repasando conceptos básicos de Ángulos -...

Carrera- Diseño de Interiores y Mobiliario- Asignatura: MATEMÁTICA Prof. Alicia Iturbe– Prof. Cecilia Ariagno

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Semejanza de figuras- Teorema de Thales

Repasando conceptos básicos de Ángulos Ángulos entre rectas

A) Ángulos determinados entre dos rectas que se cortan Dos rectas que se cortan en un plano determinan 4 ángulos. Los opuestos por el vértice son iguales, por eso decimos, que son iguales dos a dos. El ángulo agudo formado por las rectas r y s de las figura tiene una amplitud de 43º.

B) Ángulos determinados entre dos rectas cortadas por una transversal Observa en el dibujo que dos rectas cortadas por una recta transversal crean 8 ángulos que reciben

distintos nombres según la posición que ocupan: ángulos correspondientes: ; : ángulos alternos internos: : ángulos alternos externos: : conjugados internos: : conjugados externos: :

C) Ángulos determinados entre dos rectas paralelas que se cortan con una transversal Cuando las rectas son paralelas se cumple:

Figura Nº 3

Figura Nº 1

Figura Nº 2


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Actividad 1 1. Observa la figura siguiente y responde a las preguntas siguientes:

1. ¿Cómo son los ángulos 1 y 2? 2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4? 3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4? 4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué? 5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7? 6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6? 7. ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3? 8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué? 9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?

10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?

2. En la figura L1 //L2, indica el valor de x.

Figura Nº 5

3. Determina la amplitud del ángulo x, considerando que L1 //L2.

Figura Nº 6

4. La recta AB // DC, encuentra la amplitud de

Figura Nº 4

Figura Nº 7


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Semejanza de figuras

Las figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma son figuras congruentes. Las figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, son figuras semejantes.

Las condiciones de semejanza entre dos polígonos son: 1º.- los ángulos del primero son respectivamente congruentes a los del segundo. 2º.-los lados del primero son proporcionales a sus homólogos del segundo.

Comparemos los polígonos ABCMN y A´B´C´M´N´ ¿Son semejantes? Para responder ésta pregunta tendríamos que verificar si se cumplen las condiciones de semejanza que quedarían expresadas así:

Figura Nº 8

Criterios de semejanza de triángulos Cuando se trata de triángulos, los criterios de semejanza se simplifican. No es necesario verificar la igualdad de todos los ángulos ni la proporcionalidad de todos los pares de lados.

a) CRITERIO ángulo - ángulo ( A A )

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos

ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos

triángulos son semejantes.

Si en los triángulos ABC y DEF se cumple que:

como entonces ABC DEF

b) CRITERIO lado - ángulo - lado ( LAL )

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruente el ángulo comprendido entre ellos. En los triángulos ABC y DEF , se cumple que:

Como

Figura Nº 9

Figura Nº 10


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c) CRITERIO lado - lado - lado ( LLL )

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. Como en los triángulos ABC y DEF se cumple que

Actividad 2

1. Decidan cuáles de estas figuras son semejantes. Expliquen por qué lo decidieron.

Figura Nº 12

2. Lucia tiene una fotografía rectangular de 40 cm x 20 cm y quiere armarle un marco de 5 cm

de ancho en cada lado. El rectángulo que se forma con el borde exterior del marco, ¿es

semejante al de la fotografía? ¿Cómo pueden estar seguros?

DF

AC

EF

BC

DE

AB

Entonces ABC DEF Figura Nº 11


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3. Analiza si son semejantes los triángulos indicados, señala el criterio adoptado.

a)

Figura Nº 13

BQL y CJR?

b)

Figura Nº 14

QTM y CJX?

c) ABC y DEF?

Figura Nº 15

d) AWG y KWQ?

Figura N°16

KQ // AG

4. ¿Cómo se simplificarían los criterios anteriores cuando se trata de triángulos rectángulos?

