repertorio quesiti matematica quinta 2013 (1) (2) (1)(2)

Repertorio quesiti di matematica per il quinto anno – a.s. 2012/2013 – prof‐ Gianluca Rossini pag. 1/12

REPERTORIO QUESITI SUL PROGRAMMA DI MATEMATICA DEL QUINTO ANNO ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

a.s. 2012/2013

1. Qual è il significato geometrico della derivata prima di una funzione )(xfy in un punto 0x del

suo dominio?

Se la derivata )(' 0xf esiste finita, essa è uguale

al coefficiente angolare m della retta tangente

alla )(xfy nel suo punto 0x

Nell’esempio in figura, nel punto 10 x si ha

mxf 1)(' 0

2. 2. Come si utilizza la derivata prima nello studio di funzione?

Dal momento che la derivata prima dà il coefficiente angolare, o pendenza, della funzione, quando la derivata è positiva la funzione è crescente; quando la derivata è negativa la funzione è decrescente; nei punti, invece, in cui la derivata è nulla si hanno punti stazionari: di minimo relativo, di massimo relativo o di flesso a tangente orizzontale.

3. Qual è il significato geometrico della derivata seconda di una funzione )(xfy in un punto 0x del

suo dominio?

Se la derivata )('' 0xf esiste finita, essa mi dà la concavità della

curva stessa. Infatti la derivata seconda ha lo stesso segno del primo coefficiente “a” delle parabole tangenti alla funzione nel

suo punto 0x .

Se 0)('' 0 xf la curva volge la concavità verso l’alto;

Se 0)('' 0 xf la curva volge la concavità verso il basso

Se 0)('' 0 xf allora 0x è un punto di flesso, o di inflessione,

ove avviene il cambio di concavità.


4. Se una funzione è continua in un punto del suo dominio 0x , si può dire che è anche derivabile nel

medesimo punto?

No. Mentre la derivabilità implica la continuità, la continuità non implica necessariamente la derivabilità. I punti nei quali la funzione è continua, ma non derivabile, sono detti punti singolari, quali il punto angoloso, la cuspide e il punto di flesso a tangente verticale.

5. Come si introduce l’operazione di integrazione?

L’integrazione è l’operazione inversa della derivazione.

6. Qual è il risultato dell’integrazione indefinita?

L’integrale indefinito dxxf )( mi dà la totalità delle primitive, che differiscono tra di loro per una

costante. Vale quindi la relazione cxFdxxf )()(

7. Che cos’è la primitiva?

Sia )(xfy una funzione continua. La funzione )(xF è detta primitiva di )(xf se la derivata di

)(xF dà )(xf , ossia se )()(' xfxF

8. Perché nell’integrazione indefinita di una funzione )(xf , devo aggiungere, alla primitiva )(xF , la

costante c?

Dal momento che la derivata di una costante è uguale a zero, derivando )(xF o derivando cxF )(ottengo sempre lo stesso risultato: )(' xF , ossia )(xf . Quindi le funzioni che hanno derivata )(xfsono infinite.

9. Qual è la condizione perché una funzione sia integrabile? La condizione di integrabilità è la continuità.

10. Qual è il risultato di ?)(' dxxf

Applicando due operazioni una inversa dell’altra, si ha che cxfdxxf )()('

11. Qual è il risultato di dxxfdx

d)( , o in altro modo , dxxfD )( ?

Applicando due operazioni una inversa dell’altra, si ha che )()( xfdxxfD

12. Quali sono i metodi di integrazione, per la ricerca delle primitive?

L’integrazione immediata, per scomposizione, per sostituzione e per parti. Inoltre per le funzioni razionali fratte esiste una procedimento specifico nella ricerca delle primitive

13. Qual è la formula di integrazione per parti?

E’ la seguente: dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(


f(x) è detto fattore finito; g’(x) è detto fattore differenziale; f’(x) è la derivata di f(x); g(x) è una primitiva di g’(x).


14. In quale ambito si introduce l’integrale definito? L’integrale definito nasce del problema geometrico del calcolo di aree di trapezoidi.

15. Qual è la condizione perché una funzione sia integrabile in un intervallo? Condizione di integrabilità è la continuità in tutti punti dell’intervallo considerato.

16. Qual è il simbolo dell’integrale definito:

b

a

dxxf )(

a e b sono detti estremi di integrazione, e sono generalmente numeri reali.

)(xf è detta funzione integranda; dx è detto differenziale della variabile indipendente.

