relações métricas nos triângulos - campus sertão · para se calcular a altura de uma torre,...
TRANSCRIPT
Relações Métricas nos
TriângulosDimas Crescencio
Trigonometria
A palavra trigonometria é de origem grega,
onde:
Trigonos = Triângulo
Metrein = Mensuração
- Relação entre ângulos e distâncias;
- Origem na resolução de problemas práticos
relacionados principalmente à Navegação e à
Astronomia.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
Triângulos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3
Triângulo é uma figura geométricaformada por três retas que seencontram duas a duas e não passampelo mesmo ponto, formando trêslados e três ângulos. Esses ângulos,tradicionalmente, são medidos numaunidade de medida, denominada graue, cada um deles tem medida entre 0°e 180°. Neste caso, com base notriângulo ao lado, afirma-se:
A
C
B
α
β
σ
α + β + σ = 180°
Classificação dos Triângulos
Quanto aos tamanhos dos lados:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
EquiláteroLados com mesmo
comprimento
Isósceles2 lados iguais
EscalenoLados com
comprimentos
diferentes
Classificação dos Triângulos
Quanto a medida dos ângulos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
Acutânguloângulos < 90°
Obtusângulo1 ângulo obtuso
(entre 90º e 180º)
.
Retângulo1 ângulo com 90°
Triângulo Retângulo
Razões Trigonométricas no Triângulo
Retângulo
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6
𝑩𝑪 é a hipotenusa
𝑨𝑩 e 𝑨𝑪 são os catetos
A
C
B
Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Tangente de um ângulo
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
A
B
C
A’ B’ C’O
α
Considere a figura em que oângulo α mede aproximadamente26,5°. As medidas dos segmentosassinalados, em centímetros, são:OA’ = 3; OB’ = 5; OC’ = 8; AA’ =1,5; BB’ = 2,5 e CC’ = 4.Substituindo valores, podemosafirmar que as seguintes razõessão iguais:
𝑨𝑨′
𝑶𝑨′=𝑩𝑩′
𝑶𝑩′=𝑪𝑪′
𝑶𝑪′= 𝒌 = 𝟎, 𝟓
Tangente de um ângulo
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9
A
B
C
A’ B’ C’O
β
Uma outra figura em que o ângulo β
mede 63,5° e: OA’ = 3; OB’ = 4; OC’ =
5; AA’ = 6; BB’ = 8 e CC’ = 10. Pelo
fato de os triângulo serem semelhantes:
𝑨𝑨′
𝑶𝑨′=𝑩𝑩′
𝑶𝑩′=𝑪𝑪′
𝑶𝑪′= 𝒄 = 𝟐
Com base no exposto, conclui-seque a medida da razão dos catetosnão depende da escolha de umtriângulo retângulo com ladosmaiores ou menores, mas sim damedida do ângulo (α ou β)
Seno, Cosseno e Tangente
De maneira geral, temos:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10
𝒕𝒈 β =𝒃 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐)
𝒄 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆)
𝒔𝒆𝒏 β =𝒃 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐)
𝒂 (𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂)
𝒄𝒐𝒔 β =𝒄 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆)
𝒂 (𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂)
Ângulos Notáveis
Lembre-se !!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11
30° 45° 60°
Sen1
2
2
2
3
2
Cos3
2
2
2
1
2
Tg3
31 3
Ângulo Notáveis
Música para decorar a fórmula do sen, cos e tg de 30, 45° e 60º:
1, 2 ,3 3, 2, 1
Tudo sobre 2,Você põe a raíz no 3 e no 2, hey!
A tangente é diferente,Vejam só vocês, raiz de 3 sobre 3,
1, e raiz de 3 .
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12
Praticando
Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte
procedimento ilustrado na figura: Um aparelho (de altura
desprezível) foi colocado no solo e emitiu um raio em direção
ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o
raio e o solo foi de α=60°. A seguir, o aparelho foi deslocado
4m em direção a torre, e o ângulo obtido foi de β radianos,
com tg β=3 3. A altura da torre é:
𝑎) 4 3 𝑏) 5 3
𝑐) 6 3 𝑑) 7 3
𝑒) 8 3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13
Praticando
Trabalhando com o triângulo menor:
𝑡𝑔𝛽 =𝑦
𝑥=3 3
1𝑦 = 3𝑥 3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14
Agora, vamos trabalhar com o triangulo maior:
𝑡𝑔60° =𝑦
4 + 𝑥=3𝑥 3
4 + 𝑥3
1=3𝑥 3
4 + 1→ 3. 4 + 𝑥 = 3𝑥 3
2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2
𝑦 = 3𝑥 3 = 6 3
Praticando
(Enem 2008) O tangram é um jogo oriental antigo,
uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete
peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1
paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas
recortando-se um quadrado de acordo com o
esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete
peças, é possível representar uma grande diversidade
de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15
Praticando
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede
2cm, então a área da figura 3, que representa uma
“casinha”, é igual a:
a) 4cm2.
b) 8cm2.
c) 12cm2.
d) 14cm2.
e) 16cm2.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16
PraticandoSolução:
Ao construirmos qualquer figura com as peças do Tangram
todas as áreas serão iguais, portanto para descobrir a área
da casa basta saber a área do hexágono ou a do quadrado.
