reguleringsteknikk vha mathscript

UniversityCollegeofSoutheastNorway

http://home.hit.no/~hansha

Reguleringsteknikkvha.MathScript

Hans-PetterHalvorsen,2016.10.26

ii

InnholdsfortegnelseInnholdsfortegnelse..................................................................................................................ii

MathScript.................................................................................................................................6

Innledning.............................................................................................................................6

Plotting..................................................................................................................................7

Tips&Triks............................................................................................................................8

Reguleringsteknikk..................................................................................................................12

Regulator.............................................................................................................................12

PIDAlgoritme..................................................................................................................13

Eksempel.............................................................................................................................13

I/O(DAQ)enhet..................................................................................................................14

Transferfunksjoner..................................................................................................................16

MathScript...........................................................................................................................16

Differensiallikninger............................................................................................................17

Sprangrespons.....................................................................................................................20

Sluttverditeoremet..............................................................................................................23

1.ordenssystemer...................................................................................................................25

Sprangrespons.....................................................................................................................25

MathScript...........................................................................................................................26

1.ordenssystemmedtidsforsinkelse..................................................................................27

MathScript...........................................................................................................................27

2.ordenssystemer...................................................................................................................29

ResponseTime....................................................................................................................29

MathScript...........................................................................................................................29

iii

Reguleringsteknikk vha MathScript

Sprangresponsogstabilitet.................................................................................................30

Poler....................................................................................................................................30

Spesialtilfelle.......................................................................................................................31

Blokkdiagrammer....................................................................................................................32

Serie....................................................................................................................................32

Parallell................................................................................................................................32

Tilbakekobling(Feedback)...................................................................................................33

Tilstandsrommodeller.............................................................................................................34

MathScript...........................................................................................................................35

Tidsforsinkelse/PadeAppr......................................................................................................36

Pade’Approksimasjon.........................................................................................................36

MathScript...........................................................................................................................37

Metode1.........................................................................................................................38

Metode2.........................................................................................................................38

Metode3.........................................................................................................................39

Stabilitetsanalyse....................................................................................................................40

Impulsrespons.....................................................................................................................40

Asymptotiskstabiltsystem..............................................................................................40

Marginaltstabiltsystem..................................................................................................41

Ustabiltsystem................................................................................................................41

MathScript.......................................................................................................................41

Poler....................................................................................................................................43

Asymptotiskstabiltsystem..............................................................................................43

Marginaltstabiltsystem..................................................................................................43

Ustabiltsystem................................................................................................................44

MathScript.......................................................................................................................44

iv


Tilbakekobledesystemer.....................................................................................................45

Sløyfetransferfunksjonen................................................................................................45

Følgeforholdet.................................................................................................................45

Sensitivitetsfunksjonen/Avviksforholdet........................................................................46

MathScript.......................................................................................................................46

Frekvensrespons.....................................................................................................................48

Bodediagram.......................................................................................................................49

MathScript.......................................................................................................................50

Hvordanfinnefrekvensresponsenfratransferfunksjonen.................................................51

Knekkfrekvenser..............................................................................................................53

MathScript.......................................................................................................................54

Hvordanfinnefrekvensresponsenfrasinuskurverpåinngangenogutgangen?................56

Frekvensresponsforstandardfunksjoner............................................................................58

Filtere..................................................................................................................................58

Lavpassfilter....................................................................................................................59

Høypassfilter...................................................................................................................59

Båndstopp.......................................................................................................................60

Båndpass.........................................................................................................................60

MathScript.......................................................................................................................60

Definisjoner.........................................................................................................................63

Periode–T......................................................................................................................63

Amplitude-A..................................................................................................................63

Frekvens-f......................................................................................................................63

Frekvensresponsanalyse.........................................................................................................65

Innledning...........................................................................................................................65

Følgeegenskaper.................................................................................................................66

v


Båndbredde.........................................................................................................................67

MathScript...........................................................................................................................69

StabilitetsanalyseiFrekvensplanet.........................................................................................71

Stabilitetsmarginer..............................................................................................................71

Stabilitetsanalyse................................................................................................................72

MathScript.......................................................................................................................73

MathScript-funksjoner............................................................................................................76

6

MathScript

InnledningMathScripterentilleggspakketilLabVIEW.SyntakseneridentisksomMATLAB.MathScriptervelegnetifm.design,analyseogsimuleringavreguleringssystemerdadetfinnesmangeinnebygdefunksjonerfordette.

ViåpnerMathScriptframenyeniLabVIEW:Tools→MathScriptWindow

7 MathScript


Exempel:

Gittfølgendefunksjon:

𝑦 𝑥 = 3𝑥 + 2

Viønskeråfinne 𝑦 2

Førstmåvidefinere 𝑥:

x = 2

Deretterkanvidefinerefunksjonen:

y = 3*x + 2

MathScriptgirdafølgendesvar:

y =

8

Merk!Maplekanutføresymbolskmatematikk,mensMathScript(ogVB/C#)eretnumeriskverktøy.Dettebetyratdualltidmådefinereverdierforvariablenedineførdubrukerdemietmatematiskuttrykk.

Merk!SyntakseniMathScripterliksyntakseniVB/C#,menMathScriptermyeenklerepådenmåtenatduikketrengerådeklarerevariableneogbestemmeendatatypeførdubrukerdem.Detteblirautomatiskhåndtertatkompilatoren.

PlottingMATLABerveldiganvendeligtilåplotteverdier,funksjoner,m.m.

Eksempel:

Viønskeråplottefølgendeuttrykkvha.MathScript:

𝑦 𝑥 = 3𝑥 + 2

Vibrukerdaplot()funksjoneniMathScript.

x = 0:5; y = 3*x + 2; plot(x,y)

Ieksempletoverharviplottetfunksjoneniintervallet [0, 5].Resultatetblirdasomfølger:

8 MathScript


Følgenefunksjonerblirbruktmyeifmplotting:.

Function Description Exampleplot Generatesaplot.plot(y)plotsthecolumnsofyagainstthe

indexesofthecolumns.>X = [0:0.01:1]; >Y = X.*X; >plot(X, Y)

figure Createanewfigurewindow >>figure >>figure(1)

subplot CreatesubplotsinaFigure.subplot(m,n,p)orsubplot(mnp),breakstheFigurewindowintoanm-by-nmatrixofsmallaxes,selectsthep-thaxesforthecurrentplot.TheaxesarecountedalongthetoprowoftheFigurewindow,thenthesecondrow,etc.

>>subplot(2,2,1)

grid Createsgridlinesinaplot.“gridon”addsmajorgridlinestothecurrentplot.“gridoff”removesmajorandminorgridlinesfromthecurrentplot.

>>grid >>grid on >>grid off

axis Controlaxisscalingandappearance.“axis([xminxmaxyminymax])”setsthelimitsforthex-andy-axisofthecurrentaxes.

>>axis([xmin xmax ymin ymax]) >>axis off >>axis on

title Addtitletocurrentplottitle('string')

>>title('this is a title')

xlabel Addxlabeltocurrentplotxlabel('string')

>> xlabel('time')

ylabel Addylabeltocurrentplotylabel('string')

>> ylabel('temperature')

legend Createsalegendinthecorner(orataspecifiedposition)oftheplot

>> legend('temperature')

hold Freezesthecurrentplot,sothatadditionalplotscanbeoverlaid

>>hold on >>hold off

Tips&Triks

9 MathScript


→BrukScriptwindow–ikkeCommandwindow.DukanbrukeCommandwindowtilenkleting,foreksempeltilhelp<function>.IScriptwindowkandulagrekodenisåkalte.mfiler.

ICommandwindowkandubareskriveenogenkommandoavgangen,mensiScriptwindowkanduskriveflerekommandoeradskiltmedlinjeskift.

→Kommentarer-%

% Dette er en kommentar x=2; y=3*x

Brukkommentareraktivtforåøkelesbarheteniprogrammetditt!

→Desimaltegn:Brukpunktum–ikkekomma!Dvs.y=3.2 – ikkey=3,2

→Ikkebrukmellomrom(space)ifilnavnellernavnpåfunksjoner!

→Brukpiltaster(PiloppogPilNed)foråblaitidligerebruktekommandoeriCommandWindow

→Engreiregel:Enoppgave–enfil,dvs.ikkeputtalleoppgaveneienfil!!

→Funksjoner:

-Kunenfunksjonihverfil!

-Filnavnet(.m)ognavnetpåfunksjonenmåværedetsamme!

→Bruksemikolon“;”etterkommandoer/funksjonerhvisduikketrengeråvisesvaretpåskjermen

a=2; b=4; y=a+b

→Brukengelskenavnpåvariable,funksjoner,filer,m.m.Detteervanligpraksisiprogrammering!

