resmen mates ii bachillerato

7182019 Resmen MATES II Bachillerato

httpslidepdfcomreaderfullresmen-mates-ii-bachillerato 1162983226 983140983141 B983137983139983144983145983148983148983141983154983137983156983151 983120983154983151983142983141983155983151983154 983117983137983150983157983141983148 J983141983155983290983155 983121983157983145983140983145983141983148983148983151

983124983109983117983105 983113 983117983105983124983122983113983107983109983123

983117983137983156983154983145983162 A 983140983141 983140983145983149983141983150983155983145983283983150 m ntimes 983141983155 983157983150983137 983156983137983138983148983137 983151983154983140983141983150983137983140983137 983140983141 middotm n 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983140983145983155983152983157983141983155983156983151983155 983141983150 m 983142983145983148983137983155 983161 n 983139983151983148983157983149983150983137983155

983142983145983148983137

( )a b c

983139983151983148983157983149983150983137

a

b

c

983139983157983137983140983154983137983140983137

a b c

d e f

g h i

983154983141983139983156983137983150983143983157983148983137983154

a b cd e f

983155983145983149983273983156983154983145983139983137

a b c

b e f

c f i

983137983150983156983145983155983145983149983273983156983154983145983139983137

0

0

0

b c

b f

c f

minus minus minus

983150983157983148983137

0 0 0

0 0 0

983140983145983137983143983151983150983137983148

0 0

0 0

0 0

a

e

i

983141983155983139983137983148983137983154

0 0

0 0

0 0

a

a

a

983125983150983145983140983137983140 n I

1 0 0

0 1 0

0 0 1

983156983154983145983137983150983143983157983148983137983154 983155983157983152983141983154983145983151983154 0

0 0

a b c

d f

e

983156983154983145983137983150983143983157983148983137983154 983145983150983142983141983154983145983151983154

0 0

0

a

b d

c f e

983123983125983117A

a b c a b c a a b b c c

d e f d e f d d e e f f

+ + + + =

+ + +

983124983151983140983137983155 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155

983120983122983119D983125C983124983119

983120983119983122

E983123CA983116A983122

middot middot middotmiddot

middot middot middot

a b c k a k b k ck k

d e f k d k e k f

= notin

ℝ

middot( ) middot middot

( )middot middot middot

middot( middot ) ( middot )middot

1middot middot

k A B k A k B

k h A k A h A

k h A k h A

A A o A O

+ = +

+ = +

=

= =

983120983122983119D983125C983124983119

F983113983116A 983085

C983119983116983125983117983118A

( )

middot middot middot middot

a

a b c b a a b b c c

c

= + +

983120983122983119D983125C983124983119

middotmxn nxp mxp A M B M A B C M isin isin rArr = isin

E983148983141983149983141983150983156983151 middotij i jc fila a columnab=

983118983119 C983119983118983117983125983124A983124983113983126A

1

middot middot

middot middot

n n

n

A I I A A Acuadrada

A B B A I

Ainvertible y A Bminus

= =

= = rArr

=



983124983122A983123983120983125E983123983124At

a d a b c

A A b ed e f

c f

= rArr =

( )

( )

( )

( )

middot middot

middot middot

t t

t t t

t t

t t t

A A

A B A B

k A k A

A B B A

=

+ = +

=

=

983113983118983126E983122983123A ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 1

middot middott t A A A A A B B A

minus minus minusminus minus minus minus= = =

983120983119983124E983118C983113A middot middotmiddotn

n veces A A A A=

983122983137983150983143983151 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983141983155 983141983148 983150983290983149983141983154983151 983140983141 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983148983145983150983141983137983148983149983141983150983156983141 983145983150983140983141983152983141983150983140983145983141983150983156983141983155

983120983122983119983120983113EDADE983123 983120A983122A E983116 C983233983116C983125983116983119 DE983116 983122A983118983111983119

E 983148 983154 983137 983150 983143 983151 983150 983151

983158 983137 983154 983277 983137 983155 983145

983123983141 983152983141983154983149983157983156983137983150 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155

983123983141 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137 983151 983140983145983158983145983140983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983152983151983154 983157983150 983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148 983150983151 983150983157983148983151

A 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983155983141 983148983141 983155983157983149983137 983151 983154983141983155983156983137 983151983156983154983137 983152983137983154983137983148983141983148983137

E 983148 983154 983137 983150 983143 983151 983150 983151

983158 983137 983154 983277 983137 983155 983145 983155 983141

983155 983157 983152 983154 983145 983149 983141 983150

983116983137983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983150983157983148983137983155

983116983137983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983152983154983151983152983151983154983139983145983151983150983137983148983141983155 983137 983151983156983154983137983155 983152983137983154983137983148983141983148983137983155

983116983137983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 983137 983151983156983154983137983155 983152983137983154983137983148983141983148983137983155

E983139983157983137983139983145983151983150983141983155 983149983137983156983154983145983139983145983137983148983141983155 983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983137983155 983141983150 983148983137983155 983153983157983141 983148983137 983145983150983139983283983143983150983145983156983137 983141983155 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162

1

1

middot

middot middot

A X B X A B

X A B X B A

minus

minus

= rArr =

= rArr =



983124983109983117983105 983113983113 983108983109983124983109983122983117983113983118983105983118983124983109983123

D983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983141983155 983157983150983137 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983149983137983156983154983145983139983141983155 983139983157983137983140983154983137983140983137983155 983161 983157983150 983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148 det n M rarr ℝ

1d I = 0O = | |triangular diagonal= = 983152983154983151983140983157983139983156983151 983140983141 983148983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983140983141 983148983137 983140983145983137983143983151983150983137983148

D983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 983151983154983140983141983150 2 D983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 983151983154983140983141983150 3

middot middota c

A a d b cb d

= = minus

11 12 13

11 22 33 31 12 23 13 21 32

21 22 23

31 22 13 11 32 23 33 12 21

31 32 33

( )

( )

a a aa a a a a a a a a

A a a aa a a a a a a a a

a a a

+ + minus= =

minus + +

983120983122983119983120983113EDADE983123 DE 983116983119983123 DE983124E983122983117983113983118A983118983124E983123

1) 983123983145 983148983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983140983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983155983141 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983150

983141983150 983155983157983149983137983150983140983151983155 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983155983157983149983137 983140983141

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141983155 983153983157983141 983156983145983141983150983141983150 983141983150 983141983155983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983148983151983155983152983154983145983149983141983154983151983155 983161 983155983141983143983157983150983140983151983155 983155983157983149983137983150983140983151983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983137983149983141983150983156983141 983161 983141983150 983148983151983155

983140983141983149983265983155 983148983151983155 983149983145983155983149983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983153983157983141 983141983148 983145983150983145983139983145983137983148

2) 983123983145 983155983141 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983150 983124983119D983119983123 983148983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983140983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151

983139983151983148983157983149983150983137 983152983151983154 983157983150 983149983145983155983149983151 983150983290983149983141983154983151 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983153983157983141983140983137983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983140983151 983152983151983154 983140983145983139983144983151 983150983290983149983141983154983151

3) 983123983145 A y B 983155983151983150 983149983137983156983154983145983139983141983155 983139983157983137983140983154983137983140983137983155 983141983150983156983151983150983139983141983155

| middot | | |middot| | A B A B=

4) 983123983145 983155983141 983152983141983154983149983157983156983137983150 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162

983139983157983137983140983154983137983140983137 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983139983151983150 983154983141983155983152983141983139983156983151

983137983148 983145983150983145983139983145983137983148

5) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983139983151983150

983156983151983140983151983155 983155983157983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983150983157983148983151983155 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

6) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155

983145983143983157983137983148983141983155 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

7) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155

983152983154983151983152983151983154983139983145983151983150983137983148983141983155 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

8) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983157983150983137 983142983145983148983137 (983139983151983148983157983149983150983137)

983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 983140983141 983148983137983155 983154983141983155983156983137983150983156983141983155 983142983145983148983137983155 (983139983151983148983157983149983150983137983155) 983155983157

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

9) 983123983145 983137 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983155983141 983148983141

983155983157983149983137 983157983150983137 983152983137983154983137983148983141983148983137 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983150983151 983158983137983154983277983137

10) 983123983145 983137 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983155983141 983148983141

983155983157983149983137 983157983150983137 983152983137983154983137983148983141983148983137 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983157983150 983150983290983149983141983154983151 983155983157

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983150983151 983158983137983154983277983137

C983233983116C983125983116983119 DE 983125983118 DE983124E983122983117983113983118A983118983124E

983111A983125983123983123

983125983156983145983148983145983162983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141983148983151983155 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141983155 983155983141 983156983154983145983137983150983143983157983148983137

983140983145983139983144983151 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983123983141

983139983151983149983145983141983150983162983137 983152983151983154 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137

983139983151983148983157983149983150983137 983144983137983139983145983141983150983140983151 983139983141983154983151983155 983148983151983155

983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983145983150983142983141983154983145983151983154983141983155 98314098314198314811

a

983148983157983141983143983151 983152983151983154 983140983141983138983137983146983151 983140983141983148 22

a 991270

983117983137983156983154983145983162 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983137 983151 983117983141983150983151983154 ij M 983140983141983148

983141983148983141983149983141983150983156983151 ija 983141983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162 983151983138983156983141983150983145983140983137 983140983141

983153983157983145983156983137983154 983148983137 983142983145983148983137 983145 983161 983148983137 983139983151983148983157983149983150983137 983146

A983140983146983157983150983156983151 983140983141 ( 1) | |i jij ija M +

= minus

983117983137983156983154983145983162 983137983140983146983157983150983156983137 adj A 983141983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162 983142983151983154983149983137983140983137

983152983151983154 983148983151983155 983137983140983146983157983150983156983151983155 983140983141 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151

983120983119983122 AD983114983125983118983124983119983123

983123983145 983141983148983141983143983145983149983151983155 983139983157983137983148983153983157983145983141983154 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983141983148

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 983140983145983139983144983137 983149983137983156983154983145983162 983141983155

983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983155983157983149983137 983140983141 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141

983148983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983141983148983141983143983145983140983137 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983140983151

983152983151983154 983155983157 983137983140983146983157983150983156983151

983122983137983150983143983151 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983141983155 983141983148 983149983137983161983151983154 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983145983155983156983145983150983156983151 983140983141 983139983141983154983151 983139983151983150983156983141983150983145983140983151 983141983150 983148983137 983149983137983156983154983145983162

983117A983124983122983113983130 983113983118983126E983122983123A DE1 A Aminus

E983128983113983123983124E 983117A983124983122983113983130 983113983118983126E983122983123A DE A 983123983113 | | 0 A ne ( )1 1 middot Adjt A A

Aminus =



983124983109983117983105 983113983113983113 983123983113983123983124983109983117983105983123 983108983109 983109983107983125983105983107983113983119983118983109983123 983116983113983118983109983105983116983109983123

ax by c

a x b y c

+ =

+ =

ax bx cx d

a x b x c x d

a x b x c x d

+ + =

+ + = + + =

983122983141983155983151983148983158983141983154 983157983150 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155 983141983150983139983151983150983156983154983137983154

983124983119DA983123 983148983137983155 983152983151983155983145983138983148983141983155 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983140983141983148

983155983145983155983156983141983149983137

min (1 )( )

det min ( )

(sin )

Deter ado solucioacutenCompatible solucioacuten

In er ado soluciones

Incompatible solucioacuten

infin

D983113983123C983125983123983113983251983118 DE 983125983118 983123983113983123983124E983117A

D983145983155983139983157983156983145983154 983157983150 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155

983145983150983140983145983139983137983154 983141983148 983156983145983152983151 983140983141

983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983153983157983141 983156983145983141983150983141 983141983148

983155983145983155983156983141983149983137 983123983145 983156983157983158983145983141983155983141 983157983150983152983137983154983265983149983141983156983154983151 983155983141 983140983141983138983141 983145983150983140983145983139983137

983141983148 983156983145983152983151 983140983141 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155

983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141983148 983158983137983148983151983154 983140983141983148

983152983137983154983265983149983141983156983154983151

983124E983119983122E983117A DE 983122983119983125C983112E983085F983122983119BE983118983113983125983123

middot

( ) ordm min( ) ( )

( ) ordm min

( ) ( ) ( ) ordm

M

a b c d d x

M a b c d B d X y M X Ba b c d d z

Rg M n incoacutegnitas Deter ado Rg M Rg M Compatible

Rg M n incoacutegnitas Indeter ado

Rg M Rg M y Rg M n incoacutegnitas In

= = = rArr =

==

lt

= gt

( ) ( )

compatible

Rg M Rg M Incompatiblelt

983122E983123983119983116983125C983113983251983118 DE 983125983118 983123983113983123983124E983117A DE EC983125AC983113983119983118E983123 983116983113983118EA983116E983123

983117A983124983122983113983130

983113983118983126E983122983123A983111A983125983123983123 983111A983125983123983123983085983114983119983122DA983118 C983122A983117E983122

983123983145 983156983141983150983141983149983151983155 983153983157983141

1

middot

middot

M X B

X M Bminus

= rArr

=

983124983154983145983137983150983143983157983148983137983149983151983155 983148983137

983149983137983156983154983145983162 M 983161

983154983141983155983151983148983158983141983149983151983155 983140983141 983148983137

983290983148983156983145983149983137 983142983145983148983137 983137 983148983137

983152983154983145983149983141983154983137 983117983273983156983151983140983151 983140983141

983156983154983145983137983150983143983157983148983137983139983145983283983150

D983145983137983143983151983150983137983148983145983162983137983149983151983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162

M 983152983151983154 G983137983157983155983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151

983148983137983155 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983141983150 983148983137 983290983148983156983145983149983137

983139983151983148983157983149983150983137

983117983273983156983151983140983151 983140983141 983138983137983146983137983140983137 983161 983155983157983138983145983140983137

983123983145 983141983148 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155 983139983151983149983152983137983156983145983138983148983141 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983151 983139983137983140983137

983158983137983154983145983137983138983148983141 983141983155 983141983148 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150983156983154983141 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141

M 983139983151983150 983148983137 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983148983137 983158983137983154983145983137983138983148983141

983139983151983154983154983141983155983152983151983150983140983145983141983150983156983141 983155983157983155983156983145983156983157983145983140983137 983152983151983154 983137 983290983148983156983145983149983137

983139983151983148983157983149983150983137 B 983161 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 M



983124983109983117983105 983113983126 983126983109983107983124983119983122983109983123 983109983118 983109983116 983109983123983120983105983107983113983119

( ) 3 a b c a b c= times times = isinℝ ℝ ℝ ℝ ℝ 983137 983141983155 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983139983151983149983152983151983150983141983150983156983141 983140983141983148 983158983141983139983156983151983154 983138 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983139983151983149983152983151983150983141983150983156983141 983140983141983148

983158983141983139983156983151983154 983161 983139 983148983137 983156983141983154983139983137 983139983151983149983152983151983150983141983150983156983141 ( )a b crarr

= 983139983151983151983154983140983141983150983137983140983137983155 983140983141983148 983158983141983139983156983151983154

C983137983154983137983139983156983141983154983277983155983156983145983139983137983155 983140983141 983157983150 983158983141983139983156983151983154 983117983283983140983157983148983151 (983148983151983150983143983145983156983157983140) D983145983154983141983139983139983145983283983150 (983145983150983139983148983145983150983137983139983145983283983150) 983123983141983150983156983145983140983151 (983140983151983155 983152983151983155983145983138983148983141983155 983140983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983140983145983154983141983139983139983145983283983150)

983119

983152 983141 983154 983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155 983139 983151 983150 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155

983155983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 983152983151983154 983141983155983139983137983148983137983154

983122983141983143983148983137 983140983141983148

983152983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151

a b crarr rarr rarr

+ =

middot

middot middot

k a b k

k a k a

rarr rarr

rarr rarr

= isin

=

ℝ 3middot(2 45) (6 1215)

rarr rarr

minus = minus

(231) ( 15 3) (18 2)rarr rarr rarr

+ minus minus = minus 983116983137 983140983145983154983141983139983139983145983283983150 983155983141

983139983151983150983155983141983154983158983137

0

0

Si k mismo sentido

Si k sentido contrario

gt

lt

C983119983117B983113983118AC983113983251983118 983116983113983118EA983116 DE 983126EC983124983119983122E983123 983129 DE983120E983118DE983118C983113A 983116983113983118EA983116 983123983113983123983124E983117A 983111E983118E983122AD983119983122 983129 BA983123E

urarr

983141983155 983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 9831409831411 2 3 nu u u u

rarr rarr rarr rarr

9831559831451 2 3 na a a aexist isin ℝ 983156983137983148 983153983157983141

1 1 2 2 3 3middot middot middot middotn nu a u a u a u a urarr rarr rarr rarr rarr

= + + + +

1 2 nu u urarr rarr rarr

983155983151983150 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983156983141983155 983155983145 1 2 na a aexist isin ℝ 983156983137983148 983153983157983141 1 1 2 20 middot middot middotn na u a u a urarr rarr rarr rarr

= + + + 983139983151983150 983137983148983143983290983150 0ia ne


983155983151983150 983145983150983140983141983152983141983150983140983145983141983150983156983141983155 983155983145 983152983137983154983137 9831539831579831411 1 2 20 middot middot middotn na u a u a u

rarr rarr rarr rarr

= + + + 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983140983141983138983141983150 983155983141983154 0ia =

983123983145983155983156983141983149983137 983143983141983150983141983154983137983140983151983154 1 2 nu u urarr rarr rarr

983123983145 983139983157983137983148983153983157983145983141983154 983158983141983139983156983151983154 983140983141983148 983141983155983152983137983139983145983151 983141983155 983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 983140983141 1 2 nu u urarr rarr rarr

B983137983155983141 983123983145 983141983155 983155983145983155983156983141983149983137 983143983141983150983141983154983137983140983151983154 983161 983148983145983150983141983137983148983149983141983150983156983141 983145983150983140983141983152983141983150983140983145983141983150983156983141 E983148 983150983290983149983141983154983151 983140983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 983139983151983145983150983139983145983140983141 983139983151983150 983148983137 983140983145983149983141983150983155983145983283983150 983140983141983148 983141983155983152983137983139983145983151

