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Instituto Profesional Iplacex

RESISTENCIA DE MATERIALES

UNIDAD I

MECÁNICA VECTORIAL Y MECANICA ESTÁTICA.

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SEMANA 1

1. INTRODUCCIÓN

Como se indicó en la presentación del curso, lo que aquí se abordará busca que usted conozca y maneje los conceptos básicos del equilibrio estático, fuerzas, momentos,

resistencia de materiales, de esfuerzo y deformación.

Esta semana iniciaremos el estudio de los contenidos definidos en el programa de

estudios, específicamente con los objetivos de:

Conocer y comprender los conceptos básicos del equilibrio estático.

Comprender y valorar la necesidad de entender el comportamiento de los

cuerpos rígidos bajo cargas exteriores

Para ello en este documento se abordarán los contenidos de Fundamentos de

Mecánica Vectorial –Fuerza, Vectores y escalares-, Fundamentos de la mecánica estática:

composición de fuerzas concurrentes y no concurrentes y Fundamentos de Mecánica

Vectorial.

2. FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA VECTORIAL

2.1. Fuerza:(��)

Históricamente, se define por fuerza cualquier acción o influencia que al actuar sobre

un cuerpo es capaz de cambiar el estado de movimiento de éste; por ejemplo, la fuerza que

una persona aplica para mover un escritorio.

2.2. Tipos de fuerzas:

Fuerza de contacto: resulta del contacto físico entre un cuerpo y sus alrededores. Por

ejemplo golpear un balón de futbol con el pie.

Fuerza de campo: Resulta de la acción a distancia entre el cuerpo y sus alrededores

Por ejemplo la fuerza magnética.

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2.3. Unidad de fuerza:

La unidad de fuerza es newton (N) que se define como la fuerza que, al actuar sobre un

cuerpo de una masa 1kg, produce una aceleración de 1 m/s2. El newton se puede expresar

en términos de las siguientes unidades fundamentales de masa, longitud y tiempo.

1N = 1 kg m/s2.

2.4. Características de una fuerza:

Punto de aplicación. Es el lugar concreto sobre el cual actúa la

fuerza. En él se comienza a dibujar el vector que representa la

fuerza.

Magnitud o intensidad. Indica el valor numérico de la fuerza en

newton. Se corresponde con la longitud del vector.

Dirección. Es la recta a lo largo de la cual se aplica la fuerza.

La línea sobre la que se dibuja el vector.

Sentido. Con la misma dirección, una fuerza puede tener dos

sentidos opuestos. Se indica con la punta de la flecha del

vector.

2.5. Vectores y Escalares

En la física hay dos tipos de magnitudes, las escalares y las vectoriales.

La magnitud escalar se describe completamente por un valor numérico con una

unidad de medida apropiada. Por ejemplo: el tiempo, la temperatura y la rapidez.

La magnitud vectorial se describe completamente con un valor numérico con una

unidad de medida apropiada más una dirección y sentido. Por ejemplo: la Fuerza y la

Velocidad.

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2.6. Características de un vector

Para representar una magnitud vectorial se utiliza una letra en negrita, por ejemplo a, o una

flecha sobre el símbolo del vector (a). La magnitud del vector (a) se escribe como a o ⌈a⌉.

Los componentes de un vector son:

Modulo viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es proporcional a la

intensidad de la fuerza. Por ejemplo: Al representar las fuerzas usaremos una escala

similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel equivaldrá a

1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).

Escala Þ 1 cm = 2 N

3 cm × 2 N

1 cm= 6 N

La dirección es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene expresada por el ángulo

que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º,

etc.

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Nota: En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN: 2π rad = 360º; π rad = 180º;

π/2 rad = 90º, etc.

El sentido indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma dirección existen dos

sentidos posibles.

El punto de aplicación es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es

importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del

punto de aplicación.

Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su punto de aplicación.

Nota: Por lo tanto se puede decir que una fuerza es un vector.

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2.7. Fuerza neta

Es cuando varias fuerzas están aplicadas al mismo tiempo sobre un objeto, fuerzas

concurrentes, estas se combinan de tal forma que dan origen a una sola fuerza llanada

fuerza neta. La fuerza neta (FN ) corresponde a la suma vectorial de todas las fuerzas que

actúan sobre un cuerpo. También se conoce como fuerza resultante o fuerza total.

FN = F1 + F2

+ F3 + ⋯ + Fn

Por ejemplo: dos caballos que tiran de un carro. En este caso, cuando dos o más fuerzas

actúan a la vez, sus efectos se suman. En otras ocasiones, los efectos se restan, por

ejemplo, dos niños disputándose un paquete de chucherías.

2.8. Diagrama de cuerpo libre (DLC).

Técnica que se utiliza representar todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, respetando

el módulo y la dirección de cada una de ellas. Se llama de cuerpo libre, ya que solo se

consideran las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en estudio, y no las que sete aplica a

otros objetos. El cuerpo se representa como una masa puntual, es decir, un punto donde su

masa se encuentra concentrada, de esta forma la masa permanece inalterable.

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2.9. Leyes de Newton

2.9.1. Primera Ley de Newton:

Todo cuerpo tiende a mantener su estado, si está en reposo tenderá al reposo, y si está en

movimiento rectilíneo uniforme permanecerá en movimiento con velocidad constante

(rapidez, uniforme en línea recta), si no actúa sobre el alguna fuerza o si la fuerza neta sobre

el objeto es cero.

La fuerza neta 𝐹𝑁 es el resultado de fuerzas externas aplicadas sobre el objeto, es decir,

fuerzas que son el producto de la interacción entre el objeto y su entorno. Cuando la fuerza

neta es cero, la aceleración (��) del objeto es cero. La sumatoria de las fuerzas iguales a cero

se conoce como condición de equilibrio traslacional.

∑ 𝐹𝑁 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 �� = 0

Ejemplo: Una joven camina a través de una cuerda tendida horizontalmente entre dos

edificios separados por 8 metros. A deflexión de la soga cuando esta en el punto medio

forma un ángulo de 12°. Si la masa de la joven es de 46 kg..., ¿cuál es la tensión (T) de la

soga en ese punto?

Desarrollo

Diagrama de cuerpo libre (DLC)

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De acuerdo al DLC al descompones las fuerzas de tensión es la cuerda, tanto la suma de las

componentes de las fuerzas horizontales como verticales deben ser cero.

En el cero horizontal ambas componentes se anulan por ser iguales y opuestas.

En el caso vertical, se puede escribir ∑ 𝐹𝑦 = 0

Entonces, utilizando las relaciones trigonométricas, se tiene:

𝑻 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° + 𝑻 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° − 𝒎 × 𝒈 = 𝟎

𝟐 𝑻 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° = 𝒎 × 𝒈

𝑻 = 𝒎 × 𝒈

𝟐 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐°

𝑻 =𝟒𝟔 × 𝟗,𝟖

𝟎, 𝟒𝟐

𝑻 = 𝟏. 𝟎𝟕𝟑,𝟑 𝑵

2.9.2. Segunda Ley de Newton.

La segunda ley de Newton, conocida también como ley de la aceleración, establece que

cuando se observa un objeto desde un marco de referencia inicial, la aceleración (𝑎) del

objeto es directamente proporcional a la fuerza neta (��𝑁 ) que actúa sobre él y es

inversamente proporcional a su masa (m).

La segunda ley de Newton se expresa en: �� = ∑ 𝐹

𝑚

La dirección de la aceleración será en la dirección de la fuerza neta que actua sobre el

objeto.

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Ejemplo: Cuanta tensión debe resistir un cable si se utiliza para acelerar verticalmente hacia

arriba a 0,6 m/s2, en contenedor de 1.000 kg, en ausencia del roce.

Desarrollo

El DCL muestra todas las fuerzas que actúan sobre el contenedor.

A partir de la segunda ley de Newton

∑ �� = 𝑚 × 𝑎 𝑇 − 𝑚 × 𝑔 = 𝑚 𝑥 ��

El peso se puede calcular como: masa x aceleración de gravedad.

Entonces despejando T de la expresión anterior y remplazando los

valores se tiene:

T = m x a + m x g

T = m (a + g)

T = 1.000 kg (0,6 m/s2 + 9,8 m/s2)

T= 1.000 kg ( 10,4 m/s2)

T = 10.400 N

∑ �� = 𝑚 × ��

Recordemos la relación masa, aceleración y fuerza queda:

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2.9.3. Tercera ley de Newton:

La tercera ley de Newton o ley de acción y reacción, establece si dos objetos llamados A y B

interactúan, la fuerza 𝐹𝐵𝐴 ejercida por el objeto A sobre B es igual en magnitud y opuesta en

dirección a la fuerza 𝐹𝐴𝐵 ejercida por el objeto B sobre el objeto A. Asi, se puede expresar:

𝐹𝐵𝐴 = 𝐹𝐴𝐵

La fuerza que el objeto A aplica sobre el objeto B se conoce como acción y la fuerza que

ejerce el objeto B aplica sobre el objeto A se conoce como reacción. La fuerza de acción

tiene la misma magnitud que la fuerza de reacción pero en dirección opuesta

2.10. Fuerza de roce

Si un objeto está en movimiento interactuará con su entorno, tanto si se mueve sobre una

superficie sólida como si lo hace dentro de un fluido. Esta interacción se traduce en una

resistencia al movimiento del objeto conocida como fuerza de roce o fuerza de fricción.

¿Cómo se produce la fuerza de roce?

La fuerza de roce se genera a partir de la naturaleza de las superficies en contacto, debido a

la rugosidad de ambas.

Para sacar un cuerpo del reposo se le debe aplicar una fuerza..

La fuerza que su opone al movimiento del cuerpo se conoce como fuerza de roce

estática (fs). Mientras el cuerpo no se mueva, la fuerza de roce estática será igual a la

aplicada, si la fuerza aumenta, la fuerza de roce también aumenta.

Cuando el cuerpo está a punto de deslizarse, la fuerza de roce tiene su máximo valor.

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Cuando el cuerpo está en movimiento, la fuerza de roce se denomina fuerza de roce

cinética (fk). Esta fuerza es menor que la fuerza máxima. Si la fuerza aplicada es igual

en magnitud a la fuerza de roce cinética, entonces el cuerpo se moverá con velocidad

constante, pero si la fuerza es mayor que la fuerza de roce cinética, el cuerpo

acelerará en la misma dirección que la fuerza resultante.

2.11. Composición de una fuerza

A continuación estudiaremos la manera de calcular la fuerza resultante para el caso de varias

fuerzas aplicadas en la misma dirección y para el caso de fuerzas aplicadas en direcciones

diferentes. Es lo que se denomina composición de fuerzas.

1) Misma dirección

Mismo sentido: se suman los módulos de los vectores a componer.

Sentidos contrarios: se restan los módulos de los vectores a componer.

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2) Distinta dirección

Perpendiculares: se aplica el método gráfico y usamos el teorema de Pitágoras sobre

el triángulo que determinan los dos vectores y su resultante. Obviamente, el triángulo

es rectángulo (para los despistados).

. No perpendiculares: Se aplica método grafico exclusivamente.

