relatorio final wel

7/21/2019 Relatorio Final Wel

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ESTUDOS TERICOS EM PROGRAMAO GEOMTRICA E APLICAES

Wellington Marques de Souza1 & Rbia Mara de Oliveira Santos2

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Aluno do Curso de Engenharia Eltrica da UFMS, bolsista de Iniciao Cientfica CNPqPIBIC 20132Professora da UFMS, Instituto de Matemtica; e-mail: [email protected]

Resumo: Este plano de trabalho de iniciao cientfica foca o estudo terico do Problema

Clssico de Programao Geomtrica Posinomial (PGP) e Signomial (PGS) e suas aplicaes.

A Programao Geomtrica surgiu para resolver problemas algbricos de programao no-

linear nos quais as funes envolvidas apresentam-se na forma posinomial. Um posinmio

uma soma de monmio. Cada monmio o produto de uma constante positiva pelo produto

de variveis positivas, sendo que cada varivel pode ser elevada a uma potncia real. A

motivao para o desenvolvimento deste projeto se d pela importncia que os problemas

geomtricos signomiais exercem nas reas de cincias exatas, tais como matemtica,

engenharias e cincia da computao. A partir de estudos e investigaes j realizadas no

mbito do projeto Mtodo de Otimizao Global Aplicado ao Problema Geomtrico

Signomial, foi observado que determinados problemas na rea de cincias exatas so

resolvidos com as caractersticas especficas do PGS.

Palavras-chave: modelagem matemtica - programao geomtrica posinomial - programao geomtrica

signomial

INTRODUO

A Otimizao Global uma especializao dentro da rea de otimizao dedicada

caracterizao e obteno de mnimos (ou mximos) globais de problemas no-lineares.

Encontram inmeras e importantes aplicaes em problemas de economia de escala, de

alocao e localizao, de transporte e em diversos projetos de engenharia. Do ponto de vista

computacional, problemas de otimizao global pertencem classe dos problemas NP-

Completos, que so problemas em que o tempo computacional necessrio para resolv-los

cresce, exponencialmente em funo do tamanho da entrada de dados para todo mtodo

conhecido. A Programao Geomtrica(PG) surgiu para resolver problemas algbricos de

Programao No-Linear nos quais as funes envolvidas apresentam-se na forma

posinomial. Um posinmio uma soma de monmios. Cada monmio o produto de uma

constante positiva pelo produto de variveis positivas, sendo que cada varivel pode ser


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elevada a uma potncia real. O termo Programao Geomtrica foi adotado devido relao

existente entre as mdias geomtrica e aritmtica de n nmeros positivos, conhecida como

Programao Geomtrica Posinomial. Problemas de Programao Geomtrica

Generalizada (PGG), tambm chamada de Programao Geomtrica Signomial(PGS), so

caracterizados por funes objetivos e restries descritas como a diferena de dois

posinmios. Os PGS's contm um ou mais monmios com coeficientes negativos. A

motivao para o desenvolvimento deste Projeto de Iniciao Cientfica se d pela

importncia que os problemas geomtricos signomiais exercem nas reas de cincias exatas,

tais como matemtica, engenharias e cincias da computao.

Problemas geomtricos posinomiais so resolvidos analiticamente via Dualidade.

Vrios mtodos numricos para obter solues de problemas geomtricos vm sendo

desenvolvidos desde a dcada de 1970. Grande parte desses mtodos baseada na soluo de

uma sequncia de problemas lineares. No primeiro Mtodo de Pontos Interiores para

programao geomtrica foi estabelecida a complexidade em tempo polinomial para o

mtodo.

Uma propriedade importante da programao geomtrica que quando o problema

primal tem a forma posinomial, este admite uma Reformulao Convexa, e a soluo global

pode ser encontrada resolvendo-se o dual associado, o qual exibe uma estrutura muito mais

simples. Condensao um mtodo clssico utilizado para resolver problemas signomiais. A

idia bsica da condensao aproximar um posinmio (soma de monmios) por um nico

monmio. Para tanto, exige-se um conhecimento de disciplinas como Clculo Diferencial e

Integral, lgebra Linear, Clculo Avanado e Anlise Funcional. A modelagem dos

problemas de P.G. no envolve o conhecimento dos mtodos de resoluo dos problemas.

MATERIAL E MTODOS

1. Fundamentao Terica

Comearemos nosso estudo com algumas definies e resultados importantes.

