relaciones y funciones
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indice Producto cartesiano Relaciones
o Propiedades de las relaciones o Clausuras de relaciónes o EJERCICIOS: RELACIONES
Funciones o Composición de funciones o Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas o Imagen e imagen inversa de funciones o EJERCICIOS: FUNCIONES
Relaciones de equivalencia y particiones o Particiones o EJERCICIOS: RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Construcción de los números enteros y racionales o Construcción de los números enteros o Construcción de los números racionales
Producto cartesiano
Un par ordenada consta de dos elementos y , donde nos interesa el orden en que
aparecen los objetos. Llamemos a esta pareja. Por ejemplo, , pero
. En esencia nos gustaría que todo par ordenado cumpliera la siguiente propiedad:
si y sólo si [ y ] (dos parejas ordenadas son iguales si y solo sí sus elementos son iguales y aparecen en el mismo orden).
Podríamos definir el par ordenado como el objeto con la propiedad anterior. Pero aún mejor, podríamos invertir los papeles (esto se hace frecuentemente en matemáticas):
dar una definición conjuntista de y mostrar que, así definido, este conjunto cumple la propiedad que queremos. Esto es lo que hacemos a continuación:
Definición 66 (Par ordenado) Dados elementos (o conjuntos!), definimos el par
ordenado así:
es llamado ''el par coma '''', o simplemente `` coma ''.
Por ejemplo, es el conjunto , mientras que es el conjunto
. Note que, por ejemplo, , y por esto concluimos
(como queríamos) que .
Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la pena observar los siguientes hechos conjuntistas (cuya demostración dejamos al lector), que utilizaremos constantemente:
1. si y sólo si no es un singleton (un singleton es, como su nombre se
indica, un conjunto de un elemento. Por ejemplo, es un singleton).
2. si y sólo si .
Teorema 67 (Propiedad del par ordenado) si y sólo si [ y ]
Demostración. [Prueba]
La dirección es inmediata por la definición de par ordenado. Probemos entonces la
otra dirección. Suponga que , esto es,
. Hay 2 casos:
Caso 1: : en este caso
.
Pero esto implica que , lo cual a su vez implica que .
Entonces son el mismo elemento, y en particular podemos concluir y .
Caso 2: : Entonces tiene 2 elementos (¿por que?), lo cual
implica que (siendo el mismo conjunto) tiene 2 elementos. Pero esto
implica (¿por qué?) que . Como , entonces
o . Pero la segunda opción es imposible, luego
, es decir, . Similarmente o ,
pero la primera opción es imposible, así que . Esto implica que
o , pero la primera opción es imposible (pues y ), luego concluimos que .
Dados dos conjuntos y podemos formar el conjunto todas las parejas ordenadas
, donde la primera coordenada ( ) viene de , y la segunda coordenada ( ) viene de . A este conjunto lo llamamos el producto cartesiano de y y lo
notamos así: . Formalmente:
Definición 68 (Producto cartesiano) .
Notación: .
Ejemplo 69 (Ejemplos de producto cartesiano) A continuación unos ejemplos del producto cartesiano:
Si y , entonces
. tiene 2
elementos, tiene 3, y tiene (de ahí la palabra ``producto'' en la definición).
Si , entonces es llamado el plano cartesiano. Las caricaturas y
demás objetos bidimensionales viven en : un círculo no es otra cosa que
cierto subconjunto de (dé un ejemplo). Nosotros, los seres tridimensionales,
vivimos en ( para abreviar).
, sin importar qué conjunto sea (¿por qué?).
Lema 70 (Algunas propiedades del producto cartesiano)
1. .
2. Para conjuntos no vacíos, si y sólo si .
3. Para conjuntos no vacíos, si y sólo si
4. .
5. .
La prueba del anterior lema es dejada como ejercicio.
Así como hemos definido un par ordenado, podemos definir una -tupla ordenada (
natural positivo) como un objeto tal que:
si y sólo si para todo ,
.
La definición de una -tupla es recursiva. Esto es, para definir una tupla recurrimos a
la definición de una -tupla:
Definición 71 Para natural positivo, definimos recursivamente la -tupla
así:
Para , .
Para , .
Para , .