10 MathScript


Brukalltidvariable-ikkesettinntalldirekteiuttrykkene

a=2; b=4; y=a+b

Ikke:

y=2+4

→Brukhjelpforåfinneutmeromdefunksjoneneduskalbruke

ForåfåhjelpomtffunksjonenskriverdufølgendeiCommandwindow:

help tf

→ItoppenavScriptetditt,leggalltidtilfølgendekommandoer:

clear clc close all …

Dettesørgerforatduikkefårproblemermedgamlevariable,m.m.

→Greskebokstaver:Imatematikkenogireguleringsteknikkerdetvanligeåbrukegreske

Bokstaveriformler,m.m.DissekanikkebrukesdirekteiMathScript,såfinnpågodevariabelnavnfordisse.Eksempler:

𝜔- –w0

𝜁 –zetaellereventueltbarez

osv.

→Matematiskeuttrykk:BrukfølgendeiMathScript:

𝑥/ x^2

𝑥 sqrt(x)

𝑙𝑛(𝑥) log(x)

log(𝑥) Log10(x)

11 MathScript


𝑒9 exp(x)

𝜋 pi

Eksempel:

Antafølgendematematiskefunksjon:

𝑧 = 3𝑥/ + 𝑥/ + 𝑦/ + 𝑒<=(9)

Hvor 𝑧 erenfunksjonav 𝑥 og 𝑦,dvs. 𝑧(𝑥, 𝑦).

ViønskeråbrukeMathScripttilåfinne 𝑧(2,2).

MathScriptkodenblirsomfølger:

x = 2; y = 2; z = 3*x^2 + sqrt(x^2 + y^2)+ exp(log(x))

MathScriptgirfølgendesvar:

z = 16.8284

Merk!Vimåalltiddefinereverdierforvariablene(𝑥 og 𝑦)førvibrukerdemietuttrykk.

12

ReguleringsteknikkReguleringsteknikkbeskriverhvordanmankanregulereogstabilisereetdynamisksystem.

Etdynamisksystemkanreguleresellerstyrespåfleremåter.Etsystemsominvolvererenpersonsomstyrerenmaskin,f.eks.enpersonsomkjørerbil,kallesmanuellstyring.

Reguleringavvannivåientank,reguleringavtemperatur,ellerreguleringavgjennomstrømning,reguleringavtrykk,fart,osv.

Deterubegrensethvadukanregulere,ogalledissekanbliregulertpåsammemåte;medenregulator.

RegulatorOppgaventilenregulatoreråendrepådragetiforholdtilmåleverdienfraprosessen,detgjørdenmednoenparameterersomkallesP,IogD(PIDregulator).Dissevariablenevariererfraprosesstilprosess.Formålettildissevariableneeråskapedenoptimalereguleringsalgoritmentilenvissprosess,foråfåenmestmuligstabilreguleringen,dvsatutgangen 𝑦 følgerreferansen 𝑟 bestmulig.

13 Reguleringsteknikk


PIDAlgoritme

EnPIDregulatorergittved:

𝑢(𝑡) = 𝐾B𝑒 +𝐾B𝑇D

𝑒𝑑𝜏 + 𝐾B𝑇G𝑒H

-

Der 𝑒 eravviketmellomreferansen 𝑟 ogutgangen 𝑦 (𝑒 = 𝑟 − 𝑦),mens 𝑢 erpådraget.

P-ledd(Proporsjonal):

𝑢J(𝑡) = 𝐾B𝑒

Der 𝐾B er(proporsjonal)forsterkningen

I-ledd(Integral):

𝑢K(𝑡) =𝐾B𝑇D

𝑒𝑑𝜏H

-

Der 𝑇D erintegraltiden

→I-leddetsørgerforatregulatorengirnullavvik(stasjonært)(Statiskytelse)

D-ledd(Deriverte):𝑢L(𝑡) = 𝐾B𝑇G𝑒

Der 𝑇G erderivattiden

→D-leddetsørgerforatregulatorenreagererraskt(Dynamiskytelse)

EksempelNedenforservireguleringssystemetforenvanntank.Formåleteråregulerenivåetitanken(ℎ)påetgittnivå(referanseverdien).DettegjøresidettetilfelletvedenPIDregulatorsomstyrerenpumpepåtankensinnløp.



I/O(DAQ)enhetVanligvisblirregulatorenimplementertisoftware,dvs.vha.endatamaskinellerliknende,mensprosessenerenfysiskenhet(f.eks.envanntankellerlikende).Vimådasendesignalermellomregulatorenogprosessen.FåråfåtildettemåvibrukeenDAQ(I/O)enhet.EndelavDAQenhetsoppgavevildaværeåkonverteremellomanalogeogdigitalesignaler.

EteksempelpåenDAQenhetkanværeNIUSB-6008:



Dennehar8analogeinngangerog2analogeutganger,itilleggtil12analogeinn/utganger.

DenneblirbruktimangefagvedHøgskoleniTelemark.

16

TransferfunksjonerTransferfunksjonerernyttigeåbrukvedanalyseogdesignavdynamiskesystemer.

TransferfunksjonerermodellerbasertpåLaplace-transformasjonen.Transferfunksjonengiraltsåenmodellbeskrivelseis-planet(derserLaplace-operatoren).

Entransferfunksjonkanskrivespåfølgendegenerelleform:

𝐻 𝑆 =𝑦(𝑠)𝑢(𝑠)

Hvor 𝑦(𝑠) erutgangenmens 𝑢(𝑠) erinngangen.

Transferfunksjoneneraltsåforholdetmellominngangenogutgangennåralleandreinngangsvariable,samtalleinitialbetingelserersattliknull.

Merk!Transferfunksjonergjelderbareforlineæresystemer.

Entransferfunksjonkanskrivespåfølgendegenerellepolynomform:

𝐻 𝑠 =𝑏R𝑠R + 𝑏RST𝑠RST + ⋯+𝑏T𝑠 + 𝑏-𝑎W𝑠W + 𝑎WST𝑠WST + ⋯+𝑎T𝑠 + 𝑎-

Dertellerentiltransferfunksjonenbeskrivernullpunktenetilsystemet,mensnevnerenbeskriverpolenetilsystemet.

MathScriptIMathScriptdefinerervitransferfunksjonervha.deninnebygdetffunksjonen:

num=[bm, bm_1, bm_2, … , b1, b0]; den=[an, an_1, an_2, … , a1, a0]; H = tf(num, den)

Eksempel:

1.Gittfølgendetransferfunksjon:

𝐻(𝑠) =2𝑠/ + 3𝑠 + 4

5𝑠 + 9

17 Transferfunksjoner


MathScriptkode:

num=[2, 3, 4]; den=[5, 9]; H = tf(num, den)


𝐻(𝑠) =4𝑠Z + 3𝑠 + 45𝑠/ + 9

Merk!Hvisnoenleddmangler,settervidisselik0.Transferfunksjonenkanbliomskrevetsom:

𝐻(𝑠) =4𝑠Z + 0 ∙ 𝑠\ + 0 ∙ 𝑠/ + 3𝑠 + 4

5𝑠/ + 0 ∙ 𝑠 + 9

MathScriptkode:

num=[4, 0, 0, 3, 4]; den=[5, 0, 9]; H = tf(num, den)


𝐻(𝑠) =7 + 3𝑠 + 2𝑠/

5𝑠 + 6𝑠/

Merk!Hvisnoenleddmangler,settervidisselik0,samtpasserpåatdekommeririktigrekkefølge.Transferfunksjonenkanbliomskrevetsom:

𝐻(𝑠) =2𝑠/ + 3𝑠 + 76𝑠/ + 5𝑠

MathScriptkode:

num=[2, 3, 7]; den=[6, 5, 0]; H = tf(num, den)

[Sluttpåeksempel]

Differensiallikninger



Vikansiattransferfunksjonengireneksterninn-utrepresentasjonavetsystem.Differensiallikningenederimotgireninternrepresentasjonavsystemetfordidifferensiallikningenebeskriversystemetsindreliv.

Vikanfinnetransferfunksjonenfradifferensiallikningen(e)vha.Laplacetransformasjon.

