Presentacin de PowerPoint

Hidrodinmica NavalIng. NavalFacultad de Cs de Ingeniera Universidad Austral de Chile

Repaso de Conceptos Bsicos deDinmica de Fluidos

Resumen sobre Sistemas de Unidades del cursoSistema Tcnico mtrico gravitatorio F = kgf (kilogramo fuerza o kilopondio kp) L = mT = segM= kgf / (m/seg2) (denominada UTM)Presin = kgf/m2Trabajo (y energa) = kgf mPotencia = kgf m/seg

Sistema Internacional, S.I.M = kg (kg masa)L = mtT = segF = NtPresin: Nt/m2 (denominado pascal, Pa)Trabajo (y energa) = Nt m (denominado Joule)Potencia = Nt m/seg (denominado Watt)

Temperatura (C)Peso especfico (kN/m3)Densidad (kg/m3)Viscosidad dinmica (Ns/m2)Viscosidad cinemtica (m2/s)Tensin superficial (N/m)Presin de vapor (kN/m2)09,805999,81,781 10-31,785 10-60,07650,6159,8071000,01,518 10-31,519 10-60,07490,87109,804999,71,307 10-31,306 10-60,07421,23159,798999,11,139 10-31,139 10-60,07351,70209,789998,21,102 10-31,003 10-60,07282,34259,777997,00,890 10-30,893 10-60,07203,17309,764995,70,708 10-30,800 10-60,07124,24409,730992,20,653 10-30,658 10-60,06967,38509,689988,00,547 10-30,553 10-60,067912,33609,642983,20,466 10-30,474 10-60,066219,92709,589977,80,404 10-30,413 10-60,064431,16809,530971,80,354 10-30,364 10-60,062647,34909,466965,30,315 10-30,326 10-60,060870,101009,399958,40,282 10-30,294 10-60,0589101,33

Caractersticas del Agua

MEDIOS CONTNUOS

Hiptesis de medio continuo : Se desprecia la existencia de espacios vacos entre molculas o entre tomos y se asume 100% sustancia.

Esta Hiptesis se aplica a medios continuos Slidos y Medios Continuos Fluidos

FLUIDOSDefinicin de Fluido: Sustancia con baja cohesin molecular, que no puede resistir esfuerzos y se deforma ante la accin de stos, lo que provoca que carezcan de una forma definida nica, adoptando la del envase que lo contiene.

Hiptesis base de los Fluidos:Como en todas las ramas de la fsica, en la dinmica de fluidos se establecen algunas hiptesis base , a partir de las cuales se desarrollan todos los conceptos. En el caso de los fluidos por ejemplo se asume que se verifican las siguientes hiptesis bsicas:

.- Hiptesis de medio continuo : se desprecia la existencia de espacios vacos entre molculas o entre tomos y se asume 100% sustancia.

.- Hipotesis conservativas: Conservacin de la masa, Conservacin de la Energa y de la Cantidad de movimiento

Medios ContinuosHiptesis de medio continuo : se desprecia la existencia de espacios vacos entre molculas o entre tomos y se asume 100% sustancia.

Continuos Slidos. Materiales continuos, cuya alta fuerza de cohesin les permite mantener una forma definida en su superficie. .- Elsticos, materiales (continuos) que se deforman ante la accin de fuerzas y esfuerzos pero que recuperan su forma si se retiran esas fuerzas. .- Plsticos, materiales que sufren deformaciones permanentes por accin de fuerzas o esfuerzos y que no se recuperan de esa deformacin. .- Visco-elsticos ( Reologa), materiales que tienen una combinacin de comportamiento a veces elsticos como en slidos y tambin como fluidos con deformacin viscosa, es complejo su anlisis por que aqu la distincin entre la mecnica de slidos y la mecnica de fluidos es difusa.

Continuos Fluidos (gases y liquidos): Sustancias que se comportan como un Continuo . Tienen baja cohesin molecular por lo que se deforman permanentemente ante la accin de esfuerzos. Una importante propiedad es su viscosidad, que es una propiedad interna, la cual es disipativa , se opone al movimiento del mismo (le resta energa , disipa la energa).

.- Fluido newtoniano : es un fluido en el cual las tensiones cortantes (tangenciales o de cizalle) causan gradientes de velocidades de deformacin proporcionales a esas tensiones. Siguen el principio de Newton de deformacin angular con la tensin de cizalle: = (dv/dy) (= viscosidad dinmica)

.- Fluido no-newtoniano : En stos la viscosidad vara con la presin que se le aplique, o con la tensin cortante, o con la temperatura. Estos no tienen un valor de viscosidad definido y constante y por tanto no siguen el principio de Newton.