En el caso que hubiera componer más que un vector, lo haríamos sucesivamente uno a uno.

3) Paralelas

Igual sentido (paralelas): Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la

palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante

son iguales:

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F1 · (d – x) = F2 · x

Por otro lado, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas:

R = F1 + F2

Sentidos contrarios (anti paralelas): Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley

de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la

resultante son iguales:

F1 · (d + x) = F2 · x

Por otro lado, el módulo de la resultante es la diferencia de los módulos de las dos fuerzas:

R = F2 - F1

Siempre se restará la menor a la mayor.

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2.12. Descomposición de fuerzas

Descomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya

composición nos del vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de la

composición. Veamos algunos ejemplos;

Hay otra posibilidad

Y otra forma más

Entonces, ¿cuál es la forma correcta de descomponer un vector? Pues todas. En realidad

hay infinitas maneras de descomponer un vector y todas son correctas pues cumplen la

definición de descomposición vectorial. Nosotros vamos a estudiar una llamada

descomposición normal en la que los vectores obtenidos (componentes), son

perpendiculares entre sí.

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Vamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: el

desplazamiento sobre un plano inclinado.

Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerza tiene

dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con la superficie del

plano inclinado y lo empuja hacia abajo.

Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso

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En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos

usando coordenadas cartesianas:

Para componer dos vectores a partir de sus coordenadas cartesianas

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UNIDAD I MECÁNICA VECTORIAL Y MECANICA ESTÁTICA.

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SEMANA 2

1. INTRODUCCIÓN

Esta semana abordaremos contenidos que permitan seguir comprendiendo conceptos

básicos del equilibrio estático y comprender el comportamiento de los cuerpos rígidos bajo

cargas exteriores.

2. FUERZA MECÁNICA ESTÁTICA

2.1. Fuerza concurrente:

Fuerzas cuyas líneas de acción tienen un punto en común; con la aplicación de la ley del

paralelogramo se puede calcular su suma vectorial.

2.2. Sistema de fuerzas concurrentes.

Se llama así al proceso o mecanismo para obtener la resultante entre 2 o más fuerzas

aplicadas a un cuerpo.

2.3. Composición de dos fuerzas concurrentes

Dos fuerzas, aplicadas a un cuerpo de modo que tengan un punto en común forman un

sistema de dos fuerzas concurrentes.

En un sistema de dos fuerzas concurrentes pueden ofrecer dos circunstancias;

a) Que las dos fuerzas pertenezcan a la misma recta; es decir, que tengan igual dirección.

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b) Que cada una de las dos fuerzas pertenezcan a distintas rectas.

Cuando cada una de las dos fuerzas pertenece a la misma recta pueden darse 3 casos.

1. Que tengan distinto sentido pero igual intensidad. Por ejemplo: cuando dos personas tiran

de una cuerda sin ningún vencedor.

De aquí deducimos que la resultante de dos fuerzas de igual intensidad, que pertenecen a

una misma recta es nula.

En símbolos es:

R = F1 + F2 = 0

2. Que las dos fuerzas tengan igual sentido. Por ejemplo: cuando dos personas tratan de

empujar un automóvil o una carga cualquiera.

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Esto nos indica que la resultante de dos fuerzas de igual dirección y sentido es otra fuerza de

igual dirección y sentido que aquéllas, y cuya intensidad equivale a la suma de ambas.

3. Que las dos fuerzas tengan igual dirección, pero sentido e intensidad distintos. Por

ejemplo: el mismo de las personas tirando de la cuerda, pero con un vencedor. El que

vence, lo consigue aplicando una fuerza superior a la del otro, En este caso, el que

pierde se desplaza en dirección del ganador.

De lo expuesto deducimos que la resultante de dos fuerzas de igual dirección, pero con

sentido e intensidad distintos es otra, cuyo sentido está determinado por el de la fuerza

mayor y cuya intensidad es igual a la diferencia de intensidad de ambas fuerzas.

En el caso de que las dos fuerzas no pertenezcan a una misma recta, se aplica la llamada

regla del paralelogramo, que se enuncia así:

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Por el extremo de cada una de las fuerzas se traza una paralela a la otra, Así se forma un

paralelogramo. La diagonal que parte del origen de las fuerzas es la resultante del sistema.

Si las fuerzas no tuvieran el punto en común O, se procede a prolongar sus direcciones hasta

que se determine el punto de intersección, y a partir de éste se trasladan las fuerzas.

2.4. Descomposición de fuerzas

2.4.1. Descomponer una fuerza según dos direcciones dadas

Procediendo en forma inversa al caso de la composición de dos fuerzas concurrentes,

podremos calcular las fuerzas F1 y F2, que denominamos componentes de la fuerza

dada R. Para ellos, procedemos así: por el extremo de la fuerza R trazamos las paralelas a

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las direcciones m y n hasta cortarlas. Los segmentos determinados sobre cada una de ellas

nos darán las fuerzas buscadas.

2.4.2 Descomposición en el plano inclinado y en el péndulo

1. En el plano inclinado (tobogán, dispositivos para deslizar objetos, etc.) Si consideramos la

descarga de un cuerpo por un plano inclinado, observamos que aquél se desliza por la

acción de una fuerza F, cuyo origen explicaremos.

A primera vista, la única fuerza actuante es la del cuerpo. Veamos que ocurre. En el

punto G está aplicada la fuerza P, pero del cuerpo (con dirección y sentido hacia el centro de

la tierra). Por el punto G trazamos la paralela al plano inclinado y una perpendicular a dicho

plano (rectas a y b). Por el extremo de P trazamos las paralelas a las rectas a y b; de este

modo determinamos los puntos T y V.

¿Qué hemos logrado? Descomponer, según lo explicado, la fuerza P en otras 2: F1 y F2.

Consecuentemente, la acción de la fuerza P que quedado transformada en F1 y F2 o

reemplazarlas por ellas.

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2. En el péndulo (columpio, péndulo de reloj, etc.) Procedemos como en el ejemplo del caso

anterior. La fuerza P (peso del cuerpo) se descompone según dos direcciones: una

perpendicular al hilo y otra igual a la del hilo y otra igual a la del hilo. En el

punto A actuaba P; ahora, en su reemplazo, actúan F1 y F2. Pero por el principio de acción y

reacción, F2 queda anulada por la reacción del hilo, que se pone tenso (si no reaccionara, el

péndulo caería por rotura del hilo; la reacción también es del soporte M).

Queda solamente, actuando sobre el punto A, la fuerza F1, que hace desplazar al péndulo

sobre B.

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2.5. Resultante de varias fuerzas concurrentes

2.5.1. Método del paralelogramo

Por la regla del paralelogramo, relativa a las fuerzas, sabemos obtener la resultante entre

dos fuerzas concurrentes. En caso de ser más, procede del modo siguiente: se calcula la

resultante entre las dos primeras F1 y F2 y se logra la primera resultante parcial, R1. A esta

resultante se le suma la tercera fuerza y se consigue la resultante R2. A esta nueva

resultante se le suma la cuarta fuerza, y así sucesivamente, hasta haber sumado la última

fuerza.

2.5.2. Método de la poligonal

En este caso también podemos aplicar lo que conocemos como suma de vectores.

Es decir, que a continuación de la primera fuerza F1, construimos un vector F2, equipolente

con F2; a continuación de éste, otro, F3, equipolente con F3, y así sucesivamente, hasta

construir el equipolente al último dado. La resultante R está dada por el vector cuyo origen

es el de las fuerzas y su extremo es el del último transportado.

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2.6. Fuerza Equilibrante

Si al sistema dado le aplicamos una fuerza E de igual intensidad que R pero de sentido

contrario, el cuerpo permanece en equilibrio. De ahí que E se denomina equilibrante.

2.7. Ecuaciones de Equilibrio

Si sobre un objeto actúan n fuerzas, es condición necesaria y suficiente para el equilibrio

que la resultante R del sistema de fuerzas sea nula:

R = 0 = ( F1; F2; F3; ….; Fn).

Simbólicamente, la condición anterior puede escribirse como:

𝑅 = ∑ 𝐹 = 0

Pero teniendo presente que las cantidades involucradas en la sumatoria corresponden a

cantidades vectoriales que no pueden sumarse simplemente en forma algebraica, sino

conforme a las reglas establecidas a la composición de fuerzas.

La ecuación vectorial puede expresarse escalarmente en términos de las composiciones de

las fuerzas. En referencia a un sistema de ejes x e y en el espacio bidimensional, si

agregamos el eje z se transforma es un espacio tridimensional, se transforman en tres

ecuaciones escalares:

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𝑅𝑋 = ∑ 𝐹𝑋 = 𝐹𝑋1 + 𝐹𝑋2 + ⋯ + 𝐹𝑋𝑛 = 0

𝑅𝑌 = ∑ 𝐹𝑌 = 𝐹𝑌1 + 𝐹𝑌2 + ⋯ + 𝐹𝑌𝑛 = 0

𝑅𝑍 = ∑ 𝐹𝑍 = 𝐹𝑍1 + 𝐹𝑍2 + ⋯ + 𝐹𝑍𝑛 = 0

En la ecuación de equilibrio RX, es la componente X de la resultante, y F1X, F2x hasta Fnx, son

las componentes según x de las fuerzas F1, F2 hasta Fn, respectivamente. Similar significado

tiene las demás ecuaciones, pero en referencia a las proyección de las fuerzas en los ejes X,

Y, Z respectivamente. En forma más simple las condiciones de equilibrio se escriben usando

la siguiente notación:

∑ 𝐹𝑋 = 0

∑ 𝐹𝑌 = 0

∑ 𝐹𝑍 = 0

Adicionalmente las ecuaciones de equilibrio de fuerza, se pueden resolver utilizando formas

alternativas de expresarlas, como también ciertas propiedades que son con frecuencia útiles.

Estas se resumen en los teoremas siguientes:

Teorema del polígono de fuerzas: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de

varias fuerzas, el polígono de ellas es cerrado. La conclusión es obvia ya que la

condición geométrica de polígono cerrado es equivalente a que la resultante sea nula.

Teorema de la coplanaridad: Si una partícula está en equilibrio bajo la reacción de 3

fuerzas, las fuerzas son coplanares. Ello se demuestra reconociendo que dos de las

fuerzas definen un plano, por lo tanto la tercera fuerza no podrá estar fuera del plano

que sería imposible equilibrar su componente perpendicular al plano de las otras dos.

Teorema del triángulo: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de 3 fuerzas,

estas pueden representarse en magnitud y dirección por los lados de un triángulo.

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Esta es conclusión directa de los teoremas anteriores, ya que el polígono cerrado es

un triángulo plano.

Teorema de Lamy: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de 3 fuerzas, la

magnitud de cada una de ellas es proporcional al seno del ángulo formado por las

otras dos. De la trigonometría se tiene el conocimiento del teorema del seno en un

triángulo plano:

𝑎

𝑠𝑒𝑛 ∝=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛽=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝛾

Teorema del cuerpo sometido: Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de tres

fuerzas, las fuerzas son coplanares y sus líneas de acción son o bien concurrentes o

paralelas.

