réponse fréquentielle analyse harmonique

Réponse fréquentielle : analyse harmonique page 1 / 7

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On lui impose une entrée harmonique : e(t) = E0.sin(ω.t) avec ω imposé et connu (entrée)

Exemples : système du second ordre : K = 0,8 ; z = 0.05 ; ω0 = 150 rad/s et e(t) = sin(ω.t)

1° exemple : ω = 10 rad/s



Régime transitoire Régime permanent



On observe l'am

plitude relative (notée A) et le déphasage (noté ϕϕ) expérim

entalement en régim

e permanent



|H| > 1l’amplitude de la sortie est plusgrande que celle de l’entrée

|H| < 1l’amplitude de la sortie est plusfaible que celle de l’entrée

|H| = 1l’amplitude de la mêmeque celle de l’entrée

ω → + ∞ω → 0 ω = 1

1. Problématique.On observe aussi que le régime permanent peut s’écrire sous une forme harmonique de pulsation ω :

spermanent(t) = A.E0.sin(ω.t + ϕ) d’où le nom de régime forcé

♦ Seul A (l’amplitude relative de la réponse), et ϕϕ (la phase de la réponse) sont à déterminer.

♦ A et ϕ sont fonction de ω et des caractéristiques du système linéaire (fonction de transfert).

En utilisant l’écriture complexe de e(t) et s(t), on montre qu’il suffit de remplacer la variable de Laplace pdans la fonction de transfert par j.ωω : H(j.ω) est appelée la transmittance

On obtient ainsi A(ω) = |H(j.ω)|

ϕ(ω) = arg(H(j.ω))

Nous allons pouvoir étudier l’évolution de l’amplitude et de la phase en fonction de la pulsation d’entrée.

2. Diagrammes de Bode et de Black : définitions.Définitions.

• Bode :

Gain en décibel : log(ω) → GdB = 20.log(|H(j.ω)|)

Phase en degré : log(ω) → ϕ = arg(H(j.ω))

Remarque : il n’est pas rare de tracer la courbe de phase et la courbe de gain sur le même graphe : eneffet les ordres de grandeur étant les mêmes près des points particuliers (pulsation de coupure) les courbessont proches (-300 dB < GdB < 50 dB, et –360° < ϕ < 0°).

Black :

Il est tracé à partir du diagramme de Bode. C’est une courbe 2 en 1 ! (comme le shampoing)

ϕ = arg(H(j.ω)) → GdB = 20.log(|H(j.ω)|)



3. Propriétés.Soit H(j.ω) = F(j.ω).N(j.ω)

On montre que 20.log(|H(j.ω)|) = 20*log(|F(j.ω)|) + 20.log(|N(j.ω)|)

Et que arg( )H(j.ω) = arg( )F(j.ω) + arg( )N(j.ω)

Pour obtenir les diagrammes de Bode ou de Black d’une fonction de transfert qui est le produit de deuxfonctions de transfert élémentaires, il suffit de faire la somme des diagrammes élémentaires.

4. Préalables.Gain statique.

H(p) = K alors GdB = 20.logK = cte/ω ϕ = 0° car H(j.ω) est un réel pur.

Remarque : la courbe de Black donne un point (0 , 20.logK)

Dérivée.

H(p) = p alors GdB = 20.[logω] ϕ = 90°

Intégrale.

H(p) = 1p alors GdB = -20.[logω] ϕ = -90°

Bode

Black ω&

Droite de pente 20dB / décade

ω&

Black

BodeDroite de pente -20dB / décade



Premier ordre de gain statique unitaire.

H(p) = 1

1 + τ.p

Diagramme asymptotique : on note ωc = 1τ la pulsation de coupure.

1° cas : ω << ωc H(j.ω) ≈ 1 Gdb = 0 et ϕ = 0°

2° cas : ω >> ωc H(j.ω) ≈ -j.ωc

ω Gdb = 20.logωc - 20.logω et ϕ = -90°

Valeur particulière : ω = ωc H(j.ωc) = 1

1 + j Gdb = -3 dB et ϕ = -45°

• Diagramme de Bode pour τ = 0.2

• Diagramme de Black pour τ = 0.2

GdB

Droite de pente -20 dB / décade

ωc = 5

-3 dB

ϕ

ω&

-3 dB



5. Diagrammes de Bode et de Black de l’oscillateur.Second ordre de gain statique unitaire.

H(p) = 1

1ωn²

.p² + 2.z ωn

.p + 1

• 1° cas : z > 1 : dans ce cas, la fonction de transfert est le produit de deux fonctions de transfert dupremier ordre :

Rappels : H(p) = 1

(1 + τ1.p).(1 + τ2.p) avec ωn² = 1τ1

.1τ2

et z = 12 .

τ1 + τ2

τ1.τ2

Il est donc possible d’appliquer la règle de superposition.

Il existe deux pulsations de cassure (coupure) : ω1 = 1τ1

et ω2 = 1τ2

Exemple pour τ1 = 0.1 et τ2 = 10

Droite de pente -20dB / décade


ω1 = 10ω2 = 0.1 ωn = 1

Bode

ω&

ω1

ω2

ωn



• 2° cas : z < 1 H(j.ω) = 1

1 -

ω

ωn

² + j.2.z.

ωωn

Diagramme asymptotique :

ω << ωn H(j.ω) ≈ 1 Gdb = 0 dB et ϕ = 0°

ω >> ωn H(j.ω) ≈ -ωn²ω² Gdb = 40.logωc - 40.logω et ϕ = -180°

Valeur particulière : ω = ωn H(j.ωn) ≈ -j.1

2.z et ϕ = -90°

Pulsation de résonance ωr : |H(j.ωr)| = Amax sachant que |H(j.ω)| = 1

1 - ω²ωn²

² + 4.z².

ω²ωn²

= 1D

on cherche ω telle que dDdω = 0 ⇔ ω = 0 Alors Amax =

12.z. 1 - z²

ωr = ωn. 1 - 2.z² pour z < 0.7

Exemples : Bode pour ωn = 1 et z = 0.15 ou z = 0.975

ωr ≈ ωn car z < 1


Facteur derésonance Amax

z = 0.15

z = 0.975



ω&

Facteur derésonance Amax

ωrωn

Black pour ωn = 1 et z = 0.15 ou z = 0.975

Remarque : en automatique, l’usage veut que le facteur de résonance de dépasse pas 2.3 dB

Mise en garde : attention de ne pas confondre le facteur de résonance (réponse en fréquence) avec ledépassement (réponse temporelle à un échelon) ainsi que les deux courbes.

5.1.1 Premier ordre à la puissance n.H(p) = (1 + τ.p)n

Bode : GdB

Bode : ϕ

Black

Pente de 20.n dB par décade

Déphasage de 90.n degrés

Asymptote à 90.n degrés

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