Hiptesis Conservativas

Ley de Conservacin de la masaLey de Conservacin del Momentum2 Ley de NewtonLey de Conservacin de la Energa1 ley de TermodinmicaLey de la Entropa, 2 Ley de TermodinmicaS = entropa , T = temperatura , J calor intercambiado con el medio y producido por friccin

Ocupa un cierto volumen del recipiente que lo contiene y adopta su forma.Casi no se comprime ni se dilata, solo fluyeOcupa todo el volumen que lo contiene y adopta su forma.Se comprime y dilata con facilidadRequiere muy alto aporte de energa, (calor).Los electrones se separan de los tomos.Tienen un cierto rango muy pequeo de deformacin elastica. Algunos pueden cambiar de estado.

En un slido la fuerza de cohesin entre las molculas es muy alta lo que hace difcil deformarlos o separar las molculas y al actuar un esfuerzo sobre ellos , se deforman en funcin del valor de esfuerzo aplicado y solo hasta cierto rango. Si se sobrepasa ese valor lmite elstico las molculas se separan permanentemente y el slido se rompe o queda deformado.

En un fluido en cambio , la cohesin entre las molculas es muy baja, llegando entonces a lo que caracteriza a los fluidos , esto es, que no soportan esfuerzos tangenciales y se deforman con gran facilidad y de manera continua ante cualquier esfuerzo, por pequeo que sea, lo que hace que los fluidos no tengan una forma nica definida sino que adoptan la del recipiente que lo contenga.

Medios Continuos

TIPOS DE FLUJOS ( Flujo = fluido en movimiento)Segn la dependencia con el tiempo.-Flujo permanente o estacionario las propiedades del fluido no varan con el tiempo, en un determinado punto, aunque puedan variar de un punto a otro (gradiente no nulo).-Flujo no permanente o no estacionario: , las propiedades del fluido varan con el tiempo en cada punto.

Segn la dependencia con la posicin espacial.-Flujo uniforme: todas las partculas tienen las mismas propiedades en cualquier posicin espacial (velocidad, presin, etc, son ctes en cualquier parte de la regin fluida).-Flujo no uniforme: las propiedades de las partculas (velocidad, presin,...) varan con la posicin espacial.-Flujo tridimensional: las propiedades del flujo dependen de las tres coordenadas espaciales definidas por un sistema de ejes de referencia. -Flujo bidimensional: las propiedades del flujo dependen de dos coordenadas espaciales, en la tercera se mantienen ctes..-Flujo unidimensional: las propiedades del flujo dependen de una sola coordenada espacial, en las otras dos direcciones de los ejes de referencia, se mantienen ctes..-Flujo interno: el fluido est confinado por contornos slidos; un caso tpico es el de flujo en tuberas.-Flujo externo: el fluido rodea a un objeto, un caso tpico es el estudio del flujo alrededor de perfiles hidrodinmicos y aerodinmicos o de flujo alrededor de cuerpos, ( buques, etc.)Flujo incompresible: la densidad es constante en todos los puntos del espacio fluido y tambin es cte. a lo largo del tiempo.Flujo compresible: la densidad del fluido no es cte., (si se comprime, una cierta masa m puede ocupar diferente volumen).

Tipos de Flujos Segn su estabilidad-Flujo laminar: Las diferentes capas del fluido se mueven en orden , siempre en direccin paralela entre ellas. Esto , debido a que las fuerzas viscosas predominan sobre las fuerzas de inercia.

-Flujo turbulento: las fuerzas de inercia predominan sobre las fuerzas viscosas; El fenmeno de la turbulencia, origina un fuerte intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas capas del fluido.Existe una continua fluctuacin tridimensional en la velocidad de las partculas (tambin en otras magnitudes, como la presin , aceleracin, la temperatura, etc).