ViharfølgendeTransformasjonspar:

Derivasjon:

𝑥 ⟺ 𝑠𝑥(𝑠)

Integrasjon:

𝑥 ⟺1𝑠 𝑥(𝑠)

Tidsforsinkelse:

𝑢 𝑡 − 𝜏 ⟺ 𝑢(𝑠)𝑒Sab

Eksempel:

Gittfølgendedifferensiallikning:

𝑥 = −0.5𝑥 + 2𝑢

Viønskeråfinnetransferfunksjonen:

𝐻 𝑠 =𝑥(𝑠)𝑢(𝑠)

Laplacegir:

𝑠𝑥(𝑠) = −0.5𝑥(𝑠) + 2𝑢(𝑠)

Videre:

𝑠𝑥 𝑠 + 0.5𝑥(𝑠) = 2𝑢(𝑠)

Videre:

𝑥 𝑠 (𝑠 + 0.5) = 2𝑢(𝑠)

Videre:

𝑥 𝑠𝑢(𝑠) =

2𝑠 + 0.5 =

42𝑠 + 1



Dettegir:

𝐻 𝑠 =𝑥 𝑠𝑢(𝑠) =

42𝑠 + 1

[Sluttpåeksempel]

Eksempel:

Gittfølgendedifferensiallikning(medtidsforsinkelse):

𝑥 = −1𝑇 𝑥 + 𝐾𝑢(𝑡 − 𝜏)

Viønskeråfinnetransferfunksjonen:

𝐻 𝑠 =𝑥(𝑠)𝑢(𝑠)

Laplacegir:

𝑠𝑥(𝑠) = −1𝑇 𝑥(𝑠) +

𝐾𝑇 𝑢(𝑠)𝑒

Sab

Videre:

𝑇𝑠𝑥 𝑠 + 𝑥 𝑠 = 𝐾𝑢(𝑠)𝑒Sab

Videre:

𝑥 𝑠 𝑇𝑠 + 1 = 𝐾𝑢(𝑠)𝑒Sab

Videre:

𝑥 𝑠𝑢(𝑠) =

𝐾𝑇𝑠 + 1 𝑒

Sab

Somgir:

𝐻 𝑠 =𝑥 𝑠𝑢(𝑠) =

𝐾𝑇𝑠 + 1 𝑒

Sab

[Sluttpåeksempel]

Motsattkanvifinnedifferensiallikningen(e)fratransferfunksjonen.

Eksempel:

Gittfølgendetransferfunksjon:



𝐻 𝑠 =𝑥(𝑠)𝑢(𝑠) =

30.5𝑠 + 1

Viønskeråfinnedifferensiallikningen.

Vigjørfølgende:

𝑥(𝑠) 0.5𝑠 + 1 = 3𝑢(𝑠)

Videre:0.5𝑠𝑥 𝑠 + 𝑥(𝑠) = 3𝑢(𝑠)

InverseLaplace:

0.5𝑥 + 𝑥 = 3𝑢

Dettegirfølgendedifferensiallikning:

𝑥 = −2𝑥 + 6𝑢

[Sluttpåeksempel]

SprangresponsViønskerofteåfinneetsystemssprangrespons,dvs.systemetdynamiskeoppførselovertidetteretsprangipådraget.

Forengitttransferfunksjon:

𝐻 𝑠 =𝑦(𝑠)𝑢(𝑠)

Fårvi:

𝑦 𝑠 = 𝐻 𝑠 𝑢(𝑠)

dervivanligvisbrukeretenhetssprangpåinngangen,idettetilfelletpådraget 𝑢,dvspådragetuøkerfra 0 til 1 ved 𝑡 = 0.



Dvs.viønskeråplottey(t)etteretsprangpåinngangen.Nedenforserviettypiskeksempel:

[Figure:F.Haugen,AdvancedDynamicsandControl:TechTeach,2010]

ForetenhetsprangharvifølgendeLaplacetransformasjon:

1𝑠 ⟺ 1

Foretsprangmedstørrelse 𝑘 (amplitude 𝑘)harvifølgendeLaplacetransformasjon:

𝑘𝑠 ⟺ 𝑘

Vifinnerdermedsprangresponsenforetgittsystempåfølgendemåte:

GittTransferfunksjonen:

𝐻 𝑠 =𝑦(𝑠)𝑢(𝑠)

1.Viordnerdetslikatutgangenstårpåhøyreside:


2.Deretterfinnerviinngangsvariabelenstransformasjonsparogsetterdenneinniuttrykket.



Foretsprangmedstørrelse 𝑘 (amplitude 𝑘)fårvidafølgende:

𝑢 𝑠 =𝑘𝑠

Dvs.:

𝑦 𝑠 = 𝐻 𝑠 ∙𝑘𝑠

3.Tilslutttidsresponsenvedåtainverselaplaceavuttrykketover.

Eksempel:

Gittfølgendesystem:

𝐻 =𝑦(𝑠)𝑢(𝑠) =

32𝑠 + 1

Vifårda:


Hvor 𝑢 eretenhetssprang:

𝑢 𝑠 =1𝑠

Dvs.:

𝑦 𝑠 =3

2𝑠 + 1 ∙1𝑠 =

32𝑠 + 1 𝑠

VibrokerfølgendeLaplace-transformasjonspar(somvifinnerientabell):

𝐾𝑇𝑠 + 1 𝑠 ⇔ 𝐾(1 − 𝑒SH/g)

Vifårda:

𝑦 𝑡 = 3(1 − 𝑒SH//)

MathScript:

Vikandaplottedennesprangresponsenvha.MathScript:

t=0:0.1:20; y = 3*(1-exp(-t/2));



plot(t,y)

Somgirfølgendesprangrespons:

Viserogsåatdenstasjonæreverdienidettetilfelleter 𝑦b = 3.Denstasjonæreverdienerdenverdienvifårnår 𝑡 → ∞.

Detteerjolitttungvintsidenvimågjøreendelmanuelleberegninger,menvha.MathScriptkanvigjøredetmyeenklere:

num=[3]; den=[2, 1]; H = tf(num, den); step(H, t)

Dvs.vikandefineretransferfunksjonen(vha.tffunksjonen)direkteiMathScriptogbrukedeninnebygdestepfunksjonentilåberegneogellerplottesprangresponsen.Resultatetblirdetsamme.

[Sluttpåeksempel]

SluttverditeoremetImangetilfellererdetdenstasjonæreresponstidenmanerinteresserti,detvilsitidsresponsennår 𝑡 → ∞.



Dakanvibrukesluttverditeoremet:

𝑦b = limH→l

𝑦 𝑡 = limb→-

𝑠 ∙ 𝑦(𝑠)

Eksempel:

Gittfølgendesystem:

𝐻 =𝑦(𝑠)𝑢(𝑠) =

32𝑠 + 1

Vifår:

𝑦b = limH→l

𝑦 𝑡 = limb→-

𝑠 ∙ 𝑦 𝑠 = limb→-

𝑠3

2𝑠 + 1 𝑠 =3

2 ∙ 0 + 1 = 3

Somduserfårvisammeresultatsomvifikkiforrigeeksempel.

[Sluttpåeksempel]

25

1.ordenssystemer1.ordenstransferfunksjon:

𝐻 𝑠 =𝐾

𝑇𝑠 + 1

𝐾 erforsterkning

𝑇 ertidskonstant

SprangresponsForet1.ordenssystemharvi:

𝐻 =𝑦(𝑠)𝑢(𝑠) =

𝐾𝑇𝑠 + 1

Vifårda:


Hvor:

𝑢 𝑠 =𝑈𝑠

Dvs.:

𝑦 𝑠 =𝐾

𝑇𝑠 + 1 ∙𝑈𝑠

VibrokerfølgendeLaplace-transformasjonspar(somvifinnerientabell):

𝐾𝑇𝑠 + 1 𝑠 ⇔ 𝐾(1 − 𝑒SH/g)

Tilsluttfårvidafølgende:

𝑦 𝑡 = 𝐾𝑈(1 − 𝑒SH/g)



MathScript

Eksempel:

𝐻 𝑠 =𝐾

𝑇𝑠 + 1

𝐾 = 1, 𝑇 = 2

MathScript:

K = 1; T = 2; num = [K]; den = [T, 1]; H = tf(num, den)

Sprangrespons:


Vanligvis:er 𝑈 = 1,dvsenenhetssprang



Mathscript:

step(H)

1.ordenssystemmedtidsforsinkelseEn1.ordenstransferfunksjonmedtidsforsinkelse:

𝐻 𝑠 =𝐾

𝑇𝑠 + 1 𝑒Sab

Ensprangresponsforensliktransferfunksjonharfølgendekarakteristikk:


Frasprangresponsenkanvienkeltfinne 𝐾, 𝑇 and 𝜏.

