resistÊncia dos materiais - …edpsm.usuarios.rdc.puc-rio.br/assunto3-analise_tensoes.pdf ·...
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Introdução Variações percentuais do comprimento (alongamento ou encurtamento) de elementos
de um componente são chamadas de deformações longitudinais. Estas variações
são ocasionadas pelos carregamentos que atuam sobre os componentes.
t P
Li
L
Li
LiLf
Deformação longitudinal de um
elemento da superfície do
componente
Comprimento de um elemento arbitrário
inscrito na superfície do componente
antes deste sofrer o carregamento P
Comprimento inicial = Li
O elemento é alongado após a
aplicação do carregamneto P
Comprimento final = Lf
sx
sz
sy
tyx
txz
txy
tyz tzy tzx
Y
X
Z
O paralelepípedo ou volume elementar e a representação
do estado de tensão no ponto
zyzxz
yzyxy
xzxyx
stt
tst
tts
s
O paralelepípedo ou volume elementar e a representação
do estado de tensão no ponto
A
PAPdAPF xx
A
xx sss 0.0.0
000
000
00A
Pxs
O paralelepípedo ou volume elementar e a representação do
estado de tensão no ponto
t
tt
s
ss
22
cos..0cos
1...0..0
2cos12
cos.0cos
1..cos.0.cos.0
''''''''
2
''''
senA
Psen
A
PAsenPdAsenPF
A
P
A
PAPdAPF
yxyx
A
xyxy
xx
A
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22
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2cos12
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senA
Psen
A
P
A
Psen
A
P
xy
y
000
02cos12
22
022
2cos1
'''
'''
st
ts
A
Psen
A
P
senA
P
A
P
yxy
yxxDa mesma forma:
sc
p
dq/2
sc
D=r/2
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ri p
t
X
D
l
sc
sl
p
X
t
Dp
t
tDpltltDpF ccc
2
.
2
20...2.2.0
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...
2.
2....20 sq
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D
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D
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14
21
2
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t
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l
r
c
p
t
Dp
s
s
s
00
00
002
.
Y
O paralelepípedo elementar – tensões principais
sx
sz
sy
tyx
txz
txy
tyz tzy tzx
Y
X
Z
zyzxz
yzyxy
xzxyx
stt
tst
tts
s
3
2
1
00
00
00
s
s
s
s
.
3
.2
0..
321
222
3
222
2
1
32
2
1
3
principaistensõesasouvaloresautoossãoque
raízestemticocaracteríspolinômioouEquação
I
I
I
III
xyzxzyzyxzyxzyx
zyxzxyyzxzyx
zyx
sss
tstststttsss
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sss
sss
z
y
x
zzyyzxxz
zzyyyxxy
zzxyyxxx
v
v
v
v
v.v.v.
v.v.v.
v.v.v.
vdeaçãominDeter
principaistensõesdasumacadaatuamondeplanosossão
:incipaisPrPlanos
1
1
1
1
1111
1111
1111
1
0
0
0
sstt
tsst
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X
Z
Y
3
2
1
00
00
00
s
s
s
s
zyzxz
yzyxy
xzxyx
stt
tst
tts
s
Análise de Tensões 3D
Estado tridimensional de tensões
Cálculo das tensões e planos principais
Cálculo das tensões normal e tangencial num plano qualquer
dado pela sua normal n
My documents/MathCad/Solutions/Análise de
Tensões
1- Definição do Estado de T ensão: tensor das tensões
sx 60 sy 120 sz 10 txy 40 txz 50 tyz 60
T
sx
txy
txz
txy
sy
tyz
txz
tyz
sz
T
60
40
50
40
120
60
50
60
10
2- Definição do plano a partir de sua normal n com relação aos eixos coordenados x,y,z e
cálculo da tensão total Sn e das componentes normal sn e tangencial ao plano tn
nx1
4 ny
1
2 nz 1 nx
2 ny
2 nz 0.829
n
nx
ny
nz
Sn T n Sn
76.458
20.251
25.792
ModSn Sn Sn
ModSn 83.193 snSn
ModSn
sn
0.919
0.243
0.31
cosA sn n
cosA 0.094
sn Sn n tn Sn Sn sn2
sn 7.855 tn 82.821
3- Cálculo das tensões e planos principais através de auto-valores e auto-vetores do tensor
das tensões
D eigenvals T( ) V eigenvecs T( )
D
64.023
85.25
148.773
V
0.447
0.364
0.817
0.854
0.1
0.511
0.268
0.926
0.266
OBS: A coluna n da matriz do autovetor corresponde ao enésimo auto valor dado na
matriz dos autovalores
4- Cálculo das tensões principais através da solução da equação correspondente ao
determinante característico.