E9831503ℝ 983148983137 983138983137983155983141 983156983145983141983150983141 983141983160983137983139983156983137983149983141983150983156983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983161 983150983157983150983139983137 983152983157983141983140983141 983156983141983150983141983154 983149983265983155 983150983145 983149983141983150983151983155

983124983145983152983151983155 983140983141 983138983137983155983141 983118983151983154983149983137983140983137 (983149983145983155983149983151 983149983283983140983157983148983151=1) 983119983154983156983151983143983151983150983137983148 (983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154983141983155) 983119983154983156983151983150983151983154983149983137983148 (983150983151983154983149983137983140983137 983161 983151983154983156983151983143983151983150983137983148 983137 983148983137 983158983141983162)

983120 983154 983151 983140

983157 983139 983156 983151 983141 983155 983139 983137 983148 983137 983154 983140 983141 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155 983161 983152 983154 983151 983152 983145 983141 983137 983140

983141 983155

middot middotcos middot

0

u v u v Si u v son no nulosu v

Siu v son nulos

rarr rarr rarr rarr rarr rarr

rarr rarr

rarr rarr

=

983152983151983155983145983156983145983158983151 middot 0u urarr rarr

ge

C983151983150983149983157983156983137983156983145983158983137 middot middotu v v urarr rarr rarr rarr

=

H983151983149983151983143983273983150983141983137 middot middot middot middot middot middotk u v k u v k v urarr rarr rarr rarr rarr rarr

= =

B983137983155983141 983151983154983156983151983150983151983154983149983137983148 middot ( )middot( ) middot middotu v a b c d a c b d rarr rarr rarr rarr

= = + D983145983155983156983154983145983138983157983156983145983158983137 middot middot middotw u v w u w vrarr rarr rarr rarr rarr rarr rarr

+ = +

middot (2 5 3)middot( 3 4 1) 2middot( 3) 5 middot 4 3middot( 1) 11u vrarr rarr rarr rarr

= minus minus = minus + + minus = 983126983137983148983151983154 983139983141983154983151 middot 0u u urarr rarr rarr rarr

hArr =

crarr

ararr

brarr



983117983283983140983157983148983151 983140983141 983157983150 9831589831419831399831569831519831542 2 2 2 2 2

middot ( ) (35 4) 3 5 4 50u u u u x y z x y zrarr rarr rarr rarr rarr rarr

= + rArr = = + + + = + + + =

983233983150983143983157983148983151 α 983141983150983156983154983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 middot middot

middot middot middotcos cos cos

middot middot

u v u vu v u v arc

u v u vα α α

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr= rArr = rArr =

983120983154983151983140983157983139983156983151 983158983141983139983156983151983154983145983137983148 983140983141 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

DEF983113983118983113C983113983251983118

u v

u v

w

rarr rarr

rarr rarr

rarr

times =

= and =

=

| | | |middot| |middot ( )w u v sen u vrarr rarr rarr rarr rarr

=

D983145983154983141983139983139983145983283983150 wrarr

=983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 u y vrarr rarr

983123983141983150983156983145983140983151 wrarr

=983137983158983137983150983139983141 983155983137983139983137983139983151983154983139983144983151983155 983140983141

u a vrarr rarr

983120983122983119983120983113EDADE983123

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

u v v u

k u v k u v u k v

u v w u v u w

rarr rarr rarr rarr


rarr rarr rarr rarr rarr rarr rarr

times = minus times

times = times = times

times + = times + times

C983233983116C983125983116983119

( )

( )

u x y z

v x y z

i j k

u v x y z x y z

rarr rarr

rarr rarr

rarr rarr

=

=

times =

983120983154983151983140983157983139983156983151 983149983145983160983156983151 983140983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

middot( )u v w u v wrarr rarr rarr rarr rarr rarr

= times ( ) ( ) ( )

x y z

u x y z v x y z w x y z u v w x y z

x y z

rarr rarr rarr rarr rarr rarr rarr rarr rarr = = = =

983124983109983117983105 983126 983111983109983119983117983109983124983122983245983105 983108983109983116 983109983123983120983105983107983113983119

D983151983155 9831529831579831509831569831511 2 3( ) A a a a= 983161

1 2 3( ) B b b b= 983126983141983139983156983151983154 983153983157983141 983139983151983149983145983141983150983162983137 983141983150 A 983161 983156983141983154983149983145983150983137 983141983150 B 983141983155

1 1 2 2 3 3( ) AB B A b a b a b ararr rarr

= minus = minus minus minus

983116A 983122EC983124A

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983137) 2 983152983157983150983156983151983155 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 ( ) A B 983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 983161 983155983157 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 ( ) A urarr

983126983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 ( ) u AB a b crarrrarr rarr

= = 983140983145983154983141983139983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983124983141983150983141983149983151983155 983157983150 9831529831579831509831569831511 1 1( ) A x y z= 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137 ( ) u a b c

rarrrarr

= 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155

E983139 983126983141983139983156983151983154983145983137983148 middot x A t u t rarr rarr rarr

= + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at

y y bt t

z z ct

= +

= + isin = +

ℝ

E983139 C9831519831509831569831459831509831579831371 1 1 x x y y z z

a b cminus minus minus= = E983139 G983141983150983141983154983137983148 983151 983145983149983152983148983277983139983145983156983137 0

0 Ax By C

A x B y C + + =

+ + =



E983116 983120983116A983118983119

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150 983152983148983137983150983151

983137) 3 983152983157983150983156983151983155 983140983141983148 983152983148983137983150983151 ( ) A B C

983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983153983157983141 983152983141983154983156983141983150983141983139983141 983137983148 983152983148983137983150983151 983161 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 ( ) A u vrarr rarr

983139) 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 (983158983141983139983156983151983154 983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137983148 983152983148983137983150983151)

983124983141983150983141983149983151983155 983157983150 983152983157983150983156983151 1 1 1( ) A x y z= 983161 983148983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 ( ) ( ) u a b c v a b crarr rarrrarr rarr

= = 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155

E983139

983126983141983139983156983151983154983145983137983148

x a t u s v t srarr rarr rarr rarr

= + + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at a s

y y bt b s t s

z z ct c s

= + +

= + + isin = + +

ℝ

E983139

983111983141983150983141983154983137983148

1 1 1

0

0

x x y y z z

a b c

a b c

Ax By Cz D

π

minus minus minus

equiv = rArr

rArr + + + =

E983139 983123983141983143983149983141983150983156983137983154983145983137

C983151983154983156983137 983137 983148983151983155 983141983146983141983155 983141983150

( 00)(0 0)(00 )

1

a b c

x y z

a b c

rArr

rArr + + =

983123983145 0 Ax By Cz Dπ equiv + + + = rArr 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148 983158983141983139983156983151983154 ( ) A B C rarr

983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983161 983157983150

983152983157983150983156983151

1 1 1

2 2 2

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

u a b crarr rarr

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

a b c

π

minus minus minus

equiv minus minus minus =

983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983156983154983141983155 983152983157983150983156983151983155

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

C x y z

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

π

minus minus minus


minus minus minus

983120983148983137983150983151

983139983151983150983151983139983145983141983150983140983151 983155983157

983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148

983161 983157983150 983152983157983150983156983151

1 1 1( )

( )

A x y z

n A B C rarr rarr

=

=

1 1 1

0 Ax By Cz D

D Ax By Cz

π equiv + + + =

= minus minus minus

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983120983116A983118983119983123

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D M

A B C D

=

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) 1

Rg M Rg M Se cor en recta

Rg M Rg M Paralelos

Rg M Rg M Son el mismo

= =

= =

= =



983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983124983122E983123 983120983116A983118983119983123

0

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

A x B y C z D

π

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3 tan 2 2

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2( ) ( ) 1

Rg M Rg M Se cor en punto

Rg M Rg M Se cor a


Rg M Rg M Paralelos Rg M Rg M Son el mismo

= =

= =

= =

= == =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983122EC983124A 983129 983120983116A983118983119

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Dπ

+ + + =equiv

+ + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelos

Rg M Rg M r contenida en π

= =

= =

= =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983122EC983124A983123

0

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Ds

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

+ + + =equiv

+ + + =

M

A B C D

A B C D M

A B C D

A B C D

=

( ) 3 ( ) 4( ) ( ) 3 tan

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2

Rg M Rg M Se cruzan Rg M Rg M Se cor

Rg M Rg M Paralelas

Rg M Rg M La misma recta

= =

= =

= =

= =

983112ACE983123 DE 983120983116A983118983119983123 C983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983152983148983137983150983151983155 983153983157983141 983158983141983154983145983142983145983139983137983150 983157983150983137 983139983151983150983140983145983139983145983283983150

983120A983122A983116E983116983119983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983155 983137

0 Ax By Cz Dπ equiv + + + =

0 Ax By Cz D

con D

π equiv + + + =

isin ℝ

983123ECA983118983124E983123 E983118

983125983118A 983122EC983124A

983123983141983139983137983150983156983141983155 983137 983148983137 983154983141983139983156983137

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

( ) ( ) 0

Ax By Cz D A x B y C z D

con

λ β

λ β

+ + + + + + + =

notin ℝ



983124983109983117983105 983126983113 983120983122983119983106983116983109983117983105983123 983117983241983124983122983113983107983119983123

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141

983152983157983150983156983151983155

( )d A B ABrarr

=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983154983141983139983156983137983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middotcos

middot

u varc

u vα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983152983148983137983150983151983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155

983158983141983139983156983151983154983141983155 983150983151983154983149983137983148983141983155

983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middot cos

middot

n narc

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983152983148983137983150983151 983161 983154983141983139983156983137

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983151

983141983150983156983154983141 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137

983154983141983139983156983137 983161 983141983148 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

middot

middot

n narcsen

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983120983157983150983156983151 983149983141983140983145983151

(983117) 983141983150983156983154983141 983120 983161 983121

2

P Q M

+=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137 983157983150 983152983148983137983150983151

π

1 1 1

1 1 1

2 2 2

( )

0

( )

P x y z

Ax By Cz D

Ax By Cz Dd P

A B C

π

π

=

equiv + + + =

+ + +=

+ +

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983154

( )

r r

r r

r

P punto exterior a r

A r u r A P u

d P r u

rarr

rarr rarr

rarr

isin isin

times

=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983154983141983139983156983137983155 983154 983161

983155 983153983157983141 983155983141 983139983154983157983162983137983150

( )

s s

r r

r s r s

r s

A s u s

A r u r

A A u ud s r

u u

rarr

rarr

rarr rarr rarr

rarr rarr

isin isin

isin isin

=

times

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118

983120983116A983118983119 π

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118A

983122EC983124A 983154

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE

983125983118A 983122EC983124A 983154

983123983119B983122E 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118A 983122EC983124A 983154

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137 983154

983153983157983141 983152983137983155983137 983152983151983154 983120 983161 983139983151983150

983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983141983148

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983141983148 983152983148983137983150983151

983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 983154 983153983157983141

983152983137983155983137 983152983151983154 983120 E983148 983158983141983139983156983151983154

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983154

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983150

983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983141 983154 (983120

983161 983121) 983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137

983155 983153983157983141 983139983151983150983156983145983141983150983141

983141983155983151983155 983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 (983120991257

983161 983121991257)

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

983120E983122983120E983118D983113C983125983116A983122 C983119983117983258983118 E983118983124983122E

D983119983123 983122EC983124A983123 983154 983161 983155 983121983125E 983123E

C983122983125983130A983118

s s

r r

A s u s

A r u r

rarr

rarr

isin isin

isin isin

det( ) 0

det( ) 0

r r r s

s s r s

A X u u ut

A X u u u

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

times =

equiv times =



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD= AB CDrarr rarr

times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD= AB AC ADrarr rarr rarr

983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6

AB AC ADrarr rarr rarr

983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123

x rarr infin x ararr

( )

( )

P xSe estudian los laterales

Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0

P x factorizan en x a si son polinomios

Q x = rArr minus

( )

( )

P x Divide por Maacuteximo grado

Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0

P x por el conjugado si no son polinomios

Q x = rArr

Por el conjugadoinfin minus infin rArr

( )1 nuacutemero einfin

rarr rArr rarr ( ) [ ]( )

lim ( ) lim ( )middot ( ) 1g x A

x x f x e donde A g x f x

rarrinfin rarrinfinrArr = minus





983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h

f x f a f a h f a f a

x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155

983141 983148 983141 983149 983141 983150 983156 983137 983148 983141 983155 ( ) f x k k = isin ℝ ( ) 0 f x = ( ) f x x= ( ) 1 f x =

( ) f x Ln x= 1( ) f x x= ( ) f x sen x= ( ) cos f x x=

D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus

( middot ) middot middot

( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f

f f e e f a a Ln a f

=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot

( ) (1 )middot sec middot

1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2

1 1( ) middot ( cos ) middot

1 1

1( ) middot

1

arc sen f f arc f f f f

arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a

f x f x f xSi oacute

g x g x g xrarr infin rarr infin rarr infin

infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123

x ararr 983161 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983140983141 983137 infin x rarr plusmn infin

983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx

xrarrplusmninfin rarrplusmninfin= = minus

983123983145 lim ( ) x f x prarrminusinfin = isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x

( ) ( ) f x dx F x Cte= +int

983120983122983119983120983113EDADE983123 DE 983116A983123 983113983118983124E983111983122A983116E983123 983113983118DEF983113983118983113DA983123

( )( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx+ = +int int int middot ( ) middot ( ) f x dx f x dxλ λ =int int

983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a

= =int int middot middot f

f f f ae f dx e a f dx

Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1

sen x dx x x dx sen x

x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2

middot cos cos middot

sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot

sen f f dx f f f dx sen f

f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1

arc sen f f dx arc f f

arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148

middot middot middotu dv u v v du= minusint int



983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123

983120983119983124E983118C983113A983116 983116983119983111A983122983245983124983117983113CA A983122C983119 983124A983118983111E983118983124E 983116983119983111A983122983113983124983117983119983085A983122C983119 983124A983118983111E983118983124E

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx

Q xint 983139983151983150 ( ) ( )grado P x gradoQ xlt 983155983145 983150983151 983155983141 983139983157983149983152983148983141 983155983141 983140983145983158983145983140983141 983151983138983156983141983150983145983141983150983140983151

Re ( )( )( )

( ) ( )

sto xP xdx Cociente x dx dx

Q x Divisor x= +int int int

F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155

FAC983124983119983122E983123 983123983113983117983120983116E983123 983137 983138 983139 FAC983124983119983122E983123 983117983258983116983124983113983120983116E9831233( ) x aminus 983111983122AD983119 2 983113983122983122ED983125C983113B983116E

2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +

minus minus minus 3 2

( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1

t t tg x dx dt x sen x

t t t = = = =

+ + +


httpslidepdfcomreaderfullresmen-mates-ii-bachillerato 1616

983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b

a f x dx F b F a= minusint

983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12

Aacuterea de f x entre y

f x dx

f x dx f x dx f x dx

minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983124983122A983123983120983125E983123983124At

a d a b c

A A b ed e f

c f

= rArr =

( )

( )

( )

( )

middot middot

middot middot

t t

t t t

t t

t t t

A A

A B A B

k A k A

A B B A

=

+ = +

=

=

983113983118983126E983122983123A ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 1

middot middott t A A A A A B B A

minus minus minusminus minus minus minus= = =

983120983119983124E983118C983113A middot middotmiddotn

n veces A A A A=

983122983137983150983143983151 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983141983155 983141983148 983150983290983149983141983154983151 983140983141 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983148983145983150983141983137983148983149983141983150983156983141 983145983150983140983141983152983141983150983140983145983141983150983156983141983155

983120983122983119983120983113EDADE983123 983120A983122A E983116 C983233983116C983125983116983119 DE983116 983122A983118983111983119

E 983148 983154 983137 983150 983143 983151 983150 983151

983158 983137 983154 983277 983137 983155 983145

983123983141 983152983141983154983149983157983156983137983150 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155

983123983141 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137 983151 983140983145983158983145983140983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983152983151983154 983157983150 983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148 983150983151 983150983157983148983151

A 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983155983141 983148983141 983155983157983149983137 983151 983154983141983155983156983137 983151983156983154983137 983152983137983154983137983148983141983148983137

E 983148 983154 983137 983150 983143 983151 983150 983151

983158 983137 983154 983277 983137 983155 983145 983155 983141

983155 983157 983152 983154 983145 983149 983141 983150

983116983137983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983150983157983148983137983155

983116983137983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983152983154983151983152983151983154983139983145983151983150983137983148983141983155 983137 983151983156983154983137983155 983152983137983154983137983148983141983148983137983155

983116983137983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 983137 983151983156983154983137983155 983152983137983154983137983148983141983148983137983155

E983139983157983137983139983145983151983150983141983155 983149983137983156983154983145983139983145983137983148983141983155 983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983137983155 983141983150 983148983137983155 983153983157983141 983148983137 983145983150983139983283983143983150983145983156983137 983141983155 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162

1

1

middot

middot middot

A X B X A B

X A B X B A

minus

minus

= rArr =

= rArr =



983124983109983117983105 983113983113 983108983109983124983109983122983117983113983118983105983118983124983109983123

D983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983141983155 983157983150983137 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983149983137983156983154983145983139983141983155 983139983157983137983140983154983137983140983137983155 983161 983157983150 983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148 det n M rarr ℝ


D983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 983151983154983140983141983150 2 D983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 983151983154983140983141983150 3

middot middota c

A a d b cb d

= = minus

11 12 13

11 22 33 31 12 23 13 21 32

21 22 23

31 22 13 11 32 23 33 12 21

31 32 33

( )

( )



a a a

+ + minus= =

minus + +

983120983122983119983120983113EDADE983123 DE 983116983119983123 DE983124E983122983117983113983118A983118983124E983123

1) 983123983145 983148983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983140983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983155983141 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983150