Por ejemplo, . Como el lector se dará
cuenta, toda -tupla ( ) es un par ordenado! En el ejemplo, la -tupla
es el par ordenado cuyas coordenadas son y . Y similarmente, la
-tupla es el par ordenado cuyas coordenadas son y .
Similarmente podemos generalizar el producto cartesiano y definir el producto de
conjuntos así:
Cuando hayamos visto la noción de función veremos cómo podemos definir el producto de infinitos conjuntos.
.
EJERCICIOS:
1. ¿Cómo se comparan los siguientes conjuntos?
1. Vs. .
2. ¿Cómo se compara Vs. .
3. ¿Cómo se compara Vs. .
4. ¿Cómo se compara Vs.
.
5. Vs. .
2. Muestre que .
3. Si tiene elementos y tiene elementos ( naturales), ¿cuántas relaciones de a hay?
Relaciones
En la mayoría de los casos, por simplicidad, hablaremos de relaciones binarias, en donde la relación se da entre dos objetos. Un ejemplo de tal relación (démosle un
nombre, ) es la que ocurre entre personas y libros, en donde una persona y un libro
están '' -relacionados" si y sólo si ha leído el libro . Podemos abreviar la
afirmación '' y están -relacionados" de modo natural, así: . Visualmente esto
sugiere que los objetos y están ligados por la relación . Diremos que es una relación entre los conjuntos y (conjuntos de todos los seres humanos y todos los libros, respectivamente).
Pero lo anterior sugiere que la relación no es un objeto (como y lo son). Sin embargo hay una manera de ``convertir'' a en un objeto, más precisamente en un conjunto!. Lo cual no debe sorprender al lector, pues un conjunto es en muchos casos un objeto que representa ciera información al tener o no ciertos elementos. En nuestro caso, conocer la relación consiste en conocer dos cosas, a saber:
1. Los dos conjuntos entre los cuales es la relación: en este caso, y (seres humanos y libros).
2. La lista de todas las parejas relacionadas por la relación : (Jhon Benavides, El extranjero), (Verónica Mariño, Cien años de soledad), (Julián Castillo, El Quijote), ...
Naturalmente la lista (o conjunto) de todas las parejas relacionadas por la relación por si sóla nos da la información esencial de la relación . Así que convertimos a en objeto, esto es, en conjunto, en el conjunto de parejas relacionadas por la relación que teníamos en mente:
es un ser humano, es un ser humano, y ha leído a
O lo que es igual:
ha leído a
Así las cosas, la afirmación `` '' será una abreviación de `` ''. Una vez
más, el símbolo (y más precisamente, la noción de pertenencia) ayuda a fundamentar y formalizar conceptos en principio nuevos.
Ahora resulta evidente que preguntarse cuáles son todas las posibles relaciones de a equivale a preguntarse cuáles son todos los posibles conjuntos de parejas de la forma
, donde y . Se conluye que el conjunto de todas las relaciones entre
y es !.
Las motivaciones anteriores nos llevan a la definición de relación (binaria):
Definición 72 (Relación) Una relación entre y (conjuntos cualquiera) es un
subconjunto de .
Por conveniencia si es una relación entre y , diremos que es una relación
sobre . Por ende, el conjunto de relaciones sobre es .
Antes de continuar es menester ver algunos ejemplos de relaciones:
Ejemplo 73 Sea la relación descrita mediante el siguiente esquema:
Entonces .
Ejemplo 74 (La relación ser madre de) Sea la relación (entre humanos) ser madre de. Esto es, si y sólo si es madre de . es una relación sobre . Sabemos, por ejemplo, que para todo ,
, pues nadie puede ser su propia madre. Además si , entonces
. Esto ilustra que el concepto de relación no es en general simétrico, de modo que al decir los objetos que se relacionan, importa el orden en que éstos se mencionan. Por supuesto hay muchas relaciones simétricas, como la relación ser hermano.
Ejemplo 75 (La relación )
Sea : existe tal que . Es claro que si y
sólo si si y sólo si , de modo que .
. Otra forma de escribir esta relación es así:
Ejemplo 76 (La relación vacía) Dado que , por definición tenemos que
es una relación, la relación vacía o trivial.Ejemplo 77 (La relación identidad) Dado un conjunto cualquiera, definimos la
relación . En otras palabras, si y sólo si . Note
que .