5. Son semejantes BAP y B´A´P´?

Figura Nº 17

6. Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos mide 24 cm y 10 cm, se desea construir otro triángulo

semejante a éste. ¿Cuánto medirán los catetos del triángulo semejante si su hipotenusa mide 52m?


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Actividad 3

1. En base a la siguiente información, determinen si los triángulos son semejantes: a) los tres ángulos de cada uno de los dos triángulos miden 45°, 65° y 70° y sus lados son proporcionales. b) en un primer triángulo dos lados miden 4cm y el tercero 5cm, el ángulo comprendido entre los primeros

mide 77°. En otro triángulo los lados correspondientes miden 8 cm, 8 cm y 10cm y el ángulo correspondiente se conserva.

2. Analizar las situaciones que se describen a continuación y determinar si se trata o no de figuras semejantes.

a) Dos triángulos cualesquiera. b) Dos triángulos isósceles ABC, A’B’C’ en los que el ángulo desigual mide 45°. c) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’ en que un ángulo agudo de ABC es congruente con un ángulo

agudo de A’B’C’ correspondiente. d) Dos cuadrados cualesquiera.

3. Si dos triángulos son semejantes ¿cómo es la razón entre sus perímetros? Den ejemplo y luego

demuestren que siempre se cumple esa propiedad.

Actividad 4

La gran pirámide de la planicie de Gizeh, la conocida como pirámide de Keops, siempre ha sido una fuente de misterios, y la mayoría están aún por resolver. Sus medidas han sido estudiadas exhaustivamente, pues los egipcios no construyeron la pirámide dándole unas medidas al azar, sino que sus proporciones mantienen unas relaciones matemáticas muy interesantes entre sí. Medía originalmente 147 m de altura, y el lado de la base cuadrada tenía una longitud de 230 m, aproximadamente. Hoy en día la pirámide es un poco más baja, porque a lo largo de los siglos y sobre todo en la Edad Media ha sido utilizada de cantera artificial. Las piedras de las que estaba compuesta se han ido partiendo y tallando en ladrillos más pequeños.

Consultando la página de matemáticas www.epsilones.com, según el historiador Heródoto, los egipcios construyeron la gran pirámide de tal forma que el área de cada una de las caras triangulares laterales coincidiera con el área de un cuadrado de lado igual a la altura de la pirámide.

Analizando los triángulos que se formaron podemos plantear las siguientes fórmulas:

Figura N°16

Figura N°18 Considerando la pirámide de Keops: a) ¿Cuál es la longitud de la apotema (segmento a) de la cara? ¿Cuál es el área de una de las caras? ¿Se verifica en esta pirámide la propiedad de las pirámides enunciadas en el párrafo anterior? b) ¿Cuánto mide cada una de las aristas laterales de la pirámide? Fuente: La gran pirámide: pi por la raíz de fi es casi cuatro por Paulino Valderas


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Otros de los matemáticos interesados en está pirámide fue Thales. Cuenta la historia que el matemático griego Thales de Mileto calculó la altura de la pirámide de Keops utilizando su bastón. Thales esperó un día de sol y colocó su bastón de tal manera que la sombra de éste terminara justo con la sombra de la pirámide, como muestra el siguiente dibujo.

Fuente Imagen: Latorre/Spivak/Kaczor/Elizondop “Matemática 9 “Santillana EGB

c) ¿Cuál habrá sido la altura de la pirámide de Keops, calculada por Thales, considerando que el bastón medía 1 m, su sombra era de 3 m y la sombra que proyectaba la pirámide era de 438 m?

Teorema de Thales:

Si tres rectas o más, son cortadas por dos transversales, los segmentos formados en ambas

transversales son proporcionales:

En los diferentes gráficos de la Figura N° 20 podemos observar expresiones del teorema de Thales.

a) AÁ //B´B//C´C b) ab//cd//ef

Figura N °20

d) mn//ab

Figura Nº 19


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Actividad 5

5.1- Una torre de 28 m de altura proyecta una sombra de 32 m en el mismo momento en que una columna de alumbrado público proyecta una sombra de 2,4 m. ¿Cuál es la altura de la columna?

