reducción de endomorfismos - departament de matemàtiques

Reducción de endomorfismos 1 / 28

Reducción de endomorfismos

Rafael Ramírez Ros

Dedicación: 9 horas


SEVs invariantes

Índice

1 SEVs invariantes

2 VAPs & VEPs

3 Diagonalización

4 Jordan


SEVs invariantes

Definición & propiedades

Sea f : E → E un endomorfismo lineal de un EV E .Sea G = [v1, . . . ,vd ] un SEV de E .El SEV G es f -invariante cuando se cumple alguna de lassiguientes condiciones (son equivalentes):

1 f (v) ∈ G para todo v ∈ G;2 f (v1), . . . , f (vd ) ∈ G;3 dim[v1, . . . ,vd , f (v1), . . . , f (vd )] = dim[v1, . . . ,vd ].

La intersección y la suma de SEVs invariantes tambiénson SEVs invariantes.Si G ⊂ E es un SEV f -invariante, entonces la restriccióndel endomorfismo f al SEV G se denota por f |G : G→ G yse define como el endomorfismo tal que

f |G(v) = f (v), ∀v ∈ G.


SEVs invariantes

Matrices diagonales por bloques

Si f : E → E es un endomorfismo y V = {v1, . . . ,vn} esuna base de E tal que los dos SEVS

G1 = [v1, . . . ,vd ], G2 = [vd+1, . . . ,vn]

son f -invariantes, entonces la matriz de la aplicación f enla base V es diagonal por bloques (con dos bloques):

MVV (f ) =

(B1 00 B2

)donde los bloques B1 y B2 son d × d y (n − d)× (n − d).

Vi base del SEV Gi extraída de V ⇒ MViVi

(f |Gi ) = Bi .Hay resultados análogos con más SEVs (y, por ende, conmás bloques).


VAPs & VEPs

Índice

1 SEVs invariantes

2 VAPs & VEPs

3 Diagonalización

4 Jordan


VAPs & VEPs

Definiciones & propiedades

A partir de ahora, K denota a uno cualquiera de loscuerpos Q (racionales), R (reales) o C (complejos).Un vector v ∈ E es un VEP de VAP λ ∈ K de unendomorfismo f : E → E cuando

f (v) = λv , v 6= 0.

Análogamente, un vector columna v ∈ Kn es un VEP deVAP λ ∈ K de una matriz cuadrada A ∈Mn×n(K) cuando

Av = λv , v 6= 0.

Propiedades:1 Toda CL de VEPs del mismo VAP tambien es VEP.2 {VEPs de VAP λ} = Nuc(f−λId)\{0} = Nuc(A−λId)\{0}.3 Si v 6= 0, entonces: G = [v ] f -invariante⇔ v VEP de f .4 VEPs de VAPs diferentes siempre son LI.


VAPs & VEPs

Trucos útiles

Si vemos una CL de columnas de A− λId que se anula,entonces los coeficientes de la CL forman un VEP.Si una matriz cuadrada A = (aij) es triangular o diagonal,entonces sus VAPs son todos los elementos diagonales:λ1 = a11, . . . , λn = ann.Si todos los elementos no diagonales de la columna j deuna matriz cuadrada A = (aij) son iguales a cero, entoncesv = ej es un VEP de VAP λ = ajj .Si todas las filas de una matriz cuadrada suman la mismacantidad s, entonces v = (1, . . . ,1) es un VEP de VAPλ = s.Si todas las columnas de una matriz cuadrada suman lamisma cantidad s, entonces λ = s es un VAP.


VAPs & VEPs

Polinomio característico

Sea A = (aij) una matriz cuadrada n × n.El polinomio característico de la matriz A es

QA(λ) = det(A− λId) ∈ Kn[λ].

Los VAPs de A son las raíces de QA(λ).QA(λ) = (−1)nλn + (−1)n−1Tλn−1 + · · ·+ D, donde

T = traza(A) := a11 + · · ·+ ann, D = det(A).

Si n = 2, entonces QA(λ) = λ2 − Tλ+ D.Si λ1, . . . , λn son las raíces de QA(λ) repetidas segúnmultiplicidad, entonces

T = λ1 + λ2 + · · ·+ λn, D = λ1λ2 · · ·λn.


Diagonalización

Índice

1 SEVs invariantes

2 VAPs & VEPs

3 Diagonalización

4 Jordan


Diagonalización

Definiciones

Un endomorfismo f : E → E es diagonalizable cuandoexiste una base V de E formada por VEPs. En tal caso, lamatriz MV

V (f ) es diagonal, con los VAPs como elementosdiagonales.Análogamente, una matriz A ∈Mn×n(K) es diagonalizablecuando existe una matriz invertible S = (v1| · · · |vn) y unamatriz diagonal D = diag(λ1, . . . , λn) tales que

D = S−1AS.