17. In quale ambito si introduce l’integrale definito? L’integrale definito nasce dal problema geometrico del calcolo di aree di trapezoidi. Si arriva a questo concetto partendo dalla suddivisione del trapezoide in plurirettangoli, inscritti e circoscritti al trapezoide e calcolando i limiti di queste due aree al tendere ad infinito del numero di suddivisioni della base del trapezoide stesso.

18. Se gli estremi di integrazione sono due numeri reali, qual è il risultato di un integrale definito? L’integrale definito dà come risultato un numero reale.

19. Che cosa si intende per trapezoide?

Supponendo che la funzione )(xfy sia

continua e non negativa e tagli l’asse delle

ascisse nei punti ax ed bx , il trapezoide rappresenta la parte finita di piano delimitata

superiormente dall’arco di curva )(xfy ,

inferiormente dall’asse delle ascisse e

verticalmente dalle rette ax ed bx .

20. Quale relazione intercorre tra b

a

dxxf )( e a

b

dxxf )( ?

Semplicemente vale la proprietà b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

21. E’ corretto affermare che l’integrale definito b

a

dxxf )( dà l’area del trapezoide?

No. La funzione )(xf , oltre che continua in ],[ ba , deve essere anche non negativa 0)( xf .

22. Nell’espressione b

a

dxxf )( che significato ha il termine dx ?

Il termine dx indica, da una parte, qual è la variabile di integrazione (non è sempre la x). Dal punto di

vista geometrico, rappresenta l’intervallo infinitesimo nel quale suddivido l’intervallo ],[ ba quando

faccio tendere a infinito il numero di suddivisione dei plurirettangoli in/circoscritti al trapezoide.


23. Qual è il significato geometrico dell’integrale definito?

Nell’ipotesi che in ],[ ba )(xf sia continua, l’integrale definito mi dà generalmente una differenza di

aree. Solo nel caso in cui 0)( xf , ],[ bax ,allora l’integrale definito mi dà l’area del

trapezoide.

Se, in ],[ ba , 0)( xf , allora l’integrale

b

a

dxxf )( dà l’area A del trapezoide.

Se, in ],[ ba , 0)( xf , allora l’integrale

b

a

dxxf )( dà l’opposto dell’area del trapezoide

A .

Se, in ],[ ba , )(xf cambia segno, allora

l’integrale b

a

dxxf )( dà la differenza tra le aree

poste al di sopra dell’asse delle x e quelle poste al di sotto di esso.

24. Che legame intercorre tra dx e )(' xf ?

Il differenziale )(xdf di una funzione )(xf è il prodotto tra la derivata )(' xf e il differenziale dx

della variabile indipendente. Quindi dxxfxdf )(')( , ovvero dx

xdfxf

)()(' o, come spesso usato

nelle equazioni differenziali, dx

dyy ' .

25. Che cosa afferma il Teorema della media?

Nell’ipotesi sia )(xf continua in un intervallo chiuso ],[ ba , allora esiste almeno un punto ],[ baz

tale che

b

a

dxxfabzf )()(

Il valore ab

dxxf

zf

b

a

)(

)( è detto valor medio della funzione in ],[ ba

26. Una funzione definita in un intervallo ],[ ba nel quale non è sempre nulla può avere valor medio

uguale a zero? Sì, è sufficiente che le aree al di sopra dell’asse delle ascisse uguaglino quelle al di sotto dello stesso asse.


27. Qual è il significato geometrico del Teorema della media?

Se la funzione )(xfy è anche non

negativa in ],[ ba , allora il trapezoide è

equivalente (o equiesteso, cioè di ugual area) al rettangolo che ha per la stessa base del trapezoide e per altezza il valor medio della funzione.

28. Una funzione definita in un intervallo ],[ ba nel quale non è sempre nulla può avere valor medio

uguale a zero? Sì, è sufficiente che le aree al di sopra dell’asse delle ascisse uguaglino quelle al di sotto dello stesso asse.

29. Una volta calcolato il valor medio di una funzione nell’intervallo ],[ ba , come se ne determina l’

ascissa?

Basta sostituire nella )(xfy al posto di y il valor medio )(zf e al posto di x la variabile z ; i valori così trovati sono i punti cercati, se appartenenti all’intervallo ],[ ba .

30. Che cosa afferma il Teorema fondamentale del calcolo integrale, o Teorema di Torricelli‐Barrow?

Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce un'importante connessione tra i concetti di integrale definito e integrale indefinito (operatore inverso della derivata).

