regulación automática

Gijón - Junio 2005 1

Tema 4

Análisis de Sistemas en el Dominio de la Frecuencia

REGULACIÓN AUTOMÁTICA


Indice

• 4.1. Respuesta en frecuencia• 4.2. Representaciones de la respuesta frecuencial

– 4.2.1. Diagrama de Bode– 4.2.2. Diagrama Magnitud-Fase– 4.2.3. Diagrama Polar

• Apéndice I: Relación Análisis Temporal-Análisis Frecuencial• Apéndice II: Aplicación del diagrama de Bode




Análisis en el Dominio de la Frecuencia

• Respuesta de los sistemas ante entradas de tipo senoidal.• Entrada: Señales senoidales de distinta frecuencia f (o pulsación ω=2π·f)

y, generalmente, de la misma amplitud M.

• Salida:Régimen transitorio: La señal se va convirtiendo poco a poco en una senoide. Régimen permanente: La señal es una senoide de igual frecuencia que la

entrada, pero con distinta amplitud y fase. La diferencia es función dela frecuencia.

∞→= 0:)()··(·)( 0 ωω tutsenMtx

))(·(··)()( ωωω jGtsenMjGtyRP +=


Respuesta a una Entrada Senoidal (I)

)()···sen()( 0 tutMtx ω=

]/[51 sradM == ω

Y(s)X(s)G(s)

x(t) y(t)

15575)( 2 ++

=ss

sG


]

][·)(

)(

)()(

radtjGMNjG

sGjG

o

js

ωω

ω

ω ω

=

=

= =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4Transitorio Permanente

M =

N |G(jω)|=N/M |G(jω)= to·ω [rad]

to<0 T=2π/ω=1/f

π/ω 2·π/ω 3·π/ω

y(t)

x(t)


Respuesta a una Entrada Senoidal (II)

)()···sen()( 0 tutMtx ω=

Y(s)X(s)G(s)

x(t) y(t)

15575)( 2 ++

=ss

sG

]/[101 sradM == ω


]

][·)(

)(

)()(

radtjGMNjG

sGjG

o

js

ωω

ω

ω ω

=

=

= =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y(t)

x(t)

Transitorio Permanente

M =

N

to<0 T=2π/ω=1/f

|G(jω)|=N/M

|G(jω)= to·ω [rad]


Representaciones de la Respuesta Frecuencial


• Diagrama de Bode: Dos curvas en función de la frecuencia f [Hz] o de la pulsación ω [rad/s], enescala logarítmica.–Relación de amplitudes A(ω) = 20·log|G(jω)| [dB]–Angulo de fase Ψ(ω) = |G(jω) [º]

• Diagrama Magnitud-Fase:Relación de amplitudes A(ω) [dB] en función del Angulo de fase Ψ(ω) [º]con la frecuencia o pulsación como parámetro.

• Diagrama Polar:Lugar geométrico de los afijos de los vectores G(jω) cuando ω:0→∞


Diagrama de Bode (I)

][)(·log20)( dBjGA ωω =

• La relación de amplitudes en decibelios [dB]:

• El ángulo de fase en grados [º]:

•La frecuencia f [Hz] o la pulsación ω [rad/s] en escala logarítmica

•Multiplicar o dividir por 10 a |G(jω)| supone sumar o restar 20 dB a A(ω).

• Multiplicar por 10 la frecuencia supone subir una década y por 2 una octava.


][ºº180·)()(rad

radjGπ

ωω =Ψ


Diagrama de Bode (II)

∏ ∏

∏ ∏

= =

= =

+++

+++

=L

l

M

m nmnm

ml

N

P

p

Q

q nqnq

qp

sssTs

sssTK

sG

1 1

2

1 1

2

··21)··1(·

··2

1)··1(·

)(

ωωξ

ωωξ

( ) ∏ ∏

∏ ∏

= =

= =

+++

+++

=L

l

M

m nmnm

ml

N

P

p

Q

q nqnq

qp

jjjTj

jjjTK

jG

1 1

2

1 1

2

··21)··1(·

··2

1)··1(·

)(

ωωω

ωξωω

ωωω

ωξ

ω

ω

• Para trabajar con el diagrama de Bode se sustituye s=jω en la función de transferencia del sistema y se expresa con los términos independientes de cada polinomio iguales a 1.

