regresion ucv econometria i
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Prof. Econ. Rodolfo MedinaUCV-FACES-ECONOMIA-ECONOMETRÍA I
0.1
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Análisis de Regresión Lineal
UCV-Economía
Econometría I
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0.2
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Análisis de Análisis de Regresión Regresión
Lineal SimpleLineal Simple
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0.3
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
La correlación nos permite medir la magnitud de una asociación lineal entre dos variables. Sin embargo, las variables son tratadas de forma simétrica. (ES INDIFERENTE HABLAR DE CORRELACIÓN ENTRE X E Y, O ENTRE Y E X) Ahora estamos interesados en darle direccionalidad a esta relación. Nos interesa la dependencia de una variable y otra. Queremos conocer como una variable X incide en una variable Y.
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0.4
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
En algunas circunstancias las decisiones gerenciales se fundamentan en la relación entre dos o más variables...
Ejemplo: revisar la relación entre gastos de publicidad y las ventas, en este sentido un gerente de marketing podría tratar de predecir las ventas para un determinado nivel de publicidad...
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0.5
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Algunos términos utilizados en el análisis de regresión: Variable dependiente: es la variable cuyo comportamiento se va a predecir.Variable independiente(s): es la variable o variables que se utilizarán para predecir el valor de la variable dependiente.
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0.6
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Si seguimos con el ejemplo, el gerente de mercadeo desea
predecir el comportamiento de las ventas (variable dependiente),
siendo los gastos en publicidad la variable independiente que utilizará
para predecir las ventas.
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0.7
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
La variable dependiente se suele representar con la letra
Y, mientras que las independientes con la letra X.
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0.8
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Nuestro punto de arranque será el tipo más sencillo de análisis de regresión, donde sólo interviene una variable independiente, a esto se le llama regresión lineal simple. En aquel donde interviene dos o más variables independientes se le llama análisis de regresión múltiple.
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0.9
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Regresión lineal simple Tiene como objeto estudiar cómo los cambios en una variable X afectan a una variable aleatoria Y, en el caso de existir una relación funcional entre ambas variables que puede ser establecida por una expresión lineal, es decir, su representación gráfica es una línea recta.
Cuando la relación lineal concierne al valor medio o esperado de la variable aleatoria, estamos ante un modelo de regresión lineal simple.
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0.10
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
El punto de partida de este proceso es establecer o plantear un modelo para esa relación.
Tenemos que establecer una forma funcional que desconocemos. Para muchos problemas es razonable asumir un modelo lineal. Sin embargo, debemos estar preparados para abandonar este supuesto, si los datos lo contradicen.
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0.11
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Para iniciar la explicación del análisis de Regresión Lineal
Simple utilizaremos un ejemplo
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0.12
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Los analistas financieros consideran que el rendimiento de las obligaciones gubernamentales a largo plazo se constituye en un elemento marcador de la tasa de rendimiento de las obligaciones corporativas a largo plazo. En este sentido los analistas pretende evaluar qué tanta influencia tiene esta variable en los rendimientos de las obligaciones corporativas de largo plazo, para ello utilizan una muestra histórica que abarca los años 1969 a 1991, a través de la cual pretenden determinar como se relaciona la variable dependiente (rendimiento de las obligaciones corporativas de largo plazo) y la variable independiente (obligaciones gubernamentales de largo plazo).
El análisis de regresión les permite plantear una ecuación que muestra esa relación.
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0.13
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleLos datos…
Período
Obligaciones Corporativas a
largo plazo
Obligaciones gubernamentales
a largo plazo1969 -8.09 -5.071970 18.37 12.111971 11.01 13.231972 7.26 5.691973 1.14 -1.111974 -3.04 4.351975 14.64 9.201976 18.65 16.751977 1.71 -0.691978 -0.07 -1.181979 -4.18 -1.231980 -2.62 -3.951981 -0.96 1.861982 43.79 40.361983 4.70 0.651984 16.39 15.481985 30.90 30.971986 19.85 24.531987 -0.27 -2.711988 10.70 9.671989 16.23 18.111990 6.78 6.181991 19.89 19.30
Fuente: De Stocks, Bonds, Bills and Inflation, 1992 Yearbook.
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0.14
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleLos datos…
Veamos el Diagrama de Dispersión
Diagrama de Dispersión
-20.00
-10.00
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
-10.00 0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00
Rendimiento OGLP
Re
nd
imie
nto
OC
LP
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0.15
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
¿Qué nos dice el diagrama de
dispersión o la nube de puntos?
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ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Nos sugiere que el ajuste es adecuado.
Se evidencia una relación positiva entre ambas
variables, además de que el ajuste lineal luce como
pertinente.
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ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Diferentes nubes de puntos y modelos de regresión para ellas.
