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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFaculdade de Engenharia Mecânica
Fernanda Nakano Kazama
Representação da Incerteza em Modelos deProgramação Dinâmica Estocástica Através de Latisse
Binomial: Análise na Perspectiva do DECOMP
CAMPINAS2017
Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq, 155510/2015-0
Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas
Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaLuciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Kazama, Fernanda Nakano, 1992- K189r KazRepresentação da incerteza em modelos de programação dinâmica
estocástica através de latisse binomial : análise na perspectiva do DECOMP /Fernanda Nakano Kazama. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.
KazOrientador: Paulo de Barros Correia. KazDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade
de Engenharia Mecânica.
Kaz1. Otimização. 2. Sistemas de energia elétrica hidrotérmica. 3.
Programação estocástica. 4. Programação dinâmica. 5. Conditional value atrisk (CVaR). I. Correia, Paulo de Barros,1954-. II. Universidade Estadual deCampinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Representation of uncertainty in stochastic dynamic programmingmodels through binomial lattice : analysis from the perspective of DECOMPPalavras-chave em inglês:OptimizationHydrothermal electric power systemsStochastic ProgrammingDynamic programmingConditional valeu at risk (CVaR)Área de concentração: Planejamento de Sistemas EnergéticosTitulação: Mestra em Planejamento de Sistemas EnergéticosBanca examinadora:Paulo de Barros Correia [Orientador]Sergio Valdir BajayMônica de Souza ZambelliData de defesa: 17-02-2017Programa de Pós-Graduação: Planejamento de Sistemas Energéticos
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
PLANEJAMENTO DE SISTEMAS ENERGÉTICOS
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO
Representação da Incerteza em Modelos deProgramação Dinâmica Estocástica Através de Latisse
Binomial: Análise na Perspectiva do DECOMP
Autor: Fernanda Nakano Kazama
Orientador: Prof. Dr Paulo de Barros Correia
A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Tese:
Prof. Dr. Paulo de Barros Correia, PresidenteUniversidade Estadual de Campinas
Prof. Dr. Sérgio Valdir BajayUniversidade Estadual de Campinas
Dra. Mônica de Souza ZambelliCompanhia Paulista de Força e Luz
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo devida acadêmica do aluno.
Campinas, 17 de Fevereiro de 2017.
Dedicatória
Dedico este trabalho à minha família que sempre acreditou em mim e me apoiou achegar até aqui.
Agradecimentos
Este trabalho não poderia ser terminado sem a ajuda de diversas pessoas às quais prestominha homenagem:
Ao Prof. Dr. Paulo de Barros Correia, orientador deste trabalho.
Aos meus colegas de sala, que sempre se predispuseram a me auxiliar nos pequenos deta-lhes.
À minha família, pelo apoio e incentivo dado.
Aos meus amigos, pelo apoio e companheirismo.
Ao CNPq, pelo apoio �nanceiro.
�Não arriscar nada é arriscar tudo.�Al Gore
Resumo
O planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos de geração de energiaelétrica no Brasil utiliza modelos computacionais de otimização (NEWAVE e DECOMP)para determinar operação do sistema, buscando atender a demanda de forma econômicae con�ável. Como o sistema está sujeito a várias incertezas (a�uências, demanda,...),utilizam-se adicionalmente mecanismos de aversão ao risco, como o CVaR (ConditionalValue at Risk), para manter em níveis aceitáveis o risco de não atendimento da demanda.Além disso, a principal estocasticidade do problema é tratada nos modelos NEWAVE eDECOMP como árvores de a�uências, onde cada ramo apresenta uma probabilidade deevolução de um determinado cenário, com um cenário completo representado pelo cami-nho do nó origem até uma das folhas da árvore. Esta representação torna o problemacomputacionalmente muito complexo com o crescimento dos períodos de tempo analisa-dos, uma vez que os ramos da árvore de a�uências aumentam de forma exponencial como tempo, podendo cair na chamada maldição da dimensionalidade.
Assim, esta dissertação propõe uma melhoria para a representação da incer-teza no modelo DECOMP, através da substituição da árvore de a�uências por latisse, queapresenta um crescimento linear a cada período analisado, diminuindo o esforço compu-tacional e possibilitando a análise de mais períodos de tempo.
Palavras-chave: Otimização, Sistemas de Energia Elétrica Hidrotérmica, ProgramaçãoEstocástica, Programação Dinâmica, Conditional Value at Risk (CVaR), Árvore, Latisse.
Abstract
The planning of hydrothermal systems operation of electric power generation inBrazil uses computational optimization models (NEWAVE and DECOMP) to determinethe system operation, seeking to attend the demand in an economically and reliably way.As the system is subject to various uncertainties (a�uent energy, demand,...), it is usedin addition risk aversion mechanisms, such as CVaR (Conditional Value at Risk), tomaintain the risk of non-ful�llment of the demand in acceptable levels. Furthermore, thestochasticity of the problem is treated by NEWAVE and DECOMP models though in�owtrees, where each branch represents a probability of evolution of a given scenario, and acomplete scenario is represented by the path from the root node to one of the leaves of thetree. This representation makes the problem more computationally complex as greateras the number of periods of time analyzed, since the branches of the in�ow tree increaseexponentially with time, which can result in what is called curse of dimensionality.
Thus, this thesis proposes an improvement of the representation of uncertaintyin DECOMP model, by replacing the in�ow tree for lattice, which features a linear growthin the analyzed period, reducing the computational e�ort and making possible to analyzemore periods of time.
Key-words: Optimization, Hydrothermal Electric Power Systems, Stochastic Program-ming, Dynamic Programming, Conditional Value at Risk (CVaR), Tree, Lattice.
Lista de Figuras
1.1 Sistema hidrotérmico equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Esquema de representação dos cenários de a�uência no modelo DECOMP. 191.3 Análise do número de ramos e nós por estágio de uma árvore binária. . . . 191.4 Estrutura de uma latisse binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Análise do número de ramos e nós por estágio de uma latisse binomial. . . 212.1 Esquema de uma usina hidroelétrica (ANEEL, 2008). . . . . . . . . . . . . 232.2 Representação dos parâmetros de uma hidroelétrica. . . . . . . . . . . . . . 242.3 Esquema de usinas hidroelétricas situadas numa mesma bacia. . . . . . . . 252.4 Geração de energia por meio de uma termoelétrica em ciclo à vapor. . . . . 262.5 Geração de energia por meio de uma termoelétrica com turbina a gás
(ANEEL, 2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Geração de energia através de uma termoelétrica em ciclo combinado (FUR-
NAS, 2016). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Representação do custo de geração térmica (PEREIRA, 2000). . . . . . . . 292.8 Curva de carga típica de um dia (ALVES, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . 302.9 Curva de carga do subsistema nordeste em 2015 (ONS, 2016). . . . . . . . 302.10 Variação da incerteza ao longo do tempo (BERTHO, 2013). . . . . . . . . . 312.11 Divisão dos subsistemas brasileiros (BERTHO, 2013). . . . . . . . . . . . . 322.12 Esquema da geração de séries sintéticas de energia. . . . . . . . . . . . . . 332.13 Esquema de um reservatório equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.14 Entradas e saídas de dados nos modelos NEWAVE e DECOMP (CPAMP,
2013b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1 Séries em paralelo (pente) (CEPEL, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Séries em árvore (CEPEL, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Representação dos cenários hidrológicos através do modelo GEVAZP. . . . 383.4 Distribuição de probabilidades dos valores históricos de energia natural
a�uente de Janeiro para a bacia do Tocantins e sua respectiva árvore. . . . 393.5 Esquema de cálculo do balanço hídrico na árvore binária. . . . . . . . . . . 403.6 Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na árvore binária. 413.7 Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na árvore ternária. 423.8 Esquema de cálculo do balanço hídrico na árvore multiária. . . . . . . . . . 433.9 Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na árvore
multiária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.10 Esquema de cálculo do balanço hídrico na latisse binomial. . . . . . . . . . 453.11 Esquema de cálculo do valor esperado du custo de geração na latisse binomial. 463.12 Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na latisse tri-
nomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.13 Esquema de cálculo do balanço hídrico na latisse multinomial. . . . . . . . 48
3.14 Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na latisse mul-tinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Representação de uma árvore binomial de dois estágios. . . . . . . . . . . . 514.2 Representação de uma árvore binária multi-estágios. . . . . . . . . . . . . . 524.3 Representação dos subproblemas de uma árvore binomial multi-estágios. . 544.4 Representação de uma latisse binomial multi-estágios. . . . . . . . . . . . . 574.5 Representação dos subproblemas de uma latisse binomial multi-estágios. . . 595.1 Distribuição de retornos (CCEE, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Representação do CVaR numa curva de distribuição de retornos (CCEE,
2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Distribuição de perdas (CCEE, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4 Distribuição de a�uências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.5 Distribuição de custos esperados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.6 Representação dos cenários mais críticos para uma árvore binária multi-
estágios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.7 Representação dos subproblemas de uma árvore binomial multi-estágios
aversa ao risco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.8 Representação dos cenários mais críticos para uma latisse binomial multi-
estágios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.9 Representação dos subproblemas de uma latisse binomial multi-estágios
aversa ao risco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.1 Usinas hidroelétricas na bacia do Tocantins e suas respectivas capacidades
máximas de geração (ONS, 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Esquema do problema a ser resolvido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3 Esquema da árvore de a�uências utilizada no problema. . . . . . . . . . . . 766.4 Esquema da latisse binomial utilizada no problema. . . . . . . . . . . . . . 766.5 Solução para o caso indiferente ao risco utilizando árvore. . . . . . . . . . . 776.6 Solução para o caso averso ao risco utilizando árvore. . . . . . . . . . . . . 776.7 Solução para o caso indiferente ao risco utilizando latisse. . . . . . . . . . . 786.8 Solução para o caso averso ao risco utilizando latisse. . . . . . . . . . . . . 786.9 Grá�co comparativo entre os volumes do reservatório da árvore e da latisse
para o caso neutro ao risco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.10 Grá�co comparativo entre os volumes do reservatório para o caso neutro e
averso ao risco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.11 Solução para o caso indiferente ao risco utilizando árvore, com volume
inicial de 9.000MWmed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.12 Solução para o caso indiferente ao risco utilizando latisse, com volume
inicial de 9.000MWmed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.13 Grá�co comparativo entre os volumes do reservatório da árvore e da latisse
para o caso neutro ao risco, com volume inicial de 5.000MWmed. . . . . . 81
A.1 Representação das probabilidades de uma árvore binária multi-estágios. . . 86A.2 Representação das probabilidades de uma latisse binomial multi-estágios. . 87
Lista de Tabelas
1.1 Número de nós �nais e ramos de cada estágio de uma árvore. . . . . . . . . 191.2 Número de nós �nais de cada estágio de uma latisse. . . . . . . . . . . . . 211.3 Número de ramos de uma latisse a cada estágio. . . . . . . . . . . . . . . . 216.1 Custo de geração das termoelétricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Dados da demanda de energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Cenários de a�uência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B.1 Resultados obtidos pela otimização utilizando árvore para o caso neutro aorisco, com volume inicial equivalente à 10.000MWmed. . . . . . . . . . . . 89
B.2 Resultados obtidos pela otimização utilizando latisse para o caso neutro aorisco, com volume inicial equivalente à 10.000MWmed. . . . . . . . . . . . 89
B.3 Resultados obtidos pela otimização utilizando árvore para o caso averso aorisco, com volume inicial equivalente à 10.000MWmed. . . . . . . . . . . . 90
B.4 Resultados obtidos pela otimização utilizando latisse para o caso averso aorisco, com volume inicial equivalente à 10.000MWmed. . . . . . . . . . . . 90
B.5 Resultados obtidos pela otimização utilizando árvore para o caso neutro aorisco, com volume inicial equivalente à 9.000MWmed. . . . . . . . . . . . . 91
B.6 Resultados obtidos pela otimização utilizando latisse para o caso neutro aorisco, com volume inicial equivalente à 9.000MWmed. . . . . . . . . . . . . 91
Lista de Abreviaturas e Siglas
Letras Latinas
a - queda bruta da usinaA - a�uênciaAinc - a�uência incrementalc - custo de geração das usinas por unidade de energiacf - nível do canal de fugaCTO - custo total da operaçãoD - demandaEV - evaporaçãoF - in�ltraçãog - aceleração da gravidadeGk - potência máxima da usina kGH - geração hidroelétrica (vazão de água turbinada ou
energia gerada)GT - geração termoelétricaH - potência (energia instantânea)I - vertimentoK - número de usinasn - número de cenáriosN - número de estágiosr - distribuição de retornos esperadosS - valor esperado do custo de operaçãoT - temperaturaV - volume do reservatório da hidroelétricax - vetor coluna de geração de eletricidade das usinasX - elemento do vertor x (geração de uma usina)x∗ - resposta encontraday - função objetivoZ - vazão devido à agua turbinada ou vertida nos reser-
vatórios à montante
Letras Gregas
α - custo esperado da geração futuroα e λ - parâmetros do CVaRαβ - value at riskβ - nível de con�ançaγ - fator de conversão de vazão para volumeη - rendimentoη - rendimento médioηmax - rendimento máximoπ - multiplicador simplex
Subscritos
f - frioij - ramoi ou j - nók - usinam,M - posicionamento dos ramosn - número de ramosq - quentes - índice que representa o tipo de cenário
Subrescritos
t - estágio
Siglas
ANEEL - Agência Nacional de Energia ElétricaCCEE - Câmara de Comercialização de Energia ElétricaCVAR - Conditional Value at RiskCPAMP - Comissão Permanente para Análise de Metodologias e Programas Com-
putacionais do Setor ElétricoCVU - Custo Variável UnitárioENA - Energia Natural A�uenteMAR - Mecanismo de Aversão ao RiscoPDDE - Programação Dinâmica Dual EstocásticaVAR - Value at Risk
Sumário
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Organização da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 OPERAÇÃO DE SISTEMAS HIDROTÉRMICOS . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Geração Hidroelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Volume Armazenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.2 Energia A�uente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3 Energia Gerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Geração Termoelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Capacidade Agregada de Geração . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Custo Agregado de Geração . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Curva de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Modelos de Otimização Utilizados no Brasil . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 NEWAVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2 DECOMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 REPRESENTAÇÃO DOS CENÁRIOS HIDROLÓGICOS . . . . . . . . . 373.1 GEVAZP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Representação por Árvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Árvore Binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 Árvore Ternária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.3 Árvore Multiária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Representação por Latisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.1 Latisse Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.2 Latisse Trinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.3 Latisse Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 MODELO DINÂMICO DE OTIMIZAÇÃO COM INDIFERENÇA AORISCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1 Programação Dinâmica Dual Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Modelo Integrado com Árvore Binária . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Modelo Decomposto com Árvore Binária . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Modelo Integrado com Latisse Binomial . . . . . . . . . . . . . . . 574.5 Modelo Decomposto com Latisse Binomial . . . . . . . . . . . . . . 59
5 MODELO DINÂMICO DE OTIMIZAÇÃO COM AVERSÃO AO RISCO . 625.1 Conditional Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 Modelo Integrado com Árvore Binária . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3 Modelo Decomposto com Árvore Binária . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 Modelo Integrado com Latisse Binomial . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5 Modelo Decomposto com Latisse Binomial . . . . . . . . . . . . . . 696 ESTUDO DE CASO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1 Metodologia e Dados do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2 Resolução e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.1 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
APÊNDICE 86A Cálculo das Probabilidades de Ocorrência de Cada Cenário . . . . . . . . . 86
A.1 Árvore de A�uências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.2 Latisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B Resultados Obtidos para o Estudo de Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
17
1 INTRODUÇÃO
1.1 Contexto
Segundo Castro et al. (2012), a essencialidade do �bem energia� no desenvol-
vimento das atividades econômicas e sociais do mundo contemporâneo é inquestionável,
sendo imprescindível o planejamento do setor energético para atender à crescente de-
manda por energia. Uma maior complexidade deste planejamento apresenta-se no âmbito
do setor elétrico, uma vez que o produto �nal (eletricidade) não é estocável e, portanto,
deve haver um equilíbrio instantâneo entre oferta e demanda.
A energia elétrica é obtida através da transformação de diferentes formas de
energia em eletricidade. Em uma usina hidroelétrica, por exemplo, a eletricidade é resul-
tante do aproveitamento da energia potencial da água de um rio, apresentando, no Brasil,
um custo de operação quase nulo. Em usinas termoelétricas, por outro lado, utiliza-se
a energia proveniente da queima de combustíveis diversos, tendo seu custo de operação
variando conforme o preço dos insumos e o rendimento da termoelétrica. Além destas,
existem ainda outras fontes de obtenção de energia elétrica, como a eólica e a fotovoltaica,
mas, de modo geral, a maior parte da eletricidade no Brasil é gerada a partir de usinas
hidroelétricas e termoelétricas, que são conectadas aos centros de carga através de um
sistema de transmissão, formando um sistema hidrotérmico, como mostrado na Figura
1.1.