983141983150 983155983157983149983137983150983140983151983155 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983155983157983149983137 983140983141

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141983155 983153983157983141 983156983145983141983150983141983150 983141983150 983141983155983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983148983151983155983152983154983145983149983141983154983151983155 983161 983155983141983143983157983150983140983151983155 983155983157983149983137983150983140983151983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983137983149983141983150983156983141 983161 983141983150 983148983151983155

983140983141983149983265983155 983148983151983155 983149983145983155983149983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983153983157983141 983141983148 983145983150983145983139983145983137983148

2) 983123983145 983155983141 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983150 983124983119D983119983123 983148983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983140983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151

983139983151983148983157983149983150983137 983152983151983154 983157983150 983149983145983155983149983151 983150983290983149983141983154983151 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983153983157983141983140983137983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983140983151 983152983151983154 983140983145983139983144983151 983150983290983149983141983154983151

3) 983123983145 A y B 983155983151983150 983149983137983156983154983145983139983141983155 983139983157983137983140983154983137983140983137983155 983141983150983156983151983150983139983141983155


4) 983123983145 983155983141 983152983141983154983149983157983156983137983150 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162

983139983157983137983140983154983137983140983137 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983139983151983150 983154983141983155983152983141983139983156983151

983137983148 983145983150983145983139983145983137983148

5) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983139983151983150

983156983151983140983151983155 983155983157983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983150983157983148983151983155 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

6) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155

983145983143983157983137983148983141983155 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

7) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155

983152983154983151983152983151983154983139983145983151983150983137983148983141983155 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

8) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983157983150983137 983142983145983148983137 (983139983151983148983157983149983150983137)

983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 983140983141 983148983137983155 983154983141983155983156983137983150983156983141983155 983142983145983148983137983155 (983139983151983148983157983149983150983137983155) 983155983157

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

9) 983123983145 983137 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983155983141 983148983141

983155983157983149983137 983157983150983137 983152983137983154983137983148983141983148983137 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983150983151 983158983137983154983277983137

10) 983123983145 983137 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983155983141 983148983141

983155983157983149983137 983157983150983137 983152983137983154983137983148983141983148983137 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983157983150 983150983290983149983141983154983151 983155983157

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983150983151 983158983137983154983277983137

C983233983116C983125983116983119 DE 983125983118 DE983124E983122983117983113983118A983118983124E

983111A983125983123983123

983125983156983145983148983145983162983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141983148983151983155 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141983155 983155983141 983156983154983145983137983150983143983157983148983137

983140983145983139983144983151 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983123983141

983139983151983149983145983141983150983162983137 983152983151983154 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137

983139983151983148983157983149983150983137 983144983137983139983145983141983150983140983151 983139983141983154983151983155 983148983151983155

983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983145983150983142983141983154983145983151983154983141983155 98314098314198314811

a

983148983157983141983143983151 983152983151983154 983140983141983138983137983146983151 983140983141983148 22

a 991270

983117983137983156983154983145983162 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983137 983151 983117983141983150983151983154 ij M 983140983141983148

983141983148983141983149983141983150983156983151 ija 983141983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162 983151983138983156983141983150983145983140983137 983140983141

983153983157983145983156983137983154 983148983137 983142983145983148983137 983145 983161 983148983137 983139983151983148983157983149983150983137 983146

A983140983146983157983150983156983151 983140983141 ( 1) | |i jij ija M +

= minus

983117983137983156983154983145983162 983137983140983146983157983150983156983137 adj A 983141983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162 983142983151983154983149983137983140983137

983152983151983154 983148983151983155 983137983140983146983157983150983156983151983155 983140983141 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151

983120983119983122 AD983114983125983118983124983119983123

983123983145 983141983148983141983143983145983149983151983155 983139983157983137983148983153983157983145983141983154 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983141983148

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 983140983145983139983144983137 983149983137983156983154983145983162 983141983155

983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983155983157983149983137 983140983141 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141

983148983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983141983148983141983143983145983140983137 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983140983151

983152983151983154 983155983157 983137983140983146983157983150983156983151

983122983137983150983143983151 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983141983155 983141983148 983149983137983161983151983154 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983145983155983156983145983150983156983151 983140983141 983139983141983154983151 983139983151983150983156983141983150983145983140983151 983141983150 983148983137 983149983137983156983154983145983162

983117A983124983122983113983130 983113983118983126E983122983123A DE1 A Aminus


Aminus =



983124983109983117983105 983113983113983113 983123983113983123983124983109983117983105983123 983108983109 983109983107983125983105983107983113983119983118983109983123 983116983113983118983109983105983116983109983123

ax by c

a x b y c

+ =

+ =

ax bx cx d

a x b x c x d

a x b x c x d

+ + =

+ + = + + =

983122983141983155983151983148983158983141983154 983157983150 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155 983141983150983139983151983150983156983154983137983154

983124983119DA983123 983148983137983155 983152983151983155983145983138983148983141983155 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983140983141983148

983155983145983155983156983141983149983137

min (1 )( )

det min ( )

(sin )




infin

D983113983123C983125983123983113983251983118 DE 983125983118 983123983113983123983124E983117A

D983145983155983139983157983156983145983154 983157983150 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155

983145983150983140983145983139983137983154 983141983148 983156983145983152983151 983140983141

983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983153983157983141 983156983145983141983150983141 983141983148

983155983145983155983156983141983149983137 983123983145 983156983157983158983145983141983155983141 983157983150983152983137983154983265983149983141983156983154983151 983155983141 983140983141983138983141 983145983150983140983145983139983137

983141983148 983156983145983152983151 983140983141 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155

983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141983148 983158983137983148983151983154 983140983141983148

983152983137983154983265983149983141983156983154983151

983124E983119983122E983117A DE 983122983119983125C983112E983085F983122983119BE983118983113983125983123

middot

( ) ordm min( ) ( )

( ) ordm min

( ) ( ) ( ) ordm

M

a b c d d x





= = = rArr =

==

lt

= gt

( ) ( )

compatible



983117A983124983122983113983130

983113983118983126E983122983123A983111A983125983123983123 983111A983125983123983123983085983114983119983122DA983118 C983122A983117E983122

983123983145 983156983141983150983141983149983151983155 983153983157983141

1

middot

middot

M X B

X M Bminus

= rArr

=

983124983154983145983137983150983143983157983148983137983149983151983155 983148983137

983149983137983156983154983145983162 M 983161

983154983141983155983151983148983158983141983149983151983155 983140983141 983148983137

983290983148983156983145983149983137 983142983145983148983137 983137 983148983137

983152983154983145983149983141983154983137 983117983273983156983151983140983151 983140983141

983156983154983145983137983150983143983157983148983137983139983145983283983150

D983145983137983143983151983150983137983148983145983162983137983149983151983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162

M 983152983151983154 G983137983157983155983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151

983148983137983155 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983141983150 983148983137 983290983148983156983145983149983137

983139983151983148983157983149983150983137

983117983273983156983151983140983151 983140983141 983138983137983146983137983140983137 983161 983155983157983138983145983140983137

983123983145 983141983148 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155 983139983151983149983152983137983156983145983138983148983141 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983151 983139983137983140983137

983158983137983154983145983137983138983148983141 983141983155 983141983148 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150983156983154983141 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141

M 983139983151983150 983148983137 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983148983137 983158983137983154983145983137983138983148983141

983139983151983154983154983141983155983152983151983150983140983145983141983150983156983141 983155983157983155983156983145983156983157983145983140983137 983152983151983154 983137 983290983148983156983145983149983137

983139983151983148983157983149983150983137 B 983161 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 M



983124983109983117983105 983113983126 983126983109983107983124983119983122983109983123 983109983118 983109983116 983109983123983120983105983107983113983119


983158983141983139983156983151983154 983161 983139 983148983137 983156983141983154983139983137 983139983151983149983152983151983150983141983150983156983141 ( )a b crarr

= 983139983151983151983154983140983141983150983137983140983137983155 983140983141983148 983158983141983139983156983151983154

C983137983154983137983139983156983141983154983277983155983156983145983139983137983155 983140983141 983157983150 983158983141983139983156983151983154 983117983283983140983157983148983151 (983148983151983150983143983145983156983157983140) D983145983154983141983139983139983145983283983150 (983145983150983139983148983145983150983137983139983145983283983150) 983123983141983150983156983145983140983151 (983140983151983155 983152983151983155983145983138983148983141983155 983140983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983140983145983154983141983139983139983145983283983150)

983119

983152 983141 983154 983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155 983139 983151 983150 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155

983155983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 983152983151983154 983141983155983139983137983148983137983154

983122983141983143983148983137 983140983141983148

983152983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151

a b crarr rarr rarr

+ =

middot

middot middot

k a b k

k a k a

rarr rarr

rarr rarr

= isin

=

ℝ 3middot(2 45) (6 1215)

rarr rarr

minus = minus

(231) ( 15 3) (18 2)rarr rarr rarr


983139983151983150983155983141983154983158983137

0

0

Si k mismo sentido


gt

lt


urarr

983141983155 983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 9831409831411 2 3 nu u u u

rarr rarr rarr rarr



= + + + +



= + + + 983139983151983150 983137983148983143983290983150 0ia ne



rarr rarr rarr rarr

= + + + 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983140983141983138983141983150 983155983141983154 0ia =



B983137983155983141 983123983145 983141983155 983155983145983155983156983141983149983137 983143983141983150983141983154983137983140983151983154 983161 983148983145983150983141983137983148983149983141983150983156983141 983145983150983140983141983152983141983150983140983145983141983150983156983141 E983148 983150983290983149983141983154983151 983140983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 983139983151983145983150983139983145983140983141 983139983151983150 983148983137 983140983145983149983141983150983155983145983283983150 983140983141983148 983141983155983152983137983139983145983151

E9831503ℝ 983148983137 983138983137983155983141 983156983145983141983150983141 983141983160983137983139983156983137983149983141983150983156983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983161 983150983157983150983139983137 983152983157983141983140983141 983156983141983150983141983154 983149983265983155 983150983145 983149983141983150983151983155

983124983145983152983151983155 983140983141 983138983137983155983141 983118983151983154983149983137983140983137 (983149983145983155983149983151 983149983283983140983157983148983151=1) 983119983154983156983151983143983151983150983137983148 (983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154983141983155) 983119983154983156983151983150983151983154983149983137983148 (983150983151983154983149983137983140983137 983161 983151983154983156983151983143983151983150983137983148 983137 983148983137 983158983141983162)

983120 983154 983151 983140

983157 983139 983156 983151 983141 983155 983139 983137 983148 983137 983154 983140 983141 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155 983161 983152 983154 983151 983152 983145 983141 983137 983140

983141 983155


0


Siu v son nulos


rarr rarr

rarr rarr

=


ge


=


= =



+ = +



hArr =

crarr

ararr

brarr



983117983283983140983157983148983151 983140983141 983157983150 9831589831419831399831569831519831542 2 2 2 2 2


= + rArr = = + + + = + + + =

983233983150983143983157983148983151 α 983141983150983156983154983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 middot middot


middot middot

u v u vu v u v arc

u v u vα α α

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr


983120983154983151983140983157983139983156983151 983158983141983139983156983151983154983145983137983148 983140983141 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

DEF983113983118983113C983113983251983118

u v

u v

w

rarr rarr

rarr rarr

rarr

times =

= and =

=


=

D983145983154983141983139983139983145983283983150 wrarr

=983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 u y vrarr rarr

983123983141983150983156983145983140983151 wrarr

=983137983158983137983150983139983141 983155983137983139983137983139983151983154983139983144983151983155 983140983141

u a vrarr rarr

983120983122983119983120983113EDADE983123

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

u v v u

k u v k u v u k v

u v w u v u w

rarr rarr rarr rarr



times = minus times



C983233983116C983125983116983119

( )

( )

u x y z

v x y z

i j k

u v x y z x y z

rarr rarr

rarr rarr

rarr rarr

=

=

times =

983120983154983151983140983157983139983156983151 983149983145983160983156983151 983140983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155


= times ( ) ( ) ( )

x y z


x y z


983124983109983117983105 983126 983111983109983119983117983109983124983122983245983105 983108983109983116 983109983123983120983105983107983113983119

D983151983155 9831529831579831509831569831511 2 3( ) A a a a= 983161

1 2 3( ) B b b b= 983126983141983139983156983151983154 983153983157983141 983139983151983149983145983141983150983162983137 983141983150 A 983161 983156983141983154983149983145983150983137 983141983150 B 983141983155



983116A 983122EC983124A

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983137) 2 983152983157983150983156983151983155 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 ( ) A B 983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 983161 983155983157 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 ( ) A urarr


= = 983140983145983154983141983139983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983124983141983150983141983149983151983155 983157983150 9831529831579831509831569831511 1 1( ) A x y z= 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137 ( ) u a b c

rarrrarr

= 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155


= + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at

y y bt t

z z ct

= +

= + isin = +

ℝ

E983139 C9831519831509831569831459831509831579831371 1 1 x x y y z z


0 Ax By C

A x B y C + + =

+ + =



E983116 983120983116A983118983119

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150 983152983148983137983150983151

983137) 3 983152983157983150983156983151983155 983140983141983148 983152983148983137983150983151 ( ) A B C

983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983153983157983141 983152983141983154983156983141983150983141983139983141 983137983148 983152983148983137983150983151 983161 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 ( ) A u vrarr rarr

983139) 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 (983158983141983139983156983151983154 983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137983148 983152983148983137983150983151)


= = 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155

E983139

983126983141983139983156983151983154983145983137983148


= + + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at a s

y y bt b s t s

z z ct c s

= + +

= + + isin = + +

ℝ

E983139

983111983141983150983141983154983137983148

1 1 1

0

0

x x y y z z

a b c

a b c

Ax By Cz D

π

minus minus minus

equiv = rArr

rArr + + + =

E983139 983123983141983143983149983141983150983156983137983154983145983137

C983151983154983156983137 983137 983148983151983155 983141983146983141983155 983141983150

( 00)(0 0)(00 )

1

a b c

x y z

a b c

rArr

rArr + + =


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983161 983157983150

983152983157983150983156983151

1 1 1

2 2 2

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

u a b crarr rarr

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

a b c

π

minus minus minus


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983156983154983141983155 983152983157983150983156983151983155

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

C x y z

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

π

minus minus minus


minus minus minus

983120983148983137983150983151

983139983151983150983151983139983145983141983150983140983151 983155983157

983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148

983161 983157983150 983152983157983150983156983151

1 1 1( )

( )

A x y z

n A B C rarr rarr

=

=

1 1 1

0 Ax By Cz D

D Ax By Cz

π equiv + + + =

= minus minus minus

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983120983116A983118983119983123

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D M

A B C D

=

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) 1


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =



983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983124983122E983123 983120983116A983118983119983123

0

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

A x B y C z D

π

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3 tan 2 2

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2( ) ( ) 1


Rg M Rg M Se cor a



= =

= =

= =

= == =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983122EC983124A 983129 983120983116A983118983119

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Dπ

+ + + =equiv

+ + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983122EC983124A983123

0

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Ds

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

+ + + =equiv

+ + + =

M

A B C D

A B C D M

A B C D

A B C D

=

( ) 3 ( ) 4( ) ( ) 3 tan

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelas


= =

= =

= =

= =

983112ACE983123 DE 983120983116A983118983119983123 C983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983152983148983137983150983151983155 983153983157983141 983158983141983154983145983142983145983139983137983150 983157983150983137 983139983151983150983140983145983139983145983283983150

983120A983122A983116E983116983119983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983155 983137


0 Ax By Cz D

con D

π equiv + + + =

isin ℝ

983123ECA983118983124E983123 E983118

983125983118A 983122EC983124A

983123983141983139983137983150983156983141983155 983137 983148983137 983154983141983139983156983137

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

( ) ( ) 0


con

λ β

λ β

+ + + + + + + =

notin ℝ



983124983109983117983105 983126983113 983120983122983119983106983116983109983117983105983123 983117983241983124983122983113983107983119983123

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141

983152983157983150983156983151983155

( )d A B ABrarr

=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983154983141983139983156983137983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middotcos

middot

u varc

u vα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983152983148983137983150983151983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155

983158983141983139983156983151983154983141983155 983150983151983154983149983137983148983141983155

983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middot cos

middot

n narc

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983152983148983137983150983151 983161 983154983141983139983156983137

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983151

983141983150983156983154983141 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137

983154983141983139983156983137 983161 983141983148 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

middot

middot

n narcsen

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983120983157983150983156983151 983149983141983140983145983151

(983117) 983141983150983156983154983141 983120 983161 983121

2

P Q M

+=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137 983157983150 983152983148983137983150983151

π

1 1 1

1 1 1

2 2 2

( )

0

( )

P x y z

Ax By Cz D

Ax By Cz Dd P

A B C

π

π

=

equiv + + + =

+ + +=

+ +

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983154

( )

r r

r r

r


A r u r A P u

d P r u

rarr

rarr rarr

rarr

isin isin

times

=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983154983141983139983156983137983155 983154 983161

983155 983153983157983141 983155983141 983139983154983157983162983137983150

( )

s s

r r

r s r s

r s

A s u s

A r u r

A A u ud s r

u u

rarr

rarr

rarr rarr rarr

rarr rarr

isin isin

isin isin

=

times

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118

983120983116A983118983119 π

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118A

983122EC983124A 983154

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE

983125983118A 983122EC983124A 983154

983123983119B983122E 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118A 983122EC983124A 983154

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137 983154

983153983157983141 983152983137983155983137 983152983151983154 983120 983161 983139983151983150

983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983141983148

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983141983148 983152983148983137983150983151

983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 983154 983153983157983141

983152983137983155983137 983152983151983154 983120 E983148 983158983141983139983156983151983154

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983154

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983150

983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983141 983154 (983120

983161 983121) 983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137

983155 983153983157983141 983139983151983150983156983145983141983150983141

983141983155983151983155 983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 (983120991257