• Se puede estudiar la respuesta en frecuencia del sistema analizando por separado la respuesta de cada uno de los elementos de la función de transferencia. La suma de todos los resultados será la respuesta del conjunto.


( )

++

+

+++

2

2

··21

1;)·1(

1;1;··21;)·1(;

nn

Nnn jj

jTjjjjTK

ωωω

ωξωωω

ωωωξω


Respuesta de un término constante

10-1 100 101ω (rad/s)

Bode (Amplitudes)

AsintóticoReal

10-1 100 101-270

-180

-90

0

90

ω (rad/s)

Bode (Fases)

AsintóticoReal

A(ω)=20·log|K| [dB]

K>0

K<0

KjGKsG == )()( ω

KjGA ·log20)(·log20)( == ωω

<−>

==0º180

0º0)()(

KsiKsi

jG ωωψ



Respuesta de un polo en el origen

10-1

100

101

-20

-10

0

10

20

ω (rad/s)

Bode (Amplitudes)

AsintóticoReal

10-1 100 101-270

-180

-90

0

90

ω (rad/s)

Bode (Fases)

AsintóticoReal

-20 dB/dec

ωω

jjG

ssG 1)(1)( ==

ωω

ωωω

·log20·log201·log20

1·log20)(·log20)(

−=−=

===j

jGA

∞→∀

−=−===Ψ

0:;

º9011)()(

ωω

ωω

ωω jj

jG

−=⇒==⇒=

=⇒=

dBAdBA

dBA

20)10(100)1(1

20)1.0(1.0

ωωω



Respuesta de más de un cero o polo en el origen

10-1

100

101ω (rad/s)

Bode (Amplitudes)

AsintóticoReal

10-1 100 101ω (rad/s)

Bode (Fases)

AsintóticoReal

±N·20 dB/dec0

±N·90º

NN jjGssG ±± == )()()( ωω

( ) ωω

ωω

·log20··log20

)(·log20)(

Nj

jGAN ±==

==±

º90··

)()()(

NjN

jjG N

±=±=

===Ψ ±

ω

ωωω

)0)1(1( dBA =⇒=ω



Respuesta de un polo realω

ωjT

jGsT

sG·11)(

·11)(

+=

+=

2)·(1·log20)( TA ωω +−=)·arctg()( Tωω −=Ψ

10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

0

20

ω (rad/s)

Bode (Amplitudes)

Asintótico

Real

-20 dB/dec

Error max. 3 dB

1/T

10-2

10-1

100

101

102

-180

-90

0

90

ω (rad/s)

Bode (Fases)

Asintótico

Real

-45º/dec

0.1/T 10/T

(Ejemplo para T=1)

−→Ψ⇒∞→→Ψ⇒→

º90)(Siº0)(0Si

ωωωω



Respuesta de un cero real ωω jTjGsTsG ·1)(·1)( +=+=

2)·(1·log20)( TA ωω +=)·arctg()( Tωω =Ψ

10-2

10-1

100

101

102

-20

0

20

40

ω (rad/s)

Bode (Amplitudes)

Asintótico

Real

+20 dB/dec

1/T

10-2

10-1

100

101

102

-90

0

90

180

ω (rad/s)

Bode (Fases)

Asintótico

Real

+45º/dec

0.1/T 10/T

(Ejemplo para T=1)

→Ψ⇒∞→→Ψ⇒→

º90)(Siº0)(0Si

ωωωω



Respuestas de otros ceros o polos reales

• Para N polos o ceros con la misma frecuencia de corte, las pendientes de los trazados asintóticos de cada representación se multiplican por N. También se multiplica por N el error de representación.