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ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
El modelo de regresión y la ecuación de regresión
La ecuación que describe cómo se relaciona y con x con un término de error se denomina MODELO DE REGRESIÓN:
Y = O + 1 x + Y es una función lineal de X (O + 1 X)
más un término de error. O y 1 son
los parámetros del modelo y es una variable aleatoria.
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0.19
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
¿Qué nos explica el término de
error?
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0.20
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Explica la variabilidad en Y que no se puede
explicar a través de la relación lineal entre X e Y.
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0.21
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
La ecuación de regresión lineal simple:
E(Y) = O + 1X
Esto será producto de uno de los supuestos del modelo que nos señala que el término de error es una variable aleatoria con media o valor esperado cero.
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0.22
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
En definitiva...Estamos interesados en conocer el valor que toma Y cuando la variable aleatoria X toma un valor específico.
La relación entre las variables no será exacta. Estaríamos interesados en la media o valor esperado.E(Y/ X=x) = o + 1X
Donde o y 1 determinan una línea concreta.
¿Cómo podemos interpretar o y 1?
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0.23
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
o es la ordenada en el origen de la recta (es valor esperado de la variable
dependiente Y, cuando la variable independiente toma el valor 0)
y 1 es la pendiente y nos señala el cambio (incremento/disminución) esperado de Y para un incremento
unitario de X.
E(Y) es el valor esperado o media de y para determinado valor de X
(E(Y/X=Xo)).
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0.24
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
La ecuación estimada de regresión
Cómo los parámetros O y 1 son
desconocidos es necesario estimar los valores de esos parámetros a través de datos muestrales.Los estadísticos bO y b1 que
calcularemos serán los estimadores de O y 1.
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0.25
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Con esta información podemos indicar que la ecuación estimada de
regresión es la siguiente:
Y = bO + b1 x
Donde:bO es la ordenada en el origen
b1 es la pendiente
Y es el valor estimado de Y para un valor determinado de X
^
^
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0.26
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Modelo de RegresiónY = O + 1 x +
Ecuación de RegresiónE(Y) = O + 1 x
Parámetros desconocidosO y 1
bO y b1
Arrojan valores estimados de los
Parámetros desconocidosO y 1
Datos de la Muestra
X YX1 Y1
. .
. .
. .Xn Yn
Modelo de Regresión
Y = bO + b1 x
Estadísticos de la muestrabO y b1
^
Resumiendo el procedimiento descrito con anterioridad:
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0.27
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
¿Cuál es el método utilizado para llevar a
cabo la estimación de la recta?
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0.28
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
¿Seríamos capaces de determinar ¿Seríamos capaces de determinar como es exactamente la recta de como es exactamente la recta de
regresión poblacional?regresión poblacional?
Necesitamos obtener una estimación a partir de los datos disponibles.
¿Nos preguntaremos cuál es la recta ¿Nos preguntaremos cuál es la recta que mejor se ajusta a esos datos?que mejor se ajusta a esos datos?
Queremos estimar o y 1
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0.29
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Podríamos inspeccionar directamente la nube de puntos.
Sin embargo, parece claro que necesitamos un procedimiento
formal.
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0.30
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Este es:
El MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
ORDINARIOS
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0.31
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Siguiendo con el ejemplo: Tratamos de estimar a partir de los datos muestrales, la recta poblacional.
X1= rendimiento de las obligaciones gubernamentales a largo plazo.
bo= ordenada en el origen de la línea estimada de regresión.
b1= pendiente de la línea estimada de regresión
yi = valor estimado de los rendimientos de las obligaciones corporativas a largo plazo.
Y = bO + b1 x ^
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0.32
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
¿Qué criterio sigue el Método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios?
Utilizando los datos de la muestra determina los valores bo y b1, tal que se minimicen la SUMA DE LOS CUADRADOS DE LAS DESVIACIONES entre los valores observados de la variable dependiente yi, y los valores estimados de la variable dependiente yi.^
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0.33
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Este criterio se puede expresar de la siguiente manera:
MIN (Yi – Yi)2
Donde:Yi = valor observado de la variable dependiente para la i-ésima observaciónYi = valor estimado de la variable dependiente para la i-ésima observación.