983161 983121991257)

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

983120E983122983120E983118D983113C983125983116A983122 C983119983117983258983118 E983118983124983122E

D983119983123 983122EC983124A983123 983154 983161 983155 983121983125E 983123E

C983122983125983130A983118

s s

r r

A s u s

A r u r

rarr

rarr

isin isin

isin isin

det( ) 0

det( ) 0

r r r s

s s r s

A X u u ut

A X u u u

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

times =

equiv times =



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155


times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155


983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6


983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123


( )

( )


Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0


Q x = rArr minus

( )

( )


Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0


Q x = rArr











983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983124983109983117983105 983113983113 983108983109983124983109983122983117983113983118983105983118983124983109983123

D983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983141983155 983157983150983137 983137983152983148983145983139983137983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983149983137983156983154983145983139983141983155 983139983157983137983140983154983137983140983137983155 983161 983157983150 983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148 det n M rarr ℝ


D983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 983151983154983140983141983150 2 D983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 983151983154983140983141983150 3

middot middota c

A a d b cb d

= = minus

11 12 13

11 22 33 31 12 23 13 21 32

21 22 23

31 22 13 11 32 23 33 12 21

31 32 33

( )

( )



a a a

+ + minus= =

minus + +

983120983122983119983120983113EDADE983123 DE 983116983119983123 DE983124E983122983117983113983118A983118983124E983123

1) 983123983145 983148983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983140983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983155983141 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983150

983141983150 983155983157983149983137983150983140983151983155 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983155983157983149983137 983140983141

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141983155 983153983157983141 983156983145983141983150983141983150 983141983150 983141983155983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983148983151983155983152983154983145983149983141983154983151983155 983161 983155983141983143983157983150983140983151983155 983155983157983149983137983150983140983151983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983137983149983141983150983156983141 983161 983141983150 983148983151983155

983140983141983149983265983155 983148983151983155 983149983145983155983149983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983153983157983141 983141983148 983145983150983145983139983145983137983148

2) 983123983145 983155983141 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983150 983124983119D983119983123 983148983151983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983140983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151

983139983151983148983157983149983150983137 983152983151983154 983157983150 983149983145983155983149983151 983150983290983149983141983154983151 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983153983157983141983140983137983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983140983151 983152983151983154 983140983145983139983144983151 983150983290983149983141983154983151

3) 983123983145 A y B 983155983151983150 983149983137983156983154983145983139983141983155 983139983157983137983140983154983137983140983137983155 983141983150983156983151983150983139983141983155


4) 983123983145 983155983141 983152983141983154983149983157983156983137983150 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162

983139983157983137983140983154983137983140983137 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983139983151983150 983154983141983155983152983141983139983156983151

983137983148 983145983150983145983139983145983137983148

5) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983139983151983150

983156983151983140983151983155 983155983157983155 983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983150983157983148983151983155 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

6) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155

983145983143983157983137983148983141983155 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

7) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983140983151983155 983142983145983148983137983155 983151 983139983151983148983157983149983150983137983155

983152983154983151983152983151983154983139983145983151983150983137983148983141983155 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

8) 983123983145 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983156983145983141983150983141 983157983150983137 983142983145983148983137 (983139983151983148983157983149983150983137)

983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 983140983141 983148983137983155 983154983141983155983156983137983150983156983141983155 983142983145983148983137983155 (983139983151983148983157983149983150983137983155) 983155983157

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983158983137983148983141 983139983141983154983151

9) 983123983145 983137 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983155983141 983148983141

983155983157983149983137 983157983150983137 983152983137983154983137983148983141983148983137 983155983157 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983150983151 983158983137983154983277983137

10) 983123983145 983137 983157983150983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983155983141 983148983141

983155983157983149983137 983157983150983137 983152983137983154983137983148983141983148983137 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983157983150 983150983290983149983141983154983151 983155983157

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983150983151 983158983137983154983277983137

C983233983116C983125983116983119 DE 983125983118 DE983124E983122983117983113983118A983118983124E

983111A983125983123983123

983125983156983145983148983145983162983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141983148983151983155 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141983155 983155983141 983156983154983145983137983150983143983157983148983137

983140983145983139983144983151 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983123983141

983139983151983149983145983141983150983162983137 983152983151983154 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137

983139983151983148983157983149983150983137 983144983137983139983145983141983150983140983151 983139983141983154983151983155 983148983151983155

983141983148983141983149983141983150983156983151983155 983145983150983142983141983154983145983151983154983141983155 98314098314198314811

a

983148983157983141983143983151 983152983151983154 983140983141983138983137983146983151 983140983141983148 22

a 991270

983117983137983156983154983145983162 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983137 983151 983117983141983150983151983154 ij M 983140983141983148

983141983148983141983149983141983150983156983151 ija 983141983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162 983151983138983156983141983150983145983140983137 983140983141

983153983157983145983156983137983154 983148983137 983142983145983148983137 983145 983161 983148983137 983139983151983148983157983149983150983137 983146

A983140983146983157983150983156983151 983140983141 ( 1) | |i jij ija M +

= minus

983117983137983156983154983145983162 983137983140983146983157983150983156983137 adj A 983141983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162 983142983151983154983149983137983140983137

983152983151983154 983148983151983155 983137983140983146983157983150983156983151983155 983140983141 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151

983120983119983122 AD983114983125983118983124983119983123

983123983145 983141983148983141983143983145983149983151983155 983139983157983137983148983153983157983145983141983154 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983139983157983137983140983154983137983140983137 983141983148

983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 983140983145983139983144983137 983149983137983156983154983145983162 983141983155

983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983155983157983149983137 983140983141 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141

983148983137 983142983145983148983137 983151 983139983151983148983157983149983150983137 983141983148983141983143983145983140983137 983149983157983148983156983145983152983148983145983139983137983140983151

983152983151983154 983155983157 983137983140983146983157983150983156983151

983122983137983150983143983151 983140983141 983157983150983137 983149983137983156983154983145983162 983141983155 983141983148 983149983137983161983151983154 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983145983155983156983145983150983156983151 983140983141 983139983141983154983151 983139983151983150983156983141983150983145983140983151 983141983150 983148983137 983149983137983156983154983145983162

983117A983124983122983113983130 983113983118983126E983122983123A DE1 A Aminus


Aminus =



983124983109983117983105 983113983113983113 983123983113983123983124983109983117983105983123 983108983109 983109983107983125983105983107983113983119983118983109983123 983116983113983118983109983105983116983109983123

ax by c

a x b y c

+ =

+ =

ax bx cx d

a x b x c x d

a x b x c x d

+ + =

+ + = + + =

983122983141983155983151983148983158983141983154 983157983150 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155 983141983150983139983151983150983156983154983137983154

983124983119DA983123 983148983137983155 983152983151983155983145983138983148983141983155 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983140983141983148

983155983145983155983156983141983149983137

min (1 )( )

det min ( )

(sin )




infin

D983113983123C983125983123983113983251983118 DE 983125983118 983123983113983123983124E983117A

D983145983155983139983157983156983145983154 983157983150 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155

983145983150983140983145983139983137983154 983141983148 983156983145983152983151 983140983141

983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983153983157983141 983156983145983141983150983141 983141983148

983155983145983155983156983141983149983137 983123983145 983156983157983158983145983141983155983141 983157983150983152983137983154983265983149983141983156983154983151 983155983141 983140983141983138983141 983145983150983140983145983139983137

983141983148 983156983145983152983151 983140983141 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155

983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141983148 983158983137983148983151983154 983140983141983148

983152983137983154983265983149983141983156983154983151

983124E983119983122E983117A DE 983122983119983125C983112E983085F983122983119BE983118983113983125983123

middot

( ) ordm min( ) ( )

( ) ordm min

( ) ( ) ( ) ordm

M

a b c d d x





= = = rArr =

==

lt

= gt

( ) ( )

compatible



983117A983124983122983113983130

983113983118983126E983122983123A983111A983125983123983123 983111A983125983123983123983085983114983119983122DA983118 C983122A983117E983122

983123983145 983156983141983150983141983149983151983155 983153983157983141

1

middot

middot

M X B

X M Bminus

= rArr

=

983124983154983145983137983150983143983157983148983137983149983151983155 983148983137

983149983137983156983154983145983162 M 983161

983154983141983155983151983148983158983141983149983151983155 983140983141 983148983137

983290983148983156983145983149983137 983142983145983148983137 983137 983148983137

983152983154983145983149983141983154983137 983117983273983156983151983140983151 983140983141

983156983154983145983137983150983143983157983148983137983139983145983283983150

D983145983137983143983151983150983137983148983145983162983137983149983151983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162

M 983152983151983154 G983137983157983155983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151

983148983137983155 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983141983150 983148983137 983290983148983156983145983149983137

983139983151983148983157983149983150983137

983117983273983156983151983140983151 983140983141 983138983137983146983137983140983137 983161 983155983157983138983145983140983137

983123983145 983141983148 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155 983139983151983149983152983137983156983145983138983148983141 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983151 983139983137983140983137

983158983137983154983145983137983138983148983141 983141983155 983141983148 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150983156983154983141 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141

M 983139983151983150 983148983137 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983148983137 983158983137983154983145983137983138983148983141

983139983151983154983154983141983155983152983151983150983140983145983141983150983156983141 983155983157983155983156983145983156983157983145983140983137 983152983151983154 983137 983290983148983156983145983149983137

983139983151983148983157983149983150983137 B 983161 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 M



983124983109983117983105 983113983126 983126983109983107983124983119983122983109983123 983109983118 983109983116 983109983123983120983105983107983113983119


983158983141983139983156983151983154 983161 983139 983148983137 983156983141983154983139983137 983139983151983149983152983151983150983141983150983156983141 ( )a b crarr

= 983139983151983151983154983140983141983150983137983140983137983155 983140983141983148 983158983141983139983156983151983154

C983137983154983137983139983156983141983154983277983155983156983145983139983137983155 983140983141 983157983150 983158983141983139983156983151983154 983117983283983140983157983148983151 (983148983151983150983143983145983156983157983140) D983145983154983141983139983139983145983283983150 (983145983150983139983148983145983150983137983139983145983283983150) 983123983141983150983156983145983140983151 (983140983151983155 983152983151983155983145983138983148983141983155 983140983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983140983145983154983141983139983139983145983283983150)

983119

983152 983141 983154 983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155 983139 983151 983150 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155

983155983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 983152983151983154 983141983155983139983137983148983137983154

983122983141983143983148983137 983140983141983148

983152983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151

a b crarr rarr rarr

+ =

middot

middot middot

k a b k

k a k a

rarr rarr

rarr rarr

= isin

=

ℝ 3middot(2 45) (6 1215)

rarr rarr

minus = minus

(231) ( 15 3) (18 2)rarr rarr rarr


983139983151983150983155983141983154983158983137

0

0

Si k mismo sentido


gt

lt


urarr

983141983155 983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 9831409831411 2 3 nu u u u

rarr rarr rarr rarr



= + + + +



= + + + 983139983151983150 983137983148983143983290983150 0ia ne



rarr rarr rarr rarr

= + + + 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983140983141983138983141983150 983155983141983154 0ia =



B983137983155983141 983123983145 983141983155 983155983145983155983156983141983149983137 983143983141983150983141983154983137983140983151983154 983161 983148983145983150983141983137983148983149983141983150983156983141 983145983150983140983141983152983141983150983140983145983141983150983156983141 E983148 983150983290983149983141983154983151 983140983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 983139983151983145983150983139983145983140983141 983139983151983150 983148983137 983140983145983149983141983150983155983145983283983150 983140983141983148 983141983155983152983137983139983145983151

E9831503ℝ 983148983137 983138983137983155983141 983156983145983141983150983141 983141983160983137983139983156983137983149983141983150983156983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983161 983150983157983150983139983137 983152983157983141983140983141 983156983141983150983141983154 983149983265983155 983150983145 983149983141983150983151983155

983124983145983152983151983155 983140983141 983138983137983155983141 983118983151983154983149983137983140983137 (983149983145983155983149983151 983149983283983140983157983148983151=1) 983119983154983156983151983143983151983150983137983148 (983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154983141983155) 983119983154983156983151983150983151983154983149983137983148 (983150983151983154983149983137983140983137 983161 983151983154983156983151983143983151983150983137983148 983137 983148983137 983158983141983162)

983120 983154 983151 983140

983157 983139 983156 983151 983141 983155 983139 983137 983148 983137 983154 983140 983141 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155 983161 983152 983154 983151 983152 983145 983141 983137 983140

983141 983155


0


Siu v son nulos


rarr rarr

rarr rarr

=


ge


=


= =



+ = +



hArr =

crarr

ararr

brarr



983117983283983140983157983148983151 983140983141 983157983150 9831589831419831399831569831519831542 2 2 2 2 2


= + rArr = = + + + = + + + =

983233983150983143983157983148983151 α 983141983150983156983154983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 middot middot


middot middot

u v u vu v u v arc

u v u vα α α

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr


983120983154983151983140983157983139983156983151 983158983141983139983156983151983154983145983137983148 983140983141 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

DEF983113983118983113C983113983251983118

u v

u v

w

rarr rarr

rarr rarr

rarr

times =

= and =

=


=

D983145983154983141983139983139983145983283983150 wrarr

=983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 u y vrarr rarr

983123983141983150983156983145983140983151 wrarr

=983137983158983137983150983139983141 983155983137983139983137983139983151983154983139983144983151983155 983140983141

u a vrarr rarr

983120983122983119983120983113EDADE983123

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

u v v u

k u v k u v u k v

u v w u v u w

rarr rarr rarr rarr



times = minus times



C983233983116C983125983116983119

( )

( )

u x y z

v x y z

i j k

u v x y z x y z

rarr rarr

rarr rarr

rarr rarr

=

=

times =

983120983154983151983140983157983139983156983151 983149983145983160983156983151 983140983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155


= times ( ) ( ) ( )

x y z


x y z


983124983109983117983105 983126 983111983109983119983117983109983124983122983245983105 983108983109983116 983109983123983120983105983107983113983119

D983151983155 9831529831579831509831569831511 2 3( ) A a a a= 983161

1 2 3( ) B b b b= 983126983141983139983156983151983154 983153983157983141 983139983151983149983145983141983150983162983137 983141983150 A 983161 983156983141983154983149983145983150983137 983141983150 B 983141983155



983116A 983122EC983124A

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983137) 2 983152983157983150983156983151983155 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 ( ) A B 983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 983161 983155983157 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 ( ) A urarr


= = 983140983145983154983141983139983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983124983141983150983141983149983151983155 983157983150 9831529831579831509831569831511 1 1( ) A x y z= 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137 ( ) u a b c

rarrrarr

= 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155


= + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at

y y bt t

z z ct

= +

= + isin = +

ℝ

E983139 C9831519831509831569831459831509831579831371 1 1 x x y y z z


0 Ax By C

A x B y C + + =

+ + =



E983116 983120983116A983118983119

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150 983152983148983137983150983151

983137) 3 983152983157983150983156983151983155 983140983141983148 983152983148983137983150983151 ( ) A B C

983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983153983157983141 983152983141983154983156983141983150983141983139983141 983137983148 983152983148983137983150983151 983161 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 ( ) A u vrarr rarr

983139) 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 (983158983141983139983156983151983154 983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137983148 983152983148983137983150983151)


= = 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155

E983139

983126983141983139983156983151983154983145983137983148


= + + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at a s

y y bt b s t s

z z ct c s

= + +

= + + isin = + +

ℝ

E983139

983111983141983150983141983154983137983148

1 1 1

0

0

x x y y z z

a b c

a b c

Ax By Cz D

π

minus minus minus

equiv = rArr

rArr + + + =

E983139 983123983141983143983149983141983150983156983137983154983145983137

C983151983154983156983137 983137 983148983151983155 983141983146983141983155 983141983150

( 00)(0 0)(00 )

1

a b c

x y z

a b c

rArr

rArr + + =


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983161 983157983150

983152983157983150983156983151

1 1 1

2 2 2

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

u a b crarr rarr

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

a b c

π

minus minus minus


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983156983154983141983155 983152983157983150983156983151983155

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

C x y z

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

π

minus minus minus


minus minus minus

983120983148983137983150983151

983139983151983150983151983139983145983141983150983140983151 983155983157

983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148

983161 983157983150 983152983157983150983156983151

1 1 1( )

( )

A x y z

n A B C rarr rarr

=

=

1 1 1

0 Ax By Cz D

D Ax By Cz

π equiv + + + =

= minus minus minus

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983120983116A983118983119983123

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D M

A B C D

=

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) 1


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =



983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983124983122E983123 983120983116A983118983119983123

0

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

A x B y C z D

π

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3 tan 2 2

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2( ) ( ) 1


Rg M Rg M Se cor a



= =

= =

= =

= == =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983122EC983124A 983129 983120983116A983118983119

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Dπ

+ + + =equiv

+ + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983122EC983124A983123

0

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Ds

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

+ + + =equiv

+ + + =

M

A B C D

A B C D M

A B C D

A B C D

=

( ) 3 ( ) 4( ) ( ) 3 tan

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelas


= =

= =

= =

= =

983112ACE983123 DE 983120983116A983118983119983123 C983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983152983148983137983150983151983155 983153983157983141 983158983141983154983145983142983145983139983137983150 983157983150983137 983139983151983150983140983145983139983145983283983150

983120A983122A983116E983116983119983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983155 983137


0 Ax By Cz D

con D

π equiv + + + =

isin ℝ

983123ECA983118983124E983123 E983118

983125983118A 983122EC983124A

983123983141983139983137983150983156983141983155 983137 983148983137 983154983141983139983156983137

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

( ) ( ) 0


con

λ β

λ β

+ + + + + + + =

notin ℝ



983124983109983117983105 983126983113 983120983122983119983106983116983109983117983105983123 983117983241983124983122983113983107983119983123

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141

983152983157983150983156983151983155

( )d A B ABrarr

=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983154983141983139983156983137983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middotcos

middot

u varc

u vα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983152983148983137983150983151983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155