Esso afferma che se )(xfy è una funzione continua in ],[ ba , allora esiste ed è derivabile la

funzione integrale x

a

dttfxF )()( e, per ogni ],[ bax , si ha che )()(' xfxF , ossia che la

funzione integrale è una primitiva della funzione )(xfy .

31. Quando si applica la formula di Newton‐Leibniz?

La formula di Newton‐Leibniz si utilizza per il calcolo dell’integrale definito.

Tale formula afferma che il valore dell’integrale definito b

a

dxxf )( , si calcola dalla differenza del

valore della primitiva calcolata nel punto b e nel punto a. Cioè b

a

aFbFdxxf )()()(


32. Come si calcola il volume di un solido di rotazione?

Supponendo di far ruotare, di un angolo giro attorno

all’asse delle ascisse, un arco della funzione )(xfy

limitatamente all’intervallo ],[ ba , nel quale la funzione

è continua, il volume del solido di rotazione così ottenuto si calcola mediante la formula

b

a

dxxfV 2)(

33. Come si calcola l’area compresa tra due funzioni?

Date due funzione continue )(11 xfy e )(22 xfy che si

intersecano in due punti M e N, come in figura, di ascissa

rispettivamente Mx e Nx . Inoltre, in ogni punto dell’intervallo

nM xx , , sia )()( 21 xfxf .

In tali ipotesi l’area S in figura si calcola mediante la relazione:

N

M

x

x

dxxfxfS )()( 21

Perché tale formula dia il corretto risultato, è necessario che in

tutti i punti dell’intervallo )(1 xf abbia ordinata non minore di

)(2 xf . Nulla è richiesto sul segno delle due funzioni.

34. Quando si parla di equazione funzionale?

Una equazione si dice funzionale quando ha per incognita una funzione.

35. Che cos’è un’equazione differenziale? Una equazione differenziale è un’equazione funzionale che mette in relazione la variabile indipendente x, la funzione incognita y(x) e almeno una delle sue derivate.

36. Come si determina l’ordine di un’equazione differenziale? Se ne ricerca il massimo ordine di derivazione contenuto nell’equazione stessa.

37. Come si determina il grado di un’equazione differenziale? Si cerca il massimo esponente cui è elevata la y o una delle sue derivate. Attenzione al grado complessivo rispetto a tali variabili: yy’, ad esempio, è di secondo grado!

38. Come si risolve un’equazione differenziale? Si risolve tramite integrazioni. Ecco perché la soluzione di tali equazioni è detta “integrale”.

39. Quali soluzioni può avere un’equazione differenziale? Le soluzioni possibili sono: l’integrale generale; l’integrale particolare; l’integrale singolare o di frontiera.

40. Perché la soluzione (o l’integrale) generale di un’equazione differenziale contiene una o più costanti? Dal momento che alla soluzione di tali equazioni si arriva dopo un procedimento di integrazione indefinita, ad ogni integrazione corrisponde l’introduzione di una costante arbitraria.

41. Quante costanti devono essere presenti in un integrale generale? Il numero di cosanti è pari all’ordine dell’equazione differenziale.


42. Come si determina l’integrale particolare? L’integrale particolare si ottiene sostituendo alla costante o alle costanti arbitrarie, presenti nell’integrale generale, dei precisi valori. In generale, tali valori si determinano applicando le condizioni iniziali o di Cauchy.

43. Come si determina l’integrale singolare? L’integrale singolare è una soluzione dell’equazione differenziale, priva quindi di costanti arbitrarie. Contrariamente a quanto accade per l’integrale particolare, però, l’intergale singolare non si ottiene dall’integrale generale.

44. Che cosa si intende per curva integrale? La rappresentazione grafica sul piano cartesiano dei un integrale particolare

45. Si può rappresentare sul piano cartesiano anche l’integrale generale? No, dal momento che esso rappresenta infinite curve integrali. Nel caso di equazioni del primo ordine, ad esempio, tali curve sono identiche tra di loro ma traslate verticalmente una rispetto all’altra, a seconda del valore della costante arbitraria,

46. Perché le condizioni per determinare i valori delle costanti arbitrarie sono dette “condizioni iniziali”? Perché spesso tali condizioni sono riferite a sistemi fisici, nei quali si richiede lo stato del sistema

all’istante iniziale (ad esempio, la posizione e la velocità di un mobile al tempo 0t , cioè allo stato iniziale).