Cálculo dos invariantes I1, I2, e I3, e estabelecimento da equação característica:
I1 sx sy sz I1 170
I2 sx sy sx sz sy sz txy2
txz2
tyz2
I2 2.3 103
I3 sx sy sz 2 txy txz tyz sx tyz2
sy txz2
sz txy2
I3 8.12 105
F s( ) s3
I1 s2
I2 s I3
Resolvendo a equação característica através de um dos dois algoritmos do MatCAD tem-se:
v F s( ) coeffs s
812000
2300
170
1
r polyroots v( ) r
64.023
85.25
148.773
rT
64.023 85.25 148.773( )
I
I3
I2
I1
1
rr polyroots I( ) rr
64.02
85.25
148.77
Y
X
Z
sx
txz tzx
sx
Q T M
Exemplo:
Tensões que atuam no
paralelepípedo
elementar
representativo de um
ponto material de um
eixo de um redutor que
transmite 10 hp. Tem-
se que:
sx =305 MPa
txz =105 MPa
ZYX ,,00105
000
1050305
s
1- Definição do Estado de T ensão: tensor das tensões
sx 305 sy 0 sz 0 txy 0 txz 150 tyz 0
s
sx
txy
txz
txy
sy
tyz
txz
tyz
sz
s
305
0
150
0
0
0
150
0
0
2- Cálculo das tensões e planos principais através de auto-valores e auto-vetores do tensor dastensões
D eigenvalss( ) V eigenvecss( )
D
366.407
61.407
0
V
0.925
0
0.379
0.379
0
0.925
0
1
0
OBS: A coluna n da matriz do autovetor corresponde ao enésimo auto valor dado na matrizdos autovalores
3- Cálculo das tensões principais através da solução da equação correspondente aodeterminante característico.
Cálculo dos invariantes I1, I2, e I3, e estabelecimento da equação característica:
I1 sx sy sz I1 305
I2 sx sy sx sz sy sz txy2
txz2
tyz2
I2 2.25 104
I3 sx sy sz 2 txy txz tyz sx tyz2
sy txz2
sz txy2
I3 0
F Ps( ) Ps3
I1 Ps2
I2 Ps I3
Resolvendo a equação característica através de um dos dois algoritmos do MatCAD tem-se:
v F Ps( ) coeffs Ps
0
22500
305
1
r polyrootsv( ) r
61.407
0
366.407
rT
61.407 0 366.407( )
I
I3
I2
I1
1
rr polyrootsI( ) rr
61.41
0
366.41
sx
sz
sy
tyx
txz
txy
tyz tzy tzx
Y
X
Z
sx
sy
tyx txy
Y
X
Z
sy
Estado
Uniaxial
sy
Y
X
Z
sy
sy
Estado
Biaxial
Y
X
sy
tyx
tyx
txy
txy
sx
sx
Estado
Uniaxial
Y
X
sy
Estado
Biaxial
Estado Triaxial
Estados de Tensão: triaxial e casos particulares
A Res. Mat. tem como
funções definir e analisar
os estados de tensão para
os pontos (críticos) dos
componentes estruturais.
sx= s1
M
M
sx= s1
X
Y
y
Z
Tensões em componentes prismáticos sob momento fletor
1264
34 H.BI,
DI
I
y.M
s
Q
Q
txy
X
Y
y
Z
Tensões em componentes prismáticos sob esforço cortante
perfiltiposeçãoA
Q
gulartanreseçãoA.