Tipos de Flujos segn el efecto de la viscosidad. Viscosidad: Es una medida de la friccin interna entre las molculas del fluido, principalmente causada por el intercambio de cantidad de movimiento de las partculas al moverse. En los lquidos la viscosidad se origina por las fuerzas de cohesin entre molculas y en los gases por los choques entre las molculas. Viscosidad Dinmica : representa la viscosidad propia intrnsica del fluido Viscosidad Cinemtica : representa la relacin entre viscosidad dinmica y el peso del fluido (representado por la densidad) , = /

-Flujo no Viscoso (o Ideal): ( = 0): Es un modelo terico usado cuando los efectos viscosos no influyen significativamente en el flujo y se pueden ignorar. Por ejemplo, en los flujos externos, los efectos viscosos solo son notorios en una zona muy cercana a las paredes slidas y muy delgada denominada Capa Lmite . Por eso el flujo que est fuera de esa delgada capa se puede tratar como no viscoso. Esto significa que no hay intercambio de cantidad de movimiento entre las partculas que constituyen el flujo de fluido y por tanto fluye con lneas de corriente que no se mezclan entre ellas.

-Flujo viscoso (o Real) ( 0), En estos hay notorios efectos de la viscosidad. En las cercanas de paredes slidas el flujo experimenta fuerte adherencia con el slido, es decir hay una capa del flujo muy cercana a las paredes slidas y muy delgada denominada Capa Lmite lo que genera gradientes de velocidad que de acuerdo al principio deNewton = (dv/dy), originan esfuerzos de cizalle ( ) sobre la superficie slida, lo que significa la aparicin de resistencia de friccin , separacin de flujo , generacin de vrtices, etc..

v/yv

v = V

Principio de Newton sobre la ViscosidadDentro de un flujo, la viscosidad es la responsable de las fuerzas de friccin entre capas adyacentes de fluido y responsable de las fuerzas tangenciales de arrastre que aparecen cuando el flujo se mueve en contacto con una superficie slida A. De acuerdo al principio de Newton estas fuerzas al actuar tangencialmente sobre la superficie, generan un esfuerzo de cizalle (shearing stress) que depende del gradiente de velocidades del flujo (dv/dy) y de la viscosidad dinmica . A su vez, este esfuerzo tangencial representa la fuerza de roce o de friccin actuando sobre el rea tangente.

Esfuerzo de Cizalle (tangencial a la sup)

y

v v+dvFAGradiente de velocidad

Viscosidad dinmica

dy

Nmero de ReynoldsEl nmero de Reynolds es un parmetro adimensional a travs del cual se determina la relacin que existe entre las fuerzas de inercia y las fuerzasviscosas del fluido

Rex = v X Donde:Rex = Nmero de Reynolds a distancia x del borde de ataquer = Densidad del fluidom = Viscosidad dinmica o absoluta del fluidov = Velocidad caracterstica del fluido, (en buques es la Vb )X = distancia al borde de ataque o, long. caracterstica (en buques es la eslora)/ = = Viscosidad Cinemtica

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dv/dy = (v2 - v1) / (y2 - y1)

EJEMPLO: El espesor de la capa lmite turbulenta sobre una superficie como la del casco de un buque se puede estimar con: 0.38 X (RnX)-0.2 RnX = (Vb * X / ) en que X es la distancia desde el borde de ataque del flujo

v2v1Teora de capa lmitePropuesta por Prandtl , asume que solo en una cierta capa de flujo muy cercana a una pared slida la viscosidad tiene notorio efecto y genera gradientes de velocidad dv/dy; El espesor de esta capa se anota con y fuera de ella ya no existe gradiente en la velocidad del flujo y el efecto de la viscosidad dejara de ser relevante y el flujo se puede analizar como Flujo Potencial.

dyxydv = v2 - v1dy = y2 - y1Capa lmite sobre una placa

v

x

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Fenmeno de SEPARACIN de flujo

Blasius Cfmedio = 1.338 /RN

Cfmedio = ...... (ver a cont. diversos autores)Rn < 105Rn > 4106

Algunas Formulaciones para Coef. de Friccin Medio en Planchas Planas sin rugasidadPrandtl y Schlichting .......... Cf = 0.455 / (log Rn)2.58Schulz-Grunow .................... Cf = 0.427 / (log Rn - 0.407)2.61Wieghardt ........................... Cf = 0.52 / (log Rn)2.685ITTC-57 ............................... Cf = 0.075 / (log Rn - 2)2Hughes, ITTC-78 ............... Cf = 0.0667 / (log Rn - 2.03)2Gadd ... Cf = 0.0113 / (log Rn - 3.7)1.15 Llamando Rf a la fuerza causada por la friccin , en regimen turbulento, entonces: Rf = / S = S V2 Cfm

Cfm = Rf / S V2 = densidad del aguaS = superficie de plancha expuesta al roce del aguaV = velocidad del flujo de agua