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2.8. Fuerzas no concurrentes

Es un grupo de fuerzas actuando sobre un mismo cuerpo cuyas líneas de acción no se

cruzan, es decir, no concurren a un mismo punto. La utilidad de saber esto es porque la

forma de calcular el efecto final del grupo de fuerzas actuando a la vez (conocido como

fuerza resultante) depende entre otras cosas de saber si el sistema es concurrente o no.

Por supuesto, si lo piensas un momento, si las líneas de acción de las fuerzas no se cruzan

nunca, solo puede tratarse de fuerzas paralelas, como también se conoce este tipo de

sistema de fuerzas.

2.8.1. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y Paralelas

a) Hay dos condiciones algebraicas independientes de equilibrio.

∑F = ∑M = 0

∑Ma = ∑Mb = 0

Ambas condiciones son suficientes para hacer la resultante igual a cero. En efecto, si hay

resultante será una fuerza o un par.

Si ∑F = 0, la resultante no es una fuerza, y si ∑Ma = 0, no es un par; por lo tanto, no

hay resultante.

Si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; y si también

∑Mb = 0, el momento de la resultante respecto a b debe ser cero, lo que implica que la

fuerza es cero.

Gráficamente, hay dos condiciones de equilibrio; el polígono de fuerzas y el funicular deben

cerrar porque en el primer caso si hay resultante será un par, pero con la condición segunda

no existirá el par.

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B) Hay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio:

∑Fx = ∑Fy = ∑Ma = 0

∑Fx = ∑Ma = ∑Mb= 0

∑Ma = ∑Mb = ∑Mc= 0

Hay que advertir que los ejes x, y, de las componentes y los orígenes de momentos deben

estar en el plano de las fuerzas, y los tres puntos a, b, c, no deben ser colineales.

Estas tres condiciones bastan para dar resultante igual a cero. En efecto, si existe resultante

será una fuerza o un par.

Cuando ∑Fx = ∑Fy = 0, la resultante no es fuerza, pero si ∑M = 0, no es un par y no

habrá resultante.

Cuando ∑Fx = 0, la resultante es perpendicular al eje o un par; si ∑Ma = 0, no es un

par sino una fuerza que pasa por a y perpendicular al eje; si además, ∑Mb = 0, el

momento de esa fuerza respecto a b es cero, y por tanto, la fuerza es cero.

Cuando ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; si

además, ∑Mb = 0, la resultante pasa por b, pero si ∑Mc = 0, esta resultante será cero.

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UNIDAD II FUNDAMENTO DE RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

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SEMANA 3

1. INTRODUCCIÓN

Como se indicó en la presentación del curso, lo que aquí se abordará busca que usted conozca y maneje los conceptos básicos del equilibrio estático, fuerzas, momentos,

resistencia de materiales, de esfuerzo y deformación.

Esta semana iniciaremos el estudio de los contenidos definidos en el programa de

estudios, específicamente con los objetivos de:

Conocer, valorar y manejar el lengua en el área de las estructuras resistentes como

una herramienta para el desarrollo profesional.

Para ello en este documento se abordarán los contenidos de Fundamentos de materiales

(Principio de superposición de efectos: caso general). Introducción al diagrama de tensión:

(Deformaciones transversales, Tensiones efectivas y Deformaciones Cubicas)

2. Fundamentos de resistencia de materiales.

El calculista debe dimensionar las estructuras de forma que no fallen ni se deformen

excesivamente bajo cualquier condición posible de carga. Los miembros siempre se diseñan

con una capacidad significativamente más grande que la requerida para soportar las cargas

de servicio previstas (ya sean cargar reales o las especificas por el reglamento de diseño).

Esta capacidad adicional provee también un factor de seguridad contra sobrecarga adicional.

Es más, limitado el nivel de esfuerzo, el diseñador ofrece indirectamente cierto control sobre

las deformaciones de la estructura. El esfuerzo máximo permisible de un miembro se

determina por la resistencia a la tensión o a la compresión del material o, en el caso de

miembros esbeltos sujetos a compresión, por el esfuerzo al cuál un miembro (o un

componente del miembro) se pandea.

Aunque las estructuras deben diseñarse con un factor de seguridad adecuado para reducir la

probabilidad de falla a un nivel aceptable, el ingeniero debe asegurarse de que la estructura

tenga suficiente rigidez para operar funcionalmente bajo todas las condiciones de cargar. Por

ejemplo, las vigas de piso no deben tener flechas excesivas o vibrar bajo carga viva. Las

deflexiones excesivamente grandes de las vigas pueden causar agrietamiento en los muros

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de mampostería (albañilería) y techos de yeso, o pueden dañar equipo al desalinearlo. Los

rascacielos no deben balancearse excesivamente bajo cargas eólicas (pues el edificio

causaría mareos a quienes se hallen en los pisos superiores); los movimientos excesivos de

un edificio no solo son molestos para los ocupantes, quienes se mostrarían preocupados por

la seguridad de la estructura, sino que también pueden provocar grietas en los muros

exteriores y ventanas. La estructura del edificio se debe rigidizar para corregir las deficiencias

de diseño.

2.1. Reacciones

Se dice que un cuerpo en reposo está en equilibrio estático: la resultante de las fuerzas

externas que actúan sobre el cuero (incluyendo las fuerzas de apoyo, que se llaman

reacciones) es igual a cero. No solo deben ser cero la suma de todas las fuerzas (o de sus

componentes) que actúan en cualquier dirección posible, sino también la suma de los

momentos de todas las fuerzas respecto a cualquier eje.

Para que una estructura, o una parte de ella, estén en equilibrio bajo la acción de un sistema

de cargas, deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio de la estática. Con los ejes x, y y z,

las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse de la siguiente manera:

∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝐹𝑧 = 0

∑𝑀 = 0 ∑𝑀𝑦 = 0 ∑𝑀𝑧 = 0

Para fines de análisis y diseño, la mayoría de las estructuras pueden considerarse planas,

sin que ello implique perdida de exactitud. Para estas estructuras, que generalmente se

pupone están en le plano xy, la suma de las fuerzas en las direcciones x, y y, así como la

suma de los momentos respecto a un eje perpendicular al plano, debe ser cero. Las

ecuaciones de equilibrio se reduce a :

∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀𝑖 = 0

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Comúnmente estás ecuaciones se escriben como:

∑𝐹𝐻 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀 = 0

Estas ecuaciones no se pueden demostrar de manera algebraica, solo expresan la

afirmación de Isaac Newton de que para cada acción sobre un cuerpo hay una reacción igual

y opuesta. Si la estructura en construcción es una viga, una armadura, un margo rígido, o

algún otro tipo de ensamblado soportado por diferentes reacciones, las ecuaciones de

equilibrio de la estática deben satisfacerse para que esa estructura permanezca en equilibrio.

2.2. Diagrama de cuerpo libre

Para que una estructura este en equilibrio, todas y cada una de sus partes también deberían

estarlo. Las ecuaciones de equilibrio estático son igualmente aplicables a cada pieza de la

estructura como lo son toda la estructura. Es posible, entonces, dibujar un diagrama de

cualquier parte de una estructura, incluyendo todas las fuerzas que están actuando en esa

parte de la estructura, y aplicar las ecuaciones de equilibrio estático a sea parte. A un

diagrama como esté se denomina diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas que actúan sobre el

cuerpo libre son las fuerzas externas que actúa sobre esa pieza dela estructura, así como

las fuerzas internas aplicadas desde las partes adyacentes de la estructura.

La figura (a), muestra una viga simple que tiene dos soportes y sobre ellas actúan dos

cargas. Un diagrama de cuerpo libre de toda la viga como muestra la figura (b), establece

todas las fuerzas de reacción. También podemos cortar la viga en el centro y dibujar un

diagrama de cuerpo libre para cada una de sus dos partes. El resultado se muestra la figura

(c). Observe que ahora hemos incluido fuerzas internas en la posición del corte sobre los

diagramas: las fuerzas internas son las mismas sobre las dos partes, pero las direcciones en

que ellas actúan son opuestas entre sí. En esencia, los efectos del lado derecho de la viga

sobre el lado izquierdo se muestra sobre cuerpo libre izquierdo y viceversa. Por ejemplo, la

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parte derecha de la viga tiende a empujar al cuerpo libre izquierdo hacia abajo mientras que

la parte izquierda está tratando de empujar el cuerpo libre hacia arriba.

Recordatorio

Momento de una fuerza: Las fuerzas aplicadas en una

dirección que no pasa por el centro de gravedad de un objeto

producen un giro en éste.

Para medir la magnitud de este giro se define Momento de

una fuerza con respecto a un punto O como un vector cuya

dirección es perpendicular al plano que forman O con la recta

dirección de y el sentido lo marca la regla del tornillo.

|𝑀| = |𝐹 | × |𝑟 | × 𝑠𝑒𝑛 ∝

Su módulo vale |𝑀| = |𝐹 | × |𝑟 | × 𝑠𝑒𝑛 ∝ = 𝐹 × 𝑑 d α = × × = × sen siendo “ α ” el ángulo

que forman los dos vectores y “d” la distancia (más corta) de O a la recta dirección de 𝐹 .

6


Ejemplo: En los extremos de una barra de 2 m de longitud se ejercen dos fuerzas paralelas y

de sentido contrario de 10 N y 20 N y perpendiculares a la barra. a) Determina el módulo del

momento resultante de dichas fuerzas sobre el punto medio de la barra.

Desarrollo

Los Momentos de ambas fuerzas tienen la misma dirección y sentido con lo que:

M total = M1 + M2 = F1 x d1 + F2 x d2 =

10 N x 1,0 m + 20 N x 1,0 m =

10 N x m + 20 N x m = 30N x m.

Respuesta: El momento resultante es de 30Nxm.

2.3. Reacciones calculadas con ecuaciones de equilibrio estático.

El cálculo de reacciones por medio de las ecuaciones de equilibrio estático se ilustrará en un

ejemplo: Al aplicar la ecuación ∑𝑀 = 0, puede seleccionarse un punto como centro de

momentos, tal que las líneas de acción de todas, menos una de las incógnitas, pase por este

punto. La incógnita se denomina con la ecuación de momentos, y las otras componentes de

reacción se encuentran aplicado las ecuaciones ∑𝐹𝐻 = 0 y ∑𝐹𝑦 = 0.

En el siguiente ejemplo que veremos la viga tiene tres componentes de reacción

desconocidas; una vertical y una horizontal en A, y una vertical en B. Se toman momentos

respecto a A para encontrar el valor de la componente vertical en B. Se iguala a cero la suma

de todas las fuerzas verticales y así es como se encuentran la componente de reacción

vertical en A. Se describe una ecuación similar para las fuerzas horizontales aplicadas a la

estructura, y se encuentra que la componente de reacción horizontal en A es igual a cero.

El cálculo de las reacciones puede verificarse tomando momentos respecto a otro punto

sobre la estructura, generalmente otro soporte como se ilustra en el ejemplo.

7


Ejemplo: Calcular las componentes de reacción para la viga que se ilustra en la siguiente

figura:

Desarrollo: Las fuerzas de reacciones y sus sentidos supuestos se muestran en la figura.