Definio 1|: Sejam variveis reais positivas e um vetor comcomponentes Toda funo da forma: com

e

chamada de funo monomial. Informalmente, chamaremos f de

monmio.Definio 2|: Um posinmio uma soma de monmios. Ou seja:


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com

(1)Definio 3|: Um problema de Programao Geomtrica (PG) representado por: com k> 0 e kj, j = 1,2,...,n, so nmeros reais. A funo objetivo e as restries so escritas

como

(2)

O conjunto J0 descreve os monmios da funo objetivo e os conjuntos Ji, onde i re-

presenta uma restrio do problema, descrevem os monmios das restries com Ji Jj= para i j. Os nmeros P, p e n representam, respectivamente, o nmero total de termos doproblema, o nmero total de restries e o nmero de variveis.

Exemplos:

1) Monmios (e tambm posinmios):

2)

Posinmios:

3) No so posinmios:


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4) Problemas de Programao Geomrica:

Problema 1:

Problema 2: Geralmente, problemas de programao geomtrica no so problemas convexos.

Entretanto, possvel transformar problemas de P.G. em problemas convexos por meio de

mudanas de variveis apresentadas a seguir. Essa mudana baseia-se nos conceitos de

Dualidade Lagrangeana.

Em vez de usarmos as variveis originais, usaremos o seu logaritmo natural, ou seja: (ou ainda ). Assim, em vez de minimizar a funo objetivo f cujasrestries so gi, minimizamos log f com restries log gi. Vale a pena ressaltar as

propriedades monotnicas da funo logartmica (el estritamente crescente) e as constantes

so todas positivas. Obtemos, ento, o Problema Geomtrico Equivalente (P.G.E.): com

(3)

O P.G.E. no tem aspecto muito diferente do P.G. original. A sua aparncia no

muito amigvel num primeiro momento. Porm, diferentemente do problema original, a

verso P.G.E. pode ser resolvida de um modo eficiente visto que ele convexo. interessante

entender o que significa um problema assumir a forma convexa (Boyd et.al,2007). Vamos ver

o que acontece com as restries olhando para a igualdade .


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Suponha que g(x) seja um monmio: Aplicando a transformao logartmica descrita acima, teremos

= .Como g(x) = 1, teremos = 0 = Todas as restries de igualdade devem ser lineares em um problema de otimizao

convexa. Vejamos, agora, como o tratamento das inequaes posinomiais. Se for umposinmio, aps da mudana de variveis logartmica como em (3), teremos: G(y) uma funo convexa, o que significa que para qualquer

,

e

com

teremos: . (4)A expresso fornece a mdia aritmtica ponderada entre e .

Voltando s variveis originais, teremos: e

Sendo assim, pela inequao (4) (lembrar que a funo crescente):( ) (5)A expresso a mdia geomtrica (ponderada) dos nmeros e .

Podemos entender o vetor ( )como a mdia geomtrica entre e .Assim, ao olharmos para a inequao (5), percebemos que a imagem da mdia geomtrica

entre dois pontos menor que a mdia geomtrica entre as imagens dos mesmos pontos. Essa

uma das propriedades dos posinmios.A modelagem dos problemas de P.G. no envolve o conhecimento de tcnicas de

soluo. Para a modelagem matemtica, a soluo de problemas de P.G. funciona como uma

caixa preta. Basta que o problema esteja sob o formato de P.G. e automaticamente ele est

resolvido. Todavia, deveras importante saber como se d o tratamento matemtico dos

mtodos de soluo. Uma das ferramentas usadas baseada na tcnica dos Multiplicadores

Lagrangeanos, que consiste, basicamente, em adicionar variveis ao problema a fim de

fornecer uma condio necessria para a soluo do problema original.


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Maximizar uma funo equivalente a encontrar o mximo de seu lagrangeano. Ou

seja, tomando o lagrangeano da funo objetivo, encontramos o dual lagrangeano do

problema, que dado por

DL : Maximizar

com A, funo Lagrangeana dada por (6)Dado u 0, o mnimo do Lagrangeano encontrado quando Assim

sendo, o dual lagrangeano equivalente a

Maximizar

(7)

Calculando o gradiente da funo Lagrangeana:

Agora, aplica-se a segunda transformao de variveis. Para isso, definimos da seguinte maneira: Note que a varively desapareceu do problema por uma convenincia de notao, mas

fica claro que as funes

dependem dey. Contudo, queremos tratar

como um

conjunto de variveis. O dual lagrangeano pode ser reescrito em funo das variveis ( ),eliminando-se a varivel y do problema. Aps a mudana de variveis, encontramos, a partirdas equaes (3), as seguintes restries:

(8)Essas equaes so denominadas restries de normalizao. Utilizando as equaes

dadas em (3) e em (6), teremos:


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Encontramos, ento, as restries de ortogonalidade. Essas restries ressaltam a

importncia dessa transformao para o mtodo, uma vez que a eliminao da varivel y se

torna clara. Faremos uma simplificao da funo objetivo (o dual lagrangeano). Observe:

[] [] [] []

[ ] [ ] Da mesma maneira, podemos escrever:

[ ] Aqui percebemos a independncia do problema em relao varivel y.Pela equao

(4), utilizando as duas relaes anteriores, obtemos oProblema Geomtrico Dual Equivalente

(PGDE):


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[ ]

Esse problema, embora parea mais complexo que o original, convexo devido

funo objetivo ser uma funo cncava e as restries serem todas lineares. No momento emque a soluo tima do problema PGDE encontrada, torna-se simples encontrar a soluo

tima para o problema original. A Otimizao Convexa possui uma propriedade muito

importante: o timo Global sempre atingido. Os mtodos computacionais so relativamente

velozes.

Os programas para otimizao convexa so muito eficientes. Atualmente, um

problema de otimizao convexa pode envolver centenas de variveis e milhares de restries

e mesmo assim pode ser resolvido em questo de segundos por algoritmos modernos. Muitosproblemas de Engenharia podem ser modelados como problemas de Programao Geomtrica

e a soluo tima encontrada em segundos.

A teoria de Programao Geomtrica Posinomial admite vrias generalizaes, das

quais discutiremos duas (B oyd et.al,2007):

Alteramos a estrutura de uma funo posinomial, que continuar sendo positiva

(Posinmio Generalizado);

Alteramos o sinal das constantes que acompanham os monmios (Problemas deProgramao Geomtrica Signomial).

2. Generalizao de Posinmios

Nessa seo, faremos uma generalizao do conceito de posinmios. Antes disso,

considere posinmios. A restrio uma inequao posinomial,visto que posinmios elevados a nmeros naturais resultam em posinmios. Entretanto, no

podemos utilizar o mesmo raciocnio para olhar para a restrio , uma


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vez que os expoentes so racionais. Ou seja, a funo do lado direito no posinomial.

Felizmente, problemas matemticos cujas funo objetivo e/ou restries aparecem nesse

formato podem ser convertidos em problemas de P.G. utilizando uma mudana de

variveis. Vejamos outro exemplo:

com variveis Este problema no de P.G. Entretanto, inserindo a transformao devariveis:

obtemos um problema equivalente:

que um problema de P.G. nas variveis reais e positivas Essa mesma idiapode ser generalizada. Se uma funo posinomial de kvariveis, com expoentes racionaisno-negativos, e so posinmios, a inequao

pode ser manipulada pela seguinte mudana:

onde so as novas variveis (alm das variveis originais ).Existem determinados problemas nos quais existe um conjunto de funes objetivo

que precisam ser maximizadas (ou minimizadas) em conjunto para se encontrar o mximo (ou

mnimo) ideal para o problema. Tome o seguinte exemplo: uma barra metlica, composta por

segmentos metlicos de diferentes materiais submetida a uma variao de temperatura. Cada

segmento metlico possui uma diferente distribuio de temperatura (os coeficientes de calor

sensvel so diferentes). Para que eu encontre o segmento que, em um dado momento, tem amaior temperatura, necessrio encontrar o mximo de cada funo de temperatura. Dentre


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os valores obtidos, se escolhe o maior deles. Ou seja, se as distribuies de temperatura so

dadas por , o problema consiste em maximizar Considere, agora, umoutro exemplo:

Esse problema no de P.G. Porm, obter um problema de P.G. fazendo: Obtemos, ento, um problema de P.G.

Essa mesma idia pode ser aplicada ao para inserindo novasinequaes. Finalmente, chegamos ao conceito de posinmio generalizado.Definio 4|: Chamaremos de posinmio generalizado a qualquer funo f que foi

obtida por meio de exponenciao racional e mximo (ou mnimo) a partir de posinmios.

Isto , { }onde

so nmeros racionais e fnso posinmios , n=1,..,q.

Qualquer problema cujas restries e funo objetivo forem posinmios generalizados

podem ser transformados em problemas de P.G. De agora em diante, no faremos mais a

distino entre os posinmios e a sua generalizao. Todos eles sero denominados problemas

de P.G.