MathScript

Eksempel:

𝐻 𝑠 =𝐾

𝑇𝑠 + 1 𝑒Sab

𝐾 = 1, 𝑇 = 2, 𝜏 = 3

MathScript:

K = 1; T = 2; delay=3; H = sys_order1(K, T, delay) step(H)



Dettegirfølgendeplot:

29

2.ordenssystemer2.ordenstransferfunksjon:

𝐻 𝑠 =𝐾

𝑎𝑠/ + 𝑏𝑠 + 𝑐 =𝐾𝜔-/

𝑠/ + 2𝜁𝜔- + 𝜔-/=

𝐾𝑠𝜔-

/+ 2𝜁 𝑠

𝜔-+ 1

𝐾 erforsterkning

𝜁 (zeta)errelativdempingsfaktor

𝜔-[rad/s]erudempetresonansfrekvens

ResponseTimeTheresponsetimefora2.ordersystemisapproximately:

𝑇o ≈1.5𝜔-

MathScript

Eksempel:

𝐻 𝑠 =1

𝑠/ + 𝑠 + 1

Dvs: 𝐾 = 1,𝜔- = 1, 𝜁 = 1

MathScriptkode:

K = 1; w0 = 1; zeta = 1; a = 1/w0^2; b = 2*zeta/w0; c = 1;

30 2.ordenssystemer


num = [K]; den = [a,b,c] H = tf(num,den)

Sprangrespons:

step(H)

SprangresponsogstabilitetVerdienpå 𝜁 eravgjørendeforsystemssprangresponsogstabilitetsegenskaper:


PolerSystemetsstabilitetsegenskapererdefinertavpolensplasseringidetkomplekseplan.

Gittfølgendegenerelle2.ordenssystem:

31 2.ordenssystemer


𝐻 𝑠 =𝐾

𝑎𝑠/ + 𝑏𝑠 + 𝑐

Polenefinnervivedåsettenevnerenliknull:

𝑎𝑠/ + 𝑏𝑠 + 𝑐 = 0

Dvs.viharenstandard2.ordenslikning:

𝑎𝑥/ + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Løsningenpådenneersomkjent:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏/ − 4𝑎𝑐

2𝑎

SpesialtilfelleNårpoleneerreelleogforskjellige(𝜁 > 0)harvifølgendeviktigespesialtilfelle:

𝐻 𝑠 =𝐾𝑝T𝑝/

(𝑠 − 𝑝T)(𝑠 − 𝑝/)=

𝐾(𝑇T𝑠 + 1)(𝑇/𝑠 + 1)

Der 𝑝T og 𝑝/ ersystemetspolerog 𝑇T og 𝑇/ ersystemetstidskonstanter.

Dettekanseespåsomto1.ordenssystemeriserie:

𝐻 𝑠 = 𝐻T 𝑠 𝐻T 𝑠 =𝐾

(𝑇T𝑠 + 1)∙

1(𝑇/𝑠 + 1)

=𝐾

(𝑇T𝑠 + 1)(𝑇/𝑠 + 1)

32

BlokkdiagrammerEtreguleringssystembeståravulikeblokker(transferfunksjoner),disseerentenkobletiserieelleriparallell.Ireguleringssystemererdetogsåvanligåbruketilbakekoblingeriformavatregulatorenbrukermålingentilåberegnepådragssignalet.

SerieSeriekobling:

MathScript:

IMathScriptkanvibrukeseriesfunksjonen:

… H = series(h1,h2)

Hvisviharmerenn2kanvigjørefølgende:

… H = series(h1,series(h2,h3))

ParallellParallellkobling:

33 Blokkdiagrammer


MathScript:

IMathScriptkanvibrukeparallelfunksjonen:

… H = parallel(h1,h2)

Hvisviharmerenn2kanvigjørefølgende:

… H = parallel(h1, parallel(h2,h3))

Tilbakekobling(Feedback)Negativtilbakekobling:

MathScript:

IMathScriptkanvibrukefeedbackfunksjonen:

… H = feedback(h1,h2)

34

TilstandsrommodellerEntilstandsrommodellerenstrukturertmåteårepresentereetsettmeddifferensiallikningerpå.Tilstandsmodellerveldignyttigeiforbindelsemedreguleringsteori.Differensiallikningeneblirsattpåmatrise-vektorform,somjoerbasis-elementeneiMathScript.

Antafølgendedifferensiallikninger:

𝑥T = 𝑎TT𝑥T + 𝑎/T𝑥/ + ⋯+ 𝑎WT𝑥W +𝑏TT𝑢T + 𝑏/T𝑢/ + ⋯+ 𝑏WT𝑢W

⋮

𝑥W = 𝑎TR𝑥T + 𝑎/R𝑥/ + ⋯+ 𝑎WR𝑥W +𝑏TR𝑢T + 𝑏/R𝑢/ + ⋯+ 𝑏WT𝑢W

⋮

Dissekanskrivespåfølgendegenerelleform(tilstandsrommodell):

𝑥T𝑥/⋮𝑥W9

=𝑎TT ⋯ 𝑎WT⋮ ⋱ ⋮

𝑎TR ⋯ 𝑎WRv

𝑥T𝑥/⋮𝑥W9

+𝑏TT ⋯ 𝑏WT⋮ ⋱ ⋮𝑏TR ⋯ 𝑏WR

w

𝑢T𝑢/⋮𝑢Wx

𝑦T𝑦/⋮𝑦Wy

=𝑐TT ⋯ 𝑐WT⋮ ⋱ ⋮𝑐TR ⋯ 𝑐WR

z

𝑥T𝑥/⋮𝑥W9

+𝑑TT ⋯ 𝑑WT⋮ ⋱ ⋮

𝑑TR ⋯ 𝑑WRL

𝑢T𝑢/⋮𝑢Wx

Ellerpåfølgendeenkleform:

𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

Der 𝑥 –systemetsinternetilstander, 𝑢 –pådrag, 𝑦 -måling

Eksempel:

Gittfølgendedifferensiallikninger:

𝑥T = 𝑥T + 2𝑥T

35 Blokkdiagrammer


𝑥T = 3𝑥T + 4𝑥T + 𝑢

𝑦 = 𝑥T

Dettegir:

𝑥T𝑥/

= 1 23 4v

𝑥T𝑥/ + 0

1w

𝑢

𝑦 = 1 0z

𝑥T𝑥/

Merk! 𝐷 matrisaerliknullidettetilfellet,sådermedtarviikkemedden.

MathScriptIMathScriptgjørvifølgende:

A = [1 2; 3 4]; B = [0; 1]; C = [1, 0]; D = [0]; model = ss(A, B, C, D)

Sprangrespons:

step(model)

36

Tidsforsinkelse/PadeAppr.Eksemplerpådødtid/tidsforsinkelseriprosess-sammenheng:

• Transportbånd• Rør,f.eksLuftrør

Transferfunskjonfortidsforsinkelse/dødtid:

𝐻 𝑠 =𝑦(𝑠)𝑢(𝑠) = 𝑒Sab

→Transferfunksjonen 𝑒Sab ersåkaltikke-rasjonal,dvs.denharikketellerognevnerpolynommedpotenseravs.

→Ulikemetoderforanalyseogdesignavreguleringssystemerkreveratsystemeterenrasjonaltransferfunksjon

Tidsplan:

𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 𝜏)

Pade’ApproksimasjonFølgendeapproksimasjonbrukes:

𝑒Sab ≈1 − 𝑘T𝑠 + 𝑘/𝑠/ + ⋯± 𝑘W𝑠W

1 + 𝑘T𝑠 + 𝑘/𝑠/ + ⋯+ 𝑘W𝑠W

Hvor 𝑛 erapproksimasjonensorden.

𝑘T, 𝑘/, … erkonstanter

→Johøyereorden,jobedretilnærmingtilvirkeligheten,menulempenerattransferfunksjonenblirveldigkompleks!Såengyldenmiddelveimåvelges

→For1.ordensog2.ordensapproksimasjonererdissekonstantenegittved:

37 Tidsforsinkelse/PadeAppr.


1.ordensPadeapproksimasjon:

𝑒Sab ≈1 − 𝑘T𝑠1 + 𝑘T𝑠

Hvor

𝑘T =𝜏2

2.ordensPadeapproksimasjon:

𝑒Sab ≈1 − 𝑘T𝑠 + 𝑘/𝑠/

1 + 𝑘T𝑠 + 𝑘/𝑠/

Hvor:

𝑘T =𝜏2

𝑘/ =𝜏/

12

MathScriptImplementeringavdødtid/Tidsforsinkelse.

Eksempel:

𝐻 𝑠 = 𝑒S\b

Dvs.tidsforsinkelsenerpå3sekunder.