Ejemplo 78 (La relación )
Dado un conjunto cualquiera, definimos la relación sobre así:
si y sólo si
Es decir,
Observe que está -relacionado con todos los subconjuntos de , y todos los
subconjuntos de están -relacionados con . De modo que, coloquialmente
hablado, la relación posee siempre un piso y un techo.
Ahora definimos las nociones de dominio, imagen y campo de una relación:
Definición 79 Sea una relación de en . Definimos los siguientes conjuntos:
1. El dominio de , .
2. La imagen de , .
3. El campo de , .
Ejemplo 80 Sea .
1. .
2. .
3. .
Es claro que para toda relación , , y , de
modo que toda relación puede verse como un subconjunto de para un conjunto (no necesariamente único). Esto es, podemos definir relación como un subconjunto de
, para un conjunto .
Definición 81 Dada una relación, y un conjunto cualquiera, definimos los siguientes conjuntos:
1. La imagen de bajo , : existe tal que
.
2. La preimagen o imagen inversa de bajo , :
existe tal que .
Ejemplo 82 Sea . Tenemos:
1. ; .
2. . 3. La imagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los impares y la
imagen del conjunto de los impares bajo es el conjunto de los pares. 4. La preimagen del conjunto de los pares bajo es el conjunto de los impares
positivos; la imagen de los enteros negativos es igual al conjunto vacío.
Ejemplo 83 Sea . Tenemos:
1. .
2. .
3. .
4. (en este caso decimos que deja fijo a como conjunto).
5. .
El siguiente lema establece las relaciones básicas entre los conceptos de dominio, imagen, imagen de un conjunto y preimagen de un conjunto:
Teorema 84 Sea una relación, con , . Tenemos:
1. .
2. .
3. .
4. .
Demostración. [Prueba] La prueba se deja como ejercicio.
Dada una relación , definimos su inversa, :
Definición 85 (Relación inversa) Dada una relación, su inversa es la relación
. En otras palabras, si y sólo si .
Por ejemplo, la relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y la relación inversa de la relación hermano es ella misma. La relación inversa de divide es ser múltiplo.
Para antes de seguir leyendo:
1. .
2. .
Aquí hemos introducido un problema notacional: denota, por un lado, la
preimagen de bajo , y por otro lado, pero la imagen de bajo ! El siguiente lema muestra que los dos conjuntos anteriores siempre coinciden, eliminando así cualquier posibilidad de ambigüedad:
Lema 86 Para una relación y un conjunto, La imagen inversa de bajo es
igual a la imagen de bajo .Demostración. [Prueba]Sea la preimagen de bajo , e la imagen de bajo la
relación . Debemos probar que . Para cualquiera se tiene:
La segunda equivalencia vale ya que si y sólo si .
Concluimos que e poseen los mismos elementos, luego .
Propiedades de las relaciones Definición 87 (Propiedades de las relaciones) Sea una relación binaria sobre un conjunto . Diremos que es:
1. Reflexiva sobre si : .
2. Irreflexiva sobre si : .
3. Simétrica si : .
4. Asimétrica si : .
5. Antisimétrica si : .
6. Transitiva si : .
Para antes de seguir leyendo:
1. Recuerde que es una relación sobre . ¿Qué propiedades de las anteriores
cumple ?
2. Recuerde que dado un conjunto no vacío, es una relación sobre .
¿Qué propiedades de las anteriores cumple ?
Un orden parcial sobre es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva
sobre . Si es un orden parcial sobre , definimos como la relación sobre
dada por: si y sólo si y (para ). Diremos que es el
orden parcial estricto sobre asociado a . Note que conjuntistamente
, y es una relación irreflexiva, antisimétrica y transitiva.
EJERCICIOS: RELACIONES
1. Diremos que una relación es completa si existe tal que
. Muestre que si es completa entonces es simétrica y transitiva.