^
^
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0.34
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Gráficamente
Xi, Yi
Y = a +bx
Error i=Yi-(a+bXi)
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0.35
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Utilizando el cálculo diferencial se pueden Utilizando el cálculo diferencial se pueden derivar los valores de bo y b1 que minimizan la derivar los valores de bo y b1 que minimizan la
expresión señalada en láminas precedentes:expresión señalada en láminas precedentes:
1 01
^^
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0.36
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleHaciendo los cálculos para el ejemplo:
Período
Obligaciones Corporativas a
largo plazo
Obligaciones gubernamentales
a largo plazo (X-Ux)^2 (x-Ux) (y-Uy)
1969 -8.09 -5.07 204.75 254.361970 18.37 12.11 8.24 24.931971 11.01 13.23 15.93 5.281972 7.26 5.69 12.60 8.611973 1.14 -1.11 107.10 88.441974 -3.04 4.35 23.90 62.221975 14.64 9.20 0.00 -0.191976 18.65 16.75 56.41 67.331977 1.71 -0.69 98.59 79.201978 -0.07 -1.18 108.56 101.651979 -4.18 -1.23 109.60 145.171980 -2.62 -3.95 173.95 162.311981 -0.96 1.86 54.45 78.561982 43.79 40.36 968.51 1061.341983 4.70 0.65 73.77 42.831984 16.39 15.48 38.95 41.841985 30.90 30.97 472.23 461.001986 19.85 24.53 233.81 155.421987 -0.27 -2.71 142.78 118.971988 10.70 9.67 0.19 0.441989 16.23 18.11 78.69 58.051990 6.78 6.18 9.36 8.891991 19.89 19.30 101.22 102.66
Fuente: De Stocks, Bonds, Bills and Inflation, 1992 Yearbook. 3093.60 3129.28 Sumas
Promedio de y 9.69Promedio de X 9.24
bo 0.3404b1 3129.28 3093.60 1.011533198
Numerador Denominador
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0.37
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleUsando el ExcelUsando el Excel
SUMMARY OUTPUT
Regression StatisticsMultiple R 0.965373184R Square 0.931945385Adjusted R Square 0.928704689Standard Error 3.317694211Observations 23
ANOVAdf SS MS F Significance F
Regression 1 3165.372955 3165.373 287.5757 9.87649E-14Residual 21 231.1489924 11.007095Total 22 3396.521948
Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Lower 95.0% Upper 95.0%Intercept 0.340399798 0.88447 0.384863 0.704209 -1.498956579 2.179756 -1.49895658 2.179756174X Variable 1 1.011533198 0.059649122 16.958057 9.88E-14 0.887486038 1.13558 0.887486038 1.135580359
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0.38
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Gráficamente, veamos el ajusteGráficamente, veamos el ajuste
-20
-10
0
10
20
30
40
50
-10 0 10 20 30 40 50
rendimiento OGLP
ren
dim
ien
to O
CL
P
Predicción
Real
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0.39
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
La ecuación estimada para el ejemplo Y:
Y = 0,340399798 + 1.011533198XEsta ecuación estimada la podemos utilizar para predecir el rendimiento de las obligaciones corporativas a largo plazo, si el rendimiento de las obligaciones gubernamentales a largo plazo fuera el 3%.
En este caso sería:
Y = 0,340399798 + 1,011533198 (3)= 3,374999%
^
^
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0.40
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
¿Cómo evaluamos la calidad de estimación
de esta recta?
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0.41
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Para responder esta pregunta, lo primero que tenemos que saber es que la
desviación entre el valor observado de la variable dependiente, yi, y el valor
estimado de la variable dependiente, yi, se llama i-ésimo RESIDUAL.
Estos valores representan el error que se comete por utilizar yi estimado para
estimar yi. Estamos hablando de yi-yi.
^
^^
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0.42
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
La suma de los cuadrados de esos errores es la cantidad que minimiza el método de los mínimos cuadrados ordinarios. Esta cantidad también se le llama SSE= (siglas en inglés de la suma del cuadrado de los errores):
SSE= (yi-yi)2^
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0.43
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
En el ejemplo que utilizamos:
Para el año 1969, el rendimiento de las obligaciones gubernamentales a LP es de –5,07 (X), mientras que el rendimiento de las obligaciones de las corporaciones a LP es de –8,09 (Y). El valor estimado para ese año es –4,7880, siendo el residual -3,30192, y su cuadrado 10,90271.
^
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0.44
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Regression StatisticsMultiple R 0.965373184R Square 0.931945385Adjusted R Square 0.928704689Standard Error 3.317694211Observations 23
ANOVAdf SS MS F Significance F
Regression 1 3165.372955 3165.372955 287.5757 9.87649E-14Residual 21 231.1489924 11.00709487Total 22 3396.521948
SSE
El producto que arroja el Excel nos proporciona:
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0.45
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleEl producto que arroja el Excel nos proporciona:
RESIDUAL OUTPUT
Observation Predicted Y Residuals1 -4.788073518 -3.3019264822 12.59006683 5.779933173 13.72298401 -2.7129840124 6.096023696 1.1639763045 -0.782402052 1.9224020526 4.740569211 -7.7805692117 9.646505223 4.9934947778 17.28358087 1.366419139 -0.357558109 2.067558109
10 -0.853209376 0.78320937611 -0.903786036 -3.27621396412 -3.655156336 1.03515633613 2.221851547 -3.18185154714 41.16587968 2.62412031715 0.997896377 3.70210362316 15.99893371 0.39106629217 31.66758295 -0.76758295118 25.15330915 -5.30330915319 -2.40085517 2.1308551720 10.12192583 0.57807417421 18.65926602 -2.4292660222 6.591674964 0.18832503623 19.86299053 0.027009474
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0.46
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Otros cálculos que tenemos que llevar a cabo, involucran otras sumas de cuadrados.