Comenzamos la solución sumando fuerzas horizontales para determinar HA.

∑𝐹𝐻 = 𝐻𝐴 = 0 , ∴ 𝐻𝐴 = 0

A continuación sumaremos momentos en el sentido de las manecillas del reloj

respecto al soporte izquierdo. Después de hacerlo se obtiene la ecuación

∑𝑀𝐴 = 20 × 10 + 15 × 20 + 16 × 32 − 𝑉𝐵 × 40 = 0

200 + 300 + 512 = 𝑉𝐵 × 40

1012

40= 𝑉𝐵

𝑉𝐵 = 25,3 𝐾𝑙𝑏

8


El resultado VB es positivo, por lo que el sentido supuesto para ella es correcto, la

reacción en B actúa hacia arriba. Finalmente, las fuerzas verticales se suman para

calcular la reacción restante.

∑𝐹𝑌 = 𝑉𝐴 − 20 − 15 − 16 + 𝑉𝐵 = 0

𝑉𝐴 − 51 + 25,3 = 0

𝑉𝐴 − 25,7 = 0

𝑉𝐴 = 25,7 𝐾𝑙𝑏

De nuevo, la reacción calculada es A es positiva. Por lo que el sentido supuesto es

correcto. Podemos sumar momentos respecto a B para verificar nuestros cálculos.

∑𝑀𝐵 = 25,7 ×40 − 20 × 30 − 15 × 20 − 16 × 8 = 0

∑𝑀𝐵 = 1100 − 600 − 300 − 128 = 0

∑𝑀𝐵 = 0

Por lo tanto, ya que la suma de los momentos es igual a cero, las reacciones calculadas son

las correctas.

9


2.4. Principio de superposición

Si una estructura en forma clásica lineal, la fuerza o desplazamiento en un punto específico

generado por un conjunto de cargas que actúan simultáneamente se evalúa sumando

(superponiendo) las fuerzas o los desplazamientos en el punto particular generados por

cada una de las cargas del conjunto que actúa individualmente. En otras palabras, la

respuesta de una estructura clásica lineal es la misma si todas las cargas se aplican

simultáneamente o si los efectos de las cargas individuales se combinan.

El principio de superposición puede ilustrarse considerando las fuerzas y deflexiones

generadas en voladizo mostrado en la siguiente figura, muestra las reacciones y la

configuración deformada provocada por las fuerzas P1 y P2.

Las siguientes figuras muestran las reacciones y las configuraciones deformadas generadas

por las cargas que actúan en forma separada sobre la viga.

10


El principio de superposición establece que la suma algebraica de las reacciones – fuerzas

internas o deslazamientos – en cualquier punto específico de las figuras anteriores. Dicho de

otro modo las siguientes expresiones son válidas:

𝑅𝐴 = 𝑅𝐴1 + 𝑅𝐴2

𝑀𝐴 = 𝑀𝐴1 + 𝑀𝐴2

∆𝑐 = ∆𝐶1 + ∆𝐶2

El principio de superposición no se aplica a vigas - columnas o a

estructuras que experimentan cambios sustantivos en su geometría al

ser cargadas. Por ejemplo la siguiente figura en voladizo cargada por una

fuerza axial P.

El esfuerzo axial P es generar únicamente

11


esfuerzos directos en la columna; P no produce momento

La siguiente figura muestra una fuerza horizontal H aplicada en la parte superior de la misma

columna, esta carga genera tanto un momento como un corte.

La siguiente figura muestra las cargas de las figuras

anteriores que se aplican simultáneamente a la columna. Si

sr suman los momentos alrededor del punto A para obtener el

momento en la base de la columna en su posición deformada

(la parte superior tiene una deformación horizontal igual a

una distancia ∆), el momento en la base se expresa como:

𝑀′ = 𝐻𝐿 + 𝑃∆

El primer término representa el momento primario generado

por la carga transversal H. El segundo término, llamado el momento P∆, representa el

momento provocado por la excentricidad de la carga axial P. El momento total en la base

excede, evidentemente, al momento producido por la suma de los casos establecidos

anteriormente. Como el desplazamiento lateral en el extremo superior de la columna

producido por la carga lateral genera momento adicional en todas las secciones a lo largo de

la longitud de la columna, las deformaciones por flexión de la columna de la figura son mayor

que las deformaciones de la figura anterior. Debido a que la presencia de carga axial

incrementa la deflexión de la columna, se aprecia que la carga axial tiene un efecto reductor

en la rigidez flexionante de la columna. Si rigidez flexionante de la columna es grade y ∆ es

pequeña o si P es pequeña, entonces el momento P∆ será pequeño y puede ignorarse en la

mayoría de los casos.

Ejemplo: Encontrar todas las componentes de reacción para la viga en voladizo que se

muestra en la figura

12


Desarrollo:

Aquí se ilustra el diagrama de cuerpo libre que se usa para el análisis

Diagrama de cuerpo libre

𝑐 = √(𝑎)2 + (𝑏)2

10 = √(2 × 3)2 + (2 × 4)2

10 = √(6)2 + (8)2

De la suma de las fuerzas verticales se obtiene la reacción vertical en A

∑𝐹𝑌 = −20 − 8 + 𝑉𝐴 = 0

𝑉𝐴 = 28 𝑘𝑙𝑏

De la suma de las fuerzas horizontales se obtiene la reacción horizontal en A

13


∑𝐹𝐻 = −6 − 𝐻𝐴 = 0

𝐻𝐴 = 6 𝑘𝑙𝑏

Finalmente, de la suma de momentos en el sentido de las manecillas del reloj

alrededor de A se obtiene la componente rotacional de la reacción.

∑𝑀𝐴 = −20 × 20 − 8 × 10 + 𝑀𝐴 = 0

− 400− 80 + 𝑀𝐴 = 0

𝑀𝐴 = 480 𝐾𝑏𝑙/𝑝𝑖𝑒

2.5. Introducción al diagrama de tensión

Deformación: Es el cambio del tamaño o forma de un cuerpo debido a los esfuerzos

producidos por una o más fuerzas aplicadas (o también por la ocurrencia de la dilatación

térmica). Independientemente de la forma en que se aplica la fuerza, el comportamiento

mecánico del material se describe mediante tres tipos de deformaciones: tracción,

compresión y corte.

14


Las deformaciones de las estructuras son causadas por momentos flexionantes, por fuerzas

axiales y por fuerzas cortantes. En vigas y en marcos, los valores máximos son causados por

momentos flexionantes, mientras que en las armaduras los valores máximos son causados

por fuerzas axiales. Las deflexiones por fuerzas cortantes no se consideran en este estudio,

ya que son muy pequeñas en casi todas las estructuras tipo viga. Las deflexiones por fuerzas

cortantes, como un porcentaje de las deflexiones de una viga, crecen conforme aumenta la

razón del peralte (desnivel) al claro de la viga.

2.6. Energía de Deformación

Si una barra se carga axialmente, se deforma y almacena energía de deformación U. Por

ejemplo en la barra mostrada en la figura (a), la carga P aplicada externamente induce a una

fuerza interna axial F de igual magnitud ( es decir, F = P ). Si la barra se comporta

elásticamente (y es válida la ley de Hooke), la magnitud de la energía de deformación U

almacenada en una barra, debida a una fuerza que se incrementa linealmente desde cero

vasta un valor final F al experimentar la barra un cambio de longitud ∆L, es igual:

𝑈 = 𝐹

2 𝑥 ∆𝐿

Donde

∆𝐿 = 𝐹 × 𝐿

𝐴 𝑋 𝐸

Dónde:

L = longitud de la barra.

A = área transversal de la barra

E = módulo de elasticidad

F = valor final de la fuerza interna axial.

15


Sustituyendo las ecuaciones anteriores U, se expresa en términos de la fuerza en la barra F

y de las propiedades del miembro como:

𝑈𝛿 = 𝐹

2 ×

𝐹𝐿

𝐴𝐸=

𝐹2 𝐿

2𝐴𝐸

Si la magnitud de la fuerza axial permanece constante al experimentarse en la barra un

cambio de longitud ∆L atribuible a algún efecto externo (por ejemplo, un cambio de

temperatura), la energía de deformación almacenada en el miembro es igual a:

𝑈 = 𝐹 × ∆𝐿

2.7. Deformación Transversal

Deformación Uniforme: Cambio de longitud entre la longitud inicial (Lo) y la final (Lt).

Si a una barra recta de sección transversal constante le aplicamos una carga de tracción o

compresión, experimenta (a medida que la carga aumenta), un alargamiento (tracción) o

acortamiento (compresión), cuya magnitud depende de la naturaleza y dimensiones del

material, esta deformación se la denomina (∆l), que resulta de la diferencia entre la longitud

inicial y la longitud al momento cualquiera que posee la pieza.

16


Cuando la sección transversal varia o el material presenta características diferentes en la

misma, a deformación unitaria representa un valor medio y se deberá determinar el

alargamiento o acortamiento producido en una longitud elemental.

Si el esfuerzo es tangencial o de corte, la deformación que se produce varia corrientemente

de un lado a otro, puede expresarse como una deformación angular. Si tenemos un cuerpo

elemental en l que actúan las fuerzas cortantes únicamente sobre la cara BC. Por la cara AD

se generan esfuerzos cortantes opuestos además supondremos que la altura l está

constituida por placas superpuestas de pequeño espesor, estas se deslizaran entre sí lo que

nos indica que el deslizamiento total o deformación total estará dada por el segmento BB’, el

que por unidad de longitud será igual a la tg del ángulo de deslizamiento.

Deformación unitaria por deslizamiento = BB’ = tg γ

De acuerdo a la magnitud del esfuerzo y a la naturaleza del material, las deformaciones

especificas o angulares pueden ser transitorias o elásticas cuando desaparecen al cesar la

carga que las originan, y permanentes o plásticas en caso contrario.

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Cuando un material se rompe en su periodo elástico con muy poca deformación plástica,

resulta frágil y su fractura se produce en forma brusca, tal como ocurre en la fundición,

aceros resistentes, hormigones.

Cuando presenta deformación plástica resulta Dúctil, Maleable o Tenaz (aceros blandos).

Dúctil: cuando la deformación plástica se origina por esfuerzos de tracción (el material

es alargado o estirado).

Maleable: cuando los esfuerzos son de compresión (aplastamiento).

Desde el punto de vista tecnológico la ductilidad es la propiedad de los materiales de permitir

ser transformados en alambres o hilos (trefilado) y la maleabilidad la de dejarse extender

hasta adoptar la forma de planchuelas o chapas (martillado y laminado).

Si tenemos en cuenta el trabajo absorbido por el material en su proceso de deformación

hasta la rotura, el mismo será tanto mayor cuanto mayor sea su resistencia y capacidad de

deformación plástica, obteniéndose lo que se conoce como:

Tenacidad: o propiedad de absorber energía que impide en muchos caso la fractura

de los elementos expuestos a cargas de choque o impactos.

Resilencia, Rechazo o Elasticidad: característica de comportarse como un resorte,

cuando la carga aplicada no excede del periodo elástico del material, la carga

acumulada es devuelta por el mismo al cesar aquella.