3. Programao Geomtrica Signomial

Os problemas de Programao Geomtrica Signomial (P.G.S), como j foi ditoanteriormente, so caracterizados por funes objetivos e restries descritas como a


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diferena de dois posinmios. Os P.G.S.'s contm um ou mais monmios com coeficientes

negativos. Sendo assim, o problema P.G.S. pode ser formulado como:

onde so funes posinomiais de varivel , com indicandoa parcela da funo objetivo que recebeu constante(s) positiva(s) e a parcela que recebeuconstante(s) negativa(s). Os problemas de P.G.S. no so convexos em sua maioria. A

mudana de variveis transforma a funo objetivo e as restrices em diferenade funes convexas. As aplicaes s englobaro problemas de P.G. cujas funes

envolvidas so posinmios e/ou posinmios generalizados.

RESULTADOS E DISCUSSO

Veremos aqui algumas aplicaes do modelo de programao geomtrica. Dentre eles,

temos os problemas de dimensionamento das trilhas de interligao num circuito integrado e

de design de trelias. Esses problemas exemplificam as aplicaes em diversas reas da

engenharia.

1. Dimensionamento das trilhas de redes de interligao num circuito integrado

Considere o problema de determinar as larguras 1 ,..., n dos n segmentos numa rede de

interligao num circuito integrado. A rede de interligao forma uma rvore cujas razes so

acionadas pelo sinal de entrada (que ser distribudo), que modelado como uma fonte de

tenso em srio com uma resistncia. Cada segmento de fio tem uma dada carga capacitiva Ci

conectado a ele. A Figura (1) mostra um exemplo de rede de interconexo.


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Figura (1)Rede de Interconexo

Cada segmento (1, 2, 3, 4 e 5) ser representado por seu modelo simplificado (duas

capacitncias em paralelo e a resistncia em srie). As resistncias e capacitncias dos

segmentos so dadas por onde lirepresenta o comprimento, ia largura (varivel de projeto) e i, ie iso constantes

positivas que dependem de propriedades fsicas da camada do segmento do fio.

Substituindo cada segmento por seu modelo simplificado, a rede de interconexo

torna-se uma rvore resistor-capacitor. Cada ramo possui uma resistncia associada. Cada n

tem vrias capacitncias ligadas terra: a capacitncia de carga, a capacitncia fornecida pelo

segmento montante (antes do n) e jusante (depois do n). As capacitncias de cada n sosomadas (esto em paralelo). As Figuras (2) e (3) mostram o modelo do segmento (real e o

modelo ) e o circuito equivalente:

Figura (2): Segmento. Figura (3) Circuito Equivalente.

Assim sendo,

;


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Quando a fonte de tenso alterna entre um valor e outro, existe um atraso na tenso em

cada capacitor antes que o valor convirja para o novo valor. Usaremos o chamado atraso de

Elmore (Elmore Delay) para medir esse atraso. Para o circuito RC, o atraso de Elmore dado

por:

onde os resistores so tomados a montante dos capacitores com ndice k e i.

O atraso de Elmore uma soma de produtos dos e s e, portanto, constituiumafuno posinomial cujas variveis so os compimentos dos segmentos de interconexo. O

atraso crtico da rede de interconexo o maior dos atrasos da cada capacitor. Assim sendo,

Esse mximo sempre ocorre nas folhas (extremidades) da rvore. Como exemplo,observe o atraso Elmore para os capacitores 3 e 5 (as folhas):

Para essa rede de interconexo, o atraso crtico dado

por Formulamos matematicamente o Problema de Dimensionamento de Largura para

Redes de Interconexo:

Essa ltima condio diz respeito rea mxima que os segmentos podem ocupardentro do circuito.

2. Dimensionamento de uma caixa retangular

O problema consiste em determinar quais as dimenses de uma caixa retangular que

tm mximo volume, levando em considerao algumas restries de design. Seja ha altura,

wa largura e d o comprimento da caixa. Dependendo da finalidade da caixa, a rea lateral, a


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rea da face inferior e a razo entre altura/largura e largura/comprimento so limitadas por

constantes. Nessas condies, o problema de encontrar o mximo volume dado por:

com indicando, respectivamente, a rea lateral mxima e a rea da faceinferior mxima permitida e

so constantes reais pr-determinadas. As Figuras (4)

e (5) ajudam na visualizao do problema:

Figura (4): Caixa Planificada Figura (5): Caixa Retangular

3. Controle de Potncia em Sistemas de Comunicao

Vrios problemas envolvendo controle de potncia em sistemas de comunicao

podem ser vistos como problemas de P.G. Estudaremos o mais simples dos problemas. Sejam

n transmissores que transmitem os nveis de potncia (positiva) , que sero asvariveis do nosso problema. Como temos transmissores, precisamos de receptores. Apotncia recebida pelo receptor i fornecida pelo transmissorj dada por

