regulace a rˇı´zenı´ iimatlab.fei.tuke.sk/orhs/subory/podklady/regulace_rizeni...regulace a...
TRANSCRIPT
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 1/26
Regulace a rızenı II
Rızenı nelinearnıch systemu
Obsah
Klouz. rež.
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 2/26
Obsah
Obsah
Klouz. rež.
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 3/26
Obsah prednasky
■ rızenı v klouzavem rezimu■ robustnı rızenı
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 4/26
Rızenı v klouzavem rezimu
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 5/26
Opakovanı■ predpokladejme, ze prepınacı prımky majı mensı
strmost, nez trajektorie v neutralnı oblasti■ pouzijeme trıstavove rele s hysterezı
e
ω
e0e1
−e1 d
−d
z = −U z = 0 z = U
κ = −
1
T
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 6/26
Opakovanı■ predpokladejme, ze pasmo necitlivosti a hystereze snızıme na
velmi malou hodnotu
IIIII
I
III
prepınacı krivka
e
ω
■ oblast I - −U
■ oblast II - +U
■ oblast III - u = 0 a brzdenı trenım
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 7/26
Opakovanı
■ v kazdem okamziku pouzijeme takove rızenı, zetrajektorie smeruje k prepınacı krivce
■ stav systemu se pohybuje (klouze) po prepınacıkrivce
■ prepınacı krivka ω = e = Ke◆ prechodovy dej bude odpovıdat linearnımu
systemu prvnıho radu
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 8/26
Odvozenı■ predpokladejme system popsany soustavou
diferencialnıch rovnic
dx
dt= f0(x) + δ1(x) +G(x)[u+ δ2(x,u)]
kde δ1 a δ2 nemusı byt presne zname■ vhodnou transformacı stavovych promennych
system prevedeme do tvaru
dη
dt= f(η, ξ) + δη(η, ξ)
dξ
dt= fa(η, ξ) +Ga(η, ξ)[u+ δξ(η, ξ,u)]
■ budeme resit problem stabilizace systemu, tak,aby bylo dosazeno stavu η = 0, ξ = 0
■ predpokladame, ze platı f(0) = 0, fa(0) = 0,δη(0) = 0
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 9/26
Odvozenı
■ v prvnı fazi budeme resit stabilizaci systemu
dη
dt= f(η, ξ) + δη(η, ξ)
■ vektor ξ povazujeme nynı za rıdıcı vstup■ zvolıme hodnotu rızenı jako funkci stavovych
promennych ξ = φ(η), φ(0) = 0
■ system
dη
dt= f(η,φ(η)) + δη(η,φ(η))
musı byt asymptoticky stabilnı. Na zakladetohoto pozadavku urcıme funkci φ
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 10/26
Odvozenı
■ predpokladejme, ze se nam podarilo najıt funkciξ = φ(η)
■ musıme zajistit, aby stavovy vektor ξ sledovalhodnotu φ(η)
■ necht’ z = ξ − φ(η)
■ pokud bude z = 0, bude platit ξ = φ(η), stavovyvektor η pujde asymptoticky k 0 a tım i ξ pujdeasymptoticky k 0
■ musıme najıt takove rızenı, ktere v konecnemcase dosahne stavu z = 0 a nasledne tento stavudrzı
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 11/26
Odvozenı
■ vypocteme derivaci vektoru promennych z
dz
dt=dξ
dt−
∂φ
∂η
dη
dt=
= fa(η, ξ) +Ga(η, ξ)[u+ δξ(η, ξ,u)]−∂φ
∂η[f(η, ξ) + δη(η, ξ)]
■ rızenı zvolıme ve tvaru u = ueq +G−1a (η, ξ)v
■ cast rızenı ueq zvolıme tak, aby byly vykompenzovanyzname cleny
ueq = G−1a (η, ξ)
[
−fa(η, ξ) +∂φ
∂ηf(η, ξ)
]
■ dosadıme do vztahu pro derivaci z
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 12/26
Odvozenı
■ pokud by v systemu nebyly zadne neurcitosti, bude resenımrızenı u = ueq
■ pokud jsou v systemu neurcitosti dane funkcemi δη,δξ
dostanemedz
dt= v +∆(η, ξ,v)
∆(η, ξ,v) = Ga(η, ξ)δξ
(
η, ξ,ueq +G−1a (η, ξ)v
)
−∂φ
∂ηδη(η, ξ)
■ predpokladejme, ze maximalnı mozna hodnota vyrazu∆(η, ξ,v) je omezena