Sprangrespons:

Idetteeksempletviserviulikemåteråimplementeretidsforsinkelsepå.Forentidsforsinkelsepå3sekunderfårvifølgendesprangrespons:



Metode1

→Vibrukerdeninnebygdefunksjonensys_order1

K = 1; T = 0; delay = 3 H = sys_order1(K,T,delay) step(H)

Metode2

→Vibrukerdeninnebygdepadefunksjonen

Eksempelpåen2.ordensapproksimasjon:

delay = 3; order = 2; H = pade(delay,order) step(H)

Nedenforservisprangresponsentilen5.ordensapproksimasjon:



Metode3

→VibrukeruttrykkeneforPadeappr.ogbrukertffunksjonen

Eksempelpåen1.ordensapproksimasjon:


k1 = delay/2; num = [-k1, 1]; den = [k1, 1]; H = tf(num,den) step(H)

→Deterslikdeninnebygdefunksjonenpadeerlaget!

Merk!Passpårekkefølgenpåkoeffisienteneitellerenognevneren(høyesteordentilvenstreogderetterisynkenderekkefølge)!


=−𝑘T𝑠 + 1𝑘T𝑠 + 1

40

Stabilitetsanalyse3typersystemer(stabilitetsegenskaper):

• Asymptotiskstabiltsystem• Marginaltstabiltsystem• Ustabiltsystem

Metoderforåfinnestabilitetsegenskapene:

• Impulsrespons• Polplassering

ImpulsresponsVikandefinereetsystemsstabilitetsegenskaperutfraimpulsresponsen[F.Haugen,AdvancedDynamicsandControl:TechTeach,2010]:

Asymptotiskstabiltsystem

Impulsrespons: StasjonærImpulsrespons:

limH→l

ℎ 𝑡 = 0

41 Stabilitetsanalyse


Marginaltstabiltsystem


0< limH→l

ℎ 𝑡 < ∞

Ustabiltsystem


limH→l

ℎ 𝑡 = ∞

MathScript

Eksempel:

𝐻 𝑠 =1

2𝑠 + 1

Impulsrespons:

K=1; T=2; num = [K]; den = [T, 1]; H = tf(num, den) impulse(H)

Dettegirfølgendeimpulsrespons:



→Asymptotiskstabiltsystem



PolerDetkanværeupraktiskåmåttejobbemedimpulsresponservedstabilitetsundersøkelser,såenbedremetodevilværeåbrukesystemetspoler.

Polenetiletgittsystemfinnesfranevnerpolynometitransferfunksjonen.

Detkomplekseplan:


Asymptotiskstabiltsystem

Allepoleneliggerivenstrehalvplan(negativrealdel).

Ingenpolerpådenimaginæreakse.

Marginaltstabiltsystem

Enellerflerepolerliggerpådenimaginæreakse(harrealdelenlik0),ogallepoleneerforskjellige/ikkesammenfallende.

Dessuten,ingenpolerihøyrehalvplan



Ustabiltsystem

Enellerflerepolerliggerihøyrehalvplan(harrealdelstørreenn0).

Eller:Determultiple/sammenfallendepolerpådenimaginæreakse.

F.eks:Dobbeltintegrator 𝐻 = Tb�

MathScript

Eksempel:

𝐻 𝑠 =1

2𝑠 + 1

Poler:

K=1; T=2; num = [K]; den = [T, 1]; H = tf(num, den) P = poles(H) pzgraph(H)

→ 𝑝 = −0.5 →Asymptotiskstabiltsystem



TilbakekobledesystemerSkisseavettilbakekobletsystem:

Hveravdissekanbeskrivesvha.entransferfunksjon:

Sløyfetransferfunksjonen

(Engelsk:“Looptransferfunction”)

𝐿 𝑠 = 𝐻�𝐻J𝐻�

Følgeforholdet

(Engelsk:“Trackingtransferfunction”)

𝑇 𝑠 =𝑦(𝑠)𝑟(𝑠) =

𝐻�𝐻J𝐻�1 + 𝐻�𝐻J𝐻�

=𝐿(𝑠)

1 + 𝐿(𝑠)



Denneuttrykkerhvorgodtsystemetfølgerreferansen.Systemethargodefølgeegenskaperhvis 𝑦 ≈ 𝑟,dvs.:

𝑇 ≈ 1

Sensitivitetsfunksjonen/Avviksforholdet

(Engelsk:“Sensitivitytransferfunction”)

𝑆 𝑠 =𝑒(𝑠)𝑟(𝑠) =

11 + 𝐿(𝑠) = 1 − 𝑇(𝑠)

Denneuttrykkerhvor“sensitivt”avviketeroverforreferansenogdennebørderforvære“liten”,dvs:

𝑆 ≈ 0𝑜𝑟 𝑆 ≪ 1

Merk!

𝑆 𝑠 = 1 − 𝑇 𝑠 ↔ 𝑇 𝑠 = 1 − 𝑆(𝑠)

og

𝑇 𝑠 + 𝑆 𝑠 =𝐿(𝑠)

1 + 𝐿(𝑠) +1

1 + 𝐿(𝑠) ≡ 1

MathScript

Eksempel:

Sløyfetransferfunksjonen:

L = series(Hr, Hpm)

Hvisflereenn2:M=series(H1,series(H2,H3))



Følgeforholdet:

T = feedback(L, 1)

Sensitivitetsfunksjonen/Avviksforholdet

S = 1-T

48

FrekvensresponsEtsystemsfrekvensresponsuttrykkerhvordansinussignalerpåsystemetsinngangendresgjennomsystemet.Somviseravfigurenundersåvilbådeamplitudenforandres,samtatsignaletblirfaseforskyvet.


Frekvensresponsenfortellerhvilkenamplitudeforsterkningogfaseforskyvningdenenkeltefrekvenskomponentfårgjennomsystemet.

Frekvensresponsentiletsystemerdefinertsomsteady-stateresponsentilsystemethvorinngangssignaleteretsinussignal.

Isteady-statevilutgangssignaletværeforskjelligmtpamplitude/forsterkning(𝐴)samtværefaseforskyvet(𝜙).

Vikandefinerinngangssignaletsom:

𝑢 𝑡 = 𝑈𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

49 Frekvensrespons


Utgangssignaletisteady-statevildavære:

𝑦 𝑡 = 𝑈𝐴�𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙)

Hvor 𝐴 = ��

er forholdetmellomutgangssignaletsoginngangssignaletsamplitude(isteady-

state).

Aog 𝜙 erfunksjoneravfrekvensen 𝜔,såvikanskrive 𝐴 = 𝐴 𝜔 ,𝜙 = 𝜙(𝜔)

• 𝐴 𝜔 -Amplitudefunksjonen• 𝜙(𝜔) –Fasefunksjonen

BodediagramFrekvensresponsenkanpresenteresgrafiskietBodediagram.

Bodediagrammetbestårav2deler:

• EtAmplitudediagram(Forsterkning [𝑑𝐵] somfunksjonavfrekvens [𝜔])• EtFasediagram(Faseforskyvning [𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟] somfunksjonavfrekvens [𝜔])

Merk!Frekvensaksenerlogaritmiskmed10-logaritmenforfrekvensensomenhet

Vanligviserenhetenforfrekvens Hertz[𝐻𝑧],mensifrekvensresponsbrukesradianer𝜔[𝑟𝑎𝑑].Sammenhengenmellomdisseer:

𝜔 = 2𝜋𝑓

50 Frekvensrespons


MathScript

IMathScriptkanvienkelttegneBodediagrammervhadeninnebygdefunksjonenbode.

Eksempel:

Gitttransferfunksjon:

𝐻 𝑠 =𝑦(𝑠)𝑢(𝑠) =

1𝑠 + 1

MathScriptkodenblirsomfølger:

K=1; T=1; num=[K]; den=[T, 1]; H = tf(num, den) bode(H);

Deterønskeligåhagridpåplottet:

subplot(2,1,1) grid subplot(2,1,2) grid

Bode-diagrammetblirsomfølger:

51 Frekvensrespons


[Sluttpåeksempel]

HvordanfinnefrekvensresponsenfratransferfunksjonenForengenerelltransferfunksjon:

𝐻 𝑆 =𝑦(𝑠)𝑢(𝑠)

Harvifølgende(setter 𝑠 = 𝑗𝜔):

𝐻 𝑗𝜔 = 𝐻(𝑗𝜔) 𝑒�∠�(��)

Hvor 𝐻(𝑗𝜔) erfrekvensresponsentilsystemet,dvs.Vifinnerfrekvensresponsenvedåsette 𝒔 = 𝒋𝝎 itransferfunksjonen.

Dettekanillustreresidetkomplekseplanetslik:

52 Frekvensrespons


EtBodediagramviserengrafiskpresentasjonavfrekvensresponsen,ogernyttigvedanalyseogdesignavreguleringssystemet.Bodediagrammetbestårav2forskjelligeplot,Amplitudediagram, 𝐴(𝜔) andfasedigram, 𝜙(𝜔).