Q.
circularseçãoA.
Q.
estáticomomentoME,D
I
B.I
ME.Q
alma
t
t
t
t
2
3
3
4
64
4
T
X
Y
Z
r
txa
X
a
txa
txa
tax
tax
Tensões em componentes prismáticos sob momento torçor
3232
440
4iDD
J,D
J
J
r.T
t
X
r
sl
X
C
Tensões em componentes tubulares sob pressão interna
t
D.p
t
D.p
l
c
4
2
s
s
sc
sl
sc
p
D
t
Exemplo: vaso de pressão
com costado cilíndrico de
paredes finas. Tensões
atuantes em ponto da
superfície externa do
vaso, longe dos tampos
de fechamento localizados
nas suas extremidades
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA CONTRA O
ESCOAMENTO
• Os critérios de resistência procuram prever se
uma estrutura poderá falhar através da
comparação entre suas variáveis de solicitação
e resistência.
• Para solicitações estáticas e falhas por
escoamento, um critério de resistência
procurará prever se haverá escoamento num
dado ponto da estrutura.
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA CONTRA O
ESCOAMENTO
s3
s1
s2
seq
s1= Sy
s
Sy
CASO 3-D
CASO 1-D
equivalente
CASO 1-D
ensaio Mises Tresca Normal Max. Coulomb-Mohr
seq= Sy
Convenção:
Representação tri-axial:
321 sss
Representação bi-axial:
0
III
III
s
ss
Critério de Tresca ou da Máxima Tensão
Cisalhante
Ocorrerá escoamento se a tensão cisalhante máxima que atua no estado
triaxial de tensão do ponto crítico da estrutura for igual ou maior que a
tensão cisalhante máxima que atua nos pontos do corpo de prova do
ensaio uniaxial de tração no instante do escoamento.
yeq
y
ENSAIOD
S
S
31
max
31
3max22
sss
tss
t
Critério de Mises ou da Máxima Energia de
Distorção
Ocorrerá escoamento se a energia de distorção que atua no estado triaxial
de tensão do ponto crítico da estrutura for igual ou maior que a energia de
distorção que atua nos pontos do corpo de prova do ensaio uniaxial de
tração no instante do escoamento.
yeq
yDD
S
SE
EDE
ED
323121
2
3
2
2
2
1
'
2
1
2
32
2
31
2
21
3
...
..3
1
2.
.3
1
sssssssssss
ssssss
SOLICITAÇÕES E TENSÕES EM DUTOS
Pressão interna, p:
e, considerando-se um tubo
com tampos,
enterrado,
Momento fletor, M:
Momento torçor, T:
Esforço normal, N:
Esforço cortante, Q:
t
Dpc
.2
.s
t
Dpl
.4
.s
tD
M
I
cMl
..
.4.2
s
tD
N
A
Nl
..s
tD
Q
A
Qlc
..t
t
Dpl
.2
..s
l
r c
Freire, PUC-Rio, UPB
Fevereiro 2011 Freire, PUC-Rio, UPB
Setembro 2011
tD
T
J
rTlc
..
.2.2
t
T P
M
p
Um tubo para duto constituído de material API 5L
X70 tem diâmetro 18” e espessura ½”.