5.2- Las longitudes de los lados de un triángulo son 9, 12 y 15 cm. Cuando se traza una paralela a uno de sus lados se obtiene un triángulo cuyo perímetro es de 12 cm. Calcular las longitudes de los lados del nuevo triángulo.

5.3- Un segmento mide 3 cm. ¿Cuánto mide otro segmento si la razón entre las medidas de éste último y del primero es de 6/5?

Actividad 6

6.1 Interpretar geométricamente las siguientes proporciones numéricas. Graficar. Calcular X.

X

cm

cm

cma

4

4

2)

X

cm

cm

cmb

4

3

2)

6.2 Dividir el segmento A en dos partes proporcionales a X e Y.

A

X Y

6.3 Realicen una figura de análisis siguiendo estas instrucciones:

Construir un triangulo acutángulo PQR.

Marcar un punto T sobre , de modo que sea perpendicular a .

Marcar un punto S sobre , de modo que sea perpendicular a .

Demostrar que

Problemas para seguir practicando.

1- En un laboratorio, imprimen fotos de los siguientes tamaños:

Figura Nº 21

¿Son semejantes las fotos que se obtienen en cada caso? ¿Por qué?


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2- Se tiene un rectángulo inscripto en un triángulo isósceles, como se indica en la Figura Nº22. Sabiendo que la base del triángulo mide 2 cm y la altura 3 cm, y que la altura del rectángulo es 2 cm, halla cuánto mide la base del rectángulo.

Figura N°22

3- En un triángulo ABC rectángulo: se sabe que el mayor de sus lados, , mide 40 cm. En otro triángulo rectángulo PQR, el menor de sus lados, , mide 40 cm. Sugieran medidas para los lados , , , para que los triángulos resulten semejantes.

4- En un triángulo ABC rectángulo el mayor de sus lados, mide 18 cm. En otro triángulo rectángulo PQR, el lado , que no es ni el mayor ni el menor, mide 18 cm. sugieran medidas para los lados , , ,

5- La siguiente Figura Nº 23muestra 3 lotes que colindan uno a uno. Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle 8 y el frente total de los 3 lotes en la calle 9 mide 120 m. Determina la longitud de cada uno de los lotes sobre la calle 9.

6- 6.-En la Figura Nº24, el triángulo ABC es rectángulo en A, y la altura HA es perpendicular a la base BC:

¿Cuántos triángulos semejantes hay? Nómbralos por las letras de sus vértices, e indica cuáles son los ángulos congruentes.

7- 8-

7.-En el triángulo pqs, // . a) Calculen la medida de . b) ¿Es posible calcular cuanto mide ? c) si el perímetro de pqs es 29,5, ¿cuál es la longitud de ?

Figura N°25

Figura Nº 23

Figura Nº 24


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8.- Un observador apostado sobre la playa ve un barco anclado fuera de la costa.

De a cuerdo con los datos que Figura Nº26 en el siguiente dibujo, ¿a qué distancia está el barco de la costa? ¿y el observador del barco?

Figura N°26

9- Una trepadora de la plaza, cuya forma se muestra en la Figura Nº 27, tiene roto el anteúltimo

escalón.

Si la altura es de 2,40 m y el primer escalón por el cual se sube mide 105 cm, ¿cuántos mide el escalón roto? (Los escalones están todos a la misma distancia.)

Figura N°27

10- Consideren los triángulos de la Figura Nº 28 en la que

se cumple que // . Selecciona la expresión correcta:

a) =

b)

c)

Figura N° 28

d) Todas las afirmaciones anteriores son falsas.

11- Observa la Figura Nº 29 y selecciona la expresión correcta.


11

Figura Nº 29

12- Consideren la Figura Nº 30 Seleccionen la respuesta correcta

a)

b)

c)

d) Todas las afirmaciones son incorrectas.

13- En esta Figura Nº 31, los triángulos IJK y MKL son semejantes. no es paralelo a . Si , ¿cuánto mide el perímetro de IJK?

Figura Nº 31

Figura Nº 30

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