El primero de ellos, tiene que ver con la diferencia entre el valor observado de Y y su valor promedio.
Esta suma de cuadrados se denomina como SST (cifras en inglés de suma total de cuadrados)
SST = (yi-yi)2
También tenemos que realizar un cálculo similar utilizando el valor estimado de Yi. En este caso, este se denominará SSR (cifras en inglés de la suma de los cuadrados de la regresión):
SSR = (yi-yi)2^
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0.47
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleGráficamente:
-20
-10
0
10
20
30
40
50
-10 0 10 20 30 40 50
rendimiento OGLP
rend
imie
nto
OC
LP
Predicción
Real
Promedio Y
ResidualYi-y
Yi-y^
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0.48
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Con toda la información anterior podemos establecer una relación entre
las tres sumas de cuadrados:
SST = SSR + SSE
SST= suma total de cuadrados.
SSR= suma de cuadrados debida a la regresión.
SSE= suma de cuadrados debida al error.
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0.49
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
A partir de esta relación podemos calcular un indicador de la bondad de ajuste para la ecuación de la regresión: COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN.
R2 = SSR
SST
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0.50
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
También lo puedo expresar de la siguiente forma:
R2 = 1- (SSE/SST)
Este es la proporción de variabilidad de la variable dependiente explicada por su relación lineal con la variable independiente.
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0.51
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
El COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN se ubica entre
cero y uno.
Un coeficiente de determinación cercano a cero señala ajustes menos adecuados, mientras que cercanos a uno muestra un ajuste de calidad.
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0.52
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
El COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN para el ejemplo:
SUMMARY OUTPUT
Regression StatisticsMultiple R 0.965373184R Square 0.931945385Adjusted R Square 0.928704689Standard Error 3.317694211Observations 23
Coeficiente de
correlación
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0.53
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
El COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN para el ejemplo:
ANOVA
df SS MS F Significance FRegression 1 3165.372955 3165.372955 287.5757 9.87649E-14Residual 21 231.1489924 11.00709487Total 22 3396.521948
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0.54
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
¿Cómo interpretamos al Coeficiente de Determinación?
El 93,1945 % de la variación en los rendimientos de las obligaciones corporativas de LP se puede explicar por el rendimiento de las obligaciones gubernamentales de LP.
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0.55
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Relación entre el coeficiente de correlación y el coeficiente de
determinación:
r x,y = (signo de b1) * R2
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0.56
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Pruebas de Significancia
Estimado de 2
A partir de los supuestos del modelo, podemos concluir que la varianza del término de error, , también representa la varianza de los valores de y respecto a la línea de regresión. Esta diferencia, la habíamos definido antes como RESIDUALES.
Por ende SSE, es una medida de la variabilidad de las observaciones reales respecto a la línea de regresión.
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0.57
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Pruebas de Significancia
Estimado de 2
El estimado de 2 (S2) está relacionado con esa suma de
cuadrados de la siguiente manera:
S2 = SSE/n-2
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0.58
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleEn la hoja de calculo la
identificamos:
SUMMARY OUTPUT
Regression StatisticsMultiple R 0.965373184R Square 0.931945385Adjusted R Square 0.928704689Standard Error 3.317694211Observations 23
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0.59
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Prueba t
Si X e Y tienen relación lineal, debe suceder que 1 0. Necesitamos entonces una prueba
que nos permita verificar si esta afirmación es válida.
Ho: 1 = 0
H1: 1 0
Si se rechaza Ho, podríamos señalar que existe una relación estadísticamente significativa entre las dos variables.
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0.60
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Las propiedades de b1, es decir, el estimador de 1 por el
método de los mínimos cuadrados ordinarios, son la base de esta prueba de hipótesis.
Debe quedar claro que bo y b1, son estadístico de la muestra que tienen sus propias distribuciones muestrales.
Distribución muestral de b1.