Determinar, segundo o critério da energia de
distorção, a possibilidade de ocorrer escoamento
nos pontos mais solicitados do tubo se ele estiver
submetido:
a) ao esforço trativo P = 106 N
b) à pressão interna p = 10 MPa (considerar o
tubo fechado)
c) ao momento fletor M = 108 Nmm
d) ao momento torçor T = 2 x 108 Nmm
e) Ao esforço cortante Q = ½ 106 N
f) à combinação dos esforços acima
Q
Um tubo para duto constituído de material
API 5L X70 tem diâmetro 18” e espessura
½”. Determinar, segundo o critério da
energia de distorção, a possibilidade de
ocorrer escoamento nos pontos mais
solicitados do tubo se ele estiver
submetido:
a) ao esforço trativo P = 106 N
b) à pressão interna p = 10 MPa
(considerar o tubo fechado)
c) ao momento fletor M = 108 Nmm
d) ao momento torçor T = 2 x 108 Nmm
e) ao esforço cortante Q = ½ 106 N
f) à combinação dos esforços acima
T P
M
p Q
Sy 70 6.89 Sy 482.3
P 106
Q 10( )6 1
2 p 10 M 10
8 T 2 10
8
D 18 25.4 D 457.2 t1
225.4 t 12.7
1) sPP
4D
2D 2t( )
2
sP 56.386 FSPSy
sP FSP 8.553
2) spc pD
2t spc 180 FSp
Sy
spc FSp 2.679
por T resca
spl pD
4t spl 90
3) sM
MD
2
64D
4D 2t( )
4
sM 52.149 FSMSy
sM FSM 9.249
4)tT
TD
2
32D
4D 2t( )
4
tT 52.149 FSTSy
tT 3 FST 5.34
5)tQ
4
3Q
4D
2D 2t( )
2
tQ 37.591FSQ
Sy
tQ 3 FSQ 7.408
6) smisesA sP spl( )2
spc2
sP spl( ) spc 3 tT tQ( )2
smisesA 227.242 FSASy
smisesA FSA 2.122
smisesB sP sM spl( )2
spc2
sP sM spl( ) spc 3 tT( )2
smisesB 210.329 FSBSy
smisesB FSB 2.293
A
B
Q
M
p
. P T
T P
M
p
Um tubo para duto constituído de material API 5L
X70 tem diâmetro 18” e espessura ½”.
Determinar, segundo o critério da energia de
distorção, a possibilidade de ocorrer escoamento
nos pontos mais solicitados do tubo se ele estiver
submetido:
a) ao esforço trativo P = 106 N
b) à pressão interna p = 10 MPa (considerar o
tubo fechado)
c) ao momento fletor M = 108 Nmm
d) ao momento torçor T = 2 x 108 Nmm
e) Ao esforço cortante Q = ½ 106 N
f) à combinação dos esforços acima
Q
P 106
Q 10( )6 1
2 M 10
8 T 2 10
8
D 18 25.4 D 457.2 t1
225.4 t 12.7
1) sPP
4D
2D 2t( )
2
sP 56.386 sP2P
D t sP2 54.82
3) sM
MD
2
64D
4D 2t( )
4
sM 52.149 sM24M
D2t
sM2 47.962
4) tT
TD
2
32D
4D 2t( )
4
tT 52.149 tT 22T
D2
t
tT 2 47.962
5)
tQ
4
3Q
4D
2D 2t( )
2
tQ 37.591 tQ2
4
3Q
D t tQ2 36.547
Fórmulas aproximadas ….
Fórmulas elementares para os estados planos
Estado plano de tensões: as tensões paralelas a uma determinada
direção são nulas. Pode ser representado através do paralelepípedo
elementar projetado no plano onde as tensões são nulas (que, por
exemplo, pode corresponder à superfície livre de um componente
estrutural).
Estado plano de deformações: as deformações atuantes numa
determinada direção são nulas.