SEPARACIN DEL FLUJO

Continuacin de Tipos de Flujos: Flujo VorticialEn este tipo de flujo las partculas, rotan sobre si mismas a la vez que se desplazan, es decir, forman vrtices, (remolinos). Este efecto se genera cuando hay gradientes de velocidad en el flujo. Los gradientes son causados principalmente por la viscosidad. El Rotacional de un flujo se define con el producto vectorial: ( x V ) en que:

= ( /x , /y ) llamado operador divergencia, (nabla) V = (u , v) es el vector velocidad del flujo

Flujo Rotacional: cuando x V 0 o sea: v/x u/y

Flujo irrotacional: , No se forman vrtices. No hay gradientes en sus velocidades, y su rotacional es nulo , o cero; Matemticamente ser: x V = 0 o sea: v/x = u/y

Rotacionalidad

YX

u1u2

v1v2

Habr rotacin de la partcula cuandou/y v/x dydx

x2x1

y2y1

Continuacin de Tipos de Flujos: FLUJO POTENCIAL

El flujo potencial no existe en la naturaleza, es solo un modelo fsico- terico. Sin embargo es muy usado en hidrodinmica para anlisis de flujos en forma aproximada.

Un flujo potencial se considera: sin viscosidad , incompresible e irrotacional,

Esta simplificacin es muy usada en problemas en que la viscosidad tiene poco efeto y donde no hay rotacin o vrtices. Se puede demostrar que en este tipo de flujo existen 2 funciones muy tiles , la denominada Funcin Potencial de Velocidad () y la llamada Funcion de Corriente () .

Estas funciones definen el campo de velocidades en un flujo potencial, por ejemplo: Si la velocidad se define en 2D como V = (u , v ) entonces se cumple que:

/x = u /y = v

/y = u /x = v

Por tanto: si se conoce una o ambas funciones se obtiene fcilmente el campo de velocidades del flujo, o del flujo alrededor de un cuerpo, y con las correspondientes velocidades se pueden obtener las presiones y de ah las fuerzas de presin sobre los cuerpos

Ej: Funcin Potencial de Velocidad en un flujo

V = 4 m/s YXu = d/dx

d = u dx

= 4 x

ox

Sobre el Anlisis de Flujos LINEA DE CORRIENTEUn flujo se representa comnmente en forma grfica mediante lneas de corriente. La lnea de corriente representa la trayectoria seguida por una partcula del lquido en movimiento, por ello es que el vector velocidad de la partcula es tangente a ella en cualquier punto.

dA

TUBO DE CORRIENTEEs el ducto formado por un conjunto de lneas de corriente que pasan alrededor de un rea infinitesimal dA (ver fig.). Y de acuerdo a la definicin de lnea de corriente, no hay paso de flujo a travs de la superficie envolvente del tubo de corriente .

V

Lineas de Corriente de una Carena

Sobre la Descripcin del movimiento de un fluido ( flujo)

Para describir o analizar el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista y dos formas de analizar o describir las caractersticas del flujo: Descripcin Lagrangiana que analiza las caracteristicas del flujo siguiendo la trayectoria de movimiento de una partcula a lo largo del tiempo (su velocidad , su posicin , su aceleracin , su presin , etc.Descripcin Euleriana .que analiza las caractersticas del flujo a lo largo del tiempo en un cierto punto fijo , o de cmo varan de un punto a otro, independiente de qu partculas van pasando por esos puntos.

Fig 1: Descripcin Lagrangeana Fig 2: Descripcin Euleriana

Descripcin Euleriana y Lagrangeana Relacin Fsico-Matemtica entre Ambas Las variables de un flujo en descripcin Euleriana y Lagrangeana se vinculan mediante la denominada : Derivada Sustancial (o derivada total), compuesta por una derivada local y otra llamada convectva. En la descripcin Euleriana, las variables en un punto fijo solo tienen dependencia del tiempo, por ejemplo la variacin de u en un punto solo dependera del tiempo, u=f(t) asi que eulerianamente solo existe: (u/t) , llamada derivada local.

En la descripcin Lagrangeana en cambio, las variables del flujo pueden tener variacin con t y tambin con la posicin espacial (x,y,z) que van teniendo, por tanto en este ejemplo , u ya no sera solo u=f(t) , si no u=f(t,x,y,z), por lo que su variacin total en el flujo ahora es:Du = (u/t)dt + (u/x)dx + (u/y)dy + (u/z)dz

O sea : Du/Dt = du/dt = (u/t) + V* (u)

Que es la llamada derivada Total o Sustancial . El primer termino de la derecha es la derivada local y el segundo es la derivada convectva.