47. Quali principali equazioni differenziali del primo ordine abbiamo studiato?

Le equazioni del tipo )(' xfy , che si risolvono con un’integrazione immediata;

Le equazioni del tipo )()(' ygxfy , a variabili separabili;

Le equazioni del tipo 0)(' yxay , lineari ed omogenee;

Le equazioni del tipo )()(' xbyxay , lineari non omogenee.

48. Quali principali equazioni differenziali del secondo ordine abbiamo studiato?

Le equazioni del tipo )('' xfy , che si risolvono con due integrazioni successive;

Le equazioni del tipo 0''' cybyay , lineari, omogenee, a coefficienti costanti.

49. Quando si parla di equazione caratteristica?

Nella risoluzione delle equazioni differenziali del secondo ordine, lineari ed omogenee, a coefficienti

costanti, alle quali viene associata l’equazione caratteristica di secondo grado 02 cbzaz per ricercare l’integrale generale.

50. E’ possibile che dalla soluzione del problema di Cauchy si ottengano più integrali particolari? No. La soluzione particolare che soddisfa le condizioni iniziali è unica.

51. Un’equazione differenziale del tipo )(xfyiv si integra facilmente con successive integrazioni.

L’integrale generale quante costanti avrà? Dal momento che è del quarto ordine, si arriverà all’integrale generale dopo quattro successive integrazioni. Quindi nell’integrale generale ci saranno quattro costanti arbitrarie. Serviranno quattro condizioni iniziali per isolare una soluzione particolare.


52. Come si identifica un punto nello spazio tridimensionale? Un Punto nello spazio cartesiano è identificato da una terna ordinata di numeri reali x (ascissa), y (ordinata), z (quota)

53. Qual è l’equazione che rappresenta un piano, nello spazio cartesiano a tre dimensioni? Nello spazio a tre dimensioni un piano è rappresentato da un’equazione lineare nelle tre variabili x, y, e z. E viceversa: ad ogni equazione lineare nelle tre variabili x, y, e z. è associato uno ed un solo piano.

Il piano può quindi essere rappresentato dall’equazione nella forma implicita 0 dczbyax o

nella forma esplicita qnymxz

54. Come si rappresenta analiticamente una retta, nello spazio? Nello spazio a tre dimensioni una retta è identificata dall’intersezione di due piani.

Una retta r, quindi, si trova mediante il sistema

0

0

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

Se il sistema è determinato, le soluzioni rappresentano tutti punti della retta cercata.

55. Che equazione ha il piano xy? Il piano xy, nel quale giacciono l’asse delle x e quello delle y, ha equazione 0z .

Tutti i punti di questo piano hanno coordinate )0,,( yxP , cioè quota zero.

56. Che cosa è il dominio di una funzione ),( yxfz ?

Il dominio, per una funzione nello spazio, è un sottoinsieme D del piano ( IRIRD ) nel quale la

funzione f è definita. Per determinare il dominio di tali funzioni si ricorre quindi a risolvere disequazioni nel piano nelle due variabili x e y.

57. Che cosa caratterizza il piano di equazione kz ?

Il piano kz , detto piano di livello, è un piano parallelo al piano xy; ad esempio, 5z è forato da tutti punti dello spazio di quota pari a 5.

58. Da che cosa dipende l’inclinazione di un piano rispetto agli assi x e y? Nel piano cartesiano, l’inclinazione di una retta dipende dal coefficiente angolare m, che è la derivata prima nel punto di tangenza e anche la tangente goniometria che la retta forma col semiasse positivo delle ascisse. Analogamente, l’inclinazione di un piano di equazione qnymxz dipende dai due “coefficienti

angolari” m e n, d. Questi, come vedremo quando si parla di paino tangente ad una superficie, sono

legati alle derivate parziali prime rispetto a x e a y di una funzione ),( yxfz

59. Come si calcola la quota di una superficie, data l’equazione ),( yxfz ?

Semplicemente, se la superficie è data nella forma ),( yxfz , la quota si trova sostituendo alle

variabili indipendenti x e y due valori reali (ascissa e ordinata).

Ad esempio, la funzione xyyxz 42 2 , nel punto )2,1(P , ha quota

4842142122,1 2 z


60. Che cosa è la derivata parziale?

Dal momento che una funzione ),( yxfz dipende da due variabili, ha senso di parlare di derivata

solo se specifico a quale variabile faccio riferimento. Nel calcolo della derivata rispetto alla x, ad esempio, derivo la funzione supponendo “congelata”, cioè costante, la variabile y.