Amplitudefunksjonen:

𝐴 𝜔 = 𝐻(𝑗𝜔)

Fasefunksjonen:

𝜙 𝜔 = ∠𝐻(𝑗𝜔)

Merk! 𝐴(𝜔)-sakseneridesibel(dB),hvordesibelverdienavxberegnessomfølger:

𝑥 𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔T-𝑥

Merk! 𝜙(𝜔)-aksenerigrader(ikkeiradianer!)

Eksempel:

Vifinneruttrykkenefor 𝐴 𝜔 [𝑑𝐵] og 𝜙(𝜔) foruliketransferfunksjoner:

Transferfunksjon: 𝑨(𝝎) og 𝝓(𝝎):

53 Frekvensrespons



1𝑠 + 1

𝐻(𝑗𝜔) Gw = 20𝑙𝑜𝑔1 − 20𝑙𝑜𝑔 (𝜔)/ + 1

∠𝐻(𝑗𝜔) = −arctan(𝜔)

𝐻 𝑠 =4

2𝑠 + 1𝐻(𝑗𝜔) Gw = 20𝑙𝑜𝑔4 − 20𝑙𝑜𝑔 (2𝜔)/ + 1

∠𝐻(𝑗𝜔) = −arctan(2𝜔)

𝐻 𝑆 =5

𝑠 + 1 (10𝑠 + 1)𝐻(𝑗𝜔) Gw = 20𝑙𝑜𝑔5 − 20𝑙𝑜𝑔 (𝜔)/ + 1 − 20𝑙𝑜𝑔 (10𝜔)/ + 1

∠𝐻(𝑗𝜔) = −arctan(𝜔) − arctan(10𝜔)

𝐻 𝑆 =1

𝑠 𝑠 + 1 /

𝐻(𝑗𝜔) Gw = −20𝑙𝑜𝑔 (𝜔)/ − 2𝑥20𝑙𝑜𝑔 (𝜔)/ + 1= 20𝑙𝑜𝑔𝜔 − 40𝑙𝑜𝑔 (𝜔)/ + 1

∠𝐻(𝑗𝜔) = −90 − 2arctan(𝜔)

𝐻 𝑠 =3.2𝑒S/b

3𝑠 + 1 𝐻(𝑗𝜔) Gw = −20𝑙𝑜𝑔3.2 − 20𝑙𝑜𝑔 (3𝜔)/ + 1

∠𝐻(𝑗𝜔) = −2𝜔 − arctan(3𝜔)

𝐻 𝑆

=5𝑠 + 1

2𝑠 + 1 (10𝑠 + 1)

𝐻(𝑗𝜔) Gw= 20𝑙𝑜𝑔 (5𝜔)/ + 1 − 20𝑙𝑜𝑔 (2𝜔)/ + 1 − 20𝑙𝑜𝑔 (10𝜔)/ + 1

∠𝐻(𝑗𝜔) = arctan(5𝜔) − arctan(2𝜔) − arctan(10𝜔)

Merk!Foråfinnefasenigradermåvimultipliseremed: T¢-£

Fasekurven:

→Ledditelleren: +90 graderforhvertledd(leddavtypen 𝑠 eller (𝑇𝑠 + 1))

→Leddinevneren: −90 forhvertledd(leddavtypen 𝑠 eller (𝑇𝑠 + 1))

[Sluttpåeksempel]

Knekkfrekvenser

Knekkfrekvensen(e)erderhvorkurvenskifterretning,entenoppoverellernedover.Dissekanenkeltfinnesfratransferfunksjonenoggiretgodtbildeavhvordankurvenvilbli.

Eksempel:

Herernoeneksemplerpåknekkfrekvenserforuliketransferfunksjoner:

Transferfunksjon: Knekkfrekvenser:


1𝑠 + 1

𝜔 =1𝑇 =

11 = 1

54 Frekvensrespons


𝐻 𝑠 =4

2𝑠 + 1 𝜔 =1𝑇 =

12 = 0.5

𝐻 𝑆 =5

𝑠 + 1 (10𝑠 + 1)𝜔T =

1𝑇T=11 = 1

𝜔/ =1𝑇/=110 = 0.1

𝐻 𝑆 =1

𝑠 𝑠 + 1 / 𝜔 =1𝑇 =

11 = 1

𝐻 𝑠 =3.2𝑒S/b

3𝑠 + 1 𝜔 =

1𝑇 =

13 = 0.33

𝐻 𝑆 =5𝑠 + 1

2𝑠 + 1 (10𝑠 + 1)

𝜔T =1𝑇T=15 = 0.2

𝜔/ =1𝑇/=12 = 0.5

𝜔\ =1𝑇\=110 = 0.1

[Sluttpåeksempel]

MathScript

SelvomMathScriptkanfinnefrekvensresponsenogtegneetBodediagramdirektefratransferfunksjonenvha.deninnebygdefunksjonenbodekandetogsåværeavinteresseåvitehvordandettegjøres“manuelt”,dvs.tautgangspunktidematematiskeuttrykkenefor𝐴 𝜔 og 𝜙(𝜔).

Eksempel:

Gittfølgendetransferfunksjon


1𝑠 + 1

Matematiskeuttrykkfor 𝐴 𝜔 og 𝜙(𝜔) ergittved:

𝐻(𝑗𝜔) Gw = 20𝑙𝑜𝑔1 − 20𝑙𝑜𝑔 (𝜔)/ + 1

∠𝐻(𝑗𝜔) = −arctan(𝜔)

MathScript:

Vifinner 𝐴 𝜔 og 𝜙(𝜔) for 𝜔 = 1:

55 Frekvensrespons


w=1; gain = 20*log10(1) - 20*log10(sqrt(w^2+1)) phase = -atan(w); phasedeg = phase * 180/pi %convert to degrees

Svaretblir:

gain =

-3.0103

phasedeg =

-45

Hvisviønskeråfinne 𝐴 𝜔 og 𝜙(𝜔) forflerefrekvenserkanvif.eks.brukeenForloop:

w = [0.01, 0.1, 1, 10, 100]; N = length(w); for i=1:N gain(i) = 20*log10(1) - 20*log10(sqrt(w(i)^2+1)); phase(i) = -atan(w(i)); phasedeg(i) = phase(i) * 180/pi; %convert to degrees end

Alternativtkanvigjøredetslik:

gain = 20*log10(1) - 20*log10(sqrt(w.^2+1)) phase = -atan(w); phasedeg = phase * 180/pi %convert to degrees

MathScripteretkraftigverktøysomkanjobbedirektemedvektorervedåbrukefølgendenotasjon:

.^

.*

./

Svaretbliribeggetilfellene:

𝜔 𝐴 𝜔 [𝑑𝐵] 𝜙 𝜔 (𝑑𝑒𝑔𝑟𝑒𝑒𝑠)

0.01 0 -0.6

0.1 0.04 -5.7

1 -3 -45

56 Frekvensrespons


10 -20 -84

100 -40 -89

Dissekanviplotte:

… %Gain Plot subplot(2,1,1) semilogx(w, gain) grid %Phase Plot subplot(2,1,2) semilogx(w, phasedeg) grid

Somgir:

[Sluttpåeksempel]

Hvordanfinnefrekvensresponsenfrasinuskurverpåinngangenogutgangen?Vikanfinnefrekvensresponsenforetgittsystemvedåloggeinngangsogutgangsdataforforskjelligefrekvenser,ogutfradetteberegneosstilverdierfor 𝐴 𝜔 og 𝜙(𝜔) forutvalgtefrekvenser.

57 Frekvensrespons


Inngangssignaletergittsom:

𝑢 𝑡 = 𝑈𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

Steady-stateutgangssignaletblirda:

𝑦 𝑡 = 𝑈𝐴�𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙)

(dvs.Deterkunamplituden/forsterkningensomerforskjellig,samtatdeerfaseforskyvetiforholdtilhverandre)

Vivildafåetplotsliksomdetteforhverfrekvens:

Forsterkningenergittved:

𝐴 =𝑌𝑈

Der 𝑈 ergittavinngangssignalet,mens 𝑌 lesesavfraplottet.

Faseforskyvningenergittved:

𝜙 = −𝜔Δ𝑡[𝑟𝑎𝑑]

Derfrekvensen 𝜔 ergittavinngangssignalet,mens ∆𝑡 lesesavfraplottet.

58 Frekvensrespons


FrekvensresponsforstandardfunksjonerVivilsenærmerepåfrekvensresponsenforendelstandardfunksjoner.

• Forsterker• Integrator• Derivator• 1.ordenssystem• 2.ordenssystem• Nullpunkt• Tidsforsinkelse

FiltereEnviktiganvendelseavfrekvensresponserifm.filtere.Etfilterbrukestilåfjernegittefrekvenserelleretintervallmedfrekvenserfraetsignal.Enslikanvendelseviltypiskværeåfjernestøyfraetsignal.DetmestvanligeerLavpassfilteret.