• Si los signos del los coeficientes del polinomio que representa al polo o cero real cambian, la curva de relación de amplitudes no cambia, pero la de fases si.

Ceros ω→0 ω→∞ Polos ω→0 ω→∞

(1+T·jω) 0º → 90º 1/(1+T·jω) 0º → -90º(1-T·jω) 0º → -90º 1/(1-T·jω) 0º → 90º(-1+T·jω) 180º → 90º 1/(-1+T·jω) -180º → -90º(-1-T·jω) -180º → -90º 1/(-1-T·jω) 180º → 90º



Respuesta de un par de polos complejos (I)2222 )·()/1()·/·2(1

1)(·)/1()·/·2(1

1)(ωωωωξ

ωωωξ jj

jGss

sGnnnn ++

=++

= ( )[ ] ( )2222 /··4/1·log20)( nnA ωωξωωω +−−=

( )( )

−−=Ψ 2/1

/··2arctg)(n

n

ωωωωξ

ω

10 << ξ

10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

0

20

ω (rad/s)

Bode (Amplitudes)

Asintótico

Real20·logMr

ωr

ωn

Pico de Resonancia

-40·dB/dec

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

90

ω (rad/s)

Bode (Fases)

Asintótico

Real

0.1·ωn 10·ωn

-90º/dec

−=

−=

<<2

2

·21·

1··2

1

707.00

ξωω

ξξξ

nr

rMsi

← Pico de Resonancia

← Frecuencia de Resonancia(Ejemplo para ωωωωn=1, ξξξξ=0.1)

−→Ψ⇒∞→→Ψ⇒→

º180)(Siº0)(0Si

ωωωω



Respuesta de un par de polos complejos (II)

22·)/1()·/·2(11)(

sssG

nn ωωξ ++=

Comparación de la respuesta en frecuencia cuando se modifica el parámetro ξ

22 )·()/1()·/·2(11)(

ωωωωξω

jjjG

nn ++=



Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (I)

)·25.0·5.01)·(·101·()·41·(20)(

)4·2)·(1.0·()25.0·(32)( 22 ssss

ssGssss

ssG+++

+=

++++

=

Fase

))·(25.0·5.01)·(·101·()·41·(20)( 2ωωωω

ωωjjjj

jjG+++

+=

Amplitud

=========

Ψ

20·102.0·1.025.2·10025.0·1.025.01·1001.0·1.01.0

)()(cortedesFrecuencia

nnn

zzz

ppp

A

ωωωωωωωωω

ωω

=⇒=

⇒==

sraddBM

r

rn

/41.124.115.1

5.02

ResonanciadePicoωξ

ω



Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (II)

Elemento Frecuencia de corte Cambio dependiente

Pendiente acumulada

K=20 ≡ 26 [dB] 0 dB/dec

1/(j·ω) (ω=1 ⇒ 0 dB)

No tienen, frecuencia de corte.Su representación es una rectade pendiente -20db/dec quepasa por 26 dB para ω=1

-20 dB/dec -20 dB/dec(pendiente inicial)

1/(1+10·j·ω) ωp=0.1 -20 dB/dec -40 dB/dec(1+4·j·ω) ωz=0.25 +20 dB/dec -20 dB/dec

1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) ωn=2 -40 dB/dec -60 dB/dec

Elemento ω→0 ω→∞K=20>0 0º → 0º1/(j·ω) -90º → -90º

1/(1+10·j·ω) 0º → -90º(1+4·j·ω) 0º → 90º

1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 0º → -180ºTotal -90º → -270º

Elemento Frecuencia de corte Cambio de pendiente

Pendiente acumulada

K=20>0 (0º) 0º/dec1/(j·ω) (-90º)