En anlisis de flujos, la derivada local sera la velocidad de de un flujo en el punto de entrada a un volumen de control y la convectiva representa al flujo que entra o sale del volumen de control , despues de haber pasado por el punto de entrada.

Ecuaciones en Dinmica de Fluidos

.- Ecuacin de Estado .- Ecuacin de Continuidad (conservacin de la masa).- Ecuacin de Bernoulli (conservacin de la Energa).- Ecuaciones de Navier-Stokes (conserv. del momentum).- Ecuaciones de Euler (conservacin del momentum en el caso particular de flujo no viscoso).

Resumen Historico de las Ecuaciones en FluidosLas primeras ecuaciones que intentaron explicar el comportamiento de los fluidos fueron las propuestas por Claude-Louis Navier (1785-1836) en forma un tanto intuitiva. Posteriormente George Stokes (1851) les dio sustento matemtico y demostr su validez. Pasaron entonces a ser conocidas como Ecuaciones de Navier-Stokes en su honor .

Las ecuaciones de N-S Sin embargo son ecuaciones diferenciales no lineales tan complejas que hasta la fecha an no han podido ser resueltas en forma analtica. Por esta razn es que se han podido aplicar solo en aos recientes (a algunos casos de flujos) mediante los llamados cdigos CFD, que buscan soluciones numricas aproximadas calculadas con sofisticados mtodos matemticos y sofisticados programas computacionales.

Leonhard Euler (1707-1783) fue contemporneo de Daniel Bernoulli (incluso fueron amigos). Daniel Bernoulli dedujo en 1738 su ecuacin y fue por tanto la primera ecuacin de anlisis que poda realmente aplicarse a clculos de flujos hidrodinmicos, aunque es solo aproximada ya que era para flujos sin viscosidad, (en la actualidad se corrigen incluyendo estas perdidas) Bernoulli dedujo su ecuacin mas bien con apoyo experimental mas que matemticamente. Euler , por su parte le dio la validez analtica a la ecuacin de Bernoulli , ya que al integrar la ecuacin de Euler se obtiene justamente la ecuacin de Bernoulli. Las ecuaciones de Euler eran tambin para fluidos no viscosos y corresponden precisamente a las de Navier-Stokes sin las tensiones viscosas.

Continuacin Ecuaciones en Dinmica de FluidosEcuacin de Estado: Una ecuacin de estado en fsica, es la relacin matemtica del estado de agregacin de la sustancia frente a variables como, temperatura, presin, volumen, energa interna, etc. Por ejemplo: La ley de los gases ideales es una tpica ecuacin de estado en fluidos: PV = nRT P = Presin (en Pa)V = Volumen (en m3)n = Nmero de moles, n = m / M , en que m la masa de gas en grs , M es la masa molecular del gas, (en grs/mol)R = constante de los gases (8.314472 m3 Pa /mol K ) T = temperatura absoluta (en K)

* El mol es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia. En un mol siempre hay 6,02214 1023 partculas elementales (que es el nmero de Avogadro). Las partculas elementales pueden ser atomos , molculas, etc.

* La masa molecular se calcula sumando la masa molecular de los tomos involucrados, por ejemplo , la masa molecular del agua es la de 2 tomos de hidrgeno mas 1 tomo de oxigeno, as que, sera: Masa Molecular del Agua = 2 H + O = 2 1,00797 + 15,9994 = 18,01534 grs/mol Esto significa que 1 mol de agua corresponde a una masa de 18,01534 grs de agua. O bien que, en esa cantidad de masa de agua hay 6,02214 1023 molculas H2O

Ejemplo de Diagrama Tpico de Estado para un Gas Ideal

Diagrama de Estado del AguaCavitacin

0.035

AGUA

K Presin en Atm.

Presin de Vapor del aguaTemp. CP. vapor en mm HgTemp. CP. vapor en mm Hg-62.932422.38-33.672726.7404.583031.8235.693537.7367.014055.3298.615092.511210.5260149.381512.7970233.711815.4880355.112118.6590525.76