Hidroeletrica Termoeletrica
Rede deTransmissao
Centrosde
Carga
Figura 1.1: Sistema hidrotérmico equivalente.
18
A �m de diminuir os custos de geração, o planejamento da operação de siste-
mas hidrotérmicos apresenta como objetivo econômico substituir, na medida do possível,
a geração de origem termoelétrica por geração de origem hidroelétrica. Para isso, é pre-
ciso levar em consideração que a otimização do sistema apresenta características de um
problema dinâmico, interconectado, estocástico, não linear e de grande porte (SOARES,
1987).
O problema é dinâmico, uma vez que os recursos hidroelétricos de geração,
representados pela água armazenada nos reservatórios, são limitados, e a sua disponibi-
lidade num dado momento depende do grau de sua utilização anterior; interconectado,
pois as usinas hidroelétricas situadas na mesma bacia hidráulica apresentam acoplamento
operativo entre si; estocástico, devido à incerteza sobre as vazões a�uentes futuras e a
demanda de energia; não linear, devido à função de produção hidráulica e ao custo de ge-
ração das usinas termoelétricas; e de grande porte, devido ao número de usinas e restrições
a serem consideradas na resolução.
Assim, de modo a otimizar os custos esperados de geração e ainda atender à
demanda de energia ao longo de um certo período de tempo, é necessário determinar,
para cada etapa, quais usinas devem ser acionadas e suas respectivas metas de geração,
levando em conta todas as restrições envolvidas no problema.
Os modelos NEWAVE e DECOMP (CEPEL, 2012a), utilizados para o pla-
nejamento da operação a médio e curto prazo, respectivamente, no Brasil, consideram o
problema de otimização com o critério de mínimo custo, onde o objetivo é obter uma po-
lítica de operação que minimize o valor esperado da geração térmica e eventuais cortes de
carga, considerando-se um dado conjunto de possíveis cenários de a�uências futuras aos
reservatórios. Entretanto, a natureza estocástica das vazões a�uentes faz com que nem
todos os cenários resultem em garantia de suprimento. Logo, para auxiliar os modelos na
mitigação de risco de não suprimento foram adicionados ferramentas e critérios de aversão
ao risco. Essa ferramenta utilizada atualmente é o Valor Condicionado a um Dado Risco,
ou do inglês, Conditional Value at Risk (CVaR) (CPAMP, 2013a).
A estocasticidade das vazões é introduzida nos modelo DECOMP ao �nal do
primeiro período de estudos através da construção de cenários de vazões a�uentes às
usinas do sistema. Estes cenários hidrológicos podem ser representados através de uma
árvore de a�uências, com probabilidades de ocorrência associadas a cada ramo. Para a
montagem da árvore, deve-se determinar o número de cenários (ramos) à ser analisado em
cada período de tempo (estágio). A Figura 1.2 apresenta uma estrutura de cenários para
um horizonte de estudo de 4 meses, em que o primeiro mês está dividido em 4 semanas
com a�uências supostas conhecidas.
19
1 2 3 4 5 6 7 8Primeiro mes Demais meses
Figura 1.2: Esquema de representação dos cenários de a�uência no modelo DECOMP.
Analisando-se a parte estocástica da representação, pode-se observar que a
cada estágio da árvore de a�uências ocorre um crescimento exponencial do número de
nós e ramos, havendo apenas um possível caminho do nó inicial para cada nó �nal, como
mostrado na Figura 1.3 e na Tabela 1.1.
2
48
1
8
24
Figura 1.3: Análise do número de ramos e nós por estágio de uma árvore binária.
Tabela 1.1: Número de nós �nais e ramos de cada estágio de uma árvore.
Quantidade de ramospor nó �nal
Estágios1 2 3 4 N
2 2 4 8 16 2N
3 3 9 27 81 3N
4 4 16 64 256 4N
n n n2 n3 n4 nN
20
Este crescimento exponencial dos cenários di�culta a análise do problema para
períodos muito longos devido ao grande esforço computacional exigido. Assim, a �m de
contornar esta situação, o modelo NEWAVE utiliza a técnica de Programação Dinâmica
Dual Estocástica (PDDE) (CEPEL, 2012b) para subdividir o problema, aumentando-se
assim, o conjunto de problemas que são viáveis de se solucionar computacionalmente.
Porém, mesmo com um maior número de problemas do despacho hidrotérmico
sendo viáveis de se solucionar graças à utilização da técnica de PDDE, o crescimento do
esforço computacional continua sendo exponencial com o aumento dos períodos analisados,
tornando-se interessante estudar outros métodos ou técnicas de resolução do problema de
otimização do despacho hidrotérmico.
1.2 Objetivo
Dado o contexto, esta dissertação irá abordar a otimização do despacho hi-
drotérmico, dando ênfase à forma como a incerteza é representada no modelo DECOMP,
propondo a substituição da árvore de a�uências pela latisse de volumes, cuja estrutura é
mostrada na Figura 1.4.
1 2 3 4 5 6 7 8Primeiro mes Demais meses
Figura 1.4: Estrutura de uma latisse binomial.
Ao contrário da estrutura de árvore que apresenta um crescimento exponencial,
a latisse apresenta uma tendência linear de aumento do número de nós e ramos com o
passar do tempo, havendo Ct,s possíveis caminhos do nó inicial até cada um dos nós �nais,
sendo C a combinação de t estágios de acordo com o posicionamento s de cada nó, como
mostrado na Figura 1.5 e nas Tabelas 1.2 e 1.3.
21
2
46
1
2
34 C3,0 =
3!3!·0! = 1
C3,1 =3!
2!·1! = 3
C3,2 =3!
1!·2! = 3
C3,3 =3!
0!·3! = 1
Figura 1.5: Análise do número de ramos e nós por estágio de uma latisse binomial.
Tabela 1.2: Número de nós �nais de cada estágio de uma latisse.
Quantidade de ramospor nó inicial
Estágio1 2 3 4 N
2 2 3 4 5 N + 13 3 5 7 9 2 ·N + 14 4 7 10 13 3 ·N + 1n n 2 · n− 1 3 · n− 2 4 · n− 3 (n− 1) ·N + 1
Tabela 1.3: Número de ramos de uma latisse a cada estágio.
Quantidade de ramospor nó inicial
Estágio1 2 3 4 N
2 2 4 6 8 2 ·N3 3 9 15 21 6 ·N − 34 4 16 28 40 12 ·N − 8n n n2 2 · n2 − n 3 · n2 − 2 · n (N − 1) · n2 − (N − 2) · n
Comparando-se as duas estruturas, a árvore binária apresenta, ao �nal do
terceiro estágio, 8 possíveis cenários de a�uências (caminhos diferentes do primeiro nó
até um nó �nal) e 8 possíveis estados �nais (nós terminais), pois há apenas um caminho
que leva a cada nó. Enquanto a latisse binomial, no mesmo estágio, apresenta também 8
possíveis cenários, porém apenas 4 estados �nais, uma vez que há mais de um caminho
diferente que pode levar à um mesmo nó.
Desse modo, se provada a viabilidade da substituição da estrutura de árvore
de a�uências pela latisse, poder-se-ia resolver o problema de otimização do despacho
hidrotérmico utilizando-se um menor esforço computacional, mantendo-se ainda o número
22
de cenários analisados e a continuidade dos valores assumidos em cada estado. Assim, o
objetivo desta dissertação é veri�car a viabilidade desta substituição.
Os testes de melhoria no gasto de tempo computacional não estão no escopo
desta dissertação, �cando como sugestão para trabalhos futuros.
1.3 Organização da Dissertação
O primeiro capítulo contém o contexto, o objetivo e a estrutura da dissertação.
O capítulo 2, por sua vez, apresenta a revisão bibliográ�ca sobre a operação de sistemas
hidrotérmicos e, em seguida, o capítulo 3 é abordado apresentando a representação dos
cenários hidrológicos através dos conceitos de árvore e latisse. Os capítulos 4 e 5 apresen-
tam os modelos dinâmicos de otimização com indiferença e com aversão ao risco, sendo
mostrado para isso uma breve explicação dos conceitos de Programação Dinâmica Dual
Estocástica e Conditional Value at Risk. Dados os fundamentos, o capítulo 6 apresenta
um estudo de caso à �m de avaliar a proposta de substituição da árvore de a�uências por
latisse. Por �m, no capítulo 7 são apresentadas as conclusões desta dissertação.
23
2 OPERAÇÃO DE SISTEMAS HIDROTÉRMICOS
Um sistema hidrotérmico é formado por hidroelétricas e termoelétricas que
operam de forma conjugada de modo a atender a demanda de energia. Assim, para a
melhor compreensão da operação de sistemas hidrotérmicos no Brasil, é necessário ter-se
conhecimento sobre a geração hidroelétrica, termoelétrica, a curva de carga e os modelos
de planejamento da operação (NEWAVE e DECOMP), que são apresentados nas seções
à seguir.
2.1 Geração Hidroelétrica
Segundo Kligerman (1992) uma usina hidroelétrica é composta basicamente
por: uma barragem formadora do reservatório, que represa um curso d'água; condutos
forçados que levam a água do reservatório até a casa de força; a casa de força, onde estão
instalados os grupos turbina-gerador; um canal de fuga, para onde a água é restituída
ao seu curso natural após turbinada; e o vertedouro, por onde há liberação da água
diretamente, sem passar pelas turbinas; como mostrado no per�l esquemático da Figura
2.1.
Figura 2.1: Esquema de uma usina hidroelétrica (ANEEL, 2008).
Os reservatórios das usinas hidroelétricas, conforme sua capacidade de regula-
rização, são classi�cados como de compensação, quando tem volume útil su�ciente apenas
para regularizar descargas de poucos dias; ou de acumulação, quando são capazes de pro-
mover a regularização por um período de um a vários meses. As usinas com reservatórios
de compensação são chamadas usinas a �o d'água. Aquelas com reservatório de acumu-
lação são chamadas usinas de reservatório (KLIGERMAN, 1992).
24
Assim, a geração hidroelétrica ocorre por meio da conversão da energia poten-
cial da água no reservatório em energia cinética e de pressão na turbina, que aciona o
gerador e, por sua vez, converte a energia cinética e de pressão em elétrica.
Desse modo, os principais parâmetros da operação de uma usina hidroelétrica
estão relacionadas ao volume de água armazenada nos reservatórios, à energia a�uente à
usina e à energia gerada, que serão apresentadas a seguir.
2.1.1 Volume Armazenado
No caso das usinas com reservatório de acumulação, a equação dinâmica que
determina a evolução do nível de água armazenada no reservatório deve satisfazer o princí-
pio da conservação de massa, ou seja, o volume de água no reservatório deve ser equivalente
ao volume de água que já está no reservatório somado ao volume de água que chega neste,
subtraído do volume de água que sai do mesmo.
Assim, para a representação esquemática da Figura 2.2, onde foram descon-
sideradas as perdas de água do reservatório devido à desvios e usos múltiplos, tem-se a
Equação (2.1), em que V t representa o volume do reservatório no instante t e V t−1 repre-
senta o volume no instante anterior, At a vazão a�uente ao reservatório até o instante t,
GH t a vazão de água turbinada para produzir energia no instante t, I t a vazão de água
vertida, EV t a vazão de água evaporada, F t a vazão de água in�ltrada e γ o fator de
conversão de vazão para volume.
At
V t
EV t
F t
It
GHt
Figura 2.2: Representação dos parâmetros de uma hidroelétrica.
V t − V t−1 = (At −GH t − I t − EV t − F t) · γ (2.1)
2.1.2 Energia A�uente
No modelo NEWAVE, a vazão de água Atk que chega à um reservatório de uma
usina k num instante t é convertida em unidade de energia, sendo chamada de energia
a�uente. Essa energia é proveniente da vazão Ztk, correspondente à agua turbinada ou
25
vertida nos reservatórios das usinas k à montante, sendo portanto esta parcela controlável;
e da vazão incremental Atinc,k, caso exista algum rio a�uente ao reservatório, essa vazão
varia conforme a ocorrência de chuvas, sendo portanto estocástica e não-controlável.
Assim, para as usinas 1 e 3 apresentadas na Figura 2.3, as vazões At1 e At3apresentam apenas a parcela estocástica e não-controlável devido à ocorrência de chuvas,
e para as usinas 2 e 4, as vazões a�uentes At2 e At4 apresentam tanto a parcela controlável
como a não controlável, sendo representadas pelas Equações (2.2) e (2.3).
Usina 1
Usina 2
Usina 3
Usina 4
At1Zt
1
Atinc,2
At2Zt
2
Atinc,4
At4
Zt4
At3Zt
3
Figura 2.3: Esquema de usinas hidroelétricas situadas numa mesma bacia.
At2 = Zt1 + Atinc,2 (2.2)
At4 = Zt2 + Zt
3 + Atinc,4 (2.3)
E a energia que se obtém quando essas vazões são turbinadas nas usinas si-
tuadas rio-abaixo, a partir de um ponto de observação, é chamada de Energia Natural
A�uente (ENA).
2.1.3 Energia Gerada
Por �m, a potência H t gerada por uma usina hidroelétrica é proporcional à
energia potencial da água no reservatório e é dada pela Equação (2.4), em que ηt é o
rendimento da usina (conjunto turbina gerador), GH t é a massa de água turbinada para
produzir energia no instante t, g é a aceleração da gravidade (considerada constante) e
até a queda líquida da usina, que é função do volume de água armazenado V t no instante
t e do nível do canal de fuga cf t.
26
H t = ηt(GH t, at) ·GH t · g · at(V t, cf t) (2.4)
Como simpli�cações, pode-se considerar que para uma hidroelétrica com re-
servatório de grande porte, a altura de queda at é constante no curto prazo e, além disso,
pode-se de�nir um rendimento médio η para o período analisado, obtendo-se assim a
Equação (2.5).
H t = η ·GH t · g · a (2.5)
2.2 Geração Termoelétrica
Quanto à geração termoelétrica, há diversos tipos de usinas, variando de acordo
com o combustível, a turbina utilizada e o ciclo termodinâmico aplicado.
Nas usinas termoelétricas em ciclo a vapor, a primeira etapa consiste na queima
de um combustível fóssil, como carvão, óleo ou gás, transformando a água em vapor com
o calor gerado na caldeira. A segunda etapa consiste na utilização deste vapor, em alta
pressão, para girar a turbina que, por sua vez, aciona o gerador elétrico. Na terceira
etapa, o vapor é condensado, transferindo o resíduo de sua energia térmica para um
circuito independente de refrigeração, retornando a água à caldeira, completando o ciclo,
como mostra a Figura 2.4 (FURNAS, 2016).
Figura 2.4: Geração de energia por meio de uma termoelétrica em ciclo à vapor.
Já nas usinas termoelétricas com turbina a gás, o ar é comprimido no compres-
sor e direcionado à câmara de combustão, onde é misturado ao combustível, possibilitando
sua queima. Ao sair da câmara de combustão, os gases, à alta pressão e temperatura, se
27
expandem conforme passam pela turbina, acionando o gerador elétrico, como mostrado
no esquema de uma usina termoelétrica a gás natural da Figura 2.5.
Figura 2.5: Geração de energia por meio de uma termoelétrica com turbina a gás (ANEEL,2008).
Tem-se que a e�ciência máxima teórica ηmax de uma usina termoelétrica é
dada pela equação de Carnot representada na Equação (2.6), onde Tf e Tq representam a
temperatura na saída do condensador e na entrada da turbina, respectivamente.
ηmax = 1− TfTq
(2.6)
Desse modo, como as usinas termoelétricas em ciclo a vapor apresentam a
temperatura Tf variando entre 320K e 350K e Tq variando entre 640K e 700K, a e�ciência
máxima teórica destas usinas varia entre 37 e 54%. Já as usinas termoelétricas com
turbina a gás apresentam a temperatura Tf variando entre 500K e 550K e Tq variando
entre 950K e 1000K, assim, a e�ciência máxima teórica destas usinas estaria entre 35 e
44% (TOLMASQUIM, 2016).
Um modo de se obter uma maior e�ciência seria por meio de uma usina termo-
elétrica em ciclo combinado, que utiliza uma turbina a vapor e outra a gás, apresentando
valores mais baixos de Tf e valores mais altos de Tq, e assim, consequentemente, obtendo-
se uma maior e�ciência máxima teórica entre entre 50 e 61% (TOLMASQUIM, 2016).