No tienen. Es una horizontal por -90º 0º/dec

0º/dec(inicial)

1/(1+10·j·ω) 0.1·ωp=0.01 -45º/dec -45º/dec(1+4·j·ω) 0.1·ωz=0.025 +45º/dec 0º/dec

1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 0.1·ωn=0.2 -90º/dec -90º/dec1/(1+10·j·ω) 10·ωp=1 +45º/dec -45º/dec(1+4·j·ω) 10·ωz=2.5 -45º/dec -90º/dec

1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 10·ωn=20 +90º/dec 0º/dec

• Tabla para el trazado asintótico de A(ω)

• Tablas para el trazado asintótico de Ψ(ω)



Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (III)



Diagrama Magnitud-FaseBodeMagnitud-Fase A(ω) [dB]A(ω) [dB] ψ(ω) [º]

ψ(ω) [º] ω [rad/s]

20

40

0

-20

20

40

0

-20

0

-90

-180

-270-270 -180 -90 0 10-1 101

ψ(ω)

A(ω)

A(ω1)A(ω1)

ψ(ω1)

ψ(ω1)

A(ω2)A(ω2)

ψ(ω2)

ψ(ω2) ω2=4

ω2

ω1

ω1=1

)4·2)·(1.0·()25.0·(32)( 2 +++

+=

ssssssG



Diagrama Polar

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-3

-2

-1

0

1

2

ψ(ω1)= G(jω1)

ψ(ω2)= G(jω2)

G(jω1)

G(jω2)

ω=0

ω1

ω2

ω=inf

)1·1.0)(1·2.0)(1·4.0)(1()1·5()(

+++++

=ωωωω

ωωjjjj

jjG



Diagrama Polar (II)


Frequency (rad/sec)

Magnitude

(dB)

Bode Diagrams

-40

-20

0

20

40

60

80

10-1 100 10 1

-270

-240

-210

-180

-150

-120

-90

10-2

Phase

(deg)A(ω)

ψ(ω)

)4·2)·(1.0·()25.0·(32)( 2 +++

+=

ssssssG

-6 -4 -3 -2 -1 1

-8

-6

-4

0

-2

2

ω→0

ω→∞-5

ω→0

ψ(ω)→-90º

A(ω)→∞⇒|G(jω)|→∞

ω→∞ψ(ω)→-270º

A(ω)→-∞⇒|G(jω)|→0ω=1.9

ψ(1.9)=-180º

A(1.9)≈13 dB⇒|G(j·1.9)|≈4.5

ω=1.9

ψ(ω)→-90º

|G(j·1.9)|≈4.5

ψ(1.9)=-180º

|G(jω)|→0

ψ(ω)→-270º

|G(jω)|→∞

(0º)(-180º)

(-270º)

(-90º)


Respuesta en Frecuencia de un Retardo Puro

t

x(t)

t

y(t)=x(t-T)

T

Y(s)X(s)

x(t) y(t)G(s)=e-T·s

Retardo T

T = tiempo de retardo

][·)(][0)(

·1)(X(s)Y(s))(

··

·

radTdBA

TejG

esG

jT

sT

ωωψω

ωω ω

−==

−==

==

−

−


BodeA(ω) [dB] ψ(ω) [º]

ω [rad/s]

20

40

0

-20

0

-90

-180

-2700.1/T

ψ(ω)

A(ω)

1/T 10/T

-1 1

-1

0

1DiagramaPolar




Relación Análisis Temporal – Análisis Frecuencial

100100)(+

=s

sGAmplitud 1 Frecuencia 1 Hz.

¿y(t)?

1. Descomposición de Fourier de la señal de excitación.2. Obtención de la respuesta del sistema a cada una de las senoidales.