983158983141983139983156983151983154983141983155 983150983151983154983149983137983148983141983155

983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middot cos

middot

n narc

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983152983148983137983150983151 983161 983154983141983139983156983137

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983151

983141983150983156983154983141 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137

983154983141983139983156983137 983161 983141983148 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

middot

middot

n narcsen

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983120983157983150983156983151 983149983141983140983145983151

(983117) 983141983150983156983154983141 983120 983161 983121

2

P Q M

+=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137 983157983150 983152983148983137983150983151

π

1 1 1

1 1 1

2 2 2

( )

0

( )

P x y z

Ax By Cz D

Ax By Cz Dd P

A B C

π

π

=

equiv + + + =

+ + +=

+ +

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983154

( )

r r

r r

r


A r u r A P u

d P r u

rarr

rarr rarr

rarr

isin isin

times

=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983154983141983139983156983137983155 983154 983161

983155 983153983157983141 983155983141 983139983154983157983162983137983150

( )

s s

r r

r s r s

r s

A s u s

A r u r

A A u ud s r

u u

rarr

rarr

rarr rarr rarr

rarr rarr

isin isin

isin isin

=

times

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118

983120983116A983118983119 π

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118A

983122EC983124A 983154

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE

983125983118A 983122EC983124A 983154

983123983119B983122E 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118A 983122EC983124A 983154

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137 983154

983153983157983141 983152983137983155983137 983152983151983154 983120 983161 983139983151983150

983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983141983148

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983141983148 983152983148983137983150983151

983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 983154 983153983157983141

983152983137983155983137 983152983151983154 983120 E983148 983158983141983139983156983151983154

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983154

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983150

983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983141 983154 (983120

983161 983121) 983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137

983155 983153983157983141 983139983151983150983156983145983141983150983141

983141983155983151983155 983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 (983120991257

983161 983121991257)

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

983120E983122983120E983118D983113C983125983116A983122 C983119983117983258983118 E983118983124983122E

D983119983123 983122EC983124A983123 983154 983161 983155 983121983125E 983123E

C983122983125983130A983118

s s

r r

A s u s

A r u r

rarr

rarr

isin isin

isin isin

det( ) 0

det( ) 0

r r r s

s s r s

A X u u ut

A X u u u

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

times =

equiv times =



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155


times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155


983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6


983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123


( )

( )


Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0


Q x = rArr minus

( )

( )


Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0


Q x = rArr











983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983124983109983117983105 983113983113983113 983123983113983123983124983109983117983105983123 983108983109 983109983107983125983105983107983113983119983118983109983123 983116983113983118983109983105983116983109983123

ax by c

a x b y c

+ =

+ =

ax bx cx d

a x b x c x d

a x b x c x d

+ + =

+ + = + + =

983122983141983155983151983148983158983141983154 983157983150 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155 983141983150983139983151983150983156983154983137983154

983124983119DA983123 983148983137983155 983152983151983155983145983138983148983141983155 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983140983141983148

983155983145983155983156983141983149983137

min (1 )( )

det min ( )

(sin )




infin

D983113983123C983125983123983113983251983118 DE 983125983118 983123983113983123983124E983117A

D983145983155983139983157983156983145983154 983157983150 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155

983145983150983140983145983139983137983154 983141983148 983156983145983152983151 983140983141

983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983153983157983141 983156983145983141983150983141 983141983148

983155983145983155983156983141983149983137 983123983145 983156983157983158983145983141983155983141 983157983150983152983137983154983265983149983141983156983154983151 983155983141 983140983141983138983141 983145983150983140983145983139983137

983141983148 983156983145983152983151 983140983141 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155

983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141983148 983158983137983148983151983154 983140983141983148

983152983137983154983265983149983141983156983154983151

983124E983119983122E983117A DE 983122983119983125C983112E983085F983122983119BE983118983113983125983123

middot

( ) ordm min( ) ( )

( ) ordm min

( ) ( ) ( ) ordm

M

a b c d d x





= = = rArr =

==

lt

= gt

( ) ( )

compatible



983117A983124983122983113983130

983113983118983126E983122983123A983111A983125983123983123 983111A983125983123983123983085983114983119983122DA983118 C983122A983117E983122

983123983145 983156983141983150983141983149983151983155 983153983157983141

1

middot

middot

M X B

X M Bminus

= rArr

=

983124983154983145983137983150983143983157983148983137983149983151983155 983148983137

983149983137983156983154983145983162 M 983161

983154983141983155983151983148983158983141983149983151983155 983140983141 983148983137

983290983148983156983145983149983137 983142983145983148983137 983137 983148983137

983152983154983145983149983141983154983137 983117983273983156983151983140983151 983140983141

983156983154983145983137983150983143983157983148983137983139983145983283983150

D983145983137983143983151983150983137983148983145983162983137983149983151983155 983148983137 983149983137983156983154983145983162

M 983152983151983154 G983137983157983155983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151

983148983137983155 983155983151983148983157983139983145983151983150983141983155 983141983150 983148983137 983290983148983156983145983149983137

983139983151983148983157983149983150983137

983117983273983156983151983140983151 983140983141 983138983137983146983137983140983137 983161 983155983157983138983145983140983137

983123983145 983141983148 983155983145983155983156983141983149983137 983141983155 983139983151983149983152983137983156983145983138983148983141 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983140983151 983139983137983140983137

983158983137983154983145983137983138983148983141 983141983155 983141983148 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150983156983154983141 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141

M 983139983151983150 983148983137 983139983151983148983157983149983150983137 983140983141 983148983137 983158983137983154983145983137983138983148983141

983139983151983154983154983141983155983152983151983150983140983145983141983150983156983141 983155983157983155983156983145983156983157983145983140983137 983152983151983154 983137 983290983148983156983145983149983137

983139983151983148983157983149983150983137 B 983161 983141983148 983140983141983156983141983154983149983145983150983137983150983156983141 983140983141 M



983124983109983117983105 983113983126 983126983109983107983124983119983122983109983123 983109983118 983109983116 983109983123983120983105983107983113983119


983158983141983139983156983151983154 983161 983139 983148983137 983156983141983154983139983137 983139983151983149983152983151983150983141983150983156983141 ( )a b crarr

= 983139983151983151983154983140983141983150983137983140983137983155 983140983141983148 983158983141983139983156983151983154

C983137983154983137983139983156983141983154983277983155983156983145983139983137983155 983140983141 983157983150 983158983141983139983156983151983154 983117983283983140983157983148983151 (983148983151983150983143983145983156983157983140) D983145983154983141983139983139983145983283983150 (983145983150983139983148983145983150983137983139983145983283983150) 983123983141983150983156983145983140983151 (983140983151983155 983152983151983155983145983138983148983141983155 983140983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983140983145983154983141983139983139983145983283983150)

983119

983152 983141 983154 983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155 983139 983151 983150 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155

983155983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 983152983151983154 983141983155983139983137983148983137983154

983122983141983143983148983137 983140983141983148

983152983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151

a b crarr rarr rarr

+ =

middot

middot middot

k a b k

k a k a

rarr rarr

rarr rarr

= isin

=

ℝ 3middot(2 45) (6 1215)

rarr rarr

minus = minus

(231) ( 15 3) (18 2)rarr rarr rarr


983139983151983150983155983141983154983158983137

0

0

Si k mismo sentido


gt

lt


urarr

983141983155 983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 9831409831411 2 3 nu u u u

rarr rarr rarr rarr



= + + + +



= + + + 983139983151983150 983137983148983143983290983150 0ia ne



rarr rarr rarr rarr

= + + + 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983140983141983138983141983150 983155983141983154 0ia =



B983137983155983141 983123983145 983141983155 983155983145983155983156983141983149983137 983143983141983150983141983154983137983140983151983154 983161 983148983145983150983141983137983148983149983141983150983156983141 983145983150983140983141983152983141983150983140983145983141983150983156983141 E983148 983150983290983149983141983154983151 983140983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 983139983151983145983150983139983145983140983141 983139983151983150 983148983137 983140983145983149983141983150983155983145983283983150 983140983141983148 983141983155983152983137983139983145983151

E9831503ℝ 983148983137 983138983137983155983141 983156983145983141983150983141 983141983160983137983139983156983137983149983141983150983156983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983161 983150983157983150983139983137 983152983157983141983140983141 983156983141983150983141983154 983149983265983155 983150983145 983149983141983150983151983155

983124983145983152983151983155 983140983141 983138983137983155983141 983118983151983154983149983137983140983137 (983149983145983155983149983151 983149983283983140983157983148983151=1) 983119983154983156983151983143983151983150983137983148 (983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154983141983155) 983119983154983156983151983150983151983154983149983137983148 (983150983151983154983149983137983140983137 983161 983151983154983156983151983143983151983150983137983148 983137 983148983137 983158983141983162)

983120 983154 983151 983140

983157 983139 983156 983151 983141 983155 983139 983137 983148 983137 983154 983140 983141 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155 983161 983152 983154 983151 983152 983145 983141 983137 983140

983141 983155


0


Siu v son nulos


rarr rarr

rarr rarr

=


ge


=


= =



+ = +



hArr =

crarr

ararr

brarr



983117983283983140983157983148983151 983140983141 983157983150 9831589831419831399831569831519831542 2 2 2 2 2


= + rArr = = + + + = + + + =

983233983150983143983157983148983151 α 983141983150983156983154983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 middot middot


middot middot

u v u vu v u v arc

u v u vα α α

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr


983120983154983151983140983157983139983156983151 983158983141983139983156983151983154983145983137983148 983140983141 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

DEF983113983118983113C983113983251983118

u v

u v

w

rarr rarr

rarr rarr

rarr

times =

= and =

=


=

D983145983154983141983139983139983145983283983150 wrarr

=983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 u y vrarr rarr

983123983141983150983156983145983140983151 wrarr

=983137983158983137983150983139983141 983155983137983139983137983139983151983154983139983144983151983155 983140983141

u a vrarr rarr

983120983122983119983120983113EDADE983123

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

u v v u

k u v k u v u k v

u v w u v u w

rarr rarr rarr rarr



times = minus times



C983233983116C983125983116983119

( )

( )

u x y z

v x y z

i j k

u v x y z x y z

rarr rarr

rarr rarr

rarr rarr

=

=

times =

983120983154983151983140983157983139983156983151 983149983145983160983156983151 983140983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155


= times ( ) ( ) ( )

x y z


x y z


983124983109983117983105 983126 983111983109983119983117983109983124983122983245983105 983108983109983116 983109983123983120983105983107983113983119

D983151983155 9831529831579831509831569831511 2 3( ) A a a a= 983161

1 2 3( ) B b b b= 983126983141983139983156983151983154 983153983157983141 983139983151983149983145983141983150983162983137 983141983150 A 983161 983156983141983154983149983145983150983137 983141983150 B 983141983155



983116A 983122EC983124A

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983137) 2 983152983157983150983156983151983155 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 ( ) A B 983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 983161 983155983157 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 ( ) A urarr


= = 983140983145983154983141983139983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983124983141983150983141983149983151983155 983157983150 9831529831579831509831569831511 1 1( ) A x y z= 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137 ( ) u a b c

rarrrarr

= 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155


= + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at

y y bt t

z z ct

= +

= + isin = +

ℝ

E983139 C9831519831509831569831459831509831579831371 1 1 x x y y z z


0 Ax By C

A x B y C + + =

+ + =



E983116 983120983116A983118983119

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150 983152983148983137983150983151

983137) 3 983152983157983150983156983151983155 983140983141983148 983152983148983137983150983151 ( ) A B C

983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983153983157983141 983152983141983154983156983141983150983141983139983141 983137983148 983152983148983137983150983151 983161 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 ( ) A u vrarr rarr

983139) 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 (983158983141983139983156983151983154 983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137983148 983152983148983137983150983151)


= = 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155

E983139

983126983141983139983156983151983154983145983137983148


= + + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at a s

y y bt b s t s

z z ct c s

= + +

= + + isin = + +

ℝ

E983139

983111983141983150983141983154983137983148

1 1 1

0

0

x x y y z z

a b c

a b c

Ax By Cz D

π

minus minus minus

equiv = rArr

rArr + + + =

E983139 983123983141983143983149983141983150983156983137983154983145983137

C983151983154983156983137 983137 983148983151983155 983141983146983141983155 983141983150

( 00)(0 0)(00 )

1

a b c

x y z

a b c

rArr

rArr + + =


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983161 983157983150

983152983157983150983156983151

1 1 1

2 2 2

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

u a b crarr rarr

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

a b c

π

minus minus minus


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983156983154983141983155 983152983157983150983156983151983155

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

C x y z

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

π

minus minus minus


minus minus minus

983120983148983137983150983151

983139983151983150983151983139983145983141983150983140983151 983155983157

983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148

983161 983157983150 983152983157983150983156983151

1 1 1( )

( )

A x y z

n A B C rarr rarr

=

=

1 1 1

0 Ax By Cz D

D Ax By Cz

π equiv + + + =

= minus minus minus

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983120983116A983118983119983123

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D M

A B C D

=

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) 1


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =



983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983124983122E983123 983120983116A983118983119983123

0

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

A x B y C z D

π

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3 tan 2 2

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2( ) ( ) 1


Rg M Rg M Se cor a



= =

= =

= =

= == =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983122EC983124A 983129 983120983116A983118983119

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Dπ

+ + + =equiv

+ + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983122EC983124A983123

0

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Ds

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

+ + + =equiv

+ + + =

M

A B C D

A B C D M

A B C D

A B C D

=

( ) 3 ( ) 4( ) ( ) 3 tan

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelas


= =

= =

= =

= =

983112ACE983123 DE 983120983116A983118983119983123 C983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983152983148983137983150983151983155 983153983157983141 983158983141983154983145983142983145983139983137983150 983157983150983137 983139983151983150983140983145983139983145983283983150

983120A983122A983116E983116983119983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983155 983137


0 Ax By Cz D

con D

π equiv + + + =

isin ℝ

983123ECA983118983124E983123 E983118

983125983118A 983122EC983124A

983123983141983139983137983150983156983141983155 983137 983148983137 983154983141983139983156983137

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

( ) ( ) 0


con

λ β

λ β

+ + + + + + + =

notin ℝ



983124983109983117983105 983126983113 983120983122983119983106983116983109983117983105983123 983117983241983124983122983113983107983119983123

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141

983152983157983150983156983151983155

( )d A B ABrarr

=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983154983141983139983156983137983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middotcos

middot

u varc

u vα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983152983148983137983150983151983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155

983158983141983139983156983151983154983141983155 983150983151983154983149983137983148983141983155

983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middot cos

middot

n narc

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983152983148983137983150983151 983161 983154983141983139983156983137

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983151

983141983150983156983154983141 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137

983154983141983139983156983137 983161 983141983148 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

middot

middot

n narcsen

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983120983157983150983156983151 983149983141983140983145983151

(983117) 983141983150983156983154983141 983120 983161 983121

2

P Q M

+=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137 983157983150 983152983148983137983150983151

π

1 1 1

1 1 1

2 2 2

( )

0

( )

P x y z

Ax By Cz D

Ax By Cz Dd P

A B C

π

π

=

equiv + + + =

+ + +=

+ +

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983154

( )

r r

r r

r


A r u r A P u

d P r u

rarr

rarr rarr

rarr

isin isin

times

=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983154983141983139983156983137983155 983154 983161

983155 983153983157983141 983155983141 983139983154983157983162983137983150

( )

s s

r r

r s r s

r s

A s u s

A r u r

A A u ud s r

u u

rarr

rarr

rarr rarr rarr

rarr rarr

isin isin

isin isin

=

times

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118

983120983116A983118983119 π

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118A

983122EC983124A 983154

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE

983125983118A 983122EC983124A 983154

983123983119B983122E 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118A 983122EC983124A 983154

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137 983154

983153983157983141 983152983137983155983137 983152983151983154 983120 983161 983139983151983150

983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983141983148

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983141983148 983152983148983137983150983151

983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 983154 983153983157983141

983152983137983155983137 983152983151983154 983120 E983148 983158983141983139983156983151983154

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983154

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983150

983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983141 983154 (983120

983161 983121) 983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137

983155 983153983157983141 983139983151983150983156983145983141983150983141

983141983155983151983155 983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 (983120991257

983161 983121991257)

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

983120E983122983120E983118D983113C983125983116A983122 C983119983117983258983118 E983118983124983122E

D983119983123 983122EC983124A983123 983154 983161 983155 983121983125E 983123E

C983122983125983130A983118

s s

r r

A s u s

A r u r

rarr

rarr

isin isin

isin isin

det( ) 0

det( ) 0

r r r s

s s r s

A X u u ut

A X u u u

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

times =

equiv times =



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155


times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155


983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6


983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123


( )

( )


Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0


Q x = rArr minus

( )

( )


Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0


Q x = rArr











983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983124983109983117983105 983113983126 983126983109983107983124983119983122983109983123 983109983118 983109983116 983109983123983120983105983107983113983119


983158983141983139983156983151983154 983161 983139 983148983137 983156983141983154983139983137 983139983151983149983152983151983150983141983150983156983141 ( )a b crarr

= 983139983151983151983154983140983141983150983137983140983137983155 983140983141983148 983158983141983139983156983151983154

C983137983154983137983139983156983141983154983277983155983156983145983139983137983155 983140983141 983157983150 983158983141983139983156983151983154 983117983283983140983157983148983151 (983148983151983150983143983145983156983157983140) D983145983154983141983139983139983145983283983150 (983145983150983139983148983145983150983137983139983145983283983150) 983123983141983150983156983145983140983151 (983140983151983155 983152983151983155983145983138983148983141983155 983140983141983150983156983154983151 983140983141 983148983137 983140983145983154983141983139983139983145983283983150)

983119

983152 983141 983154 983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155 983139 983151 983150 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155

983155983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 983152983151983154 983141983155983139983137983148983137983154