18


2.8. Tensione

Para introducir la definición de tensión se considera un cuerpo sólido sometido a la acción de

un sistema de fuerzas exteriores (cargas aplicadas y reacciones) en equilibrio, y se realiza un

corte por una sección cualquiera S. Para que exista equilibrio en las dos partes resultantes,

(A) y (B), deben existir unas ciertas fuerzas de interacción en la superficie S, a las que

llamaremos F. Las fuerzas de interacción son iguales en magnitud y dirección, pero de

sentidos opuestos, sobre las secciones S de las partes (A) y (B), según exige el principio de

acción y reacción. Así la parte derecha ejerce sobre la izquierda una fuerza ∆F, y la fuerza

por unidad de área resulta:

𝑡𝑚 = ∆ 𝐹

∆ 𝑆

A esta fuerza por unidad de área se le llama tensión media sobre la superficie S. Si el área

se expresa en forma diferencial de área dS, se obtiene lo que se define como tensión en un

punto según la superficie S:

𝑡 = lim∆𝑆→0

∆ 𝐹

∆𝑆 =

𝑑𝐹

𝑑𝑆

Invirtiendo la definición de la tensión se desprende que la fuerza F es igual a la integral de las

tensiones en toda el área.

19


La definición de tensión presentada requiere las siguientes observaciones:

La tensión depende del punto y de la orientación de la sección elegida. Así en un

punto dado se tendrán diferentes tensiones según la orientación considerada, y para

una sección S dada se tendrán tensiones diferentes para distintos puntos.

En general la tensión no es normal al plano considerado sino que puede

descomponerse según dos componentes: la tensión normal al plano de la sección, α

(sigma), y la tensión tangencial a dicho plano, ṛ (tau).

Las dimensiones de la tensión son [FL-2], fuerza por unidad de superficie.

2.9. Principio de Tensión efectiva

En cualquier punto y dirección de un suelo saturado existe una tensión total (σ) y una presión

intersticial (u), esta última corresponde a la de la fase líquida. Con estas variables y en el

marco de los suelos saturados, se define tensión efectiva ( σ ’) como la diferencia entre el

valor de la tensión total y la presión intersticial:

20


𝜎 ′ = 𝜎 − 𝑢

Esta variable, obtenida por Terzaghi, es quizá la más importante de la Mecánica de Suelos,

ya que controla en gran medida la compresión del esqueleto y la resistencia al esfuerzo

cortante de un suelo. Así el principio de Terzaghi o de principio de tensiones efectivas,

ampliamente demostrado experimentalmente, enuncia que un terreno sólo se deforma si

varían sus tensiones efectivas.

La publicación de este principio en 1925 en la obra Erdbaumechanik de Karl Terzaghi, se

considera la fecha del nacimiento de la Mecánica de Suelos como una ciencia moderna.

El principio de tensiones efectivas no tiene una demostración analítica, simplemente se ha

demostrado experimentalmente, pero a continuación se presenta una interpretación física del

valor de la tensión efectiva, con la que se podrá justificar.

En primer lugar se expresa el equilibrio de fuerzas normales sobre un plano que pasa entre

el contacto de dos partículas de un suelo saturado:

A continuación se divide entre la superficie S para convertir las fuerzas en tensiones:

21


Finalmente se introduce la definición de tensión total ( σ = N/S), teniendo en cuenta que en

suelos y con el nivel de tensiones normalmente empleados en ingeniería Sc/S es muy

pequeño y se puede despreciar frente al valor de 1. Resulta:

Esta pequeña justificación teórica permite mostrar que la tensión efectiva se puede

interpretar como el valor aproximado de la fuerza transmitida por el esqueleto mineral

dividida entre el área total de la superficie.

Gracias a esta interpretación el principio de tensiones efectivas se puede justificar en base a

que las tensiones efectivas, proporcionales a las fuerzas en los contactos, son las

responsables de los procesos deformacionales de un suelo. Al cambiar éstas, cambian los

esfuerzos entre partículas que se reordenan y giran produciendo deformaciones.

No se debe olvidar que el principio de tensiones efectivas no se ha demostrado teóricamente,

aunque está ampliamente probado de forma experimental. Sin embargo, no es válido en el

estudio de rocas y de suelos no saturados.

3. Deformaciones Cubicas

Cuando una barra o cualquier trozo de metal es calentado a alta temperatura, se dilata en

sus tres dimensiones: largo, ancho y alto. Por ejemplo, en los pisos, es necesario dejar un

espacio entre las losetas para que cuando la temperatura ambiental aumente, el piso no

sufra deformaciones o cuarteaduras.

El coeficiente de dilatación cúbica se calcula con base en la dilatación lineal, ya que es tres

veces mayor, es decir:

β= 3[Lf-Lo/Lo(Tf-To)]

Se puede calcular el aumento de volumen al variar la temperatura con la siguiente fórmula:

22


Vf=Vo[1+ β(Tf-To)]

Ejemplo: ¿Cuál será el volumen final de una sustancia cuyo coeficiente de dilatación cubica

es de 1,89 x 10-4/ °C, si originalmente tiene una temperatura de 12° C y un volumen de 130

cm#, cuando su temperatura se incrementa hasta 50° C?

Datos:

Vf =?

β= 1.89 x 10-4/°C

To =12°C

Tf =50°C

Vo =130 cm3

Reemplazamos:

Vf=Vo[1+ β(Tf-To)]

Vf = 130cm3 [ 1 + 1,89 x 10-4/ °C ( 50°C – 12°C)

Vf = 130,93 cm3

Respuesta: El volumen final de la sustancia es de 130,93 cm3, donde su volumen

inicial era de 130 cm3, esto significa que su volumen varia en 0,93 cm3.

http://3.bp.blogspot.com/_T21emROTXxQ/TO9WJdd9n2I/AAAAAAAAADE/3vfQjkGs4rU/s1600/dilatacion-de-los-solidos.png

1



UNIDAD II FUNDAMENTO DE RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

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SEMANA 4

INTRODUCCIÓN

Esta semana continuamos revisando los contenidos de la segunda unidad de aprendizaje, los cuales tienes por objetivo de aprendizaje conocer, valorar y manejar el lenguaje en el área de las estructuras resistentes como una herramienta para el desarrollo profesional. Para alcanzarlos, en esta ocasión revisaremos la Teoría de la Elasticidad y los límites de proporcionalidad, plasticidad, material dúctil y frágil.

1. Teoría de la elasticidad

La elasticidad es aquella propiedad en virtud de la cual un cuerpo se deforma de manera proporcional a la carga aplicada y recupera su forma original una vez ha cesado la acción de la carga. Un cuerpo se denomina perfectamente elástico si no experimenta deformaciones permanentes, es decir, siempre recupera su figura inicial; por el contrario, un cuerpo se dice que es perfectamente plástico si sufre deformaciones permanentes, de modo que mantiene a lo largo del tiempo la nueva configuración adquirida.

En la técnica se aprovechan tanto los materiales elásticos como los plásticos. Por ejemplo, las chapas de la carrocería han de mantener la forma deseada después de la estampación, por lo que deberán ser plásticas. En cambio, los muelles de las suspensiones deben volver a su posición inicial, por lo que tienen que ser perfectamente elásticos. En realidad, la elasticidad y la plasticidad coexisten, ya que todos los materiales se caracterizan por un comportamiento elástico, hasta cierto punto, denominado límite elástico (esfuerzo máximo, generalmente expresado en kg/mm2, al que puede someterse un material sin que se produzcan deformaciones permanentes), y luego se comportan de forma plástica durante un intervalo determinado hasta la rotura.

El comportamiento de un material se determina por la Ley de Hooke, que expresa la

proporcionalidad directa entre los esfuerzos y las deformaciones (alargamientos) de una varilla de muestra (probeta) sometida a tracción. Para un mismo límite elástico, dos materiales sometidos al mismo esfuerzo pueden alargarse de forma distinta. La relación entre el esfuerzo y la deformación se denomina módulo de elasticidad. Para el acero vale 21.000 kg/mm2; para las aleaciones de aluminio 7.000 kg/mm2, y para las de magnesio 4.000 kg/mm2. Esto significa que un acero que está sometido a un esfuerzo de tracción de 21 kg/mm2 se alarga (pero luego vuelve a cero) 1 mm por cada metro de longitud. Cuanto mayor es el módulo de elasticidad, menor es la deformación que se produce al aplicar una carga determinada. Contrariamente a lo que pueda parecer, los materiales empleados para los muelles poseen un módulo de elasticidad elevado, es decir, soportan esfuerzos bastante considerables antes de deformarse.

http://diccionario.motorgiga.com/diccionario/suspensiones-definicion-significado/gmx-niv15-con195664.htm

http://diccionario.motorgiga.com/diccionario/acero-definicion-significado/gmx-niv15-con35.htm

http://diccionario.motorgiga.com/diccionario/aluminio-definicion-significado/gmx-niv15-con155.htm

3


Sin embargo, para obtener las elevadas deformaciones que se requieren para los muelles, se recurre a formas especiales (en hélice, de ballesta, de lámina) que, por medio de una solicitación a torsión o flexión (en lugar de por tracción), permiten reducir el peso del material empleado y las dimensiones del muelle. Evidentemente, cuanto mayor es el límite elástico, más elevada es la carga que puede soportar el muelle antes de deformarse plásticamente. Por todo lo dicho, parece evidente que, según la forma que se da a una pieza mecánica, es posible obtener efecto opuesto, es decir, el de reducir las deformaciones elásticas para una misma cantidad de material.

1.1. Límite de elasticidad

El límite elástico, también denominado límite de elasticidad, es la tensión máxima que un material elastoplástico puede soportar sin sufrir deformaciones permanentes. Si se aplican tensiones superiores a este límite, el material experimenta un comportamiento plástico deformaciones permanentes y no recupera espontáneamente su forma original al retirar las cargas. En general, un material sometido a tensiones inferiores a su límite de elasticidad es deformado temporalmente de acuerdo con la ley de Hooke.

Los materiales sometidos a tensiones superiores a su límite de elasticidad tienen un comportamiento plástico. Si las tensiones ejercidas continúan aumentando el material alcanza su punto de fractura. El límite elástico marca, por tanto, el paso del campo elástico a la zona de fluencia. Más formalmente, esto comporta que en una situación de tensión uniaxial, el límite elástico es la tensión admisible a partir de la cual se entra en la superficie de fluencia del material.

