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UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos Página 1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

INTRODUCCIÓN

En clases anteriores se ha trabajado con diferentes tipos de funciones: la función polinómica, la función racional y las funciones exponencial y logarítmica (como funciones mutuamente inversas). En todos los casos anteriores el criterio de trabajo fue desarrollar herramientas y estrategias que permitan obtener representaciones gráficas aproximadas de las funciones anteriormente citadas sin dejar de lado la tabla de valores que, por sí sola, no constituye un método apropiado para llegar a la gráfica de una función compleja pero si es útil para complementar una representación gráfica aproximada.

OBJETIVOS

• Identificar los elementos de una sinusoide. • Reconocer las transformaciones en los elementos de una sinusoide a partir de información

obtenida de la ecuación general. • Representar en forma aproximada un ciclo de una sinusoide a partir de la ecuación general

de la misma. • Obtener la ecuación de una sinusoide a partir de la gráfica de la misma.

1. LA GRÁFICA DE UNA SINUSOIDE

Una sinusoide es una curva que se caracteriza por estar formada por ciclos, es decir, porciones de curvas que se repiten indefinidamente. La representación gráfica de una sinusoide es la siguiente:

Una sinusoide es la representación gráfica de las funciones e . En las

mismas, la variable x representa un ángulo medido en radianes.



2. LOS ELEMENTOS DE UNA SINUSOIDE

Una sinusoide posee determinados elementos que luego permitirán acceder a una representación gráfica.

2.1 El Ciclo

En este curso se trabajará con dos tipos de ciclo. Se debe recordar que el ciclo es la figura que permite obtener la sinusoide completa a partir de sus infinitas repeticiones. Para ello se trabajará con los ciclos de las funciones base ( )xseny = - ( )xy cos= .

2.2 El Eje de Referencia

El eje de referencia es la recta horizontal que divide a la sinusoide en dos porciones equivalentes. En las funciones base, el eje de referencia es la recta 0=y .

2.3 La Amplitud (A)

Es la distancia vertical que existe entre el eje de referencia y la parte más alta o la parte más baja de la sinusoide.

En las funciones base, la amplitud vale 1 (uno).

2.4 El Período (P)

Es la cantidad de radianes que dura un ciclo. En las funciones base, el ciclo tiene un período de π2 radianes.

Ciclo de Ciclo de



2.5 El Ángulo de Fase (k)

El ángulo de fase es el valor de x desde donde comienza a dibujarse el ciclo. En las funciones base, el ángulo de fase tiene el valor x = 0.

3. LA ECUACIÓN GENERAL DE UNA SINUSOIDE

Una sinusoide se la describe en forma analítica por medio alguna de las siguientes ecuaciones generales.

( )[ ] CkxBsenAy +−⋅⋅= ( )[ ] CkxBAy +−⋅⋅= cos

La ecuación de la función base ( )xseny = se diferencia de la ecuación general en la implementación de cuatro constantes: A, B, k y C. cada una de estas constantes presentes en la ecuación general implican la variación de alguno de los elementos de la sinusoide. En lo que sigue se analizará la variación de cada uno de estos elementos por separado.

4. VARIACIÓN EN LOS ELEMENTOS DE UNA SINUSOIDE

4.1 Variación de la Amplitud ( )xsenAy ⋅=

La constante A indica el valor de la amplitud de la sinusoide.

Ejemplo:

( )xseny = (negro) - ( )xseny ⋅= 2 (rojo) - ( )xseny ⋅= 3 (verde)

A partir de ahora todo el trabajo analítico se realizará sobre la primera de estas ecuaciones. Debe entenderse que las conclusiones se deberán extrapolar a la segunda de estas ecuaciones.

Es importante resaltar que esta constante sólo modifica el valor de la amplitud. Todos los demás elementos permanecen con los valores de la función base.



4.2 Variación del Período ( )xBseny ⋅=

La constante B cambia el valor del período de la sinusoide. Eso quiere decir que habrá un período nuevo (NP). Para calcular el mismo se debe usar la siguiente expresión:

BNP π2

=

Ejemplo:

( )xseny = (negro) - ( )xseny 2= (rojo) , ππ==

22NP -

= xseny

21

(verde),

ππ 4

21

2==NP

4.3 Variación del Ángulo de Fase ( )kxseny −=

La constante k cambia el valor del ángulo de fase de la sinusoide.

Ejemplo:

( )xseny = (negro) -

−=

2πxseny (rojo) - ( )π+= xseny (verde)

Para obtener el ángulo de fase hay que cambiarle el signo al valor que suma o resta a la x.



4.4 Variación del Eje de Referencia ( ) Cxseny +=

La constante C indica la posición del eje de referencia de la sinusoide.

