resistividade e resistência de folha: medidas
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Tópicos Especiais de Física Atômica e Molecular e Ótica
A interação de íons energéticos com a matéria:
aspectos básicos e aplicações
Resistividade e Resistência de Folha:
medidasmedidas
Prof. Marcelo M. Sant’Anna
2009.2 - Aula 3
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MotivaçãoMotivação
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Variable-Range hopping
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Defeitos em Ga1-xMnxAs
• Ex.: Spintrônica– Desordem em semicondutores magnéticos diluídos (Ex.: Ga1-xMnxAs)
5
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Um trabalho precursor:
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Um trabalho precursor:
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RevisãoRevisão
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Preâmbulo: medidas de 2 pontas x medidas de 4 pontas
Duas pontas Quatro pontas
Um problema com a medida de 2 pontas:
(pense no circuito como um divisor de tensão)
A montagem de 4 pontas é fundamental para medida de resistências pequenas
(≠ RDUT)
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Resistividade
• Resistividade x condutividade:
• Resistividade, Campo elétrico e Densidade de corrente:
– Em um exemplo simples, o modelo de Drude, ... a lei de Ohm em formulação
• Em semicondutores,
onde n e p são densidades de elétrons e buracos livres (portadores negativos e positivos) e µn e µp suas respectivas mobilidades.
formulação microscópica
σ
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Resistividade e Resistência de Folha: Resistência de Folha:
como medir?
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• Uma geometria simples:
• Contudo, como fazer medidas de ρ se a área A é MUITO pequena ? Como proceder se houver interesse em filmes finos?
Obs.1: L/W =1 se a amostra é quadrada
Nossa estratégia é 1) medir esta razão, a Resistência de Folha (Sheet Resistance)2) se for de interesse, medir t e obter ρ.
Obs.2: A unidade de Rs no S.I é Ω ( mais frequentemente: “ Ω/ ” )
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Medida da Resistência de Folha
Derivar uma expressão para a ρ (V,I) em uma medida de 4 pontas em linha
Lembrar: ∫ ⋅= AdJIrr
Ainda não estamos
falando de filmes finos
a)
Lembrar:
b)
∫ ⋅=A
AdJI
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Medida da Resistência de Folha
c) Agora analisando apenas os pontos sobre a superfície
Queremos medir
Obs. : em semicondutores I é escolhido para resultar em V ~ 10 mV
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• Calculados por: método das imagens, equação de Poisson, função de Green, etc...
Medida da Resistência de Folha
3) Modelagem: Fatores geométricos de correção
onde,
• F1 - espessura finita da amostra (t)
• F2 - dimensões laterais finitas
• F3 - posição das pontas de prova em relação as bordas
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3) Modelagem: Fatores geométricos de correção F1 : espessura finita t
• Se a base do wafer é isolante:
Medida da Resistência de Folha
Se t<<s,
Primeiro responder: o que está por baixo da amostra?
Importante!
Obs.: uma opção para isolamento é camada de tipo-nsobre substrato tipo-p, ou, camada de tipo-psobre substrato tipo-n efeito espacial de carga no bulk confina os portadores na camada superficial
• Se a base do wafer é condutora:
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3) Modelagem: Fatores geométricos de correção F2 e F3
• Para amostras muito finas (t<<s), F2 ~ 1 e F3 ~ 1
Medida da Resistência de Folha
Notar que o termo “s” cancelou
Em resumo...
Medimos esta razão (sem contatos na lateral!)
Em resumo...
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Modelagem alternativa para amostras muito finas e 4 contatos:
Geometria para corrente saindo/entrando
dos contatos:
Medida da Resistência de Folha
I
t
Vista de cima Vista em perspectiva
Para um arranjo colinear:
e
e
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3) Modelagem: Fatores geométricos de correção F2 e F3
• Para amostras muito finas (t<<s), F2 ~ 1 e F3 ~ 1
Medida da Resistência de Folha
Notar que o termo “s” cancelou
Em resumo...
Medimos esta razão (sem contatos na lateral!)
Em resumo...
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Exemplo de correção F2: wafer circular de diâmetro D
• Se D/s >~ 40 esta correção não é relevante
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Exemplo de correção F3: contatos colineares próximos das bordas
• Se d/s >~ 4 esta correção não é relevante• No caso de amostras pequenas com contatos nas bordas este é
um problema
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“Dual configuration”/”configuration switched” method
• Inverter sentidos das correntes e permutar contatos para obter medidas mais precisas.
• Menos sensível a imperfeições na simetria• Não é preciso conhecer as dimensões laterais. F é obtido das duas medidas.• O espaçamento s entre as pontas de prova não precisa ser conhecido
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O Método de Van der Pauw
Válido para amostras de qualquer formato, desde que:
a) Os contatos sejam colocados nas bordasb) A área dos contatos seja pequenab) A área dos contatos seja pequenac) Amostra homogênea em espessura e composiçãod) A superfície seja simplesmente conexa (sem buracos isolados)
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O Método de Van der Pauw
Plano -> semiplano & 2i -> i
Princípio da superposição ( b e c )Princípio da superposição ( b e c )
Da mesma forma,
transformaçãoConforme+ =
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Obs.: Mapeamento conforme (wiki)
• In mathematics, a conformal map is a functionwhich preserves angles. In the most common case the function is between domains in the complex plane.
• More formally, a map is called conformal (or angle-preserving) at z if it preserves oriented angle-preserving) at z0 if it preserves oriented angles between curves through z0, as well as their orientation, i.e. direction. Conformal maps preserve both angles and the shapes of infinitesimally small figures, but not necessarily their size.
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Derivação alternativa e correções
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Um trabalho recente:
Van der Pauw(bordas):
Geometria alternativa(“miolo”):
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(corrente 2i
sai noinfinito)
+ princípio dasuperposição
(2i & -2i)
Da mesma forma, injetando corrente em P´ e Extraindo em M´:
Rearrumando os termos:Definimos:
+ transformação conforme =
resultado longe das bordas
Comparar comVan der Pauw:
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Comparar com Van der Pauw:
Lim et al.
Van der Pauw ( -> contatos nas bordas)
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Receita da NIST para medidas com o Método de Van der Pauw
http://www.eeel.nist.gov/812/meas.htm
ou http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pauw_method
R21,34 = V34/I21, R12,43 = V43/I12,
R32,41 = V41/I32, R23,14 = V14/I23,
R43,12 = V12/I43, R34,21 = V21/I34,
R14,23 = V23/I14, R41,32 = V32/I41.14,23 23 14 41,32 32 41
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Receita da NIST para medidas com o Método de Van der Pauw
http://www.eeel.nist.gov/812/work.htm
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Amostras semicondutoras não-uniformes na espessura
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Amostras semicondutoras não-uniformes na espessura:medida de perfil de profundidade da resistividade
Inicialmente:
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Amostras semicondutoras não-uniformes na espessura:medida de perfil de profundidade da resistividade
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Amostras semicondutoras Amostras semicondutoras não-uniformes na espessura:
medida de perfil de profundidadeda resistividade