3. Suma de las respuestas para obtener y(t) según el principio de superposición.



1. Descomposición de Fourier de la señal de excitación



2. Obtención de la respuesta del sistema cada una de las senoidales

100100)(+

=s

sG

y1(t)

y2(t)

yn(t)



3. Suma de las respuestas para obtener y(t)

100100)(+

=s

sG y(t)=sum(yi(t))

Las respuestas temporal y frecuencial de un sistema pueden relacionarse a partir del desarrollo en serie de Fourier.



Ancho de Banda de un Sistema

Frecuencia en la cual la ganancia está 3 dB por debajo de su valor de frecuencia 0.

Frecuencia superiores al ancho de banda sufren una atenuación proporcional a su alejamiento de tal frecuencia. Frecuencias inferiores pasan casi sin alteración.

(Ganancia K = 1 para el ejemplo)

Y(s)X(s)

x(t) y(t)1·1)(+

=sT

sG

TwRápidoSistemawRápidoSistemaTety

LentoSistemawLentoSistemaT

c

cTt

c

/11)(

=↑↓⇒−=

↓⇒↑⇒−



Resonancia de un SistemaY(s)X(s)

x(t) y(t)22

2

2)(

nn

n

sssG

ωξωω

++=

)(),()·()/1()·/·2(1

1)(·)/1()·/·2(1

1)( 2222 wwAjj

jGss

sGnnnn

Ψ→++

=++

=ωωωωξ

ωωωξ

==−

=−

=

−=<<

)2(·21

)()··cos(21

)(cos1)··cos(21

1··21

·21·707.00

22

2

ϑϑϑϑϑξξ

ξωωξ

sensenMsi

r

nr

↑↑⇒→= −prp MMeM [%]100·

:aciónSobreoscilcotg· θπ


≈≈=

≈≈↓⇒→

−

−=

−−

=−

==

rndd

rnd

rrndp tt

ωπ

ωπ

ωπ

ωωωξ

ξω

ξπ

ξξ

ωπ

ξωπ

ωπ

2

2

2

2

2 1

21

121

1

:picodeTiempo


Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (I)AMPLIFICADOR/ECUALIZADOR

MICROFONO ALTAVOZ

SONIDO SONIDO



Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (II)

MICROFONO

0

0

4

0.01 0.02-4

0

0

4

0.01 0.02-4 500 Hz

0

0

4

0.01 0.02-4 50 Hz

5000 Hz

0

5

0.01 0.020-5

0

0

4

0.01 0.02-4

0

0

4

0.01 0.02-4 500 Hz

0

0

4

0.01 0.02-4 50 Hz

5000 Hz

0

5

0.01 0.020-5



Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (III)

-4

0

0

4

0.01 0.02-4 500 Hz0.01 0.02-4 500 Hz

0

0

4

0.01 0.02-4 50 Hz0

0

4

0.01 0.0250 Hz

5000 Hz

0

5

0.01 0.020-5

0

5

0.01 0.020-5

0

0

4

0.01 0.02

0

0

4

0.01 0.02-4 500 Hz0

0

4

0.01 0.02-4 500 Hz

0

0

4

0.01 0.02-4 50 Hz0

0

4

0.01 0.02-4 50 Hz

5000 Hz

0

5

0.01 0.020-5

0

5

0.01 0.020-5

0.01 -4

0



Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (IV)

0.01 0.02-4

0

0

4

0.01 0.02-4 500 Hz0

0

4

0.01 0.02-4 500 Hz

0

0

4

0.01 0.02-4 50 Hz0

0

4

0.01 0.02-4 50 Hz

5000 Hz

0

5

0.01 0.020-5

0

5

0.01 0.020-5

0

0

4

0.01 0.02-4

0

0

4

0.01 0.02-4 500 Hz0

0

4

0.01 0.02-4 500 Hz

0

0

4

0.01 0.02-4 50 Hz0

0

4

0.01 0.02-4 50 Hz

5000 Hz

0

5

0.01 0.020-5

0

5

0.01 0.020-5

ALTAVOZ

0


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