2. Sean relaciones sobre . Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si es verdadera o falsa, dando una demostración o un contraejemplo respectivamente:
1. Si y son reflexivas sobre , entonces también lo es. 2. Si y son simétricas, entonces también lo es.
3. Si y son transitivas, entonces también lo es. 3. Sea una relación sobre .
1. Muestre que es asimétrica si y sólo si .
2. Muestre que es antisimétrica si y sólo si . 3. Concluya que toda relación asimétrica es antisimétrica, y dé un ejemplo
de una relación antisimétrica pero no asimétrica. 4. Una herramienta frecuente y muy importante en matemáticas consiste en
construir una cadena o serie de objetos cada vez más complejos, que compartan cierto conjunto de propiedades, y tomar el ``límite'' de tal cadena, que consistirá en un objeto que conservará varias propiedades de sus ``precursores''. En este ejercicio se construirá una relación como el límite (unión) de ciertas
relaciones , y como se verá, ciertas propiedades de las relaciones que ``aproximan'' a se preservarán en el límite, esto es, también serán propiedades de .
Para cada sea una relación reflexiva, simétrica y transitiva sobre el
conjunto , y suponga que para todo , . Muestre que
es una relación reflexiva, simétrica y transitiva sobre el conjunto
.
5. Para cada sea una relación. Muestre que
. Vale lo mismo si se cambia por ?
6. Dado un conjunto y , sea
( ).
1. ¿Qué conjunto es ? ¿e ?
2. Muestre que si , entonces .
3. Dados , ¿cómo se comparan y ?
4. Dados , ¿cómo se comparan y ?
Funciones Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto, de modo que elemento del primer conjunto se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Visto de otro modo, una función es una
máquina que transforma elementos en otros elementos, y cada elemento puede transformarse en un único elemento.
Definición 93 (Función) Una función es una relación que cumple la siguiente
propiedad: si , entonces . En otras palabras, para cada
existe un único tal que .
Ejemplo 94 (La función identidad) Dado un conjunto, es una función, pues si
, entonces y , luego . Así, la relación identidad es también una función.
La relación divide no es una función pues un entero puede dividir más de un
número. Por ejemplo, y , pero . La relación ``madre'' es función, pues todo ser humano tiene una única madre.
Dada una función y un elemento de su dominio, llamaremos a el único tal
que . Por lo tanto, las proposiciones , y son
equivalentes. Note que al utilizar la expresión se asume implícitamente que
. El lector debe ser cuidadoso con esta sutileza. Concluimos que si
es una función, entonces .
La expresión significará lo siguiente: es una función, e
. Una manera común de definir una función es especificar su dominio
y dar una definición para , dado . Por ejemplo:
Ejemplo 95 Sea la siguiente función: su dominio es , y dado ,
. Por ejemplo , , etc. Note que para todo
, , luego podemos afirmar lo siguiente:
Una manera equivalente de decir es y se lee f manda, envía o asocia
a . Por ejemplo la función
es aquella dada por , con dominio los enteros no nulos. Una descripción
conjuntista de es:
Si nos preguntamos quién es , tenemos problemas. Por un lado, no es ningún
número: si pensamos en como una máquina, no podemos introducir al cero o descompondremos la máquina (ésta se enloquecerá al intentar dividir por cero). Por otro
lado, no es un elemento del dominio de , luego la expresión no tiene referencia alguna, no representa ningún objeto. Lo mismo sucede con la función el rey de, que
no tiene a Colombia en su dominio, pues el rey de Colombia no se refiere a ninguna persona.
Recordando la definición de imagen de una relación, tendremos para una función:
Por ejemplo, para la función del ejemplo 95, sabemos que . Sin embargo la igualdad no se da: note que
.
Ejemplo 96 (Funciones dadas como tuplas) Dado y un
conjunto cualquiera, una función puede representarse mediante la
-tupla . Por ejemplo la tupla
representa la función constante , es decir, , para .
Sabemos que la intersección de dos relaciones es una relación, pues si y
, entonces . Para el caso de las funciones se cumplirá lo mismo:
Lema 97 Si y , entonces es una
función, e .Demostración. [Prueba]
Ya hemos notado que es una relación. Si , entonces existe tal que
, lo que implica que .
Similarmente se puede probar que .
Finalmente probemos que es una función: si ,
entonces en particular . Como es una función, concluimos que
.
Composición de funciones Definición 98 (Composición de relaciones) Si y son relaciones, definimos la
relación existe tal que y .