O esquema da Figura 2.6 mostra o funcionamento de uma usina termoelétrica em ciclo
combinado.
28
Figura 2.6: Geração de energia através de uma termoelétrica em ciclo combinado (FUR-NAS, 2016).
Assim, as principais características da operação de um parque de usinas ter-
moelétricas são a capacidade agregada de geração e o custo agregado, apresentados a
seguir.
2.2.1 Capacidade Agregada de Geração
A capacidade agregada de geração do parque de usinas termoelétricas tem
limitação superior da sua produção dada pela soma da capacidade máxima de todas as
usinas que compõe o parque e inferior dada pela soma das energias mínimas que as usinas
29
são obrigadas a produzir.
O limite inferior nem sempre é zero devido às restrições operativas das usinas,
por exemplo, caso uma termoelétrica esteja desligada, para que ela volte a funcionar é
necessário custos iniciais com combustíveis e tempo até que se alcance a temperatura de
operação, desse modo, torna-se mais vantajoso para algumas usinas que estas estejam
sempre operando.
2.2.2 Custo Agregado de Geração
As usinas de um parque termoelétrica são ordenadas em termo de custos mar-
ginais crescentes e a entrada em operação de cada termoelétrica é dada por ordem de
custo unitário, em que o último gerador alocado é chamado de gerador marginal, uma vez
que fazendo-se o ajuste marginal de carga, este de�ne o custo marginal de operação.
Todos os geradores com custo inferior ao marginal operam em sua capacidade
máxima e os geradores com custo de operação superior ao do marginal não entram em
operação (CEPEL, 2012a), ou seja, uma unidade térmica só entra em operação quando a
de custo imediatamente inferior estiver utilizando sua capacidade máxima. Desta forma,
o custo de operação do sistema termoelétrico no tempo t pode ser obtido por meio da
função de geração das termoelétricas que, em geral, é representada por uma função linear
por partes, como ilustrado na Figura 2.7 (PEREIRA, 2000).
Figura 2.7: Representação do custo de geração térmica (PEREIRA, 2000).
2.3 Curva de Carga
A oferta de eletricidade deve coincidir com a demanda, havendo um equílibrio
instantâneo, dado a di�culdade do armazenamento de energia elétrica, que se encontra no
fato da demanda de potência de um sistema sofrer variações de intensidade e característica
ao longo de um período, visto que a utilização das cargas dentro desse sistema é dinâmica,
havendo períodos de maior ou menor demanda.
30
A carga de um sistema é de�nida como a potência média recebida durante um
determinado intervalo de tempo denominado de intervalo de carga. Os valores usuais de
intervalo de carga são 15 minutos, 30 minutos, 1 hora, ou até maiores, sendo o primeiro
mais comum. A relação carga versus tempo é denominada curva de carga e pode ser
diária, semanal, mensal ou anual, conforme seja o período a que se re�ram. A área sob a
curva de carga corresponde a energia consumida no período representado (ALVES, 2007).
Existem grandes variações de carga ao longo do dia. Normalmente, o horário
de menor consumo é durante a madrugada e o de maior consumo começa às 18 horas,
como mostrado na Figura 2.8. Porém, com o aumento da temperatura, o horário de pico
tem se deslocado para o meio da tarde.
Figura 2.8: Curva de carga típica de um dia (ALVES, 2007).
Há ainda uma variação da curva de carga conforme os dias da semana. E com
relação a variação da carga durante os meses, a Figura 2.9 mostra a curva de carga média
mensal para o subsistema nordeste para o ano de 2015.
Figura 2.9: Curva de carga do subsistema nordeste em 2015 (ONS, 2016).
31
Assim, para que se possa ter o atendimento da demanda é necessário ter-se
conhecimento sobre a curva de carga.
2.4 Modelos de Otimização Utilizados no Brasil
Tendo conhecimento do funcionamento dos sistemas hidroelétricos e termo-
elétrico e a carga a ser atendida, pode-se agora apresentar os modelos de otimização
utilizados no Brasil para planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos.
Em cada etapa do planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos de
geração de energia elétrica são utilizados modelos com diferentes graus de detalhamento
para representação do sistema, abrangendo períodos de estudos com horizontes distintos
(médio prazo, curto prazo e programação diária), uma vez que com a diminuição do
horizonte de planejamento, a incerteza das vazões a�uentes são reduzidas, como mostra
a Figura 2.10.
26
3 Modelos Utilizados no Planejamento da Operação
Energética no Brasil
Esta seção apresenta uma breve discussão acerca dos modelos
computacionais utilizados atualmente no planejamento da operação energética
brasileira.
A designação planejamento energético é utilizada quando o aspecto energético
da operação é o foco do planejamento. Com isso, sua principal meta é o atendimento
da demanda de energia envolvida na operação do sistema, para horizontes de
planejamento de médio e curto prazo, ou seja, horizontes plurianuais. O planejamento
elétrico da operação diz respeito ao planejamento no horizonte de curtíssimo prazo, e
possui um maior nível de detalhamento na modelagem do sistema, considerando
inclusive as restrições advindas da operação elétrica do sistema de forma detalhada. A
divisão do planejamento em médio, curto e curtíssimo prazo deve-se à dificuldade de
manuseio simultâneo da estocasticidade das vazões afluentes com a representação
individualizada das usinas hidrelétricas.
Baseando-se na incerteza das vazões afluentes (Figura 5), foi proposta a atual
decomposição do problema do planejamento da operação em modelos diferenciados
Figura 5: Incerteza nas vazões x horizonte de planejamento. Figura 2.10: Variação da incerteza ao longo do tempo (BERTHO, 2013).
O objetivo básico do planejamento da operação é obter, para cada etapa, as
metas de geração de cada usina (hidro e termoelétrica) do sistema de forma a atender a
carga e minimizar o valor esperado do custo de operação ao longo do período de planeja-
mento. Este custo é composto pelo custo variável de combustível das usinas termoelétricas
e pelo custo atribuído às interrupções de fornecimento de energia, representado por uma
função de penalização dos dé�cits de energia (custo do dé�cit).
O modelo NEWAVE foi desenvolvido para o planejamento de médio prazo
(até 5 anos). É um modelo de planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos
com representação individualizada do parque termoelétrico e representação agregada, por
meio de reservatórios equivalentes de energia, do parque hidroelétrico. Um dos principais
resultados obtidos na estratégia de solução do modelo NEWAVE é a função de custo
32
futuro. É por meio dessa função que o encadeamento com o modelo de curto prazo
(DECOMP) é realizado.
O modelo DECOMP realiza a otimização do despacho energético no horizonte
de curto prazo (até 12 meses), para as usinas do sistema de forma individualizada. Com
base nas curvas de custo futuro obtidas na etapa de médio prazo, determinam-se as
metas individuais de geração das usinas hidráulicas e térmicas do sistema, bem como os
intercâmbios de energia entre subsistemas.
Finalmente na programação diária, de�ne-se uma programação horária de gera-
ção que atenda as metas estabelecidas na etapa anterior, sujeita às condições operacionais
da rede elétrica (CEPEL, 2012a).
A seguir serão apresentados de forma sucinta os modelos NEWAVE e DE-
COMP.
2.4.1 NEWAVE
O modelo NEWAVE foi desenvolvido para tratar o planejamento da operação
energética do SIN (Sistema Integrado Nacional) quando são considerados horizontes de
planejamento de médio prazo, ou seja, horizontes plurianuais. Nesse tipo de horizonte, a
estocasticidade das vazões a�uentes passa a ser um fator de grande in�uência, pois imerge
o problema em um ambiente de grande incerteza (BERTHO, 2013).
O SIN é representado por quatro subsistemas, mostrados na Figura 2.11, onde
a usina de Itaipu é considerada à parte por ser dividida com o Paraguai e a região Norte
Isolado não participa do planejamento da operação do SIN (BERTHO, 2013). A existência
de interligações com os sistemas vizinhos permite uma redução dos custos de operação,
por meio do intercâmbio de energia e um aumento da con�abilidade de fornecimento, via
repartição das reservas de energia (CEPEL, 2012a).
Figura 2.11: Divisão dos subsistemas brasileiros (BERTHO, 2013).
33
A maneira encontrada pelo setor elétrico para introduzir a estocasticidade
intrínseca ao problema do planejamento de médio prazo na modelagem computacional foi
gerar séries sintéticas de energias, como mostrado na Figura 2.12, para depois empregar
técnicas de programação dinâmica dual estocástica (PDDE).
Mod
elod
eO
timizacao/S
imu
lacao
Dados Historicos
ModeloEstocastico Serie
Sintetica 1
SerieSintetica 2
SerieSintetica 3
Vh
V1
V2
V3
Figura 2.12: Esquema da geração de séries sintéticas de energia.
A técnica da PDDE é utilizada para determinar a energia que será gerada
pelas usinas hidroelétricas e pelas usinas térmicas e os intercâmbios entre os subsistemas,
atendendo à carga de energia no país num horizonte de cinco anos. A função objetivo
do modelo é minimizar o valor esperado do custo operacional do sistema, composto por
duas parcelas, uma que re�ete o custo presente do combustível, operação e manutenção
das usinas térmicas e outra que re�ete o custo futuro do não atendimento da demanda de
energia em função da decisão de gerar diferentes parcelas de energia hidráulica e térmica
num determinado estágio (chamada de Função de Custo Futuro) (LOPES, 2007).
Objetivando a viabilidade do modelo computacional, para que se evite a cha-
mada �maldição da dimensionalidade�, uma importante simpli�cação do SIN é realizada
no NEWAVE, onde os reservatórios das usinas hidroelétricas são agregados em reservató-
rios equivalentes de energia, esquematizado pela Figura 2.13, reduzindo-se a dimensão do
sistema interligado brasileiro.
34
Energia Afluente
Afluencia Controlavel
Reservatorio Equivalentede Energia
Perdas Evaporativas
Energia Hidroeletrica
AfluenciaEstocastica
Figura 2.13: Esquema de um reservatório equivalente.
Com o processo de agregação dos reservatórios, surge a necessidade de realizar
uma adequação dos valores da vazão a�uente nas usinas hidroelétricas para a compatibi-
lização dessa abordagem com as grandezas veri�cadas no sistema. Dessa forma, a vazão
a�uente deve deixar de ser abordada como quantidade de água que chega ao sistema,
mas sim como quantidade de energia, conhecida como energia natural a�uente (ENA). O
processo de obtenção da ENA é realizado calculando-se o aproveitamento energético da
vazão a�uente na usina hidroelétrica e em todas as usinas à jusante (BERTHO, 2013).
As usinas térmicas são representadas no NEWAVE por grupos de usinas com
custos semelhantes, chamados de classes térmicas. As classes térmicas são de�nidas ba-
sicamente por meio dos valores de geração máxima e mínima das usinas térmicas, assim
como seus custos incrementais de operação. O dé�cit de energia é uma ocorrência de
grande relevância, e foi abrangido no modelo como uma unidade térmica de capacidade
igual à demanda de energia.
Entre os resultados do NEWAVE estão: os despachos de geração térmica e
hidráulica nos subsistemas equivalentes, as energias fornecidas e recebidas entre os subsis-
temas e a Função Custo Futuro, esta última é usada como entrada de um segundo modelo,
o chamado DECOMP (LOPES, 2007). Além disso, o modelo NEWAVE é rodado uma
vez por mês, enquanto o DECOMP é rodado toda semana.
2.4.2 DECOMP
Na cadeia de modelos utilizada no Brasil para a realização do planejamento
da operação energética do sistema de potência, a alocação ótima da geração de energia
elétrica no horizonte de curto prazo é desempenhada pelo DECOMP. O modelo DECOMP
35
formula o problema de despacho hidrotérmico como um problema de programação linear
no qual a função objetivo consiste em minimizar o custo de operação ao longo do período
de planejamento, dado o conjunto de informações disponíveis (carga, vazões, disponibi-
lidades, limites de transmissão entre subsistemas, função de custo futuro do NEWAVE).
Assim, para o planejamento de curto prazo condizer com o planejamento de médio prazo, é
necessário um acoplamento entre os modelos NEWAVE e DECOMP, que é esquematizado
na Figura 2.14.
Centro de Pesquisas de Energia Elétrica - CEPEL 24 de Julho de 2013
Preço do Mercado de Curto Prazo ou
Preço de Liquidação de Diferenças (PLD)
Baseia-se no cálculo do CMO e é determinado semanalmente para cada submercado (Norte, Nordeste, Sudeste/Centro-Oeste e Sul) e para cada patamar de carga (pesada, média e leve), sem considerar as usinas em teste e as restrições de transmissão internas a cada submercado, incorporadas pelo ONS no planejamento da operação
O PLD é limitado ainda por um preço máximo e um mínimo, estabelecidos pela ANEEL
O modelo NEWAVE é rodado uma vez ao mês, enquanto o modelo DECOMP é rodado toda semana
Figura 2.14: Entradas e saídas de dados nos modelos NEWAVE e DECOMP (CPAMP,2013b).
Diferentemente do modelo NEWAVE, o DECOMP apresenta um maior deta-
lhamento do sistema em sua modelagem matemática, passando a representar as usinas
hidroelétricas de forma individualizada. Isso possibilita a inserção de uma série de novas
características no modelo de otimização, como enchimento de volume morto, volume de
espera, evaporação, desvios de água, tempo de viagem da vazão de�uente, entre outras
características inerentes a operação das usinas hidroelétricas.
A estocasticidade das vazões é introduzida no modelo DECOMP a partir do
�nal do primeiro mês do planejamento, por meio da construção de cenários de vazões men-
sais a�uentes às usinas do sistema. Estes cenários hidrológicos podem ser representados
por uma árvore de a�uências, cuja teoria é abordada no capítulo 3.
36
Assim, o resultado da otimização realizada pelo DECOMP de curto prazo,
indicará para cada usina, semanalmente no primeiro mês do horizonte de planejamento e
mensalmente nos demais, a alocação ótima da geração de energia respeitando, na medida
do possível, as restrições operativas de cada usina.
37
3 REPRESENTAÇÃO DOS CENÁRIOS HIDROLÓ-
GICOS
Dado o objetivo da dissertação de veri�cação da viabilidade de substituição
da árvore de a�uências por latisse, este capítulo irá apresentar o modelo de geração de
séries sintéticas e vazões GEVAZP (CEPEL, 2010), responsável pela geração dos cenários
hidrológicos necessários ao modelo NEWAVE e DECOMP, o conceito e a formulação da
teoria de árvores e o conceito e a formulação adaptada da teoria de latisse para a possível
substituição.
3.1 GEVAZP
O modelo GEVAZP é o responsável pela geração dos cenários hidrológicos
necessários ao modelo NEWAVE e DECOMP, realizando a representação dos possíveis
cenários de vazões de forma diferenciada para cada etapa do processo do plajenamento
da operação.
No modelo NEWAVE, os cenários de a�uência podem ser representados em
uma estrutura paralela (pente), como mostrado na Figura 3.1, ou em uma estrutura de
árvore.
Figura 3.1: Séries em paralelo (pente) (CEPEL, 2010).
Já no modelo DECOMP, os cenários hidrológicos gerados a partir do modelo
GEVAZP são representados apenas pela estrutura de árvore de a�uências, como mostrada
na Figura 3.2, cuja teoria será abordada na seção a seguir.
38
Figura 3.2: Séries em árvore (CEPEL, 2010).
A estrutura de pente exige um menor esforço computacional para sua resolu-
ção, porém também agrega menos informações, enquanto a estrutura de árvore apresenta
informações mais densas, porém de mais complexa resolução. Dessa forma, propõe-se
aplicar também nos modelos NEWAVE e DECOMP a estrutura de latisse, que apresenta
um porte intermediário entre as estruturas já presentes no modelo GEVAZP. Para que a
estrutura de latisse seja utilizada, não seria necessário modi�car os modelos NEWAVE e
DECOMP, e sim o modelo GEVAZP, de modo que fosse possível optar para que o modelo
pudesse gerar além das estruturas já pré-existentes, também uma série com a estrutura
de latisse, como mostrado na Figura 3.3.
Modelo
GEVAZP
Modelo
NEWAVE
Modelo
DECOMP
Seriesem pente
Seriesem arvore
Seriesem latisse
Dadoshistoricos
Figura 3.3: Representação dos cenários hidrológicos através do modelo GEVAZP.
Para que essa alteração possa ser aplicada, será apresentado nas seções à seguir
a teoria de árvore e latisse.