La Presin AtmosfricaEn hidrodinmica aparece frecuentemente. Como sabemos, la presin atmosfrica representa el peso de la columna de aire que hay sobre una cierta rea, desde ese punto hasta el lmite superior de la atmsfera. Es la presin base a que est sometido todo ente en la tierra, tambin los flujos abiertos a la atmosfera, (como canales , rios , mar , etc.). Se suele anotar con Po , su valor es de 1 atmosfera , equivalente a : 10330 kp /m2 , o 1.013105 Nt/m2 , o, 101 kPa , o 760 mm de columna de mercurio, etc.Como el aire se comporta como gas ideal , la ecuacin de estado de los gases ideales vista en la diapositiva anterior, permite desarrollar la informacin del comportamiento del aire, por ejemplo sus caractersticas se rigen por la expresin: P V = n R T = (m/M ) R T , (el peso molecular del aire es del orden de 28.9 grsmol)

de la cual se obtiene por ejemplo, como vara la presin con la altitud sobre el nivel del mar: P = Po exp (-z / 8000) z es la elevacin sobre el nivel del mar en mts. El gradiente termico es del orden de -1 C por cada 154 mts de elevacin s.n.m (hasta los 10 mil metros de altura, entre 10 mil y 20 mil se mantiene aproximadamente cte.)

Presin Absoluta = presin atmosfrica + presin manomtrica.

Continuacin Ecuaciones en Fluidos Ec. de Continuidad

En el caso del agua, (y otros lquidos), se asumen como incompresibles por lo que la densidad = cte, as que queda:V = 0u/x + v/y + w/z =0Vea que, si multiplicamos todo por la densidad y por el volumen, los terminos quedan: (u/x)Vol Es decir , los trminos de la ecuacin representan los m3/s que salen , menos los m3/s que entran, as que , si la suma de esos gradientes es cero significa que la masa se conserva.

v1u1u2v2En notacin vectorial es:

(Que representa exactamente lo mismo que la expresin VA = cte por unidad de tiempo)

Continuacin de Ecuaciones en Fluidos Ecuacin de BernoulliLa ecuacin de Bernoulli es muy practica, permite una muy buena aporoximacin a la solucin de la mayora de los problemas de flujos , con la sola limitacin de que no toma en cuenta los efectos viscosos. Se aplica al anlisis de partculas de fluido que se mueven en una sola lnea de corriente. Se aplica bajo la suposicin de que el flujo es sin viscosidad , irrotacional e incompresible. Si el flujo adicionalmente es no permanente su expresin es:

en que es el potencial de velocidad

Si el flujo es permanente su expresin queda mas simple an:

BERNOULLI

(Continuacin) Ecuaciones en Fluidos Ecuaciones de Navier-Stokes: Son las ecuaciones fundamentales de dinmica de fluidos. Expresan la conservacin de momentum (2 ley de Newton) para todo tipo de fluidos, Vectorialmente y para una unidad de volumen es:

Mas adelante se explica en mayor detalle estas ecuaciones. No obstante puede notarse que corresponde a la aplicacin de la segunda ley de Newton con descripcin Lagrangeana, por lo que se les conoce como ley de conservacin del momentum. Ella incluye la fuerza gravitatoria (peso) y las fuerzas de superficie, (causadas por las presiones y por las tensiones de cizalle tangencial viscosas sobre las partculas de fluido), y , a la derecha la aceleracin total (o sustancial) multiplicada por la masa de volumen 1.

Aceleracin Total o Sustancial

Continuacin de Ec. de Dinmica de Fluidos

Ecuacin de Euler :

Es una simplificacin de las Ec. de Navier-Stokes ya que se aplican solo al caso particular de fluidos sin viscosidad e irrotacional pero si compresible.

Repaso de Significado Fsico y Principales Aplicaciones

Significado Fsico de la Ecuacin de ContinuidadLa figura representa un fluido que fluye en el interior de un tubo de corriente de tamao no uniforme, en un flujo estable.

En un intervalo de tiempo t, el fluido que entra por el extremo inferior del tubo recorre una distancia x1 = v1 t donde v1 es la velocidad del fluido en ese punto. Si A1 es el rea de la seccin transversal en esa zona, entonces la masa contenida en el tramo x1 es : M1 = A1 x1 = A1v1t

es la densidad del fluido.