Dos funciones pueden componerse, dado que son relaciones: consideremos el caso
particular en que , y son funciones. Por definición de
composición: , para algún
, para algún .
Note que es una función, pues si , entonces
.
Por lo anterior, es el conjunto de parejas de la forma . Volviendo a
la analogía con las máquinas, si y son máquinas, entonces es la máquina que funciona así:
1. recibe un elemento y lo introduce en la máquina para obtener .
2. introduce a en la máquina para obtener .
3. En resumen, ha transformado a en .
En el anterior proceso la máquina le aplica a . Para que esto tenga sentido se
requiere que . Ahora, si , entonces
, luego puede aplicarse a y
tiene sentido (está definido). Además, . Lo anterior
nos permite concluir que , y que , es decir,
Lo anterior lo resumimos en el siguiente lema (que es prácticamente una definición):
Lema 99 (composición de funciones) Sean Y funciones.
Entonces es la siguiente función:
[Es decir, .]
Si y son como arriba y , entonces decimos que es una factorización de
y . Esto lo podemos expresar mediante cualquiera de los siguientes diagramas:
Ejemplo 100 Sea la función y la función
. Entonces es la función
. Por otro lado,
es la función . Note
que y son funciones distintas (por ejemplo , luego
).Observación 101 La composición de funciones no es necesariamente conmutativa.
Para antes de seguir leyendo: Si , entonces:
1. .
2. .
Finalmente observamos que la composición de funciones es asociativa. Esto es, si
, y , entonces:
Lo anterior vale pues ambas funciones tienen el mismo dominio ( ), y para todo
,
.
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Definición 102 (Funciones inyectivas, sobreyectivas o biyecciones) Sea
. Diremos que:
1. es inyectiva o 1:1 (o es una inyección) si y sólo si para todos ,
implica .
2. es sobreyectiva si y sólo si .
3. es biyectiva (o es una biyección) si es inyectiva y sobreyectiva.
Para antes de seguir leyendo:
1. Demuestre que para cualquier conjunto, la función identidad es una biyección.
2. Diremos que una función es constante si es un singleton. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una función constante
sea una biyección.
3. la función es una biyección. [ ¿Qué ocurriría si no fuera 1:1? ¿Qué ocurriría si no fuera sobreyectiva?].
Note que las propiedades de sobreyectividad y biyectividad no dependen
exclusivamente de la función , sino también del conjunto , de modo que, por
ejemplo, es más correcto decir: es una sobreyección de en .
Ejemplo 103 Sea la función . Veamos que es una biyección:
1. Inyectividad: si , entonces . Por ende
y .
2. Sobreyectividad: Hay que mostrar que . Es claro que .
Para la otra inclusión, sea . Es fácil ver que si , entonces
, y esto prueba que (dado que es imagen bajo de algún real ).
Ejemplo 104 Sea la función . Es fácil ver que
, luego es sobreyectiva. Pero no es inyectiva: ,
pero . En otras palabras, si sabemos quién es , no sabemos con seguridad quién es .
Definición 105 (Función invertible) Diremos que una función es invertible, si y
sólo si la relación es también una función.
Recuerde que , luego si es invertible, entonces
, e .
Ejemplo 106 Sea la función . ,
de modo que . Si y
, entonces . Esto prueba que es una función, luego es
invertible. Sea . Es claro que , y
además que .
Lema 107 Para , las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. es inyectiva.
2. Para todos , implica .
3. es invertible.
La prueba se deja como ejercicio.
Note que si es invertible, entonces , luego es invertible (e inyectiva, por el teorema anterior).
Muchas funciones pueden expresarse como composición de varias funciones básicas. Para determinar la inyectividad de una función, en varios casos bastará con estudiar la inyectividad de las funciones básicas que la componen. Lo mismo ocurre con la sobreyectividad.
Teorema 108 Para , , tenemos:
1. Si y son inyectivas, entonces es inyectiva.
2. Si y son sobreyectivas, entonces es sobreyectiva.
3. Si y son biyectivas, entonces es biyectiva.
Demostración. [Prueba] (a)
Si . Entonces por inyectividad de , . Por
inyectividad de , . Esto prueba la inyectividad de . (b)
Dado , por sobreyectividad de existe tal que . Por
sobreyectividad de , existe tal que . Por ende,
, y esto prueba la sobreyectividad de . (c)
Se deduce de (a) y (b).