1.2. Determinación del límite de elasticidad

La prueba de tracción puede revelar varias propiedades de ingeniería importantes de los materiales. Estas propiedades son la resistencia (límite de elasticidad, límite elástico convencional, y resistencia a la tracción) y ductilidad (elongación y reducción de área). La resistencia y ductilidad de los metales se obtienen generalmente a partir de una prueba de tracción uniaxial simple en la que una muestra mecanizada se somete a una carga cada vez mayor. La tensión (carga dividida por el área de la sección transversal original, N/mm2 o MPa) puede ser trazada contra la deformación (alargamiento dividido por la longitud de referencia original, %), como se muestra en la figura.

http://diccionario.motorgiga.com/diccionario/muelle-definicion-significado/gmx-niv15-con194898.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Plasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)

http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n#Deformaciones_el.C3.A1stica_y_pl.C3.A1stica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke

http://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n_pl%C3%A1stica

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_fluencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_fluencia

4


La curva de tensión-deformación puede variar en configuración con las propiedades del metal a prueba y la temperatura de prueba. La curva de tensión-deformación del acero suave a temperatura ambiente, como se puede observar en la figura (a), muestra el punto en el cual se produce una elongación y deformación plástica, sin aumento de carga. Este punto específico se denomina "límite de elasticidad (o límite de elasticidad superior)." Por el contrario, la curva de tensión-deformación de aceros de baja aleación (por ejemplo, aceros de alta resistencia y aceros resistentes al calor) y aceros de alta aleación (aceros inoxidables, por ejemplo) no exhiben un límite de elasticidad, pero sí producen una curva suave como se muestra en la figura (b). En este caso, la tensión necesaria para producir una cantidad offset (deformación plástica) de desplazamiento de 0.2% se utiliza generalmente para la resistencia estándar equivalente al límite de elasticidad, el cual se llama "límite elástico convencional de 0.2%" o "prueba de resistencia de 0.2%." Normalmente se refiere a ambos “límite elástico” y “límite elástico convencional de 0.2%”, simplemente como “límite de elasticidad.”

En la figura (b), la porción sólida y recta (la línea de módulo recto) de la Línea A-A’ traza la elongación de la muestra sobre la longitud de referencia original con un incremento de tensión. Esta proporcionalidad lineal entre la tensión y la deformación representa el módulo de Young (módulo de elasticidad) para el metal a prueba. Si la carga en esta muestra de tensión es retirada en cualquier punto a lo largo de la línea recta del módulo, la longitud de la muestra volverá a su dimensión original; por lo cual la elasticidad absoluta es demostrada por el metal. Note el punto B en el eje de deformación, y trace una línea desde allí hasta el Punto B’, paralela a la línea A-A’. El punto C, donde la línea de offset de 0.2% (BB’) intercepta la curva de tensión-deformación, se encuentra el límite elástico convencional de 0.2%. Para el metal de soldadura, la característica de elasticidad es similar a la de los materiales de acero mencionados anteriormente. Es decir, los metales de relleno para aceros suaves (E6019 y E6013) muestran el límite de elasticidad en la curva de tensión-deformación del metal de soldadura, mientras que los metales de relleno de alta resistencia, resistentes al calor, y de acero inoxidable, no presentan un límite de elasticidad en las curvas tensión-deformación. Por lo tanto, en este último caso, el límite elástico convencional de 0.2% es utilizado.

5


En el diseño de edificios y puentes de acero, el límite de elasticidad es utilizado para la resistencia estándar con el fin de desarrollar la tensión permitida de acuerdo con el factor de seguridad especificado. En el caso de los recipientes a presión, la tensión permitida se desarrolla con base en el límite de elasticidad así como en la resistencia a la tracción de acuerdo con las condiciones de servicio.

1.3. Propiedades de los materiales.

Los materiales tienen diferentes propiedades mecánicas, las cuales están relacionadas con las fuerzas exteriores que se ejercen sobre ellos. Las propiedades mecánicas de los materiales son: Elasticidad, plasticidad, maleabilidad, ductilidad, dureza, tenacidad y fragilidad.

Elasticidad: Cualidad que presenta un material para recuperar su forma original al cesar el esfuerzo que lo deformó. Por ejemplo, un globo.

Plasticidad: Cualidad opuesta a la elasticidad. Indica la capacidad que tiene un material de mantener la forma que adquiere al estar sometido a un esfuerzo que lo deformó. Por ejemplo, un envase de platico.

Maleabilidad: se refiere a la capacidad de un material para ser conformado en láminas delgadas sin romperse. Ejemplo, aluminio

Ductilidad: los materiales dúctiles son aquellos que pueden ser estirados y conformados en hilos finos o alambre. Por ejemplo, el cobre.

Dureza: Resistencia que opone un cuerpo a ser penetrado por otro. Esta propiedad nos informa sobre la resistencia al desgaste contra los agentes abrasivos. Ejemplo, diamantes

Tenacidad: Resistencia a la rotura de un material cuando está sometido a esfuerzos lentos de deformación. Ejemplo, acero.

Fragilidad: Es el opuesto de la tenacidad, es la facilidad con la que se rompe un material sin que se produzca deformación elástica. Por ejemplo el vidrio.

1.3.1. Material dúctil

La ductilidad es una propiedad que presentan algunos materiales, como las aleaciones metálicas o materiales asfálticos, los cuales bajo la acción de una fuerza, pueden deformarse sosteniblemente sin romperse permitiendo obtener alambres o hilos de dicho material. A los materiales que presentan esta propiedad se les denomina dúctiles. Los materiales no dúctiles se clasifican de frágiles. Aunque los materiales dúctiles también pueden llegar a romperse bajo el esfuerzo adecuado, esta rotura sólo se produce tras producirse grandes deformaciones.

En otros términos, un material es dúctil cuando la relación entre el alargamiento

longitudinal producido por una tracción y la disminución de la sección transversal es muy elevada. En el ámbito de la metalurgia se entiende por metal dúctil aquel que sufre grandes deformaciones antes de romperse, siendo el opuesto al metal frágil, que se rompe sin apenas deformación.

6


No debe confundirse dúctil con blando, ya que la ductilidad es una propiedad que como tal se manifiesta una vez que el material está soportando una fuerza considerable; esto es, mientras la carga sea pequeña, la deformación también lo será, pero alcanzado cierto punto el material cede, deformándose en mucha mayor medida de lo que lo había hecho hasta entonces pero sin llegar a romperse. En un ensayo de tracción, los materiales dúctiles presentan una fase de fluencia caracterizada por una gran deformación sin apenas incremento de la carga.

Desde un punto de vista tecnológico, al margen de consideraciones económicas, el empleo de materiales dúctiles presenta ventajas:

En la fabricación: ya que son aptos para los métodos de fabricación por deformación plástica.

En el uso: presentan deformaciones notorias antes de romperse. Por el contrario, el mayor problema que presentan los materiales frágiles es que se rompen sin previo aviso, mientras que los materiales dúctiles sufren primero una acusada deformación, conservando aún una cierta reserva de resistencia, por lo que después será necesario que la fuerza aplicada siga aumentando para que se provoque la rotura.

La ductilidad de un metal se valora de forma indirecta a través de la resiliencia. La ductilidad es la propiedad de los metales para formar alambres o hilos de diferentes grosores. Los metales se caracterizan por su elevada ductilidad, la que se explica porque los átomos de los metales se disponen de manera tal que es posible que se deslicen unos sobre otros y por eso se pueden estirar sin romperse.

En el esquema de la respuesta de una barra cilíndrica de metal sometida a una fuerza de

tracción de direcciones opuestas a sus extremos. Donde la figura (a) muestra la fractura frágil del material, en la figura (b) muestra la fractura dúctil y en la figura (c) muestra la fractura totalmente dúctil del material.

http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_fabricaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Resiliencia_(ingenier%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Metal

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81tomo

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ductility.svg

7


1.3.2. Material frágil.

La fragilidad es la cualidad de los objetos y materiales de perder su estado original con facilidad. Aunque técnicamente lafragilidad se define más propiamente como la capacidad de un material de fracturarse con escasa deformación. Por el contrario, los materiales dúctiles o tenaces se rompen tras sufrir acusadas deformaciones, generalmente de tipodeformaciones plásticas. La fragilidad es lo contrario de la tenacidad y tiene la peculiaridad de absorber relativamente poca energía, a diferencia de la rotura dúctil.

Las curvas del grafico representan la Tensión-Deformación de un material frágil (rojo) y un material dúctil t tenaz (azul).

La energía absorbida por unidad de volumen viene dada por:

Si un material se rompe prácticamente sin deformación las componentes del tensor

deformación resultan pequeñas y la suma anterior resulta en una cantidad relativamente pequeña. La fragilidad de un material además se relaciona con la velocidad de propagación o crecimiento de grietas a través de su seno. Esto significa un alto riesgo de fractura súbita de los materiales con estas características una vez sometidos a esfuerzos. Por el contrario los materiales tenaces son aquellos que son capaces de frenar el avance de grietas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ductilidad



http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fragilidad-mecanica.jpg

8


Ejemplos típicos de materiales frágiles son los vidrios comunes (como los de las ventanas, por ejemplo), algunos minerales cristalinos, los materiales cerámicos y algunos polímeros como el polimetilmetacrilato (PMMA), el poliestireno (PS), o elpoliácidolactico (PLA), entre otros. Es importante mencionar que el tipo de rotura que ofrece un material (frágil o dúctil) depende de la temperatura. Así mientras algunos materiales como los plásticos (polietileno, polipropileno u otros termoplásticos) que suelen dar lugar a roturas dúctiles a temperatura ambiente, por debajo de su temperatura de transición vítrea dan lugar a roturas frágiles.

http://es.wikipedia.org/wiki/Vidrio

http://es.wikipedia.org/wiki/Material_cer%C3%A1mico

http://es.wikipedia.org/wiki/Polietileno

http://es.wikipedia.org/wiki/Polipropileno

1



UNIDAD III


2


SEMANA 5

INTRODUCCIÓN

Esta semana se inicia la tercera unidad de aprendizaje, denominada Resistencia de

Materiales., cuyo objetivo de aprendizaje es comprender el comportamiento de un sólido

deformable ante la acción de cargas exteriores, según sea el material que lo constituye. Para

ello en este documento se trabajará el tema de la tracción y compresión.

1. Resistencia de materiales

Al construir una estructura se necesita tanto un diseño adecuado como unos elementos

que sean capaces de soportar las fuerzas, cargas y acciones a las que va a estar sometida.

Los tipos de esfuerzos que deben soportar los diferentes elementos de las estructuras son:

1.1. Tracción y compresión.

Las fuerzas que pueden hacer que una barra se estire se llaman fuerzas de

tracción. Hace que se separen entre sí las distintas partículas que componen

una pieza. Por ejemplo, cuando se cuelga del cable de acero de una grúa un

determinado peso, el cable queda sometido a un esfuerzo de tracción,

tendiendo a aumentar su longitud.

Las fuerzas que pueden hacer que una barra se aplaste o comprima se

llaman fuerzas de compresión. Hace que se aproximen las distintas

partículas de un material, tendiendo a producir acortamientos o

aplastamientos. Cuando colocamos una estatua sobre su pedestal,

sometemos ese pedestal a un esfuerzo de compresión, con lo que tiende

a disminuir su altura.