39
3.2 Representação por Árvore
Utilizando os valores históricos de energia natural a�uente, a incerteza da
a�uência futura pode ser representada por uma distribuição de probabilidades, que, por
sua vez, pode ser representada por meio de uma árvores de a�uências, em que cada ramo
possui uma probabilidade de ocorrência relacionada à seu respectivo cenário representado,
de modo que a soma das probabilidades de cada ramo em cada estágio deve ser igual à 1,
como mostrado na Figura 3.4.
Figura 3.4: Distribuição de probabilidades dos valores históricos de energia natural a�u-ente de Janeiro para a bacia do Tocantins e sua respectiva árvore.
De forma geral, para árvores binomiais, calibra-se os ramos de forma a obter-se
dois cenários equiprováveis, sendo que um cenário representa a ocorrência de um valor
médio menor que o esperado, e o outro cenário representa a ocorrência de um valor médio
maior que o esperado. Tem-se assim que quanto maior a diferença entre os valores repre-
sentados por cada ramo, maior é a dispersão entre os pontos sob a curva de distribuição.
Para resolver o problema completo do planejamento de operação deve-se resol-
ver um problema para cada nó da árvore de a�uências. Cada nó da árvore representa uma
decisão que deve ser tomada a cada estágio, e cada decisão conduz através de seus ramos
a diferentes resultados. Se a decisão for guardar a água no presente e vierem a ocorrer
vazões elevadas no futuro, possivelmente será preciso verter o excedente, o que representa
desperdício da energia que foi guardada. Por outro lado, se a decisão for usar a água no
presente e vierem a ocorrer vazões reduzidas no futuro, possivelmente será preciso elevar
a complementação termoelétrica utilizando unidades mais dispendiosas, ou mesmo cortar
a demanda por meio de políticas de racionamento.
A árvore de a�uências é montada de forma que cada nó represente o volume
40
de água mantido no reservatório, e cada ramo represente um possível cenário de a�uência.
Desse modo, para cada ramo há um valor de geração associado e, para cada nó, há um
valor de custo de geração esperado.
O volume da água representado em cada nó é calculado por etapas forward,
através das equações de balanço hídrico, que consideram que o volume ao �nal de um
estágio é equivalente ao volume inicial, somado à a�uência do ramo que conduz à este
nó, descontado a quantidade de água usada na geração hidroelétrica neste estágio e o
vertimento ocorrido.
O valor esperado de cada nó é calculado por etapas backward, e equivale à
esperança (ou média ponderada, de acordo com a probabilidade de ocorrência) do custo
de geração dos estágios seguintes.
3.2.1 Árvore Binária
Exempli�cando para o caso mais simples, como o da árvore binária apre-
sentada na Figura 3.5, aplica-se a Equação (2.1) para os cálculos de balanço hídrico,
desconsiderando-se a quantidade de água in�ltrada e evaporada, por se tratarem de uma
parcela pequena comparadas ao volume total, obtendo-se as Equações (3.1) à (3.6), sendo
V ti o volume do reservatório no �nal do estágio t e ao inicio do estágio (t + 1) no nó
i, Atij, GHtij e I
tij a a�uência, a geração hidroelétrica e o vertimento do cenário ij do
estágio (t) que representa a transição do nó i do estágio (t− 1) para o nó j do estágio t,
respectivamente.
V 00
V 11
V 21
V 12
V 22
V 23
V 24
A102
A101
A211
A212
A224
A223
GH101
GH102
GH211
GH212
GH223
GH224
Figura 3.5: Esquema de cálculo do balanço hídrico na árvore binária.
V 11 = V 0
0 + A101 −GH1
01 − I101 (3.1)
V 12 = V 0
0 + A102 −GH1
02 − I102 (3.2)
41
V 21 = V 1
1 + A211 −GH2
11 − I211 (3.3)
V 22 = V 1
1 + A212 −GH2
12 − I212 (3.4)
V 23 = V 1
2 + A223 −GH2
23 − I223 (3.5)
V 24 = V 1
2 + A224 −GH2
24 − I224 (3.6)
Tendo calculado a geração hidroelétrica de cada estágio, tem-se um custo de
geração associado à cada ramo devido a geração por meio de termoelétricas para a com-
plementação da energia para o atendimento da demanda. Assim, considerando que os
ramos da árvore de a�uências apresentam probabilidade P e (1− P ) de ocorrência dado
a ocorrência do nó anterior, como mostrado na Figura 3.6, tem-se que o cálculo do valor
esperado do custo de operação Sti do estágio t e nó i, pode ser representado pelas Equações
(3.7), (3.8) e (3.9).
S00
S11
S21
S12
S22
S23
S24
(1− P )
P
P
(1− P )
(1− P )
P
Figura 3.6: Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na árvore binária.
S11 = P · S2
1 + (1− P ) · S22 (3.7)
S12 = P · S2
3 + (1− P ) · S24 (3.8)
S00 = P · S1
1 + (1− P ) · S12 (3.9)
3.2.2 Árvore Ternária
Caso a árvore fosse ternária ao invés de binária, como mostrado na Figura
3.7, e cada um dos seus ramos tivesse a probabilidade P1, P2 e P3 de ocorrência dado a
ocorrência do nó anterior, teriam-se as equações Eqs. (3.10) à (3.13) para o cálculo do
valor esperado do custo de operação de cada nó.
42
S00
P1
P2
P3
P1
P1
P1
P2
P2
P2
P3
P3
P3
S11
S12
S13
S21
S22
S23
S24
S25
S26
S27
S28
S29
Figura 3.7: Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na árvore ternária.
S11 = P1 · S2
1 + P2 · S22 + P3 · S2
3 (3.10)
S12 = P1 · S2
4 + P2 · S25 + P3 · S2
6 (3.11)
S13 = P1 · S2
7 + P2 · S28 + P3 · S2
9 (3.12)
S00 = P1 · S1
1 + P2 · S12 + P3 · S1
3 (3.13)
De forma análoga, aos cálculos feitos para a árvore binária, poderia-se realizar
os cálculos de balanço hídrico para a árvore ternária, obtendo-se doze equações para a
árvore ternária de dois estágios (uma para cada ramo da árvore), onde o volume �nal
do reservatório em cada estágio seria equivalente ao volume inicial somado à a�uência e
subtraído o gasto de água para a geração e o vertimento.
3.2.3 Árvore Multiária
Por �m, seguindo o mesmo raciocínio, generalizando para uma árvore multiá-
ria, tem-se a Figura 3.8, cujo o cálculo do balanço hídrico de cada ramo é mostrado pela
Equação (3.14), onde Atij, GHtij, e I
tij são a a�uência, a água utilizada para a geração
hidroelétrica e o vertimento de água do estágio t que levam do volume V (t−1)i do nó i do
estágio (t− 1) até o volume V tj do nó j do estágio t. Havendo assim, para os dois estágios
da árvore, um total de (n + n2) equações, onde n é o número de cenários, ou seja, uma
equação para cada ramo.
43
V 00
GH101
GH102
GH211
V 11
V 12
V 21
GH10n
GH21n
GH22(2n)
GH2n(n2)
GH22(n+1)
GH2n(2n−2)
V 22
V 2n
V 2(n+1)
V 2(n+2)
V 2(2n)
V 1n
V 2(n2)
V 2(n2−1)
V 2(n2−2)
Figura 3.8: Esquema de cálculo do balanço hídrico na árvore multiária.
V tj = V
(t−1)i + Atij −GH t
ij − I tij (3.14)
O cálculo do valor esperado do custo de operação de cada nó está representado
pela Figura 3.9 e Equação (3.15), havendo uma equação para cada nó, ou seja, (n + 1)
equações para os dois estágios da árvore.
S00
P1
P2
P1S11
S12
S21
Pn
Pn
Pn
Pn
P1
P1
S22
S2n
S2n+1
S2n+2
S22n
S1n
S2n2
S2n2−n
S2n2−n+1
Figura 3.9: Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na árvore mul-tiária.
44
Sti = P1 · S(t+1)((i−1)·n+1) + P2 · S(t+1)
((i−1)·n+2) + ...+ Pn · S(t+1)(i·n) (3.15)
3.3 Representação por Latisse
A representação dos cenários de a�uência por latisse segue os mesmos princí-
pios da representação por árvore, porém é preciso �forçar� para que os nós intermediários
coincidam, de modo que os valores assumidos por estes ainda sejam contínuos.
Isto é possível, pois o problema de otimização do despacho hidrotérmico mo-
delado no DECOMP é considerado do tipo �acaso-decisão� (CEPEL, 2012a), ou seja,
sabendo-se primeiro a a�uência ocorrida, toma-se a decisão do despacho hidrotérmico de
forma que os nós intermediários coincidam.
Além disso, de forma geral, as usinas hidroelétricas brasileiras apresentam
um reservatório de grande capacidade de armazenamento, sendo possível ter um maior
controle de decisão do quanto estas usinas irão gerar em cada estágio. Sendo assim, as
decisões de cada nó podem caminhar através de diferentes ramos de forma a �amarrar� os
nós intermediários da árvore de a�uências, fazendo com que esta passe a ter a estrutura de
uma latisse. E portanto, o número de possíveis cenários cresceria de forma mais moderada.
Os cálculos para o balanço hídrico e valor esperado do custo de operação, por
sua vez, também seriam menores em termos quantitativo, e são mostrados nas subseções
a seguir.
3.3.1 Latisse Binomial
Exempli�cando para um caso mais simples, como o da latisse binomial apre-
sentada na Figura 3.10, continua-se aplicando a Equação (2.1) para os cálculos de balanço
hídrico, desconsiderando-se também a quantidade de água in�ltrada e evaporada, por se
tratarem de uma parcela pequena comparadas ao volume total, e obtendo-se de forma
simpli�cada as Equações (3.16) à (3.21), sendo V ti o volume do reservatório no �nal do
estágio t e ao inicio do estágio (t + 1) no nó i, Atij, GHtij e I
tij a a�uência, a geração
hidroelétrica e o vertimento do cenário ij do estágio t, que representa a transição do nó i
do estágio (t− 1) para o nó j do estágio t, respectivamente.
45
A211
A102
V 00
V 11
V 12
V 12
V 22
V 23
A101
A212
A222
A223
GH101
GH102
GH211
GH212
GH222
GH223
Figura 3.10: Esquema de cálculo do balanço hídrico na latisse binomial.
V 11 = V 0
0 + A101 −GH1
01 − I101 (3.16)
V 12 = V 0
0 + A102 −GH1
02 − I102 (3.17)
V 21 = V 1
1 + A211 −GH2
11 − I211 (3.18)
V22 = V 1
1 + A212 −GH2
12 − I212 (3.19)
V22 = V 1
2 + A222 −GH2
22 − I222 (3.20)
V 23 = V 1
2 + A223 −GH2
23 − I223 (3.21)
É importante chamar a atenção para os cálculos que envolvem os nós interme-
diários, como as Equações (3.19) e (3.20), que devem coincidir, uma vez que representam
os cálculos do volume de um mesmo nó, a razão para se obter duas equações é devido ao
fato de ser possível chegar ao mesmo nó através de caminhos diferentes.
Tendo calculado a geração hidroelétrica de cada estágio, tem-se um custo de
operação associado à cada ramo devido a geração por meio de termoelétricas para a
complementação da energia para o atendimento da demanda. Assim, considerando que
os ramos da árvore de a�uências apresentam probabilidade P e (1 − P ) de ocorrência
dado a ocorrência do nó anterior, como mostrado na Figura 3.11, tem-se que o cálculo do
valor esperado do custo de operação Sti do estágio t e nó i, pode ser representado pelas
Equações (3.22), (3.23) e (3.24).
46
(1− P )
S0
S11
S12
S21
S22
S23
P
P
(1− P )
(1− P )
P
Figura 3.11: Esquema de cálculo do valor esperado du custo de geração na latisse binomial.
S11 = P · S2
1 + (1− P ) · S22 (3.22)
S12 = P · S2
2 + (1− P ) · S23 (3.23)
S00 = P · S1
1 + (1− P ) · S12 (3.24)
Neste caso, o que diferencia os cálculos da latisse para a árvore seria o fato
do valor S22 ser considerado duas vezes, dado que é possível chegar neste nó através de
dois caminhos diferentes e, dessa forma, o nó intermediário apresenta uma probabilidade
maior de ocorrência que os demais nós �nais.
Pode-se observar ainda que as equações, tanto de balanço hídrico como de
cálculo do valor esperado do custo de operação, se aparentam muito com as equações
utilizadas para a árvore binária, porém, há um menor número de nós �nais, o que acar-
reta em um menor número de equações a serem calculadas caso mais um estágio fosse
adicionado ao período analisado.
3.3.2 Latisse Trinomial
Para o caso de uma latisse trinomial como a mostrada na Fig. 3.12, com
probabilidades P1, P2 e P3 de ocorrência de cado ramo dado a ocorrência do nó anterior,
utiliza-se as Eqs. (3.25) à (3.28) para o cálculo do valor esperado do custo de cada nó.
47
S00
S11
S13
S21
S22
S25
P1
P3
P2S12
S24
S23
P1
P1
P1
P2
P2
P2
P3
P3
P3
Figura 3.12: Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na latisse trino-mial.
S11 = P1 · S2
1 + P2 · S22 + P3 · S2
3 (3.25)
S12 = P1 · S2
2 + P2 · S23 + P3 · S2
4 (3.26)
S13 = P1 · S2
3 + P2 · S24 + P3 · S2
5 (3.27)
S00 = P1 · S1
1 + P2 · S12 + P3 · S1
3 (3.28)
De forma análoga, aos cálculos feitos para a latisse binomial, poderia-se realizar
os cálculos de balanço hídrico para a latisse trinomial, obtendo-se três equações para o
primeiro estágio e nove equações para o segundo estágio, sendo uma equação para o
cálculo de V 21 , duas equações para o cálculo de V 2
2 , três equações para o cálculo de V 23 ,
duas equações para o cálculo de V 24 e uma para o cálculo de V 2
5 , devido ao número de
possíveis caminhos através dos ramos que levariam à estes nós.
Até o segundo estágio, o número de equações da latisse e da árvore são os
mesmos, mas, a partir do terceiro estágio, a latisse começa a apresentar menos equações
que a árvore devido ao menor número de nós e ramos.
3.3.3 Latisse Multinomial
Por �m, generalizando para o caso de uma latisse multinomial como mostrada
na Figura 3.13, tem-se que a equação para o cálculo do balanço hídrico de cada ramo
segue o mesmo padrão dos demais casos, cujo volume inicial (V tj ) do cenário ij do estágio
t é equivalente ao volume inicial V (t−1)i do nó i do estágio (t− 1) somado à a�uência Atij
e subtraído à geração hidroelétrica GH tij e o vertimento I
tij do ramo que levou do volume
de um estágio ao do outro, como mostrado na Equação (3.14) para árvore multinomial.
48
V0
V 11
GH101
GH102
GH103
GH10n
V 12
V 13
V 1n
GH211GH2
12
GH213
V 21
V 22
V 23
V 2n
V 2(2n−1)
V 2(n+1)
V 2(n+2)
GH2n(2n−1)
Figura 3.13: Esquema de cálculo do balanço hídrico na latisse multinomial.
O que difere o cálculo das equações de balanço hídrico da árvore para a latisse,
é que na latisse pode-se chegar a um mesmo nó por mais de um caminho através dos
ramos da latisse, portanto, haverá mais de uma equação de balanço hídrico para o cálculo
do volume dos nós intermediários. Assim, o número de equações de balanço hídrico para
cada nó varia entre 1 e o número de ramos n, conforme a posição i de cada nó.
Mesmo havendo mais de uma equação de balanço hídrico para cada nó, ainda
assim haverá apenas uma equação de balanço hídrico para cada ramo, e assim, a latisse
apresentará um menor número de equações que a árvore, uma vez que esta apresenta um
menor aumento do número de ramos a cada estágio.
Por �m, para o cálculo do valor esperado do custo de operação Sti de cada nó,
tem-se a Figura 3.14 e a Equação (3.29), onde t representa o estágio, i a posição do nó e
n o número de cenários. Havendo uma equação de cálculo do valor esperado do custo de
operação para cada nó da estrutura.
49
S0
S11
P1 P2
P3
Pn
S12
S13
S1n
P1
P1
P1
P1
P2
P2
P2
P3
P3
Pn
Pn
Pn
Pn
S21
S22
S23
S2n
S2(2n−1)
S2(n+1)
S2(n+2)
Figura 3.14: Esquema de cálculo do valor esperado do custo de operação na latisse mul-tinomial.