Vihar4typerfiltere:

• Lavpassfilter• Høypassfilter• Båndstoppfilter• Båndpassfilter

Nedenforservideideellefilterkarakteristikkenefordisse4typene:

59 Frekvensrespons


Filtrenevilslippegjennomsignalerfordefrekvensenehvoramplitudeforsterkningener1påfiguren(eller 0𝑑𝐵).Forvirkeligefilterevilikkeovergangenværesåskarpesompåbildetover(ideelle).

Lavpassfilter

TransferfunksjonforetLavpassfilter:

𝐻 𝑠 =1

𝑇𝑠 + 1 =1

1𝜔§

𝑠 + 1

Der 𝜔§ erdefinertsomfilteretsbåndbredde.

Høypassfilter

TransferfunksjonforetHøypassfilter:

𝐻 𝑠 =𝑇𝑠

𝑇𝑠 + 1 =

1𝜔§

𝑠

1𝜔§

𝑠 + 1

60 Frekvensrespons


Båndstopp

Fordettefilteretdefinererviennedrefrekvens 𝜔¨ ogenøvrefrekvens 𝜔�.

Båndpass

Fordettefilteretdefinererviennedrefrekvens 𝜔¨ ogenøvrefrekvens 𝜔�.

MathScript

Eksempel:

MathScriptkode:

Lavpassfilter:

wl = 1; Tl = 1/wl; num = [1]; den = [Tl, 1]; H_lowpass = tf(num, den) figure(1) bodemag(H_lowpass) grid title('Lowpass Filter')

Høypassfilter:

61 Frekvensrespons


wh = 10; Th = 1/wh; num = [Th, 0]; den = [Th, 1]; H_highpass = tf(num, den) figure(2) bodemag(H_highpass) grid title('Highpass Filter')

Båndstoppfilter:

ViparallellkobleretLavpassfilterogetHøypassfilter:

H_bandstop = parallel(H_lowpass, H_highpass) figure(3) bodemag(H_bandstop) grid title('Bandstop Filter')

Båndpassfilter:

ViseriekobleretLavpassfilterogetHøypassfilter:

H_bandpass = series(H_lowpass, H_highpass) figure(4) bodemag(H_bandpass) grid title('Bandpass Filter')

Plot:

62 Frekvensrespons


[SluttpåEksempel]

63 Frekvensrespons


DefinisjonerGittfølgendesinuskurve:

Periode–T

Avstandenmellom2topper.

Amplitude-A

Amplitudeeravstandenfraenbølgesstørsteutslag(toppunktellerbunnpunkt)tillikevektstilstanden(midten).Amplitudeneraltsåenpositivverdi.Forsinus-ogcosinusbølgereramplitudenhalvpartenavhøydenmellomtoppunktogbunnpunkt.

Frekvens-f

Frekvenseretmålpåantalletgangerenhendelsegjentarsegiløpetavenenhetstid.Foråberegnefrekvens,settermanetfasttidsintervall,tellerantallgangerenhendelseinntrefferogdividererpåtidsintervalletslengde.

Sålengehendelseneinntrefferregelmessigerenenkelmetodeforåberegnefrekvensåmåletidenmellomtogangerhendelseninntreffer(perioden)ogsåberegnefrekvensenfsomdeninverseavdennetiden:

64 Frekvensrespons


𝑓 =1𝑇

Vanligviserenhetenforfrekvens Hertz[𝐻𝑧],mensifrekvensresponsbrukesradianer𝜔[𝑟𝑎𝑑].Sammenhengenmellomdisseer:

𝜔 = 2𝜋𝑓

65

Frekvensresponsanalyse

InnledningSkisseavettilbakekobletsystem:

DerRegulatoren,ProsessenogMåleinstrumentetertransferfunksjoner:

Vihardafølgende:

Sløyfetransferfunksjonen(Engelsk:“Looptransferfunction”):

𝐿 𝑠 = 𝐻�𝐻J𝐻�

66 Frekvensresponsanalyse


Følgeforholdet(Engelsk:“Trackingtransferfunction”):

𝑇 𝑠 =𝑦(𝑠)𝑟(𝑠) =

𝐻�𝐻J𝐻�1 + 𝐻�𝐻J𝐻�

=𝐿(𝑠)

1 + 𝐿(𝑠)

Denneuttrykkerhvorgodtsystemetfølgerreferansen.Systemethargodefølgeegenskaperhvis 𝑦 ≈ 𝑟,dvs.:

𝑇 ≈ 1

Sensitivitetsfunksjonen/Avviksforholdet(Engelsk:“Sensitivitytransferfunction”):

𝑆 𝑠 =𝑒(𝑠)𝑟(𝑠) =

11 + 𝐿(𝑠) = 1 − 𝑇(𝑠)

Denneuttrykkerhvor“sensitivt”avviketeroverforreferansenogdennebørderforvære“liten”,dvs.:

𝑆 ≈ 0𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑆 ≪ 1

Merk!

𝑆 𝑠 = 1 − 𝑇 𝑠 ↔ 𝑇 𝑠 = 1 − 𝑆(𝑠)

og

𝑇 𝑠 + 𝑆 𝑠 =𝐿(𝑠)

1 + 𝐿(𝑠) +1

1 + 𝐿(𝑠) ≡ 1

FølgeegenskaperIfrekvensplanetharvi:

Godefølgeegenskaper:

𝑇(𝑗𝜔) ≈ 1𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑆(𝑗𝜔) ≪ 1

Eller:

𝐿(𝑗𝜔) ≫ 1

Dårligefølgeegenskaper:

𝑇(𝑗𝜔) ≪ 1𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑆(𝑗𝜔) ≈ 1

Eller:



𝐿(𝑗𝜔) ≪ 1

Kryssfrekvensen:

Påbakgrunnavdettekanvidefinerekryssfrekvensen 𝜔ª:

𝐿(𝑗𝜔ª) = 1 = 0𝑑𝐵

→Etreguleringssystemsfølgeegenskaperergodeforfrekvenserunderkryssfrekvensen,mensdeerdårligeforfrekvenseroverkryssfrekvensen.

BåndbreddeNårviplotterL,TogSvilvitypiskfåetBodeplotsomdette(Kunamplitudeplotteterinteressantidennesammenhengen):

Utfradettedefinerervifølgendebåndbredder:

𝝎𝒄 –Kryssfrekvensen–Frekvensendersløyfetransferfunksjonen 𝐿(𝑗𝜔) harfølgendeverdi:

1 = 0𝑑𝐵

𝝎𝒕 –FrekvensenderforsterkningentilFølgefunksjonen 𝑇(𝑗𝜔) harfølgendeverdi:



12≈ 0.71 = −3𝑑𝐵

𝝎𝒔 –Frekvensenhvorforsterkningentilsensitivitetsfunksjonen 𝑆(𝑗𝜔) harfølgendeverdi:

1 −12≈ 0.29 = −11𝑑𝐵



MathScriptGittfølgendereguleringssystem:

Sløyfetransferfunksjonen:

L = series(Hc, Hp)

Hvisflereenn2:M=series(H1,series(H2,H3))

Følgeforholdet:

T = feedback(L, 1)

Sensitivitetsfunksjonen/Avviksforholdet:

S = 1-T

TilslutttegnervidissetrefunksjoneneietBodediagram(kunamplitudeplottet):

bodemag(L,T,S)

IMathScriptvilplottettypiskseslikut:

Utfradetteplottetkanvileseavbåndbreddene 𝝎𝒄, 𝝎𝒕 og 𝝎𝒔.



IMathScriptkanvienkeltforandrepåakseneslikatdetblirenklereåleseavverdieneforkurven.

71

StabilitetsanalyseiFrekvensplanetEtsystemkanhaenavfølgendestabilitetsegenskaper:

• Asymptotiskstabiltsystem• Marginaltstabiltsystem• Ustabiltsystem

StabilitetsmarginerForsterkningsmargin(𝐺𝑀/Δ𝐾)ogFasemarginen(𝑃𝑀/𝜑)erviktigemtp.analyseavstabilitetsegenskaperfortilbakekobledesystemer.