Ejemplo:

( )xseny = (negro) - ( ) 1+= xseny (rojo) - ( ) 3−= xseny (verde)

5. GRÁFICA APROXIMADA DE UNA SINUSOIDE

Ahora se trabajará a partir de un ejemplo en el cual se presenta la ecuación general de una función y se desea obtener la representación gráfica de la misma.

Ejemplo:

Realizar la gráfica aproximada de un ciclo de 12

23 −

−⋅⋅=

πxseny

Ciclo seno Eje de referencia y=-1 Amplitud A=3

Ángulo de fase (inicio del ciclo) 2π

=k

Período ππ==

22NP

k+P (fin de ciclo) πππ23

2=+

Para organizar el trabajo se confeccionará una tabla con la información de los elementos de la sinusoide

Se debe tener en cuenta que en los ejemplos desarrollados se está dibujando un solo ciclo para aportar claridad a la explicación, pero en realidad la gráfica debería ser la sinusoide a lo largo de todo el eje de los reales.



Esta información, volcada a la gráfica dará como resultado:

6. ECUACIÓN DE UNA SINUSOIDE A PARTIR DE LA GRÁFICA DE LA MISMA

Un procedimiento que completa el trabajo que se viene realizando está relacionado con el trabajo inverso al realizado en el punto 4. Es decir, a partir del gráfico de una sinusoide hallar la ecuación general de la misma. Lo primero que se debe tener en cuenta es que este procedimiento puede tener infinitas soluciones.

Por ejemplo, se desea encontrar la ecuación general de la sinusoide de la siguiente gráfica:

Para poder llegar con éxito a la ecuación general se deberá seguir una serie de pasos ordenados.

Se debe observar que las líneas celestes están relacionadas con la información obtenida en el cuadro y representan una buena ayuda a la hora de graficar la sinusoide. El rectángulo encerrado se puede dividir en cuatro partes iguales para lograr una gráfica más prolija.



6.1 Identificar el tipo de ciclo

En total son cuatro los tipos diferentes de ciclos que se pueden identificar

En el ejemplo que se trabajará podemos identificar dos de estos ciclos (por ejemplo, seno y

-coseno).

6.2 Identificar el Eje de Referencia

seno -seno coseno -coseno

En cada gráfica de sinusoide se pueden identificar cualquiera de los cuatro ciclos más de una vez. Esta es la razón por la cual, a partir de una misma gráfica se pueden obtener infinitas ecuaciones generales.



En este caso, el eje de referencia tiene la ecuación y = 2.

6.3 Identificar la Amplitud

En este caso la amplitud vale A = 3

6.4 Identificar el Ángulo de Fase

En este caso se tendrán dos ángulos de fase diferentes para cada uno de los dos ciclos que se han identificado.

Para el ciclo de – coseno (azul), el ángulo de fase vale k = -4�.

Para el ciclo de seno (rojo), el ángulo de fase vale k = �.

6.5 Identificar el Fin de Ciclo

En este caso se tendrán dos valores diferentes para cada uno de los dos ciclos que se han identificado.

Para el ciclo de – coseno (azul), el fin de ciclo vale x = 0.

Para el ciclo de seno (rojo), el fin de ciclo vale x = 5�.

6.6 Calcular el Período

El Período se puede calcular restando el fin de ciclo del ángulo de fase. Esta diferencia dará como resultado la longitud del ciclo en radianes, es decir, el período de la sinusoide.

πππ 45 =−=P

6.7 Calcular el valor del coeficiente B

21

422

===πππ

PB

Se puede organizar toda la información obtenida en una tabla que permitirá obtener la ecuación

general sin mayor dificultad.

Es importante resaltar que la sinusoide siempre tiene el mismo período, independientemente del ciclo elegido para realizar el análisis en cuestión. De esta manera, el cálculo del período sólo se debe hacer para uno de los dos ciclos.



ECUACIÓN I ECUACIÓN II

Ciclo -coseno seno

Eje de Referencia (C) 2=y

2=y

Amplitud (A) 3=A

3=A

Ángulo de Fase (k) π4−=k

π=k

Fin de ciclo 0=x

π5=x

Período (P) π4=P

π4=P

Coeficiente B 21

=B 2

1=B

Ecuación General

( )[ ] CkxBsenAy +−⋅⋅= ( )[ ] CkxBAy +−⋅⋅= cos

( ) 2421cos3 +

+⋅−= πxy

( ) 2

213 +

−⋅= πxseny

CONCLUSIÓN

Es importante recordar que los conceptos abordados en esta clase incorporan una serie de procedimientos nuevos para muchos de los alumnos y tal vez olvidados para otros. La sola lectura de este material no garantiza la total comprensión de los mismos y deberá ser complementada con la resolución de los trabajos prácticos y la consulta de la bibliografía sugerida por la cátedra o cualquier otra bibliografía pertinente. También se debe usar como material de consulta permanente y también de verificación de los resultados obtenidos en las prácticas, el software graficador sugerido o cualquier otro disponible.

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