Valor esperado E(b1) = 1
Desviación estándar :
Sb1 = S
Xi2 –( Xi)2 /n
Forma de la distribución: Normal
Como no conocemos
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0.61
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Intervalos de confianza para la pendiente Intervalos de confianza para la pendiente de la recta de regresiónde la recta de regresión
Un intervalo de confianza de 100(1-)% para la pendiente de la recta de regresión poblacional es el siguiente:
b – (t n-2, /2) Sb1 < 1 < b + (t n-2, /2) Sb1
Por su parte, el contraste bilateral correspondiente será:
Ho: 1 = o
H1: 1 o
Regla de Decisión:Rechazar Ho si [(b1-o) /Sb] > t n-2,
Rechazar Ho si [(b1-o) /Sb] < - t n-2,
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0.62
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Realice el contraste Realice el contraste para el ejemplo que para el ejemplo que venimos trabajandovenimos trabajando
Use un Use un =0,05 =0,05
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0.63
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Ejemplo:Ejemplo:
Coefficients Standard Error t StatIntercept 0.340399798 0.88447 0.384863023X Variable 1 1.011533198 0.059649122 16.95805693
Observe estos valores
Qué concluye
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0.64
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Obtenga los Obtenga los intervalos de intervalos de
confianza (95%)confianza (95%)
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0.65
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Ejemplo:Ejemplo:
Observe estos valores
Qué concluye
Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 0.340399798 0.88447 0.384863023 0.704209 -1.498956579 2.179756X Variable 1 1.0115 0.059649122 16.95805693 9.88E-14 0.887486038 1.13558
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0.66
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal SimpleLos contrastes unilaterales serán los siguientes:
Ho: 1 = 0 o Ho: 1 0
H1: 1 > 0
Regla de Decisión:
Rechazar Ho si [(b-1) /Sb1] > t n-2,
Ho 1= 0 o Ho: 1 0
H1: 1 < 0
Regla de Decisión:
Rechazar Ho si [(b-o) /Sb1] < -tn-2,
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0.67
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
¿Qué es la prueba F?
Es una prueba que también nos permite probar si la regresión es significativa. Para ello utiliza la Distribución F de probabilidades.Esta prueba será de mayor utilidad en el caso de la regresión múltiple, ya que en el caso de la regresión lineal simple sólo existe una variable independiente.
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
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0.68
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
La lógica que está detrás de esta prueba es la determinación de dos estimados independientes de 2. Una de las formas de estimar 2 involucraba a la SSE dividida entre n-2 grados de libertad.
Otra forma sería involucrar a la SSR con sus respectivos grados de libertad, que en este caso vienen representados por el número de variables independientes (En este caso 1, excluyendo al término independiente)
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
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0.69
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Sólo para recordar
Estimado de 2
El estimado de 2 (S2) está relacionado con esa suma de
cuadrados de la siguiente manera:
S2 = SSE/n-2
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0.70
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
A continuación presentamos el Contraste:
Ho: 1 = 0
H1: 1 0
Estadístico experimental:
SSR
Número de Variables independientes
SSE
n-2
F =Numerador
Denominador
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0.71
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Regla de rechazo:
Rechazar Ho, si F > F
Donde F, se basa en una distribución F con 1 grado de libertad en el numerador (EN ESTE CASO) y n-2 grados de libertad en el denominador.
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0.72
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Apliquemos, la prueba al ejemplo que venimos
trabajando.
Así aprendemos a usar la tabla correspondiente...
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0.73
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
En la hoja de calculo la identificamos:
ANOVAdf SS MS F Significance F
Regression 1 3165.372955 3165.372955 287.5757 9.87649E-14Residual 21 231.1489924 11.00709487Total 22 3396.521948
¿Qué es esto?
¿y esto?
¿y esto?
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0.74
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Estimaciones
Una vez que se ha obtenido una relación estadísticamente significativa entre X e Y, y el ajuste que proporciona la regresión parece bueno...podríamos usar la ecuación estimada para hacer predicciones.
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0.75
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión Lineal SimpleRegresión Lineal Simple
Estimación PuntualA partir de la recta de regresión estimada en este caso la siguiente:
Y = 0,340399798 + 1.011533198X
Podemos determinar el valor puntual de y estimado para un determinado valor de X, es decir, podemos predecir el rendimiento de las obligaciones corporativas a LP, para un rendimiento de las obligaciones gubernamentales a LP.
^
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0.76
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Análisis de Análisis de Regresión Regresión Múltiple.Múltiple.
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0.77
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
El Modelo de Regresión Múltiple
Hasta ahora habíamos estudiado el comportamiento de una única variable independiente para explicar el comportamiento de una variable dependiente.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.78
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
El Modelo de Regresión Múltiple
A partir de ahora el objetivo sigue siendo el mismo, construir un modelo que explique lo mejor posible la variabilidad de una variable dependiente. Sin embargo, ahora admitimos la posibilidad de que hayan diversas variables independientes (múltiples influencias).
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.79
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
El Modelo de Regresión Múltiple
y = o+ 1X1+ 2X2+ 3X3+...+nXn+
o,1,2,3,....,n son los parámetros y es una variable
aleatoria.
