2x = 14 → x = 2

14 → x = 7


2x - 3y = - 1 → 2 . 7 - 3y = - 1 → 14 - 3y = - 1 → 3y = 14 + 1 → 3y = 15 →

y = 3

15 → y = 5

Calculo da diagonais

CMAMAC

AC 2x + 1 + 3y → substituindo os valores de x e y, teremos:

AC 2 . 7 + 1 + 3 . 5 → AC 14 + 1 + 15 → AC 30


PROFESSOR: LIMA 8

DMBMBD

BD 4x - 1 + 5y + 2 → substituindo os valores de x e y, teremos:

BD 4 . 7 - 1 + 5 . 5 + 2 → BD 28 - 1 + 25 + 2 → BD 54

R: A diagonal AC mede 30 e a diagonal BD mede 54.

8) 2p = 64 cm


2p = (x + 7) + x + (x + 7) + x

64 = x + 7 + x + x + 7 + x

64 = 4x + 14 → 4x = 64 -14 → 4x = 50 → x = 4

50 → x = 12,5 cm

64 = 4x + 14 → 4x = 64 -14 → 4x = 50 → x = 4

50 → x = 12,5 cm

ADBC → ADBC = x = 12,5 cm

CDAB → CDAB = x + 7 = 12,5 + 7 = 19,5 cm

R: Os lados medem 12,5 cm e 19,5 cm.

9) Um lado chamaremos de x

O outro lado excede o lado x em 6,5, isto é, chamaremos de x + 6,5

a) Calcule as medidas dos lados.


PROFESSOR: LIMA 9

Sabemos que a razão de um lado para o outro é de 20

7, temos:

20

7

5,6

x

x → multiplicando cruzado, teremos:

20 . x = 7 . (x + 6,5) → aplicando a distributiva no segundo termo

20x = 7x + 45,5 → 20x – 7x = 45,5 → 13x = 45,5 → x = 13

5,45 → x = 3,5 cm

Em um retângulo os lados opostos são congruentes, logo:

CDAB = x + 6,5 = 3,5 + 6,5 = 10 cm → CDAB = 10 cm

ADBC = x = 3,5 → ADBC = 3,5 cm

R: Os lados medem CDAB = 10 cm e ADBC = 3,5 cm.

b) Determine o perímetro do retângulo.


2p = 10 + 3,5 + 10 + 3,5 → 2p = 27 cm

R: O perímetro é 27 cm.

10) Chamaremos aos ângulos formados pelas diagonais x e y.

As diagonais de um retângulo se interceptam no ponto médio e são iguais, então:

O triângulo MDC é isósceles →


PROFESSOR: LIMA 10

Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruente, logo:

D = C → D = 23º

Calculo de x

Em todo triângulo a soma dos ângulos internos é 180º, logo:

M + C + D = 180º

x + 23 + 23 = 180 → x + 46 = 180 → x = 180 – 46 → x = 134º

Calculo de y

x + y = 180º → são suplementares, efetuando a substituição de x, teremos:

134 + y = 180 → y = 180 – 134 → y = 46º

R: Os ângulos formados pelas diagonais são 134º e 46º.

11) Chamaremos aos lados do retângulo de x e y, lembrando que os lados opostos, de

um retângulo são congruentes, logo: CDAB = y e ADBC = x

O perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD ,

logo:

2p = y + x + y + x → 192 = 2y + 2x → 192 = 2 (x + y) → x + y = 2

192 →

x + y = 96

Como as medidas dos lados estão na razão 3 para 5 e o perímetro mede 192 cm,

montamos um sistema de duas equações e duas incógnitas, assim temos:



PROFESSOR: LIMA 11

5

3

y

x → 5x = 3y → 5x – 3y = 0

x + y = 96


5x – 3y = 0 5x – 3y = 0

x + y = 96→ multiplicando por . (3) 3x + 3y = 288

8x = 288 → x = 8

288 → x = 36


5x - 3y = 0 → 5 . 36 - 3y = 0 → 180 - 3y = 0 → 3y = 180 → y = 3

180 → y = 60

R: Os lados medem 36 cm e 60 cm.

Os exercícios 12 e 13 são para você fazer.

12) Num retângulo, uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 52º.

Calcular a medida de um dos ângulos obtusos formados pelas diagonais.

R: Um dos ângulos obtusos formados pelas diagonais mede 104º.

13) Num retângulo a medida de um lado excede a medida de um outro em 9 cm, e a

razão da medida de um lado para a do outro é 7

4. Calcular a área desse

quadrilátero. (lembrete: área do retângulo é base x altura)

R: A área do retângulo é de 252 2cm

resolução da lista 1 quadriláteros

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