renaissance der ortskurven - algebraische kurven mit dgs in klasse 8 ein beitrag zur sinngebung von...
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Renaissance der Ortskurven - Algebraische Kurven mit DGS in Klasse 8Ein Beitrag zur Sinngebung von Termen mit Ausblickauf die Mathematik der Oberstufe.
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum / Universität Lüneburg
www.doerte-haftendorn.de www.johanneum-lueneburg.de
MNU Bremerhaven 19. Nov. 2001T3-Tagung Wetzlar 21. September 2002
MNU Hannover 25. September 2002
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum / Universität Lüneburg, www.doerte-haftendorn.de
Renaissance der Ortskurven - Algebraische Kurven mit DGS, Klasse 8
Sinn ? 2 2 2 2 2( )( )x y y a k y ?
2 2 2 2 2( )( 1) 3x y y y
Sinngebung! !
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Renaissance der Ortskurven - Algebraische Kurven mit DGS, Klasse 8
Weg:
? 2 2 2 2 2( )( )x y x a k x ?
2 2 2 2 2( )( 1) 3x y x x
Sinngebung! !
geometrisches Handeln
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve
Handeln
Beobachten
Geometrisch
erfassen
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Realisierenim DGS
Ortskurve erzeugen
Zeichnen
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Die Hundekurve gibt es in drei
Typen Die Form hängt von der Leinenenlänge
im Vergleich zur Baumentfernung
ab.
Einflussgrößen
verändernHandeln, sehen,
systematisieren
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Beschreibung durch eine Gleichung
2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Beschreibung durch eine Gleichung
2 2 2 2 2( ) ( )x y y a k y
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Deutung der Elemente der Gleichung
2 2 2 2( ) ( 1) 4x y y y
2 2 2 2(0 3 )(3 1) 4 3 S(0/3) erzeugt eine wahre
Aussage.Aber was ist das?!?!?Oben ist ein weiterer
Bogen?!?!?
2 2 2 2( 1 )(1 1) 4 1x Mit y=1 lässt sich keine wahre Aussage erzeugen. y=a ist offenbar die Straße.
Warum haben wir das vorher nicht
gefunden?Hat es einen Sinn?
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des Nikomedes
Der Leinen-Kreis schneidet zweimal
die Gerade BQ.
Handeln, sehen,
systematisierenDer
furchtsame Fiffi hat auch seinen Weg.
Punto strebt zum Baum,
Fiffi ist furchtsam.
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Einführungsbeispiel: Die Hundekurve, Konchoide des NikomedesKonchoiden-Zirkel Nikomedes
(200 v. Chr.)
Nikomedes kannte nur diesen Ast der Konchoide.
Er nannte die Kurve Muschellinie = Konchoide.
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Allgemeine Kreis-Konchoiden
VerallgemeinerungMit einer Kreisstraße ergeben sich:
Die Straße, auf der Quo Vadis geht,
kann jede beliebige Kurve sein.
• Kardioide• Pascalsche Schnecken
• und andere Exoten
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Pascalsche Schnecken als Kreis-Konchoiden
Pascalsche Schnecke Kreis-Straße,Baum auf dem Kreis
2 2 2 2 2 2( ) ( ) 0k x y x y a x Benannt nach Etienne Pascal (um 1620), dem Vater von Blaise Pascal (um 1650)
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Allgemeine Konchoiden
VerallgemeinerungParabel-Straße
Die Straße, auf der Quo Vadis geht,
kann jede beliebige Kurve sein.Kosinus-
Straße
Ausblick auf die Möglichkeiten der Mathematik mit CAS in
späteren Schuljahren
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Gliederung
Die Konchoidenals Beispiel, was eine Familie algebraischer Kurven in Klasse 8 bieten kann
Sie sahen:
• Voraussetzungen
• Der Unterrichtsgang
• Weitere Kurven und Vertiefungen
• Die Klassenarbeit
• Ziele und Evaluation
• CD, Literatur und Internetquellen
Es folgen:
Bild: Angelika Lodwig Kl. 8FL
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Voraussetzungen
• Voraussetzungen– Bekanntschaft mit dem DGS in Klasse 7
– Termbegriff, Wert eines Terms nach dem Einsetzen
– Deutung gewisser Gleichungen im Koodinatensystem, zumindest im linearen Fall
– Bekanntschaft mit Derive oder Excel für die Unterstützung beim Graphenzeichnen ist sinnvoll
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Unterrichtesgang
• Der Unterrichtsgang– Handeln, (Seil,
Gelenkstangen,...) Geometrisch umsetzen
• Konchoide,
• Gärtner-Ellipse
• rutschende Leiter-Ellipse
• evt. weitere z.B. nach Konstruktionsbeschreibungen
– Gleichungen, mit CAS, variieren, den Kurven Zuordnen, experimentieren
– In Gruppen an weiteren Kurven beide Arten
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Gleichungen
• Aufgabe– Gebt die Gleichungen in
Derive ein.