El modelo tal y como está planteado señala que “y” es una función lineal de X1,X2, ...Xn.
El término explica la variabilidad en Y que no puede explicar el efecto lineal de las n variables independientes.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.80
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
La ecuación de regresión múltiple
E(y) = o+ 1X1+ 2X2+ 3X3+...+nXn
La ecuación estimada de regresión múltiple
Y = bo+ b1X1+ b2X2+ b3X3+...+bnXn
Donde: b0, b1, ...bn son los parámetros
estimados de los betas, e Y es el valor estimado de la variable dependiente.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
^
^
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0.81
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Para estimar esta ecuación utilizaremos el método de los mínimos cuadrados.
Este método como vimos en regresión simple, hace que la suma de los residuos elevados al cuadrado, es decir, las desviaciones entre los valores observados de la variable dependiente y los valores estimados sea mínima.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.82
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
La deducción de las fórmulas de los distintos parámetros
estimados requiere álgebra matricial, lo cual sale de los
propósitos del curso.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.83
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Para explicar el análisis de regresión
múltiple utilizaremos el siguiente ejemplo:
Los datos que se presentan a continuación están referidos a entidades de ahorro y crédito en los Estados Unidos en los últimos 25 años. Un grupo de analistas financieros de este sector está interesado en establecer una posible relación entre el margen de beneficio porcentual obtenido por estas instituciones y el número de oficinas y los ingresos netos por dólar depositado.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.84
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Los datos:Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Año
Margen de beneficio
porcentual de las entidades de
ahorro y préstamoIngresos Netos por dólar depósitado
Número de oficinas
1 0.75 3.92 72982 0.71 3.61 68553 0.66 3.32 66364 0.61 3.07 65065 0.7 3.06 64506 0.72 3.11 64027 0.77 3.21 63688 0.74 3.26 63409 0.9 3.42 634910 0.82 3.42 635211 0.75 3.45 636112 0.77 3.58 636913 0.78 3.66 654614 0.84 3.78 667215 0.79 3.82 689016 0.7 3.97 711517 0.68 4.07 732718 0.72 4.25 754619 0.55 4.41 793120 0.63 4.49 809721 0.56 4.7 846822 0.41 4.58 871723 0.51 4.69 899124 0.47 4.71 917925 0.32 4.78 9318
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0.85
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Lo primero que
haremos será obtener la regresión estimada...
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.86
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
¿Cómo lo hacemos?
Vaya al comando análisis, luego presione regresión y aparecerá una ventana…trabajemos con ella…
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.87
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Detengámonos por un momento a
analizar la cuarta tabla obtenida en el reporte...La tabla relacionada con los
coeficientes
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Coefficientsa
1.564 .079 19.705 .000 1.400 1.729
.237 .056 .987 4.269 .000 .122 .352
-2.49E-04 .000 -1.797 -7.772 .000 .000 .000
(Constant)
INGRESOS
OFICINAS
Model1
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
Standardized
Coefficients
t Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval for B
Dependent Variable: MARGENa.
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0.88
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Tenemos que preguntarnos como se
interpreta estos coeficientes:
Estos coeficientes estimados de las betas se interpretan con el impacto (positivo o negativo) que se espera en la variable dependiente, al incrementar la variable Xi respectiva en una unidad, MIENTRAS EL RESTO DE LAS VARIABLES PERMANECEN CONSTANTES.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.89
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
En el ejercicio que estamos trabajando:
El coeficiente correspondiente a X1, es decir, b1, señala que al incrementar en una unidad los ingresos netos (en 1$) se produciría un aumento de 0.237 en el margen porcentual de beneficio de las entidades de ahorro y crédito, siempre que el número de oficinas permanezca constante.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.90
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
En el ejercicio que estamos trabajando:
El coeficiente correspondiente a X2, es decir, b2, indica que manteniendo los ingresos netos fijos, un incremento de una oficina de ahorro y crédito, produciría una reducción esperada en el margen porcentual de beneficio de 0,000249.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.91
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Estos coeficientes reciben el nombre de COEFICIENTES DE
REGRESIÓN PARCIAL. Las razones por lo cual reciben este
nombre tiene que ver con que los mismos proporcionan medidas separadas de influencias de las variables independientes en la
variable dependiente.
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.92
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
La capacidad explicativa de una ecuación de regresión múltiple.
Recordemos lo que habíamos visto para la regresión lineal simple:
SST = SSR + SSE
Variabilidad Total de la muestra = Variabilidad explicada + Variabilidad
No explicada
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.93
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
La capacidad explicativa de una ecuación de regresión múltiple.
Aplicando el mismo concepto tenemos que el Coeficiente de Determinación Múltiple:
R2 = SSR/SST = 1- (SSE/SST)0 R2 1
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
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0.94
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Model Summaryb
.930a .865 .853 5.330E-02Model1
R R SquareAdjustedR Square
Std. Error ofthe Estimate
Predictors: (Constant), OFICINAS, INGRESOSa.