O fator , que positivo, representa o ganho de sinal entre o receptor i e otransmissorj. A potncia do sinal do receptor i e a interferncia dada por .Existe um rudo que provm da fontes alheias ao problema, o chamado rudo branco, que ser


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identificado por . A taxa de interferncia e rudo de sinal SINR (do ingls Signal toInterference and Noise Ratio) definida como

A SINRno pode estar abaixo de um determinado valor, porque isso retrata a inviabilidade

em se transmitir o sinal e a complexidade de um sistema de filtragem. Os transmissores e

receptores possuem uma faixa de potncia em que podem operar normalmente. Minimizando

a soma das potncias sujeito a essas restries, temos o problema:

Entretanto, perceba que esse problema no de P.G., visto que no umposinmio. Porm, ao transformarmos a restrio tomando o inverso da SINR, obtemos um

problema de P.G.:

Podemos generalizar esse modelo. A potncia do sinal de interferncia pode ser

tomado como uma funo posinomial das potncias. As interferncias sofrem contribuies

de produtos de intermodulao criados pelas no-linearidades nos receptores tipicamente

dimensionados como funes polinmiais das potncias.

4. Design de trelias

Vamos apresentar um problema simples de design mecnico. A Figura (6) mostra 2

barras de altura 2h e comprimento . As duas barras tm o formato de um tubo cilndrico deraio interno re raio externo R (Figura (7)). Estamos interessados em determinar os valores que minimizam a massa da trelia, que limitada por alguns parmetros.


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Figura (6): Disposio espacial das trelias Figura (7): Corte transversal de uma Trelia

A rea da seo transversal dada por: e a massa da trelia proporcional ao volume total da barra, que dado por

Essa a funo a ser minimizada no problema de design. Vamos discutir alguns conceitos

fsicos que delimitam as restries.

A estrutura deve ser forte o suficiente para duas situaes. A primeira diz respeito

projeo vertical da fora aplicada ao n . A segunda diz respeito projeo horizontal dafora aplicada no n .

Suponha, com base no esquema a seguir, que o esforo causado por

determina

foras (mesma intensidade , direo e sentido indicados pela direo da seta) nas treliascomo na Figura (8):

Figura (8): Esquema de Foras

Sabemos, pelas leis da fsica, que


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Aplicamos o mesmo raciocnio para o segundo caso. Suponha que o esforo causado

por determina foras (mesma intensidade , direo e sentido indicados pela direo daseta) nas trelias na Figura (9):

Figura (9): Esquema de ForasPelas leis da fsica, temos que:

Segundo um princpio de Resistncia dos Materiais, a fora aplicada a uma

determinada estrutura tem que ser menor que um mltiplo real da rea da seo transversal.

Isto : Sabe-se, tambm, que as dimenses das trelias so escolhidas num intervalo

definido pelo construtor ou pelos responsveis pela fabricao. Utilizando as relaes

anteriores, podemos dizer que:

O Problema de Designde trelias definido como:


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Como no um monmio, no temos um problema de P.G. (umavez que

no um posinmio generalizado). Entretanto, por

meio de uma transformao de variveis, podemos transform-lo em um um problema de P.G.

A transformao consiste em utilizarcomo varivel da seguinte maneira:

Finalmente, o problema de Design de Trelias em formato de problema de P.G. dado por:


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CONCLUSES

Essa pesquisa cientfica apresentou um estudo terico dos conceitos clssicos de

Programao Geomtrica e suas aplicaes. As aplicaes apresentadas exemplificam

problemas encontrados com certa frequncia em reas do conhecimento que possuem um elo

com as cincias exatas. A proposta era estudar a modelagem em si e suas ferramentas.

Entretanto, esses problemas podem ser resolvidos analiticamente e/ou computacionalmente.

Futuramente, como um novo trabalho cientfico, sero apresentadas solues para alguns dos

problemas.

REFERNCIAS

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- BAZARAA, M. S.; SHERALI, Hanif D.; SHETTY, C. M. Nonlinear programming: theory

and algorithms. 3. ed. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2006.

- BOYD, S. P., Kim, S. J., VANDERBERGHE, L., HASSIBI, A. A Tutorial on Geometric

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- TAVARES, L. Valadares; CORREA, F. Nunes. Optimizao linear e no linear: conceitos,

mtodos e algoritmos. 2. ed. Lisboa: Fundao Calouste Gulbenkian, 1999.


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PRODUTOS ALCANADOS

Parte do embasamento terico e aplicaes sero utilizados no Trabalho de Concluso

de Curso do Acadmico. Participao no XIV ENCONTRO DE INICIAO CIENTFICA

DA UFMS.

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