– Setzt für alle Platzhalter außer x und y Zahlen ein
– zeichnet die Kurven
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Gleichungen Kurven notieren
• Weitere Aufgabe– Macht Euch Notizen, wie
die Kurven aussehen
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Gleichungen Kurven notieren
• Weitere Aufgabe– Macht Euch Notizen, wie
die Kurven aussehen
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Gleichungen Form Variieren
• Weitere Aufgabe– Variiert die „Form-
Platzhalter“
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Gleichungen Experimentieren
• Weitere Aufgabe– Experimentiert
selbst mit solchen Gleichungen
9 8 99x y
Die Hypellipse
Neu in der Welt:
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Klassenarbeit
• Klassenarbeit– Kurven im Rastersystemen
• Ellipse, Hyperbel, Parabel
• Kissoide, Strophoide, Versiera
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
F1
F2
-6 -4 -2 2 4 6
1
2
3
4
5
6
7
8
Q
M
B
P 8 solche Raster auf Arbeitsblättern
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Klassenarbeit
• Klassenarbeit– Kurven im Rastersystemen– Konstruktion nach einer
Konstruktionsbeschreibung
– einzelne überschaubare geometrische Überlegungen, z.B. an einer variierten geometrischen Vorgehensweise
– Begründete Auswahl einer Gleichung zu graphisch gegebener Kurve
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Ziele
Ein Termumformung ist sicher falsch, wenn der zugehörige Graph anders aussieht.
• Freude an der Mathematik
• Freude am eigenen Tun
• Sinngebung für Terme und Gleichungen
• Gefühl für die Wirkung von „winzigen“ Veränderungen
ZieleDie Ästhetik in der Mathematik wird von uns sträflich !!!!!!vernachlässigt!
• Kriterium für „nicht erlaubte Termumformung“
• Einbettung des Funktionsbegriffs in das Konzept der Relationen
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Evaluation aus Schülersicht
• Bemerkungen eines Schülers:Evaluation
Als wir dann am Ende der 8. Klasse doch noch zu den Geraden kamen, war es sehr einfach, denn eine Gerade ist ja der simpelste Fall einer Kurve.
....Mathematikunterricht noch nie solch einen Spaß gemacht. Wir hätten auch gern noch weitergemacht,doch sind Schuljahre oft kürzer als man denkt..
4 Jahre später:Für mich waren das, was sonst so in Mathe kam, in den folgenden Jahren nicht nur Formeln und irgendwelche Punkte auf dem Papier.
.....ganz anderer Blick auf MatheJohannes Härke [Abi 2003]
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Evaluation aus Lehrersicht
• Was ist das Termgeturne denn wert, wenn es weder beherrscht noch verstanden wird?
• Schon allein die Freude der Kinder an wahrhaft mathematischen Tun ist Grund genug!!!!!!!!!!!!
• Anwendungen aus dem „Leben“ sind schön und auch in diesem Thema vielfältig möglich.
• Wir stellen doch die Brille her, mit der die Kinder -und damit unsere Gesellschaft- die Mathematik sehen!
Evaluation aus Lehrersicht
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum / Universität Lüneburg, www.doerte-haftendorn.de
Fazit
• Wir gehen auf Entdeckungsreisen in ein mathematisches Land, das in unserer eigenen Schul- und Studienzeit kaum mehr betreten wurde und nehmen unsere Schüler mit.
• Wir erproben die heute verfügbaren „Gefährte“ für lange nicht befahrene Wege.
• Wir besinnen uns auf zentrale und allgemeinbildende Ziele des Mathematik-
Unterrichts.
Fazit:
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CD, Literatur, Hilfen
• Im Internet -und auf CD für Sie- habe ich – das Projekt Algebraische Kurven Kl 8 von 1998
mit Konstruktionsbeschreibungen, Bildern Geschichte, Anwendungen und Gleichungen, Literatur und Didaktischen Überlegungen.
– 12 schöne Arbeitsblätter, die Sie im Wokshop bekommen, (auch auf der CD)
– Einen großen Ergänzungsbereich Analytische Geometrie mit Bildern, Hinweisen und interaktiven Dateien in Euklid, Z.u.L. und Cinderella
– Viele weitere Hinweise und Hilfen zur Geometrie, zu Programmen, zu
vielen weiteren mathematischen Themen, insgesamt 300 mathematische Html-Dateien
• www.doerte-haftendorn.de• www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Wie erfahren Sie weiteres?
Kommen Sie in den Workshop!
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CD, Literatur, Hilfen
• CD 5 € (alles drauf)• 12 Seiten Arbeitsblätter
(workshop-Teilnehmer frei) 1 €• www.doerte-haftendorn.de• www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt
Viele Freude!
Literatur:
Thomas Weth: Zum Verständnis des Kurvenbegriffs im MU
Hans Schupp: Höhere Kurven, Hans Schupp: Kegelschnitte,
diverse einzelne Anregungen aus den Heften und Vorträgen