VitegnerfølgendeBodediagram:

72 StabilitetsanalyseiFrekvensplanet


Utfradettedefinerervifølgende:

Kryssfrekvensen:

Kryssfrekvensen 𝝎𝒄:

𝐿(𝑗𝜔ª) = 1 = 0𝑑𝐵

Fasekryssfrekvensen 𝝎𝟏𝟖𝟎:

∠𝐿 𝑗𝜔T¢- = −180µ

Forsterkningsmargin:

Forsterkningsmargin 𝐆𝐌/𝚫𝑲:

Δ𝐾 = T¨ ��º»¼

Eller:

𝐺𝑀 𝑑𝐵 = − 𝐿 𝑗𝜔T¢- 𝑑𝐵

Forsterkningsmargin(𝐺𝑀/Δ𝐾)sierhvormyesløyfeforsterkningenkanøkeførsystemetblirustabilt.

Fasemargin:

Fasemarginen 𝑷𝑴/𝝋:

𝑃𝑀 = 180µ + ∠𝐿(𝑗𝜔ª)

Fasemarginen(PM/𝜑)sierhvormyefaseforskyvningenkanreduseresførsystemetblirustabilt.

StabilitetsanalyseUtfradettedefinerervifølgendestabilitetsegenskaper:

Asymptotiskstabiltsystem: 𝝎𝒄 < 𝝎𝟏𝟖𝟎

Marginaltstabiltsystem: 𝝎𝒄 = 𝝎𝟏𝟖𝟎

Ustabiltsystem: 𝝎𝒄 > 𝝎𝟏𝟖𝟎



MathScript

IMathScriptkanvileseav 𝜔ª, 𝜔T¢- Δ𝐾, 𝜑 fraBodediagrammetsomvifinnervedåbrukebodefunksjoneniMathScript.

Enannenmetodeeråbrukefunksjonenmargin.

Eksempel:

Slyøfetransferfunkjonenergittsomfølger:

𝐿 𝑆 =𝐾B

𝑠 2𝑠 + 1 (5𝑠 + 1)

Visetter 𝐾B = 0.1

Vistartermedådefineretransferfunksjonen:

Kp = 0.1; Num = [Kp; den1 = [1,0]; den2 = [2,1]; den3 = [5,1]; den = conv(den1, conv(den2,den3)); L = tf(num,den)

Deretterfinnervi 𝜔ª, 𝜔T¢- Δ𝐾, 𝜑:

margin(L)

der 𝐿(𝑠) ersløyfetransferfunksjonen.

Nårvibrukermarginfunksjonenpådennemåten,fårvietBodediagrammed 𝜔ª, 𝜔T¢- Δ𝐾,𝜑 ferdigtegnetinn:



Vikanogsåfåtallverdierfor 𝜔ª, 𝜔T¢- Δ𝐾(𝐺𝑀), 𝜑(𝑃𝑀) direktevedåbrukemarginfunksjonenslik:

[gm, pm, w180, wc] = margin(L)

Merk!Deterfeilihjelpetekstensomdukkeroppnårduskriver“helpmargin”iCommandwindowiMathScript.Detriktigeerrekkefølgensomerillustrertieksempletover!

HvisviønskerGMidBgjørvifølgende:

gmdB = 20*log10(gm)

Dettegirfølgenderesultat:

𝜔ª = 0.09𝑟𝑎𝑑

𝜔T¢- = 0.3𝑟𝑎𝑑

Δ𝐾 𝐺𝑀 = 6.99𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟16.9𝑑𝐵

𝜑 𝑃𝑀 = 55𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟

Viserat 𝜔ª < 𝜔T¢- →Asymptotiskstabiltsystem

Vikanøkesløyfeforsterkningenmed 6.99 førsystemetblirustabilt,dvs.for 𝐾B = 0.7 ogstørrevilsystemetværeustabilt.

Hvorstorebørstabilitetsmarginenevære?



2egenskapersomforetsystemsomstabilitetsmarginenekangiutrykkfor:

• Innsvingningsforløpetireguleringssystemetsdynamiskeresponser• Reguleringssystemetsrobusthetoverforvisseparameterendringerisløyfen.Med

robusthetmenesreguleringssystemetsevnetilåopprettholdevisseegenskapertiltrossforparameterendringer.

Gyldenregel:

Stabilitetsmarginenebørliggeiområdet:

2(6𝑑𝐵) < Δ𝐾 < 4(12𝑑𝐵)

30𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟 < 𝜑 < 60𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟

Såieksempletvårtkan 𝐾B økesnoe,f.eks. 𝐾B = 0.2

[Sluttpåeksempel]

76

MathScript-funksjonerHererenkortoversiktoverMathScriptfunksjonersomviharbenyttet.

Funksjon Beskrivelse Eksempleratan Beregnerarctangenstilx >atan(x)

bode LageretBodediagramforengitttransferfunksjon.Ellerdenkanreturnereforsterkningogfaseforskyvningforgittefrekvenser.HvisduikkespesifiserernoenutgangerfrafunksjonenvilfunksjonentegneetBodediagram.

>num = [4]; >den = [2, 1]; >H = tf(num, den) >bode(H)

bodemag Nestensamesombodefunksjonen,mendennelagerkunforsterkningsplottet–ikkefaseforskyvningsplottet.

>[mag, wout] = bodemag(SysIn) >[mag, wout] = bodemag(SysIn, [wmin wmax]) >[mag, wout] = bodemag(SysIn, wlist)

conv Kanbrukesnårduharkompleksetransferfunksjonersomdumåslåsammen.

>den1 = [1, 2, 3]; >den2 = [3, 4]; >den = conv(C1, C2)

feedback Lagertransferfunksjonenforettilbakekobletsystem. >T = feedback(H1, H2)

log10 Beregner10’erlogaritmen. >log(x)

lsim Brukestilåsimulereetlineærtsystem. >t = [0:0.1:10] >u = sin(0.1*pi*t)' >lsim(H, u, t)

margin TegneretBodediagrammedforsterningsmarginogfasemargintegnetinn.

>num = [1] >den = [1, 5, 6] >H = tf(num, den) margin(H)

margin Dennefunksjonenkanogsåberegnekryssfrekvens,fasekryssfrekvensen,forsterkningsmarginogfasemargin

>[gmf, gm, pmf, pm] = margin(H)

pade BrukestilåfinnetransferfunksjonentilenPade’aproksimasjon.

>[num, den] = pade(delay, order) >[A, B, C, D] = pade(delay, order)

pid BrukestilålagetransferfunksjonentilenP,PI,PDellerPIDregulator.

>Kc = 0.5; >Ti = 0.25; >H = pid(Kc, Ti, 'academic');

plot Brukestilågenerereetplot. >x = [0:0.01:1]; >y = sin(x) >plot(x, y)

poles Finnerpoleneforentransferfunksjon >num = [1] >den = [1,1] >H = tf(num,den) >poles(H)

semilogx KanbrukestilåtegneBodediagram“manuelt”basertpådematematiskeuttrykkenefor 𝐴(𝜔) og 𝜙(𝜔)

>semilogx(w, gain)

series Slasammen2ellerfleretransferfunksjonersomeriserie >H = series(H1,H2)

ss LagerentilstandsrommodellfraA,B,CogDmatrisene. >A = [1, 2; 3; 4] >B = [0; 1] >C = [1, 0] >model = ss(A, B, C)

ssinfo BrukestilåreturnereA,B,CogDmatriseneitilstandsrommodellen.

>A = [1, 1; -1, 2] >B = [1, 2]' >C = [2, 1] >D = 0 >model = ss(A, B, C, D) >[A, B, C, D, Ts] = ssinfo(model)

step Sprangrespons >num=[1,1]; >den=[1,-1,3]; >H=tf(num,den); >t=[0:0.01:10]; >step(H,t);

Sys_order1 Lageren1.ordenstransferfunksjon,medellerutentidsforsinkelse.

>K = 1; >T = 2; >H = sys_order1(K, T) >delay = 3; >H = sys_order1(K, T, delay)

Sys_order2 Lageren2.ordenstransferfunksjon. >z = 0.5 >w = 20 >[num, den] = sys_order2(w, z)

77 MathScript-funksjoner


>H = tf(num, den) >[A, B, C, D] = sys_order2(wn, dr) >SysSS = ss(A, B, C, D)

tf Brukestilålageentransferfunksjon.Kanogsåbrukestilåtransformereentilstandsrommodelltilentransferfunksjon.

>num=[1]; >den=[1, 1, 1]; >H = tf(num, den)

tfinfo Brukestilåreturnereteler,nevnerogeventueltdødtidfraentransferfunksjon.

>[num, den, delay, Ts] = tfinfo(H)

Skriv“help<funksjonsnavn>”iCommandwindowforåfinneuthvordandenenkeltefunksjonvirkeridetalj.

Hans-PetterHalvorsen,M.Sc.

E-mail:[email protected]

Blog:http://home.hit.no/~hansha/

UniversityCollegeofSoutheastNorway

www.usn.no

reguleringsteknikk vha mathscript

Documents