Ad esempio, la funzione xyyxz 42 2 , presenta le seguenti derivate parziali prime:

yxyz x 44' e xxz y 42' 2

61. Che significati geometrici hanno le derivate parziali prime?

Analogamente a quanto visto per le funzioni nel piano, le derivate parziali prime sono legate all’inclinazione del piano tangente ad una superficie nello spazio in un suo punto. Si può immaginare l’inclinazione di un piano come la somma di due inclinazioni: una rispetto all’asse delle x, l’altra rispetto all’asse delle y.

62. Qual è l’equazione di un piano tangente ad una superficie ),( yxfz ?

Sia ),( yxfz una funzione e ),,( 000 zyxP un suo

punto. Il piano tangente ha equazione

)(),(',)(),(' 0000000 yyyxzxxyxzzz yx

63. Come si trovano i punti stazionari di una superficie? Condizione necessaria perché un punto sia stazionario è che in esso si annullino entrambe le derivate parziali prime.

La ricerca dei punti stazionari prevede quindi la risoluzione del sistema

0'

0'

y

x

z

z

Le cui soluzioni, se esistono, danno le coordinate x,y dei punti stazionari.

64. Perché nei punti stazionari si devono annullare entrambe le derivate prime? In un punto stazionario il piano tangente deve essere “orizzontale”, ossia parallelo al piano xy. Perché un piano tangente sia di livello, le derivate parziali devono quindi annullarsi entrambe.


65. Quali tipi di punti stazionari può presentare una superficie ),( yxfz ?

66. Che cosa è l’Hessiano?

L’Hessiano è il determinate della matrice quadrata i cui elementi sono le quattro derivte parziali

prime di una funzione ),( yxfz .

yxxyyyxxyyyx

xyxxzzzz

zz

zzyxH """"

""

""),(

67. A che cosa serve l’Hessiano?

Una volta determinati i punti stazionari, si calcola il valore dell’Hessiano in ognuno di essi. Il valore dell’Hessiano permette di classificare di che tipo di stazionarietà si tratta (massimo, minimi, selle).

68. L’Hessiano, in un punto generico ),( yxP , è un numero o una funzione?

In un punto generico ),( yxP l’Hessiano è una funzione delle variabili x e y.

In un punto specifico, ),( 00 yxP , invece, l’Hessiano è un numero.

69. Se in un punto ),( 00 yxP l’Hessiano è positivo, so classificare tale punto?

No. E’ necessario conoscere anche il valore di ),(" 00 yxz xx .

Se 0),( 00 yxH e 0),(" 00 yxz xx i tratta di un PUNTO DI MINIMO

Se 0),( 00 yxH e 0),(" 00 yxz xx i tratta di un PUNTO DI MASSIMO

70. Se in un punto ),( 00 yxP l’Hessiano è negativo, so classificare tale punto?

Sì. Si tratta di un PUNTO DI SELLA.


71. Se in un punto ),( 00 yxP l’Hessiano è nullo, allora il punto non è né di massimo, né di minimo, né di

sella? Assolutamente no. Se l’Hessiano è nullo, posso solo affermare che il metodo dell’Hessiano non mi dà informazioni a riguardo. La classificazione richiede l’utilizzo di strumenti alternativi.

72. Ci sono altre modalità per classificare i punti stazionari? Un altro metodo per classificare i punti stazionari consiste nel sezionare la superficie con piani di

livello, di equazione kz , con valori di k crescenti, ottenendo curve di livello che, proiettate sul piano xy, danno informazioni sulle caratteristiche del punto stazionario in questione.

73. Quando si parla del teorema di Schwartz? Il teorema di Schwartz viene citato relativamente alla derivate parziali seconde miste. Esso afferma

che se per una funzione ),( yxfz le derivate parziali miste sono continue in un insieme

IRIRI , allora in I esse sono uguali, cioè yxxy zz ""

74. La disequazione 2 xy ha come soluzione i punti del piano al di sopra della retta?

No, i punti al di sotto di essa, punti della retta compresi.

75. La disequazione 422 yx ha come soluzione i punti del piano esterni alla circonferenza?

Sì, i soli punti esterni. Infatti:

422 yx è soddisfatta dai soli punti della circonferenza (di centro O e raggio 2)

422 yx è soddisfatta dai punti interni alla circonferenza (di centro O e raggio 2)

422 yx è soddisfatta dai punti esterni alla circonferenza (di centro O e raggio 2)

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