LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Trigonometría 5º

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Reducir al primer cuadrante consiste en relacionar las razones trigonométricas de ángulos en posición estándar con las razones trigonométricas de ángulos agudos (ángulos del primer cuadrante) CASOS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Para el estudio de reducción al primer cuadrante, se presentan los siguientes casos: I. Cuando se trata de ángulos positivos, menores

de una vuelta II. Cuándo se trata de ángulos positivos mayores

de una vuelta III. Cuando se trata de ángulos negativos CASO I : ángulos positivos menores de una vuelta En este caso la variable angular se descompone en un múltiplo de 90° más o menos otro ángulo agudo. Luego se usa el siguiente esquema:

)x(RTCox270

x90.T.R −±=

±°±°

Ejemplo: Reducir al primer cuadrante Sen(90° + x) = ……………….......................… Tg(270° + x) = ……………….......................… Tg120° = ……................………………… Sec240° = ........................................ ........

)x2

3(Sec −π

= ...............................................

)x(RTx360

x180.T.R ±=

−°±°

Ejemplo: Reducir al primer cuadrante Tg(180° - x) = ……………….......................… Sen(360° - x) = ……………….......................… Sec300° = ……................………………… Tg120° = ......................................... .......

)x2(Csc −π = ............................................... CASO II : ángulos positivos mayores de una vuelta En este caso la variable angular se descompone en un múltiplo de 360° (vueltas enteras) más o menos,

otro ángulo (agudo u obtuso). Luego se eliminan las vueltas enteras

)x(RT)xK360(:T.R)A.(T.R ±=±°=+ Ejemplo: Reducir al primer cuadrante Tg765° = .............………………………............... Sen690° = .........………………………................... Cos1220° = .............……………………… ............... CASO III : Para ángulos negativos

Sen(-x) = -Senx

Cos(-x) = Cosx

Tg(-x) = -Tgx

Ctg(-x) = -Ctgx

Sec(-x) = Secx

Csc(-x) = -Cscx Ejemplo: Sen(-20°) = .............................. Cos(-60°) = .............................. Tg(-80°) = .............................. Propiedad: A + B = 180° CosnA + CosnB = 0 SecnA + SecnB = 0 TgnA + TgnB = 0 CtgnA + CtgnB = 0

Ejemplo: 01. Calcular:

Q = Cos340° + Cos 380° + Cos 3100° + Cos 3140° 02. Calcular:

76

Tg7

5Tg

72

Tg7

TgPπ+π+π+π=

LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Trigonometría 5º

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Determinar si es (V) o (F):

I. Tg(180° + x) = Tgx II. Csc(360° - x) = Cscx III. Cos(360° + x) = Cosx

A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV E) FFF

02. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son

correctas? I. Sen(90° + x) = -Cosx II. Tg(270° + x) = -Ctgx III. Sec(270° + x) = Cscx

A) VVV B) VFV C) VFF D) FVV E) FFV

03. Afirmar si es (V) o (F)

I. 2Sen150° = 1 II. Tg135° + 2Cos240° = 0 III. Csc330° = -2

A) VVV B) VFF C) VFV D) FVV E) FVF

04. Calcular: A = Cos20° + Cos40° + Cos140° + Cos160°

A) 0 B) -1 C) -1/2 D) 1 E) 1/2

05. Calcular: A = 3Csc150° + Tg225° - Sec300°

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

06. Reducir:

)x270(Sec)x360(Csc

)x(Sec)x180(Sec

E−°−°+

−+°=

A) -1 B) 1 C) 0 D) 2 E) -2

07. Reducir: )x360(Sen).x

23

(Ctg

)x2

3(Cos).x(Tg

A−°+π

−π+π=

A) 1 B) 0 C) -1 D) 1/2 E) –1/2

08. Simplificar: °

°+°=130Cos

50Cos140SenM

A) -2 B) 2 C) 2Tg40° D) –2Tg40° E) 2Ctg50°

09. Reducir:

)x2(Sen).x2(Ctg

)x2

(Tg).x(SenQ

+π−π

−π+π=

A) 1 B) 2 C) -1 D) -2 E) 3

10. Calcular:

M = (Cos810° + Ctg405°).Sen450°

A) 1 B) -1 C) 0 D) 2 E) -2 11. Calcular:

°+°++°+°+° 180Cos179Cos.......3Cos2Cos1Cos A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 3 12. Calcular:

°°+°=

120Cos2100Cos41485Tg5

A

A) -14 B) 14 C) -12 D) 12 E) -10

13. Reducir:

)x360(Sen).x2

3(Ctg

)x2

3(Cos).x(Tg

K−°+π

−π+π=

A) 1 B) 0 C) -1 D) 1/2 E) –1/2

14. Simplificar:

)ab(Sec)ba(Sec

)xy(Sen)yx(Sen

A−−+

−−

=

A) 1 B) 2 C) -1 D) -2 E) 0

15. Calcular: E = 4Cos(-120°) - 3Ctg(-315°) + 4Sec(-300°)

A) 1 B) 2 C) -1 D) -2 E) –1/2

16. Reducir:

1110

Cos118

Cos113

Cos11

CosAπ+π+π+π=

A) 1 B) 0 C) -3 D) -2 E) 2

17. Calcular:

87

Cos8

5Cos

83

Cos8

CosA 3333 π+π+π+π=

LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Trigonometría 5º

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

18. El valor numérico de: °°−

510Cos)240(Sen

es:

A) 3− B) 1 C) -1

D) 3 E) 33

19. Si: x + y = π, calcular:

2y

Ctg

2x

Tg

SenySenx2

A +=

A) 2 B) 3 C) -1 D) -2 E) 0

20. Si: x + y = 2π

, calcular:

x2Cosy2Cos

y2Senx2Sen

M +=

A) -2 B) -1 C) 0

D) 1 E) 2 21. Si: A + B = 180°, simplificar:

CosB.2A

Tg

2B

Ctg.CosAE =

A) -1 B) 2− C) 1

D) 2 E) 2 22. Dado un triángulo ABC. Calcular:

TgA)CB(Tg2

SenC)BA(Sen

E+

−+=

A) 1 B) 2 C) 3 D) -1 E) -2

23. Si: x + y = 2π, calcular:

2y

TgSeny2x

TgSenxA +++=

A) Senx B) 2Senx C) 2x

Tg−

D) 2x

Tg2− E) 0

24. Si: β + θ = 180°, reducir:

E = Senβ + Senθ + Cosβ + Cosθ + Tgβ + Tgθ

A) 2Senβ B) 2Cosβ C) 2Tgβ D) -2Senβ E) -2Cosβ

25. Calcular:

2Sen3)x(Sec).x

2(Sen

441

Tg2Aπ+−π+π+π=

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

26. Calcular el valor de:

°+°= 600Sen32

690SecA

A) 33

B) 23

C) 32

D) 3 E) 23

27. Simplificar:

)111x(Csc

)x2

235(Ctg).24x(SecA

π−

−ππ−=

A) -Tgx B) Tgx C) -Tg2x D) Tg2x E) -Ctg2x

28. Si: x + y = 180°, calcular: A = Tg(Cosx + Cosy) – Cos(Tgx + Tgy)

A) 1 B) -1 C) 0 D) 2 E) -2

29. Reducir:

)x2

281(Ctg

)11x(Tg

)x30(Cos

)x2

143(Sen2M

−ππ−

−+π

−π

=

A) 1 B) -1 C) 3

D) 2 E) -2 30. Calcular:

E = Sen(135π + x).Sec( )x2

97 +π

A) -1 B) 1/2 C) 0

D) 1 E) 2 31. Calcular “θ”

73

Cos.Cos7

4Cos

πθ=π

A) 2

3π B)

4π

C) 2π

D) 0 E) π 32. Calcular:

Q = Cos320°+Cos 360°+Cos 380°+Cos 3100°+ Cos 3160°

LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Trigonometría 5º

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 1/10 E) 1/12 33. Reducir:

32

Ctg.3

5Csc.

34

Sec

65

Tg.4

3Cos.

47

SenA

πππ

πππ

=

A) 23

B) 83

C) 33−

D) 43− E)

33

34. Calcular el valor de:

377

Tg.4

163Cos.

6245

SenMπππ=

A) 26

B) 36

C) 46

D) 56

E) 66

35. Reducir:

)2

39(Csc).

213

(Sec

)12(Ctg)(TgE

θ+πθ−πθ−π+θ−π

=

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5 36. Simplificar:

)4x(Csc).x2

(Ctg).x2

5(Sen

)x2

3(Tg).

23

x(Cos).x2

13(Sec

Kπ−−π+π

−ππ−+π

=

A) Ctgx B) – Tgx C) Tgx

D) – Ctgx E) – 1 37. Hallar:

)73(Cos).2

73(Tg

)2

39(Csc).85(Sec

Aπ−απ−α

π−απ−α=

Para: 3π=α

A) –2 B) – 34 C) 6

D) 38− E) 2 38. Sea: θ+θ=θ CosSen)(f

Hallar: )

23

(f

)(f

θ−πθ+π

A) -1 B) -2 C) 0 D) -3 E) 1 39. Si: n)x(Sen =+π

Calcular: xCtg.1n1

1M 2

2

−

−=

A) 0 B) 1 C) -1

D) 2 E) 3 40. Simplificar:

)x240(Cos).3

61(Sec

)x300(Ctg)x330(Tg)x210(SenE

+°π−°−+°+−°

=

A) 1 B) 0 C) -1 D) 1/2 E) –1/2

41. Si: 43

x17

Tg =

+π, Calcular el valor de:

+π= x34

19CtgR

A) 3/4 B) -4/3 C) 4/3 D) -3/4 E) –1/2

42. Calcule la suma de los valores de “n” en las

siguientes igualdades:

4n9nx4

85Tg 2 ++=

−π

9n3n2x4

177Ctg 2 ++=

+π

A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

43. Siendo α ∈ IC y además a

a1Ctg

2−=α , halle

el valor de:

)2(Csc).

23

(Sec).(Ctg

)2

3(Tg).

2(Cos).(Sen

Eα−πα−πα−π

α−πα+πα−π=

A) a-4 B) a-2 C) a D) a2 E) a4

44. Reduzca la siguiente expresión:

)º14(Tgº76Ctg2

º824Ctgº1994TgM

−−−

=

A) 1/3 B) 2/5 C) 5/2

D) 2/3 E) 2