Dependent Variable: MARGENb.
Verifiquemos este valor en los resultados obtenidos, busquen la tabla No.2 del reporte
Este resultado señala que en esta muestra, el 86,5% de la variabilidad en los márgenes de beneficio de las EAYC, se explica por su asociación lineal con los ingresos netos y
el número de oficinas
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0.95
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Todavía en esta tabla nos falta por identificar dos valores...
Model Summaryb
.930a .865 .853 5.330E-02Model1
R R SquareAdjustedR Square
Std. Error ofthe Estimate
Predictors: (Constant), OFICINAS, INGRESOSa.
Dependent Variable: MARGENb.
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0.96
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Empecemos con el error estándar de la estimación, como vimos en REGRESIÓN LINEAL SIMPLE éste tiene que ver con la estimación de la varianza del error.
S2 = SSE n-K-1
Donde K es el número de variables independientes, excluyendo el intercepto.
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0.97
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
¿Qué pasa con el otro valor?
El llamado Coeficiente de Determinación Ajustado o
Corregido.
¿Para qué sirve?
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0.98
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
La utilidad principal del coeficiente de
determinación, R2, es como estadístico descriptivo del
éxito de las variables independientes, para
explicar el comportamiento de la variable dependiente.
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0.99
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Su uso puede criticarse, cuando el número de variables explicativas no
es una porción pequeña de n (número de observaciones).
En efecto cuando esto sucede, el modelo podría sugerir que se ajusta bien a los datos, y sin embargo las variables independientes, no tienen
un vínculo fuerte con la variable dependiente.
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0.100
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Aquí surge la necesidad de tener un indicador que me indique la vinculación entre las variables independientes y la
dependiente de una manera más adecuada, es decir, una medida
modificada de la fuerza de la relación de la regresión.
Se está tratando de incluir una compensación por la inclusión en el
modelo de más variables independientes (relevantes o no).
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0.101
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Para ello utilizamos el llamado Coeficiente de Determinación Ajustado o Corregido: R2 = 1
En nuestro ejercicio este valor es 0.853. Es muy parecido al Coeficiente de Determinación.En este caso particular, el ajuste es muy pequeño, debido que el número de variables independientes es un número pequeño en relación con el tamaño de la muestra.
SSE/(n-k-1)
SST/(n-1)
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0.102
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Otro aspecto que tenemos que evaluar se encuentra en la tabla No.2
Model Summaryb
.930a .865 .853 5.330E-02Model1
R R SquareAdjustedR Square
Std. Error ofthe Estimate
Predictors: (Constant), OFICINAS, INGRESOSa.
Dependent Variable: MARGENb.
Este es el coeficiente de Correlación Múltiple y nos proporciona una medida de la potencia total de la regresión, recuerden que es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación
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0.103
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Intervalos de Confianza y Contrastes de hipótesis para parámetros individuales de la
regresión
Como ya habíamos dicho en regresión simple, estos
estadísticos tendrán validez si se mantienen los supuestos del
modelo...
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0.104
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Intervalos de Confianza para los coeficientes de regresión parcial
Si se cumplen los supuestos asumidos por el modelo, los intervalos de confianza del 100(1-)% para los coeficientes de regresión parcial son de la forma:
bi – (t n-K-1;/2) Sbi < i < bi + (t n-K-1;/2) Sbi
La variable t n-K-1 tiene una distribución t de
student con n-k-1 grados de libertad
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0.105
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Verifiquemos en los productos arrojados por el programa
Coefficientsa
1.564 .079 19.705 .000 1.400 1.729
.237 .056 .987 4.269 .000 .122 .352
-2.49E-04 .000 -1.797 -7.772 .000 .000 .000
(Constant)
INGRESOS
OFICINAS
Model1
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
Standardized
Coefficients
t Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval for B
Dependent Variable: MARGENa.
Están calculados para el 95% de confianza
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0.106
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión MúltipleInterpretación de los intervalos de
confianza:
Para 1El intervalo de confianza del 95% para el incremento esperado de los márgenes de beneficios resultante de un aumento en los ingresos netos, DADO UN NÚMERO FIJO DE OFICINAS, va desde 0.122 a 0.352.
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0.107
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Interpretación de los intervalos de confianza:
Para 2
El intervalo de confianza del 95% para la reducción esperada en los márgenes de beneficios resultante de un aumento en mil oficinas, para un nivel fijo de ingresos netos va desde 0,1826 a 0,3155.
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0.108
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión MúltipleContrastes de Hipótesis sobre los coeficientes de regresión parcial.