983122983141983143983148983137 983140983141983148

983152983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151

a b crarr rarr rarr

+ =

middot

middot middot

k a b k

k a k a

rarr rarr

rarr rarr

= isin

=

ℝ 3middot(2 45) (6 1215)

rarr rarr

minus = minus

(231) ( 15 3) (18 2)rarr rarr rarr


983139983151983150983155983141983154983158983137

0

0

Si k mismo sentido


gt

lt


urarr

983141983155 983139983151983149983138983145983150983137983139983145983283983150 983148983145983150983141983137983148 9831409831411 2 3 nu u u u

rarr rarr rarr rarr



= + + + +



= + + + 983139983151983150 983137983148983143983290983150 0ia ne



rarr rarr rarr rarr

= + + + 983156983151983140983151983155 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983140983141983138983141983150 983155983141983154 0ia =



B983137983155983141 983123983145 983141983155 983155983145983155983156983141983149983137 983143983141983150983141983154983137983140983151983154 983161 983148983145983150983141983137983148983149983141983150983156983141 983145983150983140983141983152983141983150983140983145983141983150983156983141 E983148 983150983290983149983141983154983151 983140983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 983139983151983145983150983139983145983140983141 983139983151983150 983148983137 983140983145983149983141983150983155983145983283983150 983140983141983148 983141983155983152983137983139983145983151

E9831503ℝ 983148983137 983138983137983155983141 983156983145983141983150983141 983141983160983137983139983156983137983149983141983150983156983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983161 983150983157983150983139983137 983152983157983141983140983141 983156983141983150983141983154 983149983265983155 983150983145 983149983141983150983151983155

983124983145983152983151983155 983140983141 983138983137983155983141 983118983151983154983149983137983140983137 (983149983145983155983149983151 983149983283983140983157983148983151=1) 983119983154983156983151983143983151983150983137983148 (983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154983141983155) 983119983154983156983151983150983151983154983149983137983148 (983150983151983154983149983137983140983137 983161 983151983154983156983151983143983151983150983137983148 983137 983148983137 983158983141983162)

983120 983154 983151 983140

983157 983139 983156 983151 983141 983155 983139 983137 983148 983137 983154 983140 983141 983158 983141 983139 983156 983151 983154 983141 983155 983161 983152 983154 983151 983152 983145 983141 983137 983140

983141 983155


0


Siu v son nulos


rarr rarr

rarr rarr

=


ge


=


= =



+ = +



hArr =

crarr

ararr

brarr



983117983283983140983157983148983151 983140983141 983157983150 9831589831419831399831569831519831542 2 2 2 2 2


= + rArr = = + + + = + + + =

983233983150983143983157983148983151 α 983141983150983156983154983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 middot middot


middot middot

u v u vu v u v arc

u v u vα α α

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr


983120983154983151983140983157983139983156983151 983158983141983139983156983151983154983145983137983148 983140983141 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

DEF983113983118983113C983113983251983118

u v

u v

w

rarr rarr

rarr rarr

rarr

times =

= and =

=


=

D983145983154983141983139983139983145983283983150 wrarr

=983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 u y vrarr rarr

983123983141983150983156983145983140983151 wrarr

=983137983158983137983150983139983141 983155983137983139983137983139983151983154983139983144983151983155 983140983141

u a vrarr rarr

983120983122983119983120983113EDADE983123

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

u v v u

k u v k u v u k v

u v w u v u w

rarr rarr rarr rarr



times = minus times



C983233983116C983125983116983119

( )

( )

u x y z

v x y z

i j k

u v x y z x y z

rarr rarr

rarr rarr

rarr rarr

=

=

times =

983120983154983151983140983157983139983156983151 983149983145983160983156983151 983140983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155


= times ( ) ( ) ( )

x y z


x y z


983124983109983117983105 983126 983111983109983119983117983109983124983122983245983105 983108983109983116 983109983123983120983105983107983113983119

D983151983155 9831529831579831509831569831511 2 3( ) A a a a= 983161

1 2 3( ) B b b b= 983126983141983139983156983151983154 983153983157983141 983139983151983149983145983141983150983162983137 983141983150 A 983161 983156983141983154983149983145983150983137 983141983150 B 983141983155



983116A 983122EC983124A

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983137) 2 983152983157983150983156983151983155 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 ( ) A B 983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 983161 983155983157 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 ( ) A urarr


= = 983140983145983154983141983139983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983124983141983150983141983149983151983155 983157983150 9831529831579831509831569831511 1 1( ) A x y z= 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137 ( ) u a b c

rarrrarr

= 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155


= + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at

y y bt t

z z ct

= +

= + isin = +

ℝ

E983139 C9831519831509831569831459831509831579831371 1 1 x x y y z z


0 Ax By C

A x B y C + + =

+ + =



E983116 983120983116A983118983119

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150 983152983148983137983150983151

983137) 3 983152983157983150983156983151983155 983140983141983148 983152983148983137983150983151 ( ) A B C

983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983153983157983141 983152983141983154983156983141983150983141983139983141 983137983148 983152983148983137983150983151 983161 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 ( ) A u vrarr rarr

983139) 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 (983158983141983139983156983151983154 983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137983148 983152983148983137983150983151)


= = 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155

E983139

983126983141983139983156983151983154983145983137983148


= + + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at a s

y y bt b s t s

z z ct c s

= + +

= + + isin = + +

ℝ

E983139

983111983141983150983141983154983137983148

1 1 1

0

0

x x y y z z

a b c

a b c

Ax By Cz D

π

minus minus minus

equiv = rArr

rArr + + + =

E983139 983123983141983143983149983141983150983156983137983154983145983137

C983151983154983156983137 983137 983148983151983155 983141983146983141983155 983141983150

( 00)(0 0)(00 )

1

a b c

x y z

a b c

rArr

rArr + + =


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983161 983157983150

983152983157983150983156983151

1 1 1

2 2 2

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

u a b crarr rarr

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

a b c

π

minus minus minus


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983156983154983141983155 983152983157983150983156983151983155

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

C x y z

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

π

minus minus minus


minus minus minus

983120983148983137983150983151

983139983151983150983151983139983145983141983150983140983151 983155983157

983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148

983161 983157983150 983152983157983150983156983151

1 1 1( )

( )

A x y z

n A B C rarr rarr

=

=

1 1 1

0 Ax By Cz D

D Ax By Cz

π equiv + + + =

= minus minus minus

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983120983116A983118983119983123

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D M

A B C D

=

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) 1


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =



983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983124983122E983123 983120983116A983118983119983123

0

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

A x B y C z D

π

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3 tan 2 2

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2( ) ( ) 1


Rg M Rg M Se cor a



= =

= =

= =

= == =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983122EC983124A 983129 983120983116A983118983119

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Dπ

+ + + =equiv

+ + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983122EC983124A983123

0

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Ds

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

+ + + =equiv

+ + + =

M

A B C D

A B C D M

A B C D

A B C D

=

( ) 3 ( ) 4( ) ( ) 3 tan

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelas


= =

= =

= =

= =

983112ACE983123 DE 983120983116A983118983119983123 C983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983152983148983137983150983151983155 983153983157983141 983158983141983154983145983142983145983139983137983150 983157983150983137 983139983151983150983140983145983139983145983283983150

983120A983122A983116E983116983119983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983155 983137


0 Ax By Cz D

con D

π equiv + + + =

isin ℝ

983123ECA983118983124E983123 E983118

983125983118A 983122EC983124A

983123983141983139983137983150983156983141983155 983137 983148983137 983154983141983139983156983137

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

( ) ( ) 0


con

λ β

λ β

+ + + + + + + =

notin ℝ



983124983109983117983105 983126983113 983120983122983119983106983116983109983117983105983123 983117983241983124983122983113983107983119983123

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141

983152983157983150983156983151983155

( )d A B ABrarr

=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983154983141983139983156983137983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middotcos

middot

u varc

u vα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983152983148983137983150983151983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155

983158983141983139983156983151983154983141983155 983150983151983154983149983137983148983141983155

983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middot cos

middot

n narc

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983152983148983137983150983151 983161 983154983141983139983156983137

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983151

983141983150983156983154983141 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137

983154983141983139983156983137 983161 983141983148 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

middot

middot

n narcsen

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983120983157983150983156983151 983149983141983140983145983151

(983117) 983141983150983156983154983141 983120 983161 983121

2

P Q M

+=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137 983157983150 983152983148983137983150983151

π

1 1 1

1 1 1

2 2 2

( )

0

( )

P x y z

Ax By Cz D

Ax By Cz Dd P

A B C

π

π

=

equiv + + + =

+ + +=

+ +

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983154

( )

r r

r r

r


A r u r A P u

d P r u

rarr

rarr rarr

rarr

isin isin

times

=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983154983141983139983156983137983155 983154 983161

983155 983153983157983141 983155983141 983139983154983157983162983137983150

( )

s s

r r

r s r s

r s

A s u s

A r u r

A A u ud s r

u u

rarr

rarr

rarr rarr rarr

rarr rarr

isin isin

isin isin

=

times

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118

983120983116A983118983119 π

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118A

983122EC983124A 983154

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE

983125983118A 983122EC983124A 983154

983123983119B983122E 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118A 983122EC983124A 983154

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137 983154

983153983157983141 983152983137983155983137 983152983151983154 983120 983161 983139983151983150

983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983141983148

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983141983148 983152983148983137983150983151

983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 983154 983153983157983141

983152983137983155983137 983152983151983154 983120 E983148 983158983141983139983156983151983154

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983154

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983150

983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983141 983154 (983120

983161 983121) 983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137

983155 983153983157983141 983139983151983150983156983145983141983150983141

983141983155983151983155 983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 (983120991257

983161 983121991257)

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

983120E983122983120E983118D983113C983125983116A983122 C983119983117983258983118 E983118983124983122E

D983119983123 983122EC983124A983123 983154 983161 983155 983121983125E 983123E

C983122983125983130A983118

s s

r r

A s u s

A r u r

rarr

rarr

isin isin

isin isin

det( ) 0

det( ) 0

r r r s

s s r s

A X u u ut

A X u u u

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

times =

equiv times =



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155


times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155


983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6


983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123


( )

( )


Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0


Q x = rArr minus

( )

( )


Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0


Q x = rArr











983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983117983283983140983157983148983151 983140983141 983157983150 9831589831419831399831569831519831542 2 2 2 2 2


= + rArr = = + + + = + + + =

983233983150983143983157983148983151 α 983141983150983156983154983141 983158983141983139983156983151983154983141983155 middot middot


middot middot

u v u vu v u v arc

u v u vα α α

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr


983120983154983151983140983157983139983156983151 983158983141983139983156983151983154983145983137983148 983140983141 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

DEF983113983118983113C983113983251983118

u v

u v

w

rarr rarr

rarr rarr

rarr

times =

= and =

=


=

D983145983154983141983139983139983145983283983150 wrarr

=983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 u y vrarr rarr

983123983141983150983156983145983140983151 wrarr

=983137983158983137983150983139983141 983155983137983139983137983139983151983154983139983144983151983155 983140983141

u a vrarr rarr

983120983122983119983120983113EDADE983123

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

u v v u

k u v k u v u k v

u v w u v u w

rarr rarr rarr rarr



times = minus times



C983233983116C983125983116983119

( )

( )

u x y z

v x y z

i j k

u v x y z x y z

rarr rarr

rarr rarr

rarr rarr

=

=

times =

983120983154983151983140983157983139983156983151 983149983145983160983156983151 983140983141 983156983154983141983155 983158983141983139983156983151983154983141983155


= times ( ) ( ) ( )

x y z


x y z


983124983109983117983105 983126 983111983109983119983117983109983124983122983245983105 983108983109983116 983109983123983120983105983107983113983119

D983151983155 9831529831579831509831569831511 2 3( ) A a a a= 983161

1 2 3( ) B b b b= 983126983141983139983156983151983154 983153983157983141 983139983151983149983145983141983150983162983137 983141983150 A 983161 983156983141983154983149983145983150983137 983141983150 B 983141983155



983116A 983122EC983124A

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983137) 2 983152983157983150983156983151983155 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 ( ) A B 983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983152983151983154 983141983148 983153983157983141 983152983137983155983137 983161 983155983157 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 ( ) A urarr


= = 983140983145983154983141983139983139983145983283983150 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983124983141983150983141983149983151983155 983157983150 9831529831579831509831569831511 1 1( ) A x y z= 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137 ( ) u a b c

rarrrarr

= 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155


= + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at

y y bt t

z z ct

= +

= + isin = +

ℝ

E983139 C9831519831509831569831459831509831579831371 1 1 x x y y z z


0 Ax By C

A x B y C + + =

+ + =



E983116 983120983116A983118983119

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150 983152983148983137983150983151

983137) 3 983152983157983150983156983151983155 983140983141983148 983152983148983137983150983151 ( ) A B C

983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983153983157983141 983152983141983154983156983141983150983141983139983141 983137983148 983152983148983137983150983151 983161 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 ( ) A u vrarr rarr

983139) 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 (983158983141983139983156983151983154 983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137983148 983152983148983137983150983151)


= = 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155

E983139

983126983141983139983156983151983154983145983137983148


= + + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at a s

y y bt b s t s

z z ct c s

= + +

= + + isin = + +

ℝ

E983139

983111983141983150983141983154983137983148

1 1 1

0

0

x x y y z z

a b c

a b c

Ax By Cz D

π

minus minus minus

equiv = rArr

rArr + + + =

E983139 983123983141983143983149983141983150983156983137983154983145983137

C983151983154983156983137 983137 983148983151983155 983141983146983141983155 983141983150

( 00)(0 0)(00 )

1

a b c

x y z

a b c

rArr

rArr + + =


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983161 983157983150

983152983157983150983156983151

1 1 1

2 2 2

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

u a b crarr rarr

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

a b c

π

minus minus minus


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983156983154983141983155 983152983157983150983156983151983155

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

C x y z

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

π

minus minus minus


minus minus minus

983120983148983137983150983151

983139983151983150983151983139983145983141983150983140983151 983155983157

983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148

983161 983157983150 983152983157983150983156983151

1 1 1( )

( )

A x y z

n A B C rarr rarr

=

=

1 1 1

0 Ax By Cz D

D Ax By Cz

π equiv + + + =

= minus minus minus

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983120983116A983118983119983123

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D M

A B C D

=

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) 1


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =



983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983124983122E983123 983120983116A983118983119983123

0

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

A x B y C z D

π

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3 tan 2 2

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2( ) ( ) 1


Rg M Rg M Se cor a



= =

= =

= =

= == =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983122EC983124A 983129 983120983116A983118983119

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Dπ

+ + + =equiv

+ + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983122EC983124A983123

0

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Ds

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

+ + + =equiv

+ + + =

M

A B C D

A B C D M

A B C D

A B C D

=

( ) 3 ( ) 4( ) ( ) 3 tan

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelas


= =

= =

= =

= =

983112ACE983123 DE 983120983116A983118983119983123 C983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983152983148983137983150983151983155 983153983157983141 983158983141983154983145983142983145983139983137983150 983157983150983137 983139983151983150983140983145983139983145983283983150

983120A983122A983116E983116983119983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983155 983137


0 Ax By Cz D

con D

π equiv + + + =

isin ℝ

983123ECA983118983124E983123 E983118

983125983118A 983122EC983124A

983123983141983139983137983150983156983141983155 983137 983148983137 983154983141983139983156983137

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

( ) ( ) 0


con

λ β

λ β

+ + + + + + + =

notin ℝ



983124983109983117983105 983126983113 983120983122983119983106983116983109983117983105983123 983117983241983124983122983113983107983119983123

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141

983152983157983150983156983151983155

( )d A B ABrarr

=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983154983141983139983156983137983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middotcos

middot

u varc

u vα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983152983148983137983150983151983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155

983158983141983139983156983151983154983141983155 983150983151983154983149983137983148983141983155

983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middot cos

middot

n narc

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983152983148983137983150983151 983161 983154983141983139983156983137

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983151

983141983150983156983154983141 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137

983154983141983139983156983137 983161 983141983148 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

middot

middot

n narcsen

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983120983157983150983156983151 983149983141983140983145983151

(983117) 983141983150983156983154983141 983120 983161 983121

2

P Q M

+=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137 983157983150 983152983148983137983150983151

π

1 1 1

1 1 1

2 2 2

( )

0

( )

P x y z

Ax By Cz D

Ax By Cz Dd P

A B C

π

π

=

equiv + + + =

+ + +=

+ +

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983154

( )

r r

r r

r


A r u r A P u

d P r u

rarr

rarr rarr

rarr

isin isin

times

=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983154983141983139983156983137983155 983154 983161

983155 983153983157983141 983155983141 983139983154983157983162983137983150

( )

s s

r r

r s r s

r s

A s u s

A r u r

A A u ud s r

u u

rarr

rarr

rarr rarr rarr

rarr rarr

isin isin

isin isin

=

times

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118

983120983116A983118983119 π

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118A

983122EC983124A 983154

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE

983125983118A 983122EC983124A 983154

983123983119B983122E 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118A 983122EC983124A 983154

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137 983154

983153983157983141 983152983137983155983137 983152983151983154 983120 983161 983139983151983150

983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983141983148

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983141983148 983152983148983137983150983151

983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 983154 983153983157983141

983152983137983155983137 983152983151983154 983120 E983148 983158983141983139983156983151983154

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983154

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983150

983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983141 983154 (983120

983161 983121) 983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137

983155 983153983157983141 983139983151983150983156983145983141983150983141

983141983155983151983155 983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 (983120991257

983161 983121991257)

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

983120E983122983120E983118D983113C983125983116A983122 C983119983117983258983118 E983118983124983122E

D983119983123 983122EC983124A983123 983154 983161 983155 983121983125E 983123E

C983122983125983130A983118

s s

r r

A s u s

A r u r

rarr

rarr

isin isin

isin isin

det( ) 0

det( ) 0

r r r s

s s r s

A X u u ut

A X u u u

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

times =

equiv times =



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155


times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155


983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6


983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123


( )

( )


Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0


Q x = rArr minus

( )

( )


Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0


Q x = rArr











983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



E983116 983120983116A983118983119

D983141983156983141983154983149983145983150983137 983157983150 983152983148983137983150983151

983137) 3 983152983157983150983156983151983155 983140983141983148 983152983148983137983150983151 ( ) A B C

983138) 983157983150 983152983157983150983156983151 983153983157983141 983152983141983154983156983141983150983141983139983141 983137983148 983152983148983137983150983151 983161 983140983151983155 983158983141983139983156983151983154983141983155 983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 ( ) A u vrarr rarr

983139) 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983161 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 (983158983141983139983156983151983154 983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137983148 983152983148983137983150983151)


= = 983144983137983148983148983137983149983151983155 983155983157983155 983141983139983157983137983139983145983151983150983141983155

E983139

983126983141983139983156983151983154983145983137983148


= + + isin ℝ E983139 983120983137983154983137983149983273983156983154983145983139983137

1

1

1

x x at a s

y y bt b s t s

z z ct c s

= + +

= + + isin = + +

ℝ

E983139

983111983141983150983141983154983137983148

1 1 1

0

0

x x y y z z

a b c

a b c

Ax By Cz D

π

minus minus minus

equiv = rArr

rArr + + + =

E983139 983123983141983143983149983141983150983156983137983154983145983137

C983151983154983156983137 983137 983148983151983155 983141983146983141983155 983141983150

( 00)(0 0)(00 )

1

a b c

x y z

a b c

rArr

rArr + + =


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983161 983157983150

983152983157983150983156983151

1 1 1

2 2 2

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

u a b crarr rarr

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

a b c

π

minus minus minus


983120983148983137983150983151

983139983151983150983156983141983150983145983141983150983140983151

983156983154983141983155 983152983157983150983156983151983155

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( )

( )

( )

A x y z

B x y z

C x y z

=

=

=

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

π

minus minus minus


minus minus minus

983120983148983137983150983151

983139983151983150983151983139983145983141983150983140983151 983155983157

983158983141983139983156983151983154 983150983151983154983149983137983148

983161 983157983150 983152983157983150983156983151

1 1 1( )

( )

A x y z

n A B C rarr rarr

=

=

1 1 1

0 Ax By Cz D

D Ax By Cz

π equiv + + + =

= minus minus minus

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983120983116A983118983119983123

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D M

A B C D

=

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) 1


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =



983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983124983122E983123 983120983116A983118983119983123

0

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

A x B y C z D

π

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3 tan 2 2

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2( ) ( ) 1


Rg M Rg M Se cor a



= =

= =

= =

= == =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983122EC983124A 983129 983120983116A983118983119

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Dπ

+ + + =equiv

+ + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983122EC983124A983123

0

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Ds

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

+ + + =equiv

+ + + =

M

A B C D

A B C D M

A B C D

A B C D

=

( ) 3 ( ) 4( ) ( ) 3 tan

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelas


= =

= =

= =

= =

983112ACE983123 DE 983120983116A983118983119983123 C983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983152983148983137983150983151983155 983153983157983141 983158983141983154983145983142983145983139983137983150 983157983150983137 983139983151983150983140983145983139983145983283983150

983120A983122A983116E983116983119983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983155 983137


0 Ax By Cz D

con D

π equiv + + + =

isin ℝ

983123ECA983118983124E983123 E983118

983125983118A 983122EC983124A

983123983141983139983137983150983156983141983155 983137 983148983137 983154983141983139983156983137

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

( ) ( ) 0


con

λ β

λ β

+ + + + + + + =

notin ℝ



983124983109983117983105 983126983113 983120983122983119983106983116983109983117983105983123 983117983241983124983122983113983107983119983123

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141

983152983157983150983156983151983155

( )d A B ABrarr

=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983154983141983139983156983137983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middotcos

middot

u varc

u vα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983152983148983137983150983151983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155

983158983141983139983156983151983154983141983155 983150983151983154983149983137983148983141983155

983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middot cos

middot

n narc

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983152983148983137983150983151 983161 983154983141983139983156983137

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983151

983141983150983156983154983141 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137

983154983141983139983156983137 983161 983141983148 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

middot

middot

n narcsen

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983120983157983150983156983151 983149983141983140983145983151

(983117) 983141983150983156983154983141 983120 983161 983121

2

P Q M

+=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137 983157983150 983152983148983137983150983151

π

1 1 1

1 1 1

2 2 2

( )

0

( )

P x y z

Ax By Cz D

Ax By Cz Dd P

A B C

π

π

=

equiv + + + =

+ + +=

+ +

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983154

( )

r r

r r

r


A r u r A P u

d P r u

rarr

rarr rarr

rarr

isin isin

times

=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983154983141983139983156983137983155 983154 983161

983155 983153983157983141 983155983141 983139983154983157983162983137983150

( )

s s

r r

r s r s

r s

A s u s

A r u r

A A u ud s r

u u

rarr

rarr

rarr rarr rarr

rarr rarr

isin isin

isin isin

=

times

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118

983120983116A983118983119 π

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118A

983122EC983124A 983154

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE

983125983118A 983122EC983124A 983154

983123983119B983122E 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118A 983122EC983124A 983154

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137 983154

983153983157983141 983152983137983155983137 983152983151983154 983120 983161 983139983151983150

983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983141983148

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983141983148 983152983148983137983150983151

983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 983154 983153983157983141

983152983137983155983137 983152983151983154 983120 E983148 983158983141983139983156983151983154

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983154

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983150

983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983141 983154 (983120

983161 983121) 983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137

983155 983153983157983141 983139983151983150983156983145983141983150983141

983141983155983151983155 983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 (983120991257

983161 983121991257)

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

983120E983122983120E983118D983113C983125983116A983122 C983119983117983258983118 E983118983124983122E

D983119983123 983122EC983124A983123 983154 983161 983155 983121983125E 983123E

C983122983125983130A983118

s s

r r

A s u s

A r u r

rarr

rarr

isin isin

isin isin

det( ) 0

det( ) 0

r r r s

s s r s

A X u u ut

A X u u u

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

times =

equiv times =



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155


times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155


983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6


983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123


( )

( )


Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0


Q x = rArr minus

( )

( )


Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0


Q x = rArr











983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983124983122E983123 983120983116A983118983119983123

0

0

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

A x B y C z D

π

π

π

equiv + + + =

equiv + + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3 tan 2 2

( ) ( ) 2 tan 1

( ) 1 ( ) 2( ) ( ) 1


Rg M Rg M Se cor a



= =

= =

= =

= == =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

983122EC983124A 983129 983120983116A983118983119

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Dπ

+ + + =equiv

+ + + =

equiv + + + =

M

A B C D

M A B C D

A B C D

=

( ) ( ) 3 tan 1

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelos


= =

= =

= =

983120983119983123983113C983113983251983118 DE

D983119983123 983122EC983124A983123

0

0

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

A x B y C z Ds

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

+ + + =equiv

+ + + =

M

A B C D

A B C D M

A B C D

A B C D

=

( ) 3 ( ) 4( ) ( ) 3 tan

( ) 2 ( ) 3

( ) ( ) 2


Rg M Rg M Paralelas


= =

= =

= =

= =

983112ACE983123 DE 983120983116A983118983119983123 C983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983152983148983137983150983151983155 983153983157983141 983158983141983154983145983142983145983139983137983150 983157983150983137 983139983151983150983140983145983139983145983283983150

983120A983122A983116E983116983119983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983155 983137


0 Ax By Cz D

con D

π equiv + + + =

isin ℝ

983123ECA983118983124E983123 E983118

983125983118A 983122EC983124A

983123983141983139983137983150983156983141983155 983137 983148983137 983154983141983139983156983137

0

0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

+ + + =equiv

+ + + =

( ) ( ) 0


con

λ β

λ β

+ + + + + + + =

notin ℝ



983124983109983117983105 983126983113 983120983122983119983106983116983109983117983105983123 983117983241983124983122983113983107983119983123

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141

983152983157983150983156983151983155

( )d A B ABrarr

=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983154983141983139983156983137983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middotcos

middot

u varc

u vα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983152983148983137983150983151983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155

983158983141983139983156983151983154983141983155 983150983151983154983149983137983148983141983155

983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middot cos

middot

n narc

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983152983148983137983150983151 983161 983154983141983139983156983137

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983151

983141983150983156983154983141 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137

983154983141983139983156983137 983161 983141983148 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

middot

middot

n narcsen

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983120983157983150983156983151 983149983141983140983145983151

(983117) 983141983150983156983154983141 983120 983161 983121

2

P Q M

+=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137 983157983150 983152983148983137983150983151

π

1 1 1

1 1 1

2 2 2

( )

0

( )

P x y z

Ax By Cz D

Ax By Cz Dd P

A B C

π

π

=

equiv + + + =

+ + +=

+ +

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983154

( )

r r

r r

r


A r u r A P u

d P r u

rarr

rarr rarr

rarr

isin isin

times

=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983154983141983139983156983137983155 983154 983161

983155 983153983157983141 983155983141 983139983154983157983162983137983150

( )

s s

r r

r s r s

r s

A s u s

A r u r

A A u ud s r

u u

rarr

rarr

rarr rarr rarr

rarr rarr

isin isin

isin isin

=

times

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118

983120983116A983118983119 π

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118A

983122EC983124A 983154

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE

983125983118A 983122EC983124A 983154

983123983119B983122E 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118A 983122EC983124A 983154

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137 983154

983153983157983141 983152983137983155983137 983152983151983154 983120 983161 983139983151983150

983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983141983148

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983141983148 983152983148983137983150983151

983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 983154 983153983157983141

983152983137983155983137 983152983151983154 983120 E983148 983158983141983139983156983151983154

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983154

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983150

983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983141 983154 (983120

983161 983121) 983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137

983155 983153983157983141 983139983151983150983156983145983141983150983141

983141983155983151983155 983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 (983120991257

983161 983121991257)

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

983120E983122983120E983118D983113C983125983116A983122 C983119983117983258983118 E983118983124983122E

D983119983123 983122EC983124A983123 983154 983161 983155 983121983125E 983123E

C983122983125983130A983118

s s

r r

A s u s

A r u r

rarr

rarr

isin isin

isin isin

det( ) 0

det( ) 0

r r r s

s s r s

A X u u ut

A X u u u

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

times =

equiv times =



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155


times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155


983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6


983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123


( )

( )


Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0


Q x = rArr minus

( )

( )


Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0


Q x = rArr











983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983124983109983117983105 983126983113 983120983122983119983106983116983109983117983105983123 983117983241983124983122983113983107983119983123

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141

983152983157983150983156983151983155

( )d A B ABrarr

=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983154983141983139983156983137983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155 983158983141983139983156983151983154983141983155

983140983145983154983141983139983156983151983154983141983155 983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middotcos

middot

u varc

u vα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983140983151983155 983152983148983137983150983151983155

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983155983157983155

983158983141983139983156983151983154983141983155 983150983151983154983149983137983148983141983155

983154983141983155983152983141983139983156983145983158983151983155

middot cos

middot

n narc

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983233983150983143983157983148983151 983141983150983156983154983141 983152983148983137983150983151 983161 983154983141983139983156983137

E983155 983141983148 983265983150983143983157983148983151 983139983151983149983152983148983141983149983141983150983156983137983154983145983151

983141983150983156983154983141 983141983148 983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983148983137

983154983141983139983156983137 983161 983141983148 983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

middot

middot

n narcsen

n nα

rarr rarr

rarr rarr=

983120983157983150983156983151 983149983141983140983145983151

(983117) 983141983150983156983154983141 983120 983161 983121

2

P Q M

+=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137 983157983150 983152983148983137983150983151

π

1 1 1

1 1 1

2 2 2

( )

0

( )

P x y z

Ax By Cz D

Ax By Cz Dd P

A B C

π

π

=

equiv + + + =

+ + +=

+ +

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983140983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983120 983137

983157983150983137 983154983141983139983156983137 983154

( )

r r

r r

r


A r u r A P u

d P r u

rarr

rarr rarr

rarr

isin isin

times

=

D983145983155983156983137983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983154983141983139983156983137983155 983154 983161

983155 983153983157983141 983155983141 983139983154983157983162983137983150

( )

s s

r r

r s r s

r s

A s u s

A r u r

A A u ud s r

u u

rarr

rarr

rarr rarr rarr

rarr rarr

isin isin

isin isin

=

times

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118

983120983116A983118983119 π

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983123983119B983122E 983125983118A

983122EC983124A 983154

983120983122983119983129ECC983113983251983118 DE

983125983118A 983122EC983124A 983154

983123983119B983122E 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118 983120983116A983118983119 π

983123983113983117983241983124983122983113C983119 DE 983125983118

983120983125983118983124983119 983120 983122E983123983120EC983124983119

983125983118A 983122EC983124A 983154

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137 983154

983153983157983141 983152983137983155983137 983152983151983154 983120 983161 983139983151983150

983158983141983139983156983151983154 983140983145983154983141983139983156983151983154 983141983148

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983144983137983148983148983137 983141983148 983152983148983137983150983151

983152983141983154983152983141983150983140983145983139983157983148983137983154 983137 983154 983153983157983141

983152983137983155983137 983152983151983154 983120 E983148 983158983141983139983156983151983154

983150983151983154983149983137983148 983140983141983148 983152983148983137983150983151 983141983155 983141983148983140983145983154983141983139983156983151983154 983140983141 983154

2) 983121 983141983155 983141983148 983139983151983154983156983141 983141983150983156983154983141

983148983137 983154983141983139983156983137 983154 983161 983141983148 983152983148983137983150983151

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137983150

983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983141 983154 (983120

983161 983121) 983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

2) 983123983141 983144983137983148983148983137 983148983137 983154983141983139983156983137

983155 983153983157983141 983139983151983150983156983145983141983150983141

983141983155983151983155 983140983151983155 983152983157983150983156983151983155 (983120991257

983161 983121991257)

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983141983148 983152983148983137983150983151

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

1) 983123983141 983152983154983151983161983141983139983156983137 983120

983155983151983138983154983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983144983137983148983148983137983150983140983151 983117 983141983148 983152983157983150983156983151

983149983141983140983145983151

2) 983120983151983154 983148983137 983142983283983154983149983157983148983137 983140983141983148

983152983157983150983156983151 983155983141 983140983141983155983152983141983146983137 983121

983120E983122983120E983118D983113C983125983116A983122 C983119983117983258983118 E983118983124983122E

D983119983123 983122EC983124A983123 983154 983161 983155 983121983125E 983123E

C983122983125983130A983118

s s

r r

A s u s

A r u r

rarr

rarr

isin isin

isin isin

det( ) 0

det( ) 0

r r r s

s s r s

A X u u ut

A X u u u

rarr rarr rarr rarr

rarr rarr rarr rarr

times =

equiv times =



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155


times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155


983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6


983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123


( )

( )


Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0


Q x = rArr minus

( )

( )


Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0


Q x = rArr











983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983233 983122 E A 983123

983120983137983154983137983148983141983148983151983143983154983137983149983151 983140983141

983158983273983154983156983145983139983141983155


times

983124983154983145983265983150983143983157983148983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABC=

12

AB AC rarr rarr

times

983120983137983154983137983148983141983148983141983152983277983152983141983140983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155


983124983141983156983154983137983141983140983154983151 983140983141 983158983273983154983156983145983139983141983155

ABCD=

1 6


983124983109983117983105 983126983113983113 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983122983109983105983116983109983123

F983157983150983139983145983283983150 983154983141983137983148 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983154983141983137983148 983141983155 983156983151983140983137 983148983141983161 983153983157983141 983137983155983151983139983145983137 983137 983139983137983140983137 983141983148983141983149983141983150983156983151 983140983141 983157983150 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983141 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983157983150983151 983161 983155983151983148983151 983157983150

983150983290983149983141983154983151 983154983141983137983148

( )

f D

x f x y

sube rarr

rarr =

ℝ ℝ

D983151983149983145983150983145983151 983155983157983138983139983151983150983146983157983150983156983151 983140983151983150983140983141 983155983141 983140983141983142983145983150983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983151 983155983141983137 983158983137983148983151983154983141983155 983153983157983141 983152983157983141983140983141 983156983151983149983137983154 983148983137 983160 983152983137983154983137 983155983141983154 983137983152983148983145983139983137983140983137 983152983151983154 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150

983120983151983148983145983150983151983149983145983151983155

( ) f x sen x=

( ) cos f x x=

983123983145983141983149983152983154983141 983141983160983145983155983156983141

D = ℝ

983122983137983139983145983151983150983137983148983141983155

polinomio

polinomio

D = minusℝ 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 0=

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983140983141 983157983150983137 983152983151983156983141983150983139983145983137

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983148983137 983141983160983145983155983156983141983150983139983145983137

983140983141983148 983141983160983152983151983150983141983150983156983141

983122983137983140983145983139983137983148

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 983140983141

983157983150983137 983154983137983277983162

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0ge

F983157983150983139983145983283983150 983137 983156983154983151983162983151983155

F983157983150983139983145983151983150983141983155 983140983141983142983145983150983145983140983137983155 983141983150

983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155

983123983141 983141983155983156983157983140983145983137 983139983137983140983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983155983157 983145983150983156983141983154983158983137983148983151

983116983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137983155

A983152983137983154983141983139983141 983160 983141983150 983141983148 983137983154983143983157983149983141983150983156983151

983140983141983148 983148983151983143983137983154983145983156983149983151

D = minusℝ 983137983154983143983157983149983141983150983156983151 0gt

983119983120E983122AC983113983119983118E983123 E983123983120EC983113A983116E983123

C983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983140983141 983142983157983150983139983145983151983150983141983155 ( )( ) ( ( )) f g x f g x= F983157983150983139983145983283983150 983145983150983158983141983154983155983137 983140983141 f A983153983157983141983148983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983153983157983141 983139983151983149983152983157983141983155983156983137 983139983151983150 f

983154983141983155983157983148983156983137 983148983137 983145983140983141983150983156983145983140983137983140 983123983141 983154983141983152983154983141983155983141983150983156983137 9831529831519831541 f minus