Y
X
tyx
txy
Estado
Plano
sy
tyx
txy
sx sx
sx
sy
tyx txy
Y
X
Z
sy
Estado
Plano
sy
Estado plano de tensões: através do equilíbrio do prisma
elementar as tensões que atuam num plano de topo a Z
podem ser definidas
Y
X tyx
txy
sy
sx
tn + sn +
n
Y
X
Z
sy
n
Estado plano de tensões: através do equilíbrio do prisma
elementar as tensões que atuam num plano de topo a Z
podem ser definidas
sx
Y
X
tyx
txy
Estado
Plano
sy
tyx
txy sx
sy Y
X tyx
txy
sy
sx
tn + sn +
n
0
0
2
F
F
0
0
42
1
2
222
0
2222
0
321
22
2
IIIIIIIII
IIIIII
xyyxyx
II,I
xyyx
xyyxyx
quepara
:quesetemaindasdeformaçõedeplanoestadoopara
ntetriaxialmedorepresentaplanoestadooparaconvenção
e
tensõesdeplanoestadooparaconvençãoeprincipaistensões
cossenF
sencosF
sss
sss
sss
tssss
s
tss
t
tssss
s
X
sx
sn +
n
tn +
Y
tyx sy
txy
Estado Plano de Tensões
Dadas as tensões atuantes em planos ortogonais x e y, calcular:
- as tensões principais s I e s II
- a tensão cisalhante máxima tmax = t
- a tensão de von Mises
- os coeficientes de segurança contra o escoamento
- as deformações
My documents/MathCad/Solutions/Estado Plano
1-Dados de entrada
sx 20 106
sy 100 106
txy 110 106
Sy 400 106
E 200 109
0.3
2-Fórmulas para o estado plano de tensões
sMises sx2
sy2
sx sy 3txy2
tmaxIeII1
2sx sy( )
24 txy
2
sIsx sy
2tmaxIeII sII
sx sy
2tmaxIeII sIII 0
tmax maxsI sII
2
sIII sII
2
sI sIII
2
x1
Esx sy( ) y
1
Esy sx( ) z
Esx sy( ) xy
txy
E2 1 ( )
rad1
2atan 2
txy
sx sy
graus rad180
I1
EsI sII( ) II
1
EsII sI( )
FSMisesSy
sMises FStmax
Sy
2tmax
3- Resultados
sMises 2.207 108
tmax 1.253 108
sI 1.653 108
sII 8.53 107
sIII 0
x 2.5 104
y 5.3 104
xy 1.43 103
z 1.2 104
I 9.544 104
II 6.744 104
rad 0.536 graus 30.695
FSMises 1.813 FStmax 1.596
Sy = 250 MPa, aço A36
Su = 400 MPa, aço A36
s
E = Aços (200 GPa), Alumínio (70 GPa)
Relações entre Tensões e Deformações
Regime elástico: deformações
elásticas >> pláticas
Regime elasto-plástico:
deformações elásticas e plásticas
com a mesma ordem de grandeza
Regime plástico: deformações
plásticas >> elásticas
Relações entre Tensões e Deformações
s
p e
t
Deformação total
Deformação elástica
Deformação plástica
P P
sx= s1= P/A
X
x= s1/E
no regime élástico e linear
A partir do Ensaio de Tração relações
entre tensões e deformações podem ser
estabelecidas.
xyIII
xyxyxy
y
x
GE
PurotoCisalhamen
ocorreondeBiaxialCaso
tss
tt
12
0
0
T X
Y
Z
r
txa
X
a
txa
txa
tax
tax
I
II
IIIIIIIII
III
yxI
yxyxyx
II,I
E
se
E
GeralBiaxialCaso
ss
s
s
1
0
2900
21
1
12
450
245
2
sx
sy tyx txy
Y
X
Z
sy
Roseta para determinar
deformações em Estado
Biaxial Geral
X
Y 45
GE
PurotoCisalhamen
EE
EE
BiaxialCaso
E
E
UniaxialCaso
xyxyxy
yxy
yxx
xxy
xx
tt
ss
s
s
s
s
12
GE
GE
GE
E
E
E
GeralCaso
zyzyzy
xzxzxz
xyxyxy
xyzz
zxyy
zyxx
tt
tt
tt
sss
sss
sss
12
12
12
1
1
1
Os Extensômetros de Resistência Elétrica, EREs, medem somente encurtamentos ou alongamentos
nas direções dos seus fios paralelos. Assim, a mudança ou distorção do ângulo reto xy é avaliada a
partir das medições lineares determinadas para três direções independentes que passem pelo ponto,
por exemplo, x, y e .