3


Los conceptos fundamentales en resistencia de materiales son la tensión y la

deformación. Esos conceptos pueden ilustrarse en su forma más elemental considerando

una barra prismática sometida a fuerzas axiales. Una prismática es un miembro estructural

recto con sección transversal constante en toda su longitud. La fuerza axial es una carga

dirigida a lo largo del eje del miembro que se somete a tracción o compresión. Si

consideramos una barra y aislamos un segmento de ella como cuerpo libre se puede

observar los siguientes aspectos:

Al dibujar un diagrama de cuerpo libre, despreciamos el peso propio de la barra y

suponemos que las únicas fuerzas activas son las fuerzas axiales P en los extremos. A

continuación consideraremos dos vista de una barra; la primera muestra la barra antes de la

aplicación de las cargar (figura b) y la segunda la muestra después de aplicadas las cargas

(figura c). Nótese que la longitud inicial se denota con la letra L, y el incremento en longitud

se denota con la letra griega (delta).

4


Las tensiones expuestas de la barra quedan expuestas si hacemos un corte

imaginario a través de la barra en la sección mn (figura c). Como esta sección se toma

perpendicularmente al eje longitudinal de la barra, se llama sección transversal. Aislamos

ahora la parte de la barra a la izquierda de la sección transversal mn como cuerpo libre

(figura d). En el extremo derecho de este cuerpo libre (sección mn), se muestra la acción de

la parte retirada de la barra (es decir, la parte a la derecha de la sección mn) sobre la parte

restante. Esta acción consiste en una fuerza distribuida en forma continua que actua sobre

toda la sección transversal. La intensidad de la fuerza (o, sea, la fuerza por unidad de área)

se llama tensión y se denota con la letra griega (sigma). Por tanto, la fuerza axial P que

actua en la sección transversal es la resultante de las tensiones distribuidas en forma

continua. (La fuerza resultante aparece como la línea punteada en la figura D).

Suponiendo que las tensiones están distribuidas uniformemente sobre la sección

transversal mn (figura d), vemos que la resultante debe ser igual a la intensidad

multiplicada por el área A de la sección transversal de la barra, por tanto, la expresión para la

magnitud de las tensiones es:

𝜎 = 𝑃

𝐴

En esta ecuación la intensidad de la tensión uniforme de la barra prismática cargada

axialmente de sección transversal arbitraria. Cuando la barra es estirada por las fuerzas P,

las tensiones son tensiones de tracción, si se invierte el sentido de las fuerzas, ocasionando

que la barra este comprimida, obtendremos tensión de compresión. Debido a que las

tensiones actúan en una dirección perpendicular a la superficie cortada, se llaman tensiones

normales. Así pues, la tensiones normales pueden ser de tracción o de compresión.

Cuando se repite una convención de signos para las tensiones normales, es

costumbre definir las tensiones de tracción como positivas y las de compresión como

negativas.

5


Puesto que la tensión normal se obtiene al dividir la fuerza axial por al área

transversal, se obtienen unidades de fuerzas por unidad de área. Cuando se usan unidades

inglesas , la tensión suele expresarse en libras por pulgadas cuadradas (psi) o Kips por

pulgada cuadrada (ksi).

Ejemplo: Suponga que una barra tiene un diámetro (d) de 2,0 in y que la carga P tiene una

magnitud de 6 Kps. Entonces la tensión de la barra es:

𝜎 = 𝑃

𝐴 =

𝑃

𝜋𝑑2/4=

6𝑘

𝜋 (2,0 𝑖𝑛)2/4= 1,91 𝑘𝑠𝑖 (𝑜 1910 𝑝𝑠𝑖)

En el ejemplo la tensión es tracción o positiva.

Cuando se utilizan unidades del sistema inglés, la fuerza se expresa en newton (N) y el

área en metros cuadrados (m2). En consecuencia, la tensión tiene unidades de newtons por

metro cuadrado (N/m2), es decir, pascales (Pa). Sin embargo, el pascal es una unidad de

tensión tan pequeña que es necesario trabajar con múltiplos grandes, usualmente con el

megapascal (MPa). Para demostrar que el pascal es pequeño, solo tenemos que anotar que

se requieren casi 7000 pascales para hacer 1 psi. Como en el ejemplo anterior, la tensión en

la barra es de 1,91 ksi, se convierte en 13,2 MPa, que es igual a 13,2 X 106 pascales.

Aunque no se recomienda en el sistema inglés, a veces La tensión se da en newtons por

milímetro cuadrado (N/mm2), que es una unidad igual al megapascal (MPa).

6


2. Análisis estructural

Los casos relacionados con cuerpos rígidos y fuerzas en equilibrio han sido el

antecedente para conocer ahora acerca de las armaduras, que no son otra cosa

que estructuras formadas por elementos rígidos unidos entre sí. En estos casos se

determinarán las fuerzas externas que actúan sobre la estructura y se analizarán las fuerzas

internas que mantienen unidas sus partes.

Al realizar el análisis de estructuras por el método de los nodos siempre

comprendiendo el objetivo final del cálculo de las fuerzas, comencemos con las definiciones

de los elementos que se utilizarán:

Armadura: Es un tipo de estructura de mayor importancia en ingeniería.

Proporciona soluciones tanto prácticas comoeconómicas a muchos problemas,

principalmente en el diseño de puentes y edificios. Las armaduras que a

continuación vamos a analizar se tratan de estructuras planas en dos

dimensiones, pero que, varios planos unidos entre sí pueden formar elementos

tridimensionales. Una armadura consta de:

http://3.bp.blogspot.com/-rj5V86yhYmU/UTQbPNcN_RI/AAAAAAAAANs/I9nPLiYsmNg/s1600/Dibujo3.JPG

7


Miembros: Son los elementos rectos conectados entre sí por medio de nodos o

nudos. Por lo general, los miembros de una armadura son delgados y pueden

soportar poca carga lateral, por lo tanto, las cargas deben aplicarse sobre los

nudos y no directamente sobre los miembros. De esta teoría suponemos que

todos los miembros sólo son sometidos a cargas de compresión o tensión a lo

largo de su eje, y de eso se trata el análisis, de encontrar las magnitudes de la

tensión o compresión de cada miembro.

Nodos: Son las conexiones entre cada miembro. Las fuerzas que actúan sobre

ellos se reducen a un solo punto, porque son las mismas fuerzas transmitidas

desde los ejes de los miembros. A través de los nodos nunca se puede

atravesar un miembro. Las conexiones en los nudos están formadas

usualmente por pernos o soldadura en los extremos de los miembros unidos a

una placa común llamada placa de unión.

http://3.bp.blogspot.com/-0dXcb8gwyg4/UTQbmBupAZI/AAAAAAAAAN8/2R_xRDfLYfE/s1600/imagen+miembros-sss.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-KaHH3qRnlpk/UTQb83NgGmI/AAAAAAAAAOE/EHDhaeJ4Co0/s1600/Dibujo4.JPG

8


Apoyos: Toda estructura necesariamente debe estar apoyada en uno o más

puntos, los cuales se llaman puntos de apoyo, y como transmiten su carga a

través de esos puntos, en el diagrama de fuerzas debemos considerar los

vectores que indiquen las reacciones en esos apoyos. Cada diferente tipo de

apoyo generará a su vez un tipo de

Reacción: Son las fuerzas generadas en los apoyos, son opuestas en dirección

de las fuerzas de la estructura que actúan en ese punto, existen tres tipos de

reacciones:

a) Reacciones equivalentes a una fuerza con línea de acción conocida.

Generadas por apoyos tipo: patines o rodamientos, balancines, superficies

sin fricción, eslabones y cables cortos, collarines sobre barras sin fricción y

pernos en ranuras lisas. En las reacciones de éste tipo hay una sola

incógnita

b) Reacciones equivalentes a una fuerza de dirección desconocida. Generadas

por pernos lisos en orificios ajustados, articulaciones y superficies rugosas.

En las reacciones de este grupo intervienen dos incógnitas.

c) Reacciones equivalentes a una fuerza y a un par. Producidas por soportes

fijos que impiden cualquier movimiento del cuerpo inmovilizándolo por

completo y obligándolo a reaccionar con tres fuerzas incógnitas (dos

componentes de traslación y un momento).

Equilibrio: Cuando las fuerzas y el par son ambos iguales a cero forman un sistema

equivalente nulo se dice que el cuerpo rígido está en equilibrio. Por consiguiente,

las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido

pueden obtenerse haciendo R y MRO iguales a cero.

9


Descomponiendo cada fuerza y cada momento en sus componentes

rectangulares, podemos expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio

de un cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares siguientes:

∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑧 = 0

∑ 𝑀 = 0 ∑ 𝑀𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝑧 = 0

Las ecuaciones obtenidas pueden usarse para determinar las fuerzas desconocidas

aplicadas a cuerpos rígidos o las reacciones desconocidas que ejercen sobre éste sus

apoyos. Notamos que las primeras tres ecuaciones expresan el hecho de que las fuerzas en

X, Y y Z están equilibradas; las otras tres ecuaciones indican que los momentos con respecto

a los tres ejes X, Y y Z también están equilibrados, o sea, ni se va a mover hacia ninguna

parte y tampoco va a girar en ningún sentido, el cuerpo está en equilibrio.

Cada caso presenta diferencias, pero la tarea principal es despejar de las seis

ecuaciones anteriores la mayor cantidad de variables posibles, a partir del diagrama de

fuerzas.

Por lo tanto el diagrama de fuerzas es la clave para el planteamiento correcto de las

ecuaciones y el cálculo exacto de cada fuerza en cada nudo.

10


Ejemplo: La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C. a) Dibuje el

diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus

soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C).

a) Diagrama de cuerpo libre

11


b) Determinación de fuerzas axiales:

∑ 𝑀𝐵 = 0

Ax (3) – 10 (4) = 0

Ax (3) = 40

Ax = 40/3

Ax = 13,33 KN.

∑ 𝑀𝐴 = 0

Bx (3) – 10 (4) = 0

Bx (3) = 40

Bx = 40/3

Bx = 13,33 KN.

∑ 𝐹𝑌 = 0

By - 10 = 0

By = 10 KN.

12


NUDO C

𝐹𝐶𝐵

5=

𝐹𝐶𝐴

4=

10

3

Hallar FCB

𝐹𝐶𝐵

5=

10

3

𝐹𝐶𝐵 = 16,66 𝐾𝑁 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

Hallar FCA

𝐹𝐶𝐴

4=

10

3

𝐹𝐶𝐴 = 13,33 𝐾𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

NUDO A

∑ 𝑭𝒀 = 𝟎 𝑭𝑨𝑩 = 𝟎

∑ 𝑭𝑿 = 𝟎

𝐴𝑋 − 𝐹𝐶𝐴 = 0

𝐴𝑋 = 𝐹𝐶𝐴

𝑃𝑒𝑟𝑜 𝐹𝐶𝐴 = 13,33 𝐾𝑁

𝐴𝑋 = 𝐹𝐶𝐴 = 13,33 𝐾𝑁

Por lo tanto:

Ax = 13,33 KN.

By = 10 KN.

Bx = 13,33 KN

FCB = 16,66 KN (tensión)

FCA = 13,33 KN (compresión).

FAB = 0

1



UNIDAD III


2


SEMANA 6

INTRODUCCIÓN

En esta última semana de estudio terminaremos de revisar los temas asociados a la

tercera unidad de aprendizaje, con la finalidad de comprender el comportamiento de un

sólido deformable ante la acción de cargas exteriores, según sea el material que lo

constituye. A continuación se desarrollan los contenidos de Cizalle y Corte, es decir, flexión

simple compuesta y torsión.