Perceba que o lado AB do hexágono é igual a metade da
diagonal do quadrado, pois ambos são formados por um
quadrado e um triângulo equilátero. Logo, a diagonal
inteira do quadrado vale o dobro, ou seja, 4cm. Assim,
sabendo-se o valor da diagonal do quadrado, pode-se
obter o valor de seus lados a partir do teorema de
Pitágoras:
𝒂² + 𝒂² = 𝟒²𝟐𝒂² = 𝟏𝟔
𝑳𝒆𝒎𝒃𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆: á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝒂²𝒂² = 𝟖𝒄𝒎²
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17
2cm
a
a
Trigonometria
Identidade Trigonométrica
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS18
𝟐) 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜷 =𝒃
𝒄→ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜷 =
𝒄𝒐𝒔𝜷)
𝒔𝒆𝒏(𝜷)=
𝟏
𝒕𝒈(𝜷)
𝒔𝒆𝒏 𝜷 =𝒄
𝒂𝒄 = 𝒔𝒆𝒏 𝜷 . 𝒂
𝐜𝐨𝐬 𝜷 =𝒃
𝒂𝒃 = 𝐜𝐨𝐬 𝜷 . 𝒂
𝟏) 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 → 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜷 = 𝟏
𝟑) 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =𝒂
𝒃→ 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝜷)
𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝜷 =𝒂
𝒄→ 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝜷)
Lei do Seno
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19
Relação matemática de proporção sobre a medida detriângulos arbitrários em um plano.
Lei do Cosseno
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20
Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras.
Praticando
(Unb – DF) Um observador, situado no ponto A,
distante 30m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo
de 30° conforme a figura abaixo. Baseado nos dados da
figura, determine a altura do edifício em metros e divida
o resultado por 2.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21
h
Praticando
Solução:
DC=?
α= 180° - (75°+60°) = 45°
De acordo com a lei do seno:
𝑥
𝑠𝑒𝑛60°=
30
𝑠𝑒𝑛45°→ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛45° = 30. 𝑠𝑒𝑛60°
𝑥.2
2= 30.
3
2→ 𝑥 = 30.
3
2.
2
2
𝑥 = 30.6
2= 15 6
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22
Praticando
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23
30°
𝟏𝟓 𝟔
𝒉
AC
DDe acordo com as informações obtidas,
Calculamos a tangente de 30°:
𝑡𝑔 30° =ℎ
15 63
3=
ℎ
15. 6→ 3ℎ = 15 18
ℎ = 5 32. 2 = 15. 2𝑚
Dividindo o resultado por 2:
Solução = 15m.
Praticando
Exercício: Um engenheiro deseja construir um túnel que
passará por uma montanha. Como pode ser verificado
na figura abaixo, a distância do ponto onde ele está, até
o local onde será a entrada do túnel é de 80m e até a
saída do túnel é de 100m. Descubra o comprimento do
túnel. Dado, cos 55°= 0,573
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24
Montanha
Entrada
80m
100m
55°Engenheiro
Saída
Praticando
Solução:
De acordo com o dados fornecidos, nota-se que a
questão pode ser resolvida aplicando a lei dos
cosseno:
𝑥 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑡ú𝑛𝑒𝑙
𝑥² = 80² + 100² − 2.80.100. cos 55°𝑥² = 7232
𝑥 = 85,05m
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25
Praticando
(UEM - PR) Considere um paralelogramo
cujos os lados medem 3cm e 5cm e um dos
ângulos mede π/4 radiano. Se d e D são as
medidas das diagonais do paralelogramo,
então D² + d², em centímetros quadrados, é
igual a:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26
Praticando
Solução:
π/4 = 45°
Para calcular o comprimento da diagonal menor,
aplicaremos a lei dos cossenos:
𝑑² = 3² + 5² − 2.3.5. cos 45
𝑑² = 9 + 25 − 302
2𝑑² = 34 − 15 2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27
O cos 135° = - cos 45°
Para calcular o comprimento da diagonal maior, usamos os
mesmos procedimentos:
𝐷² = 3² + 5² − 2.3.5. cos 45
𝐷² = 9 + 25 − 30 −2
2
𝐷² = 34 + 15 2
𝐷² + 𝑑² = 34 + 15 2 + 34 − 15 2 = 68
Praticando
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28
Referência Bibliográfica
DANTE, L. R. Matemática – Volume único. Editora
Ática. 2009.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29