‖∆(η, ξ,v)‖∞ ≤ ρ(η, ξ) + k‖v‖∞
kde skalarnı funkce ρ(η, ξ) ≥ 0 a parametr k ∈ 〈0, 1) jsouzname
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 13/26
Odvozenı
■ musıme vytvorit takove rızenı v, ktere bude stavz smerovat k prepınacı zavislosti z = 0
■ dostaneme soustavu rovnic
dzi
dt= vi +∆i(η, ξ,v) i = 1, 2, . . . , p
■ vhodne rızenı pro kazdou z rovnic navrhnemesnadno pomocı Ljapunovovy metody analyzystability
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 14/26
Odvozenı
■ Ljapunovova funkce a jejı derivace
Vi =1
2z2i
dVi
dt= zi
dzi
dt= zivi+zi∆i(η, ξ,v) ≤ zivi+|zi| [ρ(η, ξ) + k‖v‖∞]
■ necht’
vi = −β(η, ξ)
1− ksign zi i = 1, 2, . . . , p
kde β(η, ξ) ≥ ρ(η, ξ) + b a b > 0
■ odtud vyplyva nerovnost
dVi
dt≤ −
β(η, ξ)
1− k|zi|+ ρ(η, ξ)|zi|+ k
β(η, ξ)
1− k|zi| =
= −β(η, ξ)|zi|+ ρ(η, ξ)|zi| ≤ −b|zi|
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 15/26
Odvozenı
■ pro derivaci Ljapunovovy funkce pri zvolenem rızenı tedyplatı
dVi
dt≤ −b|zi|
■ je zrejme, ze pokud dosahneme prepınacı podmınku z = 0(krivka, plocha, manifold), jiz na nı setrvame
■ protoze platıdVi
dt= zi
dzi
dt≤ −b|zi|
dzi
dt≤ −b zi > 0
dzi
dt≥ b zi < 0
je zrejme, ze hodnota |zi| klesa rychleji nez linearne a musıtedy v konecnem case dosahnout z = 0
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 16/26
Postup navrhu
1. prevest system na standardnı tvar2. navrhnout prepınacı manifold (prımka,
plocha,....) ξ = φ(η) odpovıdajıcı rızenısystemu se snızenym radem
3. odhadnout hodnotu ρ(η, ξ) a k
4. navrhnout rızenı u = ueq +G−1a (η, ξ)v
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 17/26
Vlastnosti
■ rızenı bude probıhat ve dvou fazıch1. dosazenı prepınacıho manifoldu z = 02. stav systemu se pohybuje po manifoldu, na
kterem dochazı k prepınanı■ po dosazenı z = 0 bude dynamika regulacnı
smycky odpovıdat systemu nizsıho radu■ lze navrhnout regulator, ktery stabilizuje
soustavu pro dane rozmezı parametru soustavy◆ robustnı rızenı
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 18/26
Prıklad
■ uvazujme system druheho radu popsanyrovnicemi
dx1dt= x2 + θ1x1 sin x2
dx2dt= θ2x
22 + x1 + u
kde θ1,θ2 jsou nezname parametry, o kterychvıme |θ1| ≤ a, |θ2| ≤ b
■ system je jiz ve standardnım tvaru■ v prvnım kroku budeme navrhovat rızenı
systemudx1dt= x2 + θ1x1 sin x2
vstupem x2
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 19/26
Prıklad■ zvolıme Ljapunovovu funkci V (x1) =
1
2x21,
V (x1) = x1x1 = x1x2 + θ1x2
1 sinx2 ≤ x1x2 + ax21
■ mozne stabilizujıcı rızenı je x2 = −(1 + a)x1
V (x1) ≤ −(1 + a)x21 + ax2
1 = −x2
1
■ prepınacı prımka z = x2 + (1 + a)x1 = 0
z = x2 + (1 + a)x1 = θ2x2
2 + x1 + u+ (1 + a)(x2 + θ1x1 sinx2)
■ zname cleny eliminujeme ueq = −x1 − (1 + a)x2
■ pri rızenı u = ueq + v pak dostaneme z = v +∆(x), kde∆(x) = θ2x
2
2 + (1 + a)θ1x1 sinx2
■ je zrejme, ze |∆(x)| ≤ a(1 + a)|x1|+ bx22
■ muzeme tedy zvolit β(x) = a(1 + a)|x1|+ bx22 + b0 b0 > 0
■ vysledne rızenı
u = ueq − β(x) sign z =
= −x1 − (1 + a)x2 − (a(1 + a)|x1|+ bx2
2 + b0) sign(x2 + (1 + a)x1)
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 20/26
Prıklad servomechanismus■ rovnice systemu dy
dt= ωm
dωm
dt=
C
JRa
[−Cωm + u]
■ konstanta stroje C je nemenna a lze predpokladat, ze jejı hodnotu zname
■ skutecny moment setrvacnosti J a odpor kotvy Ra se muze menit, budemepredpokladat, ze J ≥ J a Ra ≥ Ra, kde J a Ra jsou nominalnı hodnoty