983124983109983117983105 983126983113983113983113 983116983245983117983113983124983109983123

983116 983245 983117 983113 983124 E 983123


( )

( )


Q x = infin rArr

( ) 0( )

( ) 0


Q x = rArr minus

( )

( )


Q x

infin= rArr

infin

( ) 0

( ) 0


Q x = rArr











983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint





983124983109983117983105 983113983128 983107983119983118983124983113983118983125983113983108983105983108

( ) f x 983139983151983150983156983145983150983157983137 983141983150 x a= 983155983145 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a

f x f a f xminus +

rarr rarr

= = 983148983277983149983145983156983141983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155 983145983143983157983137983148983141983155 983141 983145983143983157983137983148983141983155 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983141983148 983152983157983150983156983151

983124983109983117983105 983128 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

D983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150

( ) f x 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151 x a=

( ) ( )( ) lim

x a

f x f a f a

x ararr

minus=

minus

0

( ) ( )( ) lim

h

f a h f a f a

hrarr

+ minus=

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983145983162983153983157983145983141983154983140983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a hminus minus

minus

rarr rarr

minus + minus= =

minus

D983141983154983145983158983137983140983137 983148983137983156983141983154983137983148 983152983151983154 983148983137 983140983141983154983141983139983144983137

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x a h


x a h+

rarr + rarr +

minus + minus= =

minus

983125983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983140983141983154983145983158983137983138983148983141 983141983150

x a= 983155983145 983155983157983155 983140983141983154983145983158983137983140983137983155 983148983137983156983141983154983137983148983141983155

983155983151983150 983145983143983157983137983148983141983155

983116983137 983140983141983154983145983158983137983140983137 983140983141 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983157983150 983152983157983150983156983151

x a= 983141983155 983145983143983157983137983148 983137 983148983137 983152983141983150983140983145983141983150983156983141 983140983141 983148983137 983154983141983139983156983137

983156983137983150983143983141983150983156983141 983137 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983150 983140983145983139983144983151 983152983157983150983156983151

D 983141 983154 983145 983158 983137 983140 983137 983155



D 983141 983154 983145 983158

983137 983140 983137 983155 983140 983141

983151 983152 983141 983154

983137 983139 983145 983151 983150 983141 983155

983123983157983149983137 983120983154983151983140983157983139983156983151 C983151983139983145983141983150983156983141 983122983141983143983148983137 983140983141 983148983137 983139983137983140983141983150983137

( )

( )

f g f g

f g f g

+ = +

minus = minus


( middot ) middot

f g f g f g

a f a f a

= +

= isin ℝ 2

middot middot

f f g f g

g g

minus

=

( )( )( )

( ( ) )middot ( )

f g x

f g x g x

=

=

( )

1( ) middot

1

2

n n x n x

x x

minus=

=

( )

1( ) middot middot

1 middot

2

n n f n f f

f f f

minus=

=

( )

1( )

1log loga a

Ln x x

x e x

=

=

( )

1( ) middot

1log log middot a a

Ln f f x

f e f x

=

=

( )( )

middot

x x

x xe ea a Ln a

=

=

( )( ) middot

middot middot

f f


=

=

( ) 2 2

2

( ) cos

cos ( ) 1 sec

1

cos

sen x x

x sen xtg x tg x x

x

=

= minus

= + =

=

( )2 2

2

( ) cos middot

cos ( )middot


1middot

cos

sen f f f

f sen f f

tg f tg f f f f

f f

=

= minus

= + =

=

2 2

2

1 1( ) ( cos )

1 1

1( )

1

arc sen x arc x x x

arctg x x

= = minus

minus minus

=+

2 2

2


1 1

1( ) middot

1


arc tg f f f

= = minus

minus minus

=+



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983124983109983117983105 983128983113 983120983122983119983120983113983109983108983105983108983109983123 983108983109 983116983105983123 983110983125983118983107983113983119983118983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109983123

983123983113 983125983118983105 983110983125983118983107983113983251983118 983118983119 983109983123 983107983119983118983124983245983118983125983105983084 983109983118983124983119983118983107983109983123 983118983119 983109983123 983108983109983122983113983126983105983106983116983109

983122E983111983116A DE 983116991257983112983119983120983113983124A983116

( ) 0 ( ) ( )lim lim lim

( ) 0 ( ) ( ) x a x a x a



infin= = rArr =

infin

983124983109983117983105 983128983113983113 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105983123 983108983109983122983113983126983105983108983105983123

C983122EC983113983117983113E983118983124983119

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142991257(983160)gt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983139983154983141983139983141

983123983145 983142991257(983160)lt0 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983140983141983139983154983141983139983141

E983128983124983122E983117983119983123 983122E983116A983124983113983126983119983123

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983152983154983145983149983141983154983137 983161 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

983123983145 983142(983160) 983156983145983141983150983141 983141983160983156983154983141983149983151983155 983141983150 983160=983137 983141983150983156983151983150983139983141983155 983142991257(983137)=0

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = gt 983156983145983141983150983141 983149983277983150983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

( ) 0 ( ) 0 Si f a y f a f = lt 983156983145983141983150983141 983149983265983160983145983149983151 983141983150 ( ( ))a f a

983120983125983118983124983119983123 DE 983113983118F983116E983128983113983251983118

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137( ) 0 Si f a f = 983156983145983141983150983141 983157983150 983152983157983150983156983151 983140983141 983145983150983142983148983141983160983145983283983150 983141983150 ( ( ))a f a

C983119983118CA983126983113DAD

C983154983145983156983141983154983145983151 983140983141 983148983137 983155983141983143983157983150983140983137 983140983141983154983145983158983137983140983137

( ) 0 Si f a f gt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983152983151983155983145983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cup

( ) 0 Si f a f lt 983141983155 983139983283983150983139983137983158983137 983144983137983139983145983137 983141983148 983141983146983141 983150983141983143983137983156983145983158983151 983140983141 983148983137983155 983129 cap

A983123983245983118983124983119983124A983123


983126E983122983124983113CA983116 983112983119983122983113983130983119983118983124A983116 983119B983116983113C983125A

983123983145 lim ( ) x a

f xrarr

= plusmn infin 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148 983141983150 983160=983137

983123983145 lim ( ) x

f x prarr+infin

= isin ℝ

983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983155983141983154983265 983137 983157983150983137 983154983141983139983156983137 983140983141

983141983139983157983137983139983145983283983150 983161=983149983160+983150

( )lim lim ( ( ) )

x x

f xm n f x mx



983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983156983145983141983150983141 983137983155983277983150983156983151983156983137

983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983141983150 983161=983152

983123983145 983149 983161 983150 983155983151983150 983150983290983149983141983154983151983155 983154983141983137983148983141983155 983141983150983156983151983150983139983141983155 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983161=983149983160+983150

983123983145 983137983148983143983157983150983151 983140983141 983148983151983155 983140983151983155 983158983137983148983151983154983141983155 983141983155 983145983150983142983145983150983145983156983151 983150983151 983141983160983145983155983156983141

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983151983155 983152983157983150983156983151983155 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983155983145 983156983145983141983150983141983150 983137983155983277983150983156983151983156983137

983155983151983150 983137983153983157983141983148983148983151983155 983153983157983141 983137983150983157983148983137983150 983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983150 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983154983137983139983145983151983150983137983148

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983151983138983148983145983139983157983137

983123983145 983144983137983161 983137983155983277983150983156983151983156983137 983151983138983148983145983139983157983137 983150983151 983152983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983118983119 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137

983137983155983277983150983156983151983156983137 983158983141983154983156983145983139983137983148

983116983137 983142983157983150983139983145983283983150 983152983157983141983140983141 983139983151983154983156983137983154 983137 983157983150983137 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983157 983151983138983148983145983139983157983137

983120983157983141983140983141 983144983137983138983141983154 983150983145983150983143983157983150983137 983157983150983137 983151 983149983157983139983144983137983155

983137983155983277983150983156983151983156983137983155 983158983141983154983156983145983139983137983148983141983155

983123983145 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983155 983154983137983139983145983151983150983137983148 983161 983141983148 983143983154983137983140983151 983140983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983141983155 983145983143983157983137983148 983151 983149983141983150983151983154 983137983148 983140983141983148

983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983141983160983145983155983156983141 983137983155983277983150983156983151983156983137 983144983151983154983145983162983151983150983156983137983148 983123983145 983141983155 983157983150 983143983154983137983140983151 983149983137983161983151983154 983141983160983145983155983156983141 983151983138983148983145983139983157983137



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983124983109983117983105 983128983113983113983113 983113983118983124983109983111983122983105983116983109983123 983113983118983108983109983110983113983118983113983108983105983123

( )F x 983141983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137 983140983141 ( ) f x 983155983145 ( ) ( )F x f x= ( ) f x 983145983150983156983141983143983154983137983138983148983141 983155983145 983141983160983145983155983156983141 983155983157 983152983154983145983149983145983156983145983158983137

983113983150983156983141983143983154983137 983145983150983140983141983142983145983150983145983140983137 983140983141 ( ) f x 983155983151983150 983124983119DA983123 983148983137983155 983152983154983145983149983145983156983145983158983137983155

983140983141 ( ) f x




983113983118983124E983111983122A983116E983123

983113983118983117ED983113A983124A983123

983123983113983117983120983116E983123 983122E983111983116A DE 983116A CADE983118A

983120983151983156983141983150983139983145983137983148

1n ne minus

1

1

nn x

x dxn

+

=+

int

1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int

9831169831519831439831379831549832779831569831499831459831399831371

dx Ln x x

=int f dx Ln f

f =int

E983160983152983151983150983141983150983139983145983137983148

x x x x a

e dx e a dx Ln a



Ln a= =int int

983124983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2

2

2

cos cos

sec

(1 )

sec

(1 )

1


x dx

tg xtg x dx

co x dx

ctg x dx ctg x

dxsen x

= minus =

=+

minus

minus + =

minus

int int

int

int

int

int

int

2

2

2

2

2


sec middot

(1 )middot

sec middot

(1 ) middot


f f dx

tg f tg f f dx

co f f dx

ctg f f dx ctg f

f dx

sen f

= minus =

=+

minus

minus + =minus

int int

int

int

int

int

int

983113983150983158983141983154983155983137

983156983154983145983143983151983150983151983149983273983156983154983145983139983137

2

2

2 2

1

cos1

1

1

1 1

arcsenx

dx arc x x

arctg xdx

arctg x x

xdx arc tg

a aa x

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

2

2

2 2

cos1

1

1


arctg f f dx

arctg f f

f f dx arc tg

a aa f

= minus+

=

minus+

=+

int

int

int

983117983241983124983119D983119983123 DE

983113983118983124E983111983122AC983113983251983118

983139983151983149983152983151983155983145983139983145983283983150 983123983157983155983156983145983156983157983139983145983283983150983139983137983149983138983145983151 983140983141 983158983137983154983145983137983138983148983141 983120983151983154 983152983137983154983156983141983155

983125983155983137983150983140983151 983148983137983155 983152983154983151983152983145983141983140983137983140983141983155 983140983141 983148983137

983137983154983145983156983149983273983156983145983139983137 983144983137983155983156983137 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148

983122983141983137983148983145983162983137983154 983157983150 983139983137983149983138983145983151 983161 983140983141983154983145983158983137983154983148983151 983161

983139983151983150 983137983149983138983151983155 983155983145983149983152983148983145983142983145983139983137983154 983148983137

983145983150983156983141983143983154983137983148 983140983141983155983144983137983139983145983141983150983140983151 983141983148 983139983137983149983138983145983151

983137983148 983142983145983150983137983148




983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983113983118983124E983111983122AC983113983251983118 DE F983125983118C983113983119983118E983123 983122AC983113983119983118A983116E983123


1

middot 1

nn f

f f dxn

+

=+

int f dx Ln f

f =int

2 2

2

1

min ( )

f f dx arc tg

a aa f

deno ador a x b

=+

= + +

int

983117983151983140983145983142983145983139983137983154 983141983148 983150983157983149983141983154983137983140983151983154 983152983137983154983137

983156983141983150983141983154 983157983150983137 983148983151983143983137983154983277983156983149983145983139983137 983161 983141983148 983154983141983155983156983151

983155983141 983139983151983150983158983145983141983154983156983141 983141983150 983157983150 983137983154983139983151

983156983137983150983143983141983150983156983141

( )

( )

P xdx


Re ( )( )( )

( ) ( )



F983137983139983156983151983154983145983162983137983149983151983155 983141983148 983140983141983150983151983149983145983150983137983140983151983154 983161 983140983141983152983141983150983140983145983141983150983140983151 983140983141 983148983151983155 983142983137983139983156983151983154983141983155 983140983141983155983139983151983149983152983151983150983141983149983151983155 983141983150 983139983151983139983145983141983150983156983141 983141983150 983155983157983149983137983155 983155983141983150983139983145983148983148983137983155


2ax bx c+ +

A B C

x a x b x c+ +


( ) ( )

A B C

x a x a x a+ +

minusminus minus

2

Mx N

ax bx c

+

+ +

983113983118983124E983111983122A983116E983123 983124983122983113983111983119983118983119983117983241983124983122983113CA983123

983122A983130983251983118 983113983117983120A983122 983120983119983122 E983116 D983113FE983122E983118C983113A983116 983122A983130983119983118E983123 983120A983122E983123

C983137983149983138983145983151 t = 983148983137 983154983137983162983283983150 983139983151983150983156983154983137983154983145983137 22 2

2 2 2

1 1 co s

1 1 1


t t t = = = =

+ + +



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint



983124983109983117983105 983128983113983126 983113983118983124983109983111983122983105983116 983108983109983110983113983118983113983108983105 983124983109983117983105 983128983126 983105983120983116983113983107983105983107983113983119983118983109983123 983108983109 983116983105 983113983118983124983109983111983122983105983116

983108983109983110983113983118983113983108983105

983122E983111983116A DE BA983122983122983119983127 ( ) ( ) ( )b


983123983145 ( ) f x 983141983155 983152983151983155983145983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983123983145 ( ) f x 983141983155 983150983141983143983137983156983145983158983137

( )a

b f x dx =int 983085 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983148983137 983142983157983150983139983145983283983150 983141983148 983141983146983141 983128 983160=983137 983161 983160=983138

983233983122EA DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118 983113983118983124E983111983122A983116 DE 983125983118A F983125983118C983113983251983118

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983123983141 983144983137983148983148983137983150 983148983151983155 983152983157983150983156983151983155 983140983151983150983140983141 983139983151983154983156983137 983137983148 983141983146983141 983128 983161 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983148983137

983142983157983150983139983145983283983150 983141983150983156983154983141 983140983145983139983144983151983155 983145983150983156983141983154983158983137983148983151983155 983155983157983149983265983150983140983151983155983141 983148983151983155 983158983137983148983151983154983141983155

983137983138983155983151983148983157983156983151983155 983140983141 983148983151983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155

983123983145 ( ) f x 983139983137983149983138983145983137 983140983141 983155983145983143983150983151 983141983150983156983154983141 983148983151983155 983141983160983156983154983141983149983151983155 983137 983161 983138

983118983151 983145983149983152983151983154983156983137 983155983141 983145983150983156983141983143983154983137 983161 983155983157983155983156983145983156983157983161983141 E983148 983154983141983155983157983148983156983137983140983151 983141983155 983148983137

983140983145983142983141983154983141983150983139983145983137 983141983150983156983154983141 983141983148 983265983154983141983137 983152983151983155983145983156983145983158983137 983161 983148983137 983150983141983143983137983156983145983158983137

2

1

0 1 2

1 0 1

( ) 1 2

( )

( ) ( ) ( )

13 5 37 55

12 12 12 12


f x dx


minus

minus

minus

=

= minus + =

= + + =

int

int int int

2

145( ) (2) ( 1)12 f x dx f f minus

= minus minus =int

983233983122EA C983119983117983120983122E983118D983113DA E983118983124983122E D983119983123 F983125983118C983113983119983118E983123

( ) ( ) f x y g x 983129 E983118983124983122E D983119983123 983116983113983117983113983124E983123 DE 983113983118983124E983122983126A983116983119 983137 983161 983138

983123983141 983142983151983154983149983137 983157983150983137 983150983157983141983158983137 983142983157983150983139983145983283983150 ( ) ( ) ( )h x f x g x= minus 983161 983155983141

983139983137983148983139983157983148983137 983141983148 983265983154983141983137 983141983150983156983154983141 983137 983161 983138 983150983151983154983149983137983148983149983141983150983156983141

983123983145 983148983137 983154983141983143983145983283983150 983137 983139983137983148983139983157983148983137983154 983141983148 983265983154983141983137 983150983151 983142983157983141983154983137 983156983154983137983152983141983162983151983145983140983137983148 983155983141 983140983145983138983157983146983137 983161 983139983137983148983139983157983148983137 983139983137983140983137 983157983150983137 983140983141 983148983137983155 983154983141983143983145983151983150983141983155 983153983157983141 983137983152983137983154983141983162983139983137983150 983152983151983154 983155983141983152983137983154983137983140983151

C983125E983122983120983119 DE 983122E983126983119983116983125C983113983251983118 = A983153983157983141983148 983153983157983141 983155983141 983143983141983150983141983154983137 983137983148 983154983151983156983137983154 983157983150983137 983142983157983150983139983145983283983150 983137983148983154983141983140983141983140983151983154 983140983141983148 983141983146983141 983128

983126983151983148983157983149983141983150 =2middot ( )

b

a f x dxπ int

983123983145 983150983151 983141983155 983140983141 983154983141983158983151983148983157983139983145983283983150 983152983141983154983151 983155983141 983139983151983150983151983139983141983150 983148983137983155 983155983141983139983139983145983151983150983141983155 983140983141 983265983154983141983137 983152983137983154983137 983139983137983140983137 983158983137983148983151983154 983140983141 983160 A(983160) = ( )b

a A x dxint

resmen mates ii bachillerato

Documents