Sti = P1 · S(t+1)i + P2 · S(t+1)
(i+1) + ...+ Pn · S(t+1)(i+n−1) (3.29)
Para um maior aprofundamento sobre a teoria de árvore e latisse, o livro do
Luenberger (1998) pode ser consultado.
50
4 MODELO DINÂMICO DE OTIMIZAÇÃO COM IN-
DIFERENÇA AO RISCO
Tendo apresentado os modelos NEWAVE e DECOMP e a representação da
estocasticidades das vazões a�uentes por árvore e latisse, este capítulo objetiva apresentar
os modelos dinâmicos de otimização com indiferença ao risco. Para que haja um maior
entendimento dos modelos, antes será apresentado a teoria de Programação Dinâmica
Dual Estocástica.
4.1 Programação Dinâmica Dual Estocástica
No modelo NEWAVE, o problema de planejamento da operação energética de
médio prazo é representado por um problema de programação estocástica linear multi-
estágio, baseado na aproximação do valor esperado da função de custo futuro. A técnica
utilizada para encontrar a solução ótima é a Programação Dinâmica Dual Estocástica
(PDDE), baseada na decomposição de Benders. A formulação da PDDE atualmente
empregada no modelo leva em conta a correlação temporal das a�uências aos reservatórios.
Assim, consideram-se como variáveis de estados do problema o armazenamento no início
do período e as a�uências passadas.
O cálculo da política de operação do NEWAVE é feito iterativamente, sendo
que cada iteração é constituída por duas etapas. Uma delas é a etapa forward, em que é
estimado o custo médio imediato, dado pela geração térmica mais custo de não suprimento
de energia. A etapa backward, que é uma etapa recursiva, calcula o custo de operação do
último estágio e atualiza o valor presente do estágio anterior, até que se chegue ao estágio
inicial. Nesta etapa é calculada a função de custo futuro por meio dos cortes de Benders
(DEUS, 2010).
A teoria de Programação Dinâmica Dual Estocástica pode ser vista com mais
detalhes no Manual de Referência do Modelo NEWAVE (CEPEL, 2012b) e a Teoria de
Corte de Benders associada pode ser estudada no livro Optimization Theory for Large
Systems (LASDON, 1970).
De forma sucinta, o algoritmo de PDDE pode ser ilustrado por um problema
de dois estágios (Figura 4.1) apresentado pelo problema de otimização restrito (4.1), no
qual o primeiro estágio é considerado conhecido e o segundo estágio depende dos valores
que uma ou mais variáveis aleatórias podem assumir.
51
10 estagio 20 estagio
P1
P2
Figura 4.1: Representação de uma árvore binomial de dois estágios.
y = min(c1x101 + P1c2xt11 + P2c
2xt12)
s.a.
Q1x101≥ b11R1x101 +Q2x211≥ b21R1x101 +Q2x212≥ b22
(4.1)
Este problema pode ser dividido em dois subproblemas, um do primeiro estágio
e outro do segundo. O subproblema do primeiro estágio está representado no conjunto de
Equações (4.2), onde c1x01 representa o custo imediato, e a função α1(x101) representa o
valor esperado do custo de operação futuro, que é consequência da decisão x1∗01.
y = min(c1x101 + α1(x
101)
s.a.
Q1x101≥ b11
(4.2)
O subproblema do segundo estágio está representado no conjunto de Equações
(4.3), que depende da solução x1∗01 encontrada na resolução do primeiro estágio para ser
resolvido.
α1(x
101) = min(P1c
2x211 + P2c2x212)
s.a.
Q2x211≥ b21 −R1x1∗01
Q2x212≥ b22 −R1x1∗01
(4.3)
A solução do primeiro estágio é utilizada no segundo estágio através de uma
etapa forward, caso o valor da função objetivo encontrado no segundo estágio não coin-
cida com o valor de α1(x101) encontrado no primeiro estágio, deve-se realizar uma etapa
52
backward, adicionando ao subproblema do primeiro estágio a equação de corte de Ben-
ders associada, mostrada na Equação (4.4), onde π1 e π2 são os multiplicadores simplex
associados às restrições do problema.
P1π1(b21 −R1x101) + P2π2(b
22 −R1x101)≤ α (4.4)
Dessa forma, deve-se realizar iterações entre as etapas forward e backward até
que os valores convirjam e a solução do problema seja encontrada.
4.2 Modelo Integrado com Árvore Binária
Para a resolução do problema de otimização do despacho hidrotérmico de forma
integrada para uma árvore binária com N estágios, sendo o primeiro estágio considerado
conhecido, como mostrado na Figura 4.2, é necessário de�nir a função objetivo e as
equações de restrições.
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
V 00 V 1
1
V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V 34
V N2(N−1)
V N1
V N2
V N2(N−1)−1
Figura 4.2: Representação de uma árvore binária multi-estágios.
A função objetivo é de�nida como o mínimo da soma do custo esperado de
operação de cada estágio, como mostrado na Equação (4.5), onde c representa o vetor
linha de custos de geração por unidade de energia de cada usina, que, nesse caso é con-
siderado constante no tempo, xtij e ptij representam o vetor coluna da geração de energia
de cada usina k e a probabilidade de ocorrência de cada cenário ij de um estágio t,
respectivamente. Os cálculos dos valores de ptij podem ser vistos no apêndice A.
53
y = min(cx101 + (p211cx211 + p212cx
212) + (p311cx
311 + p312cx
312 + p323cx
323 + p324cx
324) + ...
+(pN11cxN11 + pN12cx
N12 + ...pN(2(N−2))(2(N−1))cx
N(2(N−2))(2(N−1)))) (4.5)
As restrições às quais a função objetivo está sujeita são: as restrições de potên-
cia, atendimento da demanda e balanço hídrico, de acordo com os parâmetros utilizados
para a de�nição da árvore de a�uências.
As restrições de potência determinam que a geração de cada usina não pode
ultrapassar sua respectiva potência máxima, havendo assim uma equação para cada usina
k em cada cenário ij de cada estágio t, que é representada de forma genérica pela Equação
(4.6), onde X tijk representa os elementos do vetor xtij, que, por sua vez, representa a
quantidade de energia gerada por cada usina k e Gk representa a potência máxima de
geração de cada usina k.
X tijk≤ Gk (4.6)
As restrições de atendimento da demanda determinam que o total de energia
gerado X tijk por todas as usinas k em um cenário ij deve atender à demanda Dt do período
t, havendo uma equação por ramo da árvore, como representado pela Equação (4.7), onde
K representa o número total de usinas.
K∑k=1
X tijk = Dt (4.7)
Por �m, as restrições de balanço hídrico determinam, através de um balanço de
massa, o volume do reservatório em cada cenário de cada estágio, sendo representado pelo
conjunto de Equações (4.8), havendo também uma equação para cada ramo da árvore,
onde V tj representa o volume, Atij a a�uência, I tij o vertimento do cenário ij do estágio t
e GH tij representa o elemento do vetor xtij referente a quantidade de energia gerada pela
usina hidroelétrica.
54
V 11 = V 0
0 + A101 −GH1
01 − I101V 21 = V 1
1 + A211 −GH2
11 − I211V 22 = V 1
1 + A212 −GH2
12 − I212V 31 = V 2
1 + A311 −GH3
11 − I311V 32 = V 2
1 + A312 −GH3
12 − I312V 33 = V 2
2 + A323 −GH3
23 − I323V 34 = V 2
2 + A324 −GH3
24 − I324...
V N2(N−1)−1 = V
(N−1)2(N−2) + AN
(2(N−2))(2(N−1)−1) +GHN(2(N−2))(2(N−1)−1) + IN
(2(N−2))(2(N−1)−1)
V N2(N−1) = V
(N−1)2(N−2) + AN
(2(N−2))(2(N−1))+GHN
(2(N−2))(2(N−1))+ IN
(2(N−2))(2(N−1))
(4.8)
4.3 Modelo Decomposto com Árvore Binária
Para a resolução do problema de otimização do despacho hidrotérmico de forma
decomposta é necessário de�nir a estrutura dos subproblemas a serem resolvidos, de forma
que haja o encadeamento entre os problemas para que seja encontrada a solução do
problema global. A árvore binária mostrada na Figura 4.3 apresenta as divisões dos
subproblemas.
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
V 00 V 1
1
V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V 34
V N2(N−1)
V N1
V N2
V N2(N−1)−1
Figura 4.3: Representação dos subproblemas de uma árvore binomial multi-estágios.
Assim, para o primeiro subproblema deve-se de�nir a função objetivo y como
o mínimo da soma do custo esperado de geração do primeiro estágio cx101 e do custo
esperado de geração dos estágio futuros α2, como mostrado na Equação (4.9).
55
y = min(cx101 + α2) (4.9)
Quanto às restrições de potência, atendimento da demanda e balanço hídrico
que a função objetivo está submetida, estas devem ser referentes apenas ao primeiro
estágio, sendo mostradas no conjunto de Equações (4.10).
X1
01k≤ Gk∑Kk=1X
101k = D1
V 11 = V 0
0 + A101 − A1
01 − A101
(4.10)
Para o subproblema do segundo estágio, a função objetivo α2 é de�nida como
o mínimo da soma do custo esperado de geração do segundo estágio e do custo esperado
de geração dos estágio futuros α31 e α32, como mostrado na Equação (4.11). Neste caso
há dois termos referentes à geração dos estágios futuros devido ao fato de haver dois
subproblemas no terceiro estágio.
α2 = min((p211cx211 + p212cx
212) + α31 + α32) (4.11)
Quanto às restrições de potência, atendimento da demanda e balanço hídrico
que a função objetivo está submetida, estas devem ser referentes apenas ao segundo
estágio, sendo mostradas no conjunto de Equações (4.12), onde V 1∗1 representa o valor
do volume obtido por meio da solução do subproblema do primeiro estágio e j pode
assumir os valores 1 ou 2.
X21jk≤ Gk∑Kk=1X
21jk = D2
V 11 = V 1∗
1
V 21 = V 1
1 + A211 −GH2
11 − I211V 22 = V 1
1 + A212 −GH2
12 − I212
(4.12)
Por raciocínio análogo ao anterior, pode-se fazer esse mesmo processo sucessi-
vamente até os subproblemas do N-agésimo estágio, que são divididos em 2(N−2) subpro-
blemas, sendo o primeiro representado pela função objetivo da Equação (4.13) sujeito às
restrições do conjunto de Equações (4.14), com j assumindo os valores 1 ou 2.
56
αN1 = min(pN11cxN11 + pN12cx
N12) (4.13)
XN1jk≤ Gk∑Kk=1X
N1jk = DN
V(N−1)1 = V
(N−1)∗1
V N1 = V
(N−1)1 + AN11 −GHN
11 − IN11V N2 = V
(N−1)1 + AN12 −GHN
12 − IN12
(4.14)
O último subproblema representado pela função objetivo da Equação (4.15)
sujeito às restrições do conjunto de Equações (4.16), com j representando (2(N−1)− 1) ou
2(N−1). Note que a função objetivo destes subproblemas é apenas a minimização do valor
esperado do custo de geração do estágio N , uma vez que não há estágios futuros.
αN(2(N−2)) = min(pN(2(N−2))(2(N−1)−1)cxN(2(N−2))(2(N−1)−1) + pN(2(N−2))(2(N−1))cx
N(2(N−2))(2(N−1)))
(4.15)
XN(2(n−2))jk
≤ Gk∑Kk=1X
N(2(n−2))jk
= DN
V(N−1)2(N−2) = V
(N−1)∗2(N−2)
V N2(N−1)−1 = V
(N−1)2(N−2) + AN
(2(N−2))(2(N−1)−1) +GHN(2(N−2))(2(N−1)−1) + IN
(2(N−2))(2(N−1)−1)
V N2(N−1) = V
(N−1)2(N−2) + AN
(2(N−2))(2(N−1))+GHN
(2(N−2))(2(N−1))+ IN
(2(N−2))(2(N−1))
(4.16)
Desse modo, resolvendo-se o subproblema do primeiro estágio, um valor de
V 1∗1 será obtido. Este valor deve ser passado para o segundo estágio, que, ao ser resolvido,
encontrará outros valores de volumes �nais que deverão ser passados para os subproble-
mas dos estágio seguintes e assim por diante, até se chegar no último subproblema (etapa
forward). Feita esta primeira etapa, inicia-se a etapa backward, onde a partir da reso-
lução do último subproblema acrescenta-se uma equação de corte, Equação (4.17), no
subproblema anterior.
α(t+1)j − α∗(t+1)j≥ π(t+1)j · (V (t−1)j − V (t−1)∗
j ) (4.17)
57
Sendo π(t+1)j a média dos valores de πtij, que se refere ao valor que se econo-
mizaria caso houvesse uma unidade a mais de água no cenário ij do estágio t.
Estas etapas são repetidas até a solução convergir.
4.4 Modelo Integrado com Latisse Binomial
Para a resolução do problema de otimização do despacho hidrotérmico de forma
integrada para uma latisse binomial com N estágios, sendo o primeiro estágio considerado
conhecido, como mostrado na Fig. 4.4, é necessário de�nir a função objetivo e as equações
de restrições.
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
V 00 V 1
1
V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V NN
V N1
V N2
Figura 4.4: Representação de uma latisse binomial multi-estágios.
A função objetivo é de�nida como o mínimo custo esperado de operação, como
mostrado na Equação (4.18), onde c representa o vetor linha de custos de geração por
unidade de energia de cada usina, que nesse caso é considerado constante no tempo, xtije ptij representam o vetor coluna da geração de energia de cada usina k e a probabilidade
de ocorrência de cada cenário ij de cada estágio t, respectivamente. Sendo os cálculos
dos valores de ptij apresentados no apêndice A.
y = min(cx101 + (p211cx211 + p212cx
212) + (p311cx
311 + p312cx
312 + p322cx
322 + p323cx
323) + ...
+(pN11cxN11 + pN12cx
N12 + ...+ pN(N−1)Ncx
N(N−1)N)) (4.18)
As restrições às quais a função objetivo está sujeita são: as restrições de potên-
cia, atendimento da demanda e balanço hídrico, de acordo com os parâmetros utilizados
58
para a de�nição da latisse binomial.
Assim como para a árvore, as restrições de potência determinam que a geração
de cada usina não pode ultrapassar sua respectiva potência máxima, havendo assim uma
equação para cada usina k em cada cenário ij de cada estágio t, que é representada de
forma genérica pela Equação (4.6), diferindo apenas nos subíndices devido à mudança na
estrutura.
As restrições de atendimento da demanda determinam que o total de energia
gerado X tijk por todas as usinas k em um cenário ij deve atender à demanda Dt do
período t, havendo uma equação por ramo da latisse, sendo representado de forma genérica
também pela Equação (4.7), diferindo mais uma vez apenas nos subíndices ij.
Por �m, as restrições de balanço hídrico determinam, através de um balanço de
massa, o volume do reservatório em cada cenário de cada estágio, sendo representado pelo
conjunto de Equações (4.19), havendo também uma equação para cada ramo da latisse,
onde V tj representa o volume, Atij a a�uência, I tij o vertimento do cenário ij do estágio t
e GH tij representa o elemento do vetor x
tij, referente a quantidade de energia gerada pela
usina hidroelétrica.
V 11 = V 0
0 + A101 −GH1
01 − I101V 21 = V 1
1 + A211 −GH2
11 − I211V 22 = V 1
1 + A212 −GH2
12 − I212V 31 = V 2
11 + A311 −GH3
11 − I311V 32 = V 2
12 + A212 −GH2
12 − I212V 32 = V 2
22 + A322 −GH3
22 − I322V 33 = V 2
23 + A323 −GH3
23 − I323...
V N(N−1) = V
(N−1)(N−1) + AN(N−1)(N−1) +GHN
(N−1)(N−1) + IN(N−1)(N−1)V NN = V
(N−1)(N−1) + AN(N−1)N) +GHN
(N−1)N + IN(N−1)N
(4.19)
É importante ressaltar que, para os volumes intermediários como o V 32 , haverá
duas equações para o cálculo do mesmo volume, uma vez que é possível chegar no mesmo
estado (valor) de volume por dois caminhos diferentes.
Então, comparando-se o modelo integrado com árvore binária com o modelo
integrado com latisse binomial, pode-se notar semelhança entre suas equações, que se
alteram somente de acordo com a estrutura dos cenários de a�uência. Assim, para a
latisse binomial, haverá uma menor quantidade de restrições, uma vez que estas variam
de acordo com o número de cenários e a latisse apresenta uma menor quantidade de
cenários que a árvore.