En tal caso, las columnas v1, . . . ,vn son los VEPs y loselementos diagonales λ1, . . . , λn son los VAPs.Truco: Es más fácil comprobar la fórmula SD = AS quecomprobar la fórmula D = S−1AS.


Diagonalización

Diagrama de cambio de base

Sea f : E → E un endomorfismo diagonalizable tal queA = MU

U (f ) en una base arbitraria U.Sea V = {v1, . . . ,vn} una base de VEPs y sean λ1, . . . , λnsus VAPs, luego D = MV

V (f ) = diag(λ1, . . . , λn).Sea S = CV

U =((v1)U

∣∣ · · · ∣∣(vn)U)

la matriz del cambio debase. (Si U es la base natural, S es más fácil de obtener.)La fórmula D = S−1AS viene del diagrama

(E ; U)A //

S−1

��

(E ; U)

S−1

��(E ; V )

D //

S

BB

(E ; V )

S

BB


Diagonalización

Criterio de diagonalización

Si λ es un VAP de una matriz A ∈Mn×n(K), entonces:Su multiplicidad algebraica MA(λ) es la multiplicidad de λcomo raíz de QA(λ).Su multiplicidad geométrica es

MG(λ) = dim[Nuc(A− λId)] = n − rango(A− λId).

MG(λ) es el número máximo de VEPs LI de VAP λ.1 ≤ MG(λ) ≤ MA(λ).

Criterio de diagonalización

Una matriz A diagonaliza en K si y solo si todas las raíces deQA(λ) están en K y MG(λ) = MA(λ) para todo VAP λ.


Diagonalización

Trucos

λ VAP simple ⇒ MG(λ) = MA(λ) = 1.Las matrices sin VAPs múltiples siempre diagonalizan.Si A es una matriz real con un VEP complejo v = u + w i (osea, u = Re(v) y w = Im(v)) de VAP λ = a + bi, entonces

v̄ = u −w i es un VEP de VAP λ̄ = a− bi.MA(λ̄) = MA(λ) y MG(λ̄) = MG(λ).

Teorema de Cayley-Hamilton: QA(A) = 0.Si λ es un VAP, entonces el sistema lineal (A− λId)v = 0es un SCI con g = MG(λ) grados de libertad, luego alescalonar la matriz A− λId “desaparecen” g ecuaciones.En la asignatura de Geometría veréis que todas lasmatrices simétricas diagonalizan.


Jordan

Índice

1 SEVs invariantes

2 VAPs & VEPs

3 Diagonalización

4 Jordan


Jordan

Matrices & Bloques de Jordan

Dado un escalar λ ∈ K y un natural h ∈ N, el bloque deJordan Jh(λ) es la matriz h × h con λ’s en la diagonal, 1’sen la subdiagonal y 0’s fuera. Por ejemplo, J1(λ) = (λ),

J2(λ) =

(λ 01 λ

), J3(λ) =

λ 0 01 λ 00 1 λ

, J4(λ) =

λ 0 0 01 λ 0 00 1 λ 00 0 1 λ

.

Una matriz de Jordan es una matriz diagonal por bloquescuyos bloques diagonales son de Jordan. Por ejemplo,

J = diag(J3(λ), J1(λ), J2(µ)

)=

λ 0 0 0 0 01 λ 0 0 0 00 1 λ 0 0 00 0 0 λ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 1 µ

.


Jordan

Teoremas de Jordan

Dada una matriz A ∈Mn×n(K), existe una “única” matrizde Jordan JA y una matriz invertible S tales que

JA = S−1AS.

Dado un endomorfismo lineal arbitrario f : E → E , existeuna “única” matriz de Jordan Jf y una base de JordanU = {u1, . . . ,un} tales que

MUU (f ) = Jf .

A ( o f ) diagonalizable⇔ JA (o Jf ) diagonal.Si A = MN

N (f ) es la matriz del endomorfismo f en la basenatural N y S = (u1| · · · |un), entonces Jf = S−1AS = JA.


Jordan

Matrices de Jordan 2D & 3D no diagonales

Caso 2D con 1 VAP:(λ 01 λ

).

Caso 2D con ≥ 2 VAPs: No hay.

Caso 3D con 1 VAP:

λ 0 01 λ 00 1 λ

y

λ 0 01 λ 00 0 λ

.

Caso 3D con 2 VAPs:

λ 0 01 λ 00 0 µ

.