Continuacin: Anlogamente, el fluido que sale del extremo superior del tubo en el mismo intervalo t, tiene una masa

M2 = A2v2tDado que la masa debe conservarse y el flujo es estable, la masa que entra por el fondo del tubo a travs de A1 en el tiempo t debe ser igual a la masa que sale a travs de A2 en el mismo intervalo de tiempo.M1 = M2

A1v1t = A2v2t

A1v1 = A2v2

Continuacin: La misma expresin anterior, A*V = cte , se puede escribir en forma diferencial por unidad de volumen y por unidad de tiempo y la ec. de continuidad o de conservacin de la masa sera:

a) Para flujo Compresible : b) Para flujo Incompresible (= cte) queda: *V = 0

u/x + v/y = 0 (2D)

En que : = ( /x , /y) = operador divergencia V = (u , v ) = velocidad del flujo

Cuyo significado fsico es el mismo, o sea, el volumen de fluido que entra por la seccin 1 en un intervalo de tiempo, es igual al volumen de fluido que sale por la seccin 2 en el mismo intervalo de tiempo, por lo cual no hay perdida de masa, (la masa se conserva):

Continuacin: Cuando el flujo se considera como flujo potencial, la Ecuacin de Continuidad toma la forma de la ecuacin de Laplace ya que , se demuestra que en flujos potenciales siempre existe la denominada : funcin potencial de velocidad = f(x,y,z,t) cuya principal caracterstica es que si se deriva respecto a una cierta direccin, el resultado corresponde a la velocidad del flujo en esa direccin.

Por tanto, si es la funcin potencial de velocidad y V es el vector velocidad dado por sus componentes V = (u,v) , entonces:

Reemplazando u y v en la ecuacin de continuidad anterior se verifica que la Ecuacin de Continuidad para flujo potencial se puede expresar como:

Conocida tambin como Ecuacin de Laplace

Significado Fsico de lasEcuaciones de EULER Las ecuaciones de Euler , describen flujos compresibles pero sin viscosidad e irrotacionales.Establecida la conservacin de la masa, EULER estableci la conservacin del momentum en el flujo, que en el fondo es la 2 ley de Newton, (F = m*a) La ecuacin expresada vectorialmente y por unidad de volumen y por unidad de tiempo, queda:

(Es lo mismo que Navier-Stokes pero sin el termino de viscosidad)

Y expandida a los 3 ejes de referencia queda:

Ntese entonces que los terminos de la derecha son las fuerzas y los terminos de la izquierda son los de aceleracintotal o sustancial , compuesta por el termino de aceleracin local y la convectva

Significado Fsico de la Ecuacin de BernoulliBernoulli dedujo una ecuacin simplificada para analizar flujos Incompresibles sin viscosidad e irrotacionales, pero que pueden ser permanentes y no permanentes. En la naturaleza no existe este tipo de flujo , por ello esta es una aproximacin simplificada pero que sin embargo se usa mucho en casos prcticos por que da una aceptablemente buena precisin.Esta ecuacin establece la conservacin de la energa a lo largo de una lnea de corriente. Es decir que: si a lo largo de una lnea de corriente en un cierto nivel de altura, disminuye la energa cintica (baja la velocidad), entonces aumentar en la misma cantidad la energa potencial (o bien presin manomtrica)... y viceversa. Tal como se dijo antes , su forma para flujo no permanente es la mas usada, que expresada por unidad de volumen es:

Dado que la ec. de Bernoulli no considera efectos viscosos, se agrega un termino de perdidas de energa por friccin. Tambin se agrega un termino para el caso eventual que se introduzca energa desde el exterior.

W = Energa que eventualmente se ingrese al flujohf = Perdidas de energa por efectos viscosos (friccin, vortices, etc)

Anlisis de Bernoulli:Considrese el flujo a travs de un tubo no uniforme, en el tiempo t, como muestra la figura. La fuerza que se ejerce sobre el extremo inferior del fluido es P1A1, donde P1 es la presin en el extremo inferior.El trabajo realizado sobre el extremo inferior del fluido por el fluido que viene atrs de l es

W1 = F1 X1 = P1 A1 X1 = P1VDonde V es el volumen de la regin inferior ms oscura de la figura.De manera anloga, el trabajo realizado sobre el fluido de la parte superior en el tiempo t esW2 = P2 A2 X2 = P2 V

Recurdese que el volumen que pasa a travs de A1 en el tiempo t es igual al volumen que pasa a travs de A2 en el mismo intervalo.

Por lo tanto el trabajo neto realizado por estas fuerzas en el tiempo t esW = P1V P2V

Un parte de este trabajo se invierte en cambiar la energa cintica del fluido, y otra modifica su energa potencial gravitatoria

Si m es la masa del fluido que pasa a travs del tubo en el intervalo de tiempo t, entonces el cambio de energa cintica del volumen de fluido es:

El cambio de energa potencial gravitatoria es:

U = mgy2 mgy1

Si aplicamos que

W = K + U

En este volumen de fluido tendremos

Prdida de Energa (o perdida de carga)Por efecto de la viscosidad

La ecuacin de Bernoulli debe ser corregida para incluir el efecto de perdidas de energa que aparecen en flujo real , (con viscosidad)Esto, normalmente se hace agregando un termino como H en la ecuacin siguiente, el cual se estima empiricamente segn las caractersticas fsicas que enfrenta el flujo