59
4.5 Modelo Decomposto com Latisse Binomial
Para a resolução do problema de otimização do despacho hidrotérmico de forma
decomposta é necessário de�nir a estrutura dos subproblemas a serem resolvidos, de forma
que haja o encadeamento entre os problemas, para que �nalmente seja encontrada a
solução do problema global. Assim, a latisse binomial representada na Figura 4.5 mostra
as divisões dos subproblemas.
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
V 00 V 1
1
V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V NN
V N1
V N2
Figura 4.5: Representação dos subproblemas de uma latisse binomial multi-estágios.
Devido ao fato dos nós intermediários da latisse coincidirem, cada estágio deve
ser resolvido de forma única. Como para os dois primeiros estágios a estrutura da latisse
binomial é a mesma da árvore binária, o primeiro subproblema da latisse é representado
pela função objetivo mostrada na Equação (4.9) e as restrições do conjunto de Equações
(4.10), assim como para a árvore.
O segundo subproblema é representado pela função objetivo da Equação (4.20),
que difere da Equação (4.11) apenas no termo referente ao valor esperado do custo das
gerações futuras, devido à diferença entre árvore e latisse no número de subproblemas
no estágio seguinte, estando sujeita às restrições do mesmo conjunto de Equações (4.12)
da árvore de a�uências, uma vez que até este estágio, as duas estruturas apresentam a
mesma forma.
α2 = min(p211cx211 + p212cx
212 + α3) (4.20)
60
O subproblema do terceiro estágio é representado pela função objetivo mos-
trada na Equação (4.21) sujeita às restrições do conjuntos de Equações (4.22), cuja função
objetivo apresenta o mínimo do valor esperado do custo de geração do terceiro estágio
mais o valor esperado do custo de geração dos estágios seguintes, sujeito às restrições de
potência, atendimento da demanda e balanço hídrico do terceiro estágio, onde V 2∗1 e V 2∗
2
são obtidos por meio da otimização do subproblema do segundo estágio, e i e j podem
assumir os valores 1 ou 2 e 1,2 ou 3, respectivamente, de acordo com os ramos da latisse.
α3 = min(p311cx311 + p312cx
312 + p322cx
322 + p323cx
323 + α4) (4.21)
X3ijk≤ Gk∑Kk=1X
3ijk = D3
V 21 = V 2∗
1
V 22 = V 2∗
2
V 31 = V 2
1 + A311 −GH3
11 − I311V 32 = V 2
1 + A312 −GH3
12 − I312V 32 = V 2
2 + A322 −GH3
22 − I322V 33 = V 2
2 + A323 −GH3
23 − I323
(4.22)
Por �m, o subproblema do N-agésimo estágio apresenta a função objetivo como
o mínimo do valor esperado do custo de operação do N-agésimo estágio apenas, uma vez
que não há estágios futuros, como mostrado na Equação (4.23).
αN = min(pN11cxN11 + pN12cx
N12 + ...+ pN(N−1)Ncx
N(N−1)N) (4.23)
Esta equação está sujeita às restrições de potência (uma para cada usina em
cada cenário), atendimento da demanda (uma para cada cenário), valores de volumes
iniciais obtidos do subproblema anterior (uma para cada nó inicial) e balanço hídrico
(uma para cada ramo), apresentadas de forma genérica no conjunto de Equações (4.24),
onde i pode assumir valores entre 1 e (N − 1) e j pode assumir os valores entre 1 e N ,
sendo a combinação ij feita de acordo com os ramos da latisse.
61
XNijk≤ Gk∑Kk=1X
Nijk = DN
V(N−1)1 = V
(N−1)∗1
V(N−1)2 = V
(N−1)∗2
...
V(N−1)(N−1) = V
(N−1)∗(N−1)
V N1 = V
(N−1)1 + AN11 −GHN
11 − IN11V N2 = V
(N−1)1 + AN12 −GHN
12 − IN12...
V N(N−1) = V
(N−1)(N−1) + AN(N−1)(N−1) +GHN
(N−1)(N−1) + IN(N−1)(N−1)V NN = V
(N−1)(N−1) + AN(N−1)N) +GHN
(N−1)N + IN(N−1)N
(4.24)
As iterações são realizadas da mesma forma que no método decomposto utili-
zando árvore binária, havendo uma equação de corte por cada nó �nal de cada subpro-
blema a cada iteração.
62
5 MODELO DINÂMICO DE OTIMIZAÇÃO COMAVER-
SÃO AO RISCO
No capítulo 4 foi apresentada a teoria de Programação Dinâmica Dual Esto-
cástica e os modelos integrados e decompostos utilizando árvore binária e latisse binomial.
Este capítulo tem como objetivo adicionar aos modelos o uso de uma métrica de risco
nomeada Conditional Value at Risk. Para tanto, será apresentada a seguir a teoria desta
ferramenta e os modelos aversos ao risco.
5.1 Conditional Value at Risk
O objetivo relevante dos mecanismos de aversão a risco (MARs) é encontrar
uma solução de compromisso entre o aumento da segurança e os impactos nos custos do
sistema. Em sistemas hidrotérmicos, estes mecanismos buscam antecipar o despacho de
geração térmica com custos variáveis unitários de operação (CVUs) mais baixos, com o
intuito de evitar o atingimento, no futuro, de níveis indesejáveis de armazenamento nos
reservatórios das usinas hidroelétricas e, com isso, minimizar o risco de dé�cits de energia,
mas sem onerar em demasia os custos de operação do sistema (CPAMP, 2013b).
O CVaR é uma medida de risco apropriada à otimização, visto que possui as
propriedades de monotonicidade, invariância sobre translações, homogeneidade positiva
e subaditividade, com consequente convexidade; tendo sido implementada recentemente
nos modelos NEWAVE e DECOMP, como forma de reduzir o risco na consideração dos
cenários de a�uência.
Esta medida tem a função de representar uma parcela que agrega maiores
informações quando da ocorrência de valores extremos, fazendo com que seja possível
a representação de não somente o valor esperado ou central, mas também de efeitos
relacionados à ocorrência de valores extremos das distribuições.
A teoria geral de CVaR é apresentada a seguir, e foi feita com base no artigo
de Shapiro et al. (2012) e na apresentação da CCEE (2012).
Suponha uma distribuição de probabilidade de retornos esperados r = f(u,w)
que assume valores de 0 a 1, sendo αβ, Value at Risk (VAR), é o menor valor para um
nível de con�ança β , como mostrado na Figura 5.1.
63
17
representação de não somente o valor esperado ou central, mas também de efeitos
relacionados à ocorrência de valores extremos das distribuições.
A teoria geral de CVaR é apresentada a seguir, e foi feita com base numa
apresentação da CCEE, 2012.
Imagine uma distribuição de probabilidade de retornos esperados que
assume valores de 0 a 1, onde , Value at Risk (VAR), é o menor valor para um nível de
confiança , como mostrado nas figura 2.7.
Figura 2.7 – Distribuição de Retornos [CCEE, 2012].
Matematicamente, temos que:
Equação 2.1
Equação 2.2
O CVaR ( ) de uma distribuição de retornos esperados é representado na figura
2.8, e mede a média das piores perdas esperadas para um determinado nível de confiança
, podendo ser descrito matematicamente como:
Equação 2.3
Figura 5.1: Distribuição de retornos (CCEE, 2012).
Matematicamente, tem-se que:
β =
∫ ∞α
r(u,w)dw = Pr[r≥ αβ] (5.1)
1− β =
∫ α
−∞r(u,w)dw = Pr[r≤ αβ] (5.2)
O CVaR (φβ) de uma distribuição de retornos esperados é representado na
Figura 5.2, e mede a média das piores perdas esperadas para um determinado nível de
con�ança β, podendo ser descrito matematicamente como:
18
Figura 2.8 – Representação do CVaR numa curva de distribuição de retornos
[CCEE, 2012].
Quando se trata de uma distribuição de perdas, é o maior valor para um nível de
confiança , portanto, se localiza na cauda direita da distribuição como mostrado na figura
2.9.
Figura 2.9 – Distribuição de Perdas [CCEE,2012].
Assim, se a função considerada representar as perdas esperadas de um portfólio, o
sinal da equação para o cálculo do CVaR se inverte e a equação passa a ser escrita como:
Equação 2.4
Dessa forma, em vez de minimizar o valor esperado de operação, será minimizada a
combinação convexa entre o valor esperado e o valor assumido pela medida de risco de
Figura 5.2: Representação do CVaR numa curva de distribuição de retornos (CCEE,2012).
φβ(x) = E[r|r≤ αβ(u)] =∫∞−∞ r · Pr[w|r≤ αβ(u)]dw (5.3)
Quando se trata de uma distribuição de perdas, αβ é o maior valor para um
nível de con�ança β. Portanto, se localiza na cauda direita da distribuição, como mostrado
na Figura 5.3.
64
18
Figura 2.8 – Representação do CVaR numa curva de distribuição de retornos
[CCEE, 2012].
Quando se trata de uma distribuição de perdas, é o maior valor para um nível de
confiança , portanto, se localiza na cauda direita da distribuição como mostrado na figura
2.9.
Figura 2.9 – Distribuição de Perdas [CCEE,2012].
Assim, se a função considerada representar as perdas esperadas de um portfólio, o
sinal da equação para o cálculo do CVaR se inverte e a equação passa a ser escrita como:
Equação 2.4
Dessa forma, em vez de minimizar o valor esperado de operação, será minimizada a
combinação convexa entre o valor esperado e o valor assumido pela medida de risco de
Figura 5.3: Distribuição de perdas (CCEE, 2012).
Assim, se a função considerada representar as perdas esperadas de um portfó-
lio, o sinal da equação para o cálculo do CVaR se inverte e a equação passa a ser escrita
como:
φβ(x) = E[r|r≥ αβ(u)] =∫∞−∞ z · Pr[w|r≥ αβ(u)]dw (5.4)
Dessa forma, em vez de minimizar o valor esperado de operação, será mini-
mizada a combinação convexa entre o valor esperado e o valor assumido pela medida de
risco, de acordo com um peso a ser considerado (MARCATO et al., 2013).
Assim, de modo análogo, pode-se considerar o uso do CVaR no problema
de otimização do despacho hidrotérmico de duas formas: considerando a ocorrência de
menores a�uências que acarretariam em maiores gastos devido a um maior despacho
térmico, ou considerando diretamente a ocorrência de maiores valores esperados do custo
de geração, como mostram as Figuras. 5.4 e 5.5, respectivamente.
Figura 5.4: Distribuição de a�uências.
65
Figura 5.5: Distribuição de custos esperados.
Desse modo, com a aplicação do CVaR, a função objetivo dos modelos de
otimização do despacho hidrotérmico deixa de minimizar apenas o valor esperado do custo
total de operação (CTO), e passa a minimizar o CTO com um peso (1−λ) somado à uma
parcela referente ao custo dos cenários hidrológicos mais críticos (CVaR), identi�cados
por meio de um parâmetro α (relacionado ao nível de proteção), com um peso λ. Dessa
forma, a função objetivo é dada pela Equação (5.5).
min((1− λ)E[CTO] + λCV aRα) (5.5)
A determinação dos valores dos parâmetros λ e α estão associadas ao maior
ou menor grau de aversão ao risco que se deseja adotar. A política de operação se torna
tanto mais avessa ao risco quando λ se aproximar de 1, uma vez que o CVaR apresentará
uma ponderação maior no cálculo da média, e quanto mais o percentual α se aproximar
de zero, uma vez que será considerado cenários mais críticos para o cálculo do CVaR.
Atualmente os valores dos parâmetros λ e α adotados são 25% e 50%, respec-
tivamente (CPAMP, 2013a).
5.2 Modelo Integrado com Árvore Binária
Como visto anteriormente, para a resolução do problema de otimização do
despacho hidrotérmico de forma integrada é necessário de�nir a função objetivo como o
mínimo custo esperado e inserir as equações de restrições de potência, atendimento da
demanda e balanço hídrico de acordo com os parâmetros utilizados para a de�nição da
árvore de a�uências. A mudança agora inserida se situa na alteração da função objetivo,
que passa a minimizar não apenas o custo esperado da operação, mas também uma parcela
adicional do custo dos cenários mais críticos.
Assim, para a árvore binária apresentada no capítulo 4, considerando-se o
uso do CVaR com parâmetro α = 50%, por exemplo, tem-se os cenários mais críticos
66
apresentados dentro do retângulo na Figura 5.6.
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
V 00 V 1
1
V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V 34
V N2(N−1)
V N1
V N2
V N2(N−1)−1
Figura 5.6: Representação dos cenários mais críticos para uma árvore binária multi-estágios.
O modelo utilizado para a resolução do problema averso ao risco é apresentado
pela função objetivo mostrada na (5.6), que é de�nida pela minimização do custo do pri-
meiro estágio, que é determinístico, somado à ponderação do custo esperado de operação
dos demais estágios e à ponderação do valor esperado do custo de geração dos cenários
mais críticos, estando sujeita as mesmas equações de restrição do modelo indiferente ao
risco (Equações (4.6), (4.7) e (4.8)).
y = min(cx101 + (1− λ)((p211cx211 + p212cx
212) + (p311cx
311 + p312cx
312 + p323cx
323 + p324cx
324) + ...
+(pN11cxN11 + pN12cx
N12 + ...pN(2(N−2))(2(N−1))cx
N(2(N−2))(2(N−1)))) +
+λ(cx212 + (pa323cx23 + pa324cx324) + ...
+(paN(2(N−3)+1)(2(N−2)+1)cxN(2(N−3)+1)(2(N−2)+1) + ...+ paN(2(N−2))(2(N−1))cx
N(2(N−2))(2(N−1)))))
(5.6)
Sendo c o vetor linha de custos de geração por unidade de energia de cada usina,
que nesse caso é considerado constante no tempo, xtij e ptij o vetor coluna da geração de
energia de cada usina k e a probabilidade de ocorrência de cada cenário ij de cada estágio
t, respectivamente, e patij a probabilidade auxiliar considerando a ocorrência apenas dos
cenários mais secos.
67
5.3 Modelo Decomposto com Árvore Binária
Para a resolução do problema de otimização do despacho hidrotérmico de forma
decomposta considerando a aversão ao risco utiliza-se a mesma divisão dos subproblemas
mostrada na capítulo 4, devendo-se novamente mudar apenas a função objetivo, para que
o CVaR seja considerado, como mostrado na Figura 5.7.
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
V 00 V 1
1
V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V 34
V N2(N−1)
V N1
V N2
V N2(N−1)−1
Figura 5.7: Representação dos subproblemas de uma árvore binomial multi-estágios aversaao risco.
O primeiro subproblema mantém-se igual ao caso indiferente ao risco represen-
tado pela função objetivo da Equação (4.9), sujeito às restrições do conjunto de Equações
(4.10), uma vez que o primeiro estágio é considerado conhecido.
O segundo subproblema é representado pela função objetivo de�nida como
a soma ponderada do valor esperado do custo de operação com o custo de ocorrência
dos cenários mais secos, acrescido dos custos esperados dos subproblemas dos estágios
seguintes, como representado na Equação (5.7), estando sujeito às mesmas restrições do
caso indiferente ao risco representadas no conjunto de equações (4.12).
α2 = min((1− λ)(p211cx211 + p212cx
212) + λ(cx212) + α31 + α32) (5.7)
Para o N-agésimo estágio também haverá 2(N−2) subproblemas, sendo o pri-
meiro representado pela função objetivo da Equação (5.8), que considera apenas a pon-
deração por (1 − λ), uma vez que este não apresenta nenhum cenário considerado parte
dos 50% pessimistas e nem estágios futuros, estando sujeito às restrições do conjunto de
Equações (4.14)
68
αN1 = min((1− λ)(pN11cxN11 + p12
NcxN12)) (5.8)
Por �m, o último subproblema do N-agésimo estágio apresenta a função ob-
jetivo como a minimização do valor esperado do custo de geração do N-agésimo estágio,
ponderado com um fator (1 − λ) somado ao valor esperado do custo de geração dos ce-
nários mais pessimistas ponderado com um fator λ, como mostrado na Equação (5.9),
estando sujeito às restrições apresentadas no conjunto de Equações (4.24).
αN(2(N−2)) = min((1− λ)(pN(2(N−2))(2(N−1)−1)cxN(2(N−2))(2(N−1)−1) + pN(2(N−2))(2(N−1))cx
N(2(N−2))(2(N−1))) +
λ(paN(2(N−2))(2(N−1)−1)cxN(2(N−2))(2(N−1)−1) + paN(2(N−2))(2(N−1))cx
N(2(N−2))(2(N−1))))
(5.9)
As iterações são realizadas do mesmo modo que foi mostrado no capítulo 4.