1. Cizalle y corte

Las fuerzas de cizalla o cortadura actúan de forma que una parte de la

estructura tiende a deslizarse sobre la otra. Se produce cuando se aplican

fuerzas perpendiculares a una pieza, haciendo que las partículas del

material tiendan a resbalar o desplazarse las unas sobre las otras. Al cortar

con unas tijeras una lámina de cartón estamos provocando que unas

partículas tiendan a deslizarse sobre otras. Los puntos sobre los que

apoyan las vigas están sometidos a cizalladura.

1.1. Torsión

Las fuerzas de torsión son las que hacen que una pieza tienda a retorcerse sobre su eje

central. Están sometidos a esfuerzos de torsión los ejes que giran, las manivelas, los

cigüeñales, etc. Podemos decir que un cuerpo está sujeto en una sección a torsión simple,

cuando la reducción de las fuerzas actuantes sobre éste, a un lado de la sección, da como

resultado una cupla que queda contenida en el plano de la misma. El problema de torsión

simple se presenta muy pocas veces, ya que en general aparece la torsión combinada con

flexión y corte.

3


Sin embargo, lo que estudiaremos es totalmente general, dado que aplicando el principio

de superposición de efectos, a partir del problema de torsión simple puede llegarse a otros

casos de torsión compuesta. El momento torsor MT es una solicitación generada por un par

de fuerzas que hacen girar la pieza en torno a su eje axial.

Cuando se somete a una barra a un momento torsor MT se dice que este genera un

estado de “corte puro” , ya que en cualquier punto del elemento, se generan solo tensiones

de corte, en el sentido opuesto al momento aplicado

4


Similar a lo que ocurre en Flexión, las tensiones de corte, que son perpendiculares al

radio, son mayores en las caras extremas y nulas en el centro donde gira la sección

Análogamente que para las tensiones de corte en flexión, se generan tensiones

“complementarias” en el sentido longitudinal de la barra, que tienen la misma magnitud que

las en la sección, por lo tanto son máximas en los extremos y nula en el centro. Esto se

aprecia al enrollar una hoja de papel. Por ser una sección abierta no presta ninguna

resistencia al movimiento axial, solo el roce. Cuando se aplica MT las puntas se desplazan

en los extremos

En una sección cerrada y sólida, como este movimiento está restringido, se generan las

tensiones de corte complementarias en el sentido axial.

1.2. Flexión.

Las fuerzas que actúan sobre una barra y tienden a hacer que se combe, se denominan

fuerzas de flexión. Es una combinación de compresión y tracción. Mientras que las fibras

superiores de la pieza sometida a flexión se acortan, las inferiores se alargan. Al saltar en la

tabla del trampolín de una piscina, la tabla se flexiona. También se flexiona un panel de una

estantería cuando se carga de libros.

5


1.3. Flexión pura.

Una viga se encuentra sometida a Flexión Pura cuando el momento Flector es la única

fuerza al interior de la sección.

Ejemplo: Una viga simplemente apoyada de luz “L” y solicitada por dos cargas “P”, ubicadas

a una distancia “a” de cada uno de los apoyos.

Calculemos las reacciones en los apoyos y a continuación los diagramas de esfuerzos

internos (N,Q y Mf).

Ecuaciones de equilibrio

∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝐻 = 0

∑ 𝑀∝ = 0 → 𝐷𝛾 𝑙 = 𝑃𝑎 + 𝑃( 𝑙 − 𝑎) → 𝐷𝛾 = 𝑃

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 = 2𝑃 → 𝐴𝑦 = 𝑝

6


Por lo tanto los esfuerzos internos son:

Analizando los esfuerzos en el tramo BC, obtenemos:

En equilibrio se obtiene lo siguiente:

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑄𝑦(𝑥) = 𝑃 − 𝑃 → 𝑄𝑌 (𝑥) = 0 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 − 𝛼

∑ 𝑀𝑜 = 0 → 𝑀𝑓 = 𝑃𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝛼) → 𝑀𝑓 (𝑥) = 𝑃𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 − 𝑎

Por lo tanto el tramo BC se encuentra en Flexión Pura.

Una viga se encuentra en Flexión Compuesta, cuando el Momento Flector está

acompañado por un esfuerzo Normal, para producir una fuerza al interior de la sección.

7


1.4. Flexión simple.

Se dice que la Flexión es Simple cuando la deformada del eje de la barra es una curva

contenida en el plano de las solicitaciones. Si el plano de las solicitaciones pasa por uno

de los ejes principales de inercia de la sección transversal, entonces la Flexión se

denomina Simple o Plana, como muestra las siguientes figuras:

1.4.1. Hipótesis fundamentales de la teoría de la flexión.

Durante la Flexión de las barras las secciones permanecen planas (Bernoulli).

En la Flexión Pura se identifica un Eje Neutro, es decir, una fibra longitudinal

que permanece sin deformarse.

Las Tensiones de Corte en dirección “x” e “y” son despreciables.

No hay Tensiones Normales en la dirección “y”.

En la superficie de la viga del ejemplo anterior se ha trazado una cuadrícula sobre su

zona para apreciar las deformaciones que producen las solicitaciones. Se resaltan dos

secciones (“a” y “b”), para destacar las deformaciones que se producen por las cargas

aplicadas.

8


Al analizar una pequeña parte del tramo central de la viga sometida a flexión pura se

obtiene:

Existe una sección “c” dentro de la viga que no se acorta ni se alarga, es decir, e x = 0,

tal como lo muestra la figura adjunta.

9


Las ecuaciones básicas se determinan de la siguiente forma:

La ecuación N°, representa el giro relativo entre dos secciones y está se definie de la

siguiente forma:

𝑝𝑥 = 𝜌𝑑𝜃 → 1

𝜌=

𝑑𝜃

𝑑𝑥

Para determinar la deformación unitaria de una fibra a una distancia “y” con respecto

al eje neutro.

𝑙𝑎𝑏 = 𝑑𝑥 𝜀𝑥 = 𝑙𝑎𝑏𝑓− 𝑙𝑎𝑏

𝑙𝑎𝑏

𝑙𝑎𝑏𝑓 = (𝜌 + 𝛾)𝑑𝜃

10


𝜀𝑥 = (𝜌 + 𝛾)𝑑𝜃 − 𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃

Ecuación n°2, corresponde a la compatibilidad y está definida de la siguiente forma:

𝜖𝑥 = 𝛾

𝜌

Ecuación n°3, corresponde a la ecuación de tensión, considerando un material en el

rango lineal elástico (ley de Hooke)

𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 → 𝜎𝑥 = 𝐸𝑦

𝜌

Como el Módulo de Elasticidad del material es constante y su radio de curvatura, también

lo es, se puede señalar que:

𝜀𝑦 = 𝑘𝑦 → 𝜎𝑥 = 𝑘∗ 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒∗ 𝑦

Dónde:

𝑘 = 1

𝜌∶ 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 (𝐸. 𝑁. )

11


Por lo tanto, se puede señalar que las deformaciones unitarias normales y las

tensiones normales varían linealmente con la distancia “y”, siendo máximas en las fibras

extremas.

Veamos como varía el radio de curvatura con las diferentes tipos de momentos

Flectores.

Las ecuaciones de equilibrio son las siguientes:

Sea Sz, el momento estático de la sección con respecto al eje “z”:

𝑆𝑍 = ∫ 𝑦𝑑𝐴 = 0 𝐴

(∗)

12


La ecuación (*) indica que la Línea Neutra en la Flexión pasará por el Centro de

Gravedad de la Sección.

Sea IZ, el momento de inercia de la sección con respecto al eje “z”

En la figura se aprecia que las tensiones varían

linealmente con la distancia “y”, teniendo

tracciones para las distancia “y” positivas y

compresiones para las distancias “y” negativas.

Sea Iyz, el Producto de Inercia de la sección:

13


Debido a que Iyz = 0, los ejes “z” e “y” deberán ser Ejes Principales de Inercia de la

sección y el Momento Flector deberá encontrarse en el plano que pasa por uno de éstos

ejes.

Se define WZ, como el Momento Resistente de la sección con respecto al eje “z”

Ejemplo: Una viga simplemente apoyada de luz 5,0 m. se encuentra solicitada por una

carga uniformemente repartida de 2,0 ton/m. Si la sección de la viga es triangular de base

20 cm. y altura 30 cm. Se pide determinar las Máximas tensiones Normales que se

desarrollan en la viga y el lugar donde ocurren. Indicación: El plano de carga coincide con

el eje de Simetría de la sección.

14


Solución:

El Plano de carga pasa por el Centroide y coincide con el Eje de Simetría de la

Sección.

El Eje “y” por ser de Simetría es un Eje Principal de Inercia.

De i) y ii) se deduce que la Flexión es Simple.

1.- Cálculo del Momento Máximo:

15


2.- Calculo de Inercia

3.- Cálculo de las Tensiones Normales Máximas:

Determinaremos las tensiones normales al centro de la luz de la viga, que es la sección

donde ocurre el Momento Flector Máximo.

1.5. FLEXION COMPUESTA

La Flexión Compuesta ocurre, como ya se señaló, cuando adicionalmente al Momento

Flector existe un Esfuerzo Normal actuante en la Sección.

16


Para calcular la distribución de Tensiones Normales debido a la Flexión Compuesta,

utilizaremos el Principio de Superposición.

Para flexión pura:

Para carga axial pura:

Por lo tanto obtenemos:

17


Importante:

El Eje Neutro no coincide con el Centroide y las distancias se toman desde el

Centro de Gravedad.

La distancia “d” se puede obtener haciendo σx = 0

Las ecuaciones de equilibrio son las siguientes:

Nota:

El Eje Neutro no coincide con el Centro de Gravedad de la sección, puesto que

18


Veamos qué ocurre si la fuerza “N” es de Tracción y el Momento Flector “Mz” es Negativo

(como vector en la dirección positiva del eje “z”).

Ejemplo: Una viga con un extremo empotrado y el otro en voladizo de luz 5,0 m. se

encuentra solicitada por una carga puntal excéntrica 50 ton. Si la sección de la viga es un

perfil “I” de alas iguales de 30x60x15 cms., tal como lo muestra la figura adjunta. Se pide

determinar las Máximas Tensiones Normales que se desarrollan en la viga y el lugar donde

ocurren. Indicación: El plano de carga coincide con el eje de Simetría de la sección.

19


Solución:

La carga “P” al estar excéntrica me genera un Momento Flector c/r al eje “z”, al desplazar la

carga al centroide (Resultante de un Sistema de Fuerzas Coplanares)

La sección es Simétrica, entonces el eje “y” es Principal y el Plano de carga coincide con el

eje Principal, por lo que la Componente de la Flexión es Simple.

La Distribución de Tensiones Normales viene dada por:

Las propiedades de la secciones son las siguientes:

Si remplazamos (*) tenemos:

20


Las tensiones máximas en las fibras externas son las siguientes:

Lo que se despeja en el eje neutro, se obtiene de la siguiente forma:

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