■ rovnice lze upravit do tvaru dy
dt= ωm
dωm
dt= a[−Cωm + u]
a =C
JRa
■ je zrejme, ze bude platit a ≤ a
■ rovnice prevedeme do standardnıho tvaru pro metodu navrhu klouzaveho rezimudy
dt= ωm
dωm
dt= a
»
u+a − a
au −
Ca
aωm
–
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 21/26
Prıklad servomechanismus
■ navrhneme stabilizujıcı rızenı pro system y = ωm, kderıdıcım vstupem je nynı ωm
ωm = −Ky K > 0
■ prepınacı prımka z = ωm +Ky = 0
■ navrhneme rızenı, ktere stabilizuje novou promennou z
z = ωm +Ky = a
[
u+a − a
au+
K − Ca
aωm
]
■ rızenı zvolıme ve tvaru u = ueq +va, ueq = 0
z = v +a − a
av + (K − Ca)ωm = v +∆
∆ =a − a
av + (K − Ca)ωm
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 22/26
Prıklad servomechanismus■ najdeme omezenı hodnoty ∆
|∆| ≤ |δa||v|+ |K − Ca||ωm|
■ vzhledem k tomu, ze |δa| = |a−a
a| < 1 odpovıda nerovnost pro ∆ tvaru
|∆| ≤ ρ+ k|v|, kde k = δa a ρ = |K − Ca||ωm|
■ hledame omezenı β > ρ
β = |K − Ca|ωmax
■ vysledne rızenıv = −
β
1− ksign z = −
|K − Ca|ωmax
1− |δa|sign(y +Kωm)
u = −|K − Ca|ωmax
a(1− |δa|)sign(y +Kωm) = −
|K − Ca|ωmax
a − |a − a|sign(y +Kωm)
■ vzhledem k tomu, ze predpokladame a < a, platı
u = −|K − Ca|ωmax
asign(y +Kωm) = −
˛
˛
˛
˛
K
a− C
˛
˛
˛
˛
ωmax sign(y +Kωm) =
= − |KTC − C|ωmax sign(y +Kωm) = −|KT − 1|Cωmax sign(y +Kωm)
■ muzeme pouzıt rızenıu = −U sign(y +Kωm) U ≥ |KT − 1|Cωmax
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 23/26
Problemy rızenı v klouzavem rezimu■ pouzitı releoveho regulatoru vede casto na
neresitelny system◆ viz diskuze resitelnosti systemu nelinearnıch
rovnic◆ prepınanı je vyrazne ovlivneno dynamikou
prepınacıho systemu◆ k prepınanı nedochazı presne na
definovanem prepınacım rozhranı◆ stav systemu neklouze po definovanem
rozhranı, ale kmita v okolı tohoto rozhranı■ i v blızkosti ustaleneho stavu dochazı k
neustalemu prepınanı rızenı◆ v prıpade elektrickych systemu obvykle toto
nepredstavuje problem◆ v rade prıpadu nenı neustale prepınanı mozne
z technologickych duvodu
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 24/26
Nahrada rele
x
y
(a) signum
x
y
(b) Ambrosinova aproxi-
mace
x
y
(c) nasycení
■ releova charakteristika zpusobuje problemy z duvodunespojitosti, dochazı k neustalemu prepınanı akcnı veliciny
■ aproximace funkcı ymaxx
|x|+δ, nebo nasycenı se zesılenım K
■ pro δ → 0, prıpadne K → ∞ se blızıme releovecharakteristice
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 25/26
Nahrada rele
■ pri pouzitı aproximace lze omezit kmitanı akcnıveliciny a system je resitelny
■ na spınacım rozhranı se bude vystup regulatorublızit u = ueq bez kmitanı
■ trajektorie systemu se nebude pohybovat pospınacım rozhranı, ale v oblasti kolem tohotorozhranı
■ sırka oblasti, ve ktere se pohybuje stav systemu,se zmensuje s rostoucı strmostı aproximace
■ mala strmost aproximace zpusobuje snızenırobustnosti, velka strmost muze vyvolat kmitanı
■ strmost aproximace se casto volı experimentalne
Obsah
Klouz. rež.OpakováníOdvozeníPostup návrhuVlastnostiPříkladServomechanismusProblémyNáhrada reléZávěr
Regulace a rızenı II Rızenı nelinearnıch systemu - str. 26/26
Zaver
■ relativne jednoduchy navrh regulatoru■ jednoducha realizace regulatoru■ lze dosahnout stabilizace systemu i pri zmenach
parametru soustavy - robustnı rızenı■ volbou prepınacıho rozhranı muzeme dosahnout
pozadovaneho chovanı