Contraste Bilateral:
Ho: i = i0
H1: i i0
Regla de Decisión:
Rechazar Ho si [(bi-io) /Sbi] > t n-k-1, /2
Rechazar Ho si [(bi-io) /Sbi] < - t n-k-1, /2
Ud. puede derivar el resto de los contrastes
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0.109
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Un caso especial es aquel en que el valor que se quiere contrastar para un parámetro
es cero.
Con esta conjetura Ud. estaría señalando que el valor esperado de la variable dependiente no se verá afectado por un cambio en la correspondiente variable independiente.Recuerden lo que les había mencionado en regresión simple con respecto a los signos
esperados.
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0.110
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Esto implicaría que la si el resto de las variables explicativas va a ser utilizado en el modelo, la que se
esta considerando, por ejemplo X1, no aporta nueva información, en un
contexto lineal, para explicar el comportamiento de la variable
dependiente.
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0.111
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
En el ejercicio que estamos trabajando:
Una conjetura válida para el coeficiente vinculado al incremento en los ingresos netos
provoque un aumento de los márgenes de beneficio. Por ello, la hipótesis que estaríamos
interesados en contrastar sería la siguiente:
Ho: 1 = 0
H1: 1 >0
Regla de Decisión:
Rechazar Ho si [(b1-0) /Sb1] > t n-k-1,
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0.112
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
En el ejercicio que estamos trabajando:Regla de Decisión:
[(b1-0) /Sb1]={(0,237-0)/ 0,055} =4,27
t n-k-1, =t 22;0,05 = 2,819
Por ende, se rechaza Ho, es decir, rechazamos la hipótesis nula de que los ingresos netos no contribuyen a
la explicación del comportamiento de los márgenes de beneficio, dado que el número de oficinas se utiliza
también como variable explicativa.
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0.113
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Veamos que nos proporciona el programa
Coefficientsa
1.564 .079 19.705 .000 1.400 1.729
.237 .056 .987 4.269 .000 .122 .352
-2.49E-04 .000 -1.797 -7.772 .000 -.0003155 -.00018261
(Constant)
INGRESOS
OFICINAS
Model1
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
Standardized
Coefficients
t Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval for B
Dependent Variable: MARGENa.
¿Qué significa esto?
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0.114
ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
RECUERDEN LA HIPÓTESIS QUE
PLANTEA EL PROGRAMA ES LA
BILATERAL…
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ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión MúltipleEn el ejercicio que estamos trabajando, también podríamos plantear la siguiente
conjetura:
Otra conjetura que podríamos hacer está relacionada con que
si todo lo demás permanece constante, un incremento en el
número de oficinas debería provocar una caída en el margen
de beneficio (al aumentar la competencia)
En este caso, lo que estaríamos contrastando sería lo
siguiente:
Ho: 2 = 0
H1: 2 <0
Regla de Decisión:
Rechazar Ho si [(b1-0) /Sb1] < t n-k-1,
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ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión MúltipleHo: 2 = 0
H1: 2 <0
Regla de Decisión:
Rechazar Ho si [(b1-0) /Sb1] < t n-k-1,
b2-0/Sb2 = -0,000249-0/0,000032 = -7.78
Si se compara este valor con el T teórico =
-2,819, vemos que rechazamos Ho, con lo cual estaríamos señalando que el número de oficinas
si contribuye a explicar el comportamiento de los márgenes de beneficios, suponiendo que los
ingresos netos también son utilizados como variable explicativa.
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ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión MúltipleUn contraste sobre todos los parámetros de la regresión
Ho:1=2=....=n = 0H1: al menos un i0Se rechaza Ho si:
SSR/k > Fk,n-k-1,
SSE/(n-k-1)
y la variable Fk,n-k-1,
Sigue una distribución F con K grados de libertad en el numerador y (n-k-1) en el denominador.
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ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
El contraste anterior puede basarse directamente en R2,
dado que: SSR/K = n-k-1 R2 SSE/(n-k-1) K 1- R2
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ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
ANOVAb
.402 2 .201 70.661 .000a
6.250E-02 22 2.841E-03
.464 24
Regression
Residual
Total
Model1
Sum ofSquares df Mean Square F Sig.
Predictors: (Constant), OFICINAS, INGRESOSa.
Dependent Variable: MARGENb.
Realicemos este contraste para el ejercicio que venimos trabajando
¿Qué concluye al respecto?
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ANALISIS DEREGRESION LINEAL
Regresión MúltipleRegresión Múltiple
Se rechaza la hipótesis nula tanto al 1% como al 5% de significancia. Con ello,
estamos señalando que tanto los ingresos netos y el número de oficinas
tienen una influencia lineal en el margen porcentual de beneficios de las entidades
de ahorro y crédito.
Este contraste, será de mucha importancia para detectar problemas de multicolinealidad en Econometria.