5.4 Modelo Integrado com Latisse Binomial
Assim como no modelo integrado com árvore binária, a diferença entre o mo-
delo averso ou não ao risco se encontra na função objetivo, que passa a dar uma maior
importância para a ocorrência dos cenários mais críticos. Desse modo, utilizando nova-
mente o parâmetro α = 50%, tem-se os cenários mais críticos representados dentro do
retângulo na Figura 5.8.
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
V 00 V 1
1
V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V NN
V N1
V N2
Figura 5.8: Representação dos cenários mais críticos para uma latisse binomial multi-estágios.
69
O modelo utilizado na resolução do problema é representado pela função ob-
jetivo da Equação (5.10), que é de�nida pela minimização do custo do primeiro estágio,
que é determinístico, somado à ponderação do custo esperado de operação dos demais
estágios e à ponderação do valor esperado do custo de geração dos cenários mais críticos,
estando sujeita as mesmas equações de restrição do modelo indiferente ao risco (Equações
(4.6), (4.7) e (4.19)).
y = min(cx101 + (1− λ)((p211cx211 + p212cx
212) + (p311cx
311 + p312cx
312 + p322cx
322 + p323cx
323) + ...
+(pN11cxN11 + pN12cx
N12 + ...+ pN(N−1)Ncx
N(N−1)N)) +
+λ(cx212 + (pa322cx322 + pa323cx
323) + ...+ (paNmMcx
NmM + ...+ paN(N−1)Ncx
N(N−1)N)))
(5.10)
Sendo c o vetor linha de custos de geração por unidade de energia de cada
usina, que nesse caso é considerado constante no tempo, xtij e ptij representam o vetor
coluna da geração de energia de cada usina k e a probabilidade de ocorrência de cada
cenário ij de cada estágio t, respectivamente, e patij representa a probabilidade auxiliar
considerando a ocorrência apenas dos cenários mais secos.
Onde os parâmetros m e M são calculados de acordo com as Equações condi-
cionais (5.11) e (5.12).
m =
{N−12
+ 1, se N for ímparN−12
+ 12, se N for par
(5.11)
M =
{N2
+ 1, se N for parN2
+ 12
se N for impar(5.12)
5.5 Modelo Decomposto com Latisse Binomial
Novamente, para a resolução do problema de otimização do despacho hidro-
térmico de forma decomposta considerando a aversão ao risco, utiliza-se a mesma divisão
dos subproblemas mostrada no capítulo 4, devendo-se novamente mudar apenas a função
objetivo, para que o CVaR seja considerado, como mostrado na Figura 5.9.
70
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
V 00 V 1
1
V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V NN
V N1
V N2
Figura 5.9: Representação dos subproblemas de uma latisse binomial multi-estágios aversaao risco.
O primeiro subproblema mantém-se igual ao caso indiferente ao risco tanto
para árvore quanto para latisse, representado pela função objetivo da Equação (4.9) e as
restrições do conjunto de Equações (4.10), uma vez que o primeiro estágio é considerado
conhecido.
O segundo subproblema é representado pela função objetivo (5.13), que difere
da Equação (5.7) apenas no termo referente ao valor esperado do custo das gerações
futuras, devido à diferença entre árvore e latisse no número de subproblemas no estágio
seguinte, estando sujeita às restrições do mesmo conjunto de Equações (4.12) da árvore
de a�uências.
α2 = min((1− λ)(p211cx211 + p212cx
212) + λ(cx212) + α3) (5.13)
O terceiro subproblema é representado pela função objetivo da Equação (5.14),
sujeito às restrições do conjunto de Equações (4.22).
α3 = min((1− λ)(p311cx311 + p312cx
312 + p322cx
322 + p323cx
323) +
+λ(pa322cx322 + pa323cx
323) + α4) (5.14)
Por �m, o subproblema do N-agésimo estágio apresenta a função objetivo
como a minimização da soma do valor esperado do custo de geração do N-agésimo estágio
com o valor esperado do custo de geração dos cenários mais secos apenas, uma vez que
71
não há estágios futuros, como mostrado na Equação (5.15), estando sujeito às restrições
apresentadas no conjunto de Equações (4.24).
αN = min((1− λ)(pN11cxN11 + pN12cx
N12 + ...+ pN(N−1)Ncx
N(N−1)N) +
+λ(paNmMcxNmM + ...+ paN(N−1)Ncx
N(N−1)N)) (5.15)
As iterações são também realizadas do mesmo modo que foi mostrado no ca-
pítulo 4.
72
6 ESTUDO DE CASO
O estudo de caso apresentado neste capítulo tem o objetivo de veri�car de
forma prática a viabilidade da substituição da árvore de a�uências pela latisse. Para isso,
foi proposto um problema de otimização do despacho hidrotérmico utilizando os dados
da bacia do Tocantins, mostrados na seção 6.1. A partir destes dados, o problema foi
resolvido utilizando primeiramente a árvore de a�uências e depois utilizando a latisse,
tanto para o caso neutro ao risco, quanto para o caso averso ao risco, variando o dado do
volume inicial do reservatório da hidroelétrica equivalente de modo a se obter uma melhor
análise dos resultados. Assim, os resultados obtidos são apresentados na seção 6.2.
6.1 Metodologia e Dados do Problema
Os dados utilizados neste estudo de caso foram obtidos através da ONS (2014)
e da CCEE (2014), sendo todos os valores convertidos para MWmed, considerado-se a
base temporal de um mês, de forma a evitar problemas de incompatibilidade de unidades
durante a otimização.
Para a geração hidroelétrica, foram consideradas as usinas hidroelétricas da
bacia do Tocantins, ilustradas na Figura 6.1 na página seguinte, que foram agregadas
numa usina hidroelétrica equivalente (usina 1 do problema), de forma a reduzir a dimensão
do problema, obtendo como restrição de geração máxima o valor de 12.821,6MWmed.
O volume do reservatório considerado foi obtido no site da ONS (2016), que
mostra, que para o mês de abril de 2015, os reservatórios do subsistema norte apresenta-
vam um volume equivalente à 12.006MWmed, correspondente à 81,06% do volume total;
dessa forma, o reservatório equivalente apresenta como restrição o volume máximo cor-
respondendo à 14.811,3MWmed. O volume inicial considerado para o reservatório foi
inicialmente de 10.000MWmed e depois alterado para 9.000MWmed, sendo que o volume
�nal não poderia ser inferior à 4.000MWmed.
Para a geração termoelétrica, foram consideradas as usinas termoelétricas pró-
ximas à bacia do Tocantins, adicionada de uma usina �ctícia, que teve função de represen-
tar o possível intercâmbio de energia entre os subsistemas. As gerações máximas e custos
de cada usina foram obtidos através da tabela de consolidação dos leilões, disponível no
site da CCEE (2014), e são mostrados na Tabela 6.1 também na página seguinte, onde as
termoelétricas Geramar I e Geramar II foram consideradas como uma única usina.
73
Figura 6.1: Usinas hidroelétricas na bacia do Tocantins e suas respectivas capacidadesmáximas de geração (ONS, 2014).
Tabela 6.1: Custo de geração das termoelétricas.
Usina Potência(MW) Tipo de Combustível Preço (R$/MWh)Maranhão III 499.2 Gás 127,04
Termomaranhão 350.0 Carvão 198,60Geramar I e II 330.0 Óleo 211,40Intercâmbio 700.0 �� 300,00
Para o cálculo da demanda a ser atendida, foi considerada a demanda do
subsistema norte e seu intercâmbio com o subsistema nordeste entre os anos de 2000 e
74
2014 (dados disponíveis no histórico de operação do ONS). A média obtida para cada mês
é apresentada na Tabela 6.2.
Tabela 6.2: Dados da demanda de energia.
MêsSubsistema Norte
(MWh/h)Intercâmbio N-NE
(MWmed)Total
(MWmed)Janeiro 3763,9 3905,7 7669,5Fevereiro 3813,6 3961,2 7774,8Março 3846,5 3996,7 7843,2Abril 3890,4 4046,8 7937,2Maio 3892,9 4044,1 7937,0Junho 3885,9 4037,5 7923,4Julho 3885,8 4061,0 7946,8Agosto 3983,0 4162,9 8145,9Setembro 3999,0 4193,6 8192,6Outubro 3973,4 4165,3 8138,7Novembro 3970,0 4162,9 8132,8Dezembro 3989,9 4179,7 8169,7
Por �m, para a inserção da estocasticidade das vazões no problema, foram
considerados os dados do histórico de ENAs (energia natural a�uente) entre os anos de
1931 à 2013 para a bacia do Tocantins. A partir destes dados, foram feitas, para cada
mês, a distribuição de probabilidade acumulada e foram selecionados valores médios para
um cenário otimista e para um cenário pessimista de vazão, de forma que cada cenário
apresenta 50% de chance de ocorrer. Estes valores estão apresentados na Tabela 6.3.
Tabela 6.3: Cenários de a�uência.
MêsCenário Pessimista
(MWmed)A�uência Média
(MWmed)Cenário Otimista
(MWmed)Janeiro 10495,7 12765,0 16676,3Fevereiro 13416,4 16672,3 21907,0Março 15528,1 18511,7 25145,1Abril 14313,3 17254,7 21255,8Maio 8526,0 10676,1 13080,9Junho 4534,5 5265,8 6598,0Julho 2934,7 3404,5 4000,5Agosto 2118,3 2463,2 2885,7Setembro 1732,2 2089,4 2509,9Outubro 2027,2 2639,2 3335,3Novembro 3534,1 4197,5 5722,1Dezembro 6304,1 8028,6 10643,0
75
Assim, o problema a ser resolvido neste estudo de caso consiste em determinar
a geração de cada usina de modo à minimizar os custos de geração, atender à demanda
e respeitar as restrições de balanço hídrico e potência, como mostrado resumidamente no
esquema da Figura 6.2
Demanda
(Dt)
c1 = 0
G1 = 12821, 65 MWmed
G2 = 499, 2 MWmed
G3 = 350 MWmed
G4 = 330 MWmed
G5 = 350 MWmed
c2 = 127, 04 R$/MWmed
c3 = 198, 60 R$/MWmed
c4 = 211, 40 R$/MWmed
c5 = 300, 00 R$/MWmed
Afluencia
Figura 6.2: Esquema do problema a ser resolvido.
Como o número de cenários de uma árvore de a�uências cresce exponencial-
mente de acordo com o número de estágios analisados, di�cultando a resolução do pro-
blema para períodos muito longos, a análise apresentada nesta dissertação irá abranger
apenas 4 estágios (meses de maio, junho, julho e agosto, respectivamente), sendo a escolha
dos meses feita com base na transição do período úmido para o seco.
A resolução do problema foi realizada pela aplicação da árvore de a�uências e
após, por meio da aplicação de latisse binomial, tanto do modo único quanto decomposto.
Finalmente, as soluções serão comparadas e será aplicado o CVaR com os parâmetros
α = 50% e λ = 25%.
A Figura 6.3 apresenta a árvore de a�uências a ser analisada, cujo primeiro
estágio é determinativo, em que cada retângulo representa um subproblemas a ser soluci-
onado pelo método de PDDE. Para a resolução por latisse binomial, a representação dos
subproblemas a serem resolvidos é mostrado na Figura 6.4.
76
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10 estagio 30 estagio 40 estagio20 estagio
V 00 V 1
1
V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V 34
V 41
V 42
V 43
V 44
V 45
V 46
V 47
V 48
1
2
3A
3B
4A
4B
4C
4D
Figura 6.3: Esquema da árvore de a�uências utilizada no problema.
4o estagio3o estagio2o estagio1o estagio
1 2V 21
V 22
V 31
V 32
V 33
V 41
V 42
V 44
V 43
1
2
3
4
V 00 V 1
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Figura 6.4: Esquema da latisse binomial utilizada no problema.
6.2 Resolução e resultados
A resolução deste problema foi feita com base na teoria apresentada nos capí-
tulos anteriores com o auxílio do software Lingo 11.0.
Os resultados obtidos para o primeiro caso, em que o volume inicial do reserva-
tório considerado foi de 10.000MWmed, coincidiram, tanto pela solução integrada quanto
pela solução decomposta, utilizando árvore binária ou latisse binomial, e são mostrados
nas tabelas do apêndice B, sendo o valor da função objetivo para o caso indiferente ao
risco de R$ 638.781,20 e para o caso averso ao risco de R$ 692.508,00. As árvores com
77
os valores do custo de geração de cada ramo e o valor de cada volume do reservatório
obtidos durante a otimização estão mostradas nas Figuras 6.5 e 6.6.
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10 estagio 30 estagio 40 estagio20 estagio
10000 13837.5
13011.3
11627.8
9260.2
8848.4
8848.4
8148.4
4000
4000
4000
Volume do Reservatorio (MWmed)
Custo do Ramo (R$)
LEGENDA
4000
4000
4000
4000
4000
185609.2
63418.37
202690.4
24798.21
132928.4
200090.1
308740.4
0
116682.9
52315.07
202690.4
52315.07
202690.4
188442.0
412690.4
Figura 6.5: Solução para o caso indiferente ao risco utilizando árvore.
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10 estagio 30 estagio 40 estagio20 estagio
10000 13918.3
13092.1
11708.6
9260.2
8848.4
8848.4
8148.4
4000
4000
4000
Volume do Reservatorio (MWmed)
Custo do Ramo (R$)
LEGENDA
4000
4000
4000
4000
4000
202690.4
63418.37
202690.4
14533.38
116881.5
183009.0
284500.4
0
116682.9
52315.07
202690.4
52315.07
202690.4
188442.0
412690.4
Figura 6.6: Solução para o caso averso ao risco utilizando árvore.
78
As latisses, são apresentadas nas Figuras 6.7 e 6.8.
4o estagio3o estagio2o estagio1o estagio
1 213011.3
10627.8
9260.2
8848.4
8148.4
4000
4000
4000
4000
1000013837.5
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Volume do Reservatorio (MWmed)
185609.2
Custo do Ramo (R$)
63418.37
202690.4
24798.21
132928.4
200090.1
308740.4
0
116682.9
52315.07
202690.4
188442.0
412690.4
LEGENDA
Figura 6.7: Solução para o caso indiferente ao risco utilizando latisse.
4o estagio3o estagio2o estagio1o estagio
1 213092.1
10708.6
9260.2
8848.4
8148.4
4000
4000
4000
4000
10000 13918.3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Volume do Reservatorio (MWmed)
202690.4
Custo do Ramo (R$)
63418.37
202690.4
14533.38
116881.5
183009.0
284500.4
0
116682.9
52315.07
202690.4
188442.0
412690.4
LEGENDA
Figura 6.8: Solução para o caso averso ao risco utilizando latisse.
79
Analisando-se os resultados, a árvore de a�uências apresentou para os nós
intermediários os mesmos valores de volume, de modo que, plotando-se num grá�co o
resultado �nal dos volumes do reservatório em cada estágio, obtém-se uma sobreposição
dos nós da árvore com a latisse, como mostrado na Figura 6.9.
Volume(MWmed)
Estagio1 2 3 40
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
Arvore
Latisse
4000
Figura 6.9: Grá�co comparativo entre os volumes do reservatório da árvore e da latissepara o caso neutro ao risco.
Então, comparando-se os valores de volume encontrados para o caso neutro ao
risco e averso ao risco, tanto por árvore quanto por latisse, o caso averso ao risco apresentou
valores mais elevados no reservatório, como mostrado na Figura 6.10 e, consequentemente,
maiores custos de geração, por necessitar de uma maior geração termoelétrica, uma vez
que há uma maior retenção de água.
Volume(MWmed)
Estagio1 2 3 40
4000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
Volume neutro ao risco
Volume averso ao risco
8000
Figura 6.10: Grá�co comparativo entre os volumes do reservatório para o caso neutro eaverso ao risco.
80
Agora, para o segundo caso, em que o volume inicial do reservatório conside-
rado foi de 9.000MWmed, os resultados são mostrados nas Figuras 6.11 e 6.12 e mais
detalhadamente no apêndice B.
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10 estagio 30 estagio 40 estagio20 estagio
9000 12918.3
12442.1
11281.3
8995
8609.2
8514.2
8148.4
4000
4000
4000
Volume do Reservatorio (MWmed)
Custo do Ramo (R$)
LEGENDA
4000
4000
4000
4000
4000
202690.4
132928.4
374500.4
63418.37
202690,4
202690.4
412690.4
33691.01
171699.1
93565.85
274450.4
112432.8
302950.4
188442.0
412690.4
Figura 6.11: Solução para o caso indiferente ao risco utilizando árvore, com volume inicialde 9.000MWmed.