¿Valen los conversos de las propiedades anteriores? La respuesta es negativa en general. Pero al menos podemos concluir lo siguiente:
Teorema 109 Para , , tenemos:
1. Si es inyectiva, entonces es inyectiva.
2. Si es sobreyectiva, entonces es sobreyectiva.
Demostración. [Prueba]
(1): Suponga . Entonces , e.d.,
. Por inyectividad de , concluimos .
(2): Sea . Como es sobre, existe tal que
. Esto prueba que .
Definición 110 (Inversa a derecha e inversa a izquierda de funciones) Sea
una función.
1. Una inversa a izquierda de es una función tal que
.
2. Una inversa a derecha de es una función tal que .
La existencia de inversas a derecha e izquierda de una función es una caracterización de inyectividad y sobreyectividad:
Teorema 111 Para :
1. es 1-1 si y sólo si tiene una inversa a izquierda.
2. es sobreyectiva si y sólo si tiene una inversa a derecha.
La prueba se deja como ejercicio.
Corolario 112 Si , entonces es inyectiva y es sobreyectiva.
Suponga el caso en que tiene inversas y a izquierda y derecha, respectivamente. La existencia de garantiza que es la imagen
de . Además, la existencia de garantiza que es invertible, luego es función
con dominio .
Bajo las anteriores condiciones podemos concluir que y son la misma función, y
más aún, son iguales a . Veamos la demostración:
Sabemos que , luego
. Así, . Ahora, , luego
, y así,
.
A continuación enunciamos un criterio muy útil para verificar si cierta función es biyectiva:
Teorema 113 Sean , funciones. Si y
, entonces y son biyectivas y mutuamente inversas, esto es,
y .
Demostración. [Prueba]Como tiene a como inversa a izquierda y derecha, por el
corolario 112 es biyectiva. De manera análoga podemos concluir que es una biyección. Por la demostración anterior al enunciado del teorema concluimos que
, Entonces .
Lema 114 Sean y conjuntos disyuntos, y conjuntos disyuntos, y
, funciones. Sea la función definida por:
Entonces:
1. Si y son inyectivas, entonces también lo es.
2. (en particular, si y son sobreyectivas,
entonces también lo es).
Demostración. Probamos la primera propiedad, dejando la segunda al lector. Sean
tales que . Como y son disyuntos,
supongamos que (el caso es similar). Entonces
(de lo contrario se tendría , y consecuentemente .
Similarmente . Entonces . Como es
inyectiva, concluimos que .
Imagen e imagen inversa de funciones
De las definiciones de imagen e imagen inversa de una relación, en particular
tendremos, para una función y conjuntos , :
1.
.
2. .
Ejemplo 115 Sea , , y la
función dada por la tupla (esto es, , etc.). Entonces por ejemplo:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
Para antes de seguir leyendo:
1. .
2. .
A continuación estudiamos las propiedades de (la imagen de bajo ) y
(la imagen inversa de bajo ):
Teorema 116 Para , , tenemos:
1. (monotonía) implica .
2. .
3. .
Demostración. [Prueba]
(1): Suponga y mostremos : si , para un
: por hipótesis, , luego por definición, , e.d., .
(2): ( ): Si , con . Si , entonces
. Si , entonces . Por ende, .
( ): Como , por monotonía (1) tenemos que
.
(3): ( ): Como , por monotonía ,
luego .
( ): Si , , para . Luego y , y
por definición y , e.d., .
Teorema 117 Para , , tenemos:
1. (monotonía) implica .
2. .
3. .
Relaciones y funciones El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema en general. Por ejemplo, en los números naturales, podemos hablar de la relación ser menor o igual que. Bajo esta relación, por ejemplo, el se relaciona con el pero no al contrario, y el
se relaciona con todos los elementos. En este capítulo nos interesa estudiar las relaciones en general, la funciones (que son relaciones) y las relaciones de equivalencia. Nuestro estudio no será disyunto: la igualdad es una relación que es tanto función como relación de equivalencia.