Assim, para a determinação das deformações principais que atuam num ponto da superfície de um
corpo são necessárias três informações independentes que são conseguidas com a instalação de uma
roseta composta por três extensômetros, comumente posicionados a 0, 45 e 900.
2900
22
22
1
2
2
4522
45222
45
22
222
24
2
1
2
450
45
245
2
45
45
0
2
2
yx
yx
yxII,I
III
yxyxyx
II,I
yxxy
xyyxyx
xyyxyx
xyyx
yxII,I
seI
.tg
.
.
.sen.cos
sencos
X
Y
P
450
Definição do estado de deformação através de três ERES
My documents/MathCad/Solutions/RosetaAnálise de Deformações e Tensões
para Rosetas Triplas
Entrar com deformações em , módulo de elasticidade em GPa
Determina deformações em e tensões em PaOBS: Para rosetas duplas, considerando x e y como eixos ortogonais, entrar com 45 igual ao valor médio das
deformações atuantes em x e y
x 100 106
y 500 106
45 950 106
E 200 109
0.3
Ix y
2
1
2x y( )
2x y 2 45( )
2
xy x y 2 45( )II
x y
2
1
2x y( )
2x y 2 45( )
2
txyE xy
2 1 ( )
sxE
1 2
x y( )
Ângulo Principal
syE
1 2
y x( )
d atan2 45 x y( )
x y
sIE
1 2
I II( )
radd
2 graus
d
2
180
sIIE
1 2
II I( ) graus deve ser medido positivamente a partir
do eixo x e será:
I no primeiro quadrante se 45 menor que a
I no segundo quadrante se 45 maior que aTensões nos planos x e y
sx 5.495 107
sy 1.165 108
ax y
2
45 9.5 104
a 3 104
txy 1 10
8
Deformações e Tensões Principais rad 0.636 graus 36.449
I 9.801 104
II 3.801 104
sI 1.903 108
sII 1.891 107
Notar que uma tensão principal é zero e que as tensões pricipais deverão ser renomeadas para algarismosarábicos
X
σ x=250MPa
α=300 +
σ α +
n α
σα +
Y
τyx=200MPa
σ y=150MPa
τxy Figura
O estado de tensão num ponto de uma placa de aço
está mostrado na Figura. Determine a tensão normal no plano α e a deformação normal ao longo da direção α.
)30.0,200( GPaE
1-Dados de entrada
sx 250 106
sy 150 106
txy 200 106
E 200 109
0.3
30
180 0.524 cos ( ) 0.866 sin ( ) 0.5
2-Fórmulas para o estado plano de tensões
ssx sy
2
sx sy
2cos 2( ) txy sin 2( ) s 3.982 10
8
tsx sy
2 sin 2( ) txy cos 2( ) t 5.67 10
7
s ortsx sy
2
sx sy
2cos 2
2
txy sin 2
2
s ort 1.795 106
Lembrar que: A sx sy A 4 108
B s s ort B 4 108
sIsx sy
2
1
2sx sy( )
24txy
2 sI 4.062 10
8
sIIsx sy
2
1
2sx sy( )
24txy
2 sII 6.155 10
6 sIII 0
x1
Esx sy( ) y
1
Esy sx( ) z
Esx sy( ) xy
txy
E2 1 ( )
1
Es s ort( ) 1.988 10
3
rad1
2atan 2
txy
sx sy
graus rad180
I1
EsI sII( ) II
1
EsII sI( ) I 2.04 10
3 II 6.4 10
4
Estado Plano de Tensões
Dadas as tensões atuantes em planos ortogonais x e y, calcular:
- as tensões principais s I e s II
- a tensão cisalhante máxima tmax = t
- a tensão de von Mises
- os coeficientes de segurança contra o escoamento
- as deformações
My documents/MathCad/Solutions/Estado Plano
1-Dados de entrada
sx 20 106
sy 100 106
txy 110 106
Sy 400 106
E 200 109
0.3
2-Fórmulas para o estado plano de tensões
sMises sx2
sy2
sx sy 3txy2
tmaxIeII1
2sx sy( )
24 txy
2
sIsx sy
2tmaxIeII sII
sx sy
2tmaxIeII sIII 0
tmax maxsI sII
2
sIII sII
2
sI sIII
2
x1
Esx sy( ) y
1
Esy sx( ) z
Esx sy( ) xy
txy
E2 1 ( )
rad1
2atan 2
txy
sx sy
graus rad180
I1
EsI sII( ) II
1
EsII sI( )
FSMisesSy
sMises FStmax
Sy
2tmax
3- Resultados
sMises 2.207 108
tmax 1.253 108
sI 1.653 108
sII 8.53 107
sIII 0
x 2.5 104
y 5.3 104
xy 1.43 103
z 1.2 104
I 9.544 104
II 6.744 104
rad 0.536 graus 30.695
FSMises 1.813 FStmax 1.596
X
σ x=250MPa
α=300
+
σ α +
n α
σα +
Y
τyx=200MPa
σ y=150MPa
τxy Figura
T
H
V
Carga móvel, 50t
Peso próprio, 0.5t/m
Seção crítica
Seção crítica
M= Mpp+Mcm1
1.5m
2m
0.02m
2 - Cálculo de tensões para a seção crítica da lança
Tensões devidas ao cortante e ao fletor
1m
2m
0.02m
T
1m
2m
0.02m
T
tA
T
..2t
2.
3
tL
Tt
02.0
02.0102.02
t
A
02.0
121
t
L
Tensões devidas ao torçor
Análise de Carregamentos e Tensões
1m
2m
0.02m
T
1m
2m
0.02m
T
tA
T
..2t
2.
3
tL
Tt
02.0
02.0102.02
t
A
02.0
121
t
L
Tensões devidas ao torçor
Análise de Carregamentos e Tensões
1m
2m
0.02m
T
02.0
2121
t
L
j
jj
ii
tL
tT3
.
.3t Generalização de
Wang –App Elast
pp 95-97
Cálculo de tensões para a seção crítica da lança
T
H
V
Carga móvel, 50t
Peso próprio, 0.5t/m
Seção crítica Seção crítica
M = Mpp+Mcm1= 1100tm
Q = 60t
Supor um momento torçor
espúrio na seção igual a 20%
de M. Então T = 220tm
Tensões devidas ao cortante, ao fletor e ao torçor
1.5m
2m
0.02m
s tQ
tQ T
tT
MPaA
Q
MPatA
T
MPa
alma
Q
T
IcM
5.7
3.18..2
131.
t
t
s
76744573183
321353183131
2
22
.'
SFS...'
BPonto
.'
SFS.'
APonto
y
y
ss
ss
Ponto A
Ponto B
Cálculo de tensões para a seção crítica da lança
T
H
V
Carga móvel, 50t
Peso próprio, 0.5t/m
Seção crítica Seção crítica
M = Mpp+Mcm1= 1100tm
Q = 60t
Supor um momento torçor
espúrio na seção igual a 20%
de M. Então T = 220tm
Supor também um momento
fletor espúrio na seção,
ortogonal a M e com valor
igual a 20% de M.
MPaA
Q
MPatA
T
MPa
MPa
alma
Q
T
I
cM
M
I
cM
M
Y
zY
Y
Z
yZ
Z
5.7
3.18..2
5.30
131
.
.
t
t
s
s
52.1'
1653.183)5.30131('
6.4'
1.545.73.1835.30'
3.2'
1353.183131'
22
22
22
ss
ss
ss
y
y
y
SFS
CPonto
SFS
BPonto
SFS
APonto
1.5m
2m
0.02m
Ponto A
Ponto B
Ponto C