4o estagio3o estagio2o estagio1o estagio
1 212347.1
11281.3
8900
8514.2
8148.4
4000
4000
4000
4000
900012918.3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Volume do Reservatorio (MWmed)
202690.4
Custo do Ramo (R$)
114061.4
374500.4
63418.37
202690.4
202690.4
412690.4
45759.81
191782.1
112432.8
302950.4
188442.0
412690.4
LEGENDA
Figura 6.12: Solução para o caso indiferente ao risco utilizando latisse, com volume inicialde 9.000MWmed.
81
Um grá�co comparativo entre os volumes do reservatório em cada estágio da
árvore e da latisse é mostrado na Figura 6.13.
Volume(MWmed)
Estagio1 2 3 40
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
Arvore
Latisse
4000
Figura 6.13: Grá�co comparativo entre os volumes do reservatório da árvore e da latissepara o caso neutro ao risco, com volume inicial de 5.000MWmed.
Como pode-se observar, os valores obtidos não coincidiram. Para a resolução
neutra ao risco através do uso da árvore binária, o valor obtido pela função objetivo do
custo esperado da operação foi de R$ 875.517,30. Enquanto para a resolução através de
latisse binomial, o valor obtido do custo esperado da operação foi de R$ 876.023,70.
Dessa forma, constatou-se que pode haver casos em que os resultados obtidos
poderão ser diferentes. Porém, ao que tudo indica, mesmo os resultados não coincidindo,
este se apresentam bem próximos.
Assim, pelo estudo de caso aqui apresentado, a substituição da árvore de
a�uências pela latisse mostrou-se aparentemente viável, tanto para o caso neutro ao risco
quanto para caso averso ao risco, mesmo não havendo uma completa coincidência dos
valores apresentados.
82
7 CONCLUSÕES
Os programas de otimização desenvolvidos conseguiram alcançar o objetivo
proposto, isto é, são capazes de determinar a quantidade de energia que cada usina deverá
gerar, minimizando o custo esperado, atendendo a demanda, considerando a estocastici-
dade das a�uências, e respeitando as restrições de cada usina (geração máxima e volume
máximo) e de balanço hídrico.
Comparando-se a resolução através da programação única e da PDDE, tem-se
que os valores obtidos por ambos os programas coincidiram, como o esperado. Sendo
que na resolução utilizando PDDE o número de iterações �nais de cada programa foi
bem menor em relação ao número de iterações necessárias para a resolução do problema
com programação única. Desse modo, tem-se que apesar de mais complexo a resolução
utilizando a técnica de PDDE, esta requer um menor esforço computacional, tornando
viável a resolução de problemas em períodos mais longos.
Comparando os métodos de resolução que utilizam árvore e latisse, tem-se que
por latisse os subproblemas são maiores que os utilizando árvore, porém são em menor
número, uma vez que há apenas um subproblema por estágio. Caso a árvore de a�uências
fosse dividida da mesma forma que a latisse, o tamanho dos seus subproblemas seriam
maiores, dado que a quantidade de ramos e nós na árvore cresce de forma exponencial e
não linear como na latisse. Além disso, caso ainda se quisesse diminuir o tamanho dos
subproblemas da latisse, poderia se subdividi-los de forma que não se separasse cada um
dos nós �nais de cada estágio em mais de um subproblema, ou seja, poderia se ter um
subproblema para cada nó �nal de cada estágio da latisse. Desse modo, a utilização de
latisse se mostra vantajosa em relação ao uso da árvore de a�uências para a resolução do
problema da otimização do despacho hidrotérmico devido ao menor esforço computacional
exigido.
Quanto aos resultados obtidos pelo estudo de caso, mesmo não havendo a total
coincidência dos resultados encontrados pela árvore e pela latisse para o caso de menor
volume inicial, o valor obtido das funções objetivos foram bem próximos, dando margem de
diferença de menos de 0,06%, uma diferença que para alguns casos pode ser considerada
pequena comparada à vantagem computacional ganha pela utilização da latisse. Além
disso, pelos resultados obtidos pelo primeiro estudo de caso, cujo volume inicial era maior,
acredita-se que houve a coincidência dos valores obtidos do custo esperado de operação
devido há uma maior abundância de água, que permitiu uma maior �exibilidade nos
volumes dos reservatórios.
Por �m, com relação a aplicação da métrica de risco, o CVaR, tem-se que
83
com a aplicação desta ferramenta o custo esperado foi maior do que no caso em que o
CVaR não foi utilizado, uma vez que o CVaR tem o objetivo de garantir que não ocorra
um dé�cit de geração nos meses futuros devido à incerteza das vazões e, portanto, faz
com que haja um maior despacho de energia provinda de termoelétricas, resultando em
reservatórios de água mais cheios, que poderão ser utilizados no caso de ocorrência dos
cenários mais severos. Além disso, foi possível comprovar a possibilidade da aplicação do
CVaR no modelo que utiliza a latisse.
Assim, a proposta apresentada nesta dissertação de substituição da árvore de
a�uências por latisse mostrou-se viável, inclusive junto da aplicação do CVaR, que é atual
métrica de risco utilizada nos modelos NEWAVE e DECOMP, sendo necessário ainda
realizar mais estudos para que possa ocorrer de fato a implementação desta estrutura.
Além disso, como pode ser observado no decorrer desta dissertação, para que
esta proposta seja implementada, não seria necessário alterar os modelos NEWAVE ou
DECOMP, apenas adaptá-los para o recebimento da nova estrutura de dados (latisse)
que seria gerada pelo modelo GEVAZP, através da alteração do seu arquivo com as séries
geradas e o arquivo das probabilidades associadas aos cenários hidrológicos.
7.1 Sugestões para Trabalhos Futuros
O problema foi resolvido de forma simpli�cada, podendo-se ainda acrescentar
mais restrições, ou poderia-se considerar ainda mais usinas tanto termoelétricas quanto
hidroelétricas, aumentando-se assim o número de variáveis do problema e combinações
possíveis de respostas.
Caso se quisesse ir mais a fundo, poder-se-ia tentar implementar de fato esta
alteração no modelo computacional DECOMP.
Além disso, para trabalhos futuros, pode-se sugerir um estudo sobre o tempo
computacional ganho com a substituição da árvore pela latisse.
84
Referências
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CEPEL. Manual de Referência do Modelo DECOMP. 16.6.26.. ed. [S.l.], 2012a.
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85
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TOLMASQUIM, M. T. Energia Termelétrica: Gás Natural, Biomassa, Carvão, Nuclear.Rio de Janeiro: EPE, 2016.
86
APÊNDICE
A Cálculo das Probabilidades de Ocorrência de Cada
Cenário
Este apêndice visa apresentar os cálculos das probabilidades de ocorrência de
cada um dos ramos e nós da árvore de a�uências e da latisse.
A.1 Árvore de A�uências
Para uma árvore binária de a�uências, cuja probabilidade de ocorrência de um
cenário otimista é P1 e de ocorrência de um cenário pessimista é P2, a probabilidade ptj de
ocorrência de cada nó é igual a probabilidade ptij de ocorrência do ramo que leva à este nó,
e a probabilidade de ocorrência de cada ramo é igual à probabilidade P1 ou P2 multiplicada
pela ocorrência do seu nó inicial. Assim, estas probabilidades são apresentadas na Figura
A.1 e calculadas de forma genérica pelas Equações A.1 e A.2, respectivamente.
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
p00 = 1 p11 = 1
p21
p22
p31
p32
p33
p34
pN2(N−1)
pN1
pN2
pN2(N−1)−1
p101 = 1
p211 = P1
p212 = P2
p311
p312
p323
p324
p(N−1)1
pN11
pN12
p(N−1)2(N−2)
pN(2N−2)(2(N−1)−1)
pN(2N−2)(2(N−1))
Figura A.1: Representação das probabilidades de uma árvore binária multi-estágios.
87
ptj = ptij (A.1)
ptij = Psp(t−1)i (A.2)
Sendo:
s =
{1, se j for ímpar
2, se j for par(A.3)
A.2 Latisse
Agora, para uma latisse binomial, cuja probabilidade de ocorrência de um
cenário otimista é P1 e de ocorrência de um cenário pessimista é P2, a probabilidade ptjde ocorrência de cada nó é igual a soma das probabilidades ptij de ocorrência dos ramos
que levam à este nó, e a probabilidade de ocorrência de cada ramo é igual à probabilidade
P1 ou P2 multiplicada pela ocorrência do seu nó inicial. Assim, estas probabilidades são
apresentadas na Figura A.2 e calculadas de forma genérica pelas Equações A.4 e A.5,
respectivamente.
10 estagio 20 estagio 30 estagio N-agesimo estagio
p00 p11
p21
p22
p31
p32
p33
pNN
pN1
pN2
p101 = 1
p211 = P1
p212 = P2
p311
p312
p323
p324
pN11
pN12p(N−1)1
p(N−1)(N−1))
pN(N−1)N
Figura A.2: Representação das probabilidades de uma latisse binomial multi-estágios.
88
ptj =∑i
ptij (A.4)
ptij = PsP(t−1)i (A.5)
Sendo:
s =
{1, se (i+ j) for par
2, se (i+ j) for ímpar(A.6)
B Resultados Obtidos para o Estudo de Caso
Nas Tabelas B.1 à B.4, são apresentados os valores obtidos pela resolução do
estudo de caso do capítulo 6, com o volume inicial de 6.000MWmed, por meio da utilização
de árvore ou latisse, tanto para o caso neutro ao risco quanto averso ao risco.
Tabela B.1: Resultados obtidos pela otimização utilizando árvore para o caso neutro aorisco, com volume inicial equivalente à 10.000MWmed.
Estágio (t) Ramo(ij) GH tij X t
ij1 X tij2 X t
ij3 X tij4 Custotij V t
j
1 01 6838,6 499,2 350,0 249,2 0 185609,2 13837,5
211 7424,2 499,2 0 0 0 63418,4 13011,312 6744,2 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 10627,8
3
11 7751,6 195,2 0 0 0 24798,2 9260,212 7097,6 499,2 350,0 0 0 132928,4 8848,423 6779,9 499,2 350,0 317,7 0 200090,1 8848,424 6414,1 499,2 350,0 330,0 353,5 308740,4 8148,4
4
11 8145,9 0 0 0 0 0 400012 7378,5 499,2 268,2 0 0 116682,9 400023 7734,1 411,8 0 0 0 52315,1 400024 6966,7 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 400035 7734,1 411,8 0 0 0 52315,1 400036 6966,7 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 400047 7034,1 499,2 350,0 262,6 0 188442,0 400048 6266,7 499,2 350,0 330,0 700,0 412690,4 4000
Tabela B.2: Resultados obtidos pela otimização utilizando latisse para o caso neutro aorisco, com volume inicial equivalente à 10.000MWmed.
Estágio (t) Ramo(ij) GH tij X t
ij1 X tij2 X t
ij3 X tij4 Custotij V t
j
1 01 6838,6 499,2 350,0 249,2 0 185609,2 13837,5
211 7424,2 499,2 0 0 0 63418,4 13011,312 6744,2 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 10627,8
3
11 7751,6 195,2 0 0 0 24798,2 9260,212 7097,6 499,2 350,0 0 0 132928,4
8848,422 6779,9 499,2 350,0 317,7 0 200090,123 6414,1 499,2 350,0 330,0 353,5 308740,4 8148,4
4
11 8145,9 0 0 0 0 0 400012 7378,5 499,2 268,2 0 0 116682,9
400022 7734,1 411,8 0 0 0 52315,123 6966,7 499,2 350,0 330,0 0 202690,4
400033 7034,1 499,2 350,0 262,6 0 188442,034 6266,7 499,2 350,0 330,0 700,0 412690,4 4000
90
Tabela B.3: Resultados obtidos pela otimização utilizando árvore para o caso averso aorisco, com volume inicial equivalente à 10.000MWmed.
Estágio (t) Ramo(ij) GH tij X t
ij1 X tij2 X t
ij3 X tij4 Custotij V t
j
1 01 6757,8 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 13918,3
211 7424,2 499,2 0 0 0 63418,4 13092,112 6744,2 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 11708,6
3
11 7832,4 114,4 0 0 0 14533,4 9260,212 7178,4 499,2 269,2 0 0 116881,5 8848,423 6860,7 499,2 350,0 236,9 0 183009,0 8848,424 6464,9 499,2 350,0 330,0 272,7 284500,4 8148,4
4
11 8145,9 0 0 0 0 0 400012 7378,5 499,2 268,2 0 0 116682,9 400023 7734,1 411,8 0 0 0 52315,1 400024 6966,7 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 400035 7734,1 411,8 0 0 0 52315,1 400036 6966,7 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 400047 7034,1 499,2 350,0 262,6 0 188442,0 400048 6266,7 499,2 350,0 330,0 700,0 412690,4 4000
Tabela B.4: Resultados obtidos pela otimização utilizando latisse para o caso averso aorisco, com volume inicial equivalente à 10.000MWmed.
Estágio (t) Ramo(ij) GH tij X t
ij1 X tij2 X t
ij3 X tij4 Custotij V t
j
1 01 6757,8 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 13918,3
211 7424,2 499,2 0 0 0 63418,4 13092,112 6744,2 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 11708,6
3
11 7832,4 114,4 0 0 0 14533,4 9260,212 7178,4 499,2 269,2 0 0 116881,5
8848,422 6860,7 499,2 350,0 236,9 0 183009,023 6464,9 499,2 350,0 330,0 272,7 284500,4 8148,4
4
11 8145,9 0 0 0 0 0 400012 7378,5 499,2 268,2 0 0 116682,9
400022 7734,1 411,8 0 0 0 52315,123 6966,7 499,2 350,0 330,0 0 202690,4
400033 7034,1 499,2 350,0 262,6 0 188442,034 6266,7 499,2 350,0 330,0 700,0 412690,4 4000
Os valores de geração e volume estão apresentados em MWmed e os valores de
custo em reais.
Por �m, nas Tabelas B.5 e B.6, são apresentados os valores obtidos para cada
variável durante a resolução do problema do estudo de caso que apresenta o volume inicial
91
do reservatório equivalente à 9.000MWmed, por meio da utilização de árvore e latisse,
respectivamente, para o caso neutro ao risco.
Tabela B.5: Resultados obtidos pela otimização utilizando árvore para o caso neutro aorisco, com volume inicial equivalente à 9.000MWmed.
Estágio (t) Ramo(ij) GH tij X t
ij1 X tij2 X t
ij3 X tij4 Custotij V t
j
1 01 6757,8 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 12918,3
211 7074,2 499,2 350,0 0 0 132928,4 12442,112 6171,5 499,2 350,0 330,0 572,7 374500,4 11281,3
3
11 7447,6 499,2 0 0 0 63418,37 8995,012 6767,6 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 8609,223 6767,6 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 8514,224 6067,6 499,2 350,0 330,0 700,0 412690,4 8148,4
4
11 7880,7 265,2 0 0 0 33691,01 400012 7113,3 499,2 350,0 183,4 0 171699,1 400023 7494,9 499,2 151,8 0 0 93565,85 400024 6727,5 499,2 350,0 330,0 239,2 274450,4 400035 7399,9 499,2 246,8 0 0 112432,8 400036 6632,5 499,2 350,0 330,0 334,2 302950,4 400047 7034,1 499,2 350,0 262,6 0 188442,0 400048 6266,7 499,2 350,0 330,0 700,0 412690,4 4000
Tabela B.6: Resultados obtidos pela otimização utilizando latisse para o caso neutro aorisco, com volume inicial equivalente à 9.000MWmed.
Estágio (t) Ramo(ij) GH tij X t
ij1 X tij2 X t
ij3 X tij4 Custotij V t
j
1 01 6757,8 499,2 350,0 330,0 0 202690,4 12918,3
211 7169,2 499,2 255,0 0 0 114061,4 12347,112 6171,5 499,2 350,0 330,0 572,7 374500,4 11281,3
3
11 7447,6 499,2 0 0 0 63418,37 8900,012 6767,6 499,2 350,0 330,0 0 202690,4
8514,222 6767,6 499,2 350,0 330,0 0 202690,423 6067,6 499,2 350,0 330,0 700,0 412690,4 8148,4
4
11 7785,7 360,2 0 0 0 45759,81 400012 7018,3 499,2 350,0 278,4 0 191782,1
400022 7399,9 499,2 246,8 0 0 112432,823 6632,5 499,2 246,8 0 0 302950,4
400033 7034,1 499,2 350,0 262,6 0 188442,034 6266,7 499,2 350,0 330,0 700,0 412690,4 4000