Jordan

Matrices de Jordan 4D no diagonales

Caso 4D con 1 VAP:λ 0 0 01 λ 0 00 1 λ 00 0 1 λ

,

λ 0 0 01 λ 0 00 1 λ 00 0 0 λ

,

λ 0 0 01 λ 0 00 0 λ 00 0 1 λ

,

λ 0 0 01 λ 0 00 0 λ 00 0 0 λ

Caso 4D con 2 VAPs:

λ 0 0 01 λ 0 00 1 λ 00 0 0 µ

,

λ 0 0 01 λ 0 00 0 λ 00 0 0 µ

,

λ 0 0 01 λ 0 00 0 µ 00 0 1 µ

,

λ 0 0 01 λ 0 00 0 µ 00 0 0 µ

Caso 4D con 3 VAPS:

λ 0 0 01 λ 0 00 0 µ 00 0 0 ν



Jordan

“Matrioshkas” de nucleos

Dado un endomorfismo f : E → E , un VAP λ ∈ K y unapotencia k ≥ 1, notaremos

Nkλ := Nuc[(f − λId)k ], dk = dim Nk

λ .

Estos nucleos están anidados: Nkλ ⊂ Nk+1

λ .Sus dimensiones crecen estrictamente hasta estabilizarseen el valor dβ = MA(λ) para alguna potencia β ≥ 1:

0 = d0 < d1 < · · · < dβ−1 < dβ = MA(λ) = dβ+1 = · · · .

Ejemplo: Si f : E → E es un endomorfismo cuya matriz enuna base U = {u1,u2,u3,u4} es MU

U (f ) = J4(λ), entonces

N1λ = [u4], N2

λ = [u3,u4], N3λ = [u2,u3,u4], N4

λ = E .


Jordan

Diagramas de cajas

Para cada VAP λ ∈ K de un endomorfismo f : E → E ,dibujamos un diagrama de cajas tal que:

α = # cajas total = MA(λ),β = altura total = potencia que estabiliza los nucleos Nk

λ,γ = # cajas 1er piso = MG(λ),dk = # cajas en los k primeros pisos,γk = # cajas k -ésimo piso = dk − dk−1.

No puede haber cajas “voladoras”: 1 ≤ γβ ≤ · · · ≤ γ2 ≤ γ1.Si h1 ≥ · · · ≥ hγ son las alturas de las columnas, la matrizde Jordan de f contiene los bloques Jh1(λ), . . . , Jhγ (λ).Algoritmo para encontrar una base de Jordan:

1 En cada caja del “techo” ponemos un vector de Nhλ \ Nh−1

λ ;2 Bajamos al “suelo” aplicando las potencias (f − λId)k ,

1 ≤ k ≤ h − 1, al vector del “techo”;3 Comprobamos que los VEPs del “suelo” son LI. Si esto

falla, cambiamos algún vector del “techo”.


Jordan

Caso 2D no diagonalizable

Si dim E = 2 y f : E → E no diagonaliza, entonces f tieneun único VAP λ tal que

QA(t) = (t − λ)2, MA(λ) = 2, MG(λ) = 1.

# cajas total: 2# cajas 1er piso: 1

}⇒

u1

u2⇒ Jf =

(λ 01 λ

).

dim(N2λ) = d2 = # cajas 1er + 2o pisos = 2⇒ N2

λ = E .Base de Jordan: Cualquier conjunto U = {u1,u2} tal que

1 u1 ∈ N2λ \ N1

λ (o sea, basta que u1 6= 0 no sea un VEP ysiempre puede ser un vector, aunque no cualquiera, de labase natural);

2 u2 = (f − λId)u1;3 No hace falta comprobar que {u2} es LI.


Jordan

Caso 3D con VAP único & MG = 1

Sea dim E = 3 y f : E → E un endomorfismo nodiagonalizable con un único VAP λ tal que

Qf (t) = −(t − λ)3, MA(λ) = 3, MG(λ) = 1.


}⇒

u1

u2

u3

⇒ Jf =

λ 0 01 λ 00 1 λ

.

dim(N3λ) = # cajas 1er + 2o + 3er pisos = 3⇒ N3

λ = E .Base de Jordan: Cualquier U = {u1,u2,u3} tal que

1 u1 ∈ N3λ \ N2

λ (o sea, basta que u1 6∈ N2λ y siempre puede

ser un vector, aunque no cualquiera, de la base natural);2 u2 = (f − λId)u1 y u3 = (f − λId)2u1;3 No hace falta comprobar que {u3} es LI.


Jordan



Qf (t) = −(t − λ)3, MA(λ) = 3, MG(λ) = 2.