12

50

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H = KL

L = longitud de tubera , K = es un coef. que depende de:

El dimetro.La rugosidad.El caudal.El rgimen del movimiento (laminar o turbulento).Las perdidas de energa , (tambin llamadas perdidas de carga) , que se agregan en la ecuacin de Bernoulli suelen calcularse o , mas bien estimarse, de manera emprica. Por ejemplo :

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Se agregan tambin de manera emprica con:

Hl = Prdidas de carga adicionales , localizadas, producidas por: .- vlvulas, .- codos, .- curvaturas.- Envejecimiento.- etcOtras Perdidas, no Viscosas

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Resumen sobre BernoulliLa ecuacin de Bernoulli por tanto, establece que la energa total se mantiene cte. a lo largo de una lnea de corriente, cuando el flujo es no viscoso e irotacional; Si una de las componentes de energa disminuye , otra aumentar , manteniendo la suma cte. En la realidad los flujos si son viscosos, asi que se produce disipacin de energa por friccin, por lo que a la ec. se le incluye un termino H1,2 con las perdidas. ASI:Si el flujo es permanente la ec. queda: = Cte Si el flujo es no permanente: (en que las caracteristicas del flujo cambian con el tiempo), entonces la expresin queda:

En que = potencial de velocidad

- /t

Un dispositivo que utiliza la ecuacin de Bernoulli para medir la velocidadbhu de flujo de los fluidos, es el llamado tubo de Venturi mostrado en la figura.Comparemos la presin en el punto 1 con la presin en el punto 2. Puesto que el tubo es horizontal y1 = y2

La ecuacin de Bernoulli nos dar

De acuerdo a la ecuacin de continuidad o de conservacin de la masa y dado que el agua no retrocede en el tubo, su velocidad en el estrechamiento de la zona 2 debe ser mayor que en la zona 1 , o sea: Si v2 > v1 significa que P2 debe ser menor que P1

Tubo de Venturi12

P1 - P2

Tubo de Venturi

P1 - P2 = h g h

h

Venturimetro para flujo de gas

P1 - P2 = h g h

h

12h

Tubo de Venturi (medicin de velocidad y presin de flujos en tuberas)

Tubos de Venturi

Tubo de Pitot (medicin de velocidad de flujo)

12

h

Eje de referencia y = 0g h

Tubo Pitot-Prandt (Con aberturas piezomtricas)

21

h

gh

1Abertura piezomtrica

= densidad del fluido hg = densidad del liquido rojo (en fig 4 hg = )

Tubos Pitot

Pitot en un avinde anemometroPitot digitalPitot en F-1Pitot Portable

Ejemplo de Aplicacin Bernoulli

Asumiendo que la velocidad con que baja el nivel en 1 , es mucho menor (y despreciable) comparado con 2, y , P0 es la presin atmosfrica

O sea , Asumiendo que la velocidad con que baja el nivel en 1 , es mucho menor (y despreciable) comparado con 2, y , P0 presin atmosfrica, la velocidad en el pto. 2 queda:

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sifn

As , la velocidad del flujo en el punto C queda:

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Ejercicios de Aplicacin

Considrese una manguera de seccin circular de dimetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. Cul es la velocidad del agua en la manguera (m)?. El orificio de la boquilla (b) de la manguera es de 1,0 cm de dimetro interior. Cul es la velocidad de salida del agua por la boquilla (b)?

Amvm = Abvb

G = gasto o caudal A = rea de seccin de la manguera

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Ejercicio

Por una tubera inclinada circula agua a razn de 9 m3/min, como se muestra en la figura: En a el dimetro es 30 cm y la presin es de 1 kgf/cm2. Cul es la presin en el punto b donde el dimetro es de 15 cm y se encuentra 50cm ms bajo que a?

AAvA=AB vB=G

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Continuacin ej.1 dina = 10-5 Nt

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Ejercicio

Calcule el caudal de agua en el venturimetro vertical de la figura si el dimetro en la parte angosta (B) es de 15 cm y en la parte ancha (A) es de 30 cm.

El desnivel entre las columnas de mercurio en el tubo en U es de 40 cm. El agua sube por el venturmetro.

Respuesta: Caudal = 0.18 m3/s*) Puede ver los pasos de resolucin en las siguientes diapositivas.

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