}⇒

u1

u2 u3⇒ Jf =

λ 0 01 λ 00 0 λ

dim(N2

λ) = d2 = # cajas 1er + 2o pisos = 3⇒ N2λ = E .

Base de Jordan: Cualquier U = {u1,u2,u3} tal que1 u1 ∈ N2

λ \ N1λ (o sea, basta que u1 6= 0 no sea un VEP y

siempre puede ser un vector, aunque no cualquiera, de labase natural),u3 ∈ N1

λ (es un VEP);2 u2 = (f − λId)u1;3 Los dos VEPs u2 y u3 son LI.


Jordan



Qf (t) = (t − λ)4, MA(λ) = 4, MG(λ) = 1.


}⇒

u1

u2

u3

u4

⇒ Jf =

λ 0 0 01 λ 0 00 1 λ 00 0 1 λ

.

dim(N4λ) = # cajas 1er + · · ·+ 4o pisos = 4⇒ N4

λ = E .Base de Jordan: Cualquier U = {u1,u2,u3,u4} tal que

1 u1 ∈ N4λ \ N3

λ (o sea, basta que u1 6∈ N3λ y siempre puede

ser un vector, aunque no cualquiera, de la base natural);2 u2 = (f − λId)u1, u3 = (f − λId)2u1 y u4 = (f − λId)3u1;3 No hace falta comprobar que {u4} es LI.


Jordan

Caso 4D con VAP único & MG = 2: Matrices

Si dim E = 4 y f : E → E es un endomorfismo con un únicoVAP λ tal que MA(λ) = 4 y MG(λ) = 2, entonces d2 = 3 o 4.

Caso d2 = 3# cajas total: 4# cajas 1er piso: 2# cajas 1er + 2o piso: 3

Diagrama:

u1

u2

u3 u4

Jf =

λ 0 0 01 λ 0 00 1 λ 00 0 0 λ

.

Caso d2 = 4# cajas total: 4# cajas 1er piso: 2# cajas 1er + 2o piso: 4

Diagrama:u1

u2

u3

u4

Jf =

λ 0 0 01 λ 0 00 0 λ 00 0 1 λ

.


Jordan

Caso 4D con VAP único & MG = 2: Bases

Para obtener una base de Jordan, basta encontrar un conjuntoU = {u1,u2,u3,u4} tal que:

Caso d2 = 3

1 u1 ∈ N3λ \ N2

λ (o sea, bastaque u1 6∈ N2

λ y siemprepuede ser un vector,aunque no cualquiera, dela base natural),u4 ∈ N1

λ (es VEP);2 u2 = (f − λId)u1,

u3 = (f − λId)2u1;3 Los VEPs u3 y u3 son LI.

Caso d2 = 4

1 u1,u3 ∈ N2λ \ N1

λ (o sea,basta que u1,u3 6= 0 nosean VEPs y siemprepueden ser dos vectores,aunque no cualesquiera,de la base natural);

2 u2 = (f − λId)u1,u4 = (f − λId)u3;

3 Los VEPs u2 y u4 son LI.


Jordan

Un caso 4D con dos VAPs (parte 1)

Si hay más de un VAP, entonces pueden no existir basesde Jordan con algún vector de la base natural.Sea f : E → E un endomorfismo con dos VAPs λ 6= µ talesque Qf (t) = (t − λ)2(t − µ)2 y

MA(λ) = 2, MG(λ) = 1, MA(µ) = 2, MG(µ) = 2.

Cálculo de la matriz y una base asociada al VAP λ:

Matriz: # cajas total: 2# cajas 1er piso: 1

}⇒

u1

u2⇒ Jλ =

(λ 01 λ

).

Base: Cualquier conjunto {u1,u2} tal que1 u1 ∈ N2

λ \ N1λ (no siempre puede ser de la base natural);

2 u2 = (f − λId)u1;3 No hace falta comprobar que {u2} es LI.


Jordan

Un caso 4D con dos VAPs (parte 2)

Cálculo de la matriz y una base asociada al VAP µ:Matriz:


}⇒ u3 u4 ⇒ Jµ =

(µ 00 µ

).

Base: Cualquier conjunto {u3,u4} tal que1 u3,u4 ∈ N1

µ (no siempre pueden ser de la base natural);2 Nada que hacer, pues ya estamos en el suelo;3 Los VEPs u3 y u4 son LI.

Juntamos los resultados de todos los VAPs:

Matriz de Jordan: Jf = diag(Jλ, Jµ) =

λ 0 0 01 λ 0 00 0 µ 00 0 0 µ

.

Base de Jordan: U = {u1,u2,u3,u4}.

reducción de